Rovnomerný pohyb tela v kruhu. Rovnomerný pohyb bodu po kružnici Bodové teleso t sa začne pohybovať po kružnici

1. Úloha

Bodové teloT O Vôl ω rotácia tela v závislosti od časut O.T. s nápravouVôl k bodu v časet

2. Úloha

v 0 , ako je znázornené na obrázku, a po zastavení sa posunul späť. Vyberte dve tvrdenia z navrhovaného zoznamu, ktoré zodpovedajú výsledkom experimentálnych pozorovaní, a uveďte ich čísla.

v 0

3. Úloha

Koľkokrát sa zmení tlak ideálneho plynu, keď sa objem ideálneho plynu zmenší 2-násobne a jeho absolútna teplota sa zvýši 4-násobne?

4. Úloha

1) zvýšená;

2) znížená;

3) sa nezmenil.

chladničky na prevádzkový cyklus

Práca plynu na cyklus

5 . Cvičenie

Blok hmotymh= 0,5 m a pri pohybe po vodorovnom povrchu sa zrazí so stacionárnym blokom s hmotnosťou M = 300 g. Za predpokladu, že zrážka je úplne nepružná, určite celkovú kinetickú energiu blokov po zrážke. Zanedbajte trenie počas pohybu. Predpokladajme, že naklonená rovina plynule prechádza do vodorovnej.

6. Úloha

nv=100 m\c.

Odpovede na test č.1

1. Cvičenie

Bodové teloT sa začne pohybovať po kruhu so stredom v bodeO . V momente, keď sa pohyb začal, bolo telo v bode ležiacom na osiVôl (ako je znázornené na obrázku). Pomocou prezentovaného grafu uhlovej rýchlostiω rotácia tela v závislosti od časut , určiť, aký uhol bude segment zvieraťO.T. s nápravouVôl k bodu v časet = 5 s. Vyjadrite svoju odpoveď v stupňoch.

Riešenie.

Ako je možné vidieť z grafu, telo sa najskôr 3 sekundy pohybovalo proti smeru hodinových ručičiek a potom 2 sekundy v smere hodinových ručičiek. Z toho vyplýva, že telo sa presunie do:odpoveď: 45.

2. Cvičenie

Po dopade puk začal počiatočnou rýchlosťou kĺzať po hrubej naklonenej rovinev 0 ako je znázornené na obrázku a po zastavení sa posunula späť. Vyberte dve tvrdenia z navrhovaného zoznamu, ktoré zodpovedajú výsledkom experimentálnych pozorovaní, a uveďte ich čísla.

1) Čas, keď sa puk posunie nahor, je kratší ako čas, keď sa posunie nadol.

2) Modul maximálnej rýchlosti puku pri pohybe nadol sa rovnáv 0

3) Pri pohybe hore a dole je modul práce gravitačnej sily pôsobiacej na puk rovnaký.

4) Zmena potenciálnej energie puku pri pohybe z bodu dopadu do horného bodu je väčšia ako kinetická energia puku bezprostredne po dopade.

5) Modul zrýchlenia puku pri pohybe nahor sa rovná modulu zrýchlenia pri pohybe nadol.

Riešenie.

1, 5) Pri pohybe puku nahor je zložka gravitácie ležiaca v naklonenej rovine a trecia sila smerovaná jedným smerom a pri pohybe dole rôznymi smermi, preto je modul zrýchlenia puku pri pohybe nahor väčšia ako pri pohybe nadol. Čas, keď sa puk pohne hore, je kratší ako čas, keď sa posunie dole.

2) V dôsledku prítomnosti trenia je modul maximálnej rýchlosti puku pri pohybe dole menšív 0

3) Modul gravitačnej práce sa rovná modulu zmeny potenciálnej energie puku v gravitačnom poli. Pri pohybe hore a dole je modul zmeny výšky puku nad horizontom rovnaký, čo znamená, že modul gravitačnej práce je rovnaký.

4) V dôsledku prítomnosti trenia je zmena potenciálnej energie puku pri pohybe do horného bodu menšia ako kinetická energia puku bezprostredne po náraze.

odpoveď:13.

3. Cvičenie

Teplota chladničky ideálneho tepelného motora bola znížená, pričom teplota ohrievača zostala rovnaká. Množstvo tepla prijatého plynom z ohrievača za cyklus sa nezmenilo. Ako sa zmenila účinnosť tepelného motora, množstvo tepla odovzdaného plynom za cyklus do chladničky a práca plynu za cyklus?

Pre každé množstvo určite zodpovedajúci charakter zmeny:

1) zvýšená;

2) znížená;

3) sa nezmenil.

Zapíšte si vybrané čísla pre každú fyzikálnu veličinu do tabuľky. Čísla v odpovedi sa môžu opakovať.

Ak znížite teplotu chladničky a zároveň budete udržiavať konštantnú teplotu ohrievača, účinnosť ideálneho tepelného motora sa zvýši: účinnosť = (T1- T2)/T2*100%, účinnosť súvisí s prácou s plynomAa množstvo teplaQzískaný plyn na cyklus, pomer účinnosti =A/ Q*100 %. Keď sa teda teplota chladničky zníži, množstvo tepla prijatého plynom z ohrievača za cyklus sa nemení, dospeli sme k záveru, že práca vykonaná plynom za cyklus sa zvýši. Množstvo tepla odovzdaného do chladničky možno zistiť zo zákona o zachovaní energie:Qzima =Q- A. Keďže po znížení teploty chladničky sa množstvo teplaQzostane nezmenená, ale práca sa zvýši, množstvo teplaQTeplo odovzdávané chladničke počas prevádzkového cyklu sa zníži.odpoveď:121.

4. Cvičenie

Blok hmotym=500g sa kĺže po naklonenej rovine z výškyh= 0,8 ma pri pohybe po vodorovnom povrchu narazí na stacionárny blok s hmotnosťou M = 300 g. Za predpokladu, že zrážka je úplne nepružná, určite celkovú kinetickú energiu blokov po zrážke. Zanedbajte trenie počas pohybu. Predpokladajme, že naklonená rovina plynule prechádza do vodorovnej.

Riešenie.

