Zamiana błędu bezwzględnego na błąd względny. Błąd bezwzględny i względny obliczeń

Bezwzględny i względny błąd liczb.

Jako charakterystykę dokładności przybliżonych wielkości dowolnego pochodzenia wprowadzono pojęcia błędów bezwzględnych i względnych tych wielkości.

Oznaczmy przez przybliżenie dokładnej liczby A.

Definiować. Ilość nazywa się błędem przybliżonej liczbya.

Definicja. Absolutny błąd przybliżona liczba a nazywana jest ilością
.

Praktycznie dokładna liczba A jest zwykle nieznana, ale zawsze możemy wskazać granice, w których waha się błąd bezwzględny.

Definicja. Maksymalny błąd bezwzględny przybliżona liczba a nazywana jest najmniejszą z górnych granic wielkości , które można znaleźć stosując tę ​​metodę uzyskiwania liczby.

W praktyce jako wybierz jedną z górnych granic dla , całkiem blisko najmniejszego.

Ponieważ
, To
. Czasami piszą:
.

Absolutny błąd jest różnicą pomiędzy wynikiem pomiaru

i prawdziwą (rzeczywistą) wartość zmierzona ilość.

Błąd bezwzględny i maksymalny błąd bezwzględny nie są wystarczające do scharakteryzowania dokładności pomiaru lub obliczeń. Jakościowo wielkość błędu względnego jest bardziej znacząca.

Definicja. Względny błąd Liczbę przybliżoną nazywamy ilością:

Definicja. Maksymalny błąd względny przybliżona liczba, nazwijmy ją ilością

Ponieważ
.

Zatem błąd względny faktycznie określa wielkość błędu bezwzględnego na jednostkę zmierzonej lub obliczonej przybliżonej liczby a.

Przykład. Zaokrąglij dokładne liczby A do trzech cyfr znaczących, określ

błędy bezwzględne D i względne δ uzyskanego przybliżenia

Dany:

Znajdować:

∆-błąd bezwzględny

δ – błąd względny

Rozwiązanie:

=|-13.327-(-13.3)|=0.027

,A 0

*100%=0.203%

Odpowiedź:=0,027; δ=0,203%

2. Zapis dziesiętny liczby przybliżonej. Znacząca postać. Poprawne cyfry liczb (definicja cyfr poprawnych i znaczących, przykłady; teoria związku błędu względnego z liczbą cyfr poprawnych).

Poprawne znaki liczbowe.

Definicja. Cyfrą znaczącą liczby przybliżonej a jest dowolna cyfra różna od zera i zero, jeśli znajduje się pomiędzy cyframi znaczącymi lub reprezentuje zapisane miejsce po przecinku.

Na przykład w liczbie 0,00507 =
mamy 3 cyfry znaczące, a w liczbie 0,005070=
cyfry znaczące, tj. zero po prawej stronie, z zachowaniem miejsca dziesiętnego, jest znaczące.

Od tej chwili zgódźmy się na pisanie zer po prawej stronie, jeśli tylko są one znaczące. Innymi słowy, wtedy

Wszystkie cyfry a są znaczące, z wyjątkiem zer po lewej stronie.

W systemie liczb dziesiętnych dowolną liczbę a można przedstawić jako sumę skończoną lub nieskończoną (ułamek dziesiętny):

Gdzie
,
- pierwsza znacząca cyfra, m - liczba całkowita zwana najbardziej znaczącym miejscem po przecinku liczby a.

Na przykład 518,3 =, m=2.

Korzystając z notacji, wprowadzamy pojęcie poprawnych miejsc po przecinku (w cyfrach znaczących) w przybliżeniu -

pierwszego dnia.

Definicja. Mówi się, że w przybliżonej liczbie a postaci n są pierwszymi cyframi znaczącymi ,

gdzie i= m, m-1,..., m-n+1 są poprawne, jeśli błąd bezwzględny tej liczby nie przekracza połowy jednostki cyfry wyrażonej n-tą cyfrą znaczącą:

W przeciwnym razie ostatnia cyfra
nazwać wątpliwym.

Podczas zapisywania liczby przybliżonej bez wskazania jej błędu wymagane jest podanie wszystkich zapisanych liczb

byli wierni. Wymóg ten jest spełniony we wszystkich tablicach matematycznych.

Określenie „n poprawnych cyfr” charakteryzuje jedynie stopień dokładności liczby przybliżonej i nie należy rozumieć w ten sposób, że pierwszych n cyfr znaczących liczby przybliżonej a pokrywa się z odpowiadającymi im cyframi dokładnej liczby A. Przykładowo, dla liczby A = 10, a = 9,997, wszystkie cyfry znaczące są różne, ale liczba a ma 3 ważne cyfry znaczące. Rzeczywiście, tutaj m=0 i n=3 (znalezimy to przez selekcję).

W naszych czasach człowiek wynalazł i wykorzystuje ogromną różnorodność wszelkiego rodzaju przyrządów pomiarowych. Ale niezależnie od tego, jak doskonała jest technologia ich produkcji, wszystkie mają większy lub mniejszy błąd. Parametr ten z reguły jest wskazany na samym instrumencie i aby ocenić dokładność określanej wartości, musisz zrozumieć, co oznaczają liczby wskazane na oznaczeniu. Ponadto podczas skomplikowanych obliczeń matematycznych nieuchronnie powstają błędy względne i bezwzględne. Jest szeroko stosowany w statystyce, przemyśle (kontrola jakości) i wielu innych obszarach. Jak obliczana jest ta wartość i jak interpretować jej wartość - dokładnie to zostanie omówione w tym artykule.

