Dezvoltarea metodologică „metoda inducției matematice”. Exemple de inducție. Metoda inducției matematice: exemple de soluții

Descriere bibliografica: Badanin A. S., Sizova M. Yu Aplicarea metodei inducției matematice la rezolvarea problemelor privind divizibilitatea numerelor naturale // Tânăr om de știință. 2015. Nr. 2. P. 84-86...04.2019).

La olimpiadele de matematică există adesea probleme destul de dificile pentru a demonstra divizibilitatea numerelor naturale. Elevii se confruntă cu o problemă: cum să găsească o metodă matematică universală care să le permită să rezolve astfel de probleme?

Se dovedește că majoritatea problemelor în demonstrarea divizibilității pot fi rezolvate prin metoda inducției matematice, dar manualele școlare acordă foarte puțină atenție acestei metode de cele mai multe ori o scurtă descriere teoretică și sunt analizate mai multe probleme;

Găsim metoda inducției matematice în teoria numerelor. În zorii teoriei numerelor, matematicienii au descoperit multe fapte în mod inductiv: L. Euler și K. Gauss au considerat uneori mii de exemple înainte de a observa un model numeric și de a crede în el. Dar, în același timp, au înțeles cât de înșelătoare pot fi ipotezele care au trecut testul „final”. Pentru a trece inductiv de la o afirmație verificată pentru o submulțime finită la o declarație similară pentru întreaga mulțime infinită, este necesară o demonstrație. Această metodă a fost propusă de Blaise Pascal, care a găsit un algoritm general pentru găsirea semnelor de divizibilitate a oricărui număr întreg cu orice alt întreg (tratat „Despre natura divizibilității numerelor”).

Metoda inducției matematice este folosită pentru a demonstra prin raționament adevărul unui anumit enunț pentru toate numerele naturale sau adevărul unui enunț pornind de la un anumit număr n.

Rezolvarea problemelor pentru a demonstra adevărul unei anumite afirmații folosind metoda inducției matematice constă în patru etape (Fig. 1):

Orez. 1. Schema de rezolvare a problemei

1. Baza de inducție . Ei verifică validitatea enunțului pentru cel mai mic număr natural pentru care enunțul are sens.

2. Ipoteza inductivă . Presupunem că afirmația este adevărată pentru o anumită valoare a lui k.

3. Tranziție prin inducție . Demonstrăm că afirmația este adevărată pentru k+1.

4. Concluzie . Dacă o astfel de demonstrație a fost finalizată, atunci, pe baza principiului inducției matematice, se poate susține că afirmația este adevărată pentru orice număr natural n.

Să luăm în considerare aplicarea metodei inducției matematice la rezolvarea problemelor de demonstrare a divizibilității numerelor naturale.

Exemplul 1. Demonstrați că numărul 5 este un multiplu al lui 19, unde n este un număr natural.

Dovada:

1) Să verificăm dacă această formulă este corectă pentru n = 1: numărul =19 este un multiplu al lui 19.

2) Fie că această formulă este adevărată pentru n = k, adică numărul este un multiplu al lui 19.

Este un multiplu al lui 19. Într-adevăr, primul termen este divizibil cu 19 datorită ipotezei (2); al doilea termen este, de asemenea, divizibil cu 19 deoarece conține un factor de 19.

Exemplul 2. Demonstrați că suma cuburilor a trei numere naturale consecutive este divizibilă cu 9.

Dovada:

Să demonstrăm afirmația: „Pentru orice număr natural n, expresia n 3 +(n+1) 3 +(n+2) 3 este un multiplu al lui 9.

1) Să verificăm dacă această formulă este corectă pentru n = 1: 1 3 +2 3 +3 3 =1+8+27=36 multipli ai lui 9.

2) Fie că această formulă este adevărată pentru n = k, adică k 3 +(k+1) 3 +(k+2) 3 este un multiplu al lui 9.

3) Să demonstrăm că formula este adevărată și pentru n = k + 1, adică (k+1) 3 +(k+2) 3 +(k+3) 3 este un multiplu al lui 9. (k+1) 3 +( k+2) 3 +(k+3) 3 =(k+1) 3 +(k+2) 3 + k 3 + 9k 2 +27 k+ 27=(k 3 +(k+1) 3 +(k +2) 3)+9(k 2 +3k+ 3).

Expresia rezultată conține doi termeni, fiecare dintre care este divizibil cu 9, deci suma este divizibilă cu 9.

4) Ambele condiții ale principiului inducției matematice sunt îndeplinite, prin urmare, propoziția este adevărată pentru toate valorile lui n.

Exemplul 3. Demonstrați că pentru orice număr natural n, numărul 3 2n+1 +2 n+2 este divizibil cu 7.

Dovada:

1) Să verificăm dacă această formulă este corectă pentru n = 1: 3 2*1+1 +2 1+2 = 3 3 +2 3 =35, 35 este un multiplu al lui 7.

2) Fie că această formulă este adevărată pentru n = k, adică 3 2 k +1 +2 k +2 este împărțit la 7.

3) Să demonstrăm că formula este adevărată și pentru n = k + 1, adică.

3 2(k +1)+1 +2 (k +1)+2 =3 2 k +1 ·3 2 +2 k +2 ·2 1 =3 2 k +1 ·9+2 k +2 ·2 =3 2 k +1 ·9+2 k +2 ·(9–7)=(3 2 k +1 +2 k +2)·9–7·2 k +2 .T. k (3 2 k +1 +2 k +2) 9 este împărțit la 7 și 7 2 k +2 este împărțit la 7, apoi diferența lor este împărțită la 7.

4) Ambele condiții ale principiului inducției matematice sunt îndeplinite, prin urmare, propoziția este adevărată pentru toate valorile lui n.

Multe probleme de demonstrare din teoria divizibilității numerelor naturale pot fi rezolvate convenabil folosind metoda inducției matematice se poate spune chiar că rezolvarea problemelor cu această metodă este complet algoritmică; Dar această metodă nu poate fi numită universală, deoarece există și dezavantaje: în primul rând, poate fi dovedită doar pe un set de numere naturale și, în al doilea rând, poate fi dovedită doar pentru o variabilă.

Pentru dezvoltarea gândirii logice și a culturii matematice, această metodă este un instrument necesar, deoarece marele matematician rus A. N. Kolmogorov a spus: „Înțelegerea și capacitatea de a aplica corect principiul inducției matematice este un bun criteriu al maturității logice, care este absolut necesar unui matematician.”

Literatură:

1. Vilenkin N. Ya. Combinatorică. - M.: Educaţie, 1976. - 48 p.

2. Genkin L. Despre inductia matematica. - M., 1962. - 36 p.

3. Solominsky I. S. Metoda inducţiei matematice. - M.: Nauka, 1974. - 63 p.

4. Sharygin I.F Curs opțional de matematică: Rezolvare de probleme: Manual pentru clasa a X-a. media școlară - M.: Educaţie, 1989. - 252 p.

5. Shen A. Inducția matematică. - M.: MTsNMO, 2007. - 32 p.

Curs 6. Metoda inducţiei matematice.

Noile cunoștințe în știință și viață se obțin în moduri diferite, dar toate (dacă nu intri în detalii) sunt împărțite în două tipuri - trecerea de la general la specific și de la specific la general. Primul este deducția, al doilea este inducția. Raționamentul deductiv este ceea ce se numește în mod obișnuit în matematică. raționament logic, iar în știința matematică deducția este singura metodă legitimă de investigație. Regulile raționamentului logic au fost formulate în urmă cu două milenii și jumătate de către omul de știință grec antic Aristotel. El a creat o listă completă a celor mai simple raționamente corecte, silogisme– „blocuri de bază” ale logicii, indicând în același timp un raționament tipic care este foarte asemănător cu cel corect, dar incorect (întâlnim adesea astfel de raționament „pseudologic” în mass-media).

Inducție (inducție - în latină îndrumare) este ilustrată clar de celebra legendă a modului în care Isaac Newton a formulat legea gravitației universale după ce un măr i-a căzut în cap. Un alt exemplu din fizică: într-un fenomen precum inducția electromagnetică, un câmp electric creează, „induce” un câmp magnetic. „Mărul lui Newton” este un exemplu tipic de situație în care unul sau mai multe cazuri speciale, adică observatii, „sugerează” o afirmație generală se trage o concluzie generală pe baza unor cazuri particulare. Metoda inductivă este principala pentru obținerea tiparelor generale atât în științele naturale, cât și în cele umane. Dar are un dezavantaj foarte semnificativ: pe baza unor exemple particulare, se poate trage o concluzie incorectă. Ipotezele care decurg din observații private nu sunt întotdeauna corecte. Să luăm în considerare un exemplu datorat lui Euler.

Vom calcula valoarea trinomului pentru unele prime valori n:

Rețineți că numerele obținute în urma calculelor sunt prime. Și se poate verifica direct asta pentru fiecare n Valoare polinomială de la 1 la 39
este un număr prim. Cu toate acestea, când n=40 obținem numărul 1681=41 2, care nu este prim. Astfel, ipoteza care ar putea apărea aici, adică ipoteza că pentru fiecare n număr
este simplu, se dovedește a fi fals.

