Secțiune transversală diagonală a unei definiții prisme. Cum arată o prismă dreptunghiulară?

Informații generale despre prisma dreaptă

Suprafața laterală a unei prisme (mai precis, aria suprafeței laterale) se numește sumă zonele fețelor laterale. Suprafața totală a prismei este egală cu suma suprafeței laterale și a ariilor bazelor.

Teorema 19.1. Suprafața laterală a unei prisme drepte este egală cu produsul dintre perimetrul bazei și înălțimea prismei, adică lungimea marginii laterale.

Dovada. Fețele laterale ale unei prisme drepte sunt dreptunghiuri. Bazele acestor dreptunghiuri sunt laturile poligonului situat la baza prismei, iar înălțimile sunt egale cu lungimea marginilor laterale. Rezultă că suprafața laterală a prismei este egală cu

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

unde a 1 și n sunt lungimile muchiilor bazei, p este perimetrul bazei prismei și I este lungimea muchiilor laterale. Teorema este demonstrată.

Sarcina practică

Problemă (22) . Într-o prismă înclinată se realizează secțiune, perpendicular pe coastele laterale și intersectând toate coaste laterale. Găsi suprafata laterala prisme dacă perimetrul secțiunii transversale este egal cu p și marginile laterale sunt egale cu l.

Soluţie. Planul secțiunii desenate împarte prisma în două părți (Fig. 411). Să supunem una dintre ele translației paralele, combinând bazele prismei. În acest caz, obținem o prismă dreaptă, a cărei bază este secțiunea transversală a prismei originale, iar marginile laterale sunt egale cu l. Această prismă are aceeași suprafață laterală ca cea originală. Astfel, suprafața laterală a prismei originale este egală cu pl.

Rezumatul subiectului abordat

Acum să încercăm să rezumăm subiectul abordat despre prisme și să ne amintim ce proprietăți are o prismă.

Proprietățile prismei

În primul rând, o prismă are toate bazele sale poligoane egale;
În al doilea rând, într-o prismă toate fețele sale laterale sunt paralelograme;
În al treilea rând, într-o figură cu mai multe fațete precum o prismă, toate marginile laterale sunt egale;

De asemenea, trebuie amintit că poliedre precum prismele pot fi drepte sau înclinate.

Care prismă se numește prismă dreaptă?

Dacă marginea laterală a unei prisme este situată perpendicular pe planul bazei sale, atunci o astfel de prismă se numește dreptă.

Nu ar fi de prisos să ne amintim că fețele laterale ale unei prisme drepte sunt dreptunghiuri.

Ce tip de prismă se numește oblică?

Dar dacă marginea laterală a unei prisme nu este situată perpendicular pe planul bazei sale, atunci putem spune cu siguranță că este o prismă înclinată.

Care prismă se numește corectă?

Dacă la baza unei prisme drepte se află poligon regulat, atunci o astfel de prismă este corectă.

Acum să ne amintim proprietățile pe care le are o prismă obișnuită.

Proprietățile unei prisme regulate

În primul rând, întotdeauna motive prismă corectă poligoane regulate servesc;
În al doilea rând, dacă luăm în considerare fețele laterale ale unei prisme regulate, acestea sunt întotdeauna dreptunghiuri egale;
În al treilea rând, dacă comparați dimensiunile nervurilor laterale, atunci într-o prismă obișnuită acestea sunt întotdeauna egale.
În al patrulea rând, o prismă corectă este întotdeauna dreaptă;
În al cincilea rând, dacă într-o prismă regulată fețele laterale au formă de pătrate, atunci o astfel de figură este de obicei numită poligon semiregulat.

Secțiune transversală a prismei

Acum să ne uităm la secțiunea transversală a prismei:

Teme pentru acasă

Acum să încercăm să consolidăm subiectul pe care l-am învățat prin rezolvarea problemelor.

Să desenăm o înclinare prisma triunghiulara, în care distanța dintre marginile sale va fi egală cu: 3 cm, 4 cm și 5 cm, iar suprafața laterală a acestei prisme va fi egală cu 60 cm2. Având acești parametri, găsiți marginea laterală a acestei prisme.

Știți că figurile geometrice ne înconjoară constant nu numai în lecțiile de geometrie, ci și în Viata de zi cu zi Există obiecte care seamănă cu una sau alta figură geometrică.

Toată lumea acasă, la școală sau la serviciu are un computer, unitate de sistem care are forma unei prisme drepte.