Absolutny błąd

Oznaczmy przez x przybliżoną wartość wielkości, otrzymaną np. w wyniku pojedynczego pomiaru, a przez x 0 jej dokładną wartość. Teraz obliczmy wielkość różnicy między tymi dwiema liczbami. Błąd bezwzględny to dokładnie taka wartość, jaką otrzymaliśmy w wyniku tej prostej operacji. W języku formuł tę definicję można zapisać w następującej postaci: Δ x = | x - x 0 |.

Względny błąd

Odchylenie bezwzględne ma jedną istotną wadę – nie pozwala ocenić stopnia istotności błędu. Przykładowo kupujemy na targu 5 kg ziemniaków, a pozbawiony skrupułów sprzedawca, mierząc wagę, popełnił błąd 50 gramów na swoją korzyść. Oznacza to, że błąd bezwzględny wynosił 50 gramów. Dla nas takie niedopatrzenie będzie drobnostką i nawet nie zwrócimy na to uwagi. Wyobraź sobie, co się stanie, jeśli podobny błąd pojawi się podczas przygotowywania leku? Tutaj wszystko będzie znacznie poważniejsze. A podczas załadunku wagonu towarowego odchylenia prawdopodobnie będą znacznie większe niż ta wartość. Dlatego sam błąd bezwzględny nie jest zbyt pouczający. Oprócz tego bardzo często dodatkowo obliczają odchylenie względne, które jest równe stosunkowi błędu bezwzględnego do dokładnej wartości liczby. Zapisuje się to za pomocą następującego wzoru: δ = Δ x / x 0 .

Właściwości błędu

Załóżmy, że mamy dwie niezależne wielkości: x i y. Musimy obliczyć odchylenie przybliżonej wartości ich sumy. W tym przypadku możemy obliczyć błąd bezwzględny jako sumę wcześniej obliczonych odchyleń bezwzględnych każdego z nich. W niektórych pomiarach może się zdarzyć, że błędy w wyznaczeniu wartości x i y znoszą się wzajemnie. Może się też zdarzyć, że w wyniku dodawania odchyłki maksymalnie się nasilą. Dlatego przy obliczaniu całkowitego błędu bezwzględnego należy wziąć pod uwagę najgorszy scenariusz. To samo dotyczy różnicy między błędami kilku wielkości. Ta właściwość jest charakterystyczna tylko dla błędu bezwzględnego i nie można jej zastosować do odchylenia względnego, ponieważ nieuchronnie doprowadzi to do nieprawidłowego wyniku. Przyjrzyjmy się tej sytuacji na następującym przykładzie.

Załóżmy, że pomiary wewnątrz cylindra wykazały, że promień wewnętrzny (R 1) wynosi 97 mm, a promień zewnętrzny (R 2) wynosi 100 mm. Konieczne jest określenie grubości jego ściany. Najpierw znajdźmy różnicę: h = R 2 - R 1 = 3 mm. Jeśli problem nie wskazuje, jaki jest błąd bezwzględny, wówczas przyjmuje się go jako połowę podziału skali urządzenia pomiarowego. Zatem Δ(R 2) = Δ(R 1) = 0,5 mm. Całkowity błąd bezwzględny wynosi: Δ(h) = Δ(R 2) + Δ(R 1) = 1 mm. Obliczmy teraz względne odchylenie wszystkich wartości:

δ(R 1) = 0,5/100 = 0,005,

δ(R 1) = 0,5/97 ≈ 0,0052,

δ(h) = Δ(h)/h = 1/3 ≈ 0,3333>> δ(R 1).

Jak widać błąd pomiaru obu promieni nie przekracza 5,2%, a błąd obliczenia ich różnicy – ​​grubości ścianki cylindra – wyniósł aż 33,(3)%!

Następująca właściwość stwierdza: względne odchylenie iloczynu kilku liczb jest w przybliżeniu równe sumie względnych odchyleń poszczególnych czynników:

δ(xy) ≈ δ(x) + δ(y).

Co więcej, zasada ta obowiązuje niezależnie od liczby ocenianych wartości. Trzecią i ostatnią właściwością błędu względnego jest względne oszacowanie liczby k-ty stopień mniej więcej w | k | razy błąd względny pierwotnej liczby.

W tym temacie napiszę coś w rodzaju krótkiej ściągawki na temat błędów. Ponownie, tekst ten nie jest w żaden sposób oficjalny i odwoływanie się do niego jest niedopuszczalne. Byłbym wdzięczny za poprawienie wszelkich błędów i nieścisłości, które mogły pojawić się w tym tekście.

Co to jest błąd?

Zapisanie wyniku doświadczenia w postaci () oznacza, że ​​jeśli przeprowadzimy wiele identycznych doświadczeń, to w 70% uzyskane wyniki będą mieścić się w przedziale, a w 30% nie.

Lub, co jest tym samym, jeśli powtórzymy eksperyment, nowy wynik będzie mieścić się w przedziale ufności z prawdopodobieństwem równym prawdopodobieństwu ufności.

