Logaritmii și proprietățile lor. Logaritm. Definiția logaritmului binar, logaritmului natural, logaritmului zecimal; funcția exponențială exp(x), numărul e. Log, Ln. Formule de puteri și logaritmi. Folosind logaritm, decibeli

Logaritmul unui număr b la baza a este exponentul la care trebuie ridicat numărul a pentru a obține numărul b.

Daca atunci.

Logaritm - extrem mărime matematică importantă, întrucât calculul logaritmic permite nu numai rezolvarea ecuațiilor exponențiale, ci și operarea cu exponenți, diferențierea funcțiilor exponențiale și logaritmice, integrându-le și conducându-le la o formă mai acceptabilă de calculat.

In contact cu

Toate proprietățile logaritmilor sunt direct legate de proprietăți funcții exponențiale. De exemplu, faptul că înseamnă că:

Trebuie remarcat faptul că, atunci când se rezolvă probleme specifice, proprietățile logaritmilor se pot dovedi a fi mai importante și mai utile decât regulile de lucru cu puteri.

Să prezentăm câteva identități:

Iată expresiile algebrice de bază:

;

Atenţie! poate exista doar pentru x>0, x≠1, y>0.

Să încercăm să înțelegem întrebarea ce sunt logaritmii naturali. Interes deosebit pentru matematică reprezintă două tipuri- primul are ca bază numărul „10” și se numește „logaritm zecimal”. Al doilea se numește natural. Baza logaritmului natural este numărul „e”. Despre asta vom vorbi în detaliu în acest articol.

Denumiri:

lg x - zecimală;
ln x - natural.

Folosind identitatea, putem observa că ln e = 1, precum și faptul că lg 10=1.

Graficul logaritmului natural

Să construim un grafic al logaritmului natural folosind standardul în mod clasic prin puncte. Dacă doriți, puteți verifica dacă construim corect funcția examinând funcția. Cu toate acestea, are sens să înveți cum să-l construiești „manual” pentru a ști cum să calculezi corect logaritmul.

Funcția: y = ln x. Să scriem un tabel de puncte prin care va trece graficul:

Să explicăm de ce am ales aceste valori particulare ale argumentului x. Totul tine de identitate: . Pentru logaritmul natural, această identitate va arăta astfel:

Pentru comoditate, putem lua cinci puncte de referință:

;

Astfel, calcularea logaritmilor naturali este o sarcină destul de simplă în plus, simplifică calculele operațiilor cu puteri, transformându-le în; înmulțire obișnuită.

Prin trasarea unui grafic punct cu punct, obținem un grafic aproximativ:

Domeniul de definire a logaritmului natural (adică toate valori valide argumentul X) - toate numerele sunt mai mari decât zero.

Atenţie! Domeniul de definire al logaritmului natural include doar numere pozitive! Sfera definiției nu include x=0. Acest lucru este imposibil pe baza condițiilor de existență a logaritmului.

Gama de valori (adică toate valorile valide ale funcției y = ln x) sunt toate numerele din interval.

Limită naturală a jurnalului

Studiind graficul, apare întrebarea - cum se comportă funcția la y<0.

În mod evident, graficul funcției tinde să traverseze axa y, dar nu va putea face acest lucru, deoarece logaritmul natural al lui x<0 не существует.

Limita naturalului Buturuga poate fi scris astfel:

Formula pentru înlocuirea bazei unui logaritm

A face față unui logaritm natural este mult mai ușor decât a face față unui logaritm care are o bază arbitrară. De aceea vom încerca să învățăm cum să reducem orice logaritm la unul natural sau să-l exprimăm la o bază arbitrară prin logaritmi naturali.

Să începem cu identitatea logaritmică:

Atunci orice număr sau variabilă y poate fi reprezentată ca:

unde x este orice număr (pozitiv conform proprietăților logaritmului).

Această expresie poate fi luată logaritmic pe ambele părți. Să facem asta folosind o bază arbitrară z:

Să folosim proprietatea (doar în loc de „c” avem expresia):

De aici obținem formula universală:

În special, dacă z=e, atunci:

Am putut reprezenta un logaritm la o bază arbitrară prin raportul a doi logaritmi naturali.