Leibniz a dovedit în secolul al XVII-lea că pentru fiecare întreg pozitiv n număr
divizibil cu 3, număr
divizibil cu 5 etc. Pe baza acestui lucru, el a presupus că pentru orice ciudat kși orice natural n număr
impartit de k, dar curând am observat asta
nu este divizibil cu 9.

Exemplele luate în considerare ne permit să tragem o concluzie importantă: o declarație poate fi corectă într-o serie de cazuri speciale și, în același timp, nedreaptă în general. Problema validității unei afirmații în cazul general poate fi rezolvată folosind o metodă specială de raționament numită prin inductie matematica(inducție completă, inducție perfectă).

6.1. Principiul inducției matematice.

♦ Metoda inducţiei matematice se bazează pe principiul inducției matematice , care este după cum urmează:

1) se verifică validitatea acestei declarațiin=1 (bază de inducție) ,

2) se presupune valabilitatea acestei afirmaţii ptn= k, Undek– număr natural arbitrar 1(ipoteza de inducție) , iar ținând cont de această ipoteză, se stabilește valabilitatea acesteia ptn= k+1.

Dovada. Să presupunem contrariul, adică să presupunem că afirmația nu este adevărată pentru fiecare natural n. Apoi există un astfel de firesc m, Ce:

1) declarație pentru n=m nu e corect,

2) pentru toată lumea n, mai mic m, afirmația este adevărată (cu alte cuvinte, m este primul număr natural pentru care afirmația nu este adevărată).

Este evident că m>1, pentru că Pentru n=1 afirmația este adevărată (condiția 1). Prin urmare,
- numar natural. Se pare că pentru un număr natural
afirmația este adevărată, iar pentru următorul număr natural m este nedrept. Aceasta contrazice condiția 2. ■

Rețineți că demonstrația a folosit axioma că orice colecție de numere naturale conține cel mai mic număr.

O demonstrație bazată pe principiul inducției matematice se numește prin metoda inducţiei matematice complete .

 Exemplu6.1. Demonstrează asta pentru orice natură n număr
divizibil cu 3.

Soluţie.

1) Când n=1, deci A 1 este divizibil cu 3 și afirmația este adevărată când n=1.

2) Să presupunem că afirmația este adevărată pentru n=k,
, adică acel număr
este divizibil cu 3 și stabilim că atunci când n=k Numărul +1 este divizibil cu 3.

Într-adevăr,

Deoarece Fiecare termen este divizibil cu 3, apoi și suma lor este divizibil cu 3. ■ 

 Exemplu6.2. Demonstrați că suma primelor n numerele naturale impare sunt egale cu pătratul numărului lor, adică.

Soluţie. Să folosim metoda inducției matematice complete.

1) Verificăm validitatea acestei afirmații când n=1: 1=1 2 – acest lucru este adevărat.

2) Să presupunem că suma primului k (
) de numere impare este egal cu pătratul numărului acestor numere, adică. Pe baza acestei egalităţi, stabilim că suma primelor k+1 numere impare este egal cu
, acesta este .

Ne folosim presupunerea și obținem

. ■ 

Metoda inducției matematice complete este folosită pentru a demonstra unele inegalități. Să demonstrăm inegalitatea lui Bernoulli.

 Exemplu6.3. Demonstrează că atunci când
și orice natural n inegalitatea este adevărată
(inegalitatea lui Bernoulli).

Soluţie. 1) Când n=1 obținem
, ceea ce este adevărat.

2) Presupunem că atunci când n=k exista inegalitate
(*). Folosind această presupunere, demonstrăm că
. Rețineți că atunci când
această inegalitate este valabilă și, prin urmare, este suficient să luăm în considerare cazul
.

Să înmulțim ambele părți ale inegalității (*) cu numărul
și obținem:

Adică (1+
.■ 

Dovada prin metoda inducție matematică incompletă vreo afirmatie in functie de n, Unde
se desfășoară într-un mod similar, dar la început se stabilește corectitudinea pentru cea mai mică valoare n.

Unele probleme nu precizează în mod explicit o afirmație care poate fi dovedită prin inducție matematică. În astfel de cazuri, trebuie să stabiliți singur modelul și să faceți o ipoteză despre validitatea acestui model, apoi să utilizați metoda de inducție matematică pentru a testa ipoteza propusă.

 Exemplu6.4. Găsiți suma
.

Soluţie. Să găsim sumele S 1 , S 2 , S 3. Avem
,
,
. Emitem ipoteza că pentru orice natural n formula este valabila
. Pentru a testa această ipoteză, vom folosi metoda inducției matematice complete.

1) Când n=1 ipoteza este corectă, deoarece
.

2) Să presupunem că ipoteza este adevărată pentru n=k,
, acesta este
. Folosind această formulă, vom stabili că ipoteza este adevărată chiar și atunci când n=k+1, adică

Într-adevăr,

Deci, pe baza presupunerii că ipoteza este adevărată când n=k,
, s-a dovedit că este adevărat și pentru n=k+1, iar pe baza principiului inducției matematice concluzionăm că formula este valabilă pentru orice număr natural n. ■ 

 Exemplu6.5. În matematică, se dovedește că suma a două funcții uniform continue este o funcție uniform continuă. Pe baza acestei afirmații, trebuie să demonstrați că suma oricărui număr
a funcțiilor uniform continue este o funcție uniform continuă. Dar din moment ce nu am introdus încă conceptul de „funcție uniformă continuă”, să punem problema mai abstract: să se știe că suma a două funcții care au o anumită proprietate S, în sine are proprietatea S. Să demonstrăm că suma oricărui număr de funcții are proprietatea S.

Soluţie. Baza inducției aici este conținută în formularea problemei în sine. După ce am făcut ipoteza de inducție, luați în considerare
funcții f 1 , f 2 , …, f n , f n+1 care au proprietatea S. Apoi . În partea dreaptă, primul termen are proprietatea S prin ipoteza de inducție, al doilea termen are proprietatea S dupa conditie. În consecință, suma lor are proprietatea S– pentru doi termeni baza de inducție „funcționează”.

Aceasta dovedește afirmația și o vom folosi în continuare. ■ 

 Exemplu6.6. Găsiți totul natural n, pentru care inegalitatea este adevărată

Soluţie. Sa luam in considerare n=1, 2, 3, 4, 5, 6. Avem: 2 1 >1 2, 2 2 =2 2, 2 3<3 2 , 2 4 =4 2 , 2 5 >5 2, 2 6 >6 2. Astfel, putem face o ipoteză: inegalitatea
are loc pentru toată lumea
. Pentru a demonstra adevărul acestei ipoteze, vom folosi principiul inducției matematice incomplete.

1) După cum sa stabilit mai sus, această ipoteză este adevărată atunci când n=5.

2) Să presupunem că este adevărat pentru n=k,
, adică inegalitatea este adevărată
. Folosind această ipoteză, demonstrăm că inegalitatea
.

Deoarece
iar la
exista inegalitate

la
,

atunci obținem asta
. Deci, adevărul ipotezei la n=k+1 rezultă din ipoteza că este adevărat când n=k,
.

Din paragrafe. 1 și 2, pe baza principiului inducției matematice incomplete, rezultă că inegalitatea
adevărat pentru fiecare natural
. ■ 

 Exemplu6.7. Demonstrați că pentru orice număr natural n formula de diferentiere este valabila
.

Soluţie. La n=1 această formulă arată ca
, sau 1=1, adică este corect. Făcând ipoteza de inducție, avem:

Q.E.D. ■ 

 Exemplu6.8. Demonstrați că setul format din n elemente, are subseturi

Soluţie. Un set format dintr-un element A, are două subseturi. Acest lucru este adevărat deoarece toate submulțimile sale sunt mulțimea goală și mulțimea goală în sine, iar 2 1 =2.

Să presupunem că fiecare set de n elemente are subseturi Dacă mulţimea A este formată din n+1 elemente, apoi fixăm un element în el - îl notăm dși împărțiți toate submulțimile în două clase – cele care nu conțin dşi conţinând d. Toate submulțimile din prima clasă sunt submulțimi ale mulțimii B obținute de la A prin îndepărtarea unui element d.

Setul B este format din n elemente, și deci, prin inducție, el are submulțimi, deci în prima clasă subseturi

Dar în a doua clasă există același număr de submulțimi: fiecare dintre ele este obținută dintr-un submulțime din prima clasă prin adăugarea unui element d. Prin urmare, în total mulțimea A
subseturi

Astfel afirmația este dovedită. Rețineți că este valabil și pentru o mulțime formată din 0 elemente - mulțimea goală: are o singură submulțime - ea însăși și 2 0 = 1. ■ 

METODA INDUCȚIEI MATEMATICĂ

Cuvântul inducție în rusă înseamnă îndrumare, iar concluziile bazate pe observații, experimente, adică sunt numite inductive. obţinut prin inferenţă de la particular la general.

