Formule de conversie a funcțiilor trigonometrice. Trigonometrie: cum se calculează unghiul sinusoid dublu

Centrat într-un punct A.
α - unghi exprimat în radiani.

Definiție
Sinus (sin α) este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catet triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea laturii opuse |BC| la lungimea ipotenuzei |AC|.

Cosinus (cos α) este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetei adiacente |AB| la lungimea ipotenuzei |AC|.

Notatii acceptate

;
;
.

;
;
.

Graficul funcției sinus, y = sin x

Graficul funcției cosinus, y = cos x

Proprietățile sinusului și cosinusului

Periodicitate

Funcțiile y = sin xși y = cos x periodic cu punct 2π.

Paritate

Funcția sinus este impară. Funcția cosinus este pară.

Domeniul definirii si valorilor, extrema, crestere, scadere

Funcțiile sinus și cosinus sunt continue în domeniul lor de definiție, adică pentru tot x (vezi dovada continuității). Principalele lor proprietăți sunt prezentate în tabel (n - întreg).

Formule de bază

Suma pătratelor sinusului și cosinusului

Formule pentru sinus și cosinus din sumă și diferență

;
;

Formule pentru produsul sinusurilor și cosinusurilor

Formule de sumă și diferență

Exprimarea sinusului prin cosinus

;
;
;
.

Exprimarea cosinusului prin sinus

;
;
;
.

Exprimarea prin tangentă

; .

Când avem:
; .

La:
; .

Tabel de sinusuri și cosinusuri, tangente și cotangente

Acest tabel arată valorile sinusurilor și cosinusurilor pentru anumite valori ale argumentului.

Expresii prin variabile complexe

;

formula lui Euler

Expresii prin funcții hiperbolice

;
;

Derivate

; . Formule derivate > > >

Derivate de ordin al n-lea:
{ -∞ < x < +∞ }

Secant, cosecant

Funcții inverse

Funcții inverse la sinus și cosinus sunt arcsinus și, respectiv, arccosinus.

Arcsin, arcsin

Arccosine, arccos

Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți, „Lan”, 2009.

Cele mai frecvente întrebări

Se poate face o ștampilă pe un document conform eșantionului furnizat? Răspuns Da este posibil. Trimiteți o copie sau o fotografie scanată la adresa noastră de e-mail calitate bună, și vom face duplicatul necesar.

Ce tipuri de plată acceptați? Răspuns Puteti achita documentul la primirea de catre curier, dupa verificarea corectitudinii completarii si a calitatii executiei diplomei. Acest lucru se poate face și la biroul companiilor poștale care oferă servicii de ramburs.
Toate condițiile de livrare și de plată pentru documente sunt descrise în secțiunea „Plată și livrare”. De asemenea, suntem pregătiți să ascultăm sugestiile dumneavoastră cu privire la condițiile de livrare și de plată a documentului.

Pot fi sigur că după plasarea unei comenzi nu vei dispărea cu banii mei? Răspuns Avem o experiență destul de lungă în domeniul producerii de diplome. Avem mai multe site-uri web care sunt actualizate constant. Specialiștii noștri lucrează în diferite părți ale țării, producând peste 10 documente pe zi. De-a lungul anilor, documentele noastre au ajutat mulți oameni să rezolve problemele de angajare sau să treacă la locuri de muncă mai bine plătite. Ne-am câștigat încredere și recunoaștere în rândul clienților, așa că nu există absolut niciun motiv să facem asta. Mai mult, acest lucru este pur și simplu imposibil de făcut fizic: plătești comanda când o primești în mâinile tale, nu există nicio plată în avans.

Pot comanda o diplomă de la orice universitate? Răspuns În general, da. Lucrăm în acest domeniu de aproape 12 ani. În acest timp, s-a format o bază de date aproape completă de documente emise de aproape toate universitățile din țară și nu numai. ani diferiti emitere. Tot ce aveți nevoie este să selectați o universitate, o specialitate, un document și să completați formularul de comandă.