Rezolvăm probleme

Pentru a înțelege mai bine logaritmii naturali, să ne uităm la exemple de mai multe probleme.

Problema 1. Este necesar să se rezolve ecuația ln x = 3.

Soluţie: Folosind definiția logaritmului: dacă , atunci , obținem:

Problema 2. Rezolvați ecuația (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Soluție: Folosind definiția logaritmului: dacă , atunci , obținem:

Să folosim din nou definiția unui logaritm:

Prin urmare:

Puteți calcula aproximativ răspunsul sau îl puteți lăsa în acest formular.

Sarcina 3. Rezolvați ecuația.

Soluţie: Să facem o înlocuire: t = ln x. Atunci ecuația va lua următoarea formă:

Avem o ecuație pătratică. Să-i găsim discriminantul:

Prima rădăcină a ecuației:

A doua rădăcină a ecuației:

Reținând că am făcut substituția t = ln x, obținem:

În statistică și teoria probabilității se găsesc foarte des mărimile logaritmice. Acest lucru nu este surprinzător, deoarece numărul e reflectă adesea rata de creștere a cantităților exponențiale.

În informatică, programare și teoria calculatoarelor, logaritmii sunt întâlniți destul de des, de exemplu, pentru a stoca N biți în memorie.

În teoriile fractalilor și dimensiunilor, logaritmii sunt utilizați în mod constant, deoarece dimensiunile fractalilor sunt determinate numai cu ajutorul lor.

În mecanică și fizică Nu există nicio secțiune în care logaritmii nu au fost utilizați. Distribuția barometrică, toate principiile termodinamicii statistice, ecuația Tsiolkovsky etc. sunt procese care pot fi descrise matematic numai folosind logaritmi.

În chimie, logaritmii sunt utilizați în ecuațiile Nernst și descrierile proceselor redox.

În mod uimitor, chiar și în muzică, pentru a afla numărul de părți ale unei octave, se folosesc logaritmi.

Logaritmul natural Funcția y=ln x proprietățile sale

Dovada proprietății principale a logaritmului natural

Continuăm să studiem logaritmii. În acest articol vom vorbi despre calcularea logaritmilor, acest proces se numește logaritm. Mai întâi vom înțelege calculul logaritmilor prin definiție. În continuare, să vedem cum sunt găsite valorile logaritmilor folosind proprietățile lor. După aceasta, ne vom concentra pe calcularea logaritmilor prin valorile specificate inițial ale altor logaritmi. În cele din urmă, să învățăm cum să folosim tabelele logaritmice. Întreaga teorie este furnizată cu exemple cu soluții detaliate.

Navigare în pagină.

Calcularea logaritmilor prin definiție

În cele mai simple cazuri, este posibil să efectuați destul de repede și ușor găsirea logaritmului prin definiție. Să aruncăm o privire mai atentă asupra modului în care se întâmplă acest proces.

Esența sa este de a reprezenta numărul b sub forma a c, din care, prin definiția unui logaritm, numărul c este valoarea logaritmului. Adică, prin definiție, următorul lanț de egalități corespunde găsirii logaritmului: log a b=log a a c =c.

Deci, calcularea unui logaritm prin definiție se reduce la găsirea unui număr c astfel încât a c = b, iar numărul c însuși este valoarea dorită a logaritmului.

Ținând cont de informațiile din paragrafele anterioare, atunci când numărul de sub semnul logaritmului este dat de o anumită putere a bazei logaritmului, puteți indica imediat cu ce este egal logaritmul - este egal cu exponentul. Să arătăm soluții la exemple.

Exemplu.

Găsiți log 2 2 −3 și, de asemenea, calculați logaritmul natural al numărului e 5,3.

Soluţie.

Definiția logaritmului ne permite să spunem imediat că log 2 2 −3 =−3. Într-adevăr, numărul de sub semnul logaritmului este egal cu baza 2 cu puterea -3.

În mod similar, găsim al doilea logaritm: lne 5.3 =5.3.

Răspuns:

log 2 2 −3 =−3 și lne 5,3 =5,3.