De exemplu, în fiecare zi observăm că Soarele răsare din est. Prin urmare, puteți fi sigur că mâine va apărea în est, și nu în vest. Tragem această concluzie fără a recurge la vreo presupunere cu privire la motivul mișcării Soarelui pe cer (mai mult, această mișcare în sine se dovedește a fi aparentă, deoarece globul se mișcă de fapt). Și totuși această concluzie inductivă descrie corect observațiile pe care le vom face mâine.

Rolul concluziilor inductive în științele experimentale este foarte mare. Acestea dau acele dispoziții din care se trag apoi concluzii suplimentare prin deducere. Și, deși mecanica teoretică se bazează pe cele trei legi ale mișcării ale lui Newton, aceste legi în sine au fost rezultatul unei gândiri profunde prin intermediul datelor experimentale, în special legile mișcării planetare ale lui Kepler, pe care le-a derivat din prelucrarea a mulți ani de observații de către astronomul danez Tycho. Brahe. Observarea și inducerea se dovedesc a fi utile în viitor pentru clarificarea ipotezelor făcute. După experimentele lui Michelson privind măsurarea vitezei luminii într-un mediu în mișcare, s-a dovedit a fi necesar să se clarifice legile fizicii și să se creeze teoria relativității.

În matematică, rolul inducției este în mare măsură că stă la baza axiomaticii alese. După ce practica pe termen lung a arătat că o cale dreaptă este întotdeauna mai scurtă decât una curbă sau ruptă, a fost firesc să se formuleze o axiomă: pentru oricare trei puncte A, B și C, inegalitatea

Conceptul de urmărire, care stă la baza aritmeticii, a apărut și din observațiile despre formarea soldaților, a navelor și a altor seturi ordonate.

Nu trebuie, însă, să credem că acest lucru epuizează rolul inducției în matematică. Desigur, nu ar trebui să testăm experimental teoreme deduse logic din axiome: dacă nu s-au făcut erori logice în timpul derivării, atunci ele sunt adevărate în măsura în care axiomele pe care le-am acceptat sunt adevărate. Dar din acest sistem de axiome pot fi deduse o mulțime de afirmații. Și selectarea acelor afirmații care trebuie dovedite este sugerată din nou prin inducție. Acesta vă permite să separați teoremele utile de cele inutile, indică ce teoreme se pot dovedi adevărate și chiar ajută la conturarea căii de demonstrare.

Esența metodei inducției matematice

În multe ramuri de aritmetică, algebră, geometrie și analiză, este necesar să se dovedească adevărul propozițiilor A(n) în funcție de o variabilă naturală. Dovada adevărului propoziției A(n) pentru toate valorile unei variabile poate fi adesea efectuată prin metoda inducției matematice, care se bazează pe următorul principiu.

Propoziția A(n) este considerată adevărată pentru toate valorile naturale ale variabilei dacă sunt îndeplinite următoarele două condiții:

Propoziția A(n) este adevărată pentru n=1.

Din ipoteza că A(n) este adevărată pentru n=k (unde k este orice număr natural), rezultă că este adevărată pentru următoarea valoare n=k+1.

Acest principiu se numește principiul inducției matematice. Este de obicei aleasă ca una dintre axiomele care definesc seria naturală de numere și, prin urmare, este acceptată fără dovezi.

Metoda inducției matematice înseamnă următoarea metodă de demonstrare. Dacă doriți să demonstrați adevărul unei propoziții A(n) pentru tot n natural, atunci, în primul rând, ar trebui să verificați adevărul propoziției A(1) și, în al doilea rând, presupunând adevărul propoziției A(k), încercați să demonstrați că afirmația A(k +1) este adevărată. Dacă acest lucru poate fi demonstrat, iar demonstrația rămâne valabilă pentru fiecare valoare naturală a lui k, atunci, în conformitate cu principiul inducției matematice, propoziția A(n) este recunoscută ca adevărată pentru toate valorile lui n.

Metoda inducției matematice este utilizată pe scară largă în demonstrarea teoremelor, identităților, inegalităților, în rezolvarea problemelor de divizibilitate, în rezolvarea unor probleme geometrice și a multor alte probleme.

Metoda inducţiei matematice în rezolvarea problemelor pe

divizibilitate

Folosind metoda inducției matematice, puteți demonstra diverse afirmații referitoare la divizibilitatea numerelor naturale.

Următoarea afirmație poate fi dovedită relativ simplu. Să arătăm cum se obține prin metoda inducției matematice.

Exemplul 1. Dacă n este un număr natural, atunci numărul este par.

Când n=1 afirmația noastră este adevărată: - un număr par. Să presupunem că este un număr par. Deoarece , un 2k este un număr par, atunci chiar. Deci, paritatea este dovedită pentru n=1, paritatea se deduce din paritate .Aceasta înseamnă că este chiar și pentru toate valorile naturale ale n.

Exemplul 2.Dovediți adevărul propoziției

A(n)=(numărul 5 este un multiplu al lui 19), n este un număr natural.

Soluţie.

Afirmația A(1)=(un număr divizibil cu 19) este adevărată.

Să presupunem că pentru o valoare n=k

A(k)=(număr divizibil cu 19) este adevărată. Apoi, de când

Evident, A(k+1) este de asemenea adevărată. Într-adevăr, primul termen este divizibil cu 19 datorită presupunerii că A(k) este adevărată; al doilea termen este și el divizibil cu 19 deoarece conține un factor de 19. Ambele condiții ale principiului inducției matematice sunt îndeplinite, prin urmare, propoziția A(n) este adevărată pentru toate valorile lui n.

Aplicarea metodei inducţiei matematice la

serii însumând

Exemplul 1.Demonstrați formula

, n este un număr natural.

Soluţie.

Când n=1, ambele părți ale egalității se transformă în una și, prin urmare, prima condiție a principiului inducției matematice este îndeplinită.

Să presupunem că formula este corectă pentru n=k, adică.

Să adăugăm ambele părți ale acestei egalități și să transformăm partea dreaptă. Apoi primim

Astfel, din faptul că formula este adevărată pentru n=k, rezultă că este adevărată și pentru n=k+1. Această afirmație este adevărată pentru orice valoare naturală a lui k. Deci, este îndeplinită și a doua condiție a principiului inducției matematice. Formula este dovedită.

Exemplul 2.Demonstrați că suma primelor n numere ale seriei naturale este egală cu .

Soluţie.

Să notăm suma necesară, adică .

Când n=1 ipoteza este adevărată.

Lăsa . Să arătăm asta .

Într-adevăr,

Problema este rezolvată.

Exemplul 3.Demonstrați că suma pătratelor primelor n numere ale seriei naturale este egală cu .

Soluţie.

Lăsa .

Să ne prefacem că . Apoi

Și, în sfârșit.

Exemplul 4. Demonstrează că.

Soluţie.

Daca atunci

Exemplul 5. Demonstrează asta

Soluţie.

Când n=1 ipoteza este în mod evident adevărată.

Lăsa .

Să demonstrăm că.

Într-adevăr,

Exemple de aplicare a metodei inducţiei matematice la

dovada inegalităților

Exemplul 1.Demonstrați că pentru orice număr natural n>1

Soluţie.

Să notăm partea stângă a inegalității cu .

Prin urmare, pentru n=2 inegalitatea este adevărată.

Lasă pentru niște k. Să demonstrăm că atunci și . Avem , .

Comparând și , avem , adică .

Pentru orice număr întreg pozitiv k, partea dreaptă a ultimei egalități este pozitivă. De aceea . Dar asta înseamnă și.

Exemplul 2.Găsiți eroarea în raționament.

Afirmație. Pentru orice număr natural n inegalitatea este adevărată.

Dovada.

. (1)

Să demonstrăm că atunci inegalitatea este valabilă și pentru n=k+1, adică.

Într-adevăr, nu mai puțin de 2 pentru orice k natural. Să adăugăm la partea stângă a inegalității (1) și la partea dreaptă 2. Obținem o inegalitate corectă sau . Afirmația a fost dovedită.

Exemplul 3.Demonstrează asta , unde >-1, , n este un număr natural mai mare decât 1.

Soluţie.

Pentru n=2 inegalitatea este adevărată, deoarece .

Fie inegalitatea adevărată pentru n=k, unde k este un număr natural, adică.

. (1)

Să arătăm că atunci inegalitatea este valabilă și pentru n=k+1, adică.

. (2)

Într-adevăr, prin condiție, , prin urmare inegalitatea este adevărată

, (3)

obţinut din inegalitatea (1) prin înmulţirea fiecărei părţi cu . Să rescriem inegalitatea (3) astfel: . Înlăturând termenul pozitiv din partea dreaptă a ultimei inegalități, obținem inegalitatea corectă (2).

Exemplul 4. Demonstrează asta

(1)

unde , , n este un număr natural mai mare decât 1.

Soluţie.

Pentru n=2 inegalitatea (1) ia forma

. (2)

Din moment ce , atunci inegalitatea este adevărată

. (3)

Adăugând la fiecare parte a inegalității (3) obținem inegalitatea (2).

Aceasta demonstrează că pentru n=2 inegalitatea (1) este adevărată.

Fie inegalitatea (1) adevărată pentru n=k, unde k este un număr natural, i.e.

. (4)

Să demonstrăm că atunci inegalitatea (1) trebuie să fie adevărată și pentru n=k+1, adică.