Ce trebuie să faceți dacă găsiți greșeli de scriere și erori într-un document? Răspuns Când primiți un document de la compania noastră de curierat sau poștal, vă recomandăm să verificați cu atenție toate detaliile. Dacă se constată o greșeală de tipar, o eroare sau o inexactitate, aveți dreptul să nu ridicați diploma, dar trebuie să indicați personal curierului sau în scris o scrisoare către e-mail.
ÎN cât mai repede posibil Vom corecta documentul și îl vom retrimite la adresa specificată. Desigur, transportul va fi plătit de compania noastră.
Pentru a evita astfel de neînțelegeri, înainte de a completa formularul original, trimitem clientului prin e-mail o machetă a viitorului document pentru verificarea și aprobarea versiunii finale. Înainte de a trimite documentul prin curier sau poștă, facem, de asemenea, fotografii și videoclipuri suplimentare (inclusiv în lumină ultravioletă), astfel încât să aveți o idee clară despre ce veți primi în final.

Ce ar trebui să fac pentru a comanda o diplomă de la compania dumneavoastră? Răspuns Pentru a comanda un document (certificat, diplomă, certificat academic etc.), trebuie să completați formularul de comandă online de pe site-ul nostru sau să ne furnizați adresa de e-mail, astfel încât să vă putem trimite un formular de cerere, pe care trebuie să îl completați și să îl trimiteți înapoi pentru noi.
Dacă nu știți ce să indicați în niciun câmp al formularului de comandă/chestionar, lăsați-le necompletate. Prin urmare, vom clarifica prin telefon toate informațiile lipsă.

Ultimele recenzii

Valentina:

L-ai salvat pe fiul nostru de la concediere! Cert este că, după ce a renunțat la facultate, fiul meu s-a înrolat în armată. Și când s-a întors, nu a vrut să-și revină. A lucrat fără diplomă. Dar recent au început să-i concedieze pe toți cei care nu au o „crustă”. De aceea am decis să vă contactăm și nu am regretat! Acum lucrează calm și nu se teme de nimic! Mulțumesc!

Cele mai frecvente întrebări

Se poate face o ștampilă pe un document conform eșantionului furnizat? Răspuns Da este posibil. Trimiteți o copie scanată sau o fotografie de bună calitate la adresa noastră de e-mail și vom face duplicatul necesar.

Ce tipuri de plată acceptați? Răspuns Puteti achita documentul la primirea de catre curier, dupa verificarea corectitudinii completarii si a calitatii executiei diplomei. Acest lucru se poate face și la biroul companiilor poștale care oferă servicii de ramburs.
Toate condițiile de livrare și de plată pentru documente sunt descrise în secțiunea „Plată și livrare”. De asemenea, suntem pregătiți să ascultăm sugestiile dumneavoastră cu privire la condițiile de livrare și de plată a documentului.

Pot fi sigur că după plasarea unei comenzi nu vei dispărea cu banii mei? Răspuns Avem o experiență destul de lungă în domeniul producerii de diplome. Avem mai multe site-uri web care sunt actualizate constant. Specialiștii noștri lucrează în diferite părți ale țării, producând peste 10 documente pe zi. De-a lungul anilor, documentele noastre au ajutat mulți oameni să rezolve problemele de angajare sau să treacă la locuri de muncă mai bine plătite. Ne-am câștigat încredere și recunoaștere în rândul clienților, așa că nu există absolut niciun motiv să facem asta. Mai mult, acest lucru este pur și simplu imposibil de făcut fizic: plătești comanda când o primești în mâinile tale, nu există nicio plată în avans.

Pot comanda o diplomă de la orice universitate? Răspuns În general, da. Lucrăm în acest domeniu de aproape 12 ani. În acest timp, s-a format o bază de date aproape completă de documente emise de aproape toate universitățile din țară și pentru diferiți ani de emitere. Tot ce aveți nevoie este să selectați o universitate, o specialitate, un document și să completați formularul de comandă.

