Piramidă tetraedrică obișnuită. Piramida patrulateră în problema C2

Aici puteți găsi informații de bază despre piramide și formule și concepte aferente. Toate sunt studiate cu un tutore de matematică în pregătirea pentru examenul de stat unificat.

Luați în considerare un plan, un poligon , culcat în el și un punct S, nu întins în el. Să conectăm S la toate vârfurile poligonului. Poliedrul rezultat se numește piramidă. Segmentele se numesc coaste laterale. Poligonul se numește bază, iar punctul S este vârful piramidei. În funcție de numărul n, piramida se numește triunghiulară (n=3), pătrangulară (n=4), pentagonală (n=5) și așa mai departe. Titlu alternativ piramidă triunghiulară – tetraedru. Înălțimea unei piramide este perpendiculara care coboară din vârful ei până în planul bazei.

O piramidă se numește regulată dacă poligon regulat, iar baza înălțimii piramidei (baza perpendicularei) este centrul acesteia.

Comentariul tutorelui:
Nu confundați conceptele de „piramidă obișnuită” și „tetraedru obișnuit”. Într-o piramidă obișnuită, marginile laterale nu sunt neapărat egale cu marginile bazei, dar într-un tetraedru obișnuit, toate cele 6 margini sunt egale. Aceasta este definiția lui. Este ușor de demonstrat că egalitatea implică faptul că centrul P al poligonului coincide cu o înălțime de bază, deci un tetraedru obișnuit este o piramidă obișnuită.

Ce este o apotema?
Apotema unei piramide este înălțimea feței sale laterale. Dacă piramida este regulată, atunci toate apotemele ei sunt egale. Reversul nu este adevărat.

Un tutore de matematică despre terminologia sa: 80% din munca cu piramide este construită prin două tipuri de triunghiuri:
1) Conținând apotema SK și înălțimea SP
2) Conținând coastă laterală SA și proiecția sa PA

Pentru a simplifica referințele la aceste triunghiuri, este mai convenabil ca un profesor de matematică să îl numească pe primul dintre ele apotemal, și al doilea costal. Din păcate, această terminologie nu o veți găsi în niciunul dintre manuale, iar profesorul trebuie să o introducă unilateral.

Formula de volum piramidală:
1) , unde este aria bazei piramidei și este înălțimea piramidei
2) , unde este raza sferei înscrise și este aria suprafata intreaga piramide.
3) , unde MN este distanța dintre oricare două muchii care se încrucișează și este aria paralelogramului format din punctele de mijloc ale celor patru muchii rămase.

Proprietatea bazei înălțimii unei piramide:

Punctul P (vezi figura) coincide cu centrul cercului înscris la baza piramidei dacă este îndeplinită una dintre următoarele condiții:
1) Toate apotemele sunt egale
2) Toate fețele laterale sunt înclinate în mod egal față de bază
3) Toate apotemele sunt înclinate în mod egal față de înălțimea piramidei
4) Înălțimea piramidei este înclinată în mod egal față de toate fețele laterale

Comentariul profesorului de matematică: Vă rugăm să rețineți că toate punctele au un lucru în comun proprietate generală: într-un fel sau altul, fețele laterale sunt implicate peste tot (apotemele sunt elementele lor). Prin urmare, tutorele poate oferi o formulare mai puțin precisă, dar mai convenabilă pentru învățare: punctul P coincide cu centrul cercului înscris, baza piramidei, dacă există informații egale despre fețele sale laterale. Pentru a dovedi, este suficient să arătăm că toate triunghiurile apotemelor sunt egale.

Punctul P coincide cu centrul unui cerc circumscris lângă baza piramidei dacă una dintre cele trei condiții este adevărată:
1) Toate marginile laterale sunt egale
2) Toate nervurile laterale sunt înclinate în mod egal față de bază
3) Toate nervurile laterale sunt înclinate în mod egal pe înălțime

Primul nivel

Piramidă. Ghid vizual (2019)

Ce este o piramidă?

Cum arată ea?

Vedeți: în partea de jos a piramidei (se spune „ la baza") un poligon și toate vârfurile acestui poligon sunt conectate la un punct din spațiu (acest punct se numește " vârf»).

Toată această structură mai are fetele laterale, coaste lateraleȘi coaste de bază. Încă o dată, să desenăm o piramidă împreună cu toate aceste nume:

Unele piramide pot părea foarte ciudate, dar sunt încă piramide.