(5)

Să înmulțim ambele părți ale inegalității (4) cu a+b. Deoarece, prin condiție, , obținem următoarea inegalitate justă:

. (6)

Pentru a demonstra validitatea inegalităţii (5), este suficient să arătăm că

, (7)

sau, ce este la fel,

. (8)

Inegalitatea (8) este echivalentă cu inegalitatea

. (9)

Dacă , atunci , și în partea stângă a inegalității (9) avem produsul a două numere pozitive. Dacă , atunci , și în partea stângă a inegalității (9) avem produsul a două numere negative. În ambele cazuri, inegalitatea (9) este adevărată.

Aceasta demonstrează că validitatea inegalității (1) pentru n=k implică valabilitatea acesteia pentru n=k+1.

Metoda inducției matematice aplicată altora

sarcini

Cea mai firească aplicație a metodei inducției matematice în geometrie, apropiată de utilizarea acestei metode în teoria numerelor și algebră, este aplicarea acesteia la rezolvarea problemelor de calcul geometric. Să ne uităm la câteva exemple.

Exemplul 1.Calculați latura unui pătrat regulat înscris într-un cerc cu raza R.

Soluţie.

Când n=2 corect 2 n - un pătrat este un pătrat; partea lui. În plus, conform formulei de dublare

constatăm că latura unui octogon regulat , partea unui hexagon obișnuit , latura unui triunghi regulat de treizeci și doi . Prin urmare, putem presupune că partea corectă a inscripționat 2 n - pătrat pentru orice egal

. (1)

Să presupunem că latura unui triunghi regulat înscris este exprimată prin formula (1). În acest caz, conform formulei de dublare

de unde rezultă că formula (1) este valabilă pentru toate n.

Exemplul 2.În câte triunghiuri poate fi împărțit un n-gon (nu neapărat convex) prin diagonalele sale disjunse?

Soluţie.

Pentru un triunghi, acest număr este egal cu unu (nu se poate trasa o singură diagonală într-un triunghi); pentru un patrulater acest număr este evident doi.

Să presupunem că știm deja că fiecare k-gon, unde k 1 A 2 ...A n în triunghiuri.

A n

A 1 A 2

Fie A 1 A k una dintre diagonalele acestei partiții; împarte n-gonul A 1 A 2 ...A n în k-gonul A 1 A 2 ...A k și (n-k+2)-gonul A 1 A k A k+1 .. .A n . Datorită ipotezei făcute, numărul total de triunghiuri din partiție va fi egal cu

(k-2)+[(n-k+2)-2]=n-2;

Astfel, afirmația noastră este dovedită pentru toate n.

Exemplul 3.Stabiliți regula pentru calcularea numărului P(n) de moduri în care un n-gon convex poate fi împărțit în triunghiuri prin diagonale disjunse.

Soluţie.

Pentru un triunghi, acest număr este evident egal cu unu: P(3)=1.

Să presupunem că am determinat deja numerele P(k) pentru toți k 1 A 2 ...A n . Ori de câte ori este împărțit în triunghiuri, latura A 1 A 2 va fi o latură a unuia dintre triunghiurile de despărțire, al treilea vârf al acestui triunghi poate coincide cu fiecare dintre punctele A 3, A 4, …, A n . Numărul de moduri de partiție a unui n-gon în care acest vârf coincide cu punctul A 3 , este egal cu numărul de moduri de împărțire a (n-1)-gon A în triunghiuri 1 A 3 A 4 …A n , adică este egal cu P(n-1). Numărul de metode de partiționare în care acest vârf coincide cu A 4 , este egal cu numărul de moduri de partiție a (n-2)-gon A 1 A 4 A 5 …A n , adică este egal cu P(n-2)=P(n-2)P(3); numărul de metode de partiționare în care coincide cu A 5 , este egal cu P(n-3)P(4), deoarece fiecare dintre partițiile (n-3)-gon A 1 A 5 ...A n poate fi combinat cu fiecare dintre partițiile patrulaterului A 2 A 3 A 4 A 5 , etc. Astfel, ajungem la următoarea relație:

Р(n)=P(n-1)+P(n-2)P(3)+P(n-3)P(4)+…+P(3)P(n-2)+P(n -1).

Folosind această formulă obținem în mod constant:

P(4)=P(3)+P(3)=2,

P(5)=P(4)+P(3)P(3)+P(4)+5,

P(6)=P(5)+P(4)P(3)+P(3)P(4)+P(5)=14

etc.

De asemenea, puteți rezolva probleme cu grafice folosind metoda inducției matematice.

Să existe o rețea de linii pe plan care conectează unele puncte și nu au alte puncte. Vom numi o astfel de rețea de linii o hartă, puncte date ca vârfuri, segmente de curbe între două vârfuri adiacente - limitele hărții, părți ale planului în care este împărțită prin granițe - țările hărții.

Să fie dată o hartă în avion. Vom spune că este colorat corect dacă fiecare dintre țările sale este vopsită cu o anumită culoare, iar oricare două țări care au o graniță comună sunt pictate cu culori diferite.

Exemplul 4.Există n cercuri în plan. Demonstrați că pentru orice aranjare a acestor cercuri, harta pe care o formează poate fi colorată corect cu două culori.

Soluţie.

Pentru n=1 afirmația noastră este evidentă.

Să presupunem că afirmația noastră este adevărată pentru orice hartă formată din n cercuri și să fie n+1 cercuri pe plan. Prin eliminarea unuia dintre aceste cercuri, obținem o hartă care, în virtutea presupunerii făcute, poate fi colorată corect cu două culori, de exemplu, alb și negru.

Saveleva Ekaterina

Lucrarea discută aplicarea metodei inducției matematice în rezolvarea problemelor de divizibilitate și însumarea seriilor. Sunt luate în considerare exemple de aplicare a metodei inducției matematice pentru demonstrarea inegalităților și rezolvarea problemelor geometrice. Lucrarea este ilustrată cu o prezentare.

Descarca:

Previzualizare:

Ministerul Științei și Educației al Federației Ruse

Instituție de învățământ de stat

gimnaziu nr 618

Curs: algebră și începuturi de analiză

Subiectul muncii de proiect

„Metoda inducției matematice și aplicarea ei la rezolvarea problemelor”

Lucrare finalizată: Savelyeva E, clasa 11B

Supraveghetor : Makarova T.P., profesor de matematică, gimnaziu Nr. 618

1. Introducere.

2.Metoda inducţiei matematice în rezolvarea problemelor de divizibilitate.

3. Aplicarea metodei inducţiei matematice la însumarea seriilor.

4. Exemple de aplicare a metodei inducției matematice la demonstrarea inegalităților.

5. Aplicarea metodei inducţiei matematice la rezolvarea problemelor geometrice.

6. Lista literaturii folosite.

Introducere

Baza oricărei cercetări matematice sunt metodele deductive și inductive. Metoda deductivă de raționament este raționamentul de la general la specific, adică. raționament, al cărui punct de plecare este rezultatul general, iar punctul final este rezultatul particular. Inducția este utilizată atunci când se trece de la rezultate particulare la cele generale, de exemplu. este opusul metodei deductive. Metoda inducției matematice poate fi comparată cu progresul. Pornim de la cel mai de jos, iar ca rezultat al gândirii logice ajungem la cel mai înalt. Omul s-a străduit întotdeauna pentru progres, pentru capacitatea de a-și dezvolta gândurile în mod logic, ceea ce înseamnă că însăși natura i-a destinat să gândească inductiv. Deși sfera de aplicare a metodei de inducție matematică a crescut, i se alocă puțin timp în programa școlară Dar este atât de important să poți gândi inductiv. Aplicarea acestui principiu în rezolvarea problemelor și demonstrarea teoremelor este la egalitate cu luarea în considerare în practica școlară a altor principii matematice: mijloc exclus, incluziune-excludere, Dirichlet etc. Acest rezumat conține probleme din diferite ramuri ale matematicii, în care instrumentul principal este metoda de utilizare a inducției matematice. Vorbind despre importanța acestei metode, A.N. Kolmogorov a remarcat că „înțelegerea și capacitatea de a aplica principiul inducției matematice este un bun criteriu de maturitate, care este absolut necesar pentru un matematician”. Metoda de inducție în sensul său larg constă în trecerea de la observații particulare la un model universal, general sau o formulare generală. În această interpretare, metoda este, desigur, principala metodă de realizare a cercetării în orice știință experimentală a naturii.

activitate umana. Metoda (principiul) inducției matematice în forma sa cea mai simplă este utilizată atunci când este necesar să se dovedească o anumită afirmație pentru toate numerele naturale.

Sarcina 1. În articolul său „Cum am devenit matematician” A.N. Kolmogorov scrie: „Am învățat devreme bucuria unei „descoperiri” matematice, observând un model la vârsta de cinci sau șase ani.

1 =1 2 ,

1 + 3 = 2 2 ,

1 + 3 + 5 = 3 2,

1 + 3 + 5 + 7 = 4 2 și așa mai departe.

Școala a publicat revista „Rândunele de primăvară”. În ea a fost publicată descoperirea mea...”

