Proporționalitatea directă și graficul acesteia - Knowledge Hypermarket. Relații proporționale directe și inverse

Tipuri de dependență

Să ne uităm la încărcarea bateriei. Ca primă cantitate, să luăm timpul necesar pentru încărcare. A doua valoare este timpul în care va funcționa după încărcare. Cu cât încărcați bateria mai mult, cu atât va dura mai mult. Procesul va continua până când bateria este complet încărcată.

Dependența timpului de funcționare a bateriei de timpul în care este încărcată

Nota 1

Această dependență se numește Drept:

Pe măsură ce o valoare crește, la fel crește și a doua. Pe măsură ce o valoare scade, scade și a doua valoare.

Să ne uităm la un alt exemplu.

Cu cât un student citește mai multe cărți, cu atât va face mai puține greșeli în dictare. Sau cu cât te ridici mai sus în munți, cu atât presiunea atmosferică va fi mai mică.

Nota 2

Această dependență se numește verso:

Pe măsură ce o valoare crește, a doua scade. Pe măsură ce o valoare scade, a doua valoare crește.

Astfel, în caz dependență directă ambele cantități se modifică în mod egal (ambele cresc sau descresc), iar în cazul relatie inversa– invers (unul crește și celălalt scade, sau invers).

Determinarea dependențelor dintre cantități

Exemplul 1

Timpul necesar pentru a vizita un prieten este de $20$ minute. Dacă viteza (prima valoare) crește de $2$ ori, vom afla cum se schimbă timpul (a doua valoare) care va fi petrecut pe calea către un prieten.

Evident, timpul va scădea de $2$ ori.

Nota 3

Această dependență se numește proporţional:

De câte ori se modifică o cantitate, de câte ori se modifică a doua cantitate.

Exemplul 2

Pentru pâine de 2 USD în magazin trebuie să plătiți 80 de ruble. Dacă trebuie să cumpărați pâine de $4$ (cantitatea de pâine crește de $2$ ori), de câte ori mai mult va trebui să plătiți?

Evident, costul va crește și de 2$ ori. Avem un exemplu de dependență proporțională.

În ambele exemple, au fost luate în considerare dependențele proporționale. Dar în exemplul cu pâine, cantitățile se schimbă într-o direcție, prin urmare, dependența este Drept. Și în exemplul de a merge la casa unui prieten, relația dintre viteză și timp este verso. Astfel există relație direct proporționalăȘi relație invers proporțională.

Proporționalitate directă

Să luăm în considerare cantitățile proporționale de $2$: numărul de pâini și costul acestora. Pâine de 2$ să coste 80$ ruble. Dacă numărul de chifle crește de $4$ ori ($8$ chifle), costul lor total va fi de $320$ ruble.

Raportul dintre numărul de chifle: $\frac(8)(2)=4$.

Raportul costului bunului: $\frac(320)(80)=$4.

După cum puteți vedea, aceste relații sunt egale între ele:

$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.

Definiția 1

Se numește egalitatea a două rapoarte proporţie.

Cu o dependență direct proporțională, se obține o relație atunci când modificarea primei și a doua mărimi coincide:

$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.

Definiția 2

Cele două mărimi sunt numite direct proportional, dacă atunci când una dintre ele se modifică (crește sau scade), se modifică și cealaltă valoare (crește sau, respectiv, scade) cu aceeași valoare.

Exemplul 3

Mașina a parcurs $180$ km în $2$ ore. Găsiți timpul în care va acoperi de 2$ ori distanța cu aceeași viteză.

Soluţie.

Timpul este direct proporțional cu distanța:

$t=\frac(S)(v)$.

De câte ori va crește distanța, la o viteză constantă, cu aceeași valoare va crește timpul:

$\frac(2S)(v)=2t$;

$\frac(3S)(v)=3t$.

Mașina a parcurs $180$ km în $2$ ore

Mașina va parcurge $180 \cdot 2=360$ km - în $x$ ore

Cu cât mașina merge mai departe, cu atât o perioada mai lunga de timp va avea nevoie de el. În consecință, relația dintre cantități este direct proporțională.

Să facem o proporție:

$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;

$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;

Răspuns: Masina va avea nevoie de $4$ ore.

Proporționalitate inversă

Definiția 3

Soluţie.

Timpul este invers proporțional cu viteza:

$t=\frac(S)(v)$.

De câte ori crește viteza, cu aceeași cale, timpul scade cu aceeași cantitate:

$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;

$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.