Kinetická energia tyčí po zrážke Ek =(m+ M)* v 2 /2 kdev- rýchlosť sústavy po náraze, určená zo zákona zachovania hybnosti v horizontálnom reze: m*v1=(m+M)* v. Vylúčenie rýchlosti zo sústavy rovnícvdostaneme: Ek =m 2 /( m+ M)* v1 2 /2

Kinetická energia prvého bloku pred zrážkou je určená zo zákona zachovania mechanickej energie pri kĺzaní po naklonenej rovine: čo dáva výraz:m* g* h= m* v1 2 /2. Dosadením hodnôt hmotnosti a výšky z podmienky dostaneme číselnú hodnotu: Ek =m/( m+ M)* m* g* h

5. Cvičenie

S jedným mólom hélia sa uskutočnil proces, pri ktorom sa stredná kvadratická rýchlosť atómov hélia zvýšila on= 2 krát. Počas tohto procesu bola priemerná kinetická energia atómov hélia úmerná objemu, ktorý hélium zaberá. Koľko práce vykonal plyn v tomto procese? Považujte hélium za ideálny plyn a vezmite hodnotu strednej kvadratickej rýchlosti atómov hélia na začiatku procesu rovnúv= 100 m/s.

Riešenie.

1. Pomerne často je možné pozorovať pohyb telesa, ktorého trajektóriou je kruh. Napríklad bod na ráfiku kolesa sa pri otáčaní pohybuje po kružnici, body na rotujúcich častiach obrábacích strojov, koniec hodinovej ručičky, dieťa sediace na nejakej postave otáčajúceho sa kolotoča.

Pri pohybe v kruhu sa môže meniť nielen smer rýchlosti tela, ale aj jeho modul. Je možný pohyb, pri ktorom sa mení iba smer rýchlosti a jeho veľkosť zostáva konštantná. Tento pohyb sa nazýva rovnomerný pohyb tela v kruhu. Predstavme si charakteristiku tohto hnutia.

2. Kruhový pohyb telesa sa opakuje v určitých intervaloch, ktoré sa rovnajú perióde otáčania.

Obdobie otáčania je čas, počas ktorého teleso vykoná jednu úplnú otáčku.

Obdobie obehu je označené písmenom T. Za jednotku periódy obehu v SI sa považuje druhý (1 s).

Ak počas doby t telo sa dopustilo N plné otáčky, potom sa doba revolúcie rovná:

T = .

Frekvencia otáčania je počet úplných otáčok telesa za jednu sekundu.

Frekvencia obehu je označená písmenom n.

n = .

Za jednotku cirkulačnej frekvencie v SI sa považuje druhá k mínus prvej mocnine (1 s – 1).

Frekvencia a obdobie revolúcie súvisia takto:

3. Uvažujme veličinu charakterizujúcu polohu telesa na kružnici. Nech je telo v počiatočnom okamihu v bode A a včas t posunulo sa to do bodu B(Obr. 38).

Nakreslíme vektor polomeru od stredu kružnice k bodu A a polomerový vektor od stredu kružnice k bodu B. Keď sa teleso pohybuje po kruhu, vektor polomeru sa bude otáčať v čase t pod uhlom j. Keď poznáte uhol natočenia vektora polomeru, môžete určiť polohu tela na kruhu.

Jednotka uhla natočenia vektora polomeru v SI - radián (1 rad).

Pri rovnakom uhle natočenia vektora polomeru bodu A A B, umiestnený v rôznych vzdialenostiach od svojho stredu rovnomerne rotujúceho disku (obr. 39), bude prechádzať rôznymi dráhami.

4. Keď sa teleso pohybuje po kruhu, nazýva sa okamžitá rýchlosť lineárna rýchlosť.

Lineárna rýchlosť telesa pohybujúceho sa rovnomerne po kruhu, pričom veľkosť zostáva konštantná, mení smer a v akomkoľvek bode smeruje tangenciálne k trajektórii.

Lineárny rýchlostný modul možno určiť podľa vzorca:

v = .

Nechajte teleso pohybujúce sa v kruhu s polomerom R, urobil jednu úplnú otáčku, Potom sa dráha, ktorú prejde, rovná obvodu: l= 2p R a čas sa rovná obdobiu revolúcie T. Preto lineárna rýchlosť tela:

Pretože T= , potom môžeme písať

v= 2p Rn.

Rýchlosť otáčania telesa je charakterizovaná uhlová rýchlosť.

Uhlová rýchlosť je fyzikálna veličina rovnajúca sa pomeru uhla natočenia vektora polomeru k časovému úseku, počas ktorého k tomuto otočeniu došlo.

Uhlová rýchlosť je označená w.

Jednotkou SI uhlovej rýchlosti je radiánov za sekundu (1 rad/s):

[w] == 1 rad/s.

Na čas rovnajúci sa dobe obehu T, teleso vykoná celú otáčku a uhol natočenia vektora polomeru j = 2p. Preto je uhlová rýchlosť telesa:

w = alebo w = 2p n.

Lineárne a uhlové rýchlosti sú vo vzájomnom vzťahu. Zapíšme si pomer lineárnej rýchlosti k uhlovej rýchlosti:

== R.

teda

Pri rovnakej uhlovej rýchlosti bodov A A B, umiestnenom na rovnomerne rotujúcom disku (pozri obr. 39), lineárna rýchlosť bodu A väčšia ako lineárna rýchlosť bodu B: v A > v B.

5. Keď sa teleso pohybuje rovnomerne po kruhu, veľkosť jeho lineárnej rýchlosti zostáva konštantná, ale mení sa smer rýchlosti. Keďže rýchlosť je vektorová veličina, zmena smeru rýchlosti znamená, že sa teleso pohybuje po kružnici so zrýchlením.

Poďme zistiť, ako je toto zrýchlenie smerované a čomu sa rovná.

Pripomeňme, že zrýchlenie telesa je určené vzorcom:

a == ,

kde D v- vektor zmeny rýchlosti tela.

Smer vektora zrýchlenia a sa zhoduje so smerom vektora D v.

Nechajte teleso pohybujúce sa v kruhu s polomerom R, na krátku dobu t presunutý z bodu A presne tak B(obr. 40). Ak chcete zistiť zmenu rýchlosti tela D v, presne tak A presunúť vektor rovnobežne so sebou v a odpočítajte od toho v 0, čo je ekvivalentné sčítaniu vektora v s vektorom - v 0 Vektor riadený z v 0 k v a existuje vektor D v.