Jak zaokrąglić błąd i wynik?

Błąd jest zaokrąglony do pierwszej znaczącej cyfry, jeśli nie jest to jeden. Jeśli jeden - to maksymalnie dwa. W której znacząca postać wywoływana jest dowolna cyfra wyniku z wyjątkiem zer wiodących.

Zaokrąglij do lub lub ale pod żadnym pozorem lub , ponieważ istnieją 2 cyfry znaczące - 2 i 0 po dwójce.

Zaokrąglij w górę do lub

Zaokrąglij w górę do lub Lub

Wynik zaokrąglamy tak, aby ostatnia znacząca cyfra wyniku odpowiadała ostatniej znaczącej cyfrze błędu.

Przykłady poprawny wpis:

mm

Hm, ograniczmy tutaj błąd do 2 cyfr znaczących, ponieważ pierwszą znaczącą cyfrą błędu jest jeden.

mm

Przykłady błędny wpis:

Mhm. Tutaj w rezultacie dodatkowy znak. mm będzie prawidłowe.

mm. Tutaj dodatkowy znak zarówno w błędzie, jak i w rezultacie. mm będzie prawidłowe.

W swojej pracy podaną mi wartość posługuję się po prostu liczbą. Na przykład masa ciężarków. Jaki jest jego margines błędu?

Jeśli błąd nie jest wyraźnie wskazany, możesz wziąć jeden z ostatniej cyfry. Oznacza to, że jeśli zapisano m = 1,35 g, wówczas błąd należy przyjąć jako 0,01 g.

Istnieje funkcja kilku wielkości. Każda z tych wielkości ma swój własny błąd. Aby znaleźć błąd funkcji, wykonaj następujące czynności:

Symbol oznacza pochodną cząstkową f względem x. Przeczytaj więcej o pochodnych cząstkowych.

Załóżmy, że zmierzyłeś tę samą ilość X kilka (n) razy. Otrzymaliśmy zestaw wartości. . Musisz obliczyć błąd rozproszenia, obliczyć błąd instrumentu i dodać je do siebie.

Punkty.

1. Obliczamy błąd rozrzutu

Jeśli wszystkie wartości się pokrywają, nie masz spreadu. W przeciwnym razie należy obliczyć błąd rozproszenia. Na początek oblicza się pierwiastek średniokwadratowy błędu średniej:

Tutaj oznacza to średnią ze wszystkich.
Błąd rozproszenia oblicza się, mnożąc pierwiastek średniokwadratowy błędu średniej przez współczynnik Studenta, który zależy od wybranego prawdopodobieństwa ufności i liczby pomiarów N:

Bierzemy współczynniki Studenta z poniższej tabeli. Prawdopodobieństwo ufności jest generowane arbitralnie, liczba pomiarów N my też wiemy.

2. Rozważamy błąd instrumentu średniej

Jeśli błędy różnych punktów są różne, to zgodnie ze wzorem

Naturalnie prawdopodobieństwo ufności wszystkich powinno być takie samo.

3. Dodaj średnią ze spreadem

Błędy zawsze sumują się jako pierwiastek kwadratów:

W takim przypadku należy upewnić się, że prawdopodobieństwa ufności, z którymi zostały obliczone, i pokrywają się.

Jak określić błąd przyrządu średniej z wykresu? Otóż ​​stosując metodę punktów sparowanych lub metodę najmniejszych kwadratów znajdziemy błąd w rozkładzie średniego oporu. Jak znaleźć błąd przyrządu średniej rezystancji?

Zarówno metoda najmniejszych kwadratów, jak i metoda punktów sparowanych mogą dać ścisłą odpowiedź na to pytanie. Dla forum najmniejszych kwadratów w Swietozarowie istnieje („Podstawy…”, rozdział o metodzie najmniejszych kwadratów), a dla punktów sparowanych pierwszą rzeczą, która przychodzi na myśl (w czole, jak to mówią) jest obliczenie instrumentalnej błąd każdego współczynnika kątowego. Cóż, dalej we wszystkich punktach...

Jeśli nie chcesz cierpieć, w podręcznikach laboratoryjnych jest na to prosty sposób oceny błąd przyrządu współczynnika kątowego, a mianowicie z następującego MNC (na przykład przed pracą 1 w zeszycie laboratoryjnym „Elektryczne przyrządy pomiarowe…”, ostatnia strona Zaleceń metodologicznych).

Gdzie jest maksymalne odchylenie wzdłuż osi Y punktu z błędem od narysowanej linii prostej, a mianownikiem jest szerokość obszaru naszego wykresu wzdłuż osi Y. Podobnie dla osi X.

Klasa dokładności jest podana na magazynku oporowym: 0,05/4*10^-6? Jak znaleźć z tego błąd instrumentu?

Oznacza to, że maksymalny błąd względny urządzenia (w procentach) ma postać:
, Gdzie
- najwyższa wartość rezystancja przechowywania, a jest wartością nominalną zawartej rezystancji.
Łatwo zauważyć, że drugi człon jest ważny, gdy pracujemy przy bardzo niskich rezystancjach.

Więcej szczegółów można zawsze znaleźć w paszporcie urządzenia. Paszport można znaleźć w Internecie wpisując markę urządzenia w Google.

