Mișcarea uniformă a unui corp într-un cerc. Mișcarea uniformă a unui punct în jurul unui cerc Un corp punct t începe să se miște în jurul unui cerc

1. Sarcină

Corp punctT DESPRE Bou ω rotația corpului în funcție de timpt OT cu axBou până la un moment datt

2. Sarcină

v 0 , așa cum se arată în figură, iar după oprire a alunecat înapoi. Selectați două afirmații din lista propusă care corespund rezultatelor observațiilor experimentale și indicați numărul acestora.

v 0

3. Sarcină

De câte ori se schimbă presiunea unui gaz ideal atunci când volumul unui gaz ideal scade cu un factor de 2 și temperatura lui absolută crește cu un factor de 4?

4. Sarcină

1) crescut;

2) a scăzut;

3) nu s-a schimbat.

frigider pe ciclu de operare

Lucrări cu gaz pe ciclu

5 . Exercițiu

Un bloc de masămh=0,5m și, deplasându-se de-a lungul unei suprafețe orizontale, se ciocnește cu un bloc staționar de masă M=300g. Presupunând că ciocnirea este complet inelastică, determinați energia cinetică totală a blocurilor după ciocnire. Neglijați frecarea în timpul mișcării. Să presupunem că planul înclinat se transformă lin într-unul orizontal.

6. Sarcină

nv=100m\c.

Răspunsuri la testul nr. 1

1. Exercițiu

Corp punctT începe să se miște într-un cerc cu centrul în punctDESPRE . În momentul în care a început mișcarea, corpul se afla într-un punct culcat pe axBou (asa cum se vede in poza). Folosind graficul prezentat al vitezei unghiulareω rotația corpului în funcție de timpt , determinați ce unghi va face segmentulOT cu axBou până la un moment datt = 5 s. Exprimați-vă răspunsul în grade.

Soluţie.

După cum se poate observa din grafic, corpul sa deplasat mai întâi în sens invers acelor de ceasornic timp de 3 secunde, apoi în sensul acelor de ceasornic timp de 2 secunde. De aici rezultă că corpul se va muta la:Răspuns: 45.

2. Exercițiu

După impact, pucul a început să alunece în sus pe planul înclinat aspru cu o viteză inițialăv 0 așa cum se arată în imagine, iar după oprire a alunecat înapoi. Selectați două afirmații din lista propusă care corespund rezultatelor observațiilor experimentale și indicați numărul acestora.

1) Timpul în care pucul se mișcă în sus este mai mic decât timpul în care se mișcă în jos.

2) Modulul vitezei maxime a discului la deplasarea în jos este egal cuv 0

3) La deplasarea în sus și în jos, modulul de lucru al forței gravitaționale care acționează asupra discului este același.

4) Modificarea energiei potențiale a pucului la deplasarea de la punctul de impact în punctul de sus este mai mare decât energia cinetică a pucului imediat după impact.

5) Modulul de accelerație al pucului la deplasarea în sus este egal cu modulul de accelerație la deplasarea în jos.

Soluţie.

1, 5) Când pucul se mișcă în sus, componenta gravitației situată în planul înclinat și forța de frecare sunt direcționate într-o direcție, iar atunci când se mișcă în jos - în direcții diferite, prin urmare modulul de accelerație al pucului la deplasarea în sus este mai mare decât la deplasarea în jos. Timpul în care pucul se mișcă în sus este mai mic decât timpul în care se mișcă în jos.

2) Datorită prezenței frecării, modulul vitezei maxime a discului la deplasarea în jos este mai micv 0

3) Modulul de lucru gravitațional este egal cu modulul de modificare a energiei potențiale a discului în câmpul gravitațional. Când vă deplasați în sus și în jos, modulul de modificare a înălțimii discului deasupra orizontului este același, ceea ce înseamnă că modulul de lucru gravitațional este același.

4) Datorită prezenței frecării, modificarea energiei potențiale a pucului la deplasarea în punctul de sus este mai mică decât energia cinetică a pucului imediat după impact.

Răspuns:13.

3. Exercițiu

Temperatura frigiderului motorului termic ideal a fost redusă, lăsând temperatura încălzitorului la fel. Cantitatea de căldură primită de gaz de la încălzitor pe ciclu nu sa schimbat. Cum s-a schimbat eficiența motorului termic, cantitatea de căldură transferată de gaz pe ciclu la frigider și activitatea gazului pe ciclu?

Pentru fiecare cantitate, determinați natura corespunzătoare a modificării:

1) crescut;

2) a scăzut;

3) nu s-a schimbat.

Notați numerele selectate pentru fiecare mărime fizică din tabel. Numerele din răspuns pot fi repetate.

Dacă reduceți temperatura frigiderului menținând constantă temperatura încălzitorului, eficiența unui motor termic ideal va crește: eficiență = (T1- T2)/T2*100%, eficiența este legată de lucrul cu gazAși cantitatea de căldurăQgaz obținut pe ciclu, raportul de eficiență =A/ Q*100%. Astfel, deoarece atunci când temperatura frigiderului scade, cantitatea de căldură primită de gaz de la încălzitor pe ciclu nu se modifică, ajungem la concluzia că munca efectuată de gaz pe ciclu va crește. Cantitatea de căldură transferată la frigider poate fi găsită din legea conservării energiei:Qfrig=Q- A. Deoarece după scăderea temperaturii frigiderului, cantitatea de căldurăQva rămâne neschimbat, dar munca va crește, cantitatea de căldurăQCăldura dată frigiderului în timpul ciclului de funcționare va scădea.Răspuns:121.

4. Exercițiu

Un bloc de masăm=500g alunecă pe un plan înclinat de la înălțimeh=0,8m și, deplasându-se de-a lungul unei suprafețe orizontale, se ciocnește cu un bloc staționar de masă M=300g. Presupunând că ciocnirea este complet inelastică, determinați energia cinetică totală a blocurilor după ciocnire. Neglijați frecarea în timpul mișcării. Să presupunem că planul înclinat se transformă lin într-unul orizontal.

Soluţie.

Energia cinetică a barelor după ciocnire Ek =(m+ M)* v 2 /2 undev- viteza sistemului după impact, determinată din legea conservării impulsului în secțiunea orizontală: m*v1=(m+M)* v. Excluzând viteza din sistemul de ecuațiivobținem: Ek =m 2 /( m+ M)* v1 2 /2

Energia cinetică a primului bloc înainte de ciocnire este determinată din legea conservării energiei mecanice la alunecarea de-a lungul unui plan înclinat: ceea ce dă expresia:m* g* h= m* v1 2 /2. Înlocuind valorile masei și înălțimii din condiție, obținem valoarea numerică: Ek =m/( m+ M)* m* g* h

5. Exercițiu

Cu un mol de heliu, a fost efectuat un proces în care viteza pătrată medie a atomilor de heliu a crescut cun= de 2 ori. În timpul acestui proces, energia cinetică medie a atomilor de heliu a fost proporțională cu volumul ocupat de heliu. Câtă muncă a făcut gazul în acest proces? Considerați heliul ca fiind un gaz ideal și luați valoarea vitezei pătrate medii a atomilor de heliu la începutul procesului ca fiind egală cuv=100m\s.

Soluţie.

1. Destul de des se poate observa o mișcare a unui corp în care traiectoria sa este un cerc. De exemplu, un punct de pe marginea unei roți se mișcă de-a lungul unui cerc în timp ce se rotește, puncte pe părțile rotative ale mașinilor-unelte, capătul unui ceas, un copil care stă pe o figură a unui carusel rotativ.

Când vă deplasați într-un cerc, nu numai direcția vitezei corpului se poate schimba, ci și modulul acestuia. Mișcarea este posibilă în care doar direcția vitezei se schimbă, iar mărimea acesteia rămâne constantă. Această mișcare se numește mișcarea uniformă a corpului într-un cerc. Să introducem caracteristicile acestei mișcări.

2. Mișcarea circulară a unui corp se repetă la anumite intervale egale cu perioada de revoluție.

Perioada de revoluție este timpul în care un corp face o revoluție completă.

Perioada de circulație este desemnată prin scrisoare T. Unitatea de măsură a perioadei de circulație în SI este considerată al doilea (1 s).

Dacă în timpul timpului t organismul a comis N revoluții complete, atunci perioada de revoluție este egală cu:

T = .

Frecvența de rotație este numărul de rotații complete ale unui corp într-o secundă.

Frecvența circulației este indicată prin literă n.

n = .

Unitatea de măsură a frecvenței de circulație în SI este considerată al doilea după minus prima putere (1 s-1).

Frecvența și perioada de revoluție sunt legate după cum urmează:

3. Să considerăm o mărime care caracterizează poziția unui corp pe un cerc. Fie ca în momentul inițial de timp corpul să fie în punctul A, și în timp t s-a mutat la un punct B(Fig. 38).

Să desenăm un vector rază de la centrul cercului până la punct Ași vectorul rază de la centrul cercului până la punct B. Când un corp se mișcă într-un cerc, vectorul rază se va roti în timp t la unghiul j. Cunoscând unghiul de rotație al vectorului rază, puteți determina poziția corpului pe cerc.

Unitatea de măsură a unghiului de rotație a vectorului rază în SI - radian (1 rad).

La același unghi de rotație al vectorului rază al punctului AȘi B, situat la distanțe diferite de centrul său al unui disc care se rotește uniform (Fig. 39), va parcurge căi diferite.

4. Când un corp se mișcă într-un cerc, se numește viteza instantanee viteza liniară.

Viteza liniară a unui corp care se mișcă uniform într-un cerc, rămânând constantă ca mărime, se schimbă în direcție și în orice punct este direcționată tangențial la traiectorie.

Modulul de viteză liniară poate fi determinat prin formula:

v = .

Fie un corp care se mișcă într-un cerc cu o rază R, a făcut o revoluție completă, Apoi calea parcursă de ea este egală cu circumferința: l= 2p R, iar timpul este egal cu perioada de revoluție T. Prin urmare, viteza liniară a corpului:

Deoarece T= , atunci putem scrie

v= 2p Rn.

Viteza de rotație a unui corp se caracterizează prin viteză unghiulară.

Viteza unghiulară este o mărime fizică egală cu raportul dintre unghiul de rotație al vectorului cu rază și perioada de timp în care a avut loc această rotație.

Viteza unghiulară se notează cu w.

Unitatea SI a vitezei unghiulare este radiani pe secundă (1 rad/s):

[w] == 1 rad/s.

Pentru un timp egal cu perioada de circulație T, corpul face o revoluție completă și unghiul de rotație al vectorului rază j = 2p. Prin urmare, viteza unghiulară a corpului este:

w = sau w = 2p n.

Vitezele liniare și unghiulare sunt legate între ele. Să notăm raportul dintre viteza liniară și viteza unghiulară:

== R.

Prin urmare,

La aceeași viteză unghiulară a punctelor AȘi B, situat pe un disc care se rotește uniform (vezi Fig. 39), viteza liniară a punctului A mai mare decât viteza liniară a punctului B: v A > v B.

5. Când un corp se mișcă uniform într-un cerc, mărimea vitezei sale liniare rămâne constantă, dar direcția vitezei se schimbă. Deoarece viteza este o mărime vectorială, o schimbare a direcției vitezei înseamnă că corpul se mișcă într-un cerc cu accelerație.

Să aflăm cum este direcționată această accelerație și cu ce este egală.

Să ne amintim că accelerația unui corp este determinată de formula:

A == ,

unde D v- vector de modificare a vitezei corpului.

Direcția vectorului de accelerație A coincide cu direcția vectorului D v.

Lasă un corp care se mișcă într-un cerc cu rază R, pentru o perioadă scurtă de timp t mutat din punct A exact B(Fig. 40). Pentru a afla modificarea vitezei corpului D v, exact A muta vectorul paralel cu el însuși v si scade din ea v 0, care este echivalent cu adăugarea vectorului v cu vector – v 0 . Vector regizat din v 0 k v, și există un vector D v.

Luați în considerare triunghiuri AOBȘi ACD. Amandoi sunt isoscele ( A.O. = O.B.Și A.C. = ANUNȚ. deoarece v 0 = v) și au unghiuri egale: _ AOB = _CAD(ca unghiuri cu laturile reciproc perpendiculare: A.O. B v 0 , O.B. B v). Prin urmare, aceste triunghiuri sunt asemănătoare și putem scrie raportul laturilor corespunzătoare: = .

Din moment ce punctele AȘi B situate aproape una de alta, apoi coarda AB este mic și poate fi înlocuit cu un arc. Lungimea arcului este calea parcursă de un corp în timp t cu viteză constantă v: AB = vt.

In afara de asta, A.O. = R, DC=D v, ANUNȚ = v. Prin urmare,

= ;= ;= A.

De unde vine accelerația corpului?

Din figura 40 este clar că coarda este mai mică AB, cu atât direcția vectorului D este mai precisă v coincide cu raza cercului. Prin urmare, vectorul de schimbare a vitezei D vși vector de accelerație Aîndreptată radial spre centrul cercului. Prin urmare, se numește accelerația în timpul mișcării uniforme a unui corp într-un cerc centripetă.

Prin urmare,

Când un corp se mișcă uniform într-un cerc, accelerația sa este constantă ca mărime și în orice punct este îndreptată de-a lungul razei cercului spre centrul său.

Având în vedere că v=w R, putem scrie o altă formulă pentru accelerația centripetă:

6. Exemplu de rezolvare a problemei

Frecvența de rotație a caruselului este de 0,05 s–1. O persoană care se învârte pe un carusel se află la o distanță de 4 m de axa de rotație. Determinați accelerația centripetă a omului, perioada de revoluție și viteza unghiulară a caruselul.

A= 4 (3,14) 2 (0,05s–1) 2 4 m 0,4 m/s 2 ;

T== 20 s;

w = 2 3,14 0,05 s– 1 0,3 rad/s.

Răspuns: A 0,4 m/s2; T= 20 s; w 0,3 rad/s.

Întrebări de autotest

1. Ce fel de mișcare se numește mișcare circulară uniformă?

2. Cum se numește perioada orbitală?

3. Ce se numește frecvența circulației? Cum sunt legate perioada și frecvența?

4. Cum se numește viteza liniară? Cum este regizat?

5. Cum se numește viteza unghiulară? Care este unitatea de măsură a vitezei unghiulare?

6. Cum sunt legate vitezele unghiulare și liniare ale unui corp?

7. Care este direcția accelerației centripete? Prin ce formula se calculeaza?

Sarcina 9

1. Care este viteza liniară a unui punct de pe janta roții dacă raza roții este de 30 cm și face o rotație în 2 s? Care este viteza unghiulară a roții?

2. Viteza mașinii este de 72 km/h. Care sunt viteza unghiulară, frecvența și perioada de rotație a unei roți de mașină dacă diametrul roții este de 70 cm? Câte rotații va face roata în 10 minute?

3. Care este distanța parcursă de sfârșitul minutelor ceasului cu alarmă în 10 minute, dacă lungimea sa este de 2,4 cm?

4. Care este accelerația centripetă a unui punct de pe janta unei roți de mașină dacă diametrul roții este de 70 cm? Viteza mașinii este de 54 km/h.

5. Un punct de pe janta unei roți de bicicletă face o rotație în 2 s. Raza roții este de 35 cm Care este accelerația centripetă a punctului jantei?

Cu această mișcare (Fig. 6.10) și , deoarece cu mișcare uniformă și cu mișcare în cerc. Din formula viteza mișcării uniforme într-un cerc

Orez. 6.10. Mișcarea uniformă a unui punct în jurul unui cerc

Dacă acceptăm t = T– perioada, adică timpul unei runde a unui cerc cu un punct, apoi

unde este diametrul cercului.

3. Mișcare uniformă. Dacă , atunci se numește mișcarea punctului la fel de variabilă.

Ecuația mișcării uniforme a unui punct

.

– viteza în orice moment.

ȘI .

A. Cu mișcare rectilinie uniform variabilă, dacă timpul nu este cunoscut t, obținem prima formulă auxiliară

Daca nu se stie:

,

unde este viteza medie a unui punct în timpul mișcării sale uniforme.

B. Dacă mișcarea uniform accelerată a unui punct începe de la originea traiectoriei ( S 0 = 0) și fără viteza inițială (), atunci formulele anterioare iau o formă mai simplă:

Exemple de astfel de mișcări sunt mișcarea unei mașini la pornire sau mișcarea unui avion pe pistă, precum și căderea liberă a corpurilor cunoscute din fizică.

B. În cădere liberă . În acest caz, dacă în formulele de la punctul (B) Sînlocuiți cu înălțimea de cădere N, apoi formulele iau forma

Penultima dintre aceste formule, prezentată sub formă, se numește formula lui Galileo.

Capitolul 7. Cele mai simple mișcări ale unui corp rigid

7.1. Mișcare înainte

Mișcarea unui corp rigid, în care orice segment de linie dreaptă selectat în corp se mișcă, rămânând paralel cu poziția inițială, se numește progresivă.

Luați în considerare două puncte AȘi ÎN, legate printr-un segment AB(Fig. 7.1). Este evident că la mutarea unui segment AB paralel cu poziția inițială ( ) puncte AȘi ÎN se deplasează pe traiectorii identice, adică dacă traiectoria este combinată cu traiectoria, atunci acestea vor coincide. Dacă împreună cu un punct A luați în considerare mișcarea unui punct C, apoi când corpul se mișcă, segmentul AC rămâne, de asemenea, paralel cu poziția inițială ( ) și traiectoria punctului C(curba) este aceeași cu traiectoriile și:

Sau sau ;

Sau sau .

Orez. 7.1. Spre analiza mișcării de translație a unui corp rigid

După cum vedem, mișcarea de translație a unui corp rigid este complet caracterizată de mișcarea oricăruia dintre punctele sale. De obicei, mișcarea de translație a unui corp este determinată de mișcarea centrului său de greutate, cu alte cuvinte, în timpul mișcării de translație corpul poate fi considerat un punct material.

Exemple de mișcare de translație a corpurilor pot fi un glisor 1 , deplasându-se în ghidaje drepte 2 (Fig. 7.2, A), sau o mașină în mișcare dreaptă (sau, mai degrabă, nu întreaga mașină, ci șasiul și caroseria ei). Uneori, mișcarea curbilinie a mașinilor sau a trenurilor la viraje pe drumuri este în mod convențional confundată cu mișcarea înainte. În astfel de cazuri, ei spun că mașina sau trenul se deplasează cu așa și cutare viteză sau cu așa și cutare accelerație.

Exemple de mișcare de translație curbilinie sunt mișcarea căruciorului (leagănului) telecabinei (Fig. 7.2, b) sau mișcarea partenerului (Fig. 7.2, V) conectarea a două manivele paralele. În acest din urmă caz, fiecare punct al geamănului se mișcă într-un cerc.

Orez. 7.2. Exemple de mișcare de translație a corpurilor:

A- Drept; b, V– curbilinie

7.2. Mișcarea de rotație.

Viteza unghiulară, accelerația unghiulară

Mișcarea unui corp rigid în care toate punctele sale se mișcă de-a lungul unui cerc, ale cărui centre sunt situate pe o dreaptă fixă ​​perpendiculară pe aceste cercuri, se numește rotativ. Linia dreaptă fixă ​​pe care se află centrele traiectoriilor circulare ale punctelor corpului se numește ei axa de rotatie. Pentru a forma o axă de rotație, este suficient să fixați oricare două puncte ale corpului. Exemplele de mișcare de rotație a corpurilor includ mișcarea ușilor sau a ferestrelor când sunt deschise sau închise.

Să ne imaginăm un corp sub formă de cilindru, axa AB care se află în lagăre (Fig. 7.3).

Orez. 7.3. Spre analiza mișcării de rotație a unui corp rigid

Este imposibil să se determine fără ambiguitate mișcarea de rotație a unui corp prin mișcarea unui punct.

Pentru a stabili legea mișcării de rotație a unui corp, prin care este posibilă determinarea poziției acestuia la un moment dat, desenăm prin axa de rotație a corpului un semiplan fix NP asociat numai cu acesta, iar în interiorul corpului. notăm un semiplan mobil care se rotește în jurul axei împreună cu corpul, acum unghiul φ format de la un moment dat în timp de semiplanurile NP și PP, determină cu precizie poziția corpului în spațiu (vezi Fig. 7.3). Unghiul φ se numește unghi de rotațieși se exprimă în radiani. Pentru a determina poziția unui corp în spațiu în orice moment, este necesar să se cunoască relația dintre unghiul de rotație φ și timp. t, adică cunoașteți legea mișcării de rotație a unui corp:

Viteza de modificare a unghiului de rotație în timp este caracterizată de o mărime numită viteza unghiulara.

Să ne imaginăm asta la un moment dat t poziţia corpului rotativ este determinată de unghiul de rotaţie φ, iar în momentul de faţă t + Δ t– unghiul de rotație φ + Δ φ. Prin urmare, în timp Δ t corpul s-a rotit printr-un unghi Δ φ, iar valoarea

numit viteza unghiulara medie.

Unitatea de măsură a vitezei unghiulare este 1 rad/s. Rata de modificare a vitezei unghiulare este caracterizată de accelerație unghiulară, notat cu . Accelerație medie;

.

Unitatea de măsură a accelerației unghiulare este 1 rad/s 2 .

Să fim de acord că unghiul de rotație măsurat în sens invers acelor de ceasornic este considerat pozitiv, iar unghiul numărat în sensul acelor de ceasornic este considerat negativ.

Orez. 7.4. Pentru a determina tipul de mișcare de rotație

Vectorii și sunt vectori de alunecare care sunt direcționați de-a lungul axei de rotație, astfel încât atunci când priviți de la capătul vectorului (sau ), se vede rotația care are loc în sens invers acelor de ceasornic.

Dacă vectorii și sunt direcționați în aceeași direcție (Fig. 7.4, A), apoi mișcarea de rotație a corpului accelerat – viteza unghiulara creste. Dacă vectorii sunt direcționați în direcții opuse, atunci rotația corpului mișcare lentă – viteza unghiulară scade (Fig. 7.4, b).

7.3. Cazuri speciale de mișcare de rotație

1. Mișcare uniformă de rotație. Dacă accelerația unghiulară și deci viteza unghiulară

, (7.1)

atunci mișcarea de rotație se numește uniformă. Din expresia (7.1), după separarea variabilelor, obținem

Dacă la schimbarea orei de la 0 la t unghiul de rotație s-a schimbat de la φ 0 (unghi inițial de rotație) la φ, apoi integrând ecuația în aceste limite:

obţinem ecuaţia mişcării uniforme de rotaţie

care în forma sa finală se scrie după cum urmează:

Daca atunci

Astfel, cu mișcare de rotație uniformă, viteza unghiulară

Sau la .

2. Mișcare de rotație uniformă. Dacă accelerația unghiulară

(7.2)

atunci mișcarea de rotație se numește uniform variabilă. Prin separarea variabilelor din expresia (7.2):

și acceptând că atunci când timpul se schimbă de la 0 la t viteza unghiulară s-a schimbat de la (viteza unghiulară inițială) la , să integrăm ecuația în aceste limite:

adică, obținem ecuația

exprimând valoarea vitezei unghiulare în orice moment.

Legea mișcării uniforme de rotație sau, ținând cont de ecuația (7.3):

Presupunând că în timpul de la 0 la t unghiul de rotație a variat de la până la , să integrăm ecuația în aceste limite:

sau

Ecuația mișcării de rotație alternativă uniform în forma sa finală

(7.4)

Obținem prima formulă auxiliară eliminând timpul din formulele (7.3) și (7.4):

(7.5)

Excluzând accelerația unghiulară din aceleași formule, obținem a doua formulă auxiliară:

(7.6)

unde este viteza unghiulară medie cu mișcare de rotație uniformă.

Când și , formulele (7.3)–(7.6) iau o formă mai simplă:

În timpul procesului de proiectare, mișcarea unghiulară nu este exprimată în radiani, ci pur și simplu în revoluții.

Se numește viteza unghiulară, exprimată în rotații pe minut viteza de rotație si este desemnat n. Să stabilim relația dintre (s –1) și n(min –1). De când, atunci când n(min –1) per t= 1 min = unghi de rotație 60 s. Prin urmare:

La trecerea de la viteza unghiulară (s –1) la viteza de rotație n(min –1) avem

7.4. Vitezele și accelerațiile diferitelor puncte

corp rotativ

Să determinăm viteza și accelerația oricărui punct în orice moment. În acest scop, vom stabili o relație între mărimile unghiulare și , care caracterizează mișcarea de rotație a corpului, și mărimile liniare și , care caracterizează mișcarea punctelor corpului.

Să presupunem că corpul prezentat în fig. 7.5, se rotește conform legii descrise de ecuație. Este necesar să se determine viteza și accelerația unui punct A a acestui corp situat la o distanta ρ de axa de rotatie O. Lasă corpul o vreme t rotit printr-un unghi φ, iar punctul A, deplasându-se într-un cerc dintr-o anumită poziție inițială, s-a deplasat la o distanță. Deoarece unghiul φ este exprimat în radiani, atunci

adică distanța parcursă de un punct al unui corp în rotație este proporțională cu unghiul său de rotație. Distanţă S iar unghiul de rotație φ sunt funcții de timp, iar ρ este o valoare constantă pentru un punct dat. Să diferențiem ambele părți ale egalității (7.7) în raport cu timpul și să obținem

dar este viteza punctului, a este viteza unghiulară a corpului, prin urmare

adică viteza unui punct de pe un corp în rotație este proporțională cu viteza unghiulară a acestuia.

Orez. 7.5. Pentru a determina viteza și accelerația unui punct

Din formula (7.8) este clar că pentru punctele situate pe axa de rotație, vitezele acestor puncte sunt, de asemenea, egale cu zero. Pe măsură ce , se modifică, adică în punctele situate mai departe de axa de rotație, cu cât valoarea lui , cu atât viteza este mai mare. În Fig. 7.6.

Orez. 7.6. Distribuția vitezei în timpul mișcării de rotație a unui corp rigid

Diferențiând ambele părți ale egalității (7.8), avem

dar este accelerația tangențială a punctului, a este accelerația unghiulară a corpului, ceea ce înseamnă

adică accelerația tangențială a unui punct de pe un corp în rotație este proporțională cu accelerația unghiulară a acestuia.

Înlocuind valoarea vitezei din formula (7.8) în formulă, obținem

adică accelerația normală a unui punct de pe un corp în rotație este proporțională cu a doua putere a vitezei sale unghiulare.

Din formula după înlocuirea în loc de și a valorilor acestora din formulele (7.9) și (7.10) obținem

Direcția vectorului de accelerație, adică unghiul, este determinată de una dintre formule , iar ultima dintre ele poate fi acum reprezentată în această formă:

(7.12)

Din formulele (7.11) și (7.12) rezultă că pentru punctele unui corp în timpul mișcării sale de rotație conform unei legi date, se poate găsi mai întâi accelerația A, apoi descompuneți-l în accelerație tangențială și accelerație normală, al căror modul

7.5. Metode de transmitere a mișcării de rotație

În tehnologie, este adesea nevoie de a transfera mișcarea de rotație de la o mașină la alta (de exemplu, de la un motor electric la o mașină unealtă) sau în interiorul unei mașini de la o piesă rotativă la alta. Se numesc dispozitive mecanice concepute pentru a transmite și transforma mișcarea de rotație transmisii.

Capitolul 8. Mișcare complexă

8.1. Mișcare complexă a punctului

Un exemplu de mișcare punctuală complexă este:

a) o barcă (dacă o luăm ca punct material) plutind de pe un mal pe celălalt al râului;

b) o persoană care merge pe treptele unei scări rulante de metrou în mișcare, care face și o mișcare complexă în raport cu arcul staționar al tunelului.

Astfel, în mișcare complexă, un punct, care se mișcă în raport cu un mediu material în mișcare, pe care suntem de acord să-l numim sistem de referință în mișcare, se deplasează simultan cu acest sistem de referință în raport cu cel de-al doilea sistem de referință, acceptat convențional ca staționar.

Mișcarea unui anumit punct Mîn raport cu cadrul de referinţă în mişcare se numeşte relativ. Mișcarea unui sistem de referință în mișcare împreună cu toate punctele mediului material asociate cu acesta în raport cu un sistem de referință staționar pentru un punct M numit portabil. Mișcarea punctului Mîn raport cu un cadru fix de referinţă se numeşte complex, sau absolut.

Pentru a vedea mișcarea complexă (absolută) a unui punct, observatorul însuși trebuie să fie asociat cu un cadru de referință fix. Dacă observatorul se află într-un cadru de referință în mișcare, atunci el vede doar o parte relativă a mișcării complexe.

Să ne imaginăm că ideea M de ceva timp s-a deplasat în raport cu sistemul de coordonate în mișcare O 1 X 1 Y 1 din poziția de pornire M 0 la poziție M 1 de-a lungul potecii M 0 M 1 (traiectorii de mișcare relativă a unui punct) (Fig. 8.1). În același timp Δ t sistem de coordonate în mișcare O 1 X 1 Y 1 împreună cu toate punctele asociate invariabil cu acesta și, prin urmare, împreună cu traiectoria mișcării relative a punctului M mutat într-un sistem de coordonate fix OXY intr-o noua pozitie:

Orez. 8.1. Spre analiza mișcării punctuale complexe

Să împărțim ambele părți ale acestei egalități la timpul mișcării Δ t:

și obțineți suma geometrică a vitezelor medii:

,

care sunt îndreptate de-a lungul vectorilor de deplasare corespunzători. Dacă mergem acum la limitele de la , obținem ecuația

exprimând teorema adiției vitezei: cu mișcarea complexă a unui punct, viteza absolută în fiecare moment de timp este egală cu suma geometrică a vitezelor portabile și relative.

Dacă unghiul este dat, atunci modulul de viteză absolută

Unghiurile formate de vectorii viteză absolută cu vectorii și sunt determinate de teorema sinusului.

Într-un caz particular, la adăugarea acestor viteze, se formează un romb (Fig. 8.2, A) sau un triunghi isoscel (Fig. 8.2, b) prin urmare

Orez. 8.2. Caz special

8.2. Mișcarea corpului plan-paralelă

Se numește mișcarea unui corp rigid în care toate punctele sale se mișcă în planuri paralele cu un plan fix plan-paralel (Fig. 8.3).

Orez. 8.3. Mișcarea plan-paralelă a unui corp rigid

Studierea mișcării plan-paralele a unui corp M, este suficient să luăm în considerare mișcarea secțiunii sale plate q avion XOY(Fig. 8.4).

Orez. 8.4. Spre analiza mișcării plan-paralele a unui corp rigid

Să alegem în secțiune q punct arbitrar A, pe care noi îl numim stâlp. Cu stâlp A hai să conectăm o linie dreaptă KL, și în secțiunea însăși de-a lungul liniei drepte KL hai să desenăm un segment AB, deplasând secțiunea plană din poziție q a pozitiona q 1 . Mai întâi îl puteți muta împreună cu stâlpul A translațional și apoi rotiți cu un unghi φ .

Mișcarea plan-paralelă a unui corp este o mișcare complexă și constă în mișcare de translație cu polul și mișcare de rotație în jurul polului.

Legea mișcării plan-paralele poate fi specificată prin trei ecuații:

Prin diferențierea ecuațiilor date ale mișcării plan-paralel, este posibilă în fiecare moment de timp să se determine viteza și accelerația polului, precum și viteza unghiulară și accelerația unghiulară a corpului.

Exemplul 8.1. Lăsați mișcarea unei roți de rulare cu un diametru d(Fig. 8.5) este dat de ecuații

unde u – m, φ – rad, t- Cu.

Diferențiând aceste ecuații, constatăm că viteza polului O viteza unghiulară a roții Accelerația stâlpului și accelerația unghiulară a roții în acest caz sunt egale cu zero. Cunoscând viteza stâlpului și viteza unghiulară a corpului, puteți determina apoi viteza oricărui punct.

Orez. 8.5. De exemplu 8.1

8.3. Determinarea vitezei oricărui punct de pe corp

în mișcare plan-paralelă

Să fie dată o secțiune plană q, a căror viteză unghiulară și, respectiv, viteza polului, la un moment dat în timp, și, respectiv. Este necesar să se determine viteza unui punct A(Fig. 8.6).

Să împărțim mișcarea plan-paralelă în părțile sale componente - translațională și rotațională. În mișcare de translație împreună cu polul (mișcare transferabilă), toate punctele secțiunii și punctul A inclusiv, au o viteză portabilă egală cu viteza stâlpului. Simultan cu sectiunea de traducere q efectuează mișcare de rotație cu viteză unghiulară (mișcare relativă):

unde este viteza relativă a punctului A ().

Orez. 8.6. Pentru a determina viteza unui corp în mișcare plan-paralel

Prin urmare, în orice moment dat

adică viteza absolută a unui punct al unui corp în timpul mișcării plan-paralele este egală cu suma geometrică a vitezei polului și a vitezei relative a acestui punct în jurul polului.

Modulul absolut al vitezei poate fi determinat prin formula

și direcția folosind teorema sinusului. Dacă se cunoaște direcția vitezei absolute, atunci mărimea acesteia este mai ușor de determinat pe baza următoarei teoreme: proiecțiile vitezelor a două puncte ale unui corp rigid pe linia dreaptă care leagă aceste puncte sunt egale între ele.

Să presupunem că vitezele și punctele sunt cunoscute AȘi ÎN orice corp (Fig. 8.7). Luând punctul ca stâlp A, primim

Orez. 8.7. Vectorii viteză ai punctelor unei figuri plate

Viteza relativă este perpendiculară AB. Prin urmare, sau . Teorema este demonstrată.

Capitolul 9. Mișcarea neliberă

punct material

9.1. Concepte de bază și axiome ale dinamicii

Dinamica studiază mișcarea corpurilor materiale sub influența forțelor. Dinamica se bazează pe următoarele axiome.

Axioma 1 (principiul inerției). Orice punct material izolat se află într-o stare de repaus sau în mișcare uniformă și rectilinie până când forțele aplicate îl scot din această stare.

Axioma 2 (legea de bază a dinamicii). Accelerația unui punct material este proporțională cu forța care acționează Fşi este îndreptată de-a lungul liniei drepte de-a lungul căreia acţionează această forţă (Fig. 9.1).

Orez. 9.1. La legea fundamentală a dinamicii

Matematic, a doua axiomă este scrisă ca o egalitate vectorială

Unde m– coeficient de proporționalitate, care exprimă măsura inerției unui punct material și se numește acestuia masa.

În Sistemul Internațional de Unități (SI), masa este exprimată în kilograme.

Relația dintre valorile numerice (modulele) de forțe și accelerație este exprimată prin egalitate

Toate corpurile materiale din apropierea Pământului sunt afectate de gravitație G. Când cad liber pe Pământ, corpurile de orice masă capătă aceeași accelerație g Care e numit accelerarea căderii libere. Pentru un corp în cădere liberă, ecuația anterioară implică următoarea relație:

Astfel, valoarea forței gravitaționale a unui corp în newtoni este egală cu produsul dintre masa lui și accelerația gravitației.

Axioma 3 (legea independenței forțelor). Dacă un sistem de forțe este aplicat unui punct material, atunci fiecare dintre forțele sistemului conferă punctului aceeași accelerație pe care ar da-o dacă ar acționa singură.

Se numește un punct material a cărui mișcare în spațiu nu este limitată de nicio legătură gratuit. Un exemplu de punct material liber este un satelit artificial al Pământului în spațiul apropiat Pământului sau un avion zburător. Mișcarea lor în spațiu nu este limitată de nimic, așa că un pilot de pe o aeronavă sportivă este capabil să efectueze diverse acrobații complexe.

Sarcinile dinamicii se reduc la două principale:

1) este specificată legea mișcării unui punct, este necesar să se determine forța sau sistemul de forțe care acționează asupra acestuia (prima problemă a dinamicii);

2) este specificat un sistem de forțe care acționează asupra unui punct pentru a determina legea mișcării (a doua problemă a dinamicii).

Ambele probleme de dinamică sunt rezolvate folosind legea de bază a dinamicii, scrisă sub forma sau.

Se numește un punct material a cărui libertate de mișcare este limitată de constrângeri impuse nu este gratis. Un exemplu de punct material neliber este un tramvai care se deplasează pe șine, dacă se neglijează forma și dimensiunea acestuia. Pentru un punct material neliber, toate forțele externe trebuie împărțite în două categorii: forțe active (motoare) și reacții de comunicare (forțe pasive).În acest sens, prima problemă a dinamicii unui punct neliber se reduce la determinarea reacțiilor conexiunilor dacă sunt date legile de mișcare ale punctului și forțele active care acționează asupra acestuia. A doua problemă a dinamicii se rezumă la, cunoașterea forțelor active care acționează asupra unui punct, determinarea, în primul rând, a legii de mișcare a punctului și, în al doilea rând, a reacțiilor conexiunilor.

Dacă un punct material neliber este eliberat de conexiuni și conexiunile sunt înlocuite cu reacțiile lor, atunci mișcarea punctului poate fi considerată liberă, iar legea de bază a dinamicii poate fi dată după următoarea formă:

,

unde sunt forțele active;

– reacții de legătură;

m– masa punctuală;

– accelerarea unui punct obtinuta ca urmare a actiunii fortelor externe (active si pasive).

9.3. Forțe de inerție

O forță care este numeric egală cu produsul dintre masa unui punct material și accelerația dobândită de acesta și îndreptată în direcția opusă accelerației se numește forță de inerție (Fig. 9.3):

Orez. 9.3. Forța de inerție

Forța de inerție nu se aplică de fapt punctului material accelerat, ci acționează asupra punctului sau corpului care conferă accelerație până în acest punct.

Să explicăm acest lucru cu câteva exemple.

O sarcină grea a cărei masă m, atârnă de un fragil, dar capabil să reziste la tensiune R = G fire (Fig. 9.4, A). Dacă acum trageți puternic firul vertical în sus, acesta se poate rupe (Fig. 9.4, b). O forță suplimentară de inerție, egală numeric cu , începe să acționeze asupra filetului, contracarând eliberarea sarcinii din starea de inerție (Fig. 9.4, V). Firul se poate rupe și dacă împingeți o sarcină suspendată pe orizontală, determinând-o să se balanseze pe fir (Fig. 9.4, G).

Atunci când un punct material se mișcă curbiliniu (Fig. 9.5), acesta experimentează o accelerație, care este de obicei înlocuită cu două componente ale accelerației: (accelerația normală) și (accelerația tangenţială). Prin urmare, în timpul mișcării curbilinii a unui punct material, apar două componente ale forței de inerție: forță de inerție normală (aka centrifugă).

Și forță de inerție tangențială (aka tangențială).

a B C D

Orez. 9.4. La analiza acţiunii forţelor de inerţie

Orez. 9.5. Vectori de accelerații și forțe de inerție

9.4. principiul lui d'Alembert

Forțele inerțiale sunt utilizate pe scară largă în calcule și rezolvarea problemelor tehnice, iar utilizarea forțelor inerțiale permite soluțiile multor probleme în care mișcarea unui punct material neliber este considerată a fi redusă la ecuațiile statice familiare:

Aplicând convențional forța de inerție la un punct material în mișcare, putem presupune că forțele active, reacțiile conexiunilor și forța de inerție formează un sistem echilibrat ( principiul lui d'Alembert).

Rezolvarea problemelor de dinamică folosind principiul lui d'Alembert este uneori numită prin metoda kinetostatica.

Capitolul 10. Munca și putere

• Trăsăturile caracteristice ale acestei mișcări sunt cuprinse în numele ei: uniform înseamnă cu o constantă de viteză în valoare absolută (u = const), necircular înseamnă că traiectoria este un cerc.

Mișcare uniformă în jurul unui cerc

Până acum am studiat mișcările cu accelerație constantă. Cu toate acestea, mai des sunt cazuri în care accelerația se modifică.

În primul rând, vom lua în considerare cea mai simplă mișcare cu accelerație variabilă, atunci când modulul de accelerație nu se modifică. O astfel de mișcare, în special, este mișcarea uniformă a unui punct de-a lungul unui cerc: pentru orice perioade egale de timp, punctul trece prin arce de aceeași lungime. În acest caz, viteza corpului (punctului) nu se schimbă în mărime, ci se schimbă doar în direcție.

Accelerație medie

Fie punctul de la momentul t să ocupe poziţia A pe cerc, iar după un interval scurt de timp Δt - poziţia A 1 (Fig. 1.82, a). Să notăm viteza punctului în aceste poziții cu și 1. Cu mișcare uniformă v 1 = v.

Orez. 1,82

Pentru a găsi accelerația instantanee, găsim mai întâi accelerația medie a punctului. Modificarea vitezei în timp Δt este egală cu Δ și = 1 - (vezi Fig. 1.82, a).

Prin definiție, accelerația medie este

Accelerație centripetă

Vom împărți problema găsirii accelerației instantanee în două părți: mai întâi vom găsi mărimea accelerației și apoi direcția acesteia. În timpul Δt, punctul A se va deplasa = Δ.

Luați în considerare triunghiurile OAA 1 și A 1 SV (vezi Fig. 1.82, a). Unghiurile de la vârfurile acestor triunghiuri isoscele sunt egale, deoarece laturile corespunzătoare sunt perpendiculare. Prin urmare, triunghiurile sunt asemănătoare. Prin urmare,

Împărțind ambele părți ale egalității la Δt, trecem la limită pe măsură ce intervalul de timp tinde Δt -» 0:

Limita din partea stângă a egalității este modulul de accelerație instantanee, iar limita din partea dreaptă a egalității este modulul vitezei instantanee a punctului. Prin urmare, egalitatea (1.26.1) va lua forma:

Este evident că modulul de accelerație pentru mișcarea uniformă a unui punct în jurul unui cerc este o valoare constantă, deoarece v și r nu se modifică în timpul mișcării.

Direcția de accelerație

Să găsim direcția de accelerație. Din triunghiul A 1 CB rezultă că vectorul accelerație medie formează un unghi β = cu vectorul viteză. Dar când Δt -> O, punctul A 1 se apropie de punctul A infinit aproape și de unghiul α -» 0. În consecință, vectorul accelerație instantanee formează un unghi cu vectorul viteză.

Aceasta înseamnă că vectorul de accelerație instantanee a este îndreptat către centrul cercului (Fig. 1.82, b). Prin urmare, această accelerație se numește centripetă (sau normală 1).

Accelerație centripetă pe un carusel și într-un accelerator de particule

Să estimăm accelerația unei persoane pe un carusel. Viteza scaunului în care stă o persoană este de 3-5 m/s. Cu o rază a caruselului de aproximativ 5 m, accelerația centripetă este a = ≈ 2-5 m/s 2 . Această valoare este destul de apropiată de accelerația gravitațională de 9,8 m/s 2 .

Dar la acceleratoarele de particule viteza se dovedește a fi destul de apropiată de viteza luminii 3 10 8 m/s. Particulele se mișcă pe o orbită circulară cu o rază de sute de metri. În acest caz, accelerația centripetă atinge valori enorme: 10 14 -10 15 m/s 2. Aceasta este de 10 13 -10 14 ori mai mare decât accelerația gravitației.

Un punct care se mișcă uniform în jurul unui cerc are o accelerație constantă a = , îndreptată radial spre centrul cercului (perpendicular pe viteza). Prin urmare, această accelerație se numește centripetă sau normală. Accelerația a în timpul mișcării se schimbă continuu în direcție (vezi Fig. 1.82, b). Aceasta înseamnă că mișcarea uniformă a unui punct în jurul unui cerc este o mișcare cu accelerație variabilă.

1 De la cuvântul latin normalis - drept. Normala la o dreaptă curbă într-un punct dat este o dreaptă care trece prin acest punct perpendicular pe tangenta trasată prin același punct.

Mișcare uniformă în jurul unui cerc- acesta este cel mai simplu exemplu. De exemplu, capătul unui ceas se mișcă într-un cerc în jurul unui cadran. Viteza unui corp care se deplasează într-un cerc se numește viteza liniară.

Cu mișcarea uniformă a unui corp într-un cerc, modulul vitezei corpului nu se modifică în timp, adică v = const, și doar direcția vectorului viteză se schimbă în acest caz, nu există nicio modificare (a r = 0), iar schimbarea vectorului viteză în direcție este caracterizată de o mărime numită accelerație centripetă() un n sau un CS. În fiecare punct, vectorul de accelerație centripet este îndreptat spre centrul cercului de-a lungul razei.

Modulul de accelerație centripetă este egal cu

a CS =v 2 / R

Unde v este viteza liniară, R este raza cercului

Orez. 1.22. Mișcarea unui corp într-un cerc.

Când descriem mișcarea unui corp într-un cerc, folosim unghiul de rotație al razei– unghiul φ prin care, în timpul t, se rotește raza trasată din centrul cercului până la punctul în care se află corpul în mișcare în acel moment. Unghiul de rotație se măsoară în radiani. egală cu unghiul dintre două raze ale unui cerc, lungimea arcului dintre care este egală cu raza cercului (Fig. 1.23). Adică dacă l = R, atunci

1 radian= l/R

Deoarece circumferinţă egal cu

l = 2πR

360 o = 2πR / R = 2π rad.

Prin urmare

1 rad. = 57,2958 o = 57 sau 18’

Viteză unghiulară mișcarea uniformă a unui corp într-un cerc este valoarea ω, egală cu raportul dintre unghiul de rotație al razei φ și perioada de timp în care se efectuează această rotație:

ω = φ / t

Unitatea de măsură pentru viteza unghiulară este radiani pe secundă [rad/s]. Modulul de viteză liniară este determinat de raportul dintre lungimea traseului parcurs l și intervalul de timp t:

v=l/t

Viteza liniară cu mișcare uniformă în jurul unui cerc, este îndreptată de-a lungul unei tangente într-un punct dat al cercului. Când un punct se mișcă, lungimea l a arcului de cerc străbătut de punct este legată de unghiul de rotație φ prin expresia

l = Rφ

unde R este raza cercului.

Atunci, în cazul mișcării uniforme a punctului, vitezele liniare și unghiulare sunt legate prin relația:

v = l / t = Rφ / t = Rω sau v = Rω

Orez. 1.23. Radian.

Perioada de circulație– aceasta este perioada de timp T în care corpul (punctul) face o revoluție în jurul cercului. Frecvență– aceasta este reciproca perioadei de revoluție – numărul de rotații pe unitatea de timp (pe secundă). Frecvența circulației se notează cu litera n.

n=1/T

Pe o perioadă, unghiul de rotație φ al unui punct este egal cu 2π rad, deci 2π = ωT, de unde

T = 2π/ω

Adică viteza unghiulară este egală cu

ω = 2π / T = 2πn

Accelerație centripetă poate fi exprimat în termeni de perioadă T și frecvență de circulație n:

a CS = (4π 2 R) / T 2 = 4π 2 Rn 2