Nu știm ce fel de dovezi au fost date în acest jurnal, dar totul a început cu observații private. Ipoteza însăși, care a apărut probabil după descoperirea acestor egalități parțiale, este că formula

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n 2

adevărat pentru orice număr dat n = 1, 2, 3, ...

Pentru a demonstra această ipoteză, este suficient să stabilim două fapte. În primul rând, pentru n = 1 (și chiar și pentru n = 2, 3, 4) afirmația dorită este adevărată. În al doilea rând, să presupunem că afirmația este adevărată pentru p = k, și ne vom asigura că atunci este valabil și pentru n = k + 1:

1 + 3 + 5+…+ (2k - 1) + (2k + 1) = (1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1)) + (2k + 1) = k 2 + (2k + 1) = (k + I) 2.

Aceasta înseamnă că afirmația care se dovedește este adevărată pentru toate valorile n: pentru n = 1 este adevărat (acest lucru a fost verificat), iar datorită celui de-al doilea fapt - pt n = 2, de unde pentru n = 3 (datorită aceluiași, al doilea fapt), etc.

Problema 2. Luați în considerare toate fracțiile ordinare posibile cu numărătorul 1 și orice (întreg pozitiv)

numitor (nominal): Demonstrați că pentru oricare p> 3 putem reprezenta unitatea ca o sumă P diverse fracții de acest tip.

Soluţie, Să verificăm mai întâi această declarație pentru n = 3; avem:

Prin urmare, afirmația de bază este satisfăcută

Să presupunem acum că afirmația care ne interesează este adevărată pentru un anumit număr La, și demonstrează că este adevărat și pentru numărul care îl urmează La + 1. Cu alte cuvinte, să presupunem că există o reprezentare

în care k termenii și toți numitorii sunt diferiți. Să demonstrăm că atunci putem obține o reprezentare a unității ca sumă din La + 1 fracții de tipul necesar. Vom presupune că fracțiile sunt descrescătoare, adică numitorii (în reprezentarea unității prin suma La termeni) cresc de la stânga la dreapta astfel încât T - cel mai mare dintre numitori. Vom obține reprezentarea de care avem nevoie sub forma unei sume(La + 1)-a fracție, dacă împărțim o fracție, de exemplu ultima, în două. Acest lucru se poate face pentru că

Prin urmare

În plus, toate fracțiile au rămas diferite, deoarece T a fost cel mai mare numitor și t + 1 > t și

t(t + 1) > t.

Astfel, am stabilit:

cu n = 3 această afirmație este adevărată;

dacă afirmaţia care ne interesează este adevărată pentru La,
atunci este valabil si pentru k + 1.

Pe această bază, putem afirma că afirmația în cauză este adevărată pentru toate numerele naturale, începând de la trei. Mai mult decât atât, demonstrația de mai sus implică și un algoritm pentru găsirea partiției necesare a unității. (Ce algoritm este acesta? Imaginează-ți numărul 1 ca sumă a 4, 5, 7 termeni în sine.)

În rezolvarea celor două probleme anterioare s-au făcut doi pași. Primul pas se numește bază inducție, a doua -joncțiune inductivăsau etapa de inducție. Al doilea pas este cel mai important și implică realizarea unei presupuneri (afirmația este adevărată când n = k) și concluzie (afirmația este adevărată când n = k + 1). Parametrul n însuși este numit parametru de inducție.Această schemă logică (tehnică), care ne permite să concluzionăm că afirmația în cauză este adevărată pentru toate numerele naturale (sau pentru toate, începând de la unele), întrucât atât baza, cât și tranziția sunt valabile, se numeșteprincipiul inducției matematice, pe care Se bazează metoda inducției matematice.Termenul „inducție” în sine provine din cuvântul latin inducţie (îndrumare), care înseamnă trecerea de la cunoștințele unice despre obiectele individuale ale unei clase date la o concluzie generală despre toate obiectele unei clase date, care este una dintre principalele metode de cunoaștere.

Principiul inducției matematice, tocmai în forma familiară a doi pași, a apărut pentru prima dată în 1654 în „Tratatul triunghiului aritmetic” al lui Blaise Pascal, în care un mod simplu de a calcula numărul de combinații (coeficienți binomiali) a fost dovedit prin inducție. D. Polya îl citează pe B. Pascal în carte cu modificări minore date între paranteze drepte:

„Deși propunerea în cauză [formula explicită pentru coeficienții binomi] conține nenumărate cazuri speciale, voi oferi o demonstrație foarte scurtă, bazată pe două leme.

Prima lemă afirmă că ipoteza este adevărată din acest motiv - acest lucru este evident. [La P = 1 formulă explicită este validă...]

A doua lemă afirmă următoarele: dacă ipoteza noastră este adevărată pentru o bază arbitrară [pentru un r arbitrar], atunci va fi adevărată pentru următorul motiv [pentru n + 1].

Din aceste două leme rezultă în mod necesar că propoziția este valabilă pentru toate valorile P. Într-adevăr, în virtutea primei leme este adevărat pentru P = 1; prin urmare, în virtutea celei de-a doua leme, este adevărat pentru P = 2; prin urmare, din nou în virtutea celei de-a doua leme, este valabil pentru n = 3 și așa mai departe la infinit."

Problema 3. Puzzle-ul Turnurile din Hanoi este format din trei tije. Pe una dintre tije se află o piramidă (Fig. 1), formată din mai multe inele de diferite diametre, descrescând de jos în sus

Fig 1

Această piramidă trebuie mutată pe una dintre celelalte tije, mișcând doar un inel de fiecare dată și nu așezând inelul mai mare pe cel mai mic. Este posibil să faci asta?

Soluţie. Deci, trebuie să răspundem la întrebarea: este posibil să mutați o piramidă formată din P inele de diferite diametre, de la o lansetă la alta, respectând regulile jocului? Acum, după cum se spune, am parametrizat problema (un număr natural a fost introdus în considerare P), și poate fi rezolvată prin inducție matematică.

Baza de inducție. Când n = 1 totul este clar, deoarece o piramidă dintr-un inel poate fi mutată în mod evident pe orice tijă.
Etapa de inducție. Să presupunem că putem muta orice piramide cu numărul de inele p = k.
Să demonstrăm că atunci putem muta pyra midka din n = k + 1.

Piramida de la la inele întinse pe cel mai mare(La + 1)-al-lea inel, putem, conform presupunerii, să-l mutăm pe orice altă tijă. Hai să o facem. nemişcat(La + Al 1-lea inel nu ne va împiedica să realizăm algoritmul de mișcare, deoarece este cel mai mare. După mutare La inele, hai să-l mutăm pe acesta cel mai mare(La + 1) al-lea inel pe tija rămasă. Și apoi din nou aplicăm algoritmul de mișcare cunoscut nouă prin presupunerea inductivă La inele și mutați-le la tija cu cea aflată dedesubt(La + 1) al-lea inel. Astfel, dacă știm să mutăm piramidele cu La inele, atunci știm să mutăm piramidele și cu La + 1 inele. Prin urmare, conform principiului inducției matematice, este întotdeauna posibil să se deplaseze piramida constând din n inele, unde n > 1.

Metoda inducției matematice în rezolvarea problemelor de divizibilitate.

Folosind metoda inducției matematice, puteți demonstra diverse afirmații referitoare la divizibilitatea numerelor naturale.

Problema 4 . Dacă n este un număr natural, atunci numărul este par.

Când n=1 afirmația noastră este adevărată: - un număr par. Să presupunem că este un număr par. Deoarece 2k este un număr par, atunci este par. Deci, paritatea este dovedită pentru n=1, paritatea este dedusă din paritate. Aceasta înseamnă că este egală pentru toate valorile naturale ale lui n.

Sarcina 3. Demonstrați că numărul Z 3 + 3 - 26n - 27 cu natural arbitrar n este divizibil cu 26 2 fără rest.

Soluţie. Să demonstrăm mai întâi prin inducție afirmația auxiliară că 3 3n+3 — 1 este divizibil cu 26 fără rest când n > 0.

Baza de inducție. Pentru n = 0 avem: 3 3 - 1 = 26—divizibil cu 26.

Etapa de inducție. Să presupunem că 3 3n+3 - 1 se împarte la 26 când n = k și Să demonstrăm că în acest caz afirmația va fi adevărată pentru n = k + 1. Deoarece 3

apoi din ipoteza inductivă concluzionăm că numărul 3 3k + 6 - 1 este divizibil cu 26.

Acum demonstrăm afirmația formulată în enunțul problemei. Și din nou prin inducție.

Baza de inducție. Este evident că atunci când n = 1 afirmație este adevărată: deoarece 3 3+3 - 26 - 27 = 676 = 26 2 .
Etapa de inducție. Să presupunem că atunci când p = k
expresia 3 3k + 3 - 26k - 27 este împărțit la 26 2 fără rest și dovediți că afirmația este adevărată pentru n = k + 1,
adică acel număr

divizibil cu 26 2 fără urmă. În ultima sumă, ambii termeni sunt divizibili cu 26 2 . Prima este pentru că am demonstrat că expresia din paranteze este divizibilă cu 26; a doua este prin ipoteza de inducție. În virtutea principiului inducției matematice, afirmația dorită este complet dovedită.