Să scriem condiția problemei sub forma unui tabel:

Mașina a parcurs $60$ km - în $6$ ore

Mașina va parcurge $120$ km – în $x$ ore

Cu cât viteza mașinii este mai mare, cu atât va dura mai puțin timp. În consecință, relația dintre cantități este invers proporțională.

Să facem o proporție.

Deoarece proporționalitatea este inversă, a doua relație în proporție este inversată:

$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;

$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;

Răspuns: mașina va avea nevoie de $3$ ore.

Trikhleb Daniil, elev în clasa a VII-a

cunoașterea proporționalității directe și a coeficientului de proporționalitate directă (introducerea conceptului de coeficient unghiular”);

construirea unui grafic de proporționalitate directă;

considerare poziție relativă grafice de proporționalitate directă și funcții liniare cu coeficienți unghiulari identici.

Descarca:

Previzualizare:

Pentru a utiliza previzualizările prezentării, creați-vă un cont ( cont) Google și conectați-vă: https://accounts.google.com

Subtitrările diapozitivelor:

Proporționalitatea directă și graficul acesteia

Care este argumentul și valoarea unei funcții? Care variabilă se numește independentă sau dependentă? Ce este o funcție? REVIEW Care este domeniul unei funcții?

Metode pentru specificarea unei funcții. Analitic (folosind o formulă) Grafic (folosind un grafic) Tabular (folosind un tabel)

Graficul unei funcții este mulțimea tuturor punctelor planului de coordonate, ale căror abscise sunt egale cu valorile argumentului, iar ordonatele sunt valorile corespunzătoare ale funcției. PROGRAMUL FUNCȚIILOR

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

FINALIZAȚI SARCINA Construiți un grafic al funcției y = 2 x +1, unde 0 ≤ x ≤ 4. Faceți o masă. Folosind graficul, găsiți valoarea funcției la x=2,5. La ce valoare a argumentului valoarea funcției este egală cu 8?

Definiție Proporționalitatea directă este o funcție care poate fi specificată printr-o formulă de forma y = k x, unde x este o variabilă independentă, k este un număr diferit de zero. (k-coeficient de proporționalitate directă) Proporționalitate directă

8 Graficul proporționalității directe - o dreaptă care trece prin originea coordonatelor (punctul O(0,0)) Pentru a construi un grafic al funcției y= kx sunt suficiente două puncte, dintre care unul este O (0,0) Pentru k > 0, graficul este situat la sferturile de coordonate I și III. La k

Grafice ale funcţiilor de proporţionalitate directă y x k>0 k>0 k

Sarcină Determinați care dintre grafice arată funcția de proporționalitate directă.

Sarcină Determinați ce grafic al funcției este prezentat în figură. Alegeți o formulă dintre cele trei oferite.

Lucru oral. Poate graficul unei funcții dat de formula y = k x, unde k

Determinați care dintre punctele A(6,-2), B(-2,-10), C(1,-1), E(0,0) aparțin graficului proporționalității directe dat de formula y = 5x 1) A( 6;-2) -2 = 5  6 - 2 = 30 - incorect. Punctul A nu aparține graficului funcției y=5x. 2) B(-2;-10) -10 = 5  (-2) -10 = -10 - corect. Punctul B aparține graficului funcției y=5x. 3) C(1;-1) -1 = 5  1 -1 = 5 - incorect Punctul C nu aparține graficului funcției y=5x. 4) E (0;0) 0 = 5  0 0 = 0 - adevărat. Punctul E aparține graficului funcției y=5x

TEST 1 opțiunea 2 opțiunea nr. 1. Care dintre funcțiile date de formulă sunt direct proporționale? A. y = 5x B. y = x 2 /8 C. y = 7x(x-1) D . y = x+1 A. y = 3x 2 +5 B. y = 8/x C. y = 7(x + 9) D. y = 10x

nr. 2. Scrieți numerele de drepte y = kx, unde k > 0 1 opțiunea k

Numarul 3. Determinați care dintre puncte aparțin graficului proporționalității directe, dat de formula Y = -1 /3 X A (6 -2), B (-2 -10) 1 opțiunea C (1, -1), E (0,0). ) Opțiunea 2

y =5x y =10x III A VI și IV E 1 2 3 1 2 3 Nr. Răspuns corect Răspuns corect Nu.