Zvážte trojuholníky AOB A ACD. Obaja sú rovnoramenní ( A.O. = O.B. A A.C. = A.D. pretože v 0 = v) a majú rovnaké uhly: _ AOB = _CAD(ako uhly so vzájomne kolmými stranami: A.O. B v 0 , O.B. B v). Preto sú tieto trojuholníky podobné a môžeme zapísať pomer zodpovedajúcich strán: = .

Od bodov A A B umiestnené blízko seba, potom akord AB je malý a dá sa nahradiť oblúkom. Dĺžka oblúka je dráha, ktorú telo prejde v čase t konštantnou rýchlosťou v: AB = vt.

okrem toho A.O. = R, DC= D v, AD = v. teda

= ;= ;= a.

Odkiaľ pochádza zrýchlenie tela?

Z obrázku 40 je zrejmé, že čím je struna menšia AB, tým presnejší je smer vektora D v sa zhoduje s polomerom kruhu. Preto vektor zmeny rýchlosti D v a vektor zrýchlenia a smerujú radiálne k stredu kruhu. Preto sa zrýchlenie pri rovnomernom pohybe telesa po kružnici nazýva dostredivý.

teda

Keď sa teleso pohybuje rovnomerne po kruhu, jeho zrýchlenie je konštantné a v akomkoľvek bode smeruje pozdĺž polomeru kruhu k jeho stredu.

Zvažujem to v=w R, môžeme napísať ďalší vzorec pre dostredivé zrýchlenie:

6. Príklad riešenia problému

Frekvencia otáčania karuselu je 0,05 s–1. Osoba točiaca sa na kolotoči je vo vzdialenosti 4 m od osi otáčania. Určte mužovo dostredivé zrýchlenie, periódu otáčania a uhlovú rýchlosť kolotoča.

a= 4 (3,14) 2 (0,05 s–1) 2 4 m 0,4 m/s 2;

T== 20 s;

w = 2 3,14 0,05 s– 1 0,3 rad/s.

odpoveď: a 0,4 m/s2; T= 20 s; w 0,3 rad/s.

Samotestovacie otázky

1. Aký druh pohybu sa nazýva rovnomerný kruhový pohyb?

2. Ako sa nazýva orbitálna doba?

3. Čo sa nazýva frekvencia obehu? Ako súvisí obdobie a frekvencia?

4. Ako sa nazýva lineárna rýchlosť? Ako je to smerované?

5. Ako sa nazýva uhlová rýchlosť? Aká je jednotka uhlovej rýchlosti?

6. Ako súvisí uhlová a lineárna rýchlosť telesa?

7. Aký je smer dostredivého zrýchlenia? Podľa akého vzorca sa počíta?

Úloha 9

1. Aká je lineárna rýchlosť bodu na ráfiku kolesa, ak je polomer kolesa 30 cm a vykoná jednu otáčku za 2 s? Aká je uhlová rýchlosť kolesa?

2. Rýchlosť auta je 72 km/h. Aká je uhlová rýchlosť, frekvencia a perióda otáčania kolesa automobilu, ak je priemer kolesa 70 cm? Koľko otáčok urobí koleso za 10 minút?

3. Akú vzdialenosť prejde koniec minútovej ručičky budíka za 10 minút, ak je jej dĺžka 2,4 cm?

4. Aké je dostredivé zrýchlenie bodu na ráfiku kolesa automobilu, ak je priemer kolesa 70 cm? Rýchlosť auta je 54 km/h.

5. Bod na ráfiku kolesa bicykla vykoná jednu otáčku za 2 s. Polomer kolesa je 35 cm Aké je dostredivé zrýchlenie bodu ráfika kolesa?

Týmto pohybom (obr. 6.10) a , keďže s rovnomerným pohybom a s pohybom v kruhu. Zo vzorca rýchlosť rovnomerného pohybu v kruhu

Ryža. 6.10. Rovnomerný pohyb bodu po kružnici

Ak prijmeme t = T– bodka, t.j. čas jedného kola kruhu o bod, potom

kde je priemer kruhu.

3. Rovnako striedavý pohyb. Ak , potom sa nazýva pohyb bodu rovnako variabilné.

Rovnica rovnomerného pohybu bodu

.

- rýchlosť kedykoľvek.

A .

A. S rovnomerne premenlivým priamočiarym pohybom, ak nie je známy čas t, dostaneme prvý pomocný vzorec

Ak nie je známe:

,

kde je priemerná rýchlosť bodu počas jeho rovnomerného pohybu.

B. Ak rovnomerne zrýchlený pohyb bodu začína od začiatku trajektórie ( S 0 = 0) a bez počiatočnej rýchlosti (), potom majú predchádzajúce vzorce jednoduchšiu formu:

Príkladom takéhoto pohybu je pohyb auta pri štarte alebo pohyb lietadla po dráhe, ako aj voľný pád telies známy z fyziky.

B. Vo voľnom páde . V tomto prípade, ak vo vzorcoch z bodu (B) S nahradiť výškou pádu N, potom majú vzorce formu

Predposledný z týchto vzorcov, prezentovaný vo formulári, je tzv Galileov vzorec.

Kapitola 7. Najjednoduchšie pohyby tuhého telesa

7.1. Pohyb vpred

Pohyb tuhého telesa, pri ktorom sa ľubovoľná priamka vybraná v telese pohybuje rovnobežne so svojou pôvodnou polohou, sa nazýva progresívne.

Zvážte dva body A A IN, spojené segmentom AB(obr. 7.1). Je zrejmé, že pri presúvaní segmentu AB rovnobežne s pôvodnou polohou ( ) body A A IN pohybovať sa po rovnakých trajektóriách, t.j. ak je trajektória kombinovaná s trajektóriou, budú sa zhodovať. Ak spolu s bodom A zvážiť pohyb bodu C, potom keď sa telo pohybuje, segment AC tiež zostáva rovnobežná so svojou pôvodnou polohou ( ) a trajektóriu bodu C(krivka) je rovnaká ako trajektórie a:

Alebo alebo ;

Alebo alebo .

Ryža. 7.1. K analýze translačného pohybu tuhého telesa

Ako vidíme, translačný pohyb tuhého telesa je úplne charakterizovaný pohybom ktoréhokoľvek z jeho bodov. Zvyčajne je translačný pohyb telesa určený pohybom jeho ťažiska, inými slovami, počas translačného pohybu možno teleso považovať za hmotný bod.