Dacă ridicați un creion simplu, veți vedea că partea principală a creionului este o prismă.

Mergând pe strada centrală a orașului, vedem că sub picioarele noastre se află o țiglă care are forma unei prisme hexagonale.

A. V. Pogorelov, Geometrie pentru clasele 7-11, Manual pentru instituțiile de învățământ

Definiție.

Acesta este un hexagon, ale cărui baze sunt două pătrate egale, iar fețele laterale sunt dreptunghiuri egale

Coastă laterală- este latura comună a două fețe laterale adiacente

Înălțimea prismei- acesta este un segment perpendicular pe bazele prismei

Diagonala prismei- un segment care leagă două vârfuri ale bazelor care nu aparțin aceleiași fețe

Planul diagonal- un plan care trece prin diagonala prismei și marginile sale laterale

Secțiune diagonală- limitele de intersectie a prismei si a planului diagonal. Secțiunea transversală diagonală a unei prisme patrulatere obișnuite este un dreptunghi

Secțiune perpendiculară (secțiune ortogonală)- aceasta este intersecția unei prisme și a unui plan desenat perpendicular pe marginile sale laterale

Elemente ale unei prisme patruunghiulare regulate

Figura prezintă două prisme patrulatere regulate, care sunt indicate prin literele corespunzătoare:

Bazele ABCD și A 1 B 1 C 1 D 1 sunt egale și paralele între ele
Fețe laterale AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C și CC 1 D 1 D, fiecare fiind dreptunghi
Suprafața laterală - suma ariilor tuturor fețelor laterale ale prismei
Suprafața totală - suma suprafețelor tuturor bazelor și fețelor laterale (suma suprafeței și bazelor laterale)
Costuri laterale AA 1, BB 1, CC 1 și DD 1.
Diagonala B 1 D
Diagonala bazei BD
Secțiunea diagonală BB 1 D 1 D
Secțiune perpendiculară A 2 B 2 C 2 D 2.

Proprietățile unei prisme patruunghiulare regulate

Bazele sunt două pătrate egale
Bazele sunt paralele între ele
Fețele laterale sunt dreptunghiuri
Marginile laterale sunt egale între ele
Fețele laterale sunt perpendiculare pe baze
Coastele laterale sunt paralele între ele și egale
Secțiune perpendiculară perpendiculară pe toate nervurile laterale și paralelă cu bazele
Unghiuri de secțiune perpendiculară - drepte
Secțiunea transversală diagonală a unei prisme patrulatere obișnuite este un dreptunghi
Perpendiculară (secțiune ortogonală) paralelă cu bazele

Formule pentru o prismă patruunghiulară obișnuită

Instructiuni pentru rezolvarea problemelor

La rezolvarea problemelor pe tema " prismă patruunghiulară regulată" înseamnă că:

Prisma corectă- o prismă la baza căreia se află un poligon regulat, iar marginile laterale sunt perpendiculare pe planurile bazei. Adică, o prismă patruunghiulară obișnuită conține la bază pătrat. (vezi mai sus proprietățile unei prisme patrulatere regulate) Notă. Aceasta face parte dintr-o lecție cu probleme de geometrie (secțiunea stereometrie - prismă). Iată probleme care sunt greu de rezolvat. Dacă trebuie să rezolvați o problemă de geometrie care nu este aici, scrieți despre ea pe forum. Pentru a indica acțiunea de recuperare rădăcină pătrată simbolul este folosit în rezolvarea problemelor√ .

Sarcină.

Într-o prismă pătrangulară obișnuită, aria bazei este de 144 cm 2 și înălțimea este de 14 cm Aflați diagonala prismei și aria suprafata intreaga.

Soluţie.
Un patrulater regulat este un pătrat.
În consecință, latura bazei va fi egală

√144 = 12 cm.
De unde diagonala bazei unei prisme dreptunghiulare regulate va fi egală cu
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Diagonala unei prisme regulate se formează cu diagonala bazei și înălțimea prismei triunghi dreptunghic. În consecință, conform teoremei lui Pitagora, diagonala unei prisme pătrangulare regulate va fi egală cu:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Răspuns: 22 cm

Sarcină

Determinați suprafața totală a unei prisme patrulatere obișnuite dacă diagonala acesteia este de 5 cm și diagonala feței sale laterale este de 4 cm.