Aplicarea metodei inducției matematice la însumarea seriilor.

Sarcina 5. Demonstrați formula

N este un număr natural.

Soluţie.

Când n=1, ambele părți ale egalității se transformă în una și, prin urmare, prima condiție a principiului inducției matematice este îndeplinită.

Să presupunem că formula este corectă pentru n=k, adică.

Să adăugăm ambele părți ale acestei egalități și să transformăm partea dreaptă. Apoi primim

Sarcină 6. Pe tablă sunt scrise două numere: 1,1. Introducând suma lor între numere, obținem numerele 1, 2, 1. Repetând această operație din nou, obținem numerele 1, 3, 2, 3, 1. După trei operații, numerele vor fi 1, 4, 3. , 5, 2, 5, 3, 4, 1. Care va fi suma tuturor numerelor de pe tablă după 100 de operatii?

Soluţie. Fă totul 100 operațiunile ar fi o sarcină foarte intensă și consumatoare de timp. Aceasta înseamnă că trebuie să încercăm să găsim o formulă generală pentru suma S numere după n operațiuni. Să ne uităm la tabel:

Ai observat vreun model aici? Dacă nu, mai poți face un pas: după patru operații vor fi numere

1, 5, 4, 7, 3, 8, 5, 7, 2, 7, 5, 8, 3, 7, 4, 5, 1,

a căror sumă S 4 este egală cu 82.

De fapt, nu puteți nota numerele, ci imediat spuneți cum se va schimba suma după adăugarea unor numere noi. Fie suma egală cu 5. Ce va deveni când se vor adăuga numere noi? Să împărțim fiecare număr nou în suma celor două vechi. De exemplu, de la 1, 3, 2, 3, 1 trecem la 1,

1 + 3, 3, 3 + 2, 2, 2 + 3, 3, 3 + 1, 1.

Adică, fiecare număr vechi (cu excepția celor două unități extreme) este acum inclus în sumă de trei ori, deci noua sumă este egală cu 3S - 2 (scădeți 2 pentru a lua în considerare unitățile lipsă). Prin urmare S 5 = 3S 4 - 2 = 244 și, în general

Care este formula generală? Dacă nu ar fi scăderea a două unități, atunci de fiecare dată suma ar crește de trei ori, ca în puterile a trei (1, 3, 9, 27, 81, 243, ...). Și cifrele noastre, după cum putem vedea acum, sunt încă unul. Astfel, se poate presupune că

Să încercăm acum să demonstrăm acest lucru prin inducție.

Baza de inducție. Vezi tabel (pentru n = 0, 1, 2, 3).

Etapa de inducție. Să ne prefacem că

Să demonstrăm atunci asta S k + 1 = Z k + 1 + 1.

Într-adevăr,

Deci, formula noastră este dovedită. Arată că după o sută de operații suma tuturor numerelor de pe tablă va fi egală cu 3 100 + 1.

Să ne uităm la un exemplu grozav de aplicare a principiului inducției matematice, în care trebuie mai întâi să introduceți doi parametri naturali și apoi să efectuați inducția pe suma lor.

Sarcină 7. Demonstrează că dacă= 2, x 2 = 3 și pentru orice natural p> 3 relația este valabilă

x p = 3x p - 1 - 2x p - 2,

Acea

2 p - 1 + 1, p = 1, 2, 3, ...

Soluţie. Rețineți că în această problemă șirul original de numere(x p) este determinată prin inducție, întrucât termenii șirului nostru, cu excepția primilor doi, sunt specificați inductiv, adică prin cei anterioare. Deci secvențele date sunt numite recurent, iar în cazul nostru, această succesiune este determinată (prin specificarea primilor doi termeni ai săi) într-un mod unic.

Baza de inducție. Constă în verificarea a două afirmaţii: când n = 1 și n = 2.V În ambele cazuri afirmația este adevărată prin condiție.

Etapa de inducție. Să presupunem că pt n = k - 1 și n = k declarația este îndeplinită, adică

Să dovedim atunci validitatea afirmației pentru n = k + 1. Avem:

x 1 = 3(2 + 1) - 2(2 + 1) = 2+1, ceea ce trebuia demonstrat.

Sarcina 8. Demonstrați că orice număr natural poate fi reprezentat ca suma mai multor termeni diferiți ai șirului recurent de numere Fibonacci:

pentru k > 2.

Soluţie. Fie n - numar natural. Vom efectua inductia pe P.

Baza de inducție. Când n = Afirmația 1 este adevărată, deoarece unul însuși este un număr Fibonacci.

Etapa de inducție. Să presupunem că toate numerele naturale sunt mai mici decât un anumit număr P, poate fi reprezentat ca suma mai multor termeni diferiți ai șirului Fibonacci. Să găsim cel mai mare număr Fibonacci Ft, nu superior P; astfel, F t p și F t +1 > p.

Deoarece

Prin ipoteza de inducție, numărul n- F t poate fi reprezentat ca suma 5 a mai multor termeni diferiți ai șirului Fibonacci, iar din ultima inegalitate rezultă că toți termenii șirului Fibonacci implicați în suma 8 sunt mai puțini Ft. Prin urmare, extinderea numărului n = 8 + F t satisface conditiile problemei.

Exemple de aplicare a metodei inducției matematice la demonstrarea inegalităților.

Sarcina 9. (inegalitatea lui Bernoulli.)Demonstrează că atunci când x > -1, x 0 și pentru întregul n > 2 inegalitatea este adevărată

(1 + x) n > 1 + xn.

Soluţie. Vom efectua din nou demonstrația prin inducție.

1. Baza de inducție. Să verificăm validitatea inegalității pentru n = 2. Într-adevăr,

(1 + x) 2 = 1 + 2x + x 2 > 1 + 2x.

2. Etapa de inducție. Să presupunem că pentru număr p = k afirmația este adevărată, adică

(1 + x) k > 1 + xk,

Unde k > 2. Să demonstrăm pentru n = k + 1. Avem: (1 + x) k + 1 = (1 + x) k (1 + x)>(1 + kx)(1 + x) =

1 + (k + 1)x + kx 2 > 1 + (k + 1)x.

Deci, pe baza principiului inducției matematice, putem afirma că inegalitatea lui Bernoulli este adevărată pentru orice n > 2.

În contextul problemelor rezolvate prin metoda inducției matematice, legea generală care trebuie demonstrată nu este întotdeauna clar formulată. Uneori este necesar, prin observarea unor cazuri particulare, să se descopere (ghici) mai întâi la ce lege generală conduc ele și abia apoi să se demonstreze ipoteza enunțată prin metoda inducției matematice. În plus, variabila de inducție poate fi mascată, iar înainte de a rezolva problema, este necesar să se determine pe ce parametru se va efectua inducția. Ca exemple, luați în considerare următoarele sarcini.

Problema 10. Demonstrați că

sub orice firesc n > 1.

Soluţie, Să încercăm să demonstrăm această inegalitate folosind metoda inducției matematice.

Baza de inducție poate fi ușor verificată:1+

Prin ipoteza inducţiei

și rămâne să dovedim asta

Dacă folosim ipoteza inductivă, vom argumenta că

Deși această egalitate este de fapt adevărată, ea nu ne oferă o soluție la problemă.

Să încercăm să demonstrăm o afirmație mai puternică decât cea cerută în problema inițială. Și anume, vom demonstra asta

Poate părea că demonstrarea acestei afirmații prin inducție este o chestiune fără speranță.

Cu toate acestea, când n = 1 avem: afirmația este adevărată. Pentru a justifica pasul inductiv, să presupunem că

si atunci vom demonstra asta

Într-adevăr,

Astfel, am dovedit o afirmație mai puternică, din care urmează imediat enunțul conținut în enunțul problemei.

Lucrul instructiv aici este că, deși a trebuit să dovedim o afirmație mai puternică decât cea cerută în problemă, am putea folosi o presupunere mai puternică în pasul inductiv. Acest lucru explică faptul că aplicarea simplă a principiului inducției matematice nu duce întotdeauna la obiectiv.

S-a numit situatia care a aparut la rezolvarea problemeiparadoxul inventatorului.Paradoxul în sine este că planurile mai complexe pot fi implementate cu mai mult succes dacă se bazează pe o înțelegere mai profundă a esenței problemei.

Problema 11. Demonstrați că 2 m + n - 2 m pentru orice firesc tip.

Soluţie. Aici avem doi parametri. Prin urmare, puteți încerca să efectuați așa-numituldubla inducție(inductie in inductie).

Vom conduce raționament inductiv asupra P.

1. Baza de inducție conform alin. Când n = Trebuie să verific asta 2 t ~ 1 > t. Pentru a demonstra această inegalitate folosim inducția pe T.

A) Baza de inducție conform așa-numitei Când t = 1 executat
egalitate, ceea ce este acceptabil.

b) Etapa de inducție conform așa-numiteiSă presupunem că atunci când t = k afirmația este adevărată, adică 2 k ~ 1 > k. Apoi până la
să spunem că afirmaţia va fi adevărată şi pentru t = k + 1.
Avem:

cu firesc să.

