Calcularea unghiurilor cunoscând laturile unui triunghi. Cum se găsesc laturile unui triunghi dreptunghic? Bazele geometriei

Lungimile laturilor (a, b, c) sunt cunoscute, folosiți teorema cosinusului. Se precizează că pătratul lungimii oricăreia dintre laturi este egal cu suma pătratelor lungimii celorlalte două, din care de două ori produsul lungimii acelorași două laturi cu cosinusul unghiului dintre ele. se scade. Puteți folosi această teoremă pentru a calcula unghiul la oricare dintre vârfuri; este important să cunoașteți numai locația acestuia în raport cu laturile. De exemplu, pentru a găsi unghiul α care se află între laturile b și c, teorema trebuie scrisă după cum urmează: a² = b² + c² - 2*b*c*cos(α).

Exprimați cosinusul unghiului dorit din formula: cos(α) = (b²+c²-a²)/(2*b*c). Pentru ambele părți ale egalității, aplicați funcția inversă cosinus - arc cosinus. Vă permite să restabiliți unghiul în grade folosind valoarea cosinusului: arccos(cos(α)) = arccos((b²+c²-a²)/(2*b*c)). Latura stângă poate fi simplificată și calculul unghiului dintre laturile b și c va lua forma finală: α = arccos((b²+c²-a²)/2*b*c).

Când găsiți valorile unghiurilor ascuțite într-un triunghi dreptunghic, nu este necesară cunoașterea lungimii tuturor laturilor; Dacă aceste două laturi sunt catete (a și b), împărțiți lungimea celei opuse unghiului dorit (α) la lungimea celeilalte. Aceasta vă va oferi valoarea tangentei unghiul dorit tan(α) = a/b, și aplicând egalitățile ambelor părți funcție inversă- arctangent - și simplificând, ca în pasul precedent, partea stângă, se derivă formula finală: α = arctan(a/b).

Dacă partide cunoscute- catetul (a) și ipotenuza (c), pentru a calcula unghiul (β) format de aceste laturi, se utilizează funcția cosinus și inversul acesteia - arc cosinus. Cosinusul este determinat de raportul dintre lungimea catetei și ipotenuză, iar formula în forma sa finală poate fi scrisă astfel: β = arccos(a/c). Pentru a calcula din același unghi ascuțit inițial (α) situat opus catetei cunoscute, utilizați aceeași relație, înlocuind arccosinus cu arcsinus: α = arcsin(a/c).

Surse:

• formula triunghiulara cu 2 laturi

Sfat 2: Cum să găsiți unghiurile unui triunghi după lungimile laturilor sale

Există mai multe opțiuni pentru a găsi valorile tuturor unghiurilor dintr-un triunghi dacă lungimile celor trei sunt cunoscute petreceri. O modalitate este de a folosi două formule diferite pentru calcularea suprafeței triunghi. Pentru a simplifica calculele, puteți aplica și teorema sinusului și teorema sumei unghiurilor triunghi.

Instrucțiuni

Utilizați, de exemplu, două formule pentru calcularea suprafeței triunghi, dintre care unul implică doar trei dintre cei cunoscuți petreceri s (Heron), iar în celălalt - două petreceri s și sinusul unghiului dintre ele. Folosind perechi diferite în a doua formulă petreceri, puteți determina mărimea fiecărui unghi triunghi.

Rezolvați problema în vedere generala. Formula lui Heron determină zona triunghi, Cum Rădăcină pătrată din produsul semiperimetrului (jumătate din total petreceri) asupra diferenței dintre semiperimetru și fiecare dintre petreceri. Dacă înlocuim cu suma petreceri, atunci formula poate fi scrisă sub această formă: S=0.25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c).C alt petreceri zona s triunghi poate fi exprimat ca jumătate din produsul dintre cei doi petreceri prin sinusul unghiului dintre ele. De exemplu, pentru petreceri a și b cu un unghi γ între ele, această formulă se poate scrie astfel: S=a∗b∗sin(γ). Înlocuiți partea stângă a egalității cu formula lui Heron: 0,25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c)=a∗b∗sin(γ). Deduceți din această egalitate formula pentru

Construirea oricărui acoperiș nu este atât de ușoară pe cât pare. Și dacă doriți să fie fiabil, durabil și să nu vă fie frică de diferite sarcini, atunci mai întâi, în faza de proiectare, trebuie să faceți o mulțime de calcule. Și vor include nu numai cantitatea de materiale utilizate pentru instalare, ci și determinarea unghiurilor de pantă, a zonelor de pantă etc. Cum se calculează corect unghiul de pantă a acoperișului? De această valoare vor depinde în mare măsură parametrii rămași ai acestui design.

Proiectarea și construcția oricărui acoperiș este întotdeauna o chestiune foarte importantă și responsabilă. Mai ales când vine vorba de acoperișul unei clădiri rezidențiale sau de un acoperiș cu o formă complexă. Dar chiar și un lean-to obișnuit, instalat pe o magazie sau un garaj nedefinit, are nevoie și de calcule preliminare.

Dacă nu determinați în prealabil unghiul de înclinare al acoperișului, nu veți putea afla ce inaltime optima trebuie să aibă creastă, atunci există riscul ridicat de a construi un acoperiș care se va prăbuși după prima ninsoare, sau întreaga acoperire de finisare va fi ruptă chiar și de un vânt moderat.

De asemenea, unghiul acoperișului va afecta semnificativ înălțimea crestei, suprafața și dimensiunile versanților. În funcție de aceasta, va fi posibil să se calculeze mai precis suma necesară pentru a crea sistem de căpriori si materiale de finisare.

Unități

Amintindu-ne de geometria pe care toată lumea a studiat-o la școală, este sigur să spunem că unghiul acoperișului se măsoară în grade. Cu toate acestea, în cărțile de construcție, precum și în diferite desene, puteți găsi o altă opțiune - unghiul este indicat ca procent (aici ne referim la raportul de aspect).

În general, Unghiul de pantă este unghiul format din două plane care se intersectează– tavanul și panta acoperișului propriu-zis. Poate fi doar ascuțit, adică se află în intervalul 0-90 de grade.

Pe o notă! Pantele foarte abrupte, al căror unghi de înclinare este mai mare de 50 de grade, sunt extrem de rare în forma lor pură. Ele sunt de obicei folosite numai atunci când design decorativ acoperișuri, pot fi prezente în poduri.

În ceea ce privește măsurarea unghiurilor acoperișului în grade, totul este simplu - toți cei care au studiat geometria la școală au aceste cunoștințe. Este suficient să schițați o diagramă a acoperișului pe hârtie și să utilizați un raportor pentru a determina unghiul.

În ceea ce privește procentele, trebuie să cunoașteți înălțimea crestei și lățimea clădirii. Primul indicator este împărțit la al doilea, iar valoarea rezultată este înmulțită cu 100%. Astfel se poate calcula procentul.

Pe o notă! La un procent de 1, gradul tipic de înclinare este de 2,22%. Adică, o pantă cu un unghi de 45 de grade obișnuite este egală cu 100%. Și 1 la sută înseamnă 27 de minute arc.

Tabel de valori - grade, minute, procente

Ce factori influențează unghiul de înclinare?

Unghiul de înclinare al oricărui acoperiș este foarte influențat de număr mare factori, variind de la dorințele viitorului proprietar al casei și terminând cu regiunea în care va fi amplasată casa. Atunci când calculezi, este important să ții cont de toate subtilitățile, chiar și de cele care la prima vedere par nesemnificative. Într-o zi își vor juca rolul. Determinați unghiul adecvat al acoperișului știind:

• tipuri de materiale din care se va construi plăcinta acoperișului, începând de la sistemul de căpriori și terminând cu decorarea exterioară;
• condițiile climatice dintr-o zonă dată (sarcina vântului, direcția predominantă a vântului, cantitatea de precipitații etc.);
• forma viitoarei clădiri, înălțimea ei, designul;
• scopul clădirii, opțiuni de utilizare a spațiului de mansardă.

În acele regiuni în care există o sarcină puternică de vânt, se recomandă construirea unui acoperiș cu o singură pantă și un unghi ușor de înclinare. Apoi, la un vânt puternic, acoperișul are șanse mai mari să stea și să nu fie rupt. Dacă regiunea este caracterizată de o cantitate mare de precipitații (zăpadă sau ploaie), atunci este mai bine să faceți panta mai abruptă - acest lucru va permite precipitațiilor să se rostogolească/scurge de pe acoperiș și să nu creeze încărcătură suplimentară. Panta optima acoperiș înclinat in regiunile vantoase variaza intre 9-20 de grade, iar unde sunt precipitatii foarte multe - pana la 60 de grade. Un unghi de 45 de grade vă va permite să ignorați încărcătura de zăpadă în ansamblu, dar în acest caz presiunea vântului pe acoperiș va fi de 5 ori mai mare decât pe un acoperiș cu o pantă de numai 11 grade.

Pe o notă! Cu cât parametrii de pantă a acoperișului sunt mai mari, cu atât este mai mare cantitatea de materiale necesară pentru a-l crea. Costul crește cu cel puțin 20%.

Unghiuri de panta si materiale de acoperis

Nu numai condiții climatice va avea un impact semnificativ asupra formei și unghiului versanților. Materialele utilizate pentru construcție, în special acoperișurile, joacă, de asemenea, un rol important.

Masa. Unghiuri optime de pantă pentru acoperișuri din diverse materiale.

Pe o notă! Cu cât panta acoperișului este mai mică, cu atât mai mică este panta utilizată la crearea învelișului.

Înălțimea crestei depinde și de unghiul pantei

Atunci când se calculează orice acoperiș, un triunghi dreptunghic este întotdeauna luat ca punct de referință, unde picioarele sunt înălțimea pantei în punctul de sus, adică la creasta sau tranziția părții inferioare a întregului sistem de căpriori. până la vârf (în cazul acoperișurilor mansardelor), precum și proiecția lungimii unei anumite pante pe orizontală, care este reprezentată de suprapuneri. Există o singură valoare constantă aici - aceasta este lungimea acoperișului dintre cei doi pereți, adică lungimea travei. Înălțimea părții de creastă va varia în funcție de unghiul de înclinare.

Cunoașterea formulelor din trigonometrie vă va ajuta să proiectați un acoperiș: tgA = H/L, sinA = H/S, H = LxtgA, S = H/sinA, unde A este unghiul pantei, H este înălțimea acoperișului față de zona coamei, L este jumătate din întreaga lungime a acoperișului (cu acoperiș în fronton) sau întreaga lungime (în cazul acoperișului înclinat), S este lungimea pantei în sine. De exemplu, dacă se cunoaște valoarea exactă a înălțimii părții crestei, atunci unghiul de înclinare este determinat folosind prima formulă. Puteți găsi unghiul folosind tabelul tangentelor. Dacă calculele se bazează pe unghiul acoperișului, atunci parametrul înălțimii coamei poate fi găsit folosind a treia formulă. Lungimea căpriorilor, având valoarea unghiului de înclinare și parametrii picioarelor, poate fi calculată folosind a patra formulă.

Calculator pentru înălțimea crestei

Un triunghi dreptunghic se găsește în realitate aproape la fiecare colț. Cunoașterea proprietăților unei figuri date, precum și capacitatea de a calcula aria acesteia, vă vor fi, fără îndoială, utile nu numai pentru rezolvarea problemelor de geometrie, ci și în situații de viață.

Geometria triunghiului

În geometria elementară, un triunghi dreptunghic este o figură care constă din trei segmente conectate care formează trei unghiuri (două acute și unul drept). Triunghiul dreptunghic este o figură originală caracterizată printr-o serie de proprietăți importante care formează fundamentul trigonometriei. Spre deosebire de un triunghi obișnuit, laturile unei figuri dreptunghiulare au propriile nume:

• Ipotenuza este cea mai mare latura lungă triunghi opus unghi drept.
• Picioarele sunt segmente care formează un unghi drept. În funcție de unghiul luat în considerare, piciorul poate fi adiacent acestuia (formând acest unghi cu ipotenuza) sau opus (aflat opus unghiului). Nu există picioare pentru triunghiuri nedrepte.

Raportul catetelor și ipotenuzei formează baza trigonometriei: sinusurile, tangentele și secantele sunt definite ca raportul laturilor triunghi dreptunghic.

Triunghi dreptunghic în realitate

Această cifră a devenit larg răspândită în realitate. Triunghiurile sunt folosite în design și tehnologie, astfel încât calcularea ariei unei figuri trebuie făcută de ingineri, arhitecți și designeri. Bazele tetraedrelor sau prismelor - figuri tridimensionale care sunt ușor de întâlnit în viața de zi cu zi - au forma unui triunghi. În plus, un pătrat este cea mai simplă reprezentare a unui triunghi dreptunghic „plat” în realitate. Pătratul este o prelucrare a metalelor, desen, construcție și unealtă de tâmplărie, care este folosit pentru a construi unghiuri atât de școlari, cât și de ingineri.

Aria unui triunghi

Pătrat figură geometrică este o evaluare cantitativă a cât de mult din plan este delimitat de laturile triunghiului. Aria unui triunghi obișnuit poate fi găsită în cinci moduri, folosind formula lui Heron sau folosind variabile precum baza, latura, unghiul și raza cercului înscris sau circumscris. Cel mai formulă simplă aria se exprimă astfel:

unde a este latura triunghiului, h este înălțimea acestuia.

Formula pentru calcularea ariei unui triunghi dreptunghic este și mai simplă:

unde a și b sunt catete.

Lucrând cu calculatorul nostru online, puteți calcula aria unui triunghi folosind trei perechi de parametri:

• doua picioare;
• piciorul și unghiul adiacent;
• picior și unghi opus.

În probleme sau situații de zi cu zi vi se vor oferi diferite combinații de variabile, astfel încât această formă a calculatorului vă permite să calculați aria unui triunghi în mai multe moduri. Să ne uităm la câteva exemple.

Exemple din viața reală

Placă ceramică

Să presupunem că vrei să aranjezi pereții bucătăriei. placi ceramice, care are forma unui triunghi dreptunghic. Pentru a determina consumul de plăci, trebuie să aflați suprafața unui element de placare și suprafata totala suprafata tratata. Să presupunem că trebuie să procesați 7 metri patrati. Lungimea picioarelor unui element este de 19 cm, apoi aria plăcii va fi egală cu:

Aceasta înseamnă că aria unui element este de 24,5 centimetru pătrat sau 0,01805 metri pătrați. Cunoscând acești parametri, puteți calcula că pentru a finisa 7 metri pătrați de perete veți avea nevoie de 7/0,01805 = 387 elemente de plăci de parament.

Sarcina școlară

Să presupunem că într-o problemă de geometrie școlară trebuie să găsiți aria unui triunghi dreptunghic, știind doar că latura unui picior este de 5 cm, iar unghiul opus este de 30 de grade. Calculatorul nostru online vine cu o ilustrație care arată laturile și unghiurile unui triunghi dreptunghic. Dacă latura a = 5 cm, atunci unghiul ei opus este unghiul alfa, egal cu 30 de grade. Introduceți aceste date în formularul calculatorului și obțineți rezultatul:

Astfel, calculatorul nu numai că calculează aria unui triunghi dat, ci determină și lungimea catetei adiacente și a ipotenuzei, precum și valoarea celui de-al doilea unghi.

Concluzie

Triunghiuri dreptunghiulare se găsesc în viața noastră literalmente la fiecare colț. Determinarea zonei unor astfel de figuri vă va fi utilă nu numai atunci când rezolvați sarcinile școlare în geometrie, ci și în activitățile de zi cu zi și profesionale.

Un triunghi este un poligon primitiv delimitat pe un plan de trei puncte și trei segmente care leagă aceste puncte în perechi. Unghiurile dintr-un triunghi sunt acute, obtuze și drepte. Suma unghiurilor dintr-un triunghi este continuă și egală cu 180 de grade.

Vei avea nevoie

• Cunoștințe de bază de geometrie și trigonometrie.

Instrucțiuni

1. Să notăm lungimile laturilor triunghiului ca a=2, b=3, c=4 și unghiurile sale ca u, v, w, fiecare dintre ele fiind opus uneia dintre laturi. Conform teoremei cosinusului, pătratul lungimii unei laturi a unui triunghi este egal cu suma pătratelor lungimilor celorlalte 2 laturi minus de două ori produsul acestor laturi și cosinusul unghiului dintre ele. Adică a^2 = b^2 + c^2 – 2bc*cos(u). Să substituim lungimile laturilor în această expresie și să obținem: 4 = 9 + 16 – 24cos(u).

2. Să exprimăm cos(u) din egalitatea rezultată. Obținem următoarele: cos(u) = 7/8. În continuare vom găsi unghiul real u. Pentru a face acest lucru, să calculăm arccos(7/8). Adică unghiul u = arccos(7/8).

3. În mod similar, exprimând celelalte laturi în termenii celorlalte, găsim unghiurile rămase.

Notă!
Valoarea unui unghi nu poate depăși 180 de grade. Semnul arccos() nu poate conține un număr mai mare de 1 și mai mic de -1.

Sfaturi utile
Pentru a detecta toate cele trei unghiuri, nu este necesar să exprimați toate cele trei laturi, este permisă detectarea doar a 2 unghiuri, iar al treilea se obține prin scăderea valorii celor 2 rămase de la 180 de grade. Aceasta rezultă din faptul că suma tuturor unghiurilor unui triunghi este continuă și egală cu 180 de grade.

În geometrie apar adesea probleme legate de laturile triunghiurilor. De exemplu, este adesea necesar să găsiți o latură a unui triunghi dacă celelalte două sunt cunoscute.

Triunghiurile sunt isoscele, echilaterale și inegale. Din toată varietatea, pentru primul exemplu vom alege unul dreptunghiular (într-un astfel de triunghi, unul dintre unghiuri are 90°, laturile adiacente se numesc catete, iar al treilea este ipotenuza).

Navigare rapidă prin articol

Lungimea laturilor unui triunghi dreptunghic

Soluția problemei rezultă din teorema marelui matematician Pitagora. Se spune că suma pătratelor catetelor unui triunghi dreptunghic este egală cu pătratul ipotenuzei sale: a²+b²=c²

• Aflați pătratul lungimii piciorului a;
• Aflați pătratul catetei b;
• Le punem împreună;
• Din rezultatul obținut extragem a doua rădăcină.

Exemplu: a=4, b=3, c=?

• a²=4²=16;
• b² =3²=9;
• 16+9=25;
• √25=5. Adică lungimea ipotenuzei acestui triunghi este 5.

Dacă triunghiul nu are unghi drept, atunci lungimile celor două laturi nu sunt suficiente. Pentru aceasta, este nevoie de un al treilea parametru: acesta poate fi un unghi, înălțimea triunghiului, raza cercului înscris în el etc.

Dacă perimetrul este cunoscut

În acest caz, sarcina este și mai simplă. Perimetrul (P) este suma tuturor laturilor triunghiului: P=a+b+c. Astfel, rezolvând o ecuație matematică simplă obținem rezultatul.

Exemplu: P=18, a=7, b=6, c=?

1) Rezolvăm ecuația mutând toți parametrii cunoscuți într-o parte a semnului egal:

2) Înlocuiți valorile în loc de ele și calculați a treia latură:

c=18-7-6=5, total: a treia latură a triunghiului este 5.

Dacă unghiul este cunoscut

Pentru a calcula a treia latură a unui triunghi având în vedere un unghi și alte două laturi, soluția se reduce la calcul ecuație trigonometrică. Cunoscând relația dintre laturile triunghiului și sinusul unghiului, este ușor de calculat a treia latură. Pentru a face acest lucru, trebuie să pătrați ambele părți și să adăugați rezultatele lor împreună. Apoi scădeți din produsul rezultat produsul laturilor înmulțit cu cosinusul unghiului: C=√(a²+b²-a*b*cosα)

Dacă zona este cunoscută

În acest caz, o singură formulă nu va funcționa.

1) Mai întâi, calculați sin γ, exprimându-l din formula pentru aria unui triunghi:

sin γ= 2S/(a*b)

2) Folosind următoarea formulă, calculăm cosinusul aceluiași unghi:

sin² α + cos² α=1

cos α=√(1 — sin² α)=√(1- (2S/(a*b))²)

3) Și din nou folosim teorema sinusurilor:

C=√((a²+b²)-a*b*cosα)

C=√((a²+b²)-a*b*√(1- (S/(a*b))²))

Înlocuind valorile variabilelor în această ecuație, obținem răspunsul la problemă.