Príkladom translačného pohybu telies môže byť posúvač 1 , pohybujúce sa v priamych vodidlách 2 (obr. 7.2, A), alebo rovno idúce auto (alebo skôr nie celé auto, ale jeho podvozok a karosériu). Niekedy sa krivočiary pohyb áut alebo vlakov v zákrutách na cestách bežne mýli s pohybom vpred. V takýchto prípadoch hovoria, že auto alebo vlak sa pohybuje takou a takou rýchlosťou alebo s takým a takým zrýchlením.

Príkladom krivočiareho translačného pohybu je pohyb vozíka (kolísky) lanovky (obr. 7.2, b) alebo pohyb partnera (obr. 7.2, V) spojenie dvoch paralelných kľúk. V druhom prípade sa každý bod dvojčiat pohybuje v kruhu.

Ryža. 7.2. Príklady translačného pohybu telies:

A- rovný; b, V– krivočiary

7.2. Rotačný pohyb.

Uhlová rýchlosť, uhlové zrýchlenie

Pohyb tuhého telesa, pri ktorom sa všetky jeho body pohybujú po kružnici, ktorej stredy ležia na pevnej priamke kolmej na tieto kružnice, sa nazýva rotačné. Pevná priamka, na ktorej ležia stredy kruhových trajektórií bodov telesa, sa nazýva jej os otáčania. Na vytvorenie osi otáčania stačí upevniť ľubovoľné dva body tela. Príklady rotačného pohybu telies zahŕňajú pohyb dverí alebo okenných krídel pri ich otváraní alebo zatváraní.

Predstavme si teleso v tvare valca, osi AB ktorý leží v ložiskách (obr. 7.3).

Ryža. 7.3. K analýze rotačného pohybu tuhého telesa

Pohybom jedného bodu nie je možné jednoznačne určiť rotačný pohyb telesa.

Aby sme stanovili zákon rotačného pohybu telesa, pomocou ktorého je možné určiť jeho polohu v danom momente, nakreslíme cez os rotácie telesa pevnú polrovinu NP, ktorá je s ním spojená, a vo vnútri telesa zaznamenáme pohyblivú polrovinu, ktorá sa otáča okolo osi spolu s telesom, teraz uhol φ, ktorý v ktoromkoľvek danom časovom okamihu zvierajú polroviny NP a PP, presne určuje polohu telesa v priestore (pozri obr. 7.3). Uhol φ sa nazýva uhol natočenia a vyjadruje sa v radiánoch. Na určenie polohy telesa v priestore v akomkoľvek časovom okamihu je potrebné poznať vzťah medzi uhlom rotácie φ a časom t t.j. poznať zákon o rotačnom pohybe telesa:

Rýchlosť zmeny uhla natočenia v čase charakterizuje veličina tzv uhlová rýchlosť.

Predstavme si to v určitom čase t poloha rotujúceho telesa je určená uhlom natočenia φ, a v momente t + Δ t– uhol natočenia φ + Δ φ. Preto v čase Δ t teleso sa otočilo o uhol Δ φ a hodnotu

volal priemerná uhlová rýchlosť.

Jednotkou uhlovej rýchlosti je 1 rad/s. Rýchlosť zmeny uhlovej rýchlosti je charakterizovaná uhlové zrýchlenie, označené . Priemerné zrýchlenie;

.

Jednotkou uhlového zrýchlenia je 1 rad/s 2 .

Súhlasíme s tým, že uhol natočenia meraný proti smeru hodinových ručičiek sa považuje za pozitívny a uhol počítaný v smere hodinových ručičiek sa považuje za negatívny.

Ryža. 7.4. Na určenie typu rotačného pohybu

Vektory a sú posuvné vektory, ktoré sú nasmerované pozdĺž osi rotácie, takže pri pohľade od konca vektora (alebo ) je možné vidieť rotáciu proti smeru hodinových ručičiek.

Ak sú vektory a smerované rovnakým smerom (obr. 7.4, A), potom rotačný pohyb telesa zrýchlené – zvyšuje sa uhlová rýchlosť. Ak sú vektory nasmerované v opačných smeroch, potom rotácia tela pomaly – uhlová rýchlosť klesá (obr. 7.4, b).

7.3. Špeciálne prípady rotačného pohybu

1. Rovnomerný rotačný pohyb. Ak uhlové zrýchlenie a teda uhlová rýchlosť

, (7.1)

potom sa rotačný pohyb nazýva rovnomerný. Z výrazu (7.1) po oddelení premenných dostaneme

Ak pri zmene času z 0 na t uhol natočenia sa zmenil z φ 0 (počiatočný uhol natočenia) na φ, potom sa rovnica integruje v rámci týchto limitov:

dostaneme rovnicu rovnomerného rotačného pohybu

ktorý je vo svojej konečnej podobe napísaný takto:

Ak potom

Teda pri rovnomernom rotačnom pohybe uhlová rýchlosť

Alebo na .

2. Rovnomerný rotačný pohyb. Ak uhlové zrýchlenie

(7.2)

potom sa rotačný pohyb nazýva rovnomerne premenný. Oddelením premenných vo výraze (7.2):

a akceptovať to, keď sa čas zmení z 0 na t uhlová rýchlosť sa zmenila z (počiatočná uhlová rýchlosť) na , integrujme rovnicu v rámci týchto limitov:

t.j. dostaneme rovnicu

vyjadrenie hodnoty uhlovej rýchlosti v akomkoľvek čase.

Zákon rovnomerného rotačného pohybu alebo, berúc do úvahy rovnicu (7.3):

Za predpokladu, že v čase od 0 do t uhol rotácie sa menil od do , integrujme rovnicu v rámci týchto limitov:

alebo

Rovnica rovnomerne striedavého rotačného pohybu vo finálnej podobe

(7.4)

Prvý pomocný vzorec získame odstránením času zo vzorcov (7.3) a (7.4):

(7.5)

Vylúčením uhlového zrýchlenia z rovnakých vzorcov získame druhý pomocný vzorec:

(7.6)

kde je priemerná uhlová rýchlosť s rovnomerným rotačným pohybom.

Keď a , vzorce (7.3) – (7.6) nadobúdajú jednoduchšiu formu:

Počas procesu navrhovania sa uhlový pohyb nevyjadruje v radiánoch, ale jednoducho v otáčkach.

