Cum se rezolvă ecuații pătratice. Ecuații patratice incomplete. Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete

Se știe că este o versiune particulară a egalității ax 2 + bx + c = o, unde a, b și c sunt coeficienți reali pentru x necunoscut și unde a ≠ o și b și c vor fi zerouri - simultan sau separat. De exemplu, c = o, b ≠ o sau invers. Aproape ne-am amintit definiția unei ecuații pătratice.

Trinomul de gradul doi este zero. Primul său coeficient a ≠ o, b și c poate lua orice valoare. Valoarea variabilei x va fi atunci când substituția o transformă într-o egalitate numerică corectă. Să ne concentrăm pe rădăcinile reale, deși ecuațiile pot fi și soluții. Se obișnuiește să se numească o ecuație completă în care niciunul dintre coeficienți nu este egal cu o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o.
Să rezolvăm un exemplu. 2x 2 -9x-5 = oh, găsim
D = 81+40 = 121,
D este pozitiv, ceea ce înseamnă că există rădăcini, x 1 = (9+√121):4 = 5, iar al doilea x 2 = (9-√121):4 = -o.5. Verificarea vă va ajuta să vă asigurați că sunt corecte.

Iată o soluție pas cu pas a ecuației pătratice

Folosind discriminantul, puteți rezolva orice ecuație pe partea stângă a căreia există un trinom pătratic cunoscut pentru a ≠ o. În exemplul nostru. 2x 2 -9x-5 = 0 (ax 2 +in+s = o)

Să luăm în considerare ce sunt ecuațiile incomplete de gradul doi

1. ax 2 +in = o. Termenul liber, coeficientul c la x 0, este egal cu zero aici, în ≠ o.
   Cum se rezolvă o ecuație pătratică incompletă de acest tip? Să scoatem x din paranteze. Să ne amintim când produsul a doi factori este egal cu zero.
   x(ax+b) = o, aceasta poate fi atunci când x = o sau când ax+b = o.
   După rezolvarea a 2-a avem x = -в/а.
   Ca urmare, avem rădăcini x 1 = 0, conform calculelor x 2 = -b/a.
2. Acum coeficientul lui x este egal cu o, iar c nu este egal (≠) o.
   x 2 +c = o. Să mutăm c în partea dreaptă a egalității, obținem x 2 = -с. Această ecuație are rădăcini reale numai atunci când -c este un număr pozitiv (c ‹ o),
   x 1 este atunci egal cu √(-c), respectiv, x 2 este -√(-c). În caz contrar, ecuația nu are deloc rădăcini.
3. Ultima opțiune: b = c = o, adică ax 2 = o. Desigur, o astfel de ecuație simplă are o rădăcină, x = o.

Cazuri speciale

Ne-am uitat la cum să rezolvăm o ecuație pătratică incompletă și acum să luăm orice tip.

• Într-o ecuație pătratică completă, al doilea coeficient pentru x este număr par.
  Fie k = o.5b. Avem formule pentru calcularea discriminantului și a rădăcinilor.
  D/4 = k 2 - ac, rădăcinile se calculează ca x 1,2 = (-k±√(D/4))/a pentru D › o.
  x = -k/a la D = o.
  Nu există rădăcini pentru D ‹ o.
• Sunt date ecuații pătratice, când coeficientul lui x pătrat este 1, ele se scriu de obicei x 2 +рх+ q = o. Toate formulele de mai sus se aplică lor, dar calculele sunt oarecum mai simple.
  Exemplu, x 2 -4x-9 = 0. Calculați D: 2 2 +9, D = 13.
  x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13.
• În plus, este ușor de aplicat celor date Se spune că suma rădăcinilor ecuației este egală cu -p, al doilea coeficient cu minus (adică semnul opus), iar produsul acestor rădăcini va fi. fie egal cu q, termenul liber. Vedeți cât de ușor ar fi să determinați verbal rădăcinile acestei ecuații. Pentru coeficienții nereduși (pentru toți coeficienții care nu sunt egali cu zero), această teoremă este aplicabilă după cum urmează: suma x 1 + x 2 este egală cu -b/a, produsul x 1 · x 2 este egal cu c/a.

Suma termenului liber c și a primului coeficient a este egală cu coeficientul b. În această situație, ecuația are cel puțin o rădăcină (ușor de demonstrat), prima este neapărat egală cu -1, iar a doua -c/a, dacă există. Puteți verifica singur cum să rezolvați o ecuație pătratică incompletă. La fel de ușor ca o plăcintă. Coeficienții pot fi în anumite relații între ei

• x 2 +x = o, 7x 2 -7 = o.
• Suma tuturor coeficienților este egală cu o.
  Rădăcinile unei astfel de ecuații sunt 1 și c/a. Exemplu, 2x 2 -15x+13 = o.
  x 1 = 1, x 2 = 13/2.

Există o serie de alte moduri de a rezolva diverse ecuații de gradul doi. Iată, de exemplu, o metodă pentru extragerea unui pătrat complet dintr-un polinom dat. Există mai multe metode grafice. Când te ocupi adesea de astfel de exemple, vei învăța să „dai clic” pe ele ca pe niște semințe, pentru că toate metodele vin în minte automat.

