Как из смешанного числа сделать неправильную дробь. Смешанные числа, перевод смешанного числа в неправильную дробь и обратно

Каждый современный человек в школьную бытность во время решения математических задач нередко сталкивался с разнообразными задачками на дроби. Их достаточно много, потому имеет смысл рассмотреть различные варианты решения самых основных подобных задач.

Правильные и неправильные дроби

Верхнее число у любой дроби носит название числителя, в то время, как нижнее число – это знаменатель. Обыкновенные дроби - это частные от двух чисел, причем, одно из этих них находится в числителе у дроби, а второе, соответственно, является знаменателем этой дроби. Виды таких обыкновенных дробей определяются сравнением значений их знаменателя и числителя.

Правильная дробь

В том случае, когда знаменатель у дроби является натуральным числом, которое по своему значению больше ее числителя, также натурального числа, то дробь носит название правильной. Примерами таких могут быть: 8/19; 9/14; 31/162; 5/37 и так далее.

Если же знаменатель у дроби меньше, либо же равен ее числителю, то такая дробь уже называется неправильной. Например, это такие, как: 7/4; 19/6; 15/3; 231/83 и тому подобные.

Зачем переводится неправильная дробь в правильную?

Такая математическая манипуляция необходима, если выполняется действие с несколькими дробями, например, их слагают.

Совет

Если есть смешанная дробь, то сначала ее следует перевести в неправильную, потом уже выполнять другие математические действия.

Переведение в неправильную дробь

Чтобы какую-нибудь смешанную дробь превратить в неправильную, потребуется, для начала, целую ее часть умножить на знаменатель ее дробной части, а потом добавить числитель к данному произведению. Далее сумма берется, как числитель, но при том же самом, что и прежде знаменателе. Для осуществления перевода неправильной дроби в правильную, потребуется числитель такой неправильной дроби поделить на ее знаменатель. Далее, полученное таким путем целое число следует взять целой частью дроби, в то время, как остаток, если он, конечно, есть, сделать числителем дробной части у правильной дроби. Знаменатель пишется тот же самый, что и был. Чтобы перевести какую-либо неправильную дробь в десятичную, надо сначала выяснить, существует ли вообще такой множитель, который позволяет привести знаменатель ее дробной части в неправильном формате к числу, которое равняется десяти или десятке, возведенной в любую степень. То есть, 10, 100, 1000 и так далее. Если же такой множитель имеется, то следует умножить как числитель, так и знаменатель у неправильной дроби на данный множитель, тем самым как бы проверяя его. А после умноженный числитель потребуется через запятую приписать к целой части у неправильной дроби.

Нельзя перевести с округлением до десятых

В том случае, когда подобного множителя, как такового, не существует, это обозначает, что такая неправильная дробь не имеет четкого эквивалента в десятичной форме. Проще говоря, далеко не каждую из неправильных дробей представляется возможным перевести, сделав десятичной. В таком случае, потребуется найти приблизительное, максимально соответствующее значение дроби. Тут все зависит от требуемой в условии той ли иной задачи степени точности. Просчитать данную дробь проще всего на калькуляторе, но можно это также в уме или банально в столбик. Например, «41/7 = 5(6/7) = 5,9», это с округлением до десятых, или «= 5,86», когда требуется округлять до сотых, а также «= 5,857», если действует округление до тысячных. Многие из дробей четко в десятичные не переводятся, потому считать их проще не в уме и не в столбик, а посредством калькулятора.

Вывод:

Без манипуляций с дробями не представляется возможным ни один школьный курс математики. Да и в повседневности редко приходится иметь дело лишь с целыми числами, а потому переводить правильные дроби в неправильные, либо превращать в такие смешанные дроби нужно уметь каждому. Это очень просто и потому запомнить, как следует это делать, можно буквально после пары практических примеров, решенных на бумаге, а затем и вообще - в уме. С десятичными дробями ситуация несколько иная и не все можно точно перевести в десятичный вид.

Каждый человек при решении задач с математики нередко сталкивался с задачами на дроби. Их очень много, поэтому мы рассмотрим разные варианты решения основных таких задач.

Что такое дроби

Верхнее число любой дроби называется числителем, а нижнее число - знаменателем. Обыкновенная дробь - это частное двух чисел, одно из этих чисел - в числителе дроби, второе - в знаменателе дроби. Виды этих обыкновенных дробей будут определяться сравнением знаменателя и числителя дроби.

Ежели знаменатель дроби (натуральное число) больше числителя дроби (натуральное число), то дробь называется правильной. Приведем примеры: 7/19; 9/13; 31/152; 5/17.

Если знаменатель дроби (натуральное число) меньше или равен числителю дроби (натуральное число), то дробь называется неправильной. Приведем примеры: 7/5; 19/3; 15/9; 231/63.

Как перевести неправильную дробь

Чтобы смешанную дробь перевести в неправильную, необходимо целую часть дроби умножить на знаменатель в дробной части и добавить числитель к этому произведению. Потом сумму взять как числитель, написав тот же, что и прежде знаменатель. Приведем примеры:

• 4(3/11) = (4x11+3)/11 = (44+3)/11 = 47/11.
• 11(5/9) = (11x9+5)/9 = (99+5)/9 = 104/9.

Для перевода неправильной дроби в правильную, необходимо числитель этой неправильной дроби разделить на ее знаменатель. Полученное, при этом, целое число взять целой частью дроби, ну а остаток (конечно, если он есть) взять как числитель дробной части правильной дроби, написав тот же, что и прежде знаменатель. Приведем примеры:

• 150/13 = (143/13)+(7/13) = 11(7/13).
• 156/12 = (13x12)/12 = 13.

Для перевода неправильной дроби в десятичную необходимо выяснить, существует ли такой множитель, что позволит привести знаменатель дробной части неправильной дроби к числу, которое равно десятке (или десятке, которая возведена в любую степень (10, 100, 1000 и дальше). Если такой множитель есть, то необходимо умножить числитель и знаменатель неправильной дроби на этот множитель, чтобы проверить его. Теперь умноженный числитель необходимо приписать через запятую к целой части неправильной дроби. Приведем примеры:

• Множитель «5» - 8/20 = (8x5)/(20x5) = 40/100 = 0,4.
• Множитель «4» - 14/25 = (14x4)/(25x4) = 56/100 = 0,56.
• Множитель «25» - 3/40 = (3x25)/(40x25) = 75/1000 = 0,075.

Если такого множителя не существует, это означает, что эта неправильная дробь в десятичной форме не имеет четкого эквивалента. То есть, не каждую неправильную дробь можно перевести в десятичную. В этом случае, Вам необходимо найти приблизительное значение дроби с необходимой для Вас степенью точности. Посчитать такую дробь можно на калькуляторе, в уме или в столбик. Приведем примеры: 41/7 = 5(6/7) = 5,9 (с округлением до десятых), = 5,86 (с округлением до сотых), = 5,857 (с округлением до тысячных); 3/7, 7/6, 1/3 и другие. Также четко не переводятся и считаются на калькуляторе, в уме или в столбик.

Теперь Вы знаете, как перевести неправильную дробь в правильную или десятичную дробь!

При слове "дроби" у многих бегут мурашки. Потому что вспоминается школа и задания, которые решались на математике. Это являлось обязанностью, которую необходимо было выполнить. А что если относиться к заданиям, содержащим правильные и неправильные дроби, как к головоломке? Ведь многие взрослые решают цифровые и японские кроссворды. Разобрались в правилах, и все. Так же и здесь. Стоит только вникнуть в теорию - и все встанет на свои места. А примеры превратятся в способ потренировать мозг.

Какие виды дробей существуют?

Для начала о том, что это такое. Дробь — число, которое имеет некоторую часть от единицы. Ее можно записать в двух видах. Первый носит название обыкновенной. То есть такая, у которой есть горизонтальная или наклонная черта. Она приравнивается к знаку деления.

В такой записи число, стоящее над черточкой, называется числителем, а под ней — знаменателем.

Среди обыкновенных выделяют правильные и неправильные дроби. У первых числитель по модулю всегда меньше знаменателя. Неправильные потому так и называются, что у них все наоборот. Значение правильной дроби всегда меньше единицы. В то время как неправильная всегда больше этого числа.

Есть еще смешанные числа, то есть такие у которых имеются целая и дробная части.

Второй вид записи — десятичная дробь. О ней отдельный разговор.

Чем отличаются неправильные дроби от смешанных чисел?

По своей сути, ничем. Это просто разная запись одного и того же числа. Неправильные дроби после несложных действий легко становятся смешанными числами. И наоборот.