Finalizați sarcina: Arătați schematic cum se află graficul funcției date de formulă: y =1,7 x y =-3,1 x y=0,9 x y=-2,3 x

SARCINA Din următoarele grafice, selectați numai grafice cu proporționalitate directă.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

Funcții y = 2x + 3 2. y = 6/ x 3. y = 2x 4. y = - 1,5x 5. y = - 5/ x 6. y = 5x 7. y = 2x – 5 8. y = - 0.3x 9. y = 3/ x 10. y = - x /3 + 1 Selectați funcții de forma y = k x (proporționalitate directă) și scrieți-le

Funcții de proporționalitate directă Y = 2x Y = -1,5x Y = 5x Y = -0,3x y x

y Funcții liniare care nu sunt funcții de proporționalitate directă 1) y = 2x + 3 2) y = 2x – 5 x -6 -4 -2 0 2 4 6 6 3 -3 -6 y = 2x + 3 y = 2x - 5

Tema pentru acasă: paragraful 15 p. 65-67, Nr. 307; nr. 308.

Să o repetăm ​​din nou. Ce lucruri noi ai învățat? Ce ai invatat? Ce ți s-a părut deosebit de dificil?

Mi-a plăcut lecția și subiectul este înțeles: mi-a plăcut lecția, dar încă nu înțeleg totul: nu mi-a plăcut lecția și subiectul nu este clar.

§ 129. Precizări preliminare.

O persoană se ocupă în mod constant cu o mare varietate de cantități. Un angajat și un muncitor încearcă să ajungă la serviciu până la o anumită oră, un pieton se grăbește să ajungă într-un anumit loc pe calea cea mai scurtă, un furnizor de încălzire cu abur este îngrijorat că temperatura din cazan crește încet, o directorul de afaceri face planuri pentru a reduce costul de producție etc.

S-ar putea da orice număr de astfel de exemple. Timp, distanță, temperatură, cost - toate acestea sunt cantități variate. În prima și a doua parte a acestei cărți, ne-am familiarizat cu câteva cantități deosebit de comune: suprafață, volum, greutate. Întâlnim multe cantități atunci când studiem fizica și alte științe.

Imaginați-vă că călătoriți într-un tren. Din când în când te uiți la ceas și observi cât timp ai fost pe drum. Spui, de exemplu, că au trecut 2, 3, 5, 10, 15 ore de când a plecat trenul tău etc. Aceste numere reprezintă perioade diferite de timp; ele se numesc valorile acestei mărimi (timp). Sau te uiți pe fereastră și urmărești stâlpii de drum pentru a vedea distanța pe care o parcurge trenul tău. Numerele 110, 111, 112, 113, 114 km clipesc în fața ta. Aceste numere reprezintă diferitele distanțe pe care le-a parcurs trenul de la punctul său de plecare. Se mai numesc si valori, de data aceasta de o magnitudine diferita (cale sau distanta intre doua puncte). Astfel, o cantitate, de exemplu timpul, distanța, temperatura, poate lua tot atâtea sensuri diferite.

Vă rugăm să rețineți că o persoană aproape niciodată nu ia în considerare o singură cantitate, ci întotdeauna o conectează cu alte cantități. Are de-a face cu doi, trei și un numar mare cantități Imaginează-ți că trebuie să ajungi la școală până la ora 9. Te uiți la ceas și vezi că ai 20 de minute. Apoi îți dai seama rapid dacă ar trebui să iei tramvaiul sau dacă poți merge la școală. După ce te gândești, te hotărăști să mergi pe jos. Observați că în timp ce vă gândiți, rezolvați o problemă. Această sarcină a devenit simplă și familiară, deoarece rezolvi astfel de probleme în fiecare zi. În ea ați comparat rapid mai multe cantități. Tu ai fost cel care te-ai uitat la ceas, ceea ce inseamna ca ai luat in calcul ora, apoi ti-ai imaginat mental distanta de la casa ta pana la scoala; În cele din urmă, ai comparat două valori: viteza pasului tău și viteza tramvaiului și ai concluzionat că într-un timp dat (20 de minute) vei avea timp să mergi. Din această exemplu simplu vezi că în practica noastră unele cantități sunt interconectate, adică depind una de alta

Capitolul doisprezece a vorbit despre relația cantităților omogene. De exemplu, dacă un segment are 12 m și celălalt are 4 m, atunci raportul acestor segmente va fi 12: 4.

Am spus că acesta este raportul a două mărimi omogene. Un alt mod de a spune acest lucru este că este raportul dintre două numere un singur nume.

Acum că suntem mai familiarizați cu cantitățile și am introdus conceptul de valoare a unei cantități, putem exprima definiția unui raport într-un mod nou. De fapt, când am luat în considerare două segmente de 12 m și 4 m, vorbeam despre o singură valoare - lungimea, iar 12 m și 4 m erau doar două sensuri diferite această valoare.