Ce trebuie să faceți dacă găsiți greșeli de scriere și erori într-un document? Răspuns Când primiți un document de la compania noastră de curierat sau poștal, vă recomandăm să verificați cu atenție toate detaliile. În cazul în care se descoperă o greșeală de tipar, o eroare sau o inexactitate, aveți dreptul să nu ridicați diploma, dar trebuie să indicați personal curierului sau în scris defectele constatate prin trimiterea unui e-mail.
Vom corecta documentul cât mai curând posibil și îl vom retrimite la adresa specificată. Desigur, transportul va fi plătit de compania noastră.
Pentru a evita astfel de neînțelegeri, înainte de a completa formularul original, trimitem clientului prin e-mail o machetă a viitorului document pentru verificarea și aprobarea versiunii finale. Înainte de a trimite documentul prin curier sau poștă, facem, de asemenea, fotografii și videoclipuri suplimentare (inclusiv în lumină ultravioletă), astfel încât să aveți o idee clară despre ce veți primi în final.

Ce ar trebui să fac pentru a comanda o diplomă de la compania dumneavoastră? Răspuns Pentru a comanda un document (certificat, diplomă, certificat academic etc.), trebuie să completați formularul de comandă online de pe site-ul nostru sau să ne furnizați adresa de e-mail, astfel încât să vă putem trimite un formular de cerere, pe care trebuie să îl completați și să îl trimiteți înapoi pentru noi.
Dacă nu știți ce să indicați în niciun câmp al formularului de comandă/chestionar, lăsați-le necompletate. Prin urmare, vom clarifica prin telefon toate informațiile lipsă.

Ultimele recenzii

Valentina:

L-ai salvat pe fiul nostru de la concediere! Cert este că, după ce a renunțat la facultate, fiul meu s-a înrolat în armată. Și când s-a întors, nu a vrut să-și revină. A lucrat fără diplomă. Dar recent au început să-i concedieze pe toți cei care nu au o „crustă”. De aceea am decis să vă contactăm și nu am regretat! Acum lucrează calm și nu se teme de nimic! Mulțumesc!

Cele mai frecvente întrebări

Se poate face o ștampilă pe un document conform eșantionului furnizat? Răspuns Da este posibil. Trimiteți o copie scanată sau o fotografie de bună calitate la adresa noastră de e-mail și vom face duplicatul necesar.

Ce tipuri de plată acceptați? Răspuns Puteti achita documentul la primirea de catre curier, dupa verificarea corectitudinii completarii si a calitatii executiei diplomei. Acest lucru se poate face și la biroul companiilor poștale care oferă servicii de ramburs.
Toate condițiile de livrare și de plată pentru documente sunt descrise în secțiunea „Plată și livrare”. De asemenea, suntem pregătiți să ascultăm sugestiile dumneavoastră cu privire la condițiile de livrare și de plată a documentului.

Pot fi sigur că după plasarea unei comenzi nu vei dispărea cu banii mei? Răspuns Avem o experiență destul de lungă în domeniul producerii de diplome. Avem mai multe site-uri web care sunt actualizate constant. Specialiștii noștri lucrează în diferite părți ale țării, producând peste 10 documente pe zi. De-a lungul anilor, documentele noastre au ajutat mulți oameni să rezolve problemele de angajare sau să treacă la locuri de muncă mai bine plătite. Ne-am câștigat încredere și recunoaștere în rândul clienților, așa că nu există absolut niciun motiv să facem asta. Mai mult, acest lucru este pur și simplu imposibil de făcut fizic: plătești comanda când o primești în mâinile tale, nu există nicio plată în avans.

Pot comanda o diplomă de la orice universitate? Răspuns În general, da. Lucrăm în acest domeniu de aproape 12 ani. În acest timp, s-a format o bază de date aproape completă de documente emise de aproape toate universitățile din țară și pentru diferiți ani de emitere. Tot ce aveți nevoie este să selectați o universitate, o specialitate, un document și să completați formularul de comandă.

Ce trebuie să faceți dacă găsiți greșeli de scriere și erori într-un document? Răspuns Când primiți un document de la compania noastră de curierat sau poștal, vă recomandăm să verificați cu atenție toate detaliile. În cazul în care se descoperă o greșeală de tipar, o eroare sau o inexactitate, aveți dreptul să nu ridicați diploma, dar trebuie să indicați personal curierului sau în scris defectele constatate prin trimiterea unui e-mail.
Vom corecta documentul cât mai curând posibil și îl vom retrimite la adresa specificată. Desigur, transportul va fi plătit de compania noastră.
Pentru a evita astfel de neînțelegeri, înainte de a completa formularul original, trimitem clientului prin e-mail o machetă a viitorului document pentru verificarea și aprobarea versiunii finale. Înainte de a trimite documentul prin curier sau poștă, facem, de asemenea, fotografii și videoclipuri suplimentare (inclusiv în lumină ultravioletă), astfel încât să aveți o idee clară despre ce veți primi în final.

Ce ar trebui să fac pentru a comanda o diplomă de la compania dumneavoastră? Răspuns Pentru a comanda un document (certificat, diplomă, certificat academic etc.), trebuie să completați formularul de comandă online de pe site-ul nostru sau să ne furnizați adresa de e-mail, astfel încât să vă putem trimite un formular de cerere, pe care trebuie să îl completați și să îl trimiteți înapoi pentru noi.
Dacă nu știți ce să indicați în niciun câmp al formularului de comandă/chestionar, lăsați-le necompletate. Prin urmare, vom clarifica prin telefon toate informațiile lipsă.

Ultimele recenzii

Valentina:

L-ai salvat pe fiul nostru de la concediere! Cert este că, după ce a renunțat la facultate, fiul meu s-a înrolat în armată. Și când s-a întors, nu a vrut să-și revină. A lucrat fără diplomă. Dar recent au început să-i concedieze pe toți cei care nu au o „crustă”. De aceea am decis să vă contactăm și nu am regretat! Acum lucrează calm și nu se teme de nimic! Mulțumesc!

– vor fi cu siguranță sarcini de trigonometrie. Trigonometria este adesea antipatică pentru nevoia de a înghesui un număr mare de formule dificile, pline de sinusuri, cosinus, tangente și cotangente. Site-ul a oferit deja o dată sfaturi despre cum să vă amintiți o formulă uitată, folosind exemplul formulelor Euler și Peel.

Și în acest articol vom încerca să arătăm că este suficient să cunoaștem cu fermitate doar cinci cele mai simple formule trigonometrice, și aveți o idee generală despre restul și deduceți-le pe parcurs. Este ca și în cazul ADN-ului: molecula nu stochează planurile complete ale unei creaturi vii terminate. Mai degrabă, conține instrucțiuni pentru asamblarea acestuia din aminoacizii disponibili. Deci în trigonometrie, știind ceva principii generale, vom obține toate formulele necesare dintr-un mic set dintre cele care trebuie reținute.

Ne vom baza pe următoarele formule:

Din formulele pentru sumele sinus și cosinus, știind despre paritatea funcției cosinus și ciudatul funcției sinus, înlocuind -b în loc de b, obținem formule pentru diferențe:

1. Sinusul diferenței: păcat(a-b) = păcatAcos(-b)+cosApăcat(-b) = păcatAcosb-cosApăcatb
2. Cosinusul diferenței: cos(a-b) = cosAcos(-b)-păcatApăcat(-b) = cosAcosb+păcatApăcatb

Punând a = b în aceleași formule, obținem formulele pentru sinus și cosinus ale unghiurilor duble:

1. Sinus de unghi dublu: păcat2a = păcat(a+a) = păcatAcosA+cosApăcatA = 2păcatAcosA
2. Cosinusul unghiului dublu: cos2a = cos(a+a) = cosAcosA-păcatApăcatA = cos2a-păcat2a

Formulele pentru alte unghiuri multiple se obțin în mod similar:

1. Sinusul unui unghi triplu: păcat3a = păcat(2a+a) = păcat2acosA+cos2apăcatA = (2păcatAcosA)cosA+(cos2a-păcat2a)păcatA = 2păcatAcos2a+păcatAcos2a-păcat 3 a = 3 păcatAcos2a-păcat 3 a = 3 păcatA(1-păcat2a)-păcat 3 a = 3 păcatA-4păcat 3a
2. Cosinusul unghiului triplu: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosA-păcat2apăcatA = (cos2a-păcat2a)cosA-(2păcatAcosA)păcatA = cos 3 a- păcat2acosA-2păcat2acosA = cos 3 a-3 păcat2acosA = cos 3 a-3(1- cos2a)cosA = 4cos 3 a-3 cosA

Înainte de a trece mai departe, să ne uităm la o problemă.
Dat: unghiul este acut.
Găsiți-i cosinusul dacă
Soluție dată de un elev:
Deoarece , Acea păcatA= 3,a cosA = 4.
(Din umorul matematic)

Deci, definiția tangentei leagă această funcție atât cu sinus, cât și cu cosinus. Dar puteți obține o formulă care raportează tangenta doar la cosinus. Pentru a o deriva, să luăm principalul identitate trigonometrică: păcat 2 A+cos 2 A= 1 și împărțiți-l la cos 2 A. Primim:

Deci soluția la această problemă ar fi:

(Deoarece unghiul este acut, la extragerea rădăcinii se ia semnul +)

Formula pentru tangenta unei sume este o alta care este greu de retinut. Să-l scoatem astfel:

Afisat imediat si

Din formula cosinus pentru un unghi dublu, puteți obține formulele sinus și cosinus pentru semiunghiuri. Pentru a face acest lucru, în partea stângă a formulei cosinus cu unghi dublu:
cos2 A = cos 2 A-păcat 2 A
adăugăm una, iar în dreapta - o unitate trigonometrică, adică. suma pătratelor sinusului și cosinusului.
cos2a+1 = cos2a-păcat2a+cos2a+păcat2a
2cos 2 A = cos2 A+1
Exprimând cosA prin cos2 Ași efectuând o schimbare de variabile, obținem:

Semnul se ia în funcție de cadran.

În mod similar, scăzând unul din partea stângă a egalității și suma pătratelor sinusului și cosinusului din dreapta, obținem:
cos2a-1 = cos2a-păcat2a-cos2a-păcat2a
2păcat 2 A = 1-cos2 A

Și în sfârșit, pentru a converti suma funcții trigonometriceîn lucrare, folosim următoarea tehnică. Să presupunem că trebuie să reprezentăm suma sinusurilor ca produs păcatA+păcatb. Să introducem variabilele x și y astfel încât a = x+y, b+x-y. Apoi
păcatA+păcatb = păcat(x+y)+ păcat(x-y) = păcat X cos y+ cos X păcat y+ păcat X cos y- cos X păcat y=2 păcat X cos y. Să exprimăm acum x și y în termenii a și b.

Deoarece a = x+y, b = x-y, atunci . De aceea

Vă puteți retrage imediat

1. Formula de compartimentare produse de sinus și cosinus V Cantitate: păcatAcosb = 0.5(păcat(a+b)+păcat(a-b))

Vă recomandăm să practicați și să obțineți singur formule pentru a converti diferența de sinusuri și suma și diferența de cosinus în produs, precum și pentru a împărți produsele sinusurilor și cosinusurilor în sumă. După ce ați finalizat aceste exerciții, veți stăpâni temeinic abilitatea de a deriva formule trigonometrice și nu vă veți pierde nici măcar în cel mai dificil test, olimpiada sau testare.