Literatura o błędach

Dużo więcej informacji na ten temat można znaleźć w książce polecanej studentom pierwszego roku:
V.V. Svetozarov „Elementarne przetwarzanie wyników pomiarów”

Jako literaturę dodatkową (dla studentów pierwszego roku) możemy polecić:
V.V. Svetozarov „Podstawy statystycznego przetwarzania wyników pomiarów”

A ci, którzy chcą w końcu wszystko zrozumieć, powinni zdecydowanie zajrzeć tutaj:
J. Taylora. „Wprowadzenie do teorii błędu”

Dziękujemy za znalezienie i opublikowanie tych wspaniałych książek na swojej stronie.

Prawdziwe znaczenie wielkość fizyczna Prawie niemożliwe jest określenie absolutnie dokładne, ponieważ każda operacja pomiarowa wiąże się z szeregiem błędów, czyli innymi słowy niedokładności. Przyczyny błędów mogą być bardzo różne. Ich występowanie może być związane z niedokładnościami w produkcji i regulacji przyrządu pomiarowego, ze względu na właściwości fizyczne badanego obiektu (np. przy pomiarze średnicy drutu o nierównomiernej grubości wynik zależy losowo od wybór miejsca pomiaru), przyczyny losowe itp.

Zadaniem eksperymentatora jest ograniczenie ich wpływu na wynik, a także wskazanie, jak bardzo uzyskany wynik jest zbliżony do prawdziwego.

Istnieją koncepcje błędu bezwzględnego i względnego.

Pod absolutny błąd pomiary zrozumieją różnicę pomiędzy wynikiem pomiaru a rzeczywistą wartością mierzonej wielkości:

∆x i =x i -x i (2)

gdzie ∆x i jest błędem bezwzględnym i-tego pomiaru, x i _ jest wynikiem i-tego pomiaru, x i jest prawdziwą wartością zmierzonej wartości.

Wynik dowolnego pomiaru fizycznego jest zwykle zapisywany w postaci:

gdzie jest średnią arytmetyczną wartości mierzonej, najbliższą wartości prawdziwej (poniżej zostanie pokazana ważność x i ≈), jest bezwzględnym błędem pomiaru.

Równość (3) należy rozumieć w ten sposób, że prawdziwa wartość mierzonej wielkości mieści się w przedziale [ - , + ].

Błąd bezwzględny jest wielkością wymiarową; ma ten sam wymiar co wielkość zmierzona.

Błąd bezwzględny nie charakteryzuje w pełni dokładności wykonanych pomiarów. Tak naprawdę, jeśli z tym samym błędem bezwzględnym ± 1 mm zmierzymy odcinki o długości 1 m i 5 mm, dokładność pomiarów będzie nieporównywalna. Zatem wraz z bezwzględnym błędem pomiaru obliczany jest błąd względny.

Względny błąd pomiarów to stosunek błędu bezwzględnego do samej wartości zmierzonej:

Błąd względny jest wielkością bezwymiarową. Wyraża się go w procentach:

W powyższym przykładzie błędy względne wynoszą 0,1% i 20%. Różnią się jednak od siebie zauważalnie Wartości bezwzględne są takie same. Błąd względny dostarcza informacji o dokładności

Błędy pomiarowe

Ze względu na charakter przejawów i przyczyny powstawania błędów można je podzielić na klasy: instrumentalne, systematyczne, losowe i chybione (błędy rażące).

Błędy wynikają z nieprawidłowego działania urządzenia, naruszenia metodologii lub warunków eksperymentalnych lub mają charakter subiektywny. W praktyce definiuje się je jako wyniki znacznie różniące się od innych. Aby wyeliminować ich występowanie, należy zachować ostrożność i dokładność podczas pracy z urządzeniami. Wyniki zawierające błędy należy wykluczyć z analizy (odrzucić).

Błędy przyrządu. Jeżeli urządzenie pomiarowe jest sprawne i wyregulowane, można na nim dokonywać pomiarów z ograniczoną dokładnością, uwarunkowaną rodzajem urządzenia. Zwyczajowo uważa się, że błąd przyrządu wskaźnikowego jest równy połowie najmniejszej części jego skali. W przyrządach z odczytem cyfrowym błąd przyrządu przyrównywany jest do wartości jednej najmniejszej cyfry skali przyrządu.

Błędy systematyczne to błędy, których wielkość i znak są stałe w całej serii pomiarów przeprowadzonych tą samą metodą i przy użyciu tych samych przyrządów pomiarowych.

Podczas wykonywania pomiarów ważne jest nie tylko uwzględnienie błędów systematycznych, ale także zadbanie o ich eliminację.

Błędy systematyczne dzieli się umownie na cztery grupy:

1) błędy, których charakter jest znany, a ich wielkość można dość dokładnie określić. Takim błędem jest np. zmiana zmierzonej masy w powietrzu, która zależy od temperatury, wilgotności, ciśnienia powietrza itp.;

2) błędy, których charakter jest znany, ale wielkość samego błędu jest nieznana. Do takich błędów zaliczają się błędy spowodowane przez urządzenie pomiarowe: nieprawidłowe działanie samego urządzenia, skala nie odpowiadająca wartości zerowej lub klasa dokładności urządzenia;

3) błędy, których istnienia nie można podejrzewać, lecz ich wielkość często może być znaczna. Błędy takie występują najczęściej przy skomplikowanych pomiarach. Prosty przykład takim błędem jest pomiar gęstości próbki zawierającej w środku wnękę;

4) błędy spowodowane charakterystyką samego obiektu pomiaru. Na przykład, mierząc przewodność elektryczną metalu, z tego ostatniego pobiera się kawałek drutu. Błędy mogą wystąpić, jeśli w materiale wystąpi jakakolwiek wada - pęknięcie, pogrubienie drutu lub niejednorodność zmieniająca jego rezystancję.