Soluţie.
Deoarece baza unei prisme patrulatere obișnuite este un pătrat, găsim latura bazei (notată cu a) folosind teorema lui Pitagora:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Înălțimea feței laterale (notată cu h) va fi atunci egală cu:

H2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h2 = 3,5
h = √3,5

Suprafața totală va fi egală cu suma suprafeței laterale și de două ori suprafața de bază

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Răspuns: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Stereometria este o ramură a geometriei care studiază figurile care nu se află în același plan. Unul dintre obiectele de studiu ale stereometriei sunt prismele. În articol vom defini o prismă cu punct geometric vederii și, de asemenea, enumerați pe scurt proprietățile care îi sunt caracteristice.

Figura geometrică

Definiția unei prisme în geometrie este următoarea: este o figură spațială constând din două n-gonuri identice situate în plane paralele, conectate între ele prin vârfurile lor.

Obținerea unei prisme nu este dificilă. Să ne imaginăm că există două n-gonuri identice, unde n este numărul de laturi sau vârfuri. Să le așezăm astfel încât să fie paralele între ele. După aceasta, vârfurile unui poligon ar trebui să fie conectate la vârfurile corespunzătoare ale celuilalt. Figura rezultată va fi formată din două laturi n-gonale, care se numesc baze și n laturi patrulatere, care în general sunt paralelograme. Setul de paralelograme formează suprafața laterală a figurii.

Există o altă modalitate de a obține geometric figura în cauză. Deci, dacă luați un n-gon și îl transferați într-un alt plan folosind segmente paralele lungime egală, apoi în noul plan obținem poligonul original. Atât poligoanele, cât și toate segmentele paralele desenate din vârfurile lor formează o prismă.

Imaginea de mai sus demonstrează acest lucru. Se numește astfel deoarece bazele sale sunt triunghiuri.

Elemente care alcătuiesc o figură

Mai sus a fost dată definiția unei prisme, din care reiese clar că elementele principale ale figurii sunt marginile sau laturile acesteia, care limitează toate punctele interne ale prismei din spațiul exterior. Orice față a figurii în cauză aparține unuia dintre cele două tipuri:

lateral;
temeiuri.

Există n piese laterale și sunt paralelograme sau tipurile lor particulare (dreptunghiuri, pătrate). În general, fețele laterale diferă unele de altele. Există doar două fețe ale bazei, acestea sunt n-goane și sunt egale între ele. Astfel, fiecare prismă are n+2 laturi.

Pe lângă laturi, figura se caracterizează prin vârfurile sale. Ele reprezintă puncte în care trei fețe se ating simultan. Mai mult, două dintre cele trei fețe aparțin întotdeauna suprafeței laterale, iar una bazei. Astfel, într-o prismă nu există un vârf special alocat, ca, de exemplu, într-o piramidă, toate sunt egale. Numărul de vârfuri ale figurii este 2*n (n piese pentru fiecare bază).

În sfârșit, al treilea element important prismele sunt marginile sale. Acestea sunt segmente de o anumită lungime care se formează ca urmare a intersecției laturilor unei figuri. Ca și fețele, marginile au și două tipuri diferite:

sau format numai de laturi;
sau iau naștere la joncțiunea paralelogramului și latura bazei n-gonale.

Numărul de muchii este astfel egal cu 3*n, iar 2*n dintre ele aparțin celui de-al doilea dintre tipurile denumite.

Tipuri de prisme

Există mai multe moduri de a clasifica prismele. Cu toate acestea, toate se bazează pe două caracteristici ale figurii:

pe tipul de bază n-carbon;
pe tip lateral.

Mai întâi, să ne întoarcem la a doua caracteristică și să dăm o definiție a unei linii drepte. Dacă cel puțin o latură este un paralelogram tip general, atunci figura se numește oblică, sau oblică. Dacă toate paralelogramele sunt dreptunghiuri sau pătrate, atunci prisma va fi dreaptă.

Definiția poate fi dată și puțin diferit: o figură dreaptă este o prismă ale cărei margini laterale și fețe sunt perpendiculare pe bazele sale. Figura prezintă două figuri patrulatere. Cel din stânga este drept, cel din dreapta este înclinat.

Acum să trecem la clasificarea în funcție de tipul de n-gon aflat la baze. Poate avea aceleași laturi și unghiuri sau diferite. În primul caz, poligonul se numește regulat. Dacă figura în cauză conține un poligon cu laturi egaleși unghiuri și este o linie dreaptă, atunci se numește regulat. Conform acestei definiții, o prismă regulată la baza sa poate avea un triunghi echilateral, pătrat, pentagon regulat sau hexagon și așa mai departe. Cifrele obișnuite enumerate sunt prezentate în figură.