Aici, de exemplu, este complet „oblic” piramidă.

Și mai multe despre nume: dacă există un triunghi la baza piramidei, atunci piramida se numește triunghiulară, dacă este un patrulater, atunci patruunghiular, iar dacă este un centagon, atunci... ghiciți singur. .

În același timp, punctul în care a căzut înălţime, numit baza de inaltime. Vă rugăm să rețineți că în piramidele „strâmbe”. înălţime poate ajunge chiar în afara piramidei. Ca aceasta:

Și nu este nimic în neregulă cu asta. Arată ca un triunghi obtuz.

Piramida corectă.

Mult cuvinte complexe? Să descifrăm: „La bază - corect” - acest lucru este de înțeles. Acum să ne amintim că un poligon obișnuit are un centru - un punct care este centrul lui și , și .

Ei bine, cuvintele „vârful este proiectat în centrul bazei” înseamnă că baza înălțimii cade exact în centrul bazei. Uite ce netedă și drăguță arată piramida regulata.

Hexagonal: la bază există un hexagon regulat, vârful este proiectat în centrul bazei.

Patraunghiular: baza este un pătrat, vârful este proiectat la punctul de intersecție a diagonalelor acestui pătrat.

Triunghiular: la bază se află un triunghi regulat, vârful este proiectat până la punctul de intersecție al înălțimilor (sunt și mediane și bisectoare) acestui triunghi.

Foarte proprietăți importante ale unei piramide obișnuite:

În piramida dreaptă

toate marginile laterale sunt egale.
toate fetele laterale - triunghiuri isosceleși toate aceste triunghiuri sunt egale.

Volumul piramidei

Formula principală pentru volumul unei piramide:

De unde anume a venit? Acest lucru nu este atât de simplu și la început trebuie doar să vă amintiți că o piramidă și un con au volum în formulă, dar un cilindru nu.

Acum să calculăm volumul celor mai populare piramide.

Lasă latura bazei să fie egală și marginea laterală egală. Trebuie să găsim și.

Aceasta este aria unui triunghi regulat.

Să ne amintim cum să căutăm această zonă. Folosim formula zonei:

Pentru noi, „ ” este aceasta, iar „ ” este și aceasta, eh.

Acum să-l găsim.

Conform teoremei lui Pitagora pt

Care este diferența? Acesta este circumradius în deoarece piramidăcorectși, prin urmare, centrul.

Deoarece - punctul de intersecție al medianelor de asemenea.

(teorema lui Pitagora pentru)

Să o înlocuim în formula pentru.

Și să înlocuim totul în formula de volum:

Atenţie: dacă aveți un tetraedru obișnuit (adică), atunci formula se dovedește astfel:

Lasă latura bazei să fie egală și marginea laterală egală.

Nu este nevoie să te uiți aici; La urma urmei, baza este un pătrat și, prin urmare.

O vom găsi. Conform teoremei lui Pitagora pt

știm noi? Aproape. Uite:

(am văzut asta uitându-ne la ea).

Înlocuiți în formula pentru:

Și acum înlocuim și în formula de volum.

Lasă latura bazei să fie egală și marginea laterală.

Cum să găsești? Uite, un hexagon este format din exact șase triunghiuri regulate identice. Am căutat deja aria unui triunghi regulat atunci când calculăm volumul unei piramide triunghiulare obișnuite aici folosim formula pe care am găsit-o.

Acum să-l găsim.

Conform teoremei lui Pitagora pt

Dar ce contează? Este simplu pentru că (și toți ceilalți) au dreptate.

Să înlocuim:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

PIRAMIDĂ. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

O piramidă este un poliedru care constă dintr-un poligon plat (), un punct care nu se află în planul bazei (partea superioară a piramidei) și toate segmentele care leagă vârful piramidei cu punctele bazei (marginile laterale).

O perpendiculară coborâtă din vârful piramidei spre planul bazei.

Piramida corectă- o piramidă în care un poligon regulat se află la bază, iar vârful piramidei este proiectat în centrul bazei.

Proprietatea unei piramide regulate:

Într-o piramidă obișnuită, toate marginile laterale sunt egale.
Toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele și toate aceste triunghiuri sunt egale.