Błędy losowe to błędy, które zmieniają losowo znak i wielkość w identycznych warunkach powtarzanych pomiarów tej samej wielkości.

Powiązana informacja.

W praktycznej realizacji procesu pomiarowego niezależnie od dokładności przyrządów pomiarowych, poprawności metodyki i dokładności
dokonano pomiarów, wyniki pomiarów różnią się od prawdziwe znaczenie wielkość mierzona, tj. błędy pomiarowe są nieuniknione. Przy ocenie błędu zamiast wartości prawdziwej przyjmuje się wartość rzeczywistą; dlatego można podać jedynie przybliżone oszacowanie błędu pomiaru. Ocena wiarygodności wyniku pomiaru, tj. Określanie błędu pomiaru jest jednym z głównych zadań metrologii.
Błąd to odchylenie wyniku pomiaru od prawdziwej wartości zmierzonej wartości. Błędy można z grubsza podzielić na błędy przyrządów pomiarowych i błędy wyników pomiarów.
Błędy przyrządów pomiarowych zostały omówione w Rozdziale 3.
Błąd wyniku pomiaru jest liczbą wskazującą możliwe granice niepewności wartości mierzonej wielkości.
Poniżej podamy klasyfikację i rozważymy błędy wyników pomiarów.
Metodą wyrażeń numerycznych Rozróżniać błędy bezwzględne i względne.
W zależności od źródła wystąpienia są błędy instrumentalne, metodyczne, liczenia i instalacje.
Zgodnie ze wzorami manifestacji błędy pomiaru są dzielone przez systematyczne, postępowe, losowe i brutto.
Rozważmy te błędy pomiarowe bardziej szczegółowo.

4.1. Błędy bezwzględne i względne

Absolutny błąd D jest różnicą między zmierzonym X i prawdziwym X oraz wartościami zmierzonej wielkości. Błąd bezwzględny wyraża się w jednostkach wielkości mierzonej: D = X - Chi.
Ponieważ nie można ustalić prawdziwej wartości mierzonej wielkości, w praktyce zamiast niej stosuje się rzeczywistą wartość mierzonej wielkości Xd. Rzeczywistą wartość ustala się eksperymentalnie, stosując w miarę dokładne metody i przyrządy pomiarowe. Różni się niewiele od wartości prawdziwej i można ją zamiast tego zastosować do rozwiązania problemu. Podczas weryfikacji za wartość rzeczywistą przyjmuje się zwykle wskazania standardowych przyrządów pomiarowych. Zatem w praktyce błąd bezwzględny wyznacza się za pomocą wzoru D » X - Xd. Względny błąd d jest stosunkiem bezwzględnego błędu pomiaru do prawdziwej (rzeczywistej) wartości mierzonej wielkości (zwykle wyraża się ją w procentach): .

4.2. Błędy instrumentalne i metodologiczne,
liczenie i ustawianie

Instrumentalny(instrumentalne lub sprzętowe) należą do nich błędy to narzędzie pomiary, mogą zostać określone podczas jego badań i wpisane do jego paszportu.
Błędy te wynikają z wad konstrukcyjnych i technologicznych przyrządów pomiarowych, a także z ich zużycia, starzenia się lub nieprawidłowego działania. Błędy instrumentalne, spowodowane błędami stosowanych przyrządów pomiarowych, omówiono w rozdziale 3.
Jednak oprócz błędów instrumentalnych, podczas pomiarów zdarzają się także błędy, których nie można przypisać danemu urządzeniu, nie można wskazać w jego paszporcie i nazywane są metodyczny, te. związane nie z samym urządzeniem, ale ze sposobem jego użytkowania.
Błędy metodologiczne mogą wynikać z niedoskonałego rozwoju teorii zjawisk leżących u podstaw metody pomiaru, niedokładności zależności stosowanych do oszacowania wielkości mierzonej, a także z powodu rozbieżności pomiędzy wielkością mierzoną a jej modelem.
Rozważmy przykłady ilustrujące metodologiczny błąd pomiaru.
Obiektem badań jest źródło napięcia przemiennego, którego wartość amplitudy Hmm trzeba zmierzyć. Na podstawie wstępnych badań obiektu badawczego za jego model przyjęto generator napięcia sinusoidalnego. Stosując woltomierz przeznaczony do pomiaru wartości skutecznych napięć przemiennych i znając zależność pomiędzy wartością skuteczną i amplitudową napięcia sinusoidalnego, otrzymujemy wynik pomiaru w postaci Hm = × UV, Gdzie UV- odczyt woltomierza. Dokładniejsze zbadanie obiektu mogłoby wykazać, że kształt mierzonego napięcia różni się od sinusoidalnego i bardziej poprawną zależność pomiędzy wartością mierzonej wielkości a wskazaniem woltomierza Hm =k× UV, Gdzie k¹ . Tym samym niedoskonałość przyjętego modelu obiektu badań prowadzi do metodologicznego błędu pomiaru DTy = × UV-k× UV.
Błąd ten można zmniejszyć, obliczając wartość k w oparciu o analizę kształtu krzywej mierzonego napięcia, lub poprzez wymianę przyrządu pomiarowego na woltomierz przeznaczony do pomiaru wartości amplitudy napięć przemiennych.
Bardzo częstą przyczyną występowania błędów metodologicznych jest fakt, że organizując pomiary jesteśmy zmuszeni mierzyć (lub świadomie mierzyć) nie tę wartość, którą należy mierzyć, ale inną wartość, która jest jej bliska, ale jej nie równa .