ÎN societate modernă capacitatea de a efectua operații cu ecuații care conțin o variabilă pătrat poate fi utilă în multe domenii de activitate și este utilizată pe scară largă în practică în domeniul științific și evoluții tehnice. Dovada acestui lucru poate fi găsită în proiectarea vaselor maritime și fluviale, a aeronavelor și a rachetelor. Folosind astfel de calcule, se determină traiectoriile de mișcare ale unei game largi de corpuri, inclusiv obiecte spațiale. Exemplele cu rezolvarea ecuațiilor pătratice sunt folosite nu numai în prognoza economică, în proiectarea și construcția clădirilor, ci și în cele mai obișnuite circumstanțe cotidiene. Ele pot fi necesare în drumeții, la evenimente sportive, în magazine la cumpărături și în alte situații foarte frecvente.

Să împărțim expresia în factorii ei componente

Se determină gradul ecuației valoare maximă gradul variabilei pe care o conține această expresie. Dacă este egală cu 2, atunci o astfel de ecuație se numește pătratică.

Dacă vorbim în limbajul formulelor, atunci expresiile indicate, indiferent de modul în care arată, pot fi întotdeauna aduse la forma când partea stângă a expresiei este formată din trei termeni. Printre acestea: ax 2 (adică o variabilă pătrat cu coeficientul său), bx (o necunoscută fără pătrat cu coeficientul său) și c (o componentă liberă, adică un număr obișnuit). Toate acestea din partea dreaptă sunt egale cu 0. În cazul în care unui astfel de polinom îi lipsește unul dintre termenii săi constitutivi, cu excepția axei 2, se numește ecuație pătratică incompletă. Exemple cu rezolvarea unor astfel de probleme, valorile variabilelor în care sunt ușor de găsit, ar trebui luate în considerare mai întâi.

Dacă expresia pare că are doi termeni în partea dreaptă, mai precis ax 2 și bx, cel mai simplu mod de a găsi x este prin scoaterea variabilei dintre paranteze. Acum ecuația noastră va arăta astfel: x(ax+b). În continuare, devine evident că fie x=0, fie problema se rezumă la găsirea unei variabile din următoarea expresie: ax+b=0. Acest lucru este dictat de una dintre proprietățile înmulțirii. Regula spune că produsul a doi factori are ca rezultat 0 numai dacă unul dintre ei este zero.

Exemplu

x=0 sau 8x - 3 = 0

Ca rezultat, obținem două rădăcini ale ecuației: 0 și 0,375.

Ecuațiile de acest fel pot descrie mișcarea corpurilor sub influența gravitației, care au început să se miște dintr-un anumit punct luat drept origine a coordonatelor. Aici notația matematică ia următoarea formă: y = v 0 t + gt 2 /2. Înlocuind valorile necesare, echivalând partea dreaptă cu 0 și găsind posibile necunoscute, puteți afla timpul care trece din momentul în care corpul se ridică până în momentul în care acesta cade, precum și multe alte cantități. Dar despre asta vom vorbi mai târziu.

Factorizarea unei expresii

Regula descrisă mai sus face posibilă rezolvarea acestor probleme în mai mult cazuri dificile. Să ne uităm la exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice de acest tip.

X 2 - 33x + 200 = 0

Acest trinom pătratic este complet. Mai întâi, să transformăm expresia și să o factorizăm. Sunt două dintre ele: (x-8) și (x-25) = 0. Ca rezultat, avem două rădăcini 8 și 25.

Exemplele cu rezolvarea ecuațiilor pătratice din clasa a 9-a permit acestei metode să găsească o variabilă în expresii nu numai de ordinul doi, ci chiar de ordinul al treilea și al patrulea.

De exemplu: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. La factorizarea părții drepte în factori cu o variabilă, există trei dintre ei, adică (x+1), (x-3) și (x+). 3).

Ca urmare, devine evident că această ecuație are trei rădăcini: -3; -1; 3.

Rădăcină pătrată

Un alt caz de ecuație incompletă de ordinul doi este o expresie reprezentată în limbajul literelor în așa fel încât partea dreaptă să fie construită din componentele ax 2 și c. Aici, pentru a obține valoarea variabilei, se transferă termenul liber către partea dreapta, iar după aceea din ambele părți ale egalității extragem Rădăcină pătrată. Trebuie remarcat faptul că în acest caz există de obicei două rădăcini ale ecuației. Singurele excepții pot fi egalitățile care nu conțin deloc un termen cu, unde variabila este egală cu zero, precum și variantele de expresie când partea dreaptă este negativă. În acest din urmă caz, nu există deloc soluții, deoarece acțiunile de mai sus nu pot fi efectuate cu rădăcini. Ar trebui luate în considerare exemple de soluții la ecuații pătratice de acest tip.

În acest caz, rădăcinile ecuației vor fi numerele -4 și 4.

Calculul suprafeței de teren

Nevoie în acest fel calculele au apărut în antichitate, deoarece dezvoltarea matematicii în multe feluri în acele vremuri îndepărtate a fost determinată de necesitatea de a determina cu cea mai mare acuratețe suprafețele și perimetrele terenurilor.