Dacă numărul b sub semnul logaritmului nu este specificat ca putere a bazei logaritmului, atunci trebuie să vă uitați cu atenție pentru a vedea dacă este posibil să veniți cu o reprezentare a numărului b sub forma a c . Adesea, această reprezentare este destul de evidentă, mai ales când numărul de sub semnul logaritmului este egal cu baza cu puterea lui 1, sau 2, sau 3, ...

Exemplu.

Calculați logaritmii log 5 25 și .

Soluţie.

Este ușor de observat că 25=5 2, aceasta vă permite să calculați primul logaritm: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Să trecem la calculul celui de-al doilea logaritm. Numărul poate fi reprezentat ca o putere a lui 7: (vezi dacă este necesar). Prin urmare, .

Să rescriem al treilea logaritm în forma următoare. Acum poți vedea asta , din care tragem concluzia că . Prin urmare, prin definiția logaritmului .

Pe scurt, soluția ar putea fi scrisă astfel: .

Răspuns:

log 5 25=2 , Și .

Când există un număr natural suficient de mare sub semnul logaritmului, nu strica să-l factorizezi în factori primi. Adesea ajută să reprezentați un astfel de număr ca o putere a bazei logaritmului și, prin urmare, să calculați acest logaritm prin definiție.

Exemplu.

Aflați valoarea logaritmului.

Soluţie.

Unele proprietăți ale logaritmilor vă permit să specificați imediat valoarea logaritmilor. Aceste proprietăți includ proprietatea logaritmului lui unu și proprietatea logaritmului unui număr egal cu baza: log 1 1=log a a 0 =0 și log a a=log a a 1 =1. Adică, atunci când sub semnul logaritmului există un număr 1 sau un număr a egal cu baza logaritmului, atunci în aceste cazuri logaritmii sunt egali cu 0 și, respectiv, 1.

Exemplu.

Cu ce sunt egali logaritmii și log10?

Soluţie.

Deoarece , atunci din definiția logaritmului rezultă .

În al doilea exemplu, numărul 10 de sub semnul logaritmului coincide cu baza sa, deci logaritmul zecimal de zece este egal cu unu, adică lg10=lg10 1 =1.

Răspuns:

ȘI lg10=1.

Rețineți că calculul logaritmilor prin definiție (pe care am discutat în paragraful anterior) implică utilizarea logaritmului de egalitate a a p =p, care este una dintre proprietățile logaritmilor.

În practică, atunci când un număr sub semnul logaritmului și baza logaritmului sunt ușor de reprezentat ca o putere a unui anumit număr, este foarte convenabil să folosiți formula , care corespunde uneia dintre proprietățile logaritmilor. Să ne uităm la un exemplu de găsire a unui logaritm care ilustrează utilizarea acestei formule.

Exemplu.

Calculați logaritmul.

Soluţie.

Răspuns:

Proprietățile logaritmilor nemenționați mai sus sunt și ele folosite în calcule, dar despre asta vom vorbi în paragrafele următoare.

Găsirea logaritmilor prin alți logaritmi cunoscuți

Informațiile din acest paragraf continuă subiectul utilizării proprietăților logaritmilor la calcularea acestora. Dar aici principala diferență este că proprietățile logaritmilor sunt folosite pentru a exprima logaritmul original în termenii unui alt logaritm, a cărui valoare este cunoscută. Să dăm un exemplu pentru clarificare. Să presupunem că știm că log 2 3≈1.584963, atunci putem găsi, de exemplu, log 2 6 făcând o mică transformare folosind proprietățile logaritmului: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

În exemplul de mai sus, a fost suficient să folosim proprietatea logaritmului unui produs. Cu toate acestea, mult mai des este necesar să se folosească un arsenal mai larg de proprietăți ale logaritmilor pentru a calcula logaritmul original prin cei date.

Exemplu.

Calculați logaritmul de la 27 la baza 60 dacă știți că log 60 2=a și log 60 5=b.

Soluţie.

Deci trebuie să găsim log 60 27 . Este ușor de observat că 27 = 3 3 , iar logaritmul inițial, datorită proprietății logaritmului puterii, poate fi rescris ca 3·log 60 3 .