Acest tutorial video va ajuta utilizatorii să-și facă o idee despre tema Piramida. Piramida corectă. În această lecție ne vom familiariza cu conceptul de piramidă și îi vom da o definiție. Să luăm în considerare ce este o piramidă obișnuită și ce proprietăți are. Apoi demonstrăm teorema despre suprafața laterală a unei piramide regulate.

În această lecție ne vom familiariza cu conceptul de piramidă și îi vom da o definiție.

Luați în considerare un poligon A 1 A 2...A n, care se află în planul α și punctul P, care nu se află în planul α (Fig. 1). Să conectăm punctele P cu vârfuri A 1, A 2, A 3, … A n. Primim n triunghiuri: A 1 A 2 R, A 2 A 3 Rși așa mai departe.

Definiție. Poliedru RA 1 A 2 ...A n, alcătuit din n-pătrat A 1 A 2...A nȘi n triunghiuri RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 este numit n-piramida cărbunelui. Orez. 1.

Orez. 1

Luați în considerare o piramidă patruunghiulară PABCD(Fig. 2).

R- vârful piramidei.

ABCD- baza piramidei.

RA- coasta laterala.

AB- coasta de baza.

Din punct de vedere R să scăpăm perpendiculara RN la planul de bază ABCD. Perpendiculara desenată este înălțimea piramidei.

Orez. 2

Suprafața completă a piramidei este formată din suprafața laterală, adică aria tuturor fețelor laterale și aria bazei:

S plin = S lateral + S principal

O piramidă se numește corectă dacă:

baza sa este un poligon regulat;
segmentul care leagă vârful piramidei cu centrul bazei este înălțimea acesteia.

Explicație folosind exemplul unei piramide patruunghiulare obișnuite

Luați în considerare o piramidă patruunghiulară obișnuită PABCD(Fig. 3).

R- vârful piramidei. Baza piramidei ABCD- un patrulater regulat, adică un pătrat. Punct DESPRE, punctul de intersecție al diagonalelor, este centrul pătratului. Mijloace, RO este înălțimea piramidei.

Orez. 3

Explicaţie: în corect nÎntr-un triunghi, centrul cercului înscris și centrul cercului circumscris coincid. Acest centru se numește centrul poligonului. Uneori se spune că vârful este proiectat în centru.

Se numește înălțimea feței laterale a unei piramide regulate trasă din vârful acesteia apotema si este desemnat h a.

1. toate marginile laterale ale unei piramide regulate sunt egale;

2. Fețele laterale sunt triunghiuri isoscele egale.

Vom da o dovadă a acestor proprietăți folosind exemplul unei piramide patruunghiulare obișnuite.

Dat: PABCD- piramida patruunghiulara regulata,

ABCD- pătrat,

RO- inaltimea piramidei.

Dovedi:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Vezi Fig. 4.

Orez. 4

Dovada.

RO- inaltimea piramidei. Adică drept RO perpendicular pe plan ABC, și deci direct SA, VO, SOȘi DO culcat în ea. Deci triunghiuri ROA, ROV, ROS, ROD- dreptunghiular.

Luați în considerare un pătrat ABCD. Din proprietățile unui pătrat rezultă că AO = VO = CO = DO.

Apoi triunghiurile dreptunghiulare ROA, ROV, ROS, ROD picior RO- general si picioare SA, VO, SOȘi DO sunt egale, ceea ce înseamnă că aceste triunghiuri sunt egale pe două laturi. Din egalitatea triunghiurilor rezultă egalitatea segmentelor, RA = PB = RS = PD. Punctul 1 a fost dovedit.

Segmente ABȘi Soare sunt egale pentru că sunt laturile aceluiași pătrat, RA = PB = RS. Deci triunghiuri AVRȘi VSR - isoscel și egal pe trei laturi.

Într-un mod similar găsim că triunghiurile ABP, VCP, CDP, DAP sunt isoscele și egale, așa cum este necesar să se dovedească la paragraful 2.

Aria suprafeței laterale a unei piramide regulate este egală cu jumătate din produsul dintre perimetrul bazei și apotema:

Pentru a demonstra acest lucru, să alegem o piramidă triunghiulară obișnuită.

Dat: RAVS- piramida triunghiulara regulata.

AB = BC = AC.

RO- înălțime.

Dovedi: . Vezi fig. 5.

Orez. 5

Dovada.