Все зависит от конкретной ситуации. Иногда в заданиях удобнее использовать неправильную дробь. А порой необходимо перевести ее в смешанное число и тогда пример решится очень легко. Поэтому, что использовать: неправильные дроби, смешанные числа, - зависит от наблюдательности решающего задачу.

Смешанное число еще сравнивают с суммой целой части и дробной. Причем вторая всегда меньше единицы.

Как представить смешанное число в виде неправильной дроби?

Если требуется выполнить какое-либо действие с несколькими числами, которые записаны в разных видах, то нужно сделать их одинаковыми. Один из методов — представить числа в виде неправильных дробей.

Для этой цели потребуется выполнить действия по такому алгоритму:

• умножить знаменатель на целую часть;
• прибавить к результату значение числителя;
• записать ответ над чертой;
• знаменатель оставить тем же.

Вот примеры того, как записать неправильные дроби из смешанных чисел:

• 17 ¼ = (17 х 4 + 1) : 4 = 69/4;
• 39 ½ = (39 х 2 + 1) : 2 = 79/2.

Как записать неправильную дробь в виде смешанного числа?

Следующий прием противоположен рассмотренному выше. То есть когда все смешанные числа заменяются на неправильные дроби. Алгоритм действий будет таким:

• разделить числитель на знаменатель до получения остатка;
• записать частное на месте целой части смешанного;
• остаток следует разместить над чертой;
• делитель будет знаменателем.

Примеры такого преобразования:

76/14; 76:14 = 5 с остатком 6; ответом будет 5 целых и 6/14; дробную часть в этом примере нужно сократить на 2, получится 3/7; итоговый ответ — 5 целых 3/7.

108/54; после деления получается частное 2 без остатка; это значит, что не все неправильные дроби удается представить в виде смешанного числа; ответом будет целое — 2.

Как целое число превратить в неправильную дробь?

Бывают ситуации, когда необходимо и такое действие. Чтобы получить неправильные дроби с заранее известным знаменателем, потребуется выполнить такой алгоритм:

• умножить целое число на нужный знаменатель;
• записать это значение над чертой;
• разместить под ней знаменатель.

Самый простой вариант, когда знаменатель равен единице. Тогда ничего умножать не нужно. Достаточно просто написать целое число, которое дано в примере, а под чертой расположить единицу.

Пример : 5 сделать неправильной дробью со знаменателем 3. После умножения 5 на 3 получается 15. Это число будет знаменателем. Ответ задания дробь: 15/3.

Два подхода к решению заданий с разными числами

В примере требуется вычислить сумму и разность, а также произведение и частное двух чисел: 2 целых 3/5 и 14/11.

В первом подходе смешанное число будет представлено в виде неправильной дроби.

После выполнения действий, описанных выше, получится такое значение: 13/5.

Для того чтобы узнать сумму, нужно привести дроби к одинаковому знаменателю. 13/5 после умножения на 11 станет 143/55. А 14/11 после умножения на 5 примет вид: 70/55. Для вычисления суммы нужно только сложить числители: 143 и 70, а потом записать ответ с одним знаменателем. 213/55 — эта неправильная дробь ответ задачи.

При нахождении разности эти же числа вычитаются: 143 - 70 = 73. Ответом будет дробь: 73/55.

При умножении 13/5 и 14/11 не нужно приводить к общему знаменателю. Достаточно перемножить попарно числители и знаменатели. Получится ответ: 182/55.

Так же и при делении. Для правильного решения нужно заменить деление на умножение и перевернуть делитель: 13/5: 14/11 = 13/5 х 11/14 = 143/70.

Во втором подходе неправильная дробь обращается в смешанное число.

После выполнения действий алгоритма 14/11 обратится в смешанное число с целой частью 1 и дробной 3/11.

Во время вычисления суммы нужно сложить целые и дробные части по отдельности. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Итоговый ответ получается 3 целых 48/55. В первом подходе была дробь 213/55. Проверить правильность можно, переведя его в смешанное число. После деления 213 на 55 получается частное 3 и остаток 48. Нетрудно заметить, что ответ правильный.

При вычитании знак «+» заменяется на «-». 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Для проверки ответ из предыдущего подхода нужно перевести в смешанное число: 73 делится на 55 и получается частное 1 и остаток 18.

Для нахождения произведения и частного пользоваться смешанными числами неудобно. Здесь всегда рекомендуется переходить к неправильным дробям.

В этом материале мы разберем такое понятие, как смешанные числа. Начнем, как всегда, с определения и небольших примеров, потом поясним связь смешанных чисел и неправильных дробей. После этого мы изучим, как правильно выделять целую часть из дроби и получать в результате целое число.

Понятие смешанного числа

Если мы возьмем сумму n + a b , где значением n может быть любое натуральное число, а a b представляет из себя правильную обыкновенную дробь, то мы можем записать то же самое, не используя плюс: n a b . Возьмем конкретные числа для ясности: так, 28 + 5 7 – это то же самое, что и 28 5 7 . Запись дроби рядом с целым числом принято называть смешанным числом.

Определение 1

Смешанное число представляет собой такое число, которое равно сумме натурального числа n с правильной обыкновенной дробью a b . В таком случае n является целой частью числа, а a b – его дробной частью.

Из определения следует, что любое смешанное число равно тому, что получится в результате сложения его целой и дробной части. Таким образом, будет выполняться равенство n a b = n + a b .

Его также можно записать в виде n + a b = n a b .

Какие можно привести примеры смешанных чисел? Так, к ним относится 5 1 8 , при этом пятерка – это его целая часть, а одна восьмая – дробная. Еще примеры: 1 1 2 , 234 34 53 , 34000 6 25 .

Выше мы писали, что в дробной части смешанного числа должна стоять только правильная дробь. Иногда можно встретить записи вида 5 22 3 , 75 7 2 . Они не являются смешанными числами, т.к. их дробная часть неправильная. Их нужно понимать как сумму целой и дробной части. Такие числа можно привести к стандартному виду записи смешанных чисел, выделив целую часть из неправильной дроби и добавив ее к 5 и 75 в этих примерах соответственно.

Числа вида 0 3 14 также не относятся к смешанным. Здесь не выполняется первая часть условия: целая часть должна быть представлена только натуральным числом, а нуль им не является.

Как соотносятся между собой неправильные дроби и смешанные числа

Эту связь проще всего проследить на конкретном примере.

Пример 1

Возьмем целый торт и еще три четверти такого же. Согласно правилам сложения, у нас на столе находится 1 + 3 4 торта. Эту сумму можно представить в виде смешанного числа как 1 3 4 торта. Если мы возьмем целый торт и тоже разрежем его на четыре равные части, то у нас на столе будет 7 4 торта. Очевидно, что от разрезания количество не увеличилось, и 1 3 4 = 7 4 .

Наш пример доказывает, что в виде смешанного числа можно представить любую неправильную дробь.

Вернемся к нашим 7 4 торта, оставшимся на столе. Сложим из его кусочков один торт обратно (1 + 3 4) . У нас опять будет 1 3 4 .

Ответ: 7 4 = 1 3 4 .

Мы поняли, как приводить неправильную дробь к виду смешанного числа. Если в числителе неправильной дроби стоит такое число, которое можно разделить на знаменатель без остатка, то можно сделать это, и тогда наша неправильная дробь станет натуральным числом.

Пример 2

Например,

8 4 = 2 , так как 8: 4 = 2 .

Как перевести смешанное число в неправильную дробь

Чтобы успешно решать задачи, полезно уметь производить и обратное действие, то есть делать из смешанных чисел неправильные дроби. В этом пункте мы разберем, как правильно это сделать.

Для этого нужно воспроизвести следующую последовательность действий:

1. Для начала представляем имеющееся смешанное число n a b как сумму целой и дробной части. Получается n + a b

3.После этого выполняем уже знакомое действие – складываем две обыкновенные дроби n 1 и a b . Получившаяся в результате неправильная дробь и будет равной смешанному числу, данному в условии.

Разберем это действие на конкретном примере.

Пример 3

Представьте 5 3 7 в виде неправильной дроби.

Решение

Выполняем последовательно шаги указанного выше алгоритма. Наше число 5 3 7 – это сумма целой и дробной части, то есть 5 + 3 7 . Теперь пятерку запишем в виде 5 1 . У нас получилась сумма 5 1 + 3 7 .

Последний шаг – сложение дробей, имеющих разные знаменатели:

5 1 + 3 7 = 35 7 + 3 7 = 38 7

Все решение к краткой форме можно записать как 5 3 7 = 5 + 3 7 = 5 1 + 3 7 = 35 7 + 3 7 = 38 7 .

Ответ: 5 3 7 = 38 7 .

Таким образом, с помощью указанной выше цепочки действий мы можем перевести любое смешанное число n a b в неправильную дробь. У нас получилась формула n a b = n · b + a b , которую мы и будем брать для решения дальнейших задач.

Пример 4

Представьте 15 2 5 в виде неправильной дроби.

Решение

Возьмем указанную формулу и подставим в нее нужные значения. У нас n = 15 , a = 2 , b = 5 , следовательно, 15 2 5 = 15 · 5 + 2 5 = 77 5 .

Ответ: 15 2 5 = 77 5 .

Обычно мы не указываем неправильную дробь в качестве итогового ответа. Принято доводить вычисления до конца и заменять ее либо натуральным числом (разделив числитель на знаменатель), либо смешанным числом. Как правило, первый способ используется, когда разделить числитель на знаменатель можно без остатка, а второй – если такое действие невозможно.

Когда мы выделяем из неправильной дроби целую часть, мы просто заменяем ее равным смешанным числом.

Разберем, как именно это делается.

Определение 2

Приведем доказательство этого утверждения.

Нам требуется пояснить, почему q r b = a b . Для этого смешанное число q r b надо представить в виде неправильной дроби, выполнив все шаги алгоритма из предыдущего пункта. Поскольку – неполное частное, а r – остаток от деления a на b , то должно выполняться равенство a = b · q + r .

Таким образом, q · b + r b = a b поэтому q r b = a b . Это и есть доказательство нашего утверждения. Подытожим:

Определение 3

Выделение целой части из неправильной дроби a b осуществляется таким образом:

1) производим деление a на b с остатком и записываем неполное частное q и остаток r отдельно.

2) Записываем результаты в виде q r b . Это и есть наше смешанное число, равное исходной неправильной дроби.

Пример 5

Представьте 107 4 в виде смешанного числа.

Решение

Делим 104 на 7 столбиком:

Деление числителя a = 118 на знаменатель b = 7 дает нам в итоге неполное частное q = 16 и остаток r = 6 .

В итоге мы получаем, что неправильная дробь 118 7 равна смешанному числу q r b = 16 6 7 .

Ответ: 118 7 = 16 6 7 .

Нам осталось посмотреть, как заменить неправильную дробь натуральным числом (при условии, что ее числитель делится на знаменатель без остатка).

Для этого вспомним, какая связь существует между обыкновенными дробями и делением. Из этого можно вывести равенства: a b = a: b = c . Получается, что неправильную дробь a b можно заменить натуральным числом c .

Пример 6

Например, если в ответе получилась неправильная дробь 27 3 , то можем записать вместо нее 9 , поскольку 27 3 = 27: 3 = 9 .

Ответ: 27 3 = 9 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Дробь в математике — число, состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы. Дроби являются частью поля рациональных чисел. По способу записи дроби делятся на 2 формата: обыкновенные вида и десятичные .

Числитель дроби — число, показывающее количество взятых долей (находится в верхней части дроби - над чертой). Знаменатель дроби — число, показывающее, на сколько долей разделена единица (находится под чертой - в нижней части). , в свою очередь делятся на: правильные и неправильные , смешанные и составные тесно связаны с единицами измерения. 1 метр содержит в себе 100 см. Что означает, что 1 м разделён на 100 равных долей. Таким образом, 1 см = 1/100 м (один сантиметр равен одной сотой метра).

или 3/5 (три пятых), здесь 3 — числитель, 5 — знаменатель. Если числитель меньше знаменателя, то дробь меньше единицы и называется правильной :

Если числитель равен знаменателю, дробь равна единице. Если числитель больше знаменателя, дробь больше единицы. В обоих последних случаях дробь называется неправильной :

Чтобы выделить наибольшее целое число , содержащееся в неправильной дроби, нужно разделить числитель на знаменатель. Если деление выполняется без остатка, то взятая неправильная дробь равна частному:

Если деление выполняется с остатком, то (неполное) частное дает искомое целое число, остаток же становится числителем дробной части; знаменатель дробной части остается прежним.

Число, содержащее целую и дробную части, называется смешанным . Дробная часть смешанного числа может быть и неправильной дробью . Тогда можно из дробной части выделить наибольшее целое число и представить смешанное число в таком виде, чтобы дробная часть стала правильной дробью (или вовсе исчезла).