1 9 rădăcină 3 puteri ale lui 2. Modalități simple și nu atât de simple de a calcula rădăcina cubă

Felicitări: astăzi ne vom uita la rădăcini - unul dintre cele mai uimitoare subiecte din clasa a VIII-a :)

Mulți oameni se încurcă cu privire la rădăcini, nu pentru că sunt complexe (ce este atât de complicat în asta - câteva definiții și încă câteva proprietăți), ci pentru că în majoritatea manualelor școlare rădăcinile sunt definite printr-o astfel de junglă încât doar autorii manualelor ei înșiși pot înțelege această scriere. Și chiar și atunci doar cu o sticlă de whisky bun :)

Prin urmare, acum voi da cea mai corectă și mai competentă definiție a unei rădăcini - singura pe care ar trebui să o amintiți cu adevărat. Și apoi voi explica: de ce sunt necesare toate acestea și cum să le aplici în practică.

Dar mai întâi amintește-ți una punct important, despre care mulți compilatori de manuale din anumite motive „uită”:

Rădăcinile pot fi de grad par (preferatul nostru $\sqrt(a)$, precum și tot felul de $\sqrt(a)$ și chiar $\sqrt(a)$) și de grad impar (tot felul de $\sqrt(a)$ (a)$, $\ sqrt(a)$ etc.). Și definiția unei rădăcini de grad impar este oarecum diferită de una par.

Probabil 95% din toate erorile și neînțelegerile asociate cu rădăcinile sunt ascunse în acest nenorocit de „oarecum diferit”. Deci, să clarificăm terminologia odată pentru totdeauna:

Definiție. Chiar și rădăcină n din numărul $a$ este oricare nenegativ numărul $b$ este astfel încât $((b)^(n))=a$. Și rădăcina impară a aceluiași număr $a$ este, în general, orice număr $b$ pentru care este valabilă aceeași egalitate: $((b)^(n))=a$.

În orice caz, rădăcina se notează astfel:

\(A)\]

Numărul $n$ într-o astfel de notație se numește exponent rădăcină, iar numărul $a$ se numește expresie radicală. În special, pentru $n=2$ obținem rădăcina noastră pătrată „favorită” (apropo, aceasta este o rădăcină de grad par), iar pentru $n=3$ obținem o rădăcină cubică (grad impar), care este de asemenea des întâlnit în probleme și ecuații.

Exemple. Exemple clasice rădăcini pătrate:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(align)\]

Apropo, $\sqrt(0)=0$ și $\sqrt(1)=1$. Acest lucru este destul de logic, deoarece $((0)^(2))=0$ și $((1)^(2))=1$.

Rădăcinile cubice sunt, de asemenea, comune - nu trebuie să vă fie frică de ele:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(align)\]

Ei bine, câteva „exemple exotice”:

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(align)\]

Dacă nu înțelegeți care este diferența dintre un grad par și unul impar, recitiți din nou definiția. Este foarte important!

Între timp, vom lua în considerare o caracteristică neplăcută a rădăcinilor, din cauza căreia a trebuit să introducem o definiție separată pentru exponenții pari și impari.

De ce sunt necesare rădăcini?

După ce au citit definiția, mulți elevi vor întreba: „Ce fumau matematicienii când au venit cu asta?” Și într-adevăr: de ce sunt necesare toate aceste rădăcini?

Pentru a răspunde la această întrebare, să ne întoarcem pentru un moment la școala elementară. Amintiți-vă: în acele vremuri îndepărtate, când copacii erau mai verzi și găluștele mai gustoase, principala noastră preocupare era să înmulțim corect numerele. Ei bine, ceva de genul „cinci cu cinci – douăzeci și cinci”, asta este tot. Dar puteți înmulți numerele nu în perechi, ci în tripleți, cvadruple și în general seturi întregi:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Cu toate acestea, nu acesta este ideea. Trucul este diferit: matematicienii sunt leneși, așa că le-a fost greu să noteze înmulțirea a zece cinci astfel:

De aceea au venit cu diplome. De ce să nu scrieți numărul de factori ca un superscript în loc de un șir lung? Ceva de genul:

Este foarte convenabil! Toate calculele sunt reduse semnificativ și nu trebuie să pierzi o grămadă de coli de pergament și caiete pentru a nota 5.183. Această înregistrare a fost numită o putere a unui număr, au fost găsite o grămadă de proprietăți, dar fericirea s-a dovedit a fi de scurtă durată.

După o petrecere grandioasă, care a fost organizată doar pentru „descoperirea” diplomelor, un matematician deosebit de încăpățânat a întrebat brusc: „Dacă știm gradul unui număr, dar numărul în sine este necunoscut?” Acum, într-adevăr, dacă știm că un anumit număr $b$, să zicem, la a 5-a putere dă 243, atunci cum putem ghici cu ce este egal însuși numărul $b$?

Această problemă s-a dovedit a fi mult mai globală decât ar părea la prima vedere. Pentru că s-a dovedit că pentru majoritatea puterilor „gata făcute” nu există astfel de numere „inițiale”. Judecă singur:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end(align)\]

Ce se întâmplă dacă $((b)^(3))=$50? Se pare că trebuie să găsim un anumit număr care, înmulțit cu el însuși de trei ori, ne va da 50. Dar care este acest număr? Este în mod clar mai mare decât 3, deoarece 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Adică acest număr se află undeva între trei și patru, dar nu veți înțelege cu ce este egal.

Acesta este motivul pentru care matematicienii au venit cu $n$-a rădăcini. Tocmai de aceea a fost introdus simbolul radical $\sqrt(*)$. Pentru a desemna chiar numărul $b$, care la gradul indicat ne va da o valoare cunoscută anterior

\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]

Nu argumentez: adesea aceste rădăcini sunt ușor de calculat - am văzut mai sus mai multe astfel de exemple. Dar totuși, în cele mai multe cazuri, dacă vă gândiți la un număr arbitrar și apoi încercați să extrageți rădăcina unui grad arbitrar din acesta, vă veți simți îngrozitor.

Ce este acolo! Chiar și cel mai simplu și mai familiar $\sqrt(2)$ nu poate fi reprezentat în forma noastră obișnuită - ca un întreg sau o fracție. Și dacă introduceți acest număr într-un calculator, veți vedea asta:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

După cum puteți vedea, după virgulă zecimală există o succesiune nesfârșită de numere care nu respectă nicio logică. Puteți, desigur, să rotunjiți acest număr pentru a compara rapid cu alte numere. De exemplu:

\[\sqrt(2)=1,4142...\aproximativ 1,4 \lt 1,5\]

Sau iată un alt exemplu:

\[\sqrt(3)=1,73205...\aproximativ 1,7 \gt 1,5\]

Dar toate aceste rotunjiri, în primul rând, sunt destul de dure; și în al doilea rând, trebuie să puteți lucra și cu valori aproximative, altfel puteți surprinde o grămadă de erori neevidente (apropo, este necesar ca abilitățile de comparare și rotunjire să fie testate pe profilul Unified State Examination).

Prin urmare, în matematica serioasă nu puteți face fără rădăcini - sunt aceiași reprezentanți egali ai mulțimii tuturor numerelor reale $\mathbb(R)$, la fel ca fracțiile și numerele întregi care ne sunt familiare de mult timp.

