Unul dintre poligoanele regulate. Proprietățile poligoanelor regulate
Definiție poligon regulat poate depinde de definiția unui poligon: dacă este definit ca o polilinie plată închisă, atunci definiția apare poligon stelat regulat Cum neconvex un poligon în care toate laturile sunt egale și toate unghiurile sunt egale.
Proprietăți
Coordonatele
Lăsa x C (\displaystyle x_(C))Și y C (\displaystyle y_(C))- coordonatele centrului, și R (\displaystyle R)- raza cercului, ϕ 0 (\displaystyle (\phi )_(0)) este coordonata unghiulară a primului vârf, apoi coordonatele carteziene ale vârfurilor unui n-gon regulat sunt determinate de formulele:
x i = x C + R cos (ϕ 0 + 2 π i n) (\displaystyle x_(i)=x_(C)+R\cos \left((\phi)_(0)+(\frac (2\) pi i)(n))\dreapta)) y i = y C + R sin (ϕ 0 + 2 π i n) (\displaystyle y_(i)=y_(C)+R\sin \left((\phi)_(0)+(\frac (2\) pi i)(n))\dreapta))Unde i = 0 … n − 1 (\displaystyle i=0\dots n-1)
Dimensiuni
Lăsa R (\displaystyle R)- raza cercului circumscris în jurul unui poligon regulat, atunci raza cercului înscris este egală cu
r = R cos π n (\displaystyle r=R\cos (\frac (\pi)(n))),iar lungimea laturii poligonului este
a = 2 R sin π n = 2 r t g π n (\displaystyle a=2R\sin (\frac (\pi )(n))=2r\mathop (\mathrm (tg) ) \,(\frac (\ pi)(n)))Pătrat
N (\displaystyle n)și lungimea laterală a (\displaystyle a) este:
S = n 4 a 2 ctg π n (\displaystyle S=(\frac (n)(4))\ a^(2)\mathop (\mathrm () ) \,\operatorname (ctg) (\frac ( \pi )(n))).Aria unui poligon regulat cu număr de laturi n (\displaystyle n), înscris într-un cerc de rază R (\displaystyle R), este:
S = n 2 R 2 sin 2 π n (\displaystyle S=(\frac (n)(2))R^(2)\sin (\frac (2\pi )(n))).Aria unui poligon regulat cu număr de laturi n (\displaystyle n), circumscrisă în jurul unui cerc de rază r (\displaystyle r), este:
S = n r 2 t g π n (\displaystyle S=nr^(2)\mathop (\mathrm (tg) ) \,(\frac (\pi )(n)))(aria bazei n-gonalei prismă corectă)Aria unui poligon regulat cu număr de laturi n (\displaystyle n) egal cu
S = n r a 2 (\displaystyle S=(\frac (nra)(2))),Unde r (\displaystyle r)- distanta de la mijlocul lateral la centru, a (\displaystyle a)- Lungime laterală.
Aria unui poligon regulat prin perimetru ( P (\displaystyle P)) și raza cercului înscris ( r (\displaystyle r)) este:
S = 1 2 P r (\displaystyle S=(\frac (1)(2))Pr).Perimetru
Dacă trebuie să calculați lungimea laturii unui n-gon regulat înscris într-un cerc, cunoscând circumferința L (\displaystyle L) Puteți calcula lungimea unei laturi a unui poligon:
o n (\displaystyle a_(n))- lungimea laturii unui n-gon regulat. a n = sin 180 n ⋅ L π (\displaystyle a_(n)=\sin (\frac (180)(n))\cdot (\frac (L)(\pi )))Perimetru P n (\displaystyle P_(n)) egală
P n = o n ⋅ n (\displaystyle P_(n)=a_(n)\cdot n)Unde n (\displaystyle n)- numărul de laturi ale poligonului.
Aplicație
Poligoanele regulate, prin definiție, sunt fețele poliedrelor regulate.
Matematicienii greci antici (Antifon, Brison din Heraclea, Arhimede etc.) foloseau poligoane regulate pentru a calcula numerele. Au calculat ariile poligoanelor înscrise într-un cerc și circumscrise în jurul acestuia, crescând treptat numărul laturilor lor și obținând astfel o estimare a ariei cercului.
Poveste
Construirea unui poligon regulat cu n laturile au rămas o problemă pentru matematicieni până în secolul al XIX-lea. Această construcție este identică cu împărțirea unui cerc în n părti egale, deoarece conectând punctele care împart cercul în părți, puteți obține poligonul dorit.
De atunci, problema este considerată complet rezolvată.
Teorema 1. Un cerc poate fi descris în jurul oricărui poligon regulat.
Fie ABCDEF (Fig. 419) un poligon regulat; este necesar să se demonstreze că în jurul lui poate fi descris un cerc.
Știm că este întotdeauna posibil să se deseneze un cerc prin trei puncte care nu se află pe aceeași dreaptă; Aceasta înseamnă că este întotdeauna posibil să se deseneze un cerc care va trece prin oricare trei vârfuri ale unui poligon regulat, de exemplu prin vârfurile E, D și C. Fie punctul O centrul acestui cerc.
Să demonstrăm că acest cerc va trece și prin al patrulea vârf al poligonului, de exemplu prin vârful B.
Segmentele OE, OD și OS sunt egale între ele și fiecare este egal cu raza cercului. Să realizăm un alt segment OB; despre acest segment nu se poate spune imediat că este egal cu raza cercului acest lucru trebuie demonstrat. Luați în considerare triunghiurile OED și ODC, ele sunt isoscele și egale, prin urmare, ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4.
Dacă colț interior a unui poligon dat este egal cu α, atunci ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 = α / 2; dar dacă ∠4= α / 2, atunci ∠5 = α / 2, adică. ∠4 = ∠5.
De aici concluzionăm că (Delta)OSD = (Delta)OSV și, prin urmare, OB = OS, adică segmentul OB este egal cu raza cercului desenat. De aici rezultă că cercul va trece și prin vârful B al poligonului regulat.
Folosind aceeași tehnică, vom demonstra că cercul construit va trece prin toate celelalte vârfuri ale poligonului. Aceasta înseamnă că acest cerc va fi circumscris acestui poligon regulat. Teorema a fost demonstrată.
Teorema 2. Un cerc poate fi înscris în orice poligon regulat.
Fie ABCDEF un poligon regulat (Fig. 420), trebuie să demonstrăm că în el poate fi înscris un cerc.
Din teorema anterioară se știe că un cerc poate fi descris în jurul unui poligon regulat. Fie punctul O centrul acestui cerc.
Să conectăm punctul Oc cu vârfurile poligonului. Triunghiurile rezultate OED, ODC etc. sunt egale între ele, ceea ce înseamnă că înălțimile lor trase din punctul O sunt de asemenea egale, adică OK = OL = OM = ON = OP = OQ.
Prin urmare, un cerc descris din punctul O ca dintr-un centru cu raza egală cu segmentul OK va trece prin punctele K, L, M, N, P și Q, iar înălțimile triunghiurilor vor fi razele cercului. Laturile poligonului sunt perpendiculare pe razele din aceste puncte, deci sunt tangente la acest cerc. Aceasta înseamnă că cercul construit este înscris în acest poligon regulat.
Aceeași construcție poate fi realizată pentru orice poligon regulat, prin urmare, un cerc poate fi înscris în orice poligon regulat.
Consecinţă. Cercurile circumscrise în jurul unui poligon regulat și înscrise în acesta au un centru comun.
Definiții.
1. Centrul unui poligon regulat este centrul comun al cercurilor circumscrise acestui poligon și înscrise în el.
2. O perpendiculară trasată din centrul unui poligon regulat pe latura sa se numește apotema unui poligon regulat.
Exprimarea laturilor poligoanelor regulate în termeni de circumradius
Prin utilizarea funcții trigonometrice Puteți exprima latura oricărui poligon regulat în termeni de raza cercului circumscris în jurul acestuia.
Fie AB partea dreaptă n-gon înscris într-un cerc de rază OA = R (Fig).
Să desenăm apotema OD a unui poligon regulat și să considerăm triunghiul dreptunghic AOD. În acest triunghi
∠AOD = 1 / 2 ∠AOB = 1 / 2 360° / n= 180° / n
AD = AO sin ∠AOD = R sin 180° / n ;
dar AB = 2AD și deci AB = 2R sin 180° / n .
Lungimea laterală corectă n-gon înscris într-un cerc este de obicei notat si n, deci formula rezultată poate fi scrisă după cum urmează:
si n= 2R sin 180° / n .
Consecințe:
1. Lungimea laterală a unui hexagon regulat înscris într-un cerc cu rază R , este exprimat prin formula A 6 = R, deoarece
A 6 = 2R sin 180° / 6 = 2R sin 30° = 2R 1 / 2 = R.
2. Lungimea laturii unui patrulater regulat (pătrat) înscris într-un cerc cu rază R , este exprimat prin formula A 4 = R√2 , deoarece
A 4 = 2R sin 180° / 4 = 2R sin 45° = 2R √ 2 / 2 = R√2
3. Lungimea laturii unui triunghi regulat înscris într-un cerc cu rază R , este exprimat prin formula A 3 = R√3 , deoarece.
A 3 = 2R sin 180° / 3 = 2R sin 60° = 2R √ 3 / 2 = R√3
Aria unui poligon regulat
Să fie dat cel corect n-gon (fig). Este necesar să-și determine zona. Să notăm latura poligonului cu A iar centrul prin O. Legăm centrul cu capetele oricărei laturi ale poligonului cu segmente, obținem un triunghi în care desenăm apotema poligonului.
Aria acestui triunghi este Ah / 2. Pentru a determina aria întregului poligon, trebuie să înmulțiți aria unui triunghi cu numărul de triunghiuri, adică cu n. Obtinem: S = Ah / 2 n = ahn / 2 dar un este egal cu perimetrul poligonului. Să o notăm cu R.
În cele din urmă obținem: S = P h / 2. unde S este aria unui poligon regulat, P este perimetrul acestuia, h- apotema.
Aria unui poligon regulat este egală cu jumătate din produsul perimetrului și apotema acestuia.
Alte materialeMenținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.
Colectarea și utilizarea informațiilor personale
Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.
Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.
Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.
Ce informații personale colectăm:
- Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs E-mail etc.
Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:
- Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
- Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
- De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
- Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.
Dezvăluirea informațiilor către terți
Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.
Excepții:
- Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, în procedurile judiciare și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor din partea autorităților guvernamentale de pe teritoriul Federației Ruse - de a vă dezvălui informațiile personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
- În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.
Protecția informațiilor personale
Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.
Respectarea vieții private la nivelul companiei
Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt securizate, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.
MATERIAL DE REVIZIE
Poligon regulat Un poligon convex cu laturi și unghiuri egale se numește.a este partea octogonului,
R - raza cercului circumscris,
r este raza cercului înscris.
Suma unghiurilor interioare ale unui n-gon regulat
180(n-2).
Măsura în grade a unghiului interior al unui n-gon
180(n-2): n.
Partea din dreapta n-ka
Raza unui cerc înscris într-un poligon regulat
Zona corectă n
EXERCIȚII
1. a) Suma unghiurilor interne ale unui hexagon este egală cu:
1) 360°; 2) 180°; 3) 720°; 4) 540°.
b) Suma unghiurilor interne ale unui octogon este egală cu:
1) 360°; 2) 180°; 3) 720°; 4) 1080°.
Soluţie:
a) Conform formulei, suma unghiurilor unui hexagon este: 180(6-2)=180*4=720
°
.
Raspuns: 720
°
.
2. a) Latura unui poligon regulat este de 5 cm, unghiul intern este de 144°
a) Latura unui poligon regulat este de 7 cm, unghiul intern este de 150°
. Aflați perimetrul poligonului.
Soluţie:
a) 1) Aflați numărul de laturi ale poligonului:
144=180(n-2):n;
144n=180n-360;
36n=360;
n=10.
2) Aflați perimetrul decagonului: P=5*10=50 cm.
Raspuns: 50 cm.
3. a) Perimetrul unui pentagon obișnuit este de 30 cm Aflați diametrul cercului circumscris pentagonului.
b) Diametrul cercului este de 10 cm Aflați perimetrul pentagonului înscris în el.
Soluţie:
a) 1) Aflați latura pentagonului: 30:5=6 cm.
2) Aflați raza cercului circumscris:
a=2R*sin(180
°
:n);
6=2R*sin (180
°
:5);
R=3:sin 36
°
=3:0,588=5,1 cm
Răspuns: 5,1 cm.
4. a) Suma unghiurilor interne ale unui poligon regulat este 2520°
b) Suma unghiurilor interne ale unui poligon regulat este 1800°
. Aflați numărul de laturi ale poligonului.
Soluţie:
a) Aflați numărul de laturi ale poligonului:
2520
°
= 180
°
(n-2);
2520
°
+360
°
=180
°
n;
2880
°
=180
°
n;
n=16.
Răspuns: 16 laturi.
5. a) Raza cercului circumscris unui dodecagon regulat este de 5 cm Aflați aria poligonului.
b) Raza cercului circumscris unui octogon regulat este de 6 cm Aflați aria poligonului.
Soluţie:
a) Aflați aria dodecagonului:
S=0,5*
R2 *n*sin(360°
:n)=0,5*25*12*sin30°
=75 cm 2
.
Raspuns: 75 cm 2
.
6. Găsiți aria hexagonului dacă aria părții umbrite este cunoscută:
a) 1) Aflați lungimea laturii AB a hexagonului. Luați în considerare triunghiul ABC - isoscel (AB=BC).
∠ABC=180 ° (6-2):6=120 ° .
Aria triunghiului ABC este de 0,5*AB*BC*sin120° și este egal prin condiție cu 48.
3) Găsiți aria hexagonului:
Raspuns: 288 cm 2 .
7. a) Aflați numărul de laturi ale unui poligon regulat dacă unghiul său exterior la vârf este 18°
.
b) Aflați numărul de laturi ale unui poligon regulat dacă unghiul său exterior la vârf este 45°
.
Soluţie:
a) Suma unghiurilor externe ale unui poligon regulat este 360
°
.
Să aflăm numărul de laturi: 360
°
:18
°
=20.
Răspuns: 20 de laturi.
8. Calculați aria inelului dacă coarda AB este egală cu:
a) 8 cm; b) 10 cm.
A)
1) OV - raza cercului exterior, OH - raza cercului interior. Aria inelului poate fi găsită folosind formula: S inel = S cerc exterior - S cerc interior.
S= π *OB 2 - π *OH 2 = π(OB 2 -OH 2 ).
2) Se consideră triunghiul ABO - isoscel (OA = OB ca raze). OH este înălțimea și mediana în triunghiul ABO, deci AN=HB=8:2= 4 cm.
3) Se consideră triunghiul ONB - dreptunghiular: HB 2 =OB 2 -EL 2 , prin urmare
OB 2 -EL 2 =16.
4) Găsiți aria inelului:
S=π(OB 2 -OH 2 )=16 π cm 2 .
Răspuns:16 π cm 2 .
9. a) Aflați perimetrul unui hexagon regulat dacă AC = 9 cm.
b) Aflați aria unui hexagon regulat dacă FA=6 cm.
a) 1) Aflați unghiul ABC: 180 ° (6-4):6=120 ° .
2) Considerați triunghiul ABC - isoscel (AB = BC ca laturile unui hexagon regulat).
∠ TU= ∠ BCA=(180° -120 ° ):2=30 ° .
Conform teoremei sinusului: AC: sin ∠ ABC = AB: sin∠ BCA;
AB=AC*sin30 ° :sin120;
P=6*AB;
10. Demonstrați că într-un octogon regulat aria părții umbrite este egală cu:
a) un sfert din aria octogonului; b) jumătate din aria octogonului:
A)
1) Să desenăm bisectoarele colțurilor octogonului, acestea se vor intersecta în punctul O. Aria octogonului este egală cu suma ariilor celor opt rezultate triunghiuri egale, adică S (ABCDEFKM) =8* S (OEF).
2) Patrulaterul ABEF este un paralelogram (AB//EF și AB=EF). Diagonalele unui paralelogram sunt egale: AE=BF (ca diametrele unui cerc circumscris unui octogon), prin urmare, ABEF este un dreptunghi. Diagonalele unui dreptunghi îl împart în patru triunghiuri egale.
3) Aflați aria patrulaterului AFKM:
S (ABEF)= 4* S (OEF).
2*S (AFKM)=S (ABCDEFKM) - S (ABEF) =8* S (OEF)-4* S (OEF)=4* S (OEF).
S (AFKM)=2* S (OEF).
4) Găsiți raportul dintre aria octogonului și aria părții umbrite:
S (ABCDEFKM) : S (AFKM) = 8* S (OEF) : (2* S (OEF))=4.
Q.E.D.
11. Aflați raportul dintre aria sectorului BAC și aria figurii umbrite, dacă BA=AC și aria sectorului BAC este egală cu un sfert din aria cercului :
A)
1) AB=AC=2R. Unghiul BAC este drept, deoarece aria sectorului BAC este egală cu un sfert din aria cercului .
2) Luați în considerare patrulaterul AO 2 MO 1 . Este un romb pentru că toate laturile sunt egale cu raza, iar din moment ce Unul dintre unghiurile lor este de 90°, apoi AO 2 MO 1 - pătrat.
Triunghiul S = 0,5 R 2 cm 2 .Segmentul S = (0,25 π - 0,5)R 2 cm 2.
S al părții umbrite = 2* Segment S = 2*(0,25 π - 0,5)R2 =(0,5 π -1)R 2 sm 2.
4) Găsiți aria sectorului BAC:
Ssectoare =π *(2R) 2 *90:360= π R 2 Cum 2.
5) Să găsim raportul dintre aria sectorului BAC și aria părții umbrite:
π R 2 :(0,5 π -1)R 2= 2 π : (π-2).
Răspuns: 2 π : (π-2).
SARCINI PENTRU SOLUȚIE INDEPENDENTĂ
1. Care este suma unghiurilor externe ale unui pentagon?
2. Care este aria octogonului dacă aria zonei umbrite este 20.
4. Latura AB a unui poligon obișnuit este de 8 cm O este centrul poligonului, unghiul AOB este de 36° . Aflați perimetrul poligonului.
5. Perimetrul unui octogon obișnuit este de 80 cm Găsiți diagonala sa mai mică.
6. Un cerc este înscris într-un triunghi regulat și un cerc este circumscris în jurul lui. Aflați aria inelului format din cercuri dacă latura triunghiului este de 8 cm.
7. Aflați unghiul dintre două diagonale mai mici care ies din același vârf al unui heptagon obișnuit.
8. Un triunghi regulat este descris în jurul unui cerc, iar în el este înscris un hexagon regulat. Aflați raportul dintre ariile unui triunghi și ale unui hexagon.
9. Un poligon convex are 48 de laturi. Aflați numărul diagonalelor sale.
10. ABCD este un pătrat. Cercuri cu raza AB sunt desenate din vârfurile B și C. Găsiți raportul dintre aria figurii umbrite și aria pătratului:
Triunghi, pătrat, hexagon - aceste figuri sunt cunoscute de aproape toată lumea. Dar nu toată lumea știe ce este un poligon obișnuit. Dar acestea sunt toate la fel. Un poligon obișnuit este unul care are unghiuri și laturi egale. Există o mulțime de astfel de cifre, dar toate au aceleași proprietăți și li se aplică aceleași formule.
Proprietățile poligoanelor regulate
Orice poligon regulat, fie el un pătrat sau un octogon, poate fi înscris într-un cerc. Această proprietate de bază este adesea folosită la construirea unei figuri. În plus, un cerc poate fi înscris într-un poligon. În acest caz, numărul punctelor de contact va fi egal cu numărul laturilor sale. Este important ca un cerc înscris într-un poligon regulat să aibă un centru comun cu el. Aceste figuri geometrice sunt supuse acelorași teoreme. Orice latură a unui n-gon obișnuit este legată de raza cercului R care îl înconjoară. Prin urmare, poate fi calculată folosind următoarea formulă: a = 2R ∙ sin180°. Prin intermediul puteți găsi nu numai laturile, ci și perimetrul poligonului.
Cum să găsiți numărul de laturi ale unui poligon obișnuit
Oricare constă dintr-un anumit număr de segmente egale între ele, care, atunci când sunt conectate, formează o linie închisă. În acest caz, toate unghiurile figurii rezultate au aceeași valoare. Poligoanele sunt împărțite în simple și complexe. Primul grup include un triunghi și un pătrat. Poligoane complexe au număr mai mare laturi Acestea includ și figuri în formă de stea. În complex poligoane regulate Laturile se găsesc prin înscrierea lor într-un cerc. Să dăm o dovadă. Desenați un poligon regulat cu un număr arbitrar de laturi n. Desenați un cerc în jurul lui. Setați raza R. Acum imaginați-vă că vi se oferă niște n-gon. Dacă punctele unghiurilor sale se află pe cerc și sunt egale între ele, atunci laturile pot fi găsite folosind formula: a = 2R ∙ sinα: 2.
Aflarea numărului de laturi ale unui triunghi regulat înscris
Un triunghi echilateral este un poligon regulat. Se aplică aceleași formule ca și pentru un pătrat și un n-gon. Un triunghi va fi considerat regulat dacă laturile sale sunt egale ca lungime. În acest caz, unghiurile sunt de 60⁰. Să construim un triunghi cu o lungime dată a laturii. Cunoscând mediana și înălțimea acestuia, puteți găsi valoarea laturilor sale. Pentru a face acest lucru, vom folosi metoda de a găsi prin formula a = x: cosα, unde x este mediana sau înălțimea. Deoarece toate laturile triunghiului sunt egale, obținem a = b = c. Atunci următoarea afirmație va fi adevărată: a = b = c = x: cosα. În mod similar, puteți găsi valoarea laturilor într-un triunghi isoscel, dar x va fi înălțimea dată. În acest caz, ar trebui proiectat strict pe baza figurii. Deci, cunoscând înălțimea x, găsim latura a triunghi isoscel după formula a = b = x: cosα. După ce ați găsit valoarea lui a, puteți calcula lungimea bazei c. Să aplicăm teorema lui Pitagora. Vom căuta valoarea jumătate a bazei c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tanα. Atunci c = 2xtanα. Ca aceasta într-un mod simplu puteți găsi numărul de laturi ale oricărui poligon înscris.
Calcularea laturilor unui pătrat înscris într-un cerc
Ca orice alt poligon regulat înscris, un pătrat are laturi egaleși colțuri. Se aplică aceleași formule ca și unui triunghi. Puteți calcula laturile unui pătrat folosind valoarea diagonalei. Să luăm în considerare această metodă mai detaliat. Se știe că o diagonală împarte un unghi în jumătate. Inițial valoarea sa a fost de 90 de grade. Astfel, după împărțire, se formează două unghiurile lor la bază vor fi egale cu 45 de grade. În consecință, fiecare latură a pătratului va fi egală, adică: a = b = c = d = e ∙ cosα = e√2: 2, unde e este diagonala pătratului, sau baza triunghiului dreptunghic format după Divizia. Acesta nu este singurul mod de a găsi laturile unui pătrat. Să înscriem această figură într-un cerc. Cunoscând raza acestui cerc R, găsim latura pătratului. O vom calcula astfel: a4 = R√2. Razele poligoanelor regulate se calculează folosind formula R = a: 2tg (360 o: 2n), unde a este lungimea laturii.
Cum se calculează perimetrul unui n-gon
Perimetrul unui n-gon este suma tuturor laturilor sale. Este ușor de calculat. Pentru a face acest lucru, trebuie să cunoașteți semnificațiile tuturor părților. Pentru unele tipuri de poligoane există formule speciale. Ele vă permit să găsiți perimetrul mult mai rapid. Se știe că orice poligon regulat are laturile egale. Prin urmare, pentru a-i calcula perimetrul, este suficient să cunoști cel puțin unul dintre ele. Formula va depinde de numărul de laturi ale figurii. În general, arată astfel: P = an, unde a este valoarea laturii și n este numărul de unghiuri. De exemplu, pentru a găsi perimetrul unui octogon obișnuit cu o latură de 3 cm, trebuie să-l înmulțiți cu 8, adică P = 3 ∙ 8 = 24 cm Pentru un hexagon cu latura de 5 cm, calculăm astfel: P = 5 ∙ 6 = 30 cm Și așa pentru fiecare poligon.
Aflarea perimetrului unui paralelogram, pătrat și romb
În funcție de câte laturi are un poligon obișnuit, se calculează perimetrul acestuia. Acest lucru face sarcina mult mai ușoară. Într-adevăr, spre deosebire de alte figuri, în acest caz nu trebuie să-i cauți toate laturile, una este suficientă. Folosind același principiu, găsim perimetrul patrulaterelor, adică un pătrat și un romb. În ciuda faptului că acestea sunt cifre diferite, formula pentru ele este aceeași: P = 4a, unde a este latura. Să dăm un exemplu. Dacă latura unui romb sau pătrat este de 6 cm, atunci găsim perimetrul astfel: P = 4 ∙ 6 = 24 cm Pentru un paralelogram, numai laturile opuse sunt egale. Prin urmare, perimetrul său este găsit folosind o metodă diferită. Deci, trebuie să cunoaștem lungimea a și lățimea b ale figurii. Apoi aplicăm formula P = (a + b) ∙ 2. Un paralelogram în care toate laturile și unghiurile dintre ele sunt egale se numește romb.
Aflarea perimetrului unui triunghi echilateral și dreptunghic
Perimetrul celui corect poate fi găsit folosind formula P = 3a, unde a este lungimea laturii. Dacă este necunoscut, poate fi găsit prin mediană. ÎN triunghi dreptunghic valoare egala au doar două laturi. Baza poate fi găsită prin teorema lui Pitagora. Odată ce sunt cunoscute valorile tuturor celor trei laturi, calculăm perimetrul. Poate fi găsit folosind formula P = a + b + c, unde a și b sunt laturi egale și c este baza. Amintiți-vă că într-un triunghi isoscel a = b = a, ceea ce înseamnă a + b = 2a, atunci P = 2a + c. De exemplu, latura unui triunghi isoscel este de 4 cm, să-i găsim baza și perimetrul. Calculăm valoarea ipotenuzei folosind teorema lui Pitagora cu = √a 2 + b 2 = √16+16 = √32 = 5,65 cm Acum calculăm perimetrul P = 2 ∙ 4 + 5,65 = 13,65 cm.
Cum să găsiți unghiurile unui poligon regulat
Un poligon obișnuit apare în viața noastră în fiecare zi, de exemplu, un pătrat, triunghi, octogon obișnuit. S-ar părea că nu este nimic mai ușor decât să construiești singur această cifră. Dar acest lucru este simplu doar la prima vedere. Pentru a construi orice n-gon, trebuie să cunoașteți valoarea unghiurilor sale. Dar cum să le găsesc? Chiar și oamenii de știință antici au încercat să construiască poligoane regulate. Ei și-au dat seama cum să le potrivească în cercuri. Și apoi punctele necesare au fost marcate pe ea și conectate cu linii drepte. Pentru figuri simple problema constructiei a fost rezolvata. Au fost obținute formule și teoreme. De exemplu, Euclid, în celebra sa lucrare „Inception”, s-a ocupat de rezolvarea problemelor pentru 3-, 4-, 5-, 6- și 15-gon-uri. A găsit modalități de a le construi și de a găsi unghiuri. Să ne uităm la cum se face asta pentru un 15-gon. Mai întâi trebuie să calculați suma unghiurilor sale interioare. Este necesar să se folosească formula S = 180⁰(n-2). Deci, ni se dă un 15-gon, ceea ce înseamnă că numărul n este 15. Înlocuim datele pe care le cunoaștem în formulă și obținem S = 180⁰(15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Am găsit suma tuturor unghiurilor interioare ale unui 15-gon. Acum trebuie să obțineți valoarea fiecăruia dintre ele. Sunt 15 unghiuri în total. Facem calculul 2340⁰: 15 = 156⁰. Aceasta înseamnă că fiecare unghi intern este egal cu 156⁰, acum folosind o riglă și o busolă puteți construi un 15-gon obișnuit. Dar cum rămâne cu n-gonurile mai complexe? Timp de multe secole, oamenii de știință s-au străduit să rezolve această problemă. A fost găsit abia în secolul al XVIII-lea de Carl Friedrich Gauss. El a reușit să construiască un 65537-gon. De atunci, problema a fost considerată oficial rezolvată complet.
Calculul unghiurilor de n-goni în radiani
Desigur, există mai multe moduri de a găsi unghiurile poligoanelor. Cel mai adesea ele sunt calculate în grade. Dar ele pot fi exprimate și în radiani. Cum să o facă? Trebuie să procedați după cum urmează. Mai întâi, aflăm numărul de laturi ale unui poligon obișnuit, apoi scădem 2 din acesta. Aceasta înseamnă că obținem valoarea: n - 2. Înmulțim diferența găsită cu numărul n („pi” = 3,14). Acum tot ce rămâne este să împărțiți produsul rezultat la numărul de unghiuri din n-gon. Să luăm în considerare aceste calcule folosind același decagon ca exemplu. Deci, numărul n este 15. Să aplicăm formula S = n(n - 2) : n = 3,14(15 - 2) : 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Aceasta nu este, desigur, singura modalitate de a calcula un unghi în radiani. Puteți împărți pur și simplu unghiul în grade la 57,3. La urma urmei, acesta este câte grade echivalează cu un radian.
Calculul valorilor unghiurilor în grade
Pe lângă grade și radiani, puteți încerca să găsiți unghiurile unui poligon obișnuit în grade. Acest lucru se face după cum urmează. Din numărul total unghiuri, scădeți 2, împărțiți diferența rezultată la numărul de laturi ale unui poligon regulat. Înmulțim rezultatul găsit cu 200. Apropo, o astfel de unitate de măsură a unghiurilor ca grade nu este practic utilizată.
Calculul unghiurilor externe ale n-gonilor
Pentru orice poligon obișnuit, pe lângă cel intern, puteți calcula și unghiul extern. Valoarea acestuia se regăsește în același mod ca și pentru alte cifre. Deci, pentru a găsi unghiul extern al unui poligon obișnuit, trebuie să cunoașteți valoarea celui intern. Mai mult, știm că suma acestor două unghiuri este întotdeauna egală cu 180 de grade. Prin urmare, calculele le facem astfel: 180⁰ minus valoarea unghiului intern. Găsim diferența. Acesta va fi egal cu valoarea unghiului adiacent acestuia. De exemplu, unghiul intern al unui pătrat este de 90 de grade, ceea ce înseamnă că unghiul exterior va fi de 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. După cum vedem, nu este greu de găsit. Unghiul exterior poate lua o valoare de la +180⁰ la -180⁰, respectiv.