De asemenea, ar trebui să luăm în considerare exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice bazate pe probleme de acest gen.

Deci, să presupunem că există un teren dreptunghiular, a cărui lungime este cu 16 metri mai mare decât lățimea. Ar trebui să găsiți lungimea, lățimea și perimetrul sitului dacă știți că suprafața acestuia este de 612 m2.

Pentru a începe, să creăm mai întâi ecuația necesară. Să notăm cu x lățimea zonei, atunci lungimea acesteia va fi (x+16). Din cele scrise rezultă că aria este determinată de expresia x(x+16), care, conform condițiilor problemei noastre, este 612. Aceasta înseamnă că x(x+16) = 612.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice complete, iar această expresie este exact aceea, nu se poate face în același mod. De ce? Deși partea stângă conține încă doi factori, produsul lor nu este deloc egal cu 0, așa că aici sunt folosite metode diferite.

Discriminant

În primul rând, să facem, atunci, transformările necesare aspect a acestei expresii va arăta astfel: x 2 + 16x - 612 = 0. Aceasta înseamnă că am primit o expresie într-o formă corespunzătoare standardului specificat anterior, unde a=1, b=16, c=-612.

Acesta ar putea fi un exemplu de rezolvare a ecuațiilor pătratice folosind un discriminant. Aici calculele necesare sunt produse după schema: D = b 2 - 4ac. Această mărime auxiliară nu numai că face posibilă găsirea cantităților necesare într-o ecuație de ordinul doi, ci determină cantitatea opțiuni posibile. Dacă D>0, sunt două dintre ele; pentru D=0 există o rădăcină. În cazul D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Despre rădăcini și formula lor

În cazul nostru, discriminantul este egal cu: 256 - 4(-612) = 2704. Acest lucru sugerează că problema noastră are un răspuns. Dacă cunoașteți k, soluția ecuațiilor pătratice trebuie continuată folosind formula de mai jos. Vă permite să calculați rădăcinile.

Aceasta înseamnă că în cazul prezentat: x 1 =18, x 2 =-34. A doua opțiune în această dilemă nu poate fi o soluție, deoarece dimensiunile terenului nu pot fi măsurate în cantități negative, ceea ce înseamnă că x (adică lățimea parcelei) este de 18 m. De aici calculăm lungimea: 18 +16=34, iar perimetrul 2(34+ 18)=104(m2).

Exemple și sarcini

Continuăm studiul ecuațiilor pătratice. Exemple și soluții detaliate ale mai multor dintre ele vor fi date mai jos.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Să mutam totul în partea stângă a egalității, să facem o transformare, adică vom obține tipul de ecuație care se numește de obicei standard și o vom echivala cu zero.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Adăugând altele similare, determinăm discriminantul: D = 49 - 48 = 1. Aceasta înseamnă că ecuația noastră va avea două rădăcini. Să le calculăm conform formulei de mai sus, ceea ce înseamnă că primul dintre ele va fi egal cu 4/3, iar al doilea cu 1.

2) Acum să rezolvăm mistere de alt fel.

Să aflăm dacă există rădăcini aici x 2 - 4x + 5 = 1? Pentru a obține un răspuns cuprinzător, să reducem polinomul la forma obișnuită corespunzătoare și să calculăm discriminantul. În exemplul de mai sus, nu este necesar să se rezolve ecuația pătratică, deoarece aceasta nu este deloc esența problemei. În acest caz, D = 16 - 20 = -4, ceea ce înseamnă că într-adevăr nu există rădăcini.

teorema lui Vieta

Este convenabil să se rezolve ecuații pătratice folosind formulele de mai sus și discriminantul, atunci când rădăcina pătrată este luată din valoarea acestuia din urmă. Dar acest lucru nu se întâmplă întotdeauna. Cu toate acestea, există multe modalități de a obține valorile variabilelor în acest caz. Exemplu: rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind teorema lui Vieta. Ea poartă numele celui care a trăit în secolul al XVI-lea în Franța și a făcut o carieră strălucitoare datorită talentului său matematic și a conexiunilor la curte. Portretul lui poate fi văzut în articol.

Modelul pe care l-a observat celebrul francez a fost următorul. El a demonstrat că rădăcinile ecuației se adună numeric la -p=b/a, iar produsul lor corespunde cu q=c/a.

Acum să ne uităm la sarcini specifice.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Pentru simplitate, să transformăm expresia:

x 2 + 7x - 18 = 0

Să folosim teorema lui Vieta, aceasta ne va da următoarele: suma rădăcinilor este -7, iar produsul lor este -18. De aici obținem că rădăcinile ecuației sunt numerele -9 și 2. După verificare, ne vom asigura că aceste valori variabile se potrivesc cu adevărat în expresie.

Graficul parabolei și ecuația

Conceptele de funcție pătratică și ecuații pătratice sunt strâns legate. Exemple în acest sens au fost deja date mai devreme. Acum să ne uităm la câteva ghicitori matematice mai detaliat. Orice ecuație de tipul descris poate fi reprezentată vizual. O astfel de relație, desenată sub formă de grafic, se numește parabolă. Diferitele sale tipuri sunt prezentate în figura de mai jos.