Parametrii liniari ai prismelor

Pentru a descrie dimensiunile figurilor în cauză, se folosesc următorii parametri:

înălţime;
părțile laterale ale bazei;
lungimea coastelor laterale;
diagonale volumetrice;
diagonalele laturilor și bazelor.

Pentru prismele obișnuite, toate aceste cantități sunt legate între ele. De exemplu, lungimile nervurilor laterale sunt aceleași și egale cu înălțimea. Pentru o n-gonală specifică figura potrivită Există formule care vă permit să determinați pe toate celelalte folosind oricare doi parametri liniari.

Suprafața unei figuri

Dacă ne referim la definiția unei prisme dată mai sus, atunci nu va fi greu de înțeles ce reprezintă suprafața figurii. Suprafața este aria tuturor fețelor. Pentru o prismă dreaptă se calculează după formula:

S = 2*S o + P o *h

unde S o este aria bazei, P o este perimetrul n-gonului de la bază, h este înălțimea (distanța dintre baze).

Volumul figurii

Alături de suprafața pentru practică, este important să cunoaștem volumul prismei. Poate fi determinat folosind următoarea formulă:

Această expresie este valabilă pentru absolut orice tip de prismă, inclusiv pentru cele înclinate și formate din poligoane neregulate.

Pentru cele corecte, este o funcție de lungimea laturii bazei și de înălțimea figurii. Pentru prisma n-gonală corespunzătoare, formula pentru V are o formă specifică.

Baza prismei poate fi orice poligon - triunghi, patrulater etc. Ambele baze sunt absolut identice și, în consecință, cu care colțurile marginilor paralele sunt conectate între ele, sunt întotdeauna paralele. La baza unei prisme regulate se află un poligon regulat, adică unul în care toate laturile sunt egale. Într-o prismă dreaptă, nervurile dintre fețele laterale sunt perpendiculare pe bază. În acest caz, baza unei prisme drepte poate conține un poligon cu orice număr de unghiuri. O prismă a cărei bază este un paralelogram se numește paralelipiped. dreptunghi - caz special paralelogram. Dacă această figură se află la bază, iar fețele laterale sunt situate în unghi drept față de bază, paralelipipedul se numește dreptunghiular. Al doilea nume pentru acest corp geometric este dreptunghiular.

Cum arată ea

Prisme dreptunghiulare înconjurate omul modern destul de putin de. Acesta este, de exemplu, carton obișnuit pentru pantofi, componente de calculator etc. Uită-te in jur. Chiar și într-o cameră veți vedea probabil multe prisme dreptunghiulare. Aceasta include o carcasă pentru computer, o bibliotecă, un frigider, un dulap și multe alte articole. Forma este extrem de populară, în principal pentru că vă permite să profitați la maximum de spațiul dvs., indiferent dacă vă decorați interiorul sau împachetați lucrurile în carton înainte de a vă muta.

Proprietățile unei prisme dreptunghiulare

O prismă dreptunghiulară are o serie de proprietăți specifice. Orice pereche de fețe poate servi ca ea, deoarece toate fețele adiacente sunt situate la același unghi una față de cealaltă, iar acest unghi este de 90°. Volumul și aria suprafeței unei prisme dreptunghiulare sunt mai ușor de calculat decât oricare alta. Luați orice obiect care are forma unei prisme dreptunghiulare. Măsurați-i lungimea, lățimea și înălțimea. Pentru a găsi volumul, trebuie doar să înmulțiți aceste măsurători. Adică formula arată astfel: V=a*b*h, unde V este volumul, a și b sunt laturile bazei, h este înălțimea care coincide cu marginea laterală a acestui corp geometric. Aria de bază este calculată folosind formula S1=a*b. Pentru suprafața laterală, trebuie mai întâi să calculați perimetrul bazei folosind formula P=2(a+b), apoi să îl înmulțiți cu înălțimea. Formula rezultată este S2=P*h=2(a+b)*h. Pentru a calcula suprafața totală a unei prisme dreptunghiulare, adăugați de două ori suprafața de bază și suprafața laterală. Formula este S=2S1+S2=2*a*b+2*(a+b)*h=2

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs E-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, în procedurile judiciare și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor din partea autorităților guvernamentale de pe teritoriul Federației Ruse - de a vă dezvălui informațiile personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către terțul succesor aplicabil.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.