RAVS- piramida triunghiulara regulata. Acesta este AB= AC = BC. Lăsa DESPRE- centrul triunghiului ABC, Apoi RO este înălțimea piramidei. La baza piramidei se află un triunghi echilateral ABC. observa asta .

Triunghiuri RAV, RVS, RSA- triunghiuri isoscele egale (după proprietate). O piramidă triunghiulară are trei fețe laterale: RAV, RVS, RSA. Aceasta înseamnă că aria suprafeței laterale a piramidei este:

Partea S = 3S RAW

Teorema este demonstrată.

Raza unui cerc înscris la baza unei piramide patrulatere obișnuite este de 3 m, înălțimea piramidei este de 4 m Aflați aria suprafeței laterale a piramidei.

Dat: piramidă patruunghiulară regulată ABCD,

ABCD- pătrat,

r= 3 m,

RO- inaltimea piramidei,

RO= 4 m.

Găsi: partea S. Vezi fig. 6.

Orez. 6

Soluţie.

Conform teoremei dovedite, .

Să găsim mai întâi partea laterală a bazei AB. Știm că raza unui cerc înscris la baza unei piramide patruunghiulare regulate este de 3 m.

Apoi, m.

Aflați perimetrul pătratului ABCD cu latura de 6 m:

Luați în considerare un triunghi BCD. Lăsa M- mijlocul lateral DC. Deoarece DESPRE- mijloc BD, Acea (m).

Triunghi DPC- isoscel. M- mijloc DC. Acesta este, RM- mediană și deci înălțimea în triunghi DPC. Apoi RM- apotema piramidei.

RO- inaltimea piramidei. Apoi, drept RO perpendicular pe plan ABC, și deci direct OM, culcat în ea. Să găsim apotema RM din triunghi dreptunghic ROM.

Acum putem găsi suprafata laterala piramide:

Răspuns: 60 m2.

Raza cercului circumscris bazei unei piramide triunghiulare regulate este egală cu m Aria suprafeței laterale este de 18 m2. Aflați lungimea apotemului.

Dat: ABCP- piramida triunghiulara regulata,

AB = BC = SA,

R= m,

Latura S = 18 m2.

Găsi: . Vezi fig. 7.

Orez. 7

Soluţie.

Într-un triunghi dreptunghic ABC Este dată raza cercului circumscris. Să găsim o parte AB acest triunghi folosind teorema sinusurilor.

Cunoscând latura unui triunghi regulat (m), găsim perimetrul acestuia.

Prin teorema pe suprafața laterală a unei piramide regulate, unde h a- apotema piramidei. Apoi:

Răspuns: 4 m.

Deci, ne-am uitat la ce este o piramidă, ce este o piramidă obișnuită și am demonstrat teorema despre suprafața laterală a unei piramide obișnuite. În lecția următoare ne vom familiariza cu piramida trunchiată.

Bibliografie

Geometrie. Clasele 10-11: manual pentru studenții instituțiilor de învățământ general (de bază și niveluri de profil) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - Ed. a 5-a, rev. si suplimentare - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill.
Geometrie. Clasa 10-11: Manual pentru invatamantul general institutii de invatamant/ Sharygin I.F. - M.: Gutarda, 1999. - 208 p.: ill.
Geometrie. Nota a 10-a: Manual pentru instituţiile de învăţământ general cu studiu aprofundat şi de specialitate la matematică /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - Ed. a VI-a, stereotip. - M.: Butard, 008. - 233 p.: ill.

Portalul de internet „Yaklass” ()
Portalul de internet „Festivalul ideilor pedagogice „Primul septembrie” ()
Portalul de internet „Slideshare.net” ()

Teme pentru acasă

Poate un poligon regulat să fie baza unei piramide neregulate?
Demonstrați că muchiile disjunse ale unei piramide regulate sunt perpendiculare.
Aflați valoarea unghiului diedrului de pe latura bazei unei piramide patruunghiulare regulate dacă apotema piramidei este egală cu latura bazei acesteia.
RAVS- piramida triunghiulara regulata. Construiți unghiul liniar al unghiului diedric de la baza piramidei.