Przykładem takiego błędu metodologicznego jest błąd pomiaru napięcia woltomierzem o skończonej rezystancji (ryc. 4.1).
Ze względu na to, że woltomierz bocznikuje odcinek obwodu, na którym mierzone jest napięcie, okazuje się, że jest ono mniejsze niż przed podłączeniem woltomierza. Rzeczywiście napięcie, które pokaże woltomierz, zależy od wyrażenia U = Ja×Rw. Biorąc pod uwagę, że prąd w obwodzie ja =MI/(Ri +Rv), To
< .
Dlatego dla tego samego woltomierza, podłączonego naprzemiennie do różnych odcinków badanego obwodu, błąd ten jest inny: w sekcjach o niskiej rezystancji jest znikomy, ale w sekcjach o wysokiej rezystancji może być bardzo duży. Błąd ten można by wyeliminować, gdyby woltomierz był podłączony na stałe do tej części obwodu przez cały czas pracy urządzenia (jak na rozdzielnicy elektrowni), jest to jednak z wielu powodów nieopłacalne.
Często zdarza się, że na ogół trudno jest wskazać metodę pomiaru wykluczającą błąd metodologiczny. Zmierzymy na przykład temperaturę gorących wlewków przychodzących z pieca do walcarki. Pytanie brzmi, gdzie umieścić czujnik temperatury (na przykład termoparę): pod zaślepką, z boku czy nad zaślepką? Gdziekolwiek go umieścimy, nie zmierzymy temperatury wewnętrznej korpusu blanku, czyli tzw. popełnimy znaczny błąd metodologiczny, ponieważ mierzymy nie to, co jest potrzebne, ale to, co jest prostsze (nie jest możliwe wywiercenie kanału w każdym półfabrykacie, aby umieścić termoparę w jego środku).
A więc główny osobliwość błędy metodologiczne polegają na tym, że nie można ich wskazać w paszporcie przyrządu, lecz muszą one zostać ocenione przez samego eksperymentatora przy organizacji wybranej techniki pomiarowej, dlatego musi on wyraźnie odróżniać rzeczywistą wymierny są wielkości podlega pomiarowi.
Błąd odczytu występuje z powodu niewystarczająco dokładnych odczytów. Wynika to z subiektywnych cech obserwatora (np. błąd interpolacji, czyli niedokładny odczyt ułamków dzielonych na skali przyrządu) oraz rodzaju urządzenia odczytującego (np. błąd paralaksy). Podczas korzystania z cyfrowych przyrządów pomiarowych nie ma błędów odczytu, co jest jedną z przyczyn perspektyw tych ostatnich.
Błąd instalacji spowodowane odchyleniem warunków pomiaru od normalnych, tj. warunki, w jakich przeprowadzono wzorcowanie i legalizację przyrządów pomiarowych. Dotyczy to na przykład błędów wynikających z nieprawidłowej instalacji urządzenia w przestrzeni lub jego wskaźnika znak zerowy, od zmian temperatury, napięcia zasilania i innych wpływających wielkości.
Rodzaje uwzględnionych błędów są w równym stopniu odpowiednie do charakteryzowania dokładności zarówno poszczególnych wyników pomiarów, jak i przyrządów pomiarowych.