Orice parabolă are un vârf, adică un punct din care ies ramurile sale. Dacă a>0, ele se ridică la infinit, iar când a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Reprezentările vizuale ale funcțiilor ajută la rezolvarea oricăror ecuații, inclusiv a celor pătratice. Această metodă se numește grafică. Iar valoarea variabilei x este coordonata abscisă în punctele în care linia graficului se intersectează cu 0x. Coordonatele vârfului pot fi găsite folosind formula tocmai dată x 0 = -b/2a. Și înlocuind valoarea rezultată în ecuația inițială a funcției, puteți afla y 0, adică a doua coordonată a vârfului parabolei, care aparține axei ordonatelor.

Intersecția ramurilor unei parabole cu axa absciselor

Există o mulțime de exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice, dar există și modele generale. Să ne uităm la ele. Este clar că intersecția graficului cu axa 0x pentru a>0 este posibilă numai dacă 0 ia valori negative. Și pentru a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Altfel D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Din graficul parabolei puteți determina și rădăcinile. Este adevărat și contrariul. Adică, dacă nu este ușor să obțineți o reprezentare vizuală a unei funcții pătratice, puteți echivala partea dreaptă a expresiei cu 0 și rezolvați ecuația rezultată. Și cunoscând punctele de intersecție cu axa 0x, este mai ușor să construiești un grafic.

Din istorie

Folosind ecuații care conțin o variabilă pătrată, pe vremuri nu numai că făceau calcule matematice și determinau ariile figurilor geometrice. Anticii aveau nevoie de astfel de calcule pentru marile descoperiri în domeniul fizicii și astronomiei, precum și pentru a face prognoze astrologice.

După cum sugerează oamenii de știință moderni, locuitorii Babilonului au fost printre primii care au rezolvat ecuații patratice. Acest lucru s-a întâmplat cu patru secole înaintea erei noastre. Desigur, calculele lor erau radical diferite de cele acceptate în prezent și s-au dovedit a fi mult mai primitive. De exemplu, matematicienii mesopotamieni nu aveau idee despre existența numerelor negative. De asemenea, nu erau familiarizați cu alte subtilități pe care orice școlar modern le cunoaște.

Poate chiar mai devreme decât oamenii de știință din Babilon, înțeleptul din India Baudhayama a început să rezolve ecuații patratice. Acest lucru s-a întâmplat cu aproximativ opt secole înainte de era lui Hristos. Adevărat, ecuațiile de ordinul doi, metodele de rezolvare pe care le-a dat, erau cele mai simple. Pe lângă el, matematicienii chinezi erau și ei interesați de întrebări similare pe vremuri. În Europa, ecuațiile pătratice au început să fie rezolvate abia la începutul secolului al XIII-lea, dar mai târziu au fost folosite în lucrările lor de oameni de știință atât de mari precum Newton, Descartes și mulți alții.

„, adică ecuații de gradul I. În această lecție ne vom uita ceea ce se numește ecuație pătratică si cum se rezolva.

Ce este o ecuație pătratică?

Important!

Gradul unei ecuații este determinat de gradul cel mai înalt în care se află necunoscutul.

Dacă puterea maximă în care necunoscuta este „2”, atunci aveți o ecuație pătratică.

Exemple de ecuații pătratice

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Important! Forma generală a unei ecuații pătratice arată astfel:

A x 2 + b x + c = 0

• „a” este primul sau cel mai mare coeficient;
• „b” este al doilea coeficient;
• „c” este un membru gratuit.

Pentru a găsi „a”, „b” și „c” trebuie să comparați ecuația cu forma generală a ecuației pătratice „ax 2 + bx + c = 0”.

Să exersăm determinarea coeficienților „a”, „b” și „c” în ecuații patratice.

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Cum se rezolvă ecuații cuadratice

Spre deosebire de ecuațiile liniare, se folosește o metodă specială pentru a rezolva ecuațiile pătratice. formula pentru găsirea rădăcinilor.

Tine minte!

Pentru a rezolva o ecuație pătratică aveți nevoie de:

• aduceți ecuația pătratică la forma generală „ax 2 + bx + c = 0”. Adică, doar „0” ar trebui să rămână în partea dreaptă;
• utilizați formula pentru rădăcini:

Să ne uităm la un exemplu de utilizare a formulei pentru a găsi rădăcinile unei ecuații pătratice. Să rezolvăm o ecuație pătratică.

X 2 − 3x − 4 = 0

Ecuația „x 2 − 3x − 4 = 0” a fost deja redusă la forma generală „ax 2 + bx + c = 0” și nu necesită simplificări suplimentare. Pentru a o rezolva, trebuie doar să aplicăm formula pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice.

Să determinăm coeficienții „a”, „b” și „c” pentru această ecuație.

Poate fi folosit pentru a rezolva orice ecuație pătratică.