Deci inegalitatea 2 efectuat în orice natură T.

2. Etapa de inducție conform articolului.Să alegem și să reparăm un număr natural T. Să presupunem că atunci când n = I afirmația este adevărată (pentru un fix t), adică 2 t +1 ~ 2 > t1, si vom demonstra ca atunci afirmatia va fi adevarata si pentru n = l + 1.
Avem:

pentru orice firesc tip.

Prin urmare, pe baza principiului inducției matematice (prin P) afirmația problemei este adevărată pentru orice P si pentru orice fix T. Astfel, această inegalitate este valabilă pentru orice natural tip.

Problema 12. Fie m, n și k sunt numere naturale și t > p. Care dintre cele două numere este mai mare:

În fiecare expresie La semne de rădăcină pătrată, t și p alternează.

Soluţie. Să demonstrăm mai întâi o afirmație auxiliară.

Lema. Pentru orice natural t și p (t > p) și nenegativ (nu neapărat întreg) X inegalitatea este adevărată

Dovada. Luați în considerare inegalitatea

Această inegalitate este adevărată, deoarece ambii factori din partea stângă sunt pozitivi. Extindem parantezele și transformăm, obținem:

Luând rădăcina pătrată a ambelor părți ale ultimei inegalități, obținem enunțul lemei. Deci, lema este dovedită.

Să trecem acum la rezolvarea problemei. Să notăm primul dintre aceste numere prin A, iar al doilea - prin b k. Să demonstrăm că a sub orice firesc La. Vom efectua demonstrația folosind metoda inducției matematice separat pentru par și impar La.

Baza de inducție. Când k = 1 avem inegalitate

y[t > y/n , corect datorită faptului că t > p. Când k = 2 necesarul se obține din lema dovedită prin substituție x = 0.

Etapa de inducție. Să presupunem, pentru unii k inegalitatea a > b k corect. Să demonstrăm asta

Din ipoteza de inducție și monotonitatea rădăcinii pătrate avem:

Pe de altă parte, din lema dovedită rezultă că

Combinând ultimele două inegalități, obținem:

Conform principiului inducției matematice, afirmația este dovedită.

Problema 13. (Inegalitatea lui Cauchy.)Demonstrați că pentru orice numere pozitive..., a p inegalitatea este adevărată

Soluţie. Pentru n = 2 inegalitatea

vom presupune că media aritmetică și media geometrică (pentru două numere) sunt cunoscute. Lăsa n= 2, k = 1, 2, 3, ... și mai întâi efectuați inducția pe La. Baza acestei inducție are loc acum presupunând că inegalitatea necesară a fost deja stabilită pentru n = 2, haideți să dovedim P = 2 . Avem (aplicând inegalitatea pentru două numere):

Prin urmare, prin ipoteza inductivă

Astfel, prin inductie pe k am demonstrat inegalitatea pentru toti p 9 fiind o putere a doi.

Pentru a demonstra inegalitatea pentru alte valori P Să folosim „inducerea descendentă”, adică vom demonstra că dacă inegalitatea este valabilă pentru nenegative arbitrare P numere, atunci este valabil și pentru(P - prima zi. Pentru a verifica acest lucru, observăm că, conform ipotezei făcute pentru P numerele pe care le are inegalitatea

adică a g + a 2 + ... + a n _ x > (n - 1)A. Împărțirea ambelor părți în P - 1, obținem inegalitatea necesară.

Deci, mai întâi am stabilit că inegalitatea este valabilă pentru un număr infinit de valori posibile P, și apoi a arătat că dacă inegalitatea este valabilă pentru P numere, atunci este valabil și pentru(P - 1) numere. De aici concluzionăm acum că inegalitatea lui Cauty este valabilă pentru mulțimea lui P orice numere nenegative pentru oricare n = 2, 3, 4, ...

Problema 14. (D. Uspensky.) Pentru orice triunghi ABC ale cărui unghiuri = CAB, = CBA sunt proporționale, există inegalități

Soluţie. Unghiurile și sunt comensurabile, iar aceasta (prin definiție) înseamnă că aceste unghiuri au o măsură comună, pentru care = p, = (p, q sunt numere naturale coprime).

Să folosim metoda inducției matematice și să o realizăm prin sumă p = p + q numere naturale coprime..

Baza de inducție. Pentru p + q = 2 avem: p = 1 și q = 1. Atunci triunghiul ABC este isoscel, iar inegalitățile necesare sunt evidente: rezultă din inegalitatea triunghiului

Etapa de inducție. Să presupunem acum că inegalitățile necesare sunt stabilite pentru p + q = 2, 3, ..., k - 1, unde k > 2. Să demonstrăm că inegalitățile sunt valabile și pentru p + q = k.

Să fie ABC - un triunghi dat cu> 2. Apoi laturile AC și BC nu poate fi egal: las AC > BC. Să construim acum, ca în figura 2, un triunghi isoscel ABC; avem:

AC = DC și AD = AB + BD, prin urmare,

2AC > AB + BD (1)

Luați în considerare acum triunghiul BDC, ale căror unghiuri sunt, de asemenea, proporționale:

DСВ = (q - р), ВDC = p.

Orez. 2

Pentru acest triunghi ipoteza inductivă este valabilă și, prin urmare

(2)

Adăugând (1) și (2), avem:

2AC+BD>

prin urmare

Din același triunghi VBS prin ipoteza inducţiei concluzionăm că

Ținând cont de inegalitatea anterioară, concluzionăm că

Astfel, se obține tranziția inductivă, iar enunțul problemei decurge din principiul inducției matematice.

Cometariu. Enunțul problemei rămâne valabil chiar și în cazul în care unghiurile a și p nu sunt proporționale. În baza considerației în cazul general, este deja necesar să se aplice un alt principiu matematic important - principiul continuității.

Problema 15. Mai multe drepte împart planul în părți. Demonstrați că puteți colora aceste părți în alb

și culorile negre, astfel încât părțile adiacente care au un segment comun de margine să fie de culori diferite (ca în Figura 3 cu n = 4).

poza 3

Soluţie. Să folosim inducția pentru numărul de linii. Asa ca lasa P - numărul de linii care împart planul nostru în părți, n > 1.

Baza de inducție. Dacă există o singură linie dreaptă(P = 1), apoi împarte planul în două semiplane, dintre care unul poate fi colorat în alb și al doilea negru, iar afirmația problemei este adevărată.

Etapa de inducție. Pentru a face mai clară demonstrația tranziției inductive, luați în considerare procesul de adăugare a unei linii noi. Dacă tragem o a doua linie dreaptă(P= 2), apoi obținem patru părți care pot fi colorate după cum este necesar prin pictarea colțurilor opuse de aceeași culoare. Să vedem ce se întâmplă dacă tragem o a treia linie dreaptă. Acesta va împărți unele dintre părțile „vechi”, în timp ce vor apărea noi secțiuni ale chenarului, pe ambele părți ale căror culoare este aceeași (Fig. 4).

Orez. 4

Să procedăm după cum urmează:Pe de o partedin noua linie dreaptă vom schimba culorile - vom face alb negru și invers; în același timp, nu revopsim acele părți care se află de cealaltă parte a acestei linii drepte (Fig. 5). Atunci această nouă colorare va satisface cerințele necesare: pe o parte a liniei drepte era deja alternată (dar cu culori diferite), iar pe cealaltă era ceea ce era necesar. Pentru ca piesele care au o bordura comuna apartinand liniei trasate sa fie vopsite in culori diferite, am revopsit piesele doar pe o parte a acestei linii drepte trasate.

Fig.5

Să demonstrăm acum tranziția inductivă. Să presupunem că pentru uniip = kafirmația problemei este adevărată, adică toate părțile planului în care este împărțită de acesteaLadrepte, le puteți picta în alb și negru, astfel încât părțile adiacente să fie de culori diferite. Să demonstrăm că atunci există o astfel de colorare pentruP= La+ 1 drept. Să procedăm în mod similar cu cazul tranziției de la două linii la trei. Să desenăm într-un avionLaDrept Apoi, prin ipoteza de inducție, „harta” rezultată poate fi colorată în modul dorit. Acum să ducem la îndeplinire(La+ 1)a-a linie dreaptă și pe o parte a acesteia schimbăm culorile în cele opuse. Asa ca acum(La+ 1)-a linie dreaptă separă peste tot zonele de culori diferite, în timp ce părțile „vechi”, așa cum am văzut deja, rămân corect colorate. Conform principiului inducției matematice, problema este rezolvată.

Sarcină16. La marginea deșertului există o mare rezervă de benzină și o mașină care, atunci când este complet alimentată, poate parcurge 50 de kilometri. Există cantități nelimitate de canistre în care puteți scurge benzina din rezervorul de benzină al mașinii și o puteți lăsa pentru depozitare oriunde în deșert. Demonstrați că o mașină poate parcurge orice distanță întreagă mai mare de 50 de kilometri. Nu aveți voie să cărați bidoane de benzină, le puteți transporta în orice cantitate.

Soluţie.Să încercăm să demonstrăm prin inducție peP,că mașina poate plecaPkilometri de marginea deșertului. LaP= 50 este cunoscut. Tot ce rămâne este să efectuați pasul de inducție și să explicați cum să ajungeți acolop = k+ 1 kilometri dacă se știe căp = kPuteți conduce kilometri.

Totuși, aici întâmpinăm o dificultate: după ce am trecutLakilometri, s-ar putea să nu fie suficientă benzină chiar și pentru călătoria de întoarcere (ca să nu mai vorbim de depozitare). Și în acest caz, soluția este întărirea afirmației care se dovedește (paradoxul inventatorului). Vom dovedi că nu poți doar să conduciPkilometri, dar și pentru a face o aprovizionare arbitrar de mare de benzină la un punct aflat la distanțăPkilometri de marginea deșertului, ajungând în acest punct după terminarea transportului.

Baza de inducție.Fie ca o unitate de benzină să fie cantitatea de benzină necesară pentru a parcurge un kilometru. Apoi, o călătorie de 1 kilometru și înapoi necesită două unități de benzină, așa că putem lăsa 48 de unități de benzină într-un depozit la un kilometru distanță de margine și să ne întoarcem pentru o nouă porțiune. Astfel, pe parcursul mai multor deplasări la depozitul, putem face un stoc de orice dimensiune de care avem nevoie. În același timp, pentru a crea 48 de unități de rezervă, consumăm 50 de unități de benzină.

Etapa de inducție.Să presupunem că la distanțăP= Lade la marginea deșertului te poți aproviziona cu orice cantitate de benzină. Să demonstrăm că atunci este posibil să se creeze o unitate de depozitare la distanțăp = k+ 1 kilometri cu orice rezervă de benzină specificată în prealabil și ajung la acest depozit la sfârșitul transportului. Pentru că la punctulP= Laexistă o aprovizionare nelimitată de benzină, apoi (conform bazei de inducție) putem ajunge la un punct în mai multe călătoriip = k+ 1 face la punctP= La4- 1 stoc de orice dimensiune care este necesară.

Adevărul unei afirmații mai generale decât în enunțul problemei decurge acum din principiul inducției matematice.

Concluzie

În special, studiind metoda inducției matematice, mi-am sporit cunoștințele în această zonă a matematicii și, de asemenea, am învățat să rezolv probleme care înainte erau peste puterile mele.

În cea mai mare parte, acestea au fost sarcini logice și distractive, de exemplu. doar acelea care cresc interesul pentru matematică în sine ca știință. Rezolvarea unor astfel de probleme devine o activitate distractivă și poate atrage tot mai mulți oameni curioși în labirinturile matematice. În opinia mea, aceasta este baza oricărei științe.

Continuând să studiez metoda inducției matematice, voi încerca să învăț cum să o aplic nu numai în matematică, ci și în rezolvarea problemelor din fizică, chimie și viața însăși.

Literatură

1.Vulenkin INDUCȚIE. Combinatorică. Manual PENTRU profesori. M., Iluminismul,

1976.-48 p.

2.Golovina L.I., Yaglom I.M. Inducția în geometrie. - M.: Stat. publicat litru. - 1956 - S.I00. Un manual de matematică pentru cei care intră în universități / Ed. Yakovleva G.N. Știința. -1981. - P.47-51.

3.Golovina L.I., Yaglom I.M. Inducția în geometrie. —
M.: Nauka, 1961. - (Prelegeri populare despre matematică.)

4. I.T.Demidov, A.N.Kolmogorov, S.I.Schvartsburg, O.S.Ivashev-Musatov, B.E.Weitz. Manual / „Iluminismul” 1975.

5.R. Courant, G. Robbins „Ce este matematica?” Capitolul 1, § 2

6.Popa D. Matematică și raționament plauzibil. - M,: Nauka, 1975.

7.Popa D. Descoperire matematică. - M.: Nauka, 1976.

8. Rubanov I.S. Cum se preda metoda inducției matematice / școala de matematică. - Nl. - 1996. - P.14-20.

9. Sominsky I.S., Golovina L.I., Yaglom IM. Despre metoda inducției matematice. - M.: Nauka, 1977. - (Prelegeri populare despre matematică.)

10.Solominsky I.S. Metoda inducției matematice. - M.: Știință.

63s.

11.Solominsky I.S., Golovina L.I., Yaglom I.M. Despre inducția matematică. - M.: Știință. - 1967. - P.7-59.

12.http://w.wikimedia.org/wiki

13.htt12:/ /www.refeshtcollestiop.ru/40 124.html

Lecția video „Metoda inducției matematice” vă ajută să stăpâniți metoda inducției matematice. Videoclipul conține materiale care vă ajută să înțelegeți esența metodei, să vă amintiți caracteristicile aplicării acesteia și să învățați cum să aplicați această metodă atunci când rezolvați probleme. Scopul acestui tutorial video este de a facilita dezvoltarea materialului și de a dezvolta capacitatea de a rezolva probleme matematice folosind metoda inducției.

Pentru a menține atenția elevilor asupra învățării materialului, sunt folosite efecte de animație, ilustrații și prezentarea colorată a informațiilor. O lecție video eliberează timpul profesorului în clasă pentru a îmbunătăți calitatea muncii individuale și pentru a rezolva alte probleme educaționale.

Conceptul metodei inducției matematice este introdus prin considerarea șirului a n , în care a 1 =4, și a n+1 = a n +2n+3. În conformitate cu reprezentarea generală a membrului secvenței, se determină că a 1 =4, a 2 =4+2·1+3=9, a 3 =9+2·2+3=16, adică succesiune de numere 4, 9, 16,... Se presupune că pentru această secvență un n =(n+1) 2 este adevărat. Pentru termenii indicați ai secvenței - primul, al doilea, al treilea - formula este corectă. Este necesar să se dovedească validitatea acestei formule pentru orice n arbitrar mare. Se indică faptul că în astfel de cazuri se folosește metoda inducției matematice pentru a ajuta la demonstrarea afirmației.

Se dezvăluie esența metodei. Se presupune că formula pentru n=k este validă, valoarea a k =(k+1) 2 . Este necesar să se demonstreze că egalitatea va fi valabilă și pentru k+1, ceea ce înseamnă a k +1 =(k+2) 2 . Pentru a face acest lucru, în formula a k +1 =a k +2k+3 înlocuim a k cu (k+1) 2. După înlocuirea și reducerea celor similare, obținem egalitatea a k +1 =(k+2) 2 . Acest lucru ne dă dreptul să afirmăm că validitatea formulei pentru n o face adevărată pentru n=k+1. Dovada avută în vedere în raport cu șirul a n , care este reprezentat de numerele 4, 9, 16,... și termenul general a n =(n+1) 2, dă dreptul de a afirma că dacă formula se transformă într-un egalitate adevărată pentru n=1, apoi și pentru n=1+ 1=2 și pentru 3 etc., adică pentru orice număr natural n.

În continuare, esența metodei de inducție este prezentată în limbaj matematic. Principiul metodei se bazează pe validitatea afirmației că un fapt este valabil pentru un număr natural arbitrar n atunci când sunt îndeplinite două condiții: 1) afirmația este adevărată pentru n=1 2) din validitatea acestei formule pentru n= k rezultă că este valabil pentru n=k+1. Din acest principiu rezultă structura demonstrației, folosind metoda inducției matematice. Se observă că această metodă presupune că pentru n=1 demonstrația validității enunțului este adevărată, iar dacă se presupune că demonstrația este valabilă pentru n=k, se demonstrează că este adevărată și pentru n=k+ 1.

Este analizat un exemplu de demonstrare a formulei lui Arhimede folosind metoda inducției matematice. Având în vedere formula 1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6. Calculele sunt efectuate pe ecran pentru a arăta validitatea formulei pentru n=1. Al doilea punct al demonstrației este ipoteza că pentru n=k formula este validă, adică ia forma 1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 =k(k+1)(2k+1 )/6 Pe aceasta se demonstrează că formula este valabilă și pentru n=k+1. După înlocuirea n=k+1 obținem valoarea formulei 1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =(k+1)(k+2)(2k+3) /6. Astfel, formula lui Arhimede este dovedită.

Un alt exemplu examinează demonstrarea multiplicității lui 7 a sumei 15 n +6 pentru orice număr natural n. În demonstrație folosim metoda inducției matematice. În primul rând, verificăm validitatea afirmației pentru n=1. Într-adevăr, 15 1 +6=21. Atunci presupunem validitatea pentru n=k. Aceasta înseamnă că 15 k +6 este un multiplu al lui 7. Prin înlocuirea n=k+1 în formulă demonstrăm că valoarea 15 k +1 +6 este un multiplu al lui 7. După transformarea expresiei, obținem: 15 k +1 +6=15 k +1 ·14+(15 k +6). Prin urmare, suma 15 n +6 este un multiplu al lui 7.

Lecția video „Metoda inducției matematice” dezvăluie clar și în detaliu esența și mecanismul utilizării metodei inducției matematice în demonstrație. Prin urmare, acest material video poate servi nu numai ca ajutor vizual într-o lecție de algebră, ci va fi util atunci când studentul studiază în mod independent materialul și va ajuta la explicarea subiectului profesorului în timpul învățământului la distanță.