4.3. Błędy systematyczne, postępujące, losowe i rażące

Systematyczny błąd pomiaru Dc jest składnikiem błędu pomiaru, który pozostaje stały lub zmienia się w sposób naturalny przy powtarzanych pomiarach tej samej wielkości.
Przyczyny błędów systematycznych można zwykle ustalić podczas przygotowywania i przeprowadzania pomiarów. Przyczyny te są bardzo zróżnicowane: niedoskonałość stosowanych przyrządów pomiarowych i metod, nieprawidłowa instalacja przyrządu pomiarowego, wpływ czynniki zewnętrzne(wpływających wielkości) na parametry przyrządów pomiarowych i na sam przedmiot pomiaru, wady metody pomiaru (błędy metodologiczne), indywidualne cechy operatora (błędy subiektywne) itp. Ze względu na charakter ich manifestacji błędy systematyczne dzielą się na stałe i zmienne. Do stałych zalicza się np. błędy spowodowane niedokładnym ustawieniem wartości pomiaru, nieprawidłową kalibracją skali przyrządu, nieprawidłowym montażem przyrządu względem kierunku pól magnetycznych itp. Zmienne błędy systematyczne powstają na skutek wpływu wielkości wpływających na proces pomiarowy i mogą powstać np. przy zmianie napięcia zasilania urządzenia, zewnętrznych pól magnetycznych, częstotliwości mierzonego napięcia przemiennego itp. Główną cechą Błędy systematyczne polegają na tym, że ich zależność od wielkości wpływających podlega pewnemu prawu. Prawo to można zbadać, a wynik pomiaru można wyjaśnić, wprowadzając poprawki, jeśli zostaną określone wartości liczbowe tych błędów. Innym sposobem ograniczenia wpływu błędów systematycznych jest zastosowanie metod pomiarowych, które pozwalają wyeliminować wpływ błędów systematycznych bez określania ich wartości (np. metoda podstawieniowa).
Wynik pomiarów jest im bliższy prawdziwej wartości mierzonej, tym mniejsze są pozostałe niewykluczone błędy systematyczne. Obecność wykluczonych błędów systematycznych determinuje dokładność pomiarów, jakość odzwierciedlającą bliskość zera błędów systematycznych. Wynik pomiaru będzie na tyle poprawny, na ile nie jest zniekształcony błędami systematycznymi, a im mniejsze są te błędy, tym jest bardziej poprawny.
Progresywny(lub dryf) to nieprzewidywalne błędy, które zmieniają się powoli w czasie. Błędy te z reguły są spowodowane procesami starzenia się niektórych części sprzętu (rozładowanie zasilaczy, starzenie się rezystorów, kondensatorów, deformacja części mechanicznych, kurczenie się taśmy papierowej w rejestratorach itp.). Cechą błędów progresywnych jest to, że można je skorygować wprowadzając poprawkę dopiero w określonym momencie, a następnie ponownie w nieprzewidywalny sposób zwiększyć. Dlatego w odróżnieniu od błędów systematycznych, które można skorygować poprzez korektę znalezioną jednorazowo na cały okres użytkowania urządzenia, błędy postępujące wymagają ciągłego powtarzania korekty i tym częściej, tym mniejsza powinna być ich wartość rezydualna. Inną cechą błędów progresywnych jest to, że ich zmiana w czasie jest procesem losowym niestacjonarnym i dlatego w ramach dobrze rozwiniętej teorii stacjonarnych procesów losowych można je opisywać jedynie z zastrzeżeniami.
Losowy błąd pomiaru— składnik błędu pomiaru, który zmienia się losowo podczas powtarzanych pomiarów tej samej wielkości. Wartości i znaku błędów losowych nie można określić, nie można ich bezpośrednio uwzględnić ze względu na ich chaotyczne zmiany spowodowane jednoczesnym wpływem różnych, niezależnych od siebie czynników na wynik pomiaru. Błędy losowe wykrywane są podczas powtarzanych pomiarów tej samej wielkości (poszczególne pomiary w tym przypadku nazywane są obserwacjami) przy użyciu tych samych przyrządów pomiarowych, w tych samych warunkach, przez tego samego obserwatora, tj. do pomiarów o jednakowej precyzji (równorozproszonych). Wpływ błędów losowych na wynik pomiaru uwzględniają metody statystyki matematycznej i teorii prawdopodobieństwa.
Duże błędy pomiarowe - losowe błędy pomiaru, które znacznie przekraczają błędy oczekiwane w danych warunkach.
Błędy rażące (chybienia) są zwykle spowodowane nieprawidłowymi odczytami z przyrządu, błędem w zapisie obserwacji, obecnością wielkości silnie wpływającej, wadliwym działaniem przyrządów pomiarowych i innymi przyczynami. Z reguły nie uwzględnia się wyników pomiarów zawierających błędy duże, zatem błędy duże mają niewielki wpływ na dokładność pomiaru. Nie zawsze łatwo jest wykryć błąd, szczególnie przy pojedynczym pomiarze; Często trudno jest odróżnić błąd rażący od dużego błędu losowego. Jeżeli często pojawiają się rażące błędy, kwestionujemy wszystkie wyniki pomiarów. Dlatego błędy rażące wpływają na ważność pomiarów.
Podsumowując opisany podział błędów przyrządów i wyników pomiarów na składowe losowe, progresywne i systematyczne, należy zwrócić uwagę, że taki podział jest bardzo uproszczoną metodą ich analizy. Dlatego należy zawsze pamiętać, że w rzeczywistości te składowe błędu występują razem i tworzą jeden niestacjonarny proces losowy. Błąd wyniku pomiaru można przedstawić w postaci sumy błędów losowych i systematycznych Dс: D = Dс +. Błędy pomiaru zawierają składnik losowy, dlatego należy go traktować jako zmienną losową.
Rozważenie charakteru przejawów błędów pomiarowych pokazuje nam, że jedyne właściwy sposób Teoria prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna dostarczają nam szacunków błędów.