Definiție

Piramidă este un poliedru compus dintr-un poligon \(A_1A_2...A_n\) și \(n\) triunghiuri cu un vârf comun \(P\) (nu se află în planul poligonului) și laturile opuse acestuia, care coincid cu laturile poligonului.
Denumire: \(PA_1A_2...A_n\) .
Exemplu: piramidă pentagonală \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Triunghiuri \(PA_1A_2, \PA_2A_3\), etc. sunt numite fetele laterale piramide, segmente \(PA_1, PA_2\), etc. – coaste laterale, poligon \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – bază, punctul \(P\) – top.

Înălţime piramidele sunt o perpendiculară coborâtă de la vârful piramidei până la planul bazei.

O piramidă cu un triunghi la bază se numește tetraedru.

Piramida se numește corect, dacă baza sa este un poligon regulat și este îndeplinită una dintre următoarele condiții:

\((a)\) marginile laterale ale piramidei sunt egale;

\((b)\) înălțimea piramidei trece prin centrul cercului circumscris lângă bază;

\((c)\) nervurile laterale sunt înclinate pe planul bazei la același unghi.

\((d)\) fețele laterale sunt înclinate față de planul bazei la același unghi.

Tetraedru regulat este o piramidă triunghiulară, toate ale cărei fețe sunt triunghiuri echilaterale egale.

Teorema

Condițiile \((a), (b), (c), (d)\) sunt echivalente.

Dovada

Să aflăm înălțimea piramidei \(PH\) . Fie \(\alpha\) planul bazei piramidei.

1) Să demonstrăm că din \((a)\) rezultă \((b)\) . Fie \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Deoarece \(PH\perp \alpha\), atunci \(PH\) este perpendiculară pe orice dreaptă situată în acest plan, ceea ce înseamnă că triunghiurile sunt dreptunghiulare. Aceasta înseamnă că aceste triunghiuri sunt egale în cateta comună \(PH\) și ipotenuză \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Aceasta înseamnă \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Aceasta înseamnă că punctele \(A_1, A_2, ..., A_n\) sunt la aceeași distanță de punctul \(H\), prin urmare, ele se află pe același cerc cu raza \(A_1H\) . Acest cerc, prin definiție, este circumscris poligonului \(A_1A_2...A_n\) .

2) Să demonstrăm că \((b)\) implică \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) dreptunghiulară și egală pe două picioare. Aceasta înseamnă că unghiurile lor sunt de asemenea egale, prin urmare, \(\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH\).

3) Să demonstrăm că \((c)\) implică \((a)\) .

Similar cu primul punct, triunghiuri \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) dreptunghiular atât de-a lungul piciorului cât și unghiul ascuțit. Aceasta înseamnă că și ipotenuzele lor sunt egale, adică \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Să demonstrăm că din \((b)\) rezultă \((d)\) .

Deoarece într-un poligon regulat centrele cercurilor circumscrise și înscrise coincid (în general, acest punct se numește centrul unui poligon regulat), atunci \(H\) este centrul cercului înscris. Să desenăm perpendiculare din punctul \(H\) spre laturile bazei: \(HK_1, HK_2\), etc. Acestea sunt razele cercului înscris (prin definiție). Apoi, conform TTP (\(PH\) este o perpendiculară pe plan, \(HK_1, HK_2\), etc. sunt proiecții perpendiculare pe laturi) înclinate \(PK_1, PK_2\), etc. perpendicular pe laturile \(A_1A_2, A_2A_3\), etc. respectiv. Deci, prin definiție \(\unghi PK_1H, \unghi PK_2H\) egal cu unghiurile dintre fețele laterale și bază. Deoarece triunghiurile \(PK_1H, PK_2H, ...\) sunt egale (ca dreptunghiulare pe două laturi), apoi unghiurile \(\unghi PK_1H, \unghi PK_2H, ...\) sunt egale.

5) Să demonstrăm că \((d)\) implică \((b)\) .

Similar cu al patrulea punct, triunghiurile \(PK_1H, PK_2H, ...\) sunt egale (ca dreptunghiulare de-a lungul catetei și unghi ascuțit), ceea ce înseamnă că segmentele \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) sunt egal. Aceasta înseamnă, prin definiție, \(H\) este centrul unui cerc înscris în bază. Dar pentru că Pentru poligoane regulate, centrele cercului înscris și circumscris coincid, atunci \(H\) este centrul cercului circumscris. Chtd.

Consecinţă

Fețele laterale ale unei piramide regulate sunt triunghiuri isoscele egale.

Definiție

Se numește înălțimea feței laterale a unei piramide regulate trasă din vârful acesteia apotema.
Apotemele tuturor fețelor laterale ale unei piramide regulate sunt egale între ele și sunt, de asemenea, mediane și bisectoare.

Notite importante

1. Înălțimea unei piramide triunghiulare regulate cade în punctul de intersecție a înălțimilor (sau bisectoarelor, sau medianelor) bazei (baza este un triunghi regulat).

2. Înălțimea unei piramide patruunghiulare regulate scade în punctul de intersecție a diagonalelor bazei (baza este un pătrat).

3. Înălțimea este corectă piramida hexagonala cade în punctul de intersecție al diagonalelor bazei (baza este un hexagon regulat).

4. Înălțimea piramidei este perpendiculară pe orice linie dreaptă aflată la bază.

Definiție

Piramida se numește dreptunghiular, dacă una dintre marginile sale laterale este perpendiculară pe planul bazei.

Notite importante

1. Într-o piramidă dreptunghiulară, muchia perpendiculară pe bază este înălțimea piramidei. Adică \(SR\) este înălțimea.

2. Pentru că Atunci \(SR\) este perpendiculară pe orice dreaptă de la bază \(\triunghi SRM, \triunghi SRP\)– triunghiuri dreptunghiulare.

3. Triunghiuri \(\triunghi SRN, \triunghi SRK\)- de asemenea dreptunghiular.
Adică orice triunghi format din această muchie și diagonala care iese din vârful acestei muchii aflată la bază va fi dreptunghiular.

\[(\Large(\text(Volumul și suprafața piramidei)))\]

Teorema

Volumul piramidei este egal cu o treime din produsul dintre suprafața bazei și înălțimea piramidei: \

Consecințe

Fie \(a\) latura bazei, \(h\) înălțimea piramidei.

1. Volumul unei piramide triunghiulare regulate este \(V_(\text(triunghi drept.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Volumul unei piramide patruunghiulare regulate este \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).

3. Volumul unei piramide hexagonale regulate este \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Volumul unui tetraedru regulat este \(V_(\text(right tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Teorema

Aria suprafeței laterale a unei piramide regulate este egală cu jumătatea produsului dintre perimetrul bazei și apotema.

\[(\Large(\text(Frustum)))\]

Definiție

Luați în considerare o piramidă arbitrară \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Să desenăm un plan paralel cu baza piramidei printr-un anumit punct situat pe marginea laterală a piramidei. Acest plan va împărți piramida în două poliedre, dintre care una este o piramidă (\(PB_1B_2...B_n\)), iar cealaltă se numește trunchi de piramidă(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

Piramida trunchiată are două baze - poligoane \(A_1A_2...A_n\) și \(B_1B_2...B_n\) care sunt similare între ele.

Înălțimea unei piramide trunchiate este o perpendiculară trasată de la un punct al bazei superioare la planul bazei inferioare.

Notite importante

1. Toate fețele laterale ale unei piramide trunchiate sunt trapeze.

2. Segmentul care leagă centrele bazelor unei piramide trunchiate regulate (adică o piramidă obținută prin secțiunea transversală a unei piramide regulate) este înălțimea.

Introducere

Când am început să studiem figurile stereometrice, am atins subiectul „Piramida”. Ne-a plăcut acest subiect pentru că piramida este foarte des folosită în arhitectură. Și de la noi viitoare profesie arhitect, inspirat de această figură, credem că ne poate împinge spre proiecte mărețe.

Rezistența structurilor arhitecturale este cea mai importantă calitate a acestora. Legarea rezistenței, în primul rând, cu materialele din care sunt create și, în al doilea rând, cu caracteristicile soluțiilor de proiectare, se dovedește că rezistența unei structuri este direct legată de forma geometrică care este de bază pentru aceasta.

Cu alte cuvinte, vorbim despre acea figură geometrică care poate fi considerată ca model al corespondentei formă arhitecturală. Se pare că forma geometrică determină și rezistența unei structuri arhitecturale.

Din cele mai vechi timpuri, piramidele egiptene au fost considerate cele mai durabile structuri arhitecturale. După cum știți, au forma unor piramide patruunghiulare obișnuite.

Această formă geometrică este cea care oferă cea mai mare stabilitate datorită suprafeței mari de bază. Pe de altă parte, forma piramidei asigură că masa scade pe măsură ce înălțimea deasupra solului crește. Aceste două proprietăți sunt cele care fac piramida stabilă și, prin urmare, puternică în condițiile gravitației.

Obiectivul proiectului: învață ceva nou despre piramide, aprofundează-ți cunoștințele și găsește aplicații practice.

Pentru a atinge acest obiectiv, a fost necesar să se rezolve următoarele sarcini:

· Aflați informații istorice despre piramidă

· Considerați piramida ca figură geometrică

· Găsiți aplicații în viață și arhitectură

· Găsiți asemănările și diferențele dintre piramidele situate în părți diferite Sveta

Partea teoretică

Informații istorice

Începutul geometriei piramidei a fost stabilit în Egiptul Antic și Babilon, dar a fost dezvoltat activ în Grecia antică. Primul care a stabilit volumul piramidei a fost Democrit, iar Eudox din Cnidus a dovedit-o. Matematicianul grec antic Euclid a sistematizat cunoștințele despre piramidă în Volumul XII a „Principiilor” sale și a derivat și prima definiție a unei piramide: o figură corporală delimitată de planuri care converg de la un plan la un punct.

Mormintele faraonilor egipteni. Cele mai mari dintre ele - piramidele lui Keops, Khafre și Mikerin din El Giza - au fost considerate una dintre cele șapte minuni ale lumii în antichitate. Construcția piramidei, în care grecii și romanii au văzut deja un monument al mândriei fără precedent a regilor și a cruzimii care a condamnat întregul popor al Egiptului la o construcție fără sens, a fost cel mai important act de cult și trebuia să exprime, aparent, identitatea mistică a țării și a conducătorului ei. Populația țării a lucrat la construirea mormântului în perioada anului lipsită de muncă agricolă. O serie de texte mărturisesc atenția și grija pe care regii înșiși (deși dintr-o perioadă mai târziu) le-au acordat construcției mormântului lor și a constructorilor acestuia. Se știe și despre onorurile speciale de cult care au fost acordate piramidei în sine.

Noțiuni de bază

Piramidă se numește poliedru a cărui bază este un poligon, iar fețele rămase sunt triunghiuri care au un vârf comun.

Apotema- inaltimea fetei laterale a unei piramide regulate, trasa din varful acesteia;

Fețe laterale- triunghiuri întâlnite la un vârf;

Coaste laterale- laturile comune ale fetelor laterale;

Vârful piramidei- un punct care leagă nervurile laterale și care nu se află în planul bazei;

Înălţime- un segment perpendicular trasat prin vârful piramidei până la planul bazei acesteia (capetele acestui segment sunt vârful piramidei și baza perpendicularei);

Secțiunea diagonală a unei piramide- sectiune a piramidei care trece prin varful si diagonala bazei;

Baza- un poligon care nu aparține vârfului piramidei.

Proprietățile de bază ale unei piramide obișnuite

Marginile laterale, fețele laterale și respectiv apotemele sunt egale.

Unghiurile diedrice de la bază sunt egale.

Unghiurile diedrice la marginile laterale sunt egale.

Fiecare punct de înălțime este echidistant de toate vârfurile bazei.

Fiecare punct de înălțime este echidistant de toate fețele laterale.

Formule piramidale de bază

Aria suprafeței laterale și totale a piramidei.

Aria suprafeței laterale a unei piramide (plină și trunchiată) este suma ariilor tuturor fețelor sale laterale, aria suprafeței totale este suma ariilor tuturor fețelor sale.

Teoremă: Aria suprafeței laterale a unei piramide regulate este egală cu jumătate din produsul perimetrului bazei și apotema piramidei.

p- perimetrul de bază;

h- apotema.

Aria suprafețelor laterale și pline ale unei piramide trunchiate.

p 1, p 2 - perimetrele de bază;

h- apotema.

R- suprafața totală a unei piramide trunchiate obișnuite;

partea S- zona suprafeței laterale a unei piramide trunchiate regulate;

S1 + S2- suprafata de baza

Volumul piramidei

Formă volumul ula este folosit pentru piramide de orice fel.

H- inaltimea piramidei.

Colțurile piramidei

Unghiurile formate de fața laterală și baza piramidei se numesc unghiuri diedrice la baza piramidei.

Un unghi diedru este format din două perpendiculare.

Pentru a determina acest unghi, de multe ori trebuie să utilizați teorema celor trei perpendiculare.

Se numesc unghiurile formate de marginea laterală și proiecția acesteia pe planul de bază unghiuri dintre marginea laterală și planul bazei.

Unghiul format din două margini laterale se numește unghi diedru la marginea laterală a piramidei.

Se numește unghiul format din două muchii laterale ale unei fețe ale piramidei unghiul din vârful piramidei.

Secțiuni piramidale

Suprafața unei piramide este suprafața unui poliedru. Fiecare dintre fețele sale este un plan, deci secțiunea unei piramide definită de un plan de tăiere este linie frântă, constând din linii drepte individuale.

Secțiune diagonală

Secțiunea unei piramide printr-un plan care trece prin două margini laterale care nu se află pe aceeași față se numește secțiune diagonală piramide.

Secțiuni paralele

Teorema:

Dacă piramida este intersectată de un plan paralel cu baza, atunci marginile laterale și înălțimile piramidei sunt împărțite de acest plan în părți proporționale;

Secțiunea acestui plan este un poligon asemănător bazei;

Zonele secțiunii și ale bazei sunt legate între ele ca pătratele distanțelor lor de la vârf.

Tipuri de piramide

Piramida corectă– o piramidă a cărei bază este un poligon regulat, iar vârful piramidei este proiectat în centrul bazei.

Pentru o piramidă obișnuită:

1. coastele laterale sunt egale

2. fețele laterale sunt egale

3. apotemele sunt egale

4. unghiurile diedrice la bază sunt egale

5. unghiurile diedrice la marginile laterale sunt egale

6. fiecare punct de înălțime este echidistant de toate vârfurile bazei

7. fiecare punct de înălțime este echidistant de toate marginile laterale

Piramida trunchiată- parte a piramidei cuprinsă între baza sa și un plan de tăiere paralel cu baza.

Baza și secțiunea corespunzătoare a unei piramide trunchiate se numesc bazele unei piramide trunchiate.

Se numește perpendiculară trasată din orice punct al unei baze pe planul alteia înălțimea unei piramide trunchiate.

Sarcini

Numarul 1. Într-o piramidă patruunghiulară obișnuită, punctul O este centrul bazei, SO = 8 cm, BD = 30 cm Aflați muchia laterală SA.

Rezolvarea problemelor

Numarul 1. Într-o piramidă obișnuită, toate fețele și marginile sunt egale.

Luați în considerare OSB: OSB este un dreptunghi dreptunghiular, deoarece.

SB2 =SO2 +OB2

SB2 =64+225=289

Piramida în arhitectură

O piramidă este o structură monumentală sub forma unei piramide geometrice regulate obișnuite, în care laturile converg într-un punct. După scopul lor funcțional, piramidele în antichitate erau locuri de înmormântare sau de cult. Baza unei piramide poate avea formă triunghiulară, pătrangulară sau poligonală, cu un număr arbitrar de vârfuri, dar cea mai comună versiune este baza pătraunghiulară.

Cunoscut o sumă considerabilă piramide construite de diferite culturi Lumea anticaîn principal ca temple sau monumente. Piramidele mari includ piramidele egiptene.

Peste tot Pământul puteți vedea structuri arhitecturale sub formă de piramide. Clădirile piramidale amintesc de cele mai vechi timpuri și arată foarte frumos.

Piramidele egiptene cele mai mari monumente de arhitectură Egiptul antic, printre care una dintre „Șapte minuni ale lumii” este Piramida lui Keops. De la picior până în vârf ajunge la 137,3 m, iar înainte de a pierde vârful, înălțimea sa era de 146,7 m.

Clădirea postului de radio din capitala Slovaciei, asemănătoare cu o piramidă inversată, a fost construită în 1983. Pe lângă birouri și spații de servicii, în interiorul volumului există un spațiu destul de spațios. sală de concerte, care are unul dintre cele mai mari organe din Slovacia.

Luvru, care este „tăcut, neschimbat și maiestuos, ca o piramidă”, a suferit multe schimbări de-a lungul secolelor înainte de a deveni cel mai mare muzeu din lume. S-a născut ca cetate, ridicată de Filip Augustus în 1190, care a devenit curând reședință regală. În 1793 palatul a devenit muzeu. Colecțiile sunt îmbogățite prin legaturi sau achiziții.