Acum să vedem cum să exprimăm log 60 3 în termeni de logaritmi cunoscuți. Proprietatea logaritmului unui număr egal cu baza ne permite să scriem logaritmul de egalitate 60 60=1. Pe de altă parte, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Prin urmare, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Prin urmare, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

În cele din urmă, calculăm logaritmul original: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Răspuns:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Separat, merită menționat sensul formulei de tranziție la o nouă bază a logaritmului formei . Vă permite să treceți de la logaritmi cu orice bază la logaritmi cu o anumită bază, ale căror valori sunt cunoscute sau este posibil să le găsiți. De obicei, din logaritmul original, folosind formula de tranziție, se trec la logaritmi într-una dintre bazele 2, e sau 10, deoarece pentru aceste baze există tabele de logaritmi care permit ca valorile lor să fie calculate cu un anumit grad de precizie. În paragraful următor vom arăta cum se face acest lucru.

Tabelele logaritmice și utilizările lor

Pentru calcularea aproximativă a valorilor logaritmului pot fi utilizate tabele logaritmice. Cel mai frecvent utilizat tabel logaritm de bază 2, tabel logaritm natural și tabel logaritm zecimal. Când lucrați în sistemul numeric zecimal, este convenabil să utilizați un tabel de logaritmi bazat pe baza zece. Cu ajutorul lui vom învăța să găsim valorile logaritmilor.

Tabelul prezentat vă permite să găsiți valorile logaritmilor zecimali ale numerelor de la 1.000 la 9.999 (cu trei zecimale) cu o precizie de o zecemiime. Vom analiza principiul găsirii valorii unui logaritm folosind un tabel de logaritmi zecimali folosind un exemplu specific - este mai clar în acest fel. Să găsim log1.256.

În coloana din stânga a tabelului de logaritmi zecimal găsim primele două cifre ale numărului 1,256, adică găsim 1,2 (acest număr este încercuit cu albastru pentru claritate). A treia cifră a numărului 1.256 (cifra 5) se găsește în prima sau ultima linie din stânga liniei duble (acest număr este încercuit cu roșu). A patra cifră a numărului original 1.256 (cifra 6) se găsește în prima sau ultima linie din dreapta liniei duble (acest număr este încercuit cu o linie verde). Acum găsim numerele în celulele tabelului de logaritm la intersecția rândului marcat și coloanelor marcate (aceste numere sunt evidențiate în portocaliu). Suma numerelor marcate dă valoarea dorită a logaritmului zecimal cu precizie la a patra zecimală, adică log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Este posibil, folosind tabelul de mai sus, să găsiți valorile logaritmilor zecimali ale numerelor care au mai mult de trei cifre după virgulă zecimală, precum și ale celor care depășesc intervalul de la 1 la 9,999? Da, poti. Să arătăm cum se face acest lucru cu un exemplu.

Să calculăm lg102.76332. Mai întâi trebuie să scrieți număr în formă standard: 102,76332=1,0276332·10 2. După aceasta, mantisa ar trebui să fie rotunjită la a treia zecimală, avem 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, în timp ce logaritmul zecimal inițial este aproximativ egal cu logaritmul numărului rezultat, adică luăm log102,76332≈lg1,028·10 2. Acum aplicăm proprietățile logaritmului: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. În final, găsim valoarea logaritmului lg1.028 din tabelul logaritmilor zecimali lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Ca rezultat, întregul proces de calcul al logaritmului arată astfel: log102,76332=log1,0276332 10 2 ≈lg1,028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2≈0,012+2=2,012.

În concluzie, este de remarcat faptul că folosind tabelul de logaritmi zecimali puteți calcula valoarea aproximativă a oricărui logaritm. Pentru a face acest lucru, este suficient să utilizați formula de tranziție pentru a merge la logaritmi zecimal, pentru a găsi valorile acestora în tabel și pentru a efectua calculele rămase.

De exemplu, să calculăm log 2 3 . Conform formulei de tranziție la o nouă bază a logaritmului, avem . Din tabelul logaritmilor zecimali găsim log3≈0,4771 și log2≈0,3010. Prin urmare, .