Incapacitatea de a reprezenta o rădăcină ca o fracție de forma $\frac(p)(q)$ înseamnă că această rădăcină nu este Numar rational. Astfel de numere se numesc iraționale și nu pot fi reprezentate cu acuratețe decât cu ajutorul unui radical sau a altor construcții special concepute pentru aceasta (logaritmi, puteri, limite etc.). Dar mai multe despre asta altă dată.

Să luăm în considerare câteva exemple în care, după toate calculele, numerele iraționale vor rămâne în continuare în răspuns.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\aproximativ 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\aprox -1,2599... \\ \end(align)\]

Desigur, conform aspect rădăcină este aproape imposibil de ghicit ce numere vor veni după virgulă zecimală. Cu toate acestea, puteți conta pe un calculator, dar chiar și cel mai avansat calculator de date ne oferă doar primele câteva cifre ale unui număr irațional. Prin urmare, este mult mai corect să scrieți răspunsurile în forma $\sqrt(5)$ și $\sqrt(-2)$.

Tocmai de aceea au fost inventate. Pentru a înregistra în mod convenabil răspunsurile.

De ce sunt necesare două definiții?

Cititorul atent a observat probabil deja că toate rădăcinile pătrate date în exemple sunt luate din numere pozitive. Ei bine, cel puțin de la zero. Dar rădăcinile cubice pot fi extrase cu calm din absolut orice număr - fie el pozitiv sau negativ.

De ce se întâmplă asta? Aruncă o privire la graficul funcției $y=((x)^(2))$:

Să încercăm să calculăm $\sqrt(4)$ folosind acest grafic. Pentru a face acest lucru, pe grafic este trasată o linie orizontală $y=4$ (marcată cu roșu), care se intersectează cu parabola în două puncte: $((x)_(1))=2$ și $((x) )_(2)) =-2$. Acest lucru este destul de logic, deoarece

Totul este clar cu primul număr - este pozitiv, deci este rădăcina:

Dar atunci ce să faci cu al doilea punct? De parcă patru are două rădăcini deodată? La urma urmei, dacă pătratăm numărul −2, obținem și 4. De ce să nu scriem $\sqrt(4)=-2$ atunci? Și de ce se uită profesorii la astfel de postări de parcă ar vrea să te mănânce?

Problema este că, dacă nu impuneți condiții suplimentare, atunci quad-ul va avea două rădăcini pătrate - pozitive și negative. Și orice număr pozitiv va avea și două dintre ele. Dar numerele negative nu vor avea deloc rădăcini - acest lucru poate fi văzut din același grafic, deoarece parabola nu cade niciodată sub axă. y, adică nu acceptă valori negative.

O problemă similară apare pentru toate rădăcinile cu exponent par:

1. Strict vorbind, fiecare număr pozitiv va avea două rădăcini cu exponent par $n$;
2. Din numere negative, rădăcina cu $n$ chiar nu este extrasă deloc.

De aceea în definirea unei rădăcini de grad par $n$ se prevede în mod specific că răspunsul trebuie să fie un număr nenegativ. Așa scăpăm de ambiguitate.

Dar pentru $n$ impar nu există o astfel de problemă. Pentru a vedea asta, să ne uităm la graficul funcției $y=((x)^(3))$:

Din acest grafic se pot trage două concluzii:

1. Ramurile unei parabole cubice, spre deosebire de una obișnuită, merg la infinit în ambele direcții - atât în ​​sus, cât și în jos. Prin urmare, indiferent de ce înălțime desenăm o linie orizontală, această linie cu siguranță se va intersecta cu graficul nostru. În consecință, rădăcina cubă poate fi întotdeauna luată de la absolut orice număr;
2. În plus, o astfel de intersecție va fi întotdeauna unică, așa că nu trebuie să vă gândiți ce număr este considerat rădăcina „corectă” și pe care să îl ignorați. De aceea, determinarea rădăcinilor pentru un grad impar este mai simplă decât pentru un grad par (nu există nicio cerință pentru non-negativitate).

Păcat că aceste lucruri simple nu sunt explicate în majoritatea manualelor. În schimb, creierul nostru începe să se înalțe cu tot felul de rădăcini aritmetice și proprietățile lor.

Da, nu mă cert: trebuie să știți și ce este o rădăcină aritmetică. Și voi vorbi despre asta în detaliu într-o lecție separată. Astăzi vom vorbi și despre asta, pentru că fără ea toate gândurile despre rădăcinile multiplicității $n$-a ar fi incomplete.

Dar mai întâi trebuie să înțelegeți clar definiția pe care am dat-o mai sus. Altfel, din cauza abundenței de termeni, o astfel de mizerie va începe în capul tău încât până la urmă nu vei înțelege absolut nimic.

Tot ce trebuie să faceți este să înțelegeți diferența dintre indicatorii par și impari. Prin urmare, să colectăm încă o dată tot ce trebuie să știți despre rădăcini:

1. O rădăcină de grad par există numai din număr negativși el însuși este întotdeauna un număr nenegativ. Pentru numerele negative, o astfel de rădăcină este nedefinită.
2. Dar rădăcina unui grad impar există din orice număr și poate fi ea însăși orice număr: pentru numerele pozitive este pozitivă, iar pentru numerele negative, după cum indică capul, este negativă.

Este dificil? Nu, nu este greu. Este clar? Da, este complet evident! Așa că acum vom exersa puțin cu calculele.

Proprietăți de bază și limitări

Rădăcinile au multe proprietăți și limitări ciudate - acest lucru va fi discutat într-o lecție separată. Prin urmare, acum vom lua în considerare doar cel mai important „truc”, care se aplică numai rădăcinilor cu un indice uniform. Să scriem această proprietate ca formulă:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\dreapta|\]

Cu alte cuvinte, dacă ridicăm un număr la o putere pară și apoi extragem rădăcina aceleiași puteri, nu vom obține numărul inițial, ci modulul său. Aceasta este o teoremă simplă care poate fi demonstrată cu ușurință (este suficient să le luăm în considerare separat $x$ nenegative, iar apoi pe cele negative separat). Profesorii vorbesc constant despre asta, este dat în fiecare manual școlar. Dar, de îndată ce este vorba de rezolvarea ecuațiilor iraționale (adică, ecuații care conțin un semn radical), studenții uită în unanimitate această formulă.

Pentru a înțelege problema în detaliu, să uităm toate formulele timp de un minut și să încercăm să calculăm două numere direct:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Aceasta este foarte exemple simple. Majoritatea oamenilor vor rezolva primul exemplu, dar mulți oameni se blochează pe al doilea. Pentru a rezolva orice astfel de prostie fără probleme, luați în considerare întotdeauna procedura:

1. În primul rând, numărul este ridicat la a patra putere. Ei bine, e cam ușor. Veți obține un număr nou care poate fi găsit chiar și în tabla înmulțirii;
2. Și acum din acest nou număr este necesar să extragem a patra rădăcină. Acestea. nu are loc nicio „reducere” a rădăcinilor și puterilor - acestea sunt acțiuni secvențiale.