4.4. Probabilistyczne podejście do opisu błędów

Prawa rozkładu błędów losowych. Błędy losowe wykrywane są w przypadku przeprowadzenia kilku pomiarów tej samej wielkości. Wyniki pomiarów z reguły nie pokrywają się ze sobą, ponieważ ze względu na łączny wpływ wielu różnych czynników, których nie można wziąć pod uwagę, każdy nowy pomiar daje także nową losową wartość mierzonej wartości. Jeśli pomiary zostaną wykonane prawidłowo, jest ich wystarczająca liczba i wykluczone zostaną błędy i pomyłki systematyczne, można postawić tezę, że prawdziwa wartość mierzonej wielkości nie wykracza poza wartości uzyskane z tych pomiarów. Nie wiadomo, dopóki nie zostanie określona teoretycznie prawdopodobna wartość błędu losowego.
Niech zostanie zmierzona wielkość A P razy i zaobserwowałem wartości a1, a2, a3,...,a I,...,jakiś. Losowy błąd bezwzględny pojedynczego pomiaru jest określany na podstawie różnicy
Di = ai - A. (4.1)
Graficznie wyniki poszczególnych pomiarów przedstawiono na rys. 4.2.
Kiedy wystarczy duża liczba P te same błędy, jeśli mają pewną liczbę wartości dyskretnych, powtarzają się i dlatego można ustalić względną częstotliwość (częstotliwość) ich występowania, tj. stosunek liczby otrzymanych identycznych danych mi Do Łączna wykonane pomiary P. Kontynuując pomiar wartości A częstotliwość ta nie ulegnie zmianie, zatem można uznać za prawdopodobieństwo wystąpienia błędu w tych pomiarach: P(AI) = mi / N.

Nazywa się statystyczną zależnością prawdopodobieństwa wystąpienia błędów losowych od ich wartości prawo rozkładu błędów lub prawo rozkładu prawdopodobieństwa. Prawo to określa charakter pojawiania się różnych wyników poszczególnych pomiarów. Istnieją dwa rodzaje opisów praw dystrybucji: całka I mechanizm różnicowy.
Prawo integralne, Lub funkcja rozkładu prawdopodobieństwaF( D ) błąd losowy Di Vi-t doświadczenia, wywołaj funkcję, której wartością dla każdego D jest prawdopodobieństwo zdarzenia R(D), co polega na tym, że błąd losowy Di przyjmuje wartości mniejsze od pewnej wartości D, tj. funkcjonować F( D ) = P[ Di < D ]. Kiedy D zmienia się z -¥ na +¥, funkcja ta przyjmuje wartości od 0 do 1 i nie maleje. Występuje dla wszystkich zmiennych losowych, zarówno dyskretnych, jak i ciągłych (rysunek 4.3 a).
Jeśli F(D) symetryczny względem punktu A, odpowiednie prawdopodobieństwo wynosi 0,5, wówczas rozkład wyników obserwacji będzie symetryczny względem wartości prawdziwej A. W tym przypadku jest to wskazane F(D) przesunąć wzdłuż osi x o wartość DA, tj. wyeliminować błąd systematyczny (DA =D) i uzyskaj dystrybuantę składowej losowej błędu D=(Rys. 4.3 b). Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa błędu D różni się od funkcji rozkładu prawdopodobieństwa składnika losowego błędu jedynie przesunięciem wzdłuż osi x o wartość składnika systematycznego błędu D.
Prawo różniczkowe rozkłady prawdopodobieństwa dla błędu losowego z dystrybuantą ciągłą i różniczkowalną F(D) wywołać funkcję . Ta zależność istnieje gęstość rozkładu prawdopodobieństwa. Wykres gęstości prawdopodobieństwa może mieć inny kształt w zależności od prawa rozkładu błędów. Dla F(D), pokazany na ryc. 4.3 b, krzywa rozkładu F(D) ma kształt zbliżony do kształtu dzwonu (ryc. 4.3 c).
Prawdopodobieństwo błędów losowych wyznaczane jest przez obszar ograniczony krzywą F(D) lub jej część i oś odciętej (ryc. 4.3 c). W zależności od rozważanego przedziału błędów .

Oznaczający F(D)DD istnieje element prawdopodobieństwa równa powierzchni prostokąt z podstawą DD i odcięta D1,D2, zwane kwantylami. Ponieważ F(+¥)= 1, to równość jest prawdziwa ,
te. obszar pod krzywą F(D) zgodnie z regułą normalizacji jest ona równa jeden i odzwierciedla prawdopodobieństwo wszystkich możliwych zdarzeń.
W praktyce pomiarów elektrycznych jednym z najczęstszych praw rozkładu błędów losowych jest normalne prawo(Gaus).
Wyrażenie matematyczne prawo normalne ma postać
,
Gdzie F(D)- gęstość prawdopodobieństwa błędu losowego D = aI -A; s - odchylenie standardowe. Odchylenie standardowe można wyrazić w postaci odchyleń losowych wyników obserwacji Di (patrz wzór (4.1)):
.
Charakter krzywych opisanych tym równaniem dla dwóch wartości s pokazano na ryc. 4.4. Z tych krzywych jasno wynika, że ​​im mniejsze s, tym częściej pojawiają się małe błędy losowe, tj. tym dokładniejsze są pomiary. W praktyce pomiarowej istnieją inne prawa dystrybucji, które można ustalić na podstawie przetwarzania statystycznego

dane eksperymentalne. Niektóre z najczęstszych praw dystrybucji podano w GOST 8.011-84 „Wskaźniki dokładności pomiaru i formy prezentacji wyników pomiarów”.
Główne cechy przepisów dotyczących dystrybucji to: wartość oczekiwana I dyspersja.
Oczekiwanie zmiennej losowej- jest to jego wartość, wