Împărțirea pe coloane 91 7. Împărțirea pe coloane a numerelor naturale, exemple, soluții. Exemple de împărțire

Numere simple sau complexe din mai multe cifre prin împărțirea într-o serie de pași mai simpli. Ca și în cazul tuturor problemelor de împărțire, un număr, numit dividend, este împărțit la altul, numit divizor, producând un rezultat numit coeficient. Această metodă vă permite să efectuați împărțirea unor numere arbitrar mari, împărțind procesul într-o serie de pași simpli, secvențiali.

YouTube enciclopedic

1 / 3

✪ Împărțirea în coloană a numerelor întregi - matematică | uchim.org

✪ Împărțirea coloanelor

✪ Împărțirea coloanelor

Subtitrări

Desemnare în Rusia, Kazahstan, Kârgâzstan, Franța, Belgia, Spania, Ucraina, Belarus, Moldova, Georgia, Tadjikistan, Uzbekistan, Mongolia

În Rusia, divizorul este situat în dreapta dividendului, separat de acesta printr-o linie verticală. Împărțirea apare și într-o coloană, dar câtul (rezultatul) este scris sub divizor și separat de acesta printr-o linie orizontală.

8420│4 500│4 -8 │2105 -4 │125 4 10 - 4 - 8 20 20 - 20 -20 0 0

Denumirea în Germania

• Unele țări europene folosesc o denumire diferită. Calculul este exact același, dar scris diferit, așa cum se arată în exemplu:

127 ÷ 4 = 31,75 (12 - 12 = 0 care este scris pe linia următoare) 07 (șapte este reportat din dividendul 127) 4 2 8 20 (5 × 4 = 20) 0

Denumire în Olanda

Calculul este exact același, dar scris diferit (divizorul este situat în stânga dividendului), așa cum se arată în exemplul de împărțire a 135 la 11 (cu un rezultat de 12 și un rest de 3):

11 / 135 \ 12 11 -- 25 22 -- 3

Desemnare în America și Marea Britanie

Când împărțiți pe hârtie, nu utilizați simbolurile slash (/) sau obelus (÷). În schimb, dividendul, divizorul și coeficientul (în timp ce sunt rezolvate) sunt aranjate într-un tabel. Exemplu de împărțire a 500 la 4 (rezultând 125):

Exemplu de împărțire cu rest:

1. În primul rând, uită-te la dividendul (127) pentru a determina dacă divizorul (4) poate fi scăzut din el (în cazul nostru nu, deoarece avem una ca primă cifră și nu putem folosi numere negative, deci nu putem scrie − 3 )
2. Dacă prima cifră nu este suficient de mare, luăm următoarea cifră împreună cu ea. Astfel, avem acum la dispoziție numărul 12 ca prim număr.
3. Luați numărul maxim de patru care poate fi scăzut din primul număr. În cazul nostru, din 12 se pot scădea 3 patru
4. În coeficient (deasupra celei de-a doua cifră a dividendului, deoarece aceasta este ultima cifră folosită), scrieți cele trei rezultate, iar sub dividend numărul 12
5. Scădeți numărul 12 pe care l-ați scris din numărul corespunzător de deasupra (rezultatul va fi, desigur, 0)
6. Repetați primul pas
7. Deoarece 0 nu este un număr potrivit pentru dividend, mutați următoarea cifră din dividend (7). Rezultatul va fi 07
8. Repetați pașii 3, 4 și 7
9. Veți avea 31 ca coeficient, 3 ca rest și niciun alt număr în dividend.
10. Puteți continua împărțirea, obținând o fracție zecimală în coeficient: adăugați un punct la coeficientul din dreapta și un zero la restul (3) din dreapta și continuați împărțirea, adăugând un zero ori de câte ori dividendul este mai mic decât divizor (4)

Împărțirea este una dintre cele patru operații matematice de bază (adunare, scădere, înmulțire). Diviziunea, ca și alte operațiuni, este importantă nu numai în matematică, ci și în viața de zi cu zi. De exemplu, tu ca o clasă întreagă (25 de persoane) donați bani și cumpărați un cadou pentru profesor, dar nu cheltuiți totul, va rămâne schimbare. Deci va trebui să împărțiți schimbarea între toți. Operația de divizare intră în joc pentru a vă ajuta să rezolvați această problemă.

Diviziunea este o operațiune interesantă, așa cum vom vedea în acest articol!

Împărțirea numerelor

Deci, puțină teorie și apoi practică! Ce este diviziunea? Împărțirea înseamnă ruperea ceva în părți egale. Adică, ar putea fi o pungă de dulciuri care trebuie împărțită în părți egale. De exemplu, într-o pungă sunt 9 bomboane, iar persoana care vrea să le primească este trei. Apoi, trebuie să împărțiți aceste 9 bomboane între trei persoane.

Este scris astfel: 9:3, răspunsul va fi numărul 3. Adică, împărțirea numărului 9 la numărul 3 arată numărul de trei numere conținute în numărul 9. Acțiunea inversă, o verificare, va fi multiplicare. 3*3=9. Dreapta? Absolut.

Deci, să ne uităm la exemplul 12:6. Mai întâi, să numim fiecare componentă a exemplului. 12 – dividend, adică. un număr care poate fi împărțit în părți. 6 este un divizor, acesta este numărul de părți în care este împărțit dividendul. Și rezultatul va fi un număr numit „cot”.

Să împărțim 12 la 6, răspunsul va fi numărul 2. Puteți verifica soluția înmulțind: 2*6=12. Se pare că numărul 6 este conținut de 2 ori în numărul 12.

Împărțire cu rest

Ce este împărțirea cu un rest? Aceasta este aceeași împărțire, doar rezultatul nu este un număr par, așa cum se arată mai sus.

De exemplu, să împărțim 17 la 5. Deoarece cel mai mare număr divizibil cu 5 la 17 este 15, atunci răspunsul va fi 3, iar restul este 2 și se scrie astfel: 17:5 = 3(2).

De exemplu, 22:7. În același mod, determinăm numărul maxim divizibil cu 7 la 22. Acest număr este 21. Răspunsul va fi atunci: 3 și restul 1. Și se scrie: 22:7 = 3 (1).

Împărțire cu 3 și 9

Un caz special de împărțire ar fi împărțirea cu numărul 3 și numărul 9. Dacă doriți să aflați dacă un număr este divizibil cu 3 sau 9 fără rest, atunci veți avea nevoie de:

Aflați suma cifrelor dividendului.

Împărțiți la 3 sau 9 (în funcție de ce aveți nevoie).

Dacă răspunsul este obținut fără rest, atunci numărul va fi împărțit fără rest.

De exemplu, numărul 18. Suma cifrelor este 1+8 = 9. Suma cifrelor este divizibilă atât cu 3, cât și cu 9. Numărul 18:9=2, 18:3=6. Împărțit fără rest.

De exemplu, numărul 63. Suma cifrelor este 6+3 = 9. Divizibil atât cu 9, cât și cu 3. 63:9 = 7 și 63:3 = 21. Astfel de operații sunt efectuate cu orice număr pentru a afla dacă este divizibil cu restul cu 3 sau 9 sau nu.

Înmulțirea și împărțirea

Înmulțirea și împărțirea sunt operații opuse. Înmulțirea poate fi folosită ca test pentru împărțire, iar împărțirea poate fi folosită ca test pentru înmulțire. Puteți afla mai multe despre înmulțire și stăpâniți operația în articolul nostru despre înmulțire. Care descrie multiplicarea în detaliu și cum să o faci corect. Acolo vei gasi si tabla inmultirii si exemple pentru antrenament.

Iată un exemplu de verificare a împărțirii și înmulțirii. Să presupunem că exemplul este 6*4. Răspuns: 24. Atunci să verificăm răspunsul după diviziune: 24:4=6, 24:6=4. S-a decis corect. În acest caz, verificarea se efectuează împărțind răspunsul la unul dintre factori.

Sau este dat un exemplu pentru diviziunea 56:8. Răspuns: 7. Atunci testul va fi 8*7=56. Dreapta? Da. În acest caz, testul se realizează prin înmulțirea răspunsului cu divizorul.

Clasa divizia 3

În clasa a treia abia încep să treacă prin diviziune. Prin urmare, elevii de clasa a treia rezolvă cele mai simple probleme:

Problema 1. Un muncitor din fabrică a primit sarcina de a pune 56 de prăjituri în 8 pachete. Câte prăjituri trebuie puse în fiecare pachet pentru a face aceeași cantitate în fiecare?

Problema 2. În noaptea de Revelion, la școală, copiilor dintr-o clasă de 15 elevi li s-au oferit 75 de bomboane. Câte bomboane ar trebui să primească fiecare copil?

Problema 3. Roma, Sasha și Misha au cules 27 de mere din măr. Câte mere va primi fiecare persoană dacă trebuie împărțite în mod egal?

Problema 4. Patru prieteni au cumpărat 58 de fursecuri. Dar apoi și-au dat seama că nu îi pot împărți în mod egal. Câte fursecuri suplimentare trebuie să cumpere copiii pentru ca fiecare să primească 15?

Divizia clasa a IV-a

Împărțirea în clasa a patra este mai gravă decât în ​​a treia. Toate calculele sunt efectuate folosind metoda împărțirii coloanelor, iar numerele implicate în împărțire nu sunt mici. Ce este diviziunea lungă? Răspunsul îl găsiți mai jos:

Împărțirea coloanelor

Ce este diviziunea lungă? Aceasta este o metodă care vă permite să găsiți răspunsul la împărțirea numerelor mari. Dacă numerele prime precum 16 și 4 pot fi împărțite, iar răspunsul este clar - 4. Atunci 512:8 nu este ușor pentru un copil în mintea lui. Și este sarcina noastră să vorbim despre tehnica de rezolvare a unor astfel de exemple.

Să ne uităm la un exemplu, 512:8.

1 pas. Să scriem dividendul și divizorul după cum urmează:

În cele din urmă, coeficientul va fi scris sub divizor, iar calculele sub dividend.

Pasul 2. Începem împărțirea de la stânga la dreapta. Mai întâi luăm numărul 5:

Pasul 3. Numărul 5 este mai mic decât numărul 8, ceea ce înseamnă că nu va fi posibilă împărțirea. Prin urmare, luăm o altă cifră a dividendului:

Acum 51 este mai mare decât 8. Acesta este un coeficient incomplet.

Pasul 4. Punem un punct sub divizor.

Pasul 5. După 51 există un alt număr 2, ceea ce înseamnă că va mai fi un număr în răspuns, adică. coeficientul este un număr din două cifre. Să punem al doilea punct:

Pasul 6. Începem operațiunea de divizare. Cel mai mare număr divizibil cu 8 fără un rest la 51 este 48. Împărțind 48 la 8, obținem 6. Scrieți numărul 6 în loc de primul punct sub divizor:

Pasul 7. Apoi scrieți numărul exact sub numărul 51 și puneți semnul „-”:

Pasul 8. Apoi scădem 48 din 51 și obținem răspunsul 3.

* 9 pași*. Luăm numărul 2 și îl scriem lângă numărul 3:

Pasul 10Împărțim numărul rezultat 32 la 8 și obținem a doua cifră a răspunsului – 4.

Deci răspunsul este 64, fără rest. Dacă am împărți numărul 513, atunci restul ar fi unul.

Împărțirea din trei cifre

Împărțirea numerelor din trei cifre se face folosind metoda împărțirii lungi, care a fost explicată în exemplul de mai sus. Un exemplu de doar un număr din trei cifre.

Împărțirea fracțiilor

Împărțirea fracțiilor nu este atât de dificilă pe cât pare la prima vedere. De exemplu, (2/3):(1/4). Metoda acestei diviziuni este destul de simplă. 2/3 este dividendul, 1/4 este divizorul. Puteți înlocui semnul împărțirii (:) cu înmulțirea ( ), dar pentru a face acest lucru trebuie să schimbați numărătorul și numitorul divizorului. Adică obținem: (2/3)(4/1), (2/3)*4, aceasta este egală cu 8/3 sau 2 numere întregi și 2/3 Să dăm un alt exemplu, cu o ilustrare pentru o mai bună înțelegere. Luați în considerare fracțiile (4/7):(2/5):

Ca și în exemplul anterior, inversăm divizorul 2/5 și obținem 5/2, înlocuind împărțirea cu înmulțirea. Apoi obținem (4/7)*(5/2). Facem o reducere și răspundem: 10/7, apoi scoatem toată partea: 1 întreg și 3/7.

Împărțirea numerelor în clase

Să ne imaginăm numărul 148951784296 și să-l împărțim în trei cifre: 148.951.784.296 Deci, de la dreapta la stânga: 296 este clasa unităților, 784 este clasa a miilor, 951 este clasa a milioanelor, 148 este clasa a miliardelor. La rândul lor, în fiecare clasă 3 cifre au propria lor cifră. De la dreapta la stânga: prima cifră este unități, a doua cifră este zeci, a treia este sute. De exemplu, clasa unităților este 296, 6 este unități, 9 este zeci, 2 este sute.

Împărțirea numerelor naturale

Împărțirea numerelor naturale este cea mai simplă împărțire descrisă în acest articol. Poate fi cu sau fără rest. Divizorul și dividendul pot fi orice numere întregi nefracționale.

Înscrieți-vă la cursul „Accelerați aritmetica mentală, NU aritmetica mentală” pentru a învăța cum să adăugați, scădeți, înmulțiți, împărțiți, pătrați și chiar extrageți rădăcini rapid și corect. În 30 de zile, vei învăța cum să folosești trucuri simple pentru a simplifica operațiile aritmetice. Fiecare lecție conține tehnici noi, exemple clare și sarcini utile.

Prezentarea diviziei

Prezentarea este o altă modalitate de a vizualiza subiectul divizării. Mai jos vom găsi un link către o prezentare excelentă, care explică bine cum se împarte, ce este diviziunea, ce sunt dividendele, divizoarele și coeficientul. Nu-ți pierde timpul, ci consolidează-ți cunoștințele!

Exemple de împărțire

Nivel ușor

Nivel mediu

Nivel dificil

Jocuri pentru dezvoltarea aritmeticii mentale

Jocurile educaționale speciale dezvoltate cu participarea oamenilor de știință ruși de la Skolkovo vor ajuta la îmbunătățirea abilităților de aritmetică mentală într-o formă de joc interesantă.

Jocul „Ghicește operațiunea”

Jocul „Guess the Operation” dezvoltă gândirea și memoria. Principalul punct al jocului este alegerea unui semn matematic pentru ca egalitatea să fie adevărată. Pe ecran sunt date exemple, priviți cu atenție și puneți semnul „+” sau „-” necesar pentru ca egalitatea să fie adevărată. Semnele „+” și „-” sunt situate în partea de jos a imaginii, selectați semnul dorit și faceți clic pe butonul dorit. Dacă ai răspuns corect, câștigi puncte și continui să joci.

Jocul „Simplificare”

Jocul „Simplificare” dezvoltă gândirea și memoria. Esența principală a jocului este efectuarea rapidă a unei operații matematice. Un elev este desenat pe ecran la tablă și este dată o operație matematică, elevul trebuie să calculeze acest exemplu și să scrie răspunsul. Mai jos sunt trei răspunsuri, numărați și faceți clic pe numărul de care aveți nevoie folosind mouse-ul. Dacă ai răspuns corect, câștigi puncte și continui să joci.

Jocul „Adăugarea rapidă”

Jocul „Adăugare rapidă” dezvoltă gândirea și memoria. Esența principală a jocului este să alegeți numere a căror sumă este egală cu un număr dat. În acest joc, este dată o matrice de la unu la șaisprezece. Un anumit număr este scris deasupra matricei, trebuie să selectați numerele din matrice, astfel încât suma acestor cifre să fie egală cu numărul dat. Dacă ai răspuns corect, câștigi puncte și continui să joci.

Joc de geometrie vizuală

Jocul „Geometria vizuală” dezvoltă gândirea și memoria. Esența principală a jocului este să numărați rapid numărul de obiecte umbrite și să îl selectați din lista de răspunsuri. În acest joc, pătratele albastre sunt afișate pe ecran pentru câteva secunde, trebuie să le numărați rapid, apoi se închid. Sub tabel sunt scrise patru numere, trebuie să selectați un număr corect și să faceți clic pe el cu mouse-ul. Dacă ai răspuns corect, câștigi puncte și continui să joci.

Jocul „Pușculița”

Jocul Pușculiță dezvoltă gândirea și memoria. Esența principală a jocului este să alegi care pușculiță are mai mulți bani. În acest joc există patru pușculițe, trebuie să numeri care pușculiță are cei mai mulți bani și să arăți această pușculiță cu mouse-ul. Dacă ați răspuns corect, atunci câștigați puncte și continuați să jucați.

Jocul „Reîncărcare rapidă de adăugare”

Jocul „Fast addition reboot” dezvoltă gândirea, memoria și atenția. Principalul punct al jocului este alegerea termenilor corecti, a căror sumă va fi egală cu numărul dat. În acest joc, pe ecran sunt date trei numere și este dată o sarcină, adăugați numărul, ecranul indică ce număr trebuie adăugat. Selectați numerele dorite din trei numere și apăsați-le. Dacă ați răspuns corect, atunci câștigați puncte și continuați să jucați.

Dezvoltarea aritmeticii mentale fenomenale

Ne-am uitat doar la vârful aisbergului, pentru a înțelege mai bine matematica - înscrieți-vă la cursul nostru: Accelerating mental athmetic - NU mental athmetic.

Din curs nu numai că vei învăța zeci de tehnici de înmulțire simplificată și rapidă, adunare, înmulțire, împărțire și calculare a procentelor, dar le vei exersa și în sarcini speciale și jocuri educative! Aritmetica mentală necesită, de asemenea, multă atenție și concentrare, care sunt antrenate activ atunci când rezolvă probleme interesante.

Citire rapidă în 30 de zile

Creșteți viteza de citire de 2-3 ori în 30 de zile. De la 150-200 la 300-600 de cuvinte pe minut sau de la 400 la 800-1200 de cuvinte pe minut. Cursul folosește exerciții tradiționale pentru dezvoltarea citirii rapide, tehnici care accelerează funcționarea creierului, metode de creștere progresivă a vitezei de citire, psihologia citirii rapide și întrebări de la participanții la curs. Potrivit pentru copii și adulți care citesc până la 5000 de cuvinte pe minut.

Dezvoltarea memoriei și a atenției la un copil de 5-10 ani

Scopul cursului: dezvoltarea memoriei și atenției copilului, astfel încât să-i fie mai ușor să studieze la școală, astfel încât să își poată aminti mai bine.

După finalizarea cursului, copilul va fi capabil să:

1. De 2-5 ori mai bine să vă amintiți texte, chipuri, numere, cuvinte

Creierul, ca și corpul, are nevoie de fitness. Exercițiile fizice întăresc corpul, exercițiile mentale dezvoltă creierul. 30 de zile de exerciții utile și jocuri educaționale pentru a dezvolta memoria, concentrarea, inteligența și viteza de citire vor întări creierul, transformându-l într-o nucă greu de spart.



Banii și mentalitatea milionară

De ce sunt probleme cu banii? În acest curs vom răspunde în detaliu la această întrebare, vom analiza în profunzime problema și vom analiza relația noastră cu banii din punct de vedere psihologic, economic și emoțional. Din curs vei afla ce trebuie să faci pentru a-ți rezolva toate problemele financiare, a începe să economisești bani și a-i investi în viitor.

Cunoașterea psihologiei banilor și a modului de lucru cu ei face o persoană milionară. 80% dintre oameni iau mai multe credite pe măsură ce veniturile lor cresc, devenind și mai sărace. Pe de altă parte, milionarii auto-făcuți vor câștiga din nou milioane în 3-5 ani dacă vor începe de la zero. Acest curs vă învață cum să distribuiți corect veniturile și să reduceți cheltuielile, vă motivează să studiați și să atingeți obiectivele, vă învață cum să investiți bani și să recunoașteți o înșelătorie.

Cel mai simplu mod de a împărți numerele cu mai multe cifre este cu o coloană. Se mai numește și împărțirea coloanelor diviziune de colt.

Înainte de a începe să efectuăm împărțirea pe o coloană, vom lua în considerare în detaliu însăși forma de înregistrare a împărțirii pe o coloană. Mai întâi, notați dividendul și puneți o linie verticală în dreapta acestuia:

În spatele liniei verticale, vizavi de dividend, scrieți divizorul și trasați o linie orizontală sub el:

Sub linia orizontală, coeficientul rezultat va fi scris pas cu pas:

Calculele intermediare vor fi scrise sub dividende:

Forma completă de împărțire a scrierii pe coloană este următoarea:

Cum se împarte pe coloană

Să presupunem că trebuie să împărțim 780 la 12, să scriem acțiunea într-o coloană și să trecem la împărțire:

Divizarea coloanelor se realizează în etape. Primul lucru pe care trebuie să-l facem este să stabilim dividendul incomplet. Ne uităm la prima cifră a dividendului:

acest număr este 7, deoarece este mai mic decât divizorul, nu putem începe împărțirea din el, ceea ce înseamnă că trebuie să luăm o altă cifră din dividend, numărul 78 este mai mare decât divizorul, așa că începem împărțirea de la el:

În cazul nostru, numărul 78 va fi incomplet divizibil, se numește incomplet deoarece este doar o parte a divizibilului.

După ce am determinat dividendul incomplet, putem afla câte cifre vor fi în coeficient, pentru aceasta trebuie să calculăm câte cifre au rămas în dividend după dividendul incomplet, în cazul nostru există doar o cifră - 0, aceasta înseamnă că câtul va fi format din 2 cifre.

După ce ați aflat numărul de cifre care ar trebui să fie în coeficient, puteți pune puncte în locul lui. Dacă, la finalizarea împărțirii, numărul de cifre se dovedește a fi mai mare sau mai mic decât punctele indicate, atunci a fost făcută o eroare undeva:

Să începem să împărțim. Trebuie să stabilim de câte ori 12 este conținut în numărul 78. Pentru a face acest lucru, înmulțim succesiv divizorul cu numerele naturale 1, 2, 3, ... până când obținem un număr cât mai aproape de dividendul incomplet. sau egal cu acesta, dar fără a o depăși. Astfel, obținem numărul 6, îl scriem sub divizor, iar din 78 (după regulile de scădere a coloanei) scădem 72 (12 6 = 72). După ce scădem 72 din 78, restul este 6:

Vă rugăm să rețineți că restul diviziunii ne arată dacă am ales corect numărul. Dacă restul este egal sau mai mare decât divizorul, atunci nu am ales corect numărul și trebuie să luăm un număr mai mare.

La restul rezultat - 6, se adaugă următoarea cifră a dividendului - 0. Ca rezultat, obținem un dividend incomplet - 60. Stabiliți de câte ori 12 este conținut în numărul 60. Obținem numărul 5, scrieți-l în câtul după numărul 6 și scădeți 60 din 60 ( 12 5 = 60). Restul este zero:

Deoarece nu mai sunt cifre rămase în dividend, înseamnă că 780 este împărțit complet la 12. Ca urmare a efectuării diviziunii lungi, am găsit coeficientul - este scris sub divizor:

Să luăm în considerare un exemplu când coeficientul are ca rezultat zerouri. Să presupunem că trebuie să împărțim 9027 la 9.

Determinăm dividendul incomplet - acesta este numărul 9. Scriem 1 în coeficient și scădem 9 din 9. Restul este zero. De obicei, dacă în calculele intermediare restul este zero, nu se notează:

Luăm următoarea cifră a dividendului - 0. Ne amintim că atunci când împărțim zero la orice număr va fi zero. Scriem zero în coeficient (0: 9 = 0) și scadem 0 din 0 în calculele intermediare De obicei, pentru a nu aglomera calculele intermediare, calculele cu zero nu sunt scrise:

Luăm următoarea cifră a dividendului - 2. În calculele intermediare s-a dovedit că dividendul incomplet (2) este mai mic decât divizorul (9). În acest caz, scrieți zero la cât și eliminați următoarea cifră a dividendului:

Determinăm de câte ori 9 este conținut în numărul 27. Obținem numărul 3, îl scriem ca un cât și scădem 27 din 27. Restul este zero:

Deoarece nu mai sunt cifre rămase în dividend, înseamnă că numărul 9027 este împărțit complet la 9:

Să luăm în considerare un exemplu când dividendul se termină cu zerouri. Să presupunem că trebuie să împărțim 3000 la 6.

Determinăm dividendul incomplet - acesta este numărul 30. Scriem 5 în coeficient și scădem 30 din 30. Restul este zero. După cum sa menționat deja, nu este necesar să scrieți zero în restul în calculele intermediare:

Luăm următoarea cifră a dividendului - 0. Deoarece împărțirea zero la orice număr va rezulta zero, scriem zero în coeficient și scădem 0 din 0 în calculele intermediare:

Luăm următoarea cifră a dividendului - 0. Scriem un alt zero în coeficient și scadem 0 din 0 în calculele intermediare Deoarece în calculele intermediare, calculele cu zero de obicei nu se notează, intrarea poate fi scurtată, lăsând doar. restul - 0. Zero în restul de la sfârșitul calculului este de obicei scris pentru a arăta că împărțirea este completă:

Deoarece nu mai sunt cifre rămase în dividend, înseamnă că 3000 este împărțit complet la 6:

Împărțirea coloanelor cu rest

Să presupunem că trebuie să împărțim 1340 la 23.

Determinăm dividendul incomplet - acesta este numărul 134. Scriem 5 în cât și scadem 115 din 134. Restul este 19:

Luăm următoarea cifră a dividendului - 0. Determinăm de câte ori 23 este conținut în numărul 190. Obținem numărul 8, îl scriem în coeficient și scădem 184 din 190. Obținem restul 6:

Deoarece nu mai sunt cifre rămase în dividend, împărțirea sa încheiat. Rezultatul este un coeficient incomplet de 58 și un rest de 6:

1340: 23 = 58 (restul 6)

Rămâne să luăm în considerare un exemplu de împărțire cu rest, când dividendul este mai mic decât divizorul. Trebuie să împărțim 3 la 10. Vedem că 10 nu este niciodată conținut în numărul 3, așa că scriem 0 ca cât și scădem 0 din 3 (10 · 0 = 0). Desenați o linie orizontală și scrieți restul - 3:

3: 10 = 0 (restul 3)

Calculator de diviziune lungă

Acest calculator vă va ajuta să efectuați diviziunea lungă. Pur și simplu introduceți dividendul și divizorul și faceți clic pe butonul Calculați.

Împărțirea numerelor naturale, în special a numerelor cu mai multe cifre, se realizează în mod convenabil printr-o metodă specială, care se numește împărțire pe o coloană (într-o coloană). Puteți găsi și numele diviziune de colt. Să observăm imediat că coloana poate fi folosită atât pentru a împărți numere naturale fără rest, cât și pentru a împărți numerele naturale cu un rest.

În acest articol ne vom uita la cât timp se efectuează divizarea. Aici vom vorbi despre regulile de înregistrare și despre toate calculele intermediare. În primul rând, să ne concentrăm pe împărțirea unui număr natural cu mai multe cifre la un număr cu o singură cifră cu o coloană. După aceasta, ne vom concentra asupra cazurilor în care atât dividendul, cât și divizorul sunt numere naturale cu valori multiple. Întreaga teorie a acestui articol este furnizată cu exemple tipice de împărțire printr-o coloană de numere naturale cu explicații detaliate ale soluției și ilustrații.

Navigare în pagină.

Reguli pentru înregistrarea la împărțirea la o coloană

Să începem prin a studia regulile de scriere a dividendului, a divizorului, a tuturor calculelor intermediare și a rezultatelor la împărțirea numerelor naturale la o coloană. Să spunem imediat că este cel mai convenabil să faceți împărțirea coloanelor în scris pe hârtie cu o linie în carouri - astfel există mai puține șanse de a vă îndepărta de rândul și coloana dorite.

În primul rând, dividendul și divizorul sunt scrise pe o linie de la stânga la dreapta, după care se trage un simbol al formei între numerele scrise. De exemplu, dacă dividendul este numărul 6 105 și divizorul este 5 5, atunci înregistrarea corectă a acestora la împărțirea într-o coloană va fi după cum urmează:

Priviți următoarea diagramă pentru a ilustra unde să scrieți calculele dividende, divizor, coeficient, rest și intermediare în diviziunea lungă.

Din diagrama de mai sus este clar că câtul necesar (sau câtul incomplet când se împarte cu un rest) va fi scris sub divizor sub linia orizontală. Și calculele intermediare vor fi efectuate sub dividend și trebuie să aveți grijă în prealabil de disponibilitatea spațiului pe pagină. În acest caz, ar trebui să vă ghidați după regulă: cu cât diferența dintre numărul de caractere din intrările dividendului și divizorului este mai mare, cu atât va fi necesar mai mult spațiu. De exemplu, la împărțirea la o coloană a numărului natural 614.808 la 51.234 (614.808 este un număr de șase cifre, 51.234 este un număr de cinci cifre, diferența dintre numărul de caractere din înregistrări este 6−5 = 1), intermediar calculele vor necesita mai puțin spațiu decât la împărțirea numerelor 8 058 și 4 (aici diferența în numărul de caractere este 4−1=3). Pentru a confirma cuvintele noastre, prezentăm înregistrări complete ale împărțirii pe o coloană a acestor numere naturale:

Acum puteți trece direct la procesul de împărțire a numerelor naturale la o coloană.

Împărțirea pe coloană a unui număr natural cu un număr natural cu o singură cifră, algoritmul de împărțire a coloanelor

Este clar că împărțirea unui număr natural cu o singură cifră la altul este destul de simplă și nu există niciun motiv pentru a împărți aceste numere într-o coloană. Cu toate acestea, va fi util să vă exersați abilitățile inițiale de divizare lungă cu aceste exemple simple.

Exemplu.

Trebuie să împărțim cu o coloană de 8 cu 2.

Soluţie.

Desigur, putem face împărțirea folosind tabelul înmulțirii și imediat notăm răspunsul 8:2=4.

Dar ne interesează cum să împărțim aceste numere cu o coloană.

În primul rând, notăm dividendul 8 și divizorul 2 așa cum este cerut de metoda:

Acum începem să aflăm de câte ori este conținut divizorul în dividend. Pentru a face acest lucru, înmulțim secvențial divizorul cu numerele 0, 1, 2, 3, ... până când rezultatul este un număr egal cu dividendul (sau un număr mai mare decât dividendul, dacă există o împărțire cu rest. ). Dacă obținem un număr egal cu dividendul, atunci îl scriem imediat sub dividend, iar în locul coeficientului scriem numărul cu care am înmulțit divizorul. Dacă obținem un număr mai mare decât dividendul, atunci sub divizor scriem numărul calculat la penultimul pas, iar în locul coeficientului incomplet scriem numărul cu care a fost înmulțit divizorul la penultimul pas.

Să mergem: 2·0=0 ; 2 1=2; 2·2=4; 2·3=6; 2·4=8. Am primit un număr egal cu dividendul, așa că îl scriem sub dividend, iar în locul coeficientului scriem numărul 4. În acest caz, înregistrarea va lua următoarea formă:

Etapa finală a împărțirii numerelor naturale cu o singură cifră cu o coloană rămâne. Sub numărul scris sub dividend, trebuie să desenați o linie orizontală și să scădeți numerele de deasupra acestei linii în același mod ca atunci când scădeți numerele naturale dintr-o coloană. Numărul rezultat din scădere va fi restul împărțirii. Dacă este egal cu zero, atunci numerele originale sunt împărțite fără rest.

În exemplul nostru obținem

Acum avem în fața noastră o înregistrare completă a împărțirii coloanei a numărului 8 cu 2. Vedem că câtul 8:2 este 4 (iar restul este 0).

Răspuns:

8:2=4 .

Acum să ne uităm la modul în care o coloană împarte numerele naturale cu o singură cifră cu un rest.

Exemplu.

Împărțiți cu o coloană 7 cu 3.

Soluţie.

În etapa inițială, intrarea arată astfel:

Începem să aflăm de câte ori dividendul conține divizor. Vom înmulți 3 cu 0, 1, 2, 3 etc. până când obținem un număr egal sau mai mare decât dividendul 7. Obținem 3·0=0<7 ; 3·1=3<7 ; 3·2=6<7 ; 3·3=9>7 (dacă este necesar, consultați articolul care compară numerele naturale). Sub dividend scriem cifra 6 (a fost obținut la penultima treaptă), iar în locul coeficientului incomplet scriem numărul 2 (înmulțirea a fost efectuată de acesta la penultimul pas).

Rămâne de efectuat scăderea, iar împărțirea pe o coloană de numere naturale cu o singură cifră 7 și 3 va fi finalizată.

Astfel, câtul parțial este 2, iar restul este 1.

Răspuns:

7:3=2 (resti 1).

Acum puteți trece la împărțirea numerelor naturale cu mai multe cifre pe coloane în numere naturale cu o singură cifră.

Acum ne vom da seama algoritm de diviziune lungă. În fiecare etapă, vom prezenta rezultatele obținute prin împărțirea numărului natural din mai multe cifre 140.288 la numărul natural dintr-o singură cifră 4. Acest exemplu nu a fost ales întâmplător, deoarece la rezolvarea lui vom întâlni toate nuanțele posibile și le vom putea analiza în detaliu.

Mai întâi ne uităm la prima cifră din stânga în notația dividendului. Dacă numărul definit de această cifră este mai mare decât divizorul, atunci în paragraful următor trebuie să lucrăm cu acest număr. Dacă acest număr este mai mic decât divizorul, atunci trebuie să adăugăm la considerație următoarea cifră din stânga în notația dividendului și să continuăm să lucrăm cu numărul determinat de cele două cifre luate în considerare. Pentru comoditate, evidențiem în notația noastră numărul cu care vom lucra.

Prima cifră din stânga în notația dividendului 140288 este cifra 1. Numărul 1 este mai mic decât divizorul 4, așa că ne uităm și la următoarea cifră din stânga în notația dividendului. În același timp, vedem și numărul 14, cu care trebuie să lucrăm în continuare. Evidențiem acest număr în notația dividendului.

Următorii pași de la al doilea până la al patrulea se repetă ciclic până la finalizarea împărțirii numerelor naturale pe o coloană.

Acum trebuie să stabilim de câte ori este conținut divizorul în numărul cu care lucrăm (pentru comoditate, să notăm acest număr ca x). Pentru a face acest lucru, înmulțim secvențial divizorul cu 0, 1, 2, 3, ... până când obținem numărul x sau un număr mai mare decât x. Când se obține numărul x, îl scriem sub numărul evidențiat conform regulilor de înregistrare folosite la scăderea numerelor naturale dintr-o coloană. Numărul cu care a fost efectuată înmulțirea este scris în locul coeficientului în timpul primei treceri a algoritmului (în trecerile ulterioare de 2-4 puncte ale algoritmului, acest număr este scris în dreapta numerelor deja existente). Când se obține un număr mai mare decât numărul x, atunci sub numărul evidențiat scriem numărul obținut la penultimul pas, iar în locul coeficientului (sau în dreapta numerelor deja existente) scriem numărul prin pe care înmulţirea s-a efectuat la penultimul pas. (Am efectuat acțiuni similare în cele două exemple discutate mai sus).

Înmulțiți divizorul 4 cu numerele 0, 1, 2, ... până când obținem un număr care este egal cu 14 sau mai mare decât 14. Avem 4·0=0<14 , 4·1=4<14 , 4·2=8<14 , 4·3=12<14 , 4·4=16>14 . Întrucât la ultimul pas am primit numărul 16, care este mai mare decât 14, atunci sub numărul evidențiat scriem numărul 12, care a fost obținut la penultimul pas, iar în locul coeficientului scriem numărul 3, deoarece în penultimul punct înmulțirea a fost efectuată tocmai de acesta.


În această etapă, din numărul selectat, scădeți numărul aflat sub acesta folosind o coloană. Rezultatul scăderii se scrie sub linia orizontală. Cu toate acestea, dacă rezultatul scăderii este zero, atunci nu trebuie să fie notat (cu excepția cazului în care scăderea în acel moment este ultima acțiune care completează complet procesul de împărțire lungă). Aici, pentru propriul control, nu ar fi greșit să comparați rezultatul scăderii cu divizorul și să vă asigurați că este mai mic decât divizorul. Altfel, undeva s-a făcut o greșeală.

Trebuie să scădem numărul 12 din numărul 14 cu o coloană (pentru corectitudinea înregistrării, trebuie să ne amintim să punem un semn minus în stânga numerelor care se scad). După finalizarea acestei acțiuni, numărul 2 a apărut sub linia orizontală. Acum ne verificăm calculele comparând numărul rezultat cu divizorul. Deoarece numărul 2 este mai mic decât divizorul 4, puteți trece în siguranță la următorul punct.


Acum, sub linia orizontală din dreapta numerelor aflate acolo (sau în dreapta locului unde nu am notat zero), notăm numărul aflat în aceeași coloană în notația dividendului. Dacă nu există numere în înregistrarea dividendului din această coloană, atunci împărțirea după coloană se termină acolo. După aceasta, selectăm numărul format sub linia orizontală, îl acceptăm ca număr de lucru și repetăm ​​punctele de la 2 la 4 ale algoritmului cu acesta.

Sub linia orizontală din dreapta numărului 2 aflat deja acolo, notăm numărul 0, deoarece este numărul 0 care se află în înregistrarea dividendului 140.288 în această coloană. Astfel, numărul 20 se formează sub linia orizontală.


Selectăm acest număr 20, îl luăm ca număr de lucru și repetăm ​​cu el acțiunile celui de-al doilea, al treilea și al patrulea punct al algoritmului.

Înmulțiți divizorul 4 cu 0, 1, 2, ... până când obținem numărul 20 sau un număr care este mai mare decât 20. Avem 4·0=0<20 , 4·1=4<20 , 4·2=8<20 , 4·3=12<20 , 4·4=16<20 , 4·5=20 . Так как мы получили число, равное числу 20 , то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3 записываем число 5 (на него производилось умножение).


Efectuăm scăderea într-o coloană. Deoarece scădem numere naturale egale, atunci, în virtutea proprietății de a scădea numere naturale egale, rezultatul este zero. Nu notăm zero (deoarece aceasta nu este etapa finală a împărțirii cu o coloană), dar ne amintim locul unde l-am putea scrie (pentru comoditate, vom marca acest loc cu un dreptunghi negru).


Sub linia orizontală din dreapta locului amintit notăm numărul 2, deoarece tocmai acesta se află în înregistrarea dividendului 140.288 în această coloană. Astfel, sub linia orizontală avem numărul 2.


Luăm numărul 2 ca număr de lucru, îl marchem și va trebui din nou să efectuăm acțiunile a 2-4 puncte ale algoritmului.

Înmulțim divizorul cu 0, 1, 2 și așa mai departe și comparăm numerele rezultate cu numărul marcat 2. Avem 4·0=0<2 , 4·1=4>2. Prin urmare, sub numărul marcat scriem numărul 0 (a fost obținut la penultimul pas), iar în locul câtului din dreapta numărului deja acolo scriem numărul 0 (am înmulțit cu 0 la penultimul pas). ).


Efectuăm scăderea într-o coloană, obținem numărul 2 sub linia orizontală. Ne verificăm prin compararea numărului rezultat cu divizorul 4. Din 2<4 , то можно спокойно двигаться дальше.


Sub linia orizontală din dreapta numărului 2, adăugați numărul 8 (deoarece se află în această coloană în intrarea pentru dividendul 140 288). Astfel, numărul 28 apare sub linia orizontală.


Luăm acest număr ca număr de lucru, îl marcam și repetăm ​​pașii 2-4.

Nu ar trebui să fie probleme aici dacă ai fost atent până acum. După parcurgerea tuturor pașilor necesari, se obține următorul rezultat.

Tot ce rămâne este să efectuați pentru ultima dată pașii de la punctele 2, 3, 4 (vă lăsăm acest lucru), după care veți obține o imagine completă a împărțirii numerelor naturale 140,288 și 4 într-o coloană:

Vă rugăm să rețineți că numărul 0 este scris în linia de jos. Dacă acesta nu ar fi ultimul pas al împărțirii după o coloană (adică dacă în evidența dividendului ar fi rămas numere în coloanele din dreapta), atunci nu am scrie acest zero.

Astfel, uitându-ne la înregistrarea completă a împărțirii numărului natural cu mai multe cifre 140.288 la numărul natural cu o singură cifră 4, vedem că câtul este numărul 35.072 (și restul diviziunii este zero, este în partea de jos linia).

Desigur, atunci când împărțiți numerele naturale la o coloană, nu veți descrie toate acțiunile dvs. atât de detaliat. Soluțiile dvs. vor arăta ceva ca următoarele exemple.

Exemplu.

Efectuați împărțirea lungă dacă dividendul este 7136 și divizorul este un număr natural de o singură cifră 9.

Soluţie.

La primul pas al algoritmului de împărțire a numerelor naturale pe coloane, obținem o înregistrare a formei

După efectuarea acțiunilor din al doilea, al treilea și al patrulea punct al algoritmului, înregistrarea diviziunii coloanei va lua forma

Repetând ciclul, vom avea

Încă o trecere ne va oferi o imagine completă a împărțirii pe coloane a numerelor naturale 7.136 și 9.

Astfel, câtul parțial este 792, iar restul este 8.

Răspuns:

7 136:9=792 (resta. 8).

Și acest exemplu demonstrează cum ar trebui să arate diviziunea lungă.

Exemplu.

Împărțiți numărul natural 7.042.035 la numărul natural de o singură cifră 7.

Soluţie.

Cel mai convenabil mod de a face împărțirea este pe coloană.

Răspuns:

7 042 035:7=1 006 005 .

Împărțirea pe coloane a numerelor naturale din mai multe cifre

Ne grăbim să vă mulțumim: dacă ați stăpânit bine algoritmul de împărțire a coloanelor din paragraful anterior al acestui articol, atunci aproape că știți deja cum să efectuați împărțirea pe coloană a numerelor naturale din mai multe cifre. Acest lucru este adevărat, deoarece etapele 2 până la 4 ale algoritmului rămân neschimbate și doar modificări minore apar în primul punct.

În prima etapă a împărțirii numerelor naturale cu mai multe cifre într-o coloană, trebuie să vă uitați nu la prima cifră din stânga în notația dividendului, ci la numărul acestora egal cu numărul de cifre conținut în notație. a divizorului. Dacă numărul definit de aceste numere este mai mare decât divizorul, atunci în paragraful următor trebuie să lucrăm cu acest număr. Dacă acest număr este mai mic decât divizorul, atunci trebuie să adăugăm la considerație următoarea cifră din stânga în notația dividendului. După aceasta, acțiunile specificate la paragrafele 2, 3 și 4 ale algoritmului sunt efectuate până la obținerea rezultatului final.

Tot ce rămâne este să vedem aplicarea algoritmului de împărțire a coloanelor pentru numere naturale cu valori multiple în practică atunci când rezolvăm exemple.

Exemplu.

Să efectuăm împărțirea pe coloană a numerelor naturale din mai multe cifre 5.562 și 206.

Soluţie.

Deoarece divizorul 206 conține 3 cifre, ne uităm la primele 3 cifre din stânga în dividendul 5.562. Aceste numere corespund numărului 556. Deoarece 556 este mai mare decât divizorul 206, luăm numărul 556 ca număr de lucru, îl selectăm și trecem la următoarea etapă a algoritmului.

Acum înmulțim divizorul 206 cu numerele 0, 1, 2, 3, ... până când obținem un număr care este fie egal cu 556, fie mai mare decât 556. Avem (dacă înmulțirea este dificilă, atunci este mai bine să înmulțim numerele naturale într-o coloană): 206 0 = 0<556 , 206·1=206<556 , 206·2=412<556 , 206·3=618>556. Deoarece am primit un număr care este mai mare decât numărul 556, atunci sub numărul evidențiat scriem numărul 412 (a fost obținut la penultimul pas), iar în locul coeficientului scriem numărul 2 (deoarece am înmulțit cu acesta la penultimul pas). Intrarea de împărțire a coloanei are următoarea formă:

Efectuăm scăderea coloanelor. Obținem diferența 144, acest număr este mai mic decât divizorul, astfel încât puteți continua în siguranță să efectuați acțiunile necesare.

Sub linia orizontală din dreapta numărului de acolo scriem numărul 2, deoarece se află în înregistrarea dividendului 5562 în această coloană:

Acum lucrăm cu numărul 1.442, îl selectăm și trecem din nou prin pașii doi până la patru.

Înmulțiți divizorul 206 cu 0, 1, 2, 3, ... până când obțineți numărul 1442 sau un număr care este mai mare decât 1442. Să mergem: 206·0=0<1 442 , 206·1=206<1 442 , 206·2=412<1 332 , 206·3=618<1 442 , 206·4=824<1 442 , 206·5=1 030<1 442 , 206·6=1 236<1 442 , 206·7=1 442 . Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442 , а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7 :

Efectuăm scăderea într-o coloană, obținem zero, dar nu o notăm imediat, doar ne amintim poziția sa, pentru că nu știm dacă împărțirea se termină aici sau dacă va trebui să repetăm din nou pașii algoritmului:

Acum vedem că nu putem scrie niciun număr sub linia orizontală din dreapta poziției amintite, deoarece nu există cifre în înregistrarea dividendului din această coloană. Prin urmare, aceasta completează împărțirea după coloană și completăm intrarea:

• Matematică. Orice manuale pentru clasele I, a II-a, a III-a, a IV-a din instituțiile de învățământ general.
• Matematică. Orice manuale pentru clasa a V-a a instituțiilor de învățământ general.