Să ne uităm la prima expresie: $\sqrt(((3)^(4)))$. Evident, mai întâi trebuie să calculați expresia sub rădăcină:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Apoi extragem a patra rădăcină a numărului 81:

Acum să facem același lucru cu a doua expresie. În primul rând, ridicăm numărul -3 la a patra putere, ceea ce necesită înmulțirea lui de 4 ori:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ stânga(-3 \dreapta)=81\]

Avem un număr pozitiv pentru că total Există 4 minusuri în lucru și toate se vor anula reciproc (la urma urmei, un minus pentru un minus dă un plus). Apoi extragem din nou rădăcina:

În principiu, această linie nu ar fi putut fi scrisă, deoarece este o idee deloc că răspunsul ar fi același. Acestea. o rădăcină uniformă a aceleiași puteri uniforme „arde” minusurile și, în acest sens, rezultatul nu se poate distinge de un modul obișnuit:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \right|=3. \\ \end(align)\]

Aceste calcule sunt în acord cu definiția unei rădăcini de grad par: rezultatul este întotdeauna nenegativ, iar semnul radical conține întotdeauna un număr nenegativ. În caz contrar, rădăcina este nedefinită.

Notă despre procedură

1. Notația $\sqrt(((a)^(2)))$ înseamnă că mai întâi pătratăm numărul $a$ și apoi luăm rădăcina pătrată a valorii rezultate. Prin urmare, putem fi siguri că există întotdeauna un număr nenegativ sub semnul rădăcinii, deoarece $((a)^(2))\ge 0$ în orice caz;
2. Dar notația $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, dimpotrivă, înseamnă că luăm mai întâi rădăcina unui anumit număr $a$ și abia apoi pătratăm rezultatul. Prin urmare, numărul $a$ nu poate fi în niciun caz negativ - aceasta este o cerință obligatorie inclusă în definiție.

Astfel, în niciun caz nu ar trebui să reducă neatenționat rădăcinile și gradele, pretinzând astfel „simplificând” expresia originală. Pentru că dacă rădăcina are un număr negativ și exponentul său este par, avem o grămadă de probleme.

Cu toate acestea, toate aceste probleme sunt relevante doar pentru indicatori egali.

Eliminarea semnului minus de sub semnul rădăcină

Desigur, rădăcinile cu exponenți impari au și propria lor trăsătură, care în principiu nu există cu cei pare. Și anume:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Pe scurt, puteți elimina minusul de sub semnul rădăcinilor de grade impare. Aceasta este foarte proprietate utilă, care vă permite să „aruncați” toate negativele:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(align)\]

Această proprietate simplă simplifică foarte mult multe calcule. Acum nu trebuie să vă faceți griji: ce se întâmplă dacă o expresie negativă a fost ascunsă sub rădăcină, dar gradul de la rădăcină s-a dovedit a fi egal? Este suficient doar să „aruncăm” toate minusurile din afara rădăcinilor, după care pot fi înmulțite între ele, împărțite și, în general, să facem multe lucruri suspecte, care în cazul rădăcinilor „clasice” ne vor duce cu siguranță la o eroare.

Și aici intră în scenă o altă definiție - aceeași cu care în majoritatea școlilor încep studiul expresiilor iraționale. Și fără de care raționamentul nostru ar fi incomplet. Intalneste-ne!

Rădăcina aritmetică

Să presupunem pentru o clipă că sub semnul rădăcinii nu pot exista decât numere pozitive sau, în cazuri extreme, zero. Să uităm de indicatorii par/impari, să uităm de toate definițiile date mai sus - vom lucra numai cu numere nenegative. Ce atunci?

Și apoi vom obține o rădăcină aritmetică - se suprapune parțial cu definițiile noastre „standard”, dar tot diferă de ele.

Definiție. O rădăcină aritmetică de gradul $n$ al unui număr nenegativ $a$ este un număr nenegativ $b$ astfel încât $((b)^(n))=a$.

După cum vedem, nu ne mai interesează paritatea. În schimb, a apărut o nouă restricție: expresia radicală este acum întotdeauna nenegativă, iar rădăcina însăși este, de asemenea, nenegativă.

Pentru a înțelege mai bine cum diferă rădăcina aritmetică de cea obișnuită, aruncați o privire la graficele parabolei pătrate și cubice cu care suntem deja familiarizați:

După cum puteți vedea, de acum înainte ne interesează doar acele bucăți de grafice care sunt situate în primul trimestru de coordonate - unde coordonatele $x$ și $y$ sunt pozitive (sau cel puțin zero). Nu mai trebuie să te uiți la indicator pentru a înțelege dacă avem dreptul să punem un număr negativ sub rădăcină sau nu. Pentru că numerele negative nu mai sunt luate în considerare în principiu.

Puteți întreba: „Ei bine, de ce avem nevoie de o astfel de definiție sterilizată?” Sau: „De ce nu ne putem descurca cu definiția standard dată mai sus?”

Ei bine, voi da o singură proprietate din cauza căreia noua definiție devine adecvată. De exemplu, regula pentru exponentiare:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Vă rugăm să rețineți: putem ridica expresia radicală la orice putere și, în același timp, înmulțim exponentul rădăcină cu aceeași putere - și rezultatul va fi același număr! Iată exemple:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]

Deci, care este marea problemă? De ce nu am putea face asta mai devreme? Iata de ce. Să luăm în considerare o expresie simplă: $\sqrt(-2)$ - acest număr este destul de normal în înțelegerea noastră clasică, dar absolut inacceptabil din punctul de vedere al rădăcinii aritmetice. Să încercăm să-l convertim:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

După cum puteți vedea, în primul caz am eliminat minusul de sub radical (avem tot dreptul, deoarece exponentul este impar), iar în al doilea caz am folosit formula de mai sus. Acestea. Din punct de vedere matematic, totul se face după reguli.

WTF?! Cum poate același număr să fie atât pozitiv, cât și negativ? În nici un caz. Doar că formula de exponențiere, care funcționează excelent pentru numere pozitive și zero, începe să producă o erezie completă în cazul numerelor negative.

Tocmai pentru a scăpa de o astfel de ambiguitate au fost inventate rădăcinile aritmetice. Le este dedicată o lecție mare separată, în care luăm în considerare toate proprietățile lor în detaliu. Deci nu ne vom opri asupra lor acum - lecția s-a dovedit deja prea lungă.

Rădăcina algebrică: pentru cei care vor să afle mai multe

M-am gândit multă vreme dacă să pun acest subiect într-un paragraf separat sau nu. Până la urmă am decis să o las aici. Acest material este destinat celor care doresc să înțeleagă și mai bine rădăcinile - nu mai la nivelul mediu „școlar”, ci la unul apropiat de nivelul olimpiadei.

Deci: pe lângă definiția „clasică” a rădăcinii $n$-a a unui număr și împărțirea asociată în exponenți pari și impari, există o definiție mai „adultă” care nu depinde deloc de paritate și alte subtilități. Aceasta se numește rădăcină algebrică.