Bibliografie.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. şi altele Algebra şi începuturile analizei: Manual pentru clasele 10 - 11 ale instituţiilor de învăţământ general.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (un manual pentru cei care intră în școlile tehnice).

Secțiunea despre logaritmi este de mare importanță în cadrul cursului școlar „Analiza matematică”. Problemele pentru funcțiile logaritmice se bazează pe principii diferite decât problemele pentru inegalități și ecuații. Cunoașterea definițiilor și proprietăților de bază ale conceptelor de logaritm și funcție logaritmică va asigura rezolvarea cu succes a problemelor tipice de USE.

Înainte de a începe să explicăm ce este o funcție logaritmică, merită să ne uităm la definiția unui logaritm.

Să ne uităm la un exemplu specific: un log a x = x, unde a › 0, a ≠ 1.

Principalele proprietăți ale logaritmilor pot fi enumerate în mai multe puncte:

Logaritm

Logaritmarea este o operație matematică care permite, folosind proprietățile unui concept, găsirea logaritmului unui număr sau al unei expresii.

Exemple:

Funcția logaritmică și proprietățile acesteia

Funcția logaritmică are forma

Să observăm imediat că graficul unei funcții poate fi crescător când a › 1 și descrescător când 0 ‹ a ‹ 1. În funcție de aceasta, curba funcției va avea o formă sau alta.

Iată proprietățile și metoda de reprezentare a logaritmilor:

domeniul lui f(x) este mulțimea tuturor numerelor pozitive, adică. x poate lua orice valoare din intervalul (0; + ∞);
Funcția ODZ este mulțimea tuturor numerelor reale, adică y poate fi egal cu orice număr din interval (— ∞; +∞);
dacă baza logaritmului a › 1, atunci f(x) crește pe întregul domeniu de definiție;
dacă baza logaritmului este 0 ‹ a ‹ 1, atunci F este în scădere;
funcția logaritmică nu este nici pară, nici impară;
curba graficului trece întotdeauna prin punctul cu coordonatele (1;0).

Este foarte ușor să construiți ambele tipuri de grafice, să ne uităm la proces folosind un exemplu

Mai întâi trebuie să vă amintiți proprietățile logaritmului simplu și funcțiile acestuia. Cu ajutorul lor, trebuie să construiți un tabel pentru valori specifice ale lui x și y. Apoi ar trebui să marcați punctele rezultate pe axa de coordonate și să le conectați cu o linie netedă. Această curbă va fi graficul necesar.

Funcția logaritmică este inversul funcției exponențiale dată de y= a x. Pentru a verifica acest lucru, este suficient să desenați ambele curbe pe aceeași axă de coordonate.

Este evident că ambele linii sunt imagini în oglindă una ale celeilalte. Construind linia dreaptă y = x, puteți vedea axa de simetrie.

Pentru a găsi rapid răspunsul la problemă, trebuie să calculați valorile punctelor pentru y = log 2⁡ x, apoi pur și simplu mutați originea punctului de coordonate cu trei diviziuni în jos de-a lungul axei OY și 2 diviziuni. spre stânga de-a lungul axei OX.

Ca dovadă, să construim un tabel de calcul pentru punctele graficului y = log 2 ⁡(x+2)-3 și să comparăm valorile obținute cu figura.

După cum puteți vedea, coordonatele din tabel și punctele de pe grafic coincid, prin urmare, transferul de-a lungul axelor a fost efectuat corect.

Exemple de rezolvare a problemelor tipice ale examenului de stat unificat

Majoritatea problemelor de testare pot fi împărțite în două părți: căutarea domeniului de definiție, indicarea tipului de funcție pe baza desenului grafic, determinarea dacă funcția crește/descrește.

Pentru a răspunde rapid sarcinilor, este necesar să înțelegeți clar că f(x) crește dacă exponentul logaritm a › 1 și scade dacă 0 ‹ a ‹ 1. Cu toate acestea, nu numai baza, ci și argumentul pot influența foarte mult forma a curbei funcţiei.

F(x) marcat cu o bifă sunt răspunsuri corecte. Exemplele 2 și 3 ridică îndoieli în acest caz.

Prin urmare, graficul y=-log 3⁡ x scade pe întregul domeniu de definiție, iar y= -log (1/3) ⁡x crește, în ciuda faptului că baza 0 ‹ a ‹ 1.

Răspuns: 3,4,5.

Răspuns: 4.

Aceste tipuri de sarcini sunt considerate ușoare și sunt punctate cu 1-2 puncte.

Sarcina 3.

Stabiliți dacă funcția este în scădere sau în creștere și indicați domeniul definiției sale.

Y = log 0,7 ⁡(0,1x-5)

Deoarece baza logaritmului este mai mică decât unu, dar mai mare decât zero, funcția lui x este descrescătoare. Conform proprietăților logaritmului, argumentul trebuie să fie și mai mare decât zero. Să rezolvăm inegalitatea:

Răspuns: domeniul definiției D(x) – interval (50; + ∞).

Răspuns: 3, 1, axa OX, dreapta.

Asemenea sarcini sunt clasificate ca medii și sunt punctate cu 3 - 4 puncte.

Sarcina 5. Găsiți intervalul de valori pentru o funcție:

Din proprietățile logaritmului se știe că argumentul nu poate fi decât pozitiv. Prin urmare, vom calcula intervalul de valori acceptabile ale funcției. Pentru a face acest lucru, va trebui să rezolvați un sistem de două inegalități.

Rezultă din definiția sa. Și astfel logaritmul numărului b bazat pe A este definit ca exponentul la care trebuie ridicat un numar A pentru a obține numărul b(logaritmul există doar pentru numerele pozitive).

Din această formulare rezultă că calculul x=log a b, este echivalent cu rezolvarea ecuației a x =b. De exemplu, log 2 8 = 3 deoarece 8 = 2 3 . Formularea logaritmului face posibilă justificarea că dacă b=a c, apoi logaritmul numărului b bazat pe A egală Cu. De asemenea, este clar că subiectul logaritmilor este strâns legat de subiectul puterilor unui număr.

Cu logaritmi, ca și cu orice numere, poți face operații de adunare, scădereși se transformă în toate modurile posibile. Dar datorită faptului că logaritmii nu sunt numere în întregime obișnuite, aici se aplică propriile lor reguli speciale, care sunt numite proprietăți principale.

Adunarea și scăderea logaritmilor.

Să luăm doi logaritmi cu aceleași baze: log un xȘi log a y. Apoi se pot efectua operații de adunare și scădere:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(X 1 . X 2 . X 3 ... x k) = log un x 1 + log un x 2 + log un x 3 + ... + log a x k.

Din teorema coeficientului de logaritm Mai poate fi obținută o proprietate a logaritmului. Este cunoscut faptul că log A 1= 0, prin urmare

Buturuga A 1 /b=log A 1 - jurnal a b= -log a b.

Aceasta înseamnă că există o egalitate:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritmi a două numere reciproce din același motiv vor diferi unul de celălalt numai prin semn. Asa de:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

În raport cu

se poate stabili sarcina de a găsi oricare dintre cele trei numere din celelalte două date. Dacă sunt date a și apoi N, se găsesc prin exponențiere. Dacă N și apoi a sunt date luând rădăcina gradului x (sau ridicând-o la putere). Acum luați în considerare cazul în care, având în vedere a și N, trebuie să găsim x.

Fie numărul N pozitiv: numărul a să fie pozitiv și nu egal cu unu: .

Definiție. Logaritmul numărului N față de baza a este exponentul la care trebuie ridicat a pentru a obține numărul N; logaritmul este notat cu

Astfel, în egalitatea (26.1) exponentul se găsește ca logaritmul lui N la baza a. Postări

au acelasi sens. Egalitatea (26.1) este uneori numită identitatea principală a teoriei logaritmilor; în realitate exprimă definiţia conceptului de logaritm. După această definiție, baza logaritmului a este întotdeauna pozitivă și diferită de unitate; numărul logaritmic N este pozitiv. Numerele negative și zero nu au logaritmi. Se poate dovedi că orice număr cu o bază dată are un logaritm bine definit. Prin urmare egalitatea presupune . Rețineți că condiția este esențială aici, în caz contrar, concluzia nu ar fi justificată, deoarece egalitatea este adevărată pentru orice valori ale lui x și y.

Exemplul 1. Găsiți

Soluţie. Pentru a obține un număr, trebuie să ridicați baza 2 la puterea Prin urmare.

Puteți face notițe atunci când rezolvați astfel de exemple în următoarea formă:

Exemplul 2. Găsiți .

Soluţie. Avem

În exemplele 1 și 2, am găsit cu ușurință logaritmul dorit reprezentând numărul logaritmului ca o putere a bazei cu un exponent rațional. În cazul general, de exemplu, pentru etc., acest lucru nu se poate face, deoarece logaritmul are o valoare irațională. Să acordăm atenție unei probleme legate de această afirmație. În paragraful 12, am dat conceptul de posibilitatea de a determina orice putere reală a unui număr pozitiv dat. Acest lucru a fost necesar pentru introducerea logaritmilor, care, în general, pot fi numere iraționale.

Să ne uităm la câteva proprietăți ale logaritmilor.

Proprietatea 1. Dacă numărul și baza sunt egale, atunci logaritmul este egal cu unu și, invers, dacă logaritmul este egal cu unu, atunci numărul și baza sunt egale.

Dovada. Fie Prin definiția unui logaritm avem și de unde

Dimpotrivă, să fie Atunci prin definiție

Proprietatea 2. Logaritmul unu la orice bază este egal cu zero.

Dovada. Prin definiția unui logaritm (puterea zero a oricărei baze pozitive este egală cu unu, vezi (10.1)). De aici

Q.E.D.

Afirmația inversă este de asemenea adevărată: dacă , atunci N = 1. Într-adevăr, avem .

Înainte de a formula următoarea proprietate a logaritmilor, să fim de acord să spunem că două numere a și b se află de aceeași parte a celui de-al treilea număr c dacă ambele sunt mai mari decât c sau mai mici decât c. Dacă unul dintre aceste numere este mai mare decât c, iar celălalt este mai mic decât c, atunci vom spune că se află pe laturile opuse ale lui c.

Proprietatea 3. Dacă numărul și baza se află pe aceeași parte a unuia, atunci logaritmul este pozitiv; Dacă numărul și baza se află pe laturile opuse ale unuia, atunci logaritmul este negativ.

Dovada proprietății 3 se bazează pe faptul că puterea lui a este mai mare decât unu dacă baza este mai mare decât unu și exponentul este pozitiv sau baza este mai mică decât unu și exponentul este negativ. O putere este mai mică decât unu dacă baza este mai mare decât unu și exponentul este negativ sau baza este mai mică decât unu și exponentul este pozitiv.

Există patru cazuri de luat în considerare:

Ne vom limita la analiza pe primul dintre ele, cititorul le va lua în considerare singur pe restul.

Fie atunci, în egalitate, exponentul nu poate fi nici negativ, nici egal cu zero, prin urmare, este pozitiv, adică așa cum trebuie demonstrat.

Exemplul 3. Aflați care dintre logaritmii de mai jos sunt pozitivi și care sunt negativi:

Rezolvare, a) deoarece numărul 15 și baza 12 sunt situate pe aceeași parte a unuia;

b) întrucât 1000 și 2 sunt situate pe o parte a unității; în acest caz, nu este important ca baza să fie mai mare decât numărul logaritmic;

c) deoarece 3.1 și 0.8 se află pe părți opuse ale unității;

G) ; De ce?

d) ; De ce?

Următoarele proprietăți 4-6 sunt adesea numite reguli de logaritmare: ele permit, cunoscând logaritmii unor numere, să se găsească logaritmii produsului lor, câtul și gradul fiecăruia dintre ele.

Proprietatea 4 (regula logaritmului produsului). Logaritmul produsului mai multor numere pozitive la o bază dată este egal cu suma logaritmilor acestor numere la aceeași bază.

Dovada. Fie numerele date pozitive.

Pentru logaritmul produsului lor, scriem egalitatea (26.1) care definește logaritmul:

De aici vom găsi

Comparând exponenții primei și ultimei expresii, obținem egalitatea necesară:

Rețineți că condiția este esențială; logaritmul produsului a două numere negative are sens, dar în acest caz obținem

În general, dacă produsul mai multor factori este pozitiv, atunci logaritmul său este egal cu suma logaritmilor valorilor absolute ale acestor factori.

Proprietatea 5 (regula pentru luarea logaritmilor de coeficienti). Logaritmul unui coeficient de numere pozitive este egal cu diferența dintre logaritmii dividendului și divizorului, luați la aceeași bază. Dovada. Găsim în mod constant

Q.E.D.

Proprietatea 6 (regula logaritmului puterii). Logaritmul puterii oricărui număr pozitiv este egal cu logaritmul acelui număr înmulțit cu exponent.

Dovada. Să scriem din nou identitatea principală (26.1) pentru numărul:

Q.E.D.

Consecinţă. Logaritmul unei rădăcini a unui număr pozitiv este egal cu logaritmul radicalului împărțit la exponentul rădăcinii:

Valabilitatea acestui corolar poate fi dovedită imaginând cum și folosind proprietatea 6.

Exemplul 4. Luați logaritmul la baza a:

a) (se presupune că toate valorile b, c, d, e sunt pozitive);

b) (se presupune că ).

Soluție, a) Este convenabil să trecem la puteri fracționale în această expresie:

Pe baza egalităților (26.5)-(26.7), acum putem scrie:

Observăm că asupra logaritmilor numerelor se efectuează operații mai simple decât asupra numerelor în sine: la înmulțirea numerelor se adună logaritmii acestora, la împărțire se scad etc.

De aceea, logaritmii sunt utilizați în practica de calcul (a se vedea paragraful 29).

Acțiunea inversă a logaritmului se numește potențare și anume: potențarea este acțiunea prin care numărul însuși este găsit dintr-un logaritm dat al unui număr. În esență, potențarea nu este o acțiune specială: se rezumă la ridicarea unei baze la o putere (egală cu logaritmul unui număr). Termenul de „potenciare” poate fi considerat sinonim cu termenul de „exponentiare”.

La potențare, trebuie să utilizați regulile inverse regulilor de logaritmare: înlocuiți suma logaritmilor cu logaritmul produsului, diferența de logaritmi cu logaritmul coeficientului etc. În special, dacă există un factor în față a semnului logaritmului, apoi în timpul potențarii acesta trebuie transferat la gradele exponente sub semnul logaritmului.

Exemplul 5. Aflați N dacă se știe că

Soluţie. În legătură cu regula de potențare tocmai enunțată, vom transfera factorii 2/3 și 1/3 care stau în fața semnelor logaritmilor din partea dreaptă a acestei egalități în exponenți sub semnele acestor logaritmi; primim

Acum înlocuim diferența de logaritmi cu logaritmul coeficientului:

pentru a obține ultima fracție din acest lanț de egalități, am eliberat fracția anterioară de iraționalitatea la numitor (clauza 25).

Proprietatea 7. Dacă baza este mai mare decât unu, atunci numărul mai mare are un logaritm mai mare (și cel mai mic are unul mai mic), dacă baza este mai mică de unu, atunci numărul mai mare are un logaritm mai mic (și cel mai mic unul are unul mai mare).

Această proprietate este, de asemenea, formulată ca o regulă pentru luarea logaritmilor inegalităților, ale căror ambele părți sunt pozitive:

La logaritmizarea inegalităților la o bază mai mare decât unu, semnul inegalității este păstrat, iar la logaritmizarea la o bază mai mică de unu, semnul inegalității se schimbă la opus (a se vedea și paragraful 80).

Demonstrarea se bazează pe proprietățile 5 și 3. Luați în considerare cazul în care Dacă , atunci și, luând logaritmi, obținem

(a și N/M se află pe aceeași parte a unității). De aici

Urmează cazul a, cititorul își va da seama singur.