Prin urmare, în viitor, când vom începe să vorbim despre rapoarte, vom lua în considerare două valori ale unei cantități, iar raportul dintre o valoare a unei cantități și o altă valoare a aceleiași cantități va fi numit coeficient de împărțire a primei valori de a doua.

§ 130. Valorile sunt direct proporționale.

Să luăm în considerare o problemă a cărei condiție include două mărimi: distanța și timpul.

Sarcina 1. Un corp care se deplasează rectiliniu și uniform parcurge 12 cm în fiecare secundă Determinați distanța parcursă de corp în 2, 3, 4, ..., 10 secunde.

Să creăm un tabel care poate fi folosit pentru a urmări schimbările în timp și distanță.

Tabelul ne oferă posibilitatea de a compara aceste două serii de valori. Vedem din aceasta că atunci când valorile primei mărimi (timp) cresc treptat cu 2, 3,..., de 10 ori, atunci și valorile celei de-a doua mărimi (distanță) cresc și cu 2, 3, ..., 10 ori. Astfel, atunci când valorile unei cantități cresc de mai multe ori, valorile unei alte cantități cresc cu aceeași cantitate, iar când valorile unei cantități scad de mai multe ori, valorile unei alte cantități scad cu acelasi numar.

Să luăm acum în considerare o problemă care implică două astfel de cantități: cantitatea de materie și costul acesteia.

Sarcina 2. 15 m de țesătură costă 120 de ruble. Calculați costul acestei țesături pentru alte câteva cantități de metri indicate în tabel.

Folosind acest tabel, putem urmări modul în care costul unui produs crește treptat în funcție de creșterea cantității acestuia. În ciuda faptului că această problemă implică cantități complet diferite (în prima problemă - timp și distanță, iar aici - cantitatea de mărfuri și valoarea acesteia), totuși, mari asemănări pot fi găsite în comportamentul acestor cantități.

De fapt, în linia de sus a tabelului există numere care indică numărul de metri de țesătură sub fiecare dintre ele există un număr care exprimă costul cantității corespunzătoare de mărfuri; Chiar și o privire rapidă la acest tabel arată că numerele din partea de sus și de jos randul de jos crește ; la o examinare mai atentă a tabelului și la compararea coloanelor individuale, se descoperă că, în toate cazurile, valorile celei de-a doua cantități cresc de același număr de ori cu valorile primei creșteri, adică dacă valoarea prima cantitate crește, să zicem, de 10 ori, apoi valoarea celei de-a doua cantități a crescut și ea de 10 ori.

Dacă ne uităm prin tabel de la dreapta la stânga, vom constata că valorile indicate ale cantităților vor scădea de același număr de ori. În acest sens, există o asemănare necondiționată între prima sarcină și a doua.

Se numesc perechile de mărimi pe care le-am întâlnit în prima și a doua problemă direct proportional.

Astfel, dacă două mărimi sunt legate între ele în așa fel încât, pe măsură ce valoarea uneia dintre ele crește (scade) de mai multe ori, valoarea celeilalte crește (scade) cu aceeași cantitate, atunci astfel de mărimi se numesc direct proporționale. .

Se spune că asemenea cantități sunt legate între ele printr-o relație direct proporțională.

Există multe cantități similare găsite în natură și în viața din jurul nostru. Aici sunt cateva exemple:

1. Timp munca (zi, doua zile, trei zile etc.) si castigurile, primit în acest timp cu salariul zilnic.

2. Volum orice obiect dintr-un material omogen și greutate Acest obiect.

§ 131. Proprietatea mărimilor direct proporţionale.

Să luăm o problemă care implică următoarele două cantități: timp de lucru si castigurile. Dacă câștigurile zilnice sunt de 20 de ruble, atunci câștigurile pentru 2 zile vor fi de 40 de ruble etc. Cel mai convenabil este să creați un tabel în care un anumit număr de zile să corespundă unui anumit câștig.

Privind acest tabel, vedem că ambele cantități au luat 10 valori diferite. Fiecare valoare a primei valori corespunde unei anumite valori a celei de-a doua valori, de exemplu, 2 zile corespund la 40 de ruble; 5 zile corespund la 100 de ruble. În tabel, aceste numere sunt scrise unul sub celălalt.

Știm deja că, dacă două mărimi sunt direct proporționale, atunci fiecare dintre ele, în procesul schimbării sale, crește de câte ori crește cealaltă. Rezultă imediat de aici: dacă luăm raportul dintre oricare două valori ale primei cantități, atunci va fi egal cu raportul dintre cele două valori corespunzătoare ale celei de-a doua cantități. Într-adevăr:

De ce se întâmplă asta? Dar pentru că aceste valori sunt direct proporționale, adică atunci când una dintre ele (timpul) a crescut de 3 ori, atunci cealaltă (castigul) a crescut de 3 ori.