În formula „x 1;2 = ” expresia radicală este adesea înlocuită
„b 2 − 4ac” pentru litera „D” și se numește discriminant. Conceptul de discriminant este discutat mai detaliat în lecția „Ce este un discriminant”.

Să ne uităm la un alt exemplu de ecuație pătratică.

x 2 + 9 + x = 7x

În această formă, este destul de dificil să se determine coeficienții „a”, „b” și „c”. Să reducem mai întâi ecuația la forma generală „ax 2 + bx + c = 0”.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Acum puteți folosi formula pentru rădăcini.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

Există momente când ecuațiile pătratice nu au rădăcini. Această situație apare atunci când formula conține un număr negativ sub rădăcină.

Școala secundară rurală Kopyevskaya

10 moduri de a rezolva ecuații cuadratice

Șef: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

profesor de matematică

satul Kopevo, 2007

1. Istoricul dezvoltării ecuațiilor pătratice

1.1 Ecuații cuadratice în Babilonul antic

1.2 Cum a compus și a rezolvat Diophantus ecuațiile pătratice

1.3 Ecuații cuadratice în India

1.4 Ecuații cuadratice de al-Khorezmi

1.5 Ecuații cuadratice în Europa secolele XIII - XVII

1.6 Despre teorema lui Vieta

2. Metode de rezolvare a ecuaţiilor pătratice

Concluzie

Literatură

1. Istoria dezvoltării ecuațiilor pătratice

1.1 Ecuații cuadratice în Babilonul antic

Necesitatea rezolvării ecuațiilor nu numai de gradul I, ci și de gradul II, chiar și în cele mai vechi timpuri, a fost cauzată de necesitatea rezolvării unor probleme legate de găsirea suprafețelor de teren și cu lucrări de săpături cu caracter militar, precum și ca și în cazul dezvoltării astronomiei și a matematicii în sine. Ecuațiile cuadratice au putut fi rezolvate în jurul anului 2000 î.Hr. e. babilonienii.

Folosind notația algebrică modernă, putem spune că în textele lor cuneiforme există, pe lângă cele incomplete, precum, de exemplu, ecuații patratice complete:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Regula de rezolvare a acestor ecuații, expusă în textele babiloniene, coincide în esență cu cea modernă, dar nu se știe cum au ajuns babilonienii la această regulă. Aproape toate textele cuneiforme găsite până acum oferă doar probleme cu soluțiile prezentate sub formă de rețete, fără nicio indicație cu privire la modul în care au fost găsite.

În ciuda nivelului ridicat de dezvoltare al algebrei în Babilon, textelor cuneiforme le lipsește conceptul de număr negativ și metode generale de rezolvare a ecuațiilor pătratice.

1.2 Cum a compus și a rezolvat Diophantus ecuațiile pătratice.

Aritmetica lui Diofant nu conține o prezentare sistematică a algebrei, dar conține o serie sistematică de probleme, însoțite de explicații și rezolvate prin construirea de ecuații de diferite grade.

Când compune ecuații, Diophantus selectează cu pricepere necunoscutele pentru a simplifica soluția.

Iată, de exemplu, una dintre sarcinile lui.

Problema 11.„Găsiți două numere, știind că suma lor este 20 și produsul lor este 96”

Diophantus argumentează astfel: din condițiile problemei rezultă că numerele cerute nu sunt egale, deoarece dacă ar fi egale, atunci produsul lor nu ar fi egal cu 96, ci cu 100. Astfel, unul dintre ele va fi mai mult decât jumătate din suma lor, adică . 10 + x, celălalt este mai puțin, adică. anii 10. Diferența dintre ele 2x .

De aici rezultă ecuația:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

De aici x = 2. Unul dintre numerele necesare este egal cu 12 , alte 8 . Soluţie x = -2 căci Diofantul nu există, deoarece matematica greacă nu cunoștea decât numere pozitive.

Dacă rezolvăm această problemă alegând unul dintre numerele necesare ca necunoscut, atunci vom ajunge la o soluție a ecuației

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Este clar că, alegând jumătate de diferență a numerelor necesare drept necunoscut, Diophantus simplifică soluția; el reuşeşte să reducă problema la rezolvarea unei ecuaţii pătratice incomplete (1).

1.3 Ecuații cuadratice în India

Probleme privind ecuațiile pătratice se găsesc deja în tratatul astronomic „Aryabhattiam”, compilat în 499 de matematicianul și astronomul indian Aryabhatta. Un alt om de știință indian, Brahmagupta (secolul al VII-lea), a conturat o regulă generală pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice reduse la o singură formă canonică:

ah 2 + b x = c, a > 0. (1)

În ecuația (1), coeficienții, cu excepția A, poate fi și negativ. Regula lui Brahmagupta este în esență aceeași cu a noastră.

ÎN India antică Competițiile publice în rezolvarea problemelor dificile erau obișnuite. Una dintre cărțile vechi indiene spune următoarele despre astfel de competiții: „Pe măsură ce soarele eclipsează stelele cu strălucirea sa, așa om învăţat va eclipsa gloria altuia adunările oamenilor, propunând și rezolvând probleme algebrice.” Problemele au fost adesea prezentate sub formă poetică.

Aceasta este una dintre problemele celebrului matematician indian din secolul al XII-lea. Bhaskars.

Problema 13.

„O turmă de maimuțe pline de frumusețe și douăsprezece de-a lungul viței...

Autoritățile, după ce au mâncat, s-au distrat. Au început să sară, să atârne...

Sunt ei în piață, partea a opta Câte maimuțe erau acolo?

Mă distram în poiană. Spune-mi, în pachetul ăsta?

Soluția lui Bhaskara indică faptul că el știa că rădăcinile ecuațiilor pătratice au două valori (Fig. 3).

Ecuația corespunzătoare problemei 13 este:

( X /8) 2 + 12 = X

Bhaskara scrie sub pretextul:

x 2 - 64x = -768

și, pentru a completa partea stângă a acestei ecuații la pătrat, se adaugă la ambele părți 32 2 , apoi obțineți:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Ecuații cuadratice în al - Khorezmi

În tratatul algebric al-Khorezmi, este dată o clasificare a ecuațiilor liniare și pătratice. Autorul numără 6 tipuri de ecuații, exprimându-le astfel:

1) „Pătratele sunt egale cu rădăcinile”, adică ax 2 + c = b X.

2) „Pătratele sunt egale cu numerele”, adică ax 2 = c.

3) „Rădăcinile sunt egale cu numărul”, adică ah = s.

4) „Pătratele și numerele sunt egale cu rădăcinile”, adică ax 2 + c = b X.

5) „Pătratele și rădăcinile sunt egale cu numerele”, adică ah 2 + bx = s.

6) „Rădăcinile și numerele sunt egale cu pătratele”, adică bx + c = ax 2 .

Pentru al-Khorezmi, care a evitat utilizarea numerelor negative, termenii fiecăreia dintre aceste ecuații sunt sumanzi și nu scăderi. În acest caz, ecuațiile care nu au soluții pozitive, evident, nu sunt luate în considerare. Autorul stabilește metode de rezolvare a acestor ecuații folosind tehnicile al-jabr și al-muqabala. Deciziile lui, desigur, nu coincid complet cu ale noastre. Ca să nu mai vorbim de faptul că este pur retoric, trebuie remarcat, de exemplu, că la rezolvarea unei ecuații pătratice incomplete de primul tip

al-Khorezmi, ca toți matematicienii dinainte de secolul al XVII-lea, nu ține cont de soluția zero, probabil pentru că în mod specific probleme practice nu contează. Atunci când rezolvă ecuații patratice complete, al-Khorezmi stabilește regulile pentru rezolvarea lor folosind exemple numerice particulare și apoi dovezi geometrice.

Problema 14.„Pătratul și numărul 21 sunt egale cu 10 rădăcini. Găsiți rădăcina" (implicând rădăcina ecuației x 2 + 21 = 10x).

Soluția autorului este cam așa: împărțiți numărul de rădăcini la jumătate, obțineți 5, înmulțiți 5 cu el însuși, scădeți 21 din produs, ceea ce rămâne este 4. Luați rădăcina din 4, obțineți 2. Scădeți 2 din 5. , obțineți 3, aceasta va fi rădăcina dorită. Sau adăugați 2 la 5, ceea ce dă 7, aceasta este și o rădăcină.

Tratatul lui al-Khorezmi este prima carte care a ajuns la noi, care stabilește sistematic clasificarea ecuațiilor pătratice și oferă formule pentru rezolvarea lor.

1.5 Ecuații cuadratice în Europa XIII - XVII bb

Formulele pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice de-a lungul liniilor lui al-Khwarizmi în Europa au fost expuse pentru prima dată în Cartea lui Abacus, scrisă în 1202 de matematicianul italian Leonardo Fibonacci. Această lucrare voluminoasă, care reflectă influența matematicii, atât din țările islamice, cât și din Grecia antică, se remarcă prin caracterul complet și claritatea prezentării. Autorul a dezvoltat în mod independent unele noi exemple algebrice rezolvarea problemelor și a fost primul din Europa care a introdus numere negative. Cartea sa a contribuit la răspândirea cunoștințelor algebrice nu numai în Italia, ci și în Germania, Franța și alte țări europene. Multe probleme din Cartea Abacului au fost folosite în aproape toate manualele europene din secolele XVI-XVII. și parțial XVIII.

Regula generală pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice reduse la o singură formă canonică:

x 2 + bx = c,

pentru toate combinațiile posibile de semne coeficiente b , Cu a fost formulată în Europa abia în 1544 de M. Stiefel.

Derivarea formulei de rezolvare a unei ecuații pătratice în vedere generala Viet o are, dar Viet a recunoscut doar rădăcini pozitive. Matematicienii italieni Tartaglia, Cardano, Bombelli au fost printre primii în secolul al XVI-lea. Pe lângă cele pozitive, se iau în considerare și rădăcinile negative. Abia în secolul al XVII-lea. Datorită muncii lui Girard, Descartes, Newton și a altor oameni de știință, metoda de rezolvare a ecuațiilor pătratice capătă o formă modernă.

1.6 Despre teorema lui Vieta

Teorema care exprimă relația dintre coeficienții unei ecuații pătratice și rădăcinile acesteia, numită după Vieta, a fost formulată de acesta pentru prima dată în 1591 astfel: „Dacă B + D, înmulțit cu A - A 2 , egal BD, Acea A egală ÎN si egali D ».

Pentru a înțelege pe Vieta, ar trebui să ne amintim asta A, ca orice literă vocală, însemna necunoscutul (nostru X), vocale ÎN, D- coeficienți pentru necunoscut. În limbajul algebrei moderne, formularea Vieta de mai sus înseamnă: dacă există

(a + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Exprimând relația dintre rădăcinile și coeficienții ecuațiilor cu formule generale scrise cu ajutorul simbolurilor, Viète a stabilit uniformitate în metodele de rezolvare a ecuațiilor. Cu toate acestea, simbolismul vieții este încă departe de a fi aspect modern. Nu a recunoscut numerele negative și de aceea, la rezolvarea ecuațiilor, a luat în considerare doar cazurile în care toate rădăcinile erau pozitive.

2. Metode de rezolvare a ecuaţiilor pătratice

Ecuațiile cuadratice sunt fundația pe care se sprijină maiestuosul edificiu al algebrei. Ecuațiile pătratice sunt utilizate pe scară largă în rezolvarea ecuațiilor și inegalităților trigonometrice, exponențiale, logaritmice, iraționale și transcendentale. Cu toții știm să rezolvăm ecuații patratice de la școală (clasa a VIII-a) până la absolvire.

Acest subiect poate părea dificil la început, deoarece mulți nu sunt așa formule simple. Nu numai că ecuațiile pătratice în sine au notații lungi, dar rădăcinile se găsesc și prin discriminant. În total, se obțin trei formule noi. Nu foarte ușor de reținut. Acest lucru funcționează numai după solutie comuna astfel de ecuații. Atunci toate formulele vor fi reținute de la sine.

Vedere generală a unei ecuații pătratice

Aici propunem înregistrarea lor explicită, când se scrie mai întâi gradul cel mai mare, apoi în ordine descrescătoare. Există adesea situații în care termenii sunt inconsecvenți. Atunci este mai bine să rescrieți ecuația în ordinea descrescătoare a gradului variabilei.

Să introducem o notație. Ele sunt prezentate în tabelul de mai jos.

Dacă acceptăm aceste notații, toate ecuațiile pătratice sunt reduse la următoarea notație.

Mai mult, coeficientul a ≠ 0. Fie ca această formulă să fie desemnată numărul unu.

Când este dată o ecuație, nu este clar câte rădăcini vor fi în răspuns. Pentru că una dintre cele trei opțiuni este întotdeauna posibilă:

• soluția va avea două rădăcini;
• răspunsul va fi un număr;
• ecuația nu va avea deloc rădăcini.

Și până la finalizarea deciziei, este greu de înțeles care opțiune va apărea într-un anumit caz.

Tipuri de înregistrări ale ecuațiilor pătratice

Problemele le pot conține intrări diferite. Nu vor arăta întotdeauna ca formula generala ecuație pătratică. Uneori îi vor lipsi niște termeni. Ceea ce a fost scris mai sus este ecuația completă. Dacă eliminați al doilea sau al treilea termen din el, obțineți altceva. Aceste înregistrări sunt numite și ecuații pătratice, doar incomplete.

Mai mult, numai termenii cu coeficienții „b” și „c” pot dispărea. Numărul „a” nu poate fi egal cu zero în nicio circumstanță. Pentru că în acest caz formula se transformă într-o ecuație liniară. Formulele pentru forma incompletă a ecuațiilor vor fi următoarele:

Deci, există doar două tipuri, pe lângă cele complete, există și ecuații pătratice incomplete. Prima formulă să fie numărul doi, iar a doua - trei.

Discriminarea și dependența numărului de rădăcini de valoarea acestuia

Trebuie să cunoașteți acest număr pentru a calcula rădăcinile ecuației. Poate fi întotdeauna calculată, indiferent de formula ecuației pătratice. Pentru a calcula discriminantul, trebuie să folosiți egalitatea scrisă mai jos, care va avea numărul patru.

După înlocuirea valorilor coeficientului în această formulă, puteți obține numere cu semne diferite. Dacă răspunsul este da, atunci răspunsul la ecuație va fi două rădăcini diferite. La număr negativ rădăcinile ecuației pătratice vor lipsi. Dacă este egal cu zero, va exista un singur răspuns.

Cum se rezolvă o ecuație pătratică completă?

De fapt, luarea în considerare a acestei probleme a început deja. Pentru că mai întâi trebuie să găsești un discriminant. După ce se stabilește că există rădăcini ale ecuației pătratice și numărul acestora este cunoscut, trebuie să utilizați formule pentru variabile. Dacă există două rădăcini, atunci trebuie să aplicați următoarea formulă.

Deoarece conține un semn „±”, vor exista două valori. Expresia de sub semnul rădăcinii pătrate este discriminantul. Prin urmare, formula poate fi rescrisă diferit.

Formula numărul cinci. Din aceeași înregistrare este clar că dacă discriminantul este egal cu zero, atunci ambele rădăcini vor lua aceleași valori.

Dacă rezolvarea ecuațiilor pătratice nu a fost încă elaborată, atunci este mai bine să notați valorile tuturor coeficienților înainte de a aplica formulele discriminante și variabile. Mai târziu, acest moment nu va crea dificultăți. Dar la început există confuzie.

Cum se rezolvă o ecuație pătratică incompletă?

Totul este mult mai simplu aici. Nici măcar nu este nevoie de formule suplimentare. Iar cele care au fost deja notate pentru discriminant și necunoscut nu vor fi necesare.

Mai întâi, să ne uităm la ecuația numărul doi incompletă. În această egalitate, este necesar să scoateți cantitatea necunoscută din paranteze și să rezolvați ecuația liniară, care va rămâne între paranteze. Răspunsul va avea două rădăcini. Prima este neapărat egală cu zero, deoarece există un multiplicator format din variabila însăși. Al doilea se va obține prin rezolvarea unei ecuații liniare.

Ecuația incompletă numărul trei se rezolvă prin mutarea numărului din partea stângă a egalității la dreapta. Apoi, trebuie să împărțiți cu coeficientul în fața necunoscutului. Tot ce rămâne este să extragi rădăcina pătrată și să nu uiți să o notezi de două ori cu semne opuse.

Mai jos sunt câțiva pași care vă vor ajuta să învățați cum să rezolvați tot felul de egalități care se transformă în ecuații pătratice. Ele vor ajuta elevul să evite greșelile din cauza neatenției. Aceste neajunsuri pot cauza note slabe atunci când studiezi subiectul extins „Ecuații cadrate (clasa a VIII-a).” Ulterior, aceste acțiuni nu vor trebui efectuate în mod constant. Pentru că va apărea o abilitate stabilă.

• Mai întâi trebuie să scrieți ecuația în formă standard. Adică, mai întâi termenul cu cel mai mare grad al variabilei, apoi - fără un grad, și în sfârșit - doar un număr.

• Dacă înaintea coeficientului „a apare un minus”, poate complica munca unui începător care studiază ecuațiile pătratice. Este mai bine să scapi de el. În acest scop, toată egalitatea trebuie înmulțită cu „-1”. Aceasta înseamnă că toți termenii vor schimba semnul invers.

• Se recomandă să scăpați de fracții în același mod. Pur și simplu înmulțiți ecuația cu factorul corespunzător, astfel încât numitorii să se anuleze.

Exemple

Este necesar să se rezolve următoarele ecuații pătratice:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Prima ecuație: x 2 − 7x = 0. Este incompletă, prin urmare se rezolvă așa cum este descris pentru formula numărul doi.

După ce o scoateți din paranteze, rezultă: x (x - 7) = 0.

Prima rădăcină ia valoarea: x 1 = 0. A doua se va găsi din ecuație liniară: x - 7 = 0. Este ușor de observat că x 2 = 7.

A doua ecuație: 5x 2 + 30 = 0. Din nou incompletă. Doar că se rezolvă așa cum este descris pentru a treia formulă.

După ce mutați 30 în partea dreaptă a ecuației: 5x 2 = 30. Acum trebuie să împărțiți la 5. Rezultă: x 2 = 6. Răspunsurile vor fi numerele: x 1 = √6, x 2 = - √6.

A treia ecuație: 15 − 2х − x 2 = 0. Aici și mai departe, rezolvarea ecuațiilor pătratice va începe cu rescrierea lor în vedere standard: − x 2 − 2x + 15 = 0. Acum este timpul să folosiți al doilea sfat utilși înmulțiți totul cu minus unu. Se dovedește x 2 + 2x - 15 = 0. Folosind a patra formulă, trebuie să calculați discriminantul: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Este un număr pozitiv. Din cele spuse mai sus, reiese că ecuația are două rădăcini. Ele trebuie calculate folosind a cincea formulă. Rezultă că x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Atunci x 1 = 3, x 2 = - 5.

A patra ecuație x 2 + 8 + 3x = 0 se transformă în aceasta: x 2 + 3x + 8 = 0. Discriminantul său este egal cu această valoare: -23. Deoarece acest număr este negativ, răspunsul la această sarcină va fi următoarea intrare: „Nu există rădăcini”.

A cincea ecuație 12x + x 2 + 36 = 0 ar trebui rescrisă după cum urmează: x 2 + 12x + 36 = 0. După aplicarea formulei discriminantului, se obține numărul zero. Aceasta înseamnă că va avea o singură rădăcină, și anume: x = -12/ (2 * 1) = -6.

A șasea ecuație (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) necesită transformări, care constau în faptul că trebuie să aduci termeni similari, deschizând mai întâi parantezele. În locul primei va exista următoarea expresie: x 2 + 2x + 1. După egalitate, va apărea această intrare: x 2 + 3x + 2. După ce se numără termeni similari, ecuația va lua forma: x 2 - x = 0. A devenit incomplet . Ceva similar cu asta a fost deja discutat puțin mai sus. Rădăcinile acestuia vor fi numerele 0 și 1.