Uhlová rýchlosť vyjadrená v otáčkach za minútu sa nazýva rýchlosť rotácie a je určený n. Stanovme vzťah medzi (s –1) a n(min –1). Odkedy, potom kedy n(min –1) za t= 1 min = 60 s uhol natočenia. Preto:

Pri prechode z uhlovej rýchlosti (s –1) na rýchlosť otáčania n(min –1) máme

7.4. Rýchlosti a zrýchlenia rôznych bodov

otočné teleso

Určme rýchlosť a zrýchlenie ľubovoľného bodu v ľubovoľnom čase. Na tento účel vytvoríme vzťah medzi uhlovými veličinami a , charakterizujúcimi rotačný pohyb telesa, a lineárnymi veličinami a , charakterizujúcimi pohyb bodov telesa.

Predpokladajme, že teleso znázornené na obr. 7.5, sa otáča podľa zákona opísaného rovnicou. Je potrebné určiť rýchlosť a zrýchlenie bodu A tohto telesa umiestneného vo vzdialenosti ρ od osi otáčania O. Necháme chvíľu korpus t otočený o uhol φ a bod A, pohybujúce sa v kruhu z určitej počiatočnej polohy, posunuté o vzdialenosť. Keďže uhol φ je vyjadrený v radiánoch, potom

to znamená, že vzdialenosť prejdená bodom rotujúceho telesa je úmerná jeho uhlu natočenia. Vzdialenosť S a uhol natočenia φ sú funkciami času a ρ je konštantná hodnota pre daný bod. Rozlišujme obe strany rovnosti (7.7) vzhľadom na čas a zisk

ale je to rýchlosť bodu, a je teda uhlová rýchlosť telesa

to znamená, že rýchlosť bodu na rotujúcom telese je úmerná jeho uhlovej rýchlosti.

Ryža. 7.5. Na určenie rýchlosti a zrýchlenia bodu

Zo vzorca (7.8) je zrejmé, že pre body nachádzajúce sa na osi rotácie sú rýchlosti týchto bodov tiež rovné nule. Ako sa mení, t. j. v bodoch umiestnených ďalej od osi otáčania, čím vyššia je hodnota , tým väčšia je rýchlosť. Proporcionálna závislosť rýchlostí rôznych bodov rotujúceho telesa na ich vzdialenostiach vzhľadom k osi rotácie je znázornená na obr. 7.6.

Ryža. 7.6. Rozloženie rýchlosti pri rotačnom pohybe tuhého telesa

Rozlišovanie oboch strán rovnosti (7.8), máme

ale je tangenciálne zrýchlenie bodu, a je uhlové zrýchlenie telesa, čo znamená

to znamená, že tangenciálne zrýchlenie bodu na rotujúcom telese je úmerné jeho uhlovému zrýchleniu.

Dosadením hodnoty rýchlosti zo vzorca (7.8) do vzorca dostaneme

to znamená, že normálne zrýchlenie bodu na rotujúcom telese je úmerné druhej mocnine jeho uhlovej rýchlosti.

Zo vzorca po dosadení namiesto a ich hodnoty zo vzorcov (7.9) a (7.10) získame

Smer vektora zrýchlenia, teda uhol, je určený jedným zo vzorcov a posledný z nich môže byť teraz reprezentovaný v tejto forme:

(7.12)

Zo vzorcov (7.11) a (7.12) vyplýva, že pre body telesa pri jeho rotačnom pohybe podľa daného zákona možno najskôr nájsť zrýchlenie A a potom ho rozložiť na tangenciálne zrýchlenie a normálové zrýchlenie, ktorých modul

7.5. Spôsoby prenosu rotačného pohybu

V technike často vzniká potreba prenášať rotačný pohyb z jedného stroja na druhý (napríklad z elektromotora na obrábací stroj) alebo vo vnútri stroja z jednej rotujúcej časti na druhú. Mechanické zariadenia určené na prenos a transformáciu rotačného pohybu sa nazývajú prenosov.

Kapitola 8. Komplexný pohyb

8.1. Komplexný pohyb bodu

Príkladom komplexného pohybu bodu je:

a) čln (ak to berieme ako hmotný bod) plávajúci z jedného brehu rieky na druhý;

b) osoba kráčajúca po schodoch pohybujúceho sa eskalátora metra, ktorá tiež vykonáva zložitý pohyb vzhľadom na stacionárny oblúk tunela.

V zložitom pohybe teda bod, pohybujúci sa vzhľadom na nejaké pohybujúce sa hmotné médium, ktoré sa dohodneme nazývať pohyblivý referenčný systém, sa súčasne pohybuje spolu s týmto referenčným systémom vzhľadom na druhý referenčný systém, ktorý je bežne akceptovaný ako stacionárny.

Pohyb určitého bodu M vo vzťahu k pohyblivému referenčnému systému sa nazýva príbuzný. Pohyb pohyblivého referenčného systému spolu so všetkými bodmi hmotného prostredia, ktoré sú s ním spojené, vo vzťahu k stacionárnemu referenčnému systému pre bod M volal prenosný. Bodový pohyb M vo vzťahu k pevnej referenčnej sústave sa nazýva komplex, alebo absolútne.

Aby mohol pozorovateľ vidieť komplexný (absolútny) pohyb bodu, musí byť spojený s pevnou vzťažnou sústavou. Ak je pozorovateľ v pohybujúcej sa referenčnej sústave, potom vidí len relatívnu časť komplexného pohybu.

Predstavme si, že bod M sa nejaký čas posunul vzhľadom na pohyblivý súradnicový systém O 1 X 1 Y 1 z východiskovej pozície M 0 do polohy M 1 pozdĺž cesty M 0 M 1 (trajektórie relatívneho pohybu bodu) (obr. 8.1). Počas rovnakého času Δ t pohyblivý súradnicový systém O 1 X 1 Y 1 spolu so všetkými bodmi, ktoré sú s ním vždy spojené, a teda spolu s trajektóriou relatívneho pohybu bodu M pohyboval v pevnom súradnicovom systéme OXY na novú pozíciu:

Ryža. 8.1. Smerom k analýze pohybu komplexných bodov

Vydeľme obe strany tejto rovnosti časom pohybu Δ t:

a získajte geometrický súčet priemerných rýchlostí:

,

ktoré sú nasmerované pozdĺž zodpovedajúcich vektorov posunutia. Ak teraz prejdeme na limity v , dostaneme rovnicu

vyjadrujúci veta o pridávaní rýchlosti: pri komplexnom pohybe bodu sa absolútna rýchlosť v každom časovom okamihu rovná geometrickému súčtu prenosných a relatívnych rýchlostí.

Ak je daný uhol, tak modul absolútnej rýchlosti

Uhly, ktoré zvierajú vektory absolútnej rýchlosti s vektormi a sú určené sínusovou vetou.

V konkrétnom prípade pri sčítaní týchto rýchlostí vznikne kosoštvorec (obr. 8.2, A) alebo rovnoramenný trojuholník (obr. 8.2, b) a preto

Ryža. 8.2. Špeciálny prípad

8.2. Rovinno-paralelný pohyb telesa

Pohyb tuhého telesa, pri ktorom sa všetky jeho body pohybujú v rovinách rovnobežných s niektorou pevnou rovinou, sa nazýva planparalelný (obr. 8.3).

Ryža. 8.3. Rovinnoparalelný pohyb tuhého telesa

Štúdium rovinnoparalelného pohybu telesa M, stačí uvažovať pohyb jeho plochej časti q lietadlo XOY(obr. 8.4).

Ryža. 8.4. K analýze planparalelného pohybu tuhého telesa

Vyberme v sekcii qľubovoľný bod A, ktorý nazývame stĺp. S tyčou A spojme nejakú priamku KL a v samotnom úseku pozdĺž priamky KL nakreslíme segment AB, posunutie rovinnej časti z polohy q do polohy q 1. Najprv ho môžete presunúť spolu s tyčou A translačne a potom sa otočiť o uhol φ .

Rovinnoparalelný pohyb telesa je zložitý pohyb a pozostáva z translačného pohybu s pólom a rotačného pohybu okolo pólu.

Zákon planparalelného pohybu možno špecifikovať tromi rovnicami:

Diferencovaním daných rovníc planparalelného pohybu je možné v každom časovom okamihu určiť rýchlosť a zrýchlenie pólu, ako aj uhlovú rýchlosť a uhlové zrýchlenie telesa.

Príklad 8.1. Nechajte pohyb valivého kolesa s priemerom d(obr. 8.5) je daný rovnicami

kde u – m, φ – rad, t- S.

Diferencovaním týchto rovníc zistíme, že pólová rýchlosť O uhlová rýchlosť kolesa Zrýchlenie pólu a uhlové zrýchlenie kolesa sú v tomto prípade rovné nule. Keď poznáte rýchlosť pólu a uhlovú rýchlosť tela, môžete určiť rýchlosť ľubovoľného bodu.

Ryža. 8.5. Napríklad 8.1

8.3. Určenie rýchlosti ľubovoľného bodu na tele

v planparalelnom pohybe

Nech je daný rovinný rez q, ktorých uhlová rýchlosť a pólová rýchlosť v určitom časovom bode a . Je potrebné určiť rýchlosť určitého bodu A(obr. 8.6).

Planparalelný pohyb rozdeľme na jeho zložky - translačný a rotačný. V translačnom pohybe spolu s pólom (prenosný pohyb), všetkými bodmi rezu a bodom A vrátane prenosnej rýchlosti rovnajúcej sa rýchlosti tyče. Súčasne s prekladovou sekciou q vykonáva rotačný pohyb s uhlovou rýchlosťou (relatívny pohyb):

kde je relatívna rýchlosť bodu A ().

Ryža. 8.6. Na určenie rýchlosti telesa pri rovinnoparalelnom pohybe

Preto v každom danom okamihu

to znamená, že absolútna rýchlosť bodu telesa počas planparalelného pohybu sa rovná geometrickému súčtu rýchlosti pólu a relatívnej rýchlosti tohto bodu okolo pólu.

Absolútny modul rýchlosti možno určiť podľa vzorca

a smer pomocou sínusovej vety. Ak je známy smer absolútnej rýchlosti, potom je jej veľkosť ľahšie určiť na základe nasledujúcej vety: priemety rýchlostí dvoch bodov tuhého telesa na priamku spájajúcu tieto body sú rovnaké.

Predpokladajme, že rýchlosti a body sú známe A A INľubovoľné teleso (obr. 8.7). Brať bod ako tyč A, dostaneme

Ryža. 8.7. Vektory rýchlosti bodov plochého útvaru

Relatívna rýchlosť je kolmá AB. Preto, resp . Veta bola dokázaná.

Kapitola 9. Neslobodné hnutie

hmotný bod

9.1. Základné pojmy a axiómy dynamiky

Dynamika študuje pohyb hmotných telies pod vplyvom síl. Dynamika je založená na nasledujúcich axiómach.

Axióma 1 (princíp zotrvačnosti). Akýkoľvek izolovaný hmotný bod je v stave pokoja alebo rovnomerného a priamočiareho pohybu, kým ho aplikované sily nevyvedú z tohto stavu.

Axióma 2 (základný zákon dynamiky). Zrýchlenie hmotného bodu je úmerné pôsobiacej sile F a smeruje pozdĺž priamky, pozdĺž ktorej táto sila pôsobí (obr. 9.1).

Ryža. 9.1. K základnému zákonu dynamiky

Matematicky je druhá axióma zapísaná ako vektorová rovnosť

Kde m– koeficient úmernosti, vyjadrujúci mieru zotrvačnosti hmotného bodu a nazývaný jeho omša.

V medzinárodnom systéme jednotiek (SI) sa hmotnosť vyjadruje v kilogramoch.

Vzťah medzi číselnými hodnotami (modulmi) síl a zrýchlením je vyjadrený rovnosťou

Všetky hmotné telesá v blízkosti Zeme sú ovplyvnené gravitáciou G. Pri voľnom páde na Zem nadobúdajú telesá akejkoľvek hmotnosti rovnaké zrýchlenie g ktorá sa volá zrýchlenie voľného pádu. Pre voľne padajúce teleso predchádzajúca rovnica naznačuje nasledujúci vzťah:

Hodnota gravitačnej sily telesa v newtonoch sa teda rovná súčinu jeho hmotnosti a gravitačného zrýchlenia.

Axióma 3 (zákon nezávislosti síl). Ak na hmotný bod pôsobí systém síl, potom každá zo síl systému udeľuje bodu rovnaké zrýchlenie, aké by udelila, keby pôsobila samostatne.

Hmotný bod, ktorého pohyb v priestore nie je obmedzený žiadnymi súvislosťami, sa nazýva zadarmo. Príkladom voľného hmotného bodu je umelý satelit Zeme v blízkozemskom priestore alebo lietajúce lietadlo. Ich pohyb v priestore nie je ničím obmedzený, takže pilot na športovom lietadle je schopný vykonávať rôzne zložité akrobacie.

Úlohy dynamiky sa delia na dve hlavné:

1) je špecifikovaný zákon pohybu bodu, je potrebné určiť silu alebo sústavu síl, ktoré naň pôsobia (prvý problém dynamiky);

2) je špecifikovaný systém síl pôsobiacich na bod, je potrebné určiť pohybový zákon (druhý problém dynamiky).

Oba problémy dynamiky sú riešené pomocou základného zákona dynamiky, zapísaného vo forme resp.

Hmotný bod, ktorého sloboda pohybu je obmedzená uloženými obmedzeniami, sa nazýva nie zadarmo. Príkladom nevoľného hmotného bodu je električka pohybujúca sa po koľajniciach, ak sa zanedbá jej tvar a veľkosť. Pre nevoľný materiálový bod musia byť všetky vonkajšie sily rozdelené do dvoch kategórií: aktívne (hnacie) sily a komunikačné reakcie (pasívne sily). V tomto ohľade sa prvý problém dynamiky nevoľného bodu redukuje na určenie reakcií spojení, ak sú dané zákony pohybu bodu a aktívnych síl, ktoré naň pôsobia. Druhá úloha dynamiky spočíva v poznaní aktívnych síl pôsobiacich na bod, určujúcich po prvé zákon pohybu bodu a po druhé reakcie súvislostí.

Ak je nevoľný hmotný bod oslobodený od spojení a spojenia sú nahradené ich reakciami, potom pohyb bodu možno považovať za voľný a základný zákon dynamiky môže mať nasledujúcu podobu:

,

kde sú aktívne sily;

– väzbové reakcie;

m– hmotnosť bodu;

– zrýchlenie bodu získané v dôsledku pôsobenia vonkajších síl (aktívnych a pasívnych).

9.3. Zotrvačné sily

Sila, ktorá sa číselne rovná súčinu hmotnosti hmotného bodu a zrýchlenia ním získaného a smerujúceho v smere opačnom k ​​zrýchleniu, sa nazýva zotrvačná sila (Obr. 9.3):

Ryža. 9.3. Zotrvačná sila

Sila zotrvačnosti v skutočnosti nepôsobí na zrýchlený hmotný bod, ale pôsobí na bod alebo teleso, ktoré tomuto bodu udeľuje zrýchlenie.

Vysvetlíme si to na niekoľkých príkladoch.

Ťažký náklad, ktorého hmotnosť m, visí na krehkom, ale dokáže vydržať napätie R = G závity (obr. 9.4, A). Ak teraz niť prudko potiahnete zvisle nahor, môže sa pretrhnúť (obr. 9.4, b). Na závit začne pôsobiť dodatočná sila zotrvačnosti, ktorá sa číselne rovná , ktorá pôsobí proti uvoľneniu záťaže zo stavu zotrvačnosti (obr. 9.4, Obr. V). Niť sa môže pretrhnúť aj vtedy, ak zatlačíte zavesené bremeno vodorovne, čo spôsobí, že sa kýva na nite (obr. 9.4, G).

Pri krivočiarom pohybe hmotného bodu (obr. 9.5) dochádza k zrýchleniu, ktoré je zvyčajne nahradené dvoma zložkami zrýchlenia: (normálne zrýchlenie) a (tangenciálne zrýchlenie). Preto pri krivočiarom pohybe hmotného bodu vznikajú dve zložky zotrvačnej sily: normálna (aka odstredivá) zotrvačná sila

A tangenciálna (alias tangenciálna) zotrvačná sila

a B C d

Ryža. 9.4. K rozboru pôsobenia zotrvačných síl

Ryža. 9.5. Vektory zrýchlení a zotrvačných síl

9.4. d'Alembertov princíp

Zotrvačné sily sa široko používajú pri výpočtoch a riešení technických problémov a použitie zotrvačných síl umožňuje riešenie mnohých problémov, v ktorých sa pohyb bodu voľného materiálu považuje za redukovaný na známe statické rovnice:

Konvenčným použitím sily zotrvačnosti na pohybujúci sa hmotný bod môžeme predpokladať, že aktívne sily, reakcie spojov a sila zotrvačnosti tvoria vyvážený systém ( d'Alembertov princíp).

Riešenie dynamických problémov pomocou d'Alembertovho princípu sa niekedy nazýva kinetostatickou metódou.

Kapitola 10. Práca a sila

• Charakteristické znaky tohto pohybu sú obsiahnuté v jeho názve: rovnomerný znamená s rýchlostnou konštantou v absolútnej hodnote (u = const), nekruhový znamená, že trajektóriou je kruh.

Rovnomerný pohyb po kruhu

Doteraz sme študovali pohyby s neustálym zrýchľovaním. Častejšie sa však vyskytujú prípady, keď sa zrýchlenie mení.

Najprv zvážime najjednoduchší pohyb s premenlivým zrýchlením, keď sa modul zrýchlenia nemení. Takýmto pohybom je najmä rovnomerný pohyb bodu po kružnici: v rovnakom časovom úseku prechádza bod oblúkom rovnakej dĺžky. V tomto prípade sa rýchlosť telesa (bodu) nemení čo do veľkosti, ale mení sa iba smer.

Priemerné zrýchlenie

Nech bod v čase t zaberá polohu A na kružnici a po krátkom časovom intervale Δt - polohu A 1 (obr. 1.82, a). Označme rýchlosť bodu v týchto polohách a 1. Pri rovnomernom pohybe v 1 = v.

Ryža. 1,82

Aby sme našli okamžité zrýchlenie, najprv nájdeme priemerné zrýchlenie bodu. Zmena rýchlosti v čase Δt sa rovná Δ a = 1 - (pozri obr. 1.82, a).

Podľa definície je priemerné zrýchlenie

Dostredivé zrýchlenie

Problém hľadania okamžitého zrýchlenia rozdelíme na dve časti: najprv nájdeme akceleračný modul a potom jeho smer. Počas času Δt sa bod A bude pohybovať = Δ.

Uvažujme trojuholníky OAA 1 a A 1 SV (pozri obr. 1.82, a). Uhly vo vrcholoch týchto rovnoramenných trojuholníkov sú rovnaké, pretože zodpovedajúce strany sú kolmé. Preto sú trojuholníky podobné. teda

Vydelením oboch strán rovnosti Δt sa dostaneme k limitu, pretože časový interval má tendenciu Δt -» 0:

Limit na ľavej strane rovnosti je modul okamžitého zrýchlenia a limit na pravej strane rovnosti je modul okamžitej rýchlosti bodu. Preto rovnosť (1.26.1) bude mať podobu:

Je zrejmé, že modul zrýchlenia pre rovnomerný pohyb bodu po kružnici je konštantná hodnota, keďže v a r sa počas pohybu nemenia.

Smer zrýchlenia

Poďme nájsť smer zrýchlenia. Z trojuholníka A 1 CB vyplýva, že priemerný vektor zrýchlenia zviera s vektorom rýchlosti uhol β =. Ale keď Δt -> O, bod A 1 sa blíži k bodu A nekonečne blízko a uhol α -» 0. V dôsledku toho vektor okamžitého zrýchlenia zviera uhol s vektorom rýchlosti

To znamená, že vektor okamžitého zrýchlenia a smeruje k stredu kruhu (obr. 1.82, b). Preto sa toto zrýchlenie nazýva dostredivé (alebo normálne 1).

Dostredivé zrýchlenie na karuseli a v urýchľovači častíc

Odhadnime zrýchlenie človeka na kolotoči. Rýchlosť stoličky, v ktorej človek sedí, je 3-5 m/s. Pri polomere karuselu asi 5 m je dostredivé zrýchlenie a = ≈ 2-5 m/s 2 . Táto hodnota je dosť blízka gravitačnému zrýchleniu 9,8 m/s 2 .

Ale v urýchľovačoch častíc sa rýchlosť celkom približuje rýchlosti svetla 3 10 8 m/s. Častice sa pohybujú po kruhovej dráhe s polomerom stoviek metrov. V tomto prípade dostredivé zrýchlenie dosahuje obrovské hodnoty: 10 14 -10 15 m/s 2. To je 10 13 -10 14 krát väčšie ako gravitačné zrýchlenie.

Bod pohybujúci sa rovnomerne po kružnici má konštantné zrýchlenie a = , smerujúce radiálne do stredu kružnice (kolmo na rýchlosť). Preto sa toto zrýchlenie nazýva dostredivé alebo normálne. Zrýchlenie a počas pohybu plynule mení smer (pozri obr. 1.82, b). To znamená, že rovnomerný pohyb bodu po kružnici je pohyb s premenlivým zrýchlením.

1 Z latinského slova normalis – rovný. Normálou na zakrivenú čiaru v danom bode je priamka prechádzajúca týmto bodom kolmá na dotyčnicu vedenú cez ten istý bod.

Rovnomerný pohyb po kruhu- toto je najjednoduchší príklad. Napríklad koniec hodinovej ručičky sa pohybuje v kruhu okolo ciferníka. Rýchlosť pohybu telesa po kružnici sa nazýva lineárna rýchlosť.

Pri rovnomernom pohybe telesa po kružnici sa modul rýchlosti telesa v čase nemení, teda v = konštanta a mení sa len smer vektora rýchlosti, v tomto prípade nedochádza k žiadnej zmene (a r = 0), a zmenu vektora rýchlosti v smere charakterizuje veličina tzv dostredivé zrýchlenie() a n alebo CS. V každom bode je vektor dostredivého zrýchlenia nasmerovaný do stredu kruhu pozdĺž polomeru.

Modul dostredivého zrýchlenia sa rovná

a CS =v2/R

Kde v je lineárna rýchlosť, R je polomer kruhu

Ryža. 1.22. Pohyb telesa v kruhu.

Pri opise pohybu telesa v kruhu používame polomer uhla natočenia– uhol φ, o ktorý sa za čas t otočí polomer vytýčený zo stredu kružnice do bodu, v ktorom sa v danom momente nachádza pohybujúce sa teleso. Uhol natočenia sa meria v radiánoch. rovný uhlu medzi dvoma polomermi kružnice, pričom dĺžka oblúka medzi ktorými sa rovná polomeru kružnice (obr. 1.23). To znamená, že ak l = R, potom

1 radián = l / R

Pretože obvod rovná

l = 2πR

360 o = 2πR / R = 2π rad.

Preto

1 rad. = 57,2958 o = 57 o 18'

Uhlová rýchlosť rovnomerný pohyb telesa v kruhu je hodnota ω, ktorá sa rovná pomeru uhla natočenia polomeru φ k časovému úseku, počas ktorého sa toto otáčanie uskutoční:

ω = φ / t

Jednotkou merania uhlovej rýchlosti je radián za sekundu [rad/s]. Lineárny rýchlostný modul je určený pomerom dĺžky prejdenej dráhy l k časovému intervalu t:

v=l/t

Lineárna rýchlosť pri rovnomernom pohybe po kružnici smeruje po dotyčnici v danom bode kružnice. Keď sa bod pohybuje, dĺžka l oblúka kružnice, ktorú bod prejde, súvisí s uhlom rotácie φ podľa výrazu

l = Rφ

kde R je polomer kružnice.

Potom v prípade rovnomerného pohybu bodu sú lineárne a uhlové rýchlosti spojené vzťahom:

v = l / t = Rφ / t = Rω alebo v = Rω

Ryža. 1.23. Radian.

Obdobie obehu– toto je časový úsek T, počas ktorého teleso (bod) vykoná jednu otáčku po kružnici. Frekvencia– ide o prevrátenú hodnotu periódy otáčania – počet otáčok za jednotku času (za sekundu). Frekvencia obehu je označená písmenom n.

n = 1/T

Počas jednej periódy je uhol rotácie φ bodu rovný 2π rad, teda 2π = ωT, odkiaľ

T = 2π/ω

To znamená, že uhlová rýchlosť sa rovná

ω = 2π / T = 2πn

Dostredivé zrýchlenie možno vyjadriť periódou T a frekvenciou obehu n:

a CS = (4π2R)/T2 = 4π2Rn2