Prin urmare, am ajuns la următoarea concluzie: dacă luăm două valori ale primei mărimi și le împărțim una cu alta, apoi împărțim la una valorile corespunzătoare ale celei de-a doua mărimi, atunci în ambele cazuri vom obține același număr, adică aceeași relație. Aceasta înseamnă că cele două relații pe care le-am scris mai sus pot fi conectate cu un semn egal, i.e.

Fără îndoială că dacă am lua nu aceste relații, ci altele, și nu în ordinea aceea, ci în ordine opusă, am obține și egalitatea relațiilor. De fapt, vom lua în considerare valorile cantităților noastre de la stânga la dreapta și vom lua a treia și a noua valoare:

60:180 = 1 / 3 .

Deci putem scrie:

Acest lucru duce la următoarea concluzie: dacă două cantități sunt direct proporționale, atunci raportul dintre două valori luate în mod arbitrar ale primei cantități este egal cu raportul dintre cele două valori corespunzătoare ale celei de-a doua cantități.

§ 132. Formula de proporţionalitate directă.

Să facem un tabel cu costul diferitelor cantități de dulciuri, dacă 1 kg dintre ele costă 10,4 ruble.

Acum hai să o facem așa. Luați orice număr din a doua linie și împărțiți-l la numărul corespunzător din prima linie. De exemplu:

Vedeți că în coeficient se obține tot timpul același număr. În consecință, pentru o pereche dată de mărimi direct proporționale, câtul de împărțire a oricărei valori a unei mărimi la valoarea corespunzătoare a unei alte mărimi este un număr constant (adică, care nu se modifică). În exemplul nostru, acest coeficient este 10,4. Acest număr constant se numește factor de proporționalitate. În acest caz, exprimă prețul unei unități de măsură, adică un kilogram de mărfuri.

Cum se află sau se calculează coeficientul de proporționalitate? Pentru a face acest lucru, trebuie să luați orice valoare a unei cantități și să o împărțiți la valoarea corespunzătoare a celeilalte cantități.

Să notăm această valoare arbitrară a unei cantități cu literă la , și valoarea corespunzătoare a unei alte cantități - litera X , apoi coeficientul de proporționalitate (îl notăm LA) găsim prin împărțire:

În această egalitate la - divizibil, X - divizor și LA- cât, și întrucât, prin proprietatea împărțirii, dividendul este egal cu divizorul înmulțit cu cât, putem scrie:

y = K X

Egalitatea rezultată se numește formula de proporţionalitate directă. Folosind această formulă, putem calcula orice număr de valori ale uneia dintre mărimile direct proporționale dacă cunoaștem valorile corespunzătoare ale celeilalte mărimi și coeficientul de proporționalitate.

Exemplu. Din fizică știm acea greutate R a oricărui corp este egală cu greutatea sa specifică d , înmulțit cu volumul acestui corp V, adică R = d V.

Să luăm cinci bare de fier de diferite volume; știind gravitație specifică fier (7.8), putem calcula greutățile acestor semifabricate folosind formula:

R = 7,8 V.

Comparând această formulă cu formula la = LA X , noi vedem asta y = R, x = V, și coeficientul de proporționalitate LA= 7,8. Formula este aceeași, doar literele sunt diferite.

Folosind această formulă, să facem un tabel: lasă volumul primului gol să fie egal cu 8 metri cubi. cm, atunci greutatea sa este de 7,8 8 = 62,4 (g). Volumul celui de-al doilea semifabricat este de 27 de metri cubi. cm Greutatea sa este de 7,8 27 = 210,6 (g). Tabelul va arăta astfel:

Calculați numerele care lipsesc în acest tabel folosind formula R= d V.

§ 133. Alte metode de rezolvare a problemelor cu mărimi direct proporţionale.

În paragraful anterior, am rezolvat o problemă a cărei condiție includea mărimi direct proporționale. În acest scop, am derivat mai întâi formula de proporționalitate directă și apoi am aplicat această formulă. Acum vom arăta alte două moduri de a rezolva probleme similare.

Să creăm o problemă folosind datele numerice date în tabelul din paragraful anterior.

Sarcină. Blank cu un volum de 8 metri cubi. cm cântărește 62,4 g Cât va cântări un semifabricat cu un volum de 64 de metri cubi? cm?

Soluţie. Greutatea fierului, după cum se știe, este proporțională cu volumul său. Dacă 8 cu. cm cântăresc 62,4 g, apoi 1 cu. cm vor cântări de 8 ori mai puțin, adică

62,4:8 = 7,8 (g).

Blank cu un volum de 64 de metri cubi. cm va cântări de 64 de ori mai mult decât un blank de 1 metru cub. cm, adică

7,8 64 = 499,2(g).

Ne-am rezolvat problema reducându-ne la unitate. Semnificația acestui nume este justificată de faptul că pentru a-l rezolva a trebuit să găsim greutatea unei unități de volum în prima întrebare.

2. Metoda proporției. Să rezolvăm aceeași problemă folosind metoda proporției.

Deoarece greutatea fierului și volumul său sunt cantități direct proporționale, raportul dintre două valori ale unei cantități (volum) este egal cu raportul a două valori corespunzătoare ale unei alte cantități (greutate), adică

(scrisoare R am desemnat greutatea necunoscută a semifabricatului). De aici:

(G).

Problema a fost rezolvată folosind metoda proporțiilor. Aceasta înseamnă că pentru a o rezolva, a fost compilată o proporție din numerele incluse în condiție.

§ 134. Valorile sunt invers proporționale.

Luați în considerare următoarea problemă: „Cinci zidari pot adăuga pereti de caramida acasă în 168 de zile. Stabiliți în câte zile 10, 8, 6, etc zidari ar putea finaliza aceeași lucrare.”

Dacă 5 zidari au pus pereții unei case în 168 de zile, atunci (cu aceeași productivitate a muncii) 10 zidari ar putea face acest lucru în jumătate din timp, deoarece în medie 10 persoane lucrează de două ori mai mult decât 5 persoane.

Să întocmim un tabel prin care să putem monitoriza modificările numărului de muncitori și a orelor de lucru.

De exemplu, pentru a afla câte zile durează 6 lucrători, trebuie mai întâi să calculați câte zile este nevoie de un lucrător (168 5 = 840), apoi de câte zile durează șase lucrători (840: 6 = 140). Privind acest tabel, vedem că ambele cantități au luat șase valori diferite. Fiecare valoare a primei marimi corespunde uneia anume; valoarea celei de-a doua valori, de exemplu, 10 corespunde cu 84, numărul 8 corespunde numărului 105 etc.

Dacă luăm în considerare valorile ambelor cantități de la stânga la dreapta, vom vedea că valorile cantității superioare cresc, iar valorile cantității inferioare scad. Creșterea și scăderea sunt supuse următoarei legi: valorile numărului de lucrători cresc în același timp cu scăderea valorilor timpului de lucru petrecut. Această idee poate fi exprimată și mai simplu după cum urmează: cu cât lucrătorii sunt mai mulți angajați în orice sarcină, cu atât mai puțin timp au nevoie pentru a finaliza un anumit loc de muncă. Cele două mărimi pe care le-am întâlnit în această problemă se numesc invers proporțională.

Astfel, dacă două mărimi sunt legate între ele în așa fel încât, pe măsură ce valoarea uneia dintre ele crește (scade) de mai multe ori, valoarea celeilalte scade (crește) cu aceeași cantitate, atunci astfel de mărimi se numesc invers proporționale. .

Există multe cantități similare în viață. Să dăm exemple.

1. Dacă pentru 150 de ruble. Dacă trebuie să cumpărați mai multe kilograme de dulciuri, numărul de dulciuri va depinde de prețul unui kilogram. Cu cât prețul este mai mare, cu atât poți cumpăra mai puține bunuri cu acești bani; asta se vede din tabel:

Pe măsură ce prețul bomboanelor crește de mai multe ori, numărul de kilograme de bomboane care pot fi cumpărate pentru 150 de ruble scade cu aceeași cantitate. În acest caz, două cantități (greutatea produsului și prețul acestuia) sunt invers proporționale.

2. Dacă distanța dintre două orașe este de 1.200 km, atunci aceasta poate fi parcursă în timpi diferiți în funcție de viteza de deplasare. Exista căi diferite transport: pe jos, călare, cu bicicleta, cu barca, cu mașina, cu trenul, cu avionul. Cu cât viteza este mai mică, cu atât este nevoie de mai mult timp pentru deplasare. Acest lucru se poate observa din tabel:

Cu o creștere a vitezei de mai multe ori, timpul de călătorie scade cu aceeași cantitate. Aceasta înseamnă că în aceste condiții, viteza și timpul sunt mărimi invers proporționale.

§ 135. Proprietatea mărimilor invers proporționale.

Să luăm al doilea exemplu, la care ne-am uitat în paragraful anterior. Acolo ne-am ocupat de două cantități - viteza și timpul. Dacă ne uităm la tabelul de valori ale acestor mărimi de la stânga la dreapta, vom vedea că valorile primei mărimi (viteza) cresc, iar valorile celei de-a doua (timp) scad și viteza crește cu aceeași cantitate cu cât timpul scade. Nu este greu de înțeles că, dacă scrieți raportul dintre unele valori ale unei cantități, atunci acesta nu va fi egal cu raportul valorilor corespunzătoare unei alte cantități. De fapt, dacă luăm raportul dintre a patra valoare a valorii superioare și a șaptea valoare (40: 80), atunci nu va fi egal cu raportul dintre a patra și a șaptea valori ale valorii inferioare (30: 15). Se poate scrie asa:

40:80 nu este egal cu 30:15 sau 40:80 =/=30:15.

Dar dacă în loc de una dintre aceste relații luăm opusul, atunci obținem egalitate, adică din aceste relații va fi posibil să creăm o proporție. De exemplu:

80: 40 = 30: 15,

40: 80 = 15: 30."

Pe baza celor de mai sus, putem trage următoarea concluzie: dacă două cantități sunt invers proporționale, atunci raportul a două valori luate în mod arbitrar ale unei cantități este egal cu raportul invers al valorilor corespunzătoare unei alte cantități.

§ 136. Formula de proporţionalitate inversă.

Luați în considerare problema: „Există 6 bucăți de țesătură de mătase de diferite dimensiuni și soiuri diferite. Toate piesele costa la fel. O bucată conține 100 m de țesătură, la prețul de 20 de ruble. pe metru Câți metri sunt în fiecare dintre celelalte cinci bucăți, dacă un metru de material din aceste bucăți costă 25, 40, 50, 80, respectiv 100 de ruble?” Pentru a rezolva această problemă, să creăm un tabel:

Trebuie să completăm celulele goale din rândul de sus al acestui tabel. Să încercăm mai întâi să stabilim câți metri sunt în a doua piesă. Acest lucru se poate face după cum urmează. Din condițiile problemei se știe că costul tuturor pieselor este același. Costul primei piese este ușor de determinat: conține 100 de metri și fiecare metru costă 20 de ruble, ceea ce înseamnă că prima bucată de mătase valorează 2.000 de ruble. Deoarece a doua bucată de mătase conține aceeași cantitate de ruble, atunci, împărțind 2.000 de ruble. pentru prețul unui metru, adică 25, găsim dimensiunea celei de-a doua piese: 2.000: 25 = 80 (m). În același mod vom găsi dimensiunea tuturor celorlalte piese. Tabelul va arăta astfel:

Este ușor de observat că există o relație invers proporțională între numărul de metri și preț.

Dacă faci singur calculele necesare, vei observa că de fiecare dată trebuie să împărțiți numărul 2.000 la prețul de 1 m Dimpotrivă, dacă începi acum să înmulți dimensiunea piesei în metri cu prețul de 1 m , veți obține întotdeauna numărul 2.000 Acest lucru și a fost necesar să așteptați, deoarece fiecare piesă costă 2.000 de ruble.

De aici putem trage următoarea concluzie: pentru o pereche dată de mărimi invers proporționale, produsul oricărei valori a unei mărimi cu valoarea corespunzătoare a unei alte mărimi este un număr constant (adică, care nu se modifică).

În problema noastră, acest produs este egal cu 2.000 Verificați că în problema anterioară, care vorbea despre viteza de mișcare și timpul necesar pentru a trece dintr-un oraș în altul, a existat și un număr constant pentru acea problemă (1.200).

Ținând cont de totul, este ușor să se obțină formula de proporționalitate inversă. Să notăm cu literă o anumită valoare a unei cantități X , iar valoarea corespunzătoare a unei alte cantități este reprezentată de litera la . Apoi, pe baza celor de mai sus, lucrarea X pe la trebuie să fie egală cu o valoare constantă, pe care o notăm cu literă LA, adică

X y = LA.

În această egalitate X - multiplicand la - multiplicator și K- muncă. Conform proprietății înmulțirii, multiplicatorul este egal cu produsul împărțit la multiplicand. Mijloace,

Aceasta este formula de proporționalitate inversă. Folosind-o, putem calcula orice număr de valori ale uneia dintre mărimile invers proporționale, cunoscând valorile celeilalte și numărul constant LA.

Să luăm în considerare o altă problemă: „Autorul unui eseu a calculat că, dacă cartea lui este într-un format obișnuit, atunci va avea 96 de pagini, dar dacă este un format de buzunar, atunci va avea 300 de pagini. El a încercat diferite variante, a început cu 96 de pagini, iar apoi a avut 2.500 de litere pe pagină. Apoi a luat numerele paginilor afișate în tabelul de mai jos și a calculat din nou câte litere ar fi pe pagină.”

Să încercăm să calculăm câte litere vor fi pe o pagină dacă cartea are 100 de pagini.

Există 240.000 de litere în întreaga carte, deoarece 2.500 96 = 240.000.

Ținând cont de acest lucru, folosim formula de proporționalitate inversă ( la - numărul de litere de pe pagină, X - număr de pagini):

În exemplul nostru LA= 240.000 deci

Deci sunt 2.400 de litere pe pagină.

În mod similar, aflăm că dacă o carte are 120 de pagini, atunci numărul de litere de pe pagină va fi:

Tabelul nostru va arăta astfel:

Completați singuri celulele rămase.

§ 137. Alte metode de rezolvare a problemelor cu marimi invers proportionale.

În paragraful anterior, am rezolvat probleme ale căror condiții includeau mărimi invers proporționale. Am derivat mai întâi formula de proporționalitate inversă și apoi am aplicat această formulă. Vom arăta acum alte două soluții pentru astfel de probleme.

1. Metoda reducerii la unitate.

Sarcină. 5 strungari pot lucra în 16 zile. În câte zile pot finaliza această lucrare 8 strunjitori?

Soluţie. Există o relație inversă între numărul de strunjitori și orele de lucru. Dacă 5 strungăritori fac treaba în 16 zile, atunci o persoană va avea nevoie de 5 ori mai mult timp pentru aceasta, adică.

5 strungari finalizează lucrarea în 16 zile,

1 strungar îl va finaliza în 16 5 = 80 de zile.

Problema se întreabă câte zile vor dura 8 strunjitori pentru a finaliza lucrarea. Evident, vor face față muncii de 8 ori mai repede decât 1 strunjător, adică în

80: 8 = 10 (zile).

Aceasta este soluția problemei prin reducerea ei la unitate. Aici a fost necesar în primul rând să se determine timpul necesar pentru finalizarea lucrării de către un singur muncitor.

2. Metoda proporției. Să rezolvăm aceeași problemă în al doilea mod.

Întrucât există o relație invers proporțională între numărul de muncitori și timpul de lucru, putem scrie: durata de lucru a 5 strunchieri număr nou de strunjitori (8) durata de lucru a 8 strunjitori numărul anterior de strunjitori (5) Să notăm durata necesară de lucru prin scrisoare X și înlocuiți numerele necesare în proporția exprimată în cuvinte:

Aceeași problemă este rezolvată prin metoda proporțiilor. Pentru a o rezolva, a trebuit să creăm o proporție din numerele incluse în enunțul problemei.

Notă.În paragrafele precedente am examinat problema proporționalității directe și inverse. Natura și viața ne oferă multe exemple de dependență directă și invers proporțională a cantităților. Cu toate acestea, trebuie remarcat faptul că aceste două tipuri de dependență sunt doar cele mai simple. Alături de acestea, există și alte dependențe, mai complexe, între cantități. În plus, nu ar trebui să ne gândim că, dacă oricare două cantități cresc simultan, atunci există neapărat o proporționalitate directă între ele. Acest lucru este departe de a fi adevărat. De exemplu, taxe pentru calea ferata crește în funcție de distanță: cu cât călătorim mai departe, cu atât plătim mai mult, dar asta nu înseamnă că plata este proporțională cu distanța.

Exemplu

Factorul de proporționalitate

Se numește o relație constantă de mărimi proporționale factor de proporționalitate. Coeficientul de proporționalitate arată câte unități dintr-o cantitate sunt pe unitatea alteia.

Proporționalitate directă

Proporționalitate directă- dependenta functionala, in care o anumita cantitate depinde de o alta marime in asa fel incat raportul acestora sa ramana constant. Cu alte cuvinte, aceste variabile se schimbă proporţional, în părți egale, adică dacă argumentul se schimbă de două ori în orice direcție, atunci și funcția se schimbă de două ori în aceeași direcție.

Matematic, proporționalitatea directă este scrisă ca o formulă:

f(X) = AX,A = const

Proporționalitate inversă

Proporționalitate inversă- aceasta este o dependență funcțională, în care o creștere a valorii independente (argumentului) determină o scădere proporțională a valorii dependente (funcției).

Matematic, proporționalitatea inversă se scrie sub formă de formulă:

Proprietățile funcției:

Surse

Fundația Wikimedia. 2010.