Definiție. Rădăcina algebrică $n$a oricărui $a$ este mulțimea tuturor numerelor $b$ astfel încât $((b)^(n))=a$. Nu există o denumire stabilită pentru astfel de rădăcini, așa că vom pune doar o liniuță deasupra:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

Diferența fundamentală față de definiția standard dată la începutul lecției este că o rădăcină algebrică nu este un număr specific, ci o mulțime. Și deoarece lucrăm cu numere reale, acest set vine în doar trei tipuri:

1. Set gol. Apare atunci când trebuie să găsiți o rădăcină algebrică de grad par dintr-un număr negativ;
2. Un set format dintr-un singur element. Toate rădăcinile puterilor impare, precum și rădăcinile puterilor pare ale zero, se încadrează în această categorie;
3. În cele din urmă, mulțimea poate include două numere - aceleași $((x)_(1))$ și $((x)_(2))=-((x)_(1))$ pe care le-am văzut pe funcția pătratică grafică. În consecință, un astfel de aranjament este posibil numai atunci când se extrage rădăcina unui grad par dintr-un număr pozitiv.

Ultimul caz merită o analiză mai detaliată. Să numărăm câteva exemple pentru a înțelege diferența.

Exemplu. Evaluează expresiile:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Soluţie. Prima expresie este simplă:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Sunt două numere care fac parte din set. Pentru că fiecare dintre ele la pătrat dă un patru.

\[\overline(\sqrt(-27))=\stanga\( -3 \dreapta\)\]

Aici vedem un set format dintr-un singur număr. Acest lucru este destul de logic, deoarece exponentul rădăcină este impar.

În sfârșit, ultima expresie:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing\]

Am primit un set gol. Deoarece nu există un singur număr real care, atunci când este ridicat la a patra putere (adică, pare!), să ne dea numărul negativ -16.

Notă finală. Vă rugăm să rețineți: nu întâmplător am observat peste tot că lucrăm cu numere reale. Pentru că există și numere complexe - este destul de posibil să calculezi $\sqrt(-16)$ acolo și multe alte lucruri ciudate.

Cu toate acestea, în modern curs şcolarÎn matematică, numerele complexe nu sunt aproape niciodată întâlnite. Acestea au fost eliminate din majoritatea manualelor, deoarece oficialii noștri consideră subiectul „prea greu de înțeles”.

Calculator de inginerie online

Ne grăbim să prezentăm tuturor un gratuit calculator de inginerie. Cu ajutorul acestuia, orice student poate efectua rapid și, cel mai important, cu ușurință diverse tipuri de calcule matematice online.

Un calculator de inginerie simplu și ușor de utilizat, cu o interfață discretă și intuitivă, va fi cu adevărat util pentru o gamă largă de utilizatori de Internet. Acum, ori de câte ori aveți nevoie de un calculator, accesați site-ul nostru web și utilizați calculatorul de inginerie gratuit.

Un calculator de inginerie poate funcționa la fel de simplu operatii aritmetice, și calcule matematice destul de complexe.

Web20calc este un calculator de inginerie care are un număr mare de funcții, de exemplu, cum se calculează toate funcțiile elementare. Calculatorul suportă, de asemenea funcții trigonometrice, matrici, logaritmi și chiar grafice.

Fără îndoială, Web20calc va fi de interes pentru acel grup de oameni care îl caută solutii simple apelează motoare de căutare cerere: matematică calculator online. O aplicație web gratuită vă va ajuta să calculați instantaneu rezultatul unei expresii matematice, de exemplu, scădeți, adăugați, împărțiți, extrageți rădăcina, ridicați la o putere etc.

În expresie, puteți utiliza operațiile de exponențiere, adunare, scădere, înmulțire, împărțire, procent și constanta PI. Pentru calcule complexe, ar trebui incluse paranteze.

Caracteristicile calculatorului de inginerie:

1. operații aritmetice de bază;
2. lucrul cu numere într-o formă standard;
3. calculul rădăcinilor trigonometrice, funcțiilor, logaritmilor, exponențiației;
4. calcule statistice: adunare, medie aritmetică sau abatere standard;
5. utilizarea celulelor de memorie și a funcțiilor personalizate a 2 variabile;
6. lucrați cu unghiuri în radiani și măsuri de grade.

Calculatorul de inginerie permite utilizarea unei varietăți de funcții matematice:

Extragerea rădăcinilor (rădăcină pătrată, cubică și a n-a);
ex (e la puterea x), exponențial;
funcții trigonometrice: sinus - sin, cosinus - cos, tangentă - tan;
funcții trigonometrice inverse: arcsinus - sin-1, arccosinus - cos-1, arctangent - tan-1;
funcții hiperbolice: sinus - sinh, cosinus - cosh, tangentă - tanh;
logaritmi: logaritm binar baza doi - log2x, baza zece logaritm - log, logaritm natural - ln.

Acest calculator de inginerie include, de asemenea, un calculator de valoare cu capacitatea de a converti mărimi fizice Pentru diverse sisteme măsurători - unități computerizate, distanță, greutate, timp etc. Folosind această funcție, puteți converti instantaneu mile în kilometri, lire în kilograme, secunde în ore etc.

Pentru a efectua calcule matematice, introduceți mai întâi secvența expresii matematiceîn câmpul corespunzător, apoi faceți clic pe semnul egal și vedeți rezultatul. Puteți introduce valori direct de la tastatură (pentru aceasta, zona calculatorului trebuie să fie activă, prin urmare, ar fi util să plasați cursorul în câmpul de introducere). Printre altele, datele pot fi introduse folosind butoanele calculatorului propriu-zis.

Pentru a construi grafice, ar trebui să scrieți funcția în câmpul de introducere așa cum este indicat în câmpul cu exemple sau să utilizați bara de instrumente special concepută pentru aceasta (pentru a merge la ea, faceți clic pe butonul cu pictograma grafic). Pentru a converti valori, faceți clic pe Unitate pentru a lucra cu matrice, faceți clic pe Matrice.

Este timpul să o rezolvi metode de extragere a rădăcinilor. Ele se bazează pe proprietățile rădăcinilor, în special, pe egalitate, ceea ce este valabil pentru orice număr nenegativ b.

Mai jos ne vom uita la principalele metode de extragere a rădăcinilor una câte una.

Să începem cu cel mai simplu caz - extragerea rădăcinilor din numere naturale folosind un tabel de pătrate, un tabel de cuburi etc.

Dacă tabele de pătrate, cuburi etc. Dacă nu îl aveți la îndemână, este logic să folosiți metoda de extragere a rădăcinii, care implică descompunerea numărului radical în factori primi.

Merită menționat în mod special ceea ce este posibil pentru rădăcinile cu exponenți impari.

În cele din urmă, să luăm în considerare o metodă care ne permite să găsim secvenţial cifrele valorii rădăcină.

Să începem.

Folosind un tabel de pătrate, un tabel de cuburi etc.

În cele mai multe cazuri simple tabele de pătrate, cuburi etc vă permit să extrageți rădăcini. Ce sunt aceste tabele?

Tabelul de pătrate de numere întregi de la 0 la 99 inclusiv (prezentat mai jos) este format din două zone. Prima zonă a tabelului este situată pe un fundal gri, selectând un anumit rând și o anumită coloană, vă permite să compuneți un număr de la 0 la 99. De exemplu, să selectăm un rând de 8 zeci și o coloană de 3 unități, cu aceasta am fixat numărul 83. A doua zonă ocupă restul mesei. Fiecare celulă este situată la intersecția unui anumit rând și a unei anumite coloane și conține pătratul numărului corespunzător de la 0 la 99. La intersecția dintre rândul nostru de 8 zeci și coloana 3 de unități alese există o celulă cu numărul 6.889, care este pătratul numărului 83.

Tabelele de cuburi, tabelele de puteri a patra ale numerelor de la 0 la 99 și așa mai departe sunt similare cu tabelul de pătrate, numai că conțin cuburi, puteri a patra etc. în zona a doua. numerele corespunzătoare.

Tabele de pătrate, cuburi, puteri a patra etc. vă permit să extrageți rădăcini pătrate, rădăcini cubice, rădăcini a patra etc. în consecință din numerele din aceste tabele. Să explicăm principiul utilizării lor la extragerea rădăcinilor.

Să presupunem că trebuie să extragem rădăcina a n-a a numărului a, în timp ce numărul a este conținut în tabelul puterilor a n-a. Folosind acest tabel găsim numărul b astfel încât a=b n. Apoi , prin urmare, numărul b va fi rădăcina dorită a gradului al n-lea.

Ca exemplu, să arătăm cum să folosiți un tabel cub pentru a extrage rădăcina cubului lui 19.683. Găsim numărul 19.683 în tabelul cuburilor, din acesta aflăm că acest număr este cubul numărului 27, prin urmare, .

Este clar că tabelele cu puterile a n-a sunt foarte convenabile pentru extragerea rădăcinilor. Cu toate acestea, adesea nu sunt la îndemână, iar compilarea lor necesită ceva timp. Mai mult, este adesea necesar să se extragă rădăcini din numere care nu sunt conținute în tabelele corespunzătoare. În aceste cazuri, trebuie să recurgeți la alte metode de extracție a rădăcinilor.

Factorizarea unui număr radical în factori primi

Suficient într-un mod convenabil, care face posibilă extragerea unei rădăcini dintr-un număr natural (dacă, desigur, se extrage rădăcina), este descompunerea numărului radical în factori primi. A lui ideea este aceasta: după aceea este destul de ușor să o reprezinte ca o putere cu exponentul dorit, ceea ce vă permite să obțineți valoarea rădăcinii. Să lămurim acest punct.

Fie luată a n-a rădăcină a unui număr natural a și valoarea sa egală cu b. În acest caz, egalitatea a=b n este adevărată. Numărul b ca oricare numar natural poate fi reprezentat ca produsul tuturor factorilor săi primi p 1 , p 2 , …, p m sub forma p 1 · p 2 · … · p m , iar numărul radical a în acest caz este reprezentat ca (p 1 · p 2 · … · p m) n. Deoarece descompunerea unui număr în factori primi este unică, descompunerea radicalului a în factori primi va avea forma (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, ceea ce face posibilă calcularea valorii rădăcinii la fel de.

Rețineți că dacă descompunerea în factori primi a unui număr radical a nu poate fi reprezentată sub forma (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, atunci rădăcina a n-a a unui astfel de număr a nu este complet extrasă.

Să ne dăm seama când rezolvăm exemplele.

Exemplu.

Luați rădăcina pătrată a lui 144.

Soluţie.

Dacă te uiți la tabelul de pătrate din paragraful anterior, poți vedea clar că 144 = 12 2, din care este clar că rădăcina pătrată a lui 144 este egală cu 12.

Dar în lumina acestui punct, ne interesează modul în care este extrasă rădăcina prin descompunerea numărului radical 144 în factori primi. Să ne uităm la această soluție.

Să ne descompunem 144 la factori primi:

Adică 144=2·2·2·2·3·3. Pe baza descompunerii rezultate, pot fi efectuate următoarele transformări: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Prin urmare, .

Folosind proprietățile gradului și proprietățile rădăcinilor, soluția ar putea fi formulată puțin diferit: .

Răspuns:

Pentru a consolida materialul, luați în considerare soluțiile pentru încă două exemple.

Exemplu.

Calculați valoarea rădăcinii.

Soluţie.

Descompunerea în factori primi a radicalului 243 are forma 243=3 5 . Prin urmare, .

Răspuns:

Exemplu.

Este valoarea rădăcină un număr întreg?

Soluţie.

Pentru a răspunde la această întrebare, să factorăm numărul radical în factori primi și să vedem dacă acesta poate fi reprezentat ca un cub al unui număr întreg.

Avem 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. Expansiunea rezultată nu poate fi reprezentată ca un cub al unui număr întreg, deoarece puterea factorului prim 7 nu este un multiplu de trei. Prin urmare, rădăcina cubă a lui 285.768 nu poate fi extrasă complet.

Răspuns:

Nu.

Extragerea rădăcinilor din numere fracționale

Este timpul să vă dați seama cum să extrageți rădăcina din număr fracționar. Să se scrie numărul radical fracționar ca p/q. Conform proprietății rădăcinii unui cot, următoarea egalitate este adevărată. Din această egalitate rezultă regula pentru extragerea rădăcinii unei fracții: Rădăcina unei fracții este egală cu câtul rădăcinii numărătorului împărțit la rădăcina numitorului.

Să ne uităm la un exemplu de extragere a unei rădăcini dintr-o fracție.

Exemplu.

Care este rădăcina pătrată a lui fracție comună 25/169 .

Soluţie.

Folosind tabelul de pătrate, aflăm că rădăcina pătrată a numărătorului fracției inițiale este egală cu 5, iar rădăcina pătrată a numitorului este egală cu 13. Apoi . Aceasta completează extragerea rădăcinii fracției comune 25/169.

Răspuns:

Rădăcina unei fracții zecimale sau a unui număr mixt este extrasă după înlocuirea numerelor radicale cu fracții obișnuite.

Exemplu.

Luați rădăcina cubă a fracției zecimale 474,552.

Soluţie.

Să ne imaginăm fracția zecimală inițială ca o fracție obișnuită: 474,552=474552/1000. Apoi . Rămâne să extragem rădăcinile cubice care se află la numărătorul și numitorul fracției rezultate. Deoarece 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 și 1 000 = 10 3, atunci Și . Mai rămâne doar să finalizați calculele .

Răspuns:

.

Luarea rădăcinii unui număr negativ

Merită să ne oprim asupra extragerii rădăcinilor din numerele negative. Când studiem rădăcinile, am spus că atunci când exponentul rădăcinii este un număr impar, atunci poate exista un număr negativ sub semnul rădăcinii. Am dat acestor intrări următoarea semnificație: pentru un număr negativ −a și un exponent impar al rădăcinii 2 n−1, . Această egalitate dă regula pentru extragerea rădăcinilor impare din numerele negative: pentru a extrage rădăcina unui număr negativ, trebuie să luați rădăcina numărului pozitiv opus și să puneți semnul minus în fața rezultatului.

Să ne uităm la soluția exemplu.

Exemplu.

Găsiți valoarea rădăcinii.

Soluţie.

Să transformăm expresia originală astfel încât să existe un număr pozitiv sub semnul rădăcinii: . Acum număr mixtînlocuiți-l cu o fracție obișnuită: . Aplicăm regula pentru extragerea rădăcinii unei fracții obișnuite: . Rămâne de calculat rădăcinile în numărătorul și numitorul fracției rezultate: .

Iată un scurt rezumat al soluției: .

Răspuns:

.

Determinarea pe biți a valorii rădăcinii

În cazul general, sub rădăcină există un număr care, folosind tehnicile discutate mai sus, nu poate fi reprezentat ca puterea a n-a a vreunui număr. Dar în același timp este nevoie să cunoaștem sensul rădăcină dată, cel putin pana la un anumit semn. În acest caz, pentru a extrage rădăcina, puteți utiliza un algoritm care vă permite să obțineți succesiv un număr suficient de valori de cifre ale numărului dorit.

Primul pas al acestui algoritm este de a afla care este bitul cel mai semnificativ al valorii rădăcină. Pentru a face acest lucru, numerele 0, 10, 100, ... sunt ridicate succesiv la puterea n până în momentul în care se obține un număr care depășește numărul radical. Apoi, numărul pe care l-am ridicat la puterea n în etapa anterioară va indica cifra corespunzătoare cea mai semnificativă.

De exemplu, luați în considerare acest pas al algoritmului atunci când extrageți rădăcină pătrată din cinci. Luați numerele 0, 10, 100, ... și pătrați-le până obținem un număr mai mare de 5. Avem 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5, ceea ce înseamnă că cea mai semnificativă cifră va fi cifra celor. Valoarea acestui bit, precum și a celor inferioare, vor fi găsite în următorii pași ai algoritmului de extracție a rădăcinii.

Toți pașii următori ai algoritmului au ca scop clarificarea succesivă a valorii rădăcinii prin găsirea valorilor următorilor biți ai valorii dorite a rădăcinii, începând cu cel mai mare și trecând la cei mai mici. De exemplu, valoarea rădăcinii la primul pas se dovedește a fi 2, la al doilea – 2,2, la al treilea – 2,23 și așa mai departe 2,236067977…. Să descriem cum sunt găsite valorile cifrelor.

Cifrele sunt găsite prin căutarea prin valorile lor posibile 0, 1, 2, ..., 9. În acest caz, puterile a n-a ale numerelor corespunzătoare sunt calculate în paralel și sunt comparate cu numărul radical. Dacă la un moment dat valoarea gradului depășește numărul radical, atunci valoarea cifrei corespunzătoare valorii anterioare este considerată găsită și se face trecerea la pasul următor al algoritmului de extracție a rădăcinii, dacă acest lucru nu se întâmplă; atunci valoarea acestei cifre este 9.

Să explicăm aceste puncte folosind același exemplu de extragere a rădăcinii pătrate a lui cinci.

Mai întâi găsim valoarea cifrei unităților. Vom parcurge valorile 0, 1, 2, ..., 9, calculând 0 2, 1 2, ..., respectiv 9 2, până când obținem o valoare mai mare decât numărul radical 5. Este convenabil să prezentați toate aceste calcule sub forma unui tabel:

Deci valoarea cifrei unităților este 2 (din moment ce 2 2<5 , а 2 3 >5). Să trecem la găsirea valorii locului zecimii. În acest caz, vom pătrat numerele 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, comparând valorile rezultate cu numărul radical 5:

Din 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, atunci valoarea locului zecimii este 2. Puteți trece la găsirea valorii locului sutimilor:

Așa a fost găsită următoarea valoare a rădăcinii lui cinci, este egală cu 2,23. Și astfel puteți continua să găsiți valori: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Pentru a consolida materialul, vom analiza extragerea rădăcinii cu o precizie de sutimi folosind algoritmul considerat.

Mai întâi determinăm cea mai semnificativă cifră. Pentru a face acest lucru, cubăm numerele 0, 10, 100 etc. până când obținem un număr mai mare de 2.151.186. Avem 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , deci cea mai semnificativă cifră este cifra zecilor.

Să-i determinăm valoarea.

Din 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186, atunci valoarea locului zecilor este 1. Să trecem la unități.

Astfel, valoarea cifrei celor este 2. Să trecem la zecimi.

Deoarece chiar și 12,9 3 este mai mic decât numărul radical 2 151,186, atunci valoarea locului zecimilor este 9. Rămâne de efectuat ultimul pas al algoritmului, ne va da valoarea rădăcinii cu precizia necesară.

În această etapă, valoarea rădăcinii este găsită cu o precizie de sutimi: .

În încheierea acestui articol, aș dori să spun că există multe alte modalități de a extrage rădăcini. Dar pentru majoritatea sarcinilor, cele pe care le-am studiat mai sus sunt suficiente.

Bibliografie.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. institutii de invatamant.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. şi altele Algebra şi începuturile analizei: Manual pentru clasele 10 - 11 ale instituţiilor de învăţământ general.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (un manual pentru cei care intră în școlile tehnice).

Instrucțiuni

Pentru a ridica un număr la puterea 1/3, introduceți numărul, apoi faceți clic pe butonul de exponențiere și introduceți valoarea aproximativă de 1/3 - 0,333. Această precizie este destul de suficientă pentru majoritatea calculelor. Cu toate acestea, acuratețea calculelor este foarte ușor de crescut - doar adăugați câte tripleți vor încadra pe indicatorul calculatorului (de exemplu, 0,3333333333333333). Apoi faceți clic pe butonul „=".

Pentru a calcula a treia rădăcină folosind un computer, rulați programul de calculator Windows. Procedura de calcul a celei de-a treia rădăcini este complet similară cu cea descrisă mai sus. Singura diferență este în designul butonului de exponențiere. Pe tastatura virtuală a calculatorului este indicat ca „x^y”.

A treia rădăcină poate fi calculată și în MS Excel. Pentru a face acest lucru, introduceți „=” în orice celulă și selectați pictograma „inserați” (fx). Selectați funcția „GRADĂ” în fereastra care apare și faceți clic pe butonul „OK”. În fereastra care apare, introduceți valoarea numărului pentru care doriți să calculați a treia rădăcină. În „Grad” introduceți numărul „1/3”. Introduceți numărul 1/3 exact în această formă - ca una obișnuită. După aceea, faceți clic pe butonul „Ok”. Rădăcina cubă a numărului dat va apărea în celula tabelului în care a fost creat.

Dacă a treia rădăcină trebuie calculată în mod constant, atunci îmbunătățiți ușor metoda descrisă mai sus. Pentru numărul din care doriți să extrageți rădăcina, indicați nu numărul în sine, ci o celulă de tabel. După aceea, trebuie doar să introduceți numărul original în această celulă de fiecare dată - rădăcina sa cubă va apărea în celula cu formula.

Video pe tema

Notă

Concluzie. Această lucrare a examinat diferite metode de calculare a valorilor rădăcinii cubice. S-a dovedit că valorile rădăcinii cubice pot fi găsite folosind metoda iterației, puteți, de asemenea, să aproximați rădăcina cubică, să ridicați numărul la puterea de 1/3, să căutați valorile celei de-a treia rădăcini folosind Microsoft Office Ecxel, setarea formulelor în celule.

Sfaturi utile

Rădăcinile gradului al doilea și al treilea sunt folosite în mod deosebit des și, prin urmare, au nume speciale. Rădăcină pătrată: În acest caz, exponentul este de obicei omis, iar termenul „rădăcină” fără a specifica exponentul implică cel mai adesea rădăcina pătrată. Calculul practic al rădăcinilor Algoritm pentru găsirea rădăcinii gradului al n-lea. Rădăcinile pătrate și cubice sunt de obicei furnizate în toate calculatoarele.

Surse:

• rădăcină cubică
• Cum se duce rădăcina pătrată la puterea a N-a în Excel

Operația de găsire a rădăcinii al treilea grade se numește de obicei extragerea rădăcinii „cubice” și constă în găsirea unui număr real, al cărui cub va da o valoare egală cu numărul radicalului. Operația de extragere a oricărei rădăcini aritmetice grade n este echivalent cu operaţia de ridicare la puterea 1/n. Există mai multe metode pe care le puteți folosi pentru a calcula practic rădăcina cubă.

Dacă aveți un calculator la îndemână, extragerea rădăcinii cubice a oricărui număr nu va fi nicio problemă. Dar dacă nu ai un calculator sau vrei doar să-i impresionezi pe alții, găsește manual rădăcina cubă. Majoritatea oamenilor vor găsi procesul descris aici destul de complicat, dar cu practică, extragerea rădăcinilor cubice va deveni mult mai ușoară. Înainte de a începe să citiți acest articol, amintiți-vă de operațiile și calculele matematice de bază cu numere cube.

Pași

Partea 1

Notează sarcina. Luarea rădăcinilor cubice cu mâna este similară cu diviziunea lungă, dar cu unele nuanțe. Mai întâi, notează sarcina într-o formă specifică.

• Notați numărul de la care doriți să luați rădăcina cubă. Împărțiți numărul în grupuri de trei cifre, începând cu punctul zecimal. De exemplu, trebuie să luați rădăcina cubă a lui 10. Scrieți acest număr astfel: 10.000.000 Zerourile suplimentare au scopul de a crește acuratețea rezultatului.
• Desenați un semn rădăcină lângă și deasupra numărului. Gândiți-vă la el ca la liniile orizontale și verticale pe care le desenați când împărțiți. Singura diferență este forma celor două semne.
• Plasați un punct zecimal deasupra liniei orizontale. Faceți acest lucru direct deasupra punctului zecimal al numărului original.

1. Amintiți-vă rezultatele numerelor întregi cuburi. Ele vor fi utilizate în calcule.

   • 1 3 = 1 ∗ 1 ∗ 1 = 1 (\displaystyle 1^(3)=1*1*1=1)
   • 2 3 = 2 ∗ 2 ∗ 2 = 8 (\displaystyle 2^(3)=2*2*2=8)
   • 3 3 = 3 ∗ 3 ∗ 3 = 27 (\displaystyle 3^(3)=3*3*3=27)
   • 4 3 = 4 ∗ 4 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 4^(3)=4*4*4=64)
   • 5 3 = 5 ∗ 5 ∗ 5 = 125 (\displaystyle 5^(3)=5*5*5=125)
   • 6 3 = 6 ∗ 6 ∗ 6 = 216 (\displaystyle 6^(3)=6*6*6=216)
   • 7 3 = 7 ∗ 7 ∗ 7 = 343 (\displaystyle 7^(3)=7*7*7=343)
   • 8 3 = 8 ∗ 8 ∗ 8 = 512 (\displaystyle 8^(3)=8*8*8=512)
   • 9 3 = 9 ∗ 9 ∗ 9 = 729 (\displaystyle 9^(3)=9*9*9=729)
   • 10 3 = 10 ∗ 10 ∗ 10 = 1000 (\displaystyle 10^(3)=10*10*10=1000)

2. Găsiți prima cifră a răspunsului. Alegeți cubul întregului care este cel mai apropiat, dar mai mic decât primul grup de trei cifre.

   • În exemplul nostru, primul grup de trei cifre este numărul 10. Găsiți cel mai mare cub care este mai mic de 10. Acest cub este 8, iar rădăcina cubă a lui 8 este 2.
   • Deasupra liniei orizontale de deasupra numărului 10, scrieți numărul 2. Apoi notați valoarea operației 2 3 (\displaystyle 2^(3))= 8 sub 10. Desenați o linie și scădeți 8 din 10 (ca și în cazul diviziunii lungi obișnuite). Rezultatul este 2 (acesta este primul rest).
   • Astfel, ați găsit prima cifră a răspunsului. Luați în considerare dacă rezultatul dat este suficient de precis. În cele mai multe cazuri, acesta va fi un răspuns foarte dur. Cubează rezultatul pentru a afla cât de aproape este de numărul inițial. În exemplul nostru: 2 3 (\displaystyle 2^(3))= 8, care nu este foarte aproape de 10, deci calculele trebuie continuate.

3. Găsiți următoarea cifră a răspunsului. Adăugați un al doilea grup de trei cifre la primul rest și trageți o linie verticală la stânga numărului rezultat. Folosind numărul rezultat, veți găsi a doua cifră a răspunsului. În exemplul nostru, trebuie să adăugăm un al doilea grup de trei cifre (000) la primul rest (2) pentru a obține numărul 2000.

   • În stânga liniei verticale veți scrie trei numere, a căror sumă este egală cu un anumit prim factor. Lăsați spații goale pentru aceste numere și puneți semnele plus între ele.

4. Găsiți primul termen (din trei).În primul spațiu gol, scrieți rezultatul înmulțirii numărului 300 cu pătratul primei cifre a răspunsului (este scris deasupra semnului rădăcinii). În exemplul nostru, prima cifră a răspunsului este 2, deci 300*(2^2) = 300*4 = 1200. Scrieți 1200 în primul spațiu liber. Primul termen este numărul 1200 (plus încă două numere de găsit).

   Găsiți a doua cifră a răspunsului. Aflați cu ce număr trebuie să înmulțiți 1200, astfel încât rezultatul să fie apropiat, dar să nu depășească 2000. Acest număr poate fi doar 1, deoarece 2 * 1200 = 2400, care este mai mult de 2000. Scrieți 1 (a doua cifră a răspunsul) după 2 și punctul zecimal deasupra semnului rădăcinii.

   Găsiți al doilea și al treilea termen (din trei). Multiplicatorul este format din trei numere (termeni), primul dintre care l-ați găsit deja (1200). Acum trebuie să găsim cei doi termeni rămași.

   • Înmulțiți 3 cu 10 și cu fiecare cifră a răspunsului (sunt scrise deasupra semnului rădăcinii). În exemplul nostru: 3*10*2*1 = 60. Adăugați acest rezultat la 1200 și obțineți 1260.
   • În cele din urmă, pătrați ultima cifră a răspunsului dvs. În exemplul nostru, ultima cifră a răspunsului este 1, deci 1^2 = 1. Astfel, primul factor este egal cu suma următoarelor numere: 1200 + 60 + 1 = 1261. Scrieți acest număr în stânga lui bara verticală.

5. Înmulțiți și scădeți.Înmulțiți ultima cifră a răspunsului (în exemplul nostru este 1) cu factorul găsit (1261): 1*1261 = 1261. Scrieți acest număr sub 2000 și scădeți-l din 2000. Veți obține 739 (acesta este al doilea rest ).

6. Luați în considerare dacă răspunsul primit este suficient de exact. Faceți acest lucru de fiecare dată când completați o altă scădere. După prima scădere, răspunsul a fost 2, ceea ce nu este un rezultat exact. După a doua scădere, răspunsul este 2,1.

   • Pentru a verifica acuratețea răspunsului, cubează-l: 2,1*2,1*2,1 = 9,261.
   • Dacă crezi că răspunsul este suficient de exact, nu trebuie să continui calculele; în caz contrar, face o altă scădere.

7. Găsiți al doilea factor. Pentru a vă exersa calculele și a obține un rezultat mai precis, repetați pașii de mai sus.

   • La al doilea rest (739) adăugați al treilea grup de trei cifre (000). Veți obține numărul 739000.
   • Înmulțiți 300 cu pătratul numărului scris deasupra semnului rădăcinii (21): 300 ∗ 21 2 (\displaystyle 300*21^(2)) = 132300.
   • Găsiți a treia cifră a răspunsului. Aflați cu ce număr trebuie să înmulțiți 132300, astfel încât rezultatul să fie aproape, dar să nu depășească 739000. Acest număr este 5: 5 * 132200 = 661500. Scrieți 5 (a treia cifră a răspunsului) după 1 de deasupra semn rădăcină.
   • Înmulțiți 3 cu 10 cu 21 și cu ultima cifră a răspunsului (sunt scrise deasupra semnului rădăcinii). În exemplul nostru: 3 ∗ 21 ∗ 5 ∗ 10 = 3150 (\displaystyle 3*21*5*10=3150).
   • În cele din urmă, pătrați ultima cifră a răspunsului dvs. În exemplul nostru, ultima cifră a răspunsului este 5, deci 5 2 = 25. (\displaystyle 5^(2)=25.)
   • Astfel, al doilea multiplicator este: 132300 + 3150 + 25 = 135475.

8. Înmulțiți ultima cifră a răspunsului cu al doilea factor. După ce ați găsit al doilea factor și a treia cifră a răspunsului, procedați după cum urmează:

   • Înmulțiți ultima cifră a răspunsului cu factorul găsit: 135475*5 = 677375.
   • Scăderea: 739000-677375 = 61625.
   • Luați în considerare dacă răspunsul primit este suficient de exact. Pentru a face acest lucru, tăiați-l în cub: 2 , 15 ∗ 2 , 15 ∗ 2 , 15 = 9 , 94 (\displaystyle 2,15*2,15*2,15=9,94).

9. Notează-ți răspunsul. Rezultatul, scris deasupra semnului rădăcinii, este răspunsul precis cu două zecimale. În exemplul nostru, rădăcina cubă a lui 10 este 2,15. Verificați răspunsul dvs. cubându-l: 2,15^3 = 9,94, care este aproximativ 10. Dacă aveți nevoie de mai multă precizie, continuați cu calculul (așa cum este descris mai sus).

   Partea 2

   Extragerea rădăcinii cubice folosind metoda de estimare

   1. Folosiți cuburi numerice pentru a determina limitele superioare și inferioare. Dacă trebuie să luați rădăcina cubă a aproape oricărui număr, găsiți cuburile (a unor numere) care sunt aproape de numărul dat.

      • De exemplu, trebuie să luați rădăcina cubă a lui 600. Din moment ce 8 3 = 512 (\displaystyle 8^(3)=512)Și 9 3 = 729 (\displaystyle 9^(3)=729), atunci valoarea rădăcinii cubice a lui 600 se află între 8 și 9. Prin urmare, folosiți numerele 512 și 729 ca limite superioară și inferioară a răspunsului.

   2. Estimați al doilea număr. Ai găsit primul număr datorită cunoștințelor tale despre cuburi de numere întregi. Acum transformați numărul întreg într-o fracție zecimală adăugând la acesta (după virgulă zecimală) un anumit număr de la 0 la 9. Trebuie să găsiți o fracție zecimală al cărei cub este aproape, dar mai mic decât, numărul inițial.

      • În exemplul nostru, numărul 600 este situat între numerele 512 și 729. De exemplu, adăugați numărul 5 la primul număr găsit (8). Numărul pe care îl obțineți este 8,5.
   3. • În exemplul nostru: 8 , 5 ∗ 8 , 5 ∗ 8 , 5 = 614 , 1. (\displaystyle 8.5*8.5*8.5=614.1.)

   4. Comparați cubul numărului rezultat cu numărul inițial. Dacă cubul numărului rezultat este mai mare decât numărul inițial, încercați să estimați numărul mai mic. Dacă cubul numărului rezultat este mult mai mic decât numărul inițial, evaluați numere mai mari până când cubul unuia dintre ele depășește numărul inițial.

      • În exemplul nostru: 8 , 5 3 (\displaystyle 8.5^(3))> 600. Deci evaluați numărul mai mic la 8,4. Cub acest număr și comparați-l cu numărul inițial: 8 , 4 ∗ 8 , 4 ∗ 8 , 4 = 592 , 7 (\displaystyle 8.4*8.4*8.4=592.7). Acest rezultat este mai mic decât numărul inițial. Astfel, valoarea rădăcinii cubice de 600 se află între 8,4 și 8,5.

   5. Rată următorul număr pentru a îmbunătăți acuratețea răspunsurilor. Pentru fiecare număr pe care l-ați estimat ultima dată, adăugați un număr de la 0 la 9 până când obțineți răspunsul exact. În fiecare rundă de evaluare, trebuie să găsiți limitele superioare și inferioare între care se află numărul inițial.

      • În exemplul nostru: 8 , 4 3 = 592 , 7 (\displaystyle 8.4^(3)=592.7)Și 8 , 5 3 = 614 , 1 (\displaystyle 8,5^(3)=614,1). Numărul inițial 600 este mai aproape de 592 decât de 614. Prin urmare, ultimului număr pe care l-ați estimat, atribuiți o cifră care este mai aproape de 0 decât de 9. De exemplu, un astfel de număr este 4. Prin urmare, cubează numărul 8,44.

   6. Dacă este necesar, estimați un număr diferit. Comparați cubul numărului rezultat cu numărul inițial. Dacă cubul numărului rezultat este mai mare decât numărul inițial, încercați să estimați numărul mai mic. Pe scurt, trebuie să găsiți două numere ale căror cuburi sunt puțin mai mari și puțin mai mici decât numărul inițial.

      • În exemplul nostru 8 , 44 ∗ 8 , 44 ∗ 8 , 44 = 601 , 2 (\displaystyle 8,44*8,44*8,44=601,2). Acesta este puțin mai mare decât numărul inițial, așa că estimați un alt număr (mai mic), cum ar fi 8,43: 8 , 43 ∗ 8 , 43 ∗ 8 , 43 = 599 , 07 (\displaystyle 8.43*8.43*8.43=599.07). Astfel, rădăcina cubă a lui 600 se află între 8,43 și 8,44.

   7. Urmați procesul descris până când obțineți un răspuns de care sunteți mulțumit. Estimați următorul număr, comparați-l cu originalul, apoi, dacă este necesar, estimați un alt număr și așa mai departe. Vă rugăm să rețineți că fiecare cifră suplimentară după virgulă zecimală crește acuratețea răspunsului.

      • În exemplul nostru, cubul de 8,43 este cu mai puțin de 1 decât numărul inițial Dacă aveți nevoie de mai multă precizie, cubul 8,434 și obțineți: 8, 434 3 = 599, 93 (\displaystyle 8,434^(3)=599,93), adică rezultatul este cu mai puțin de 0,1 mai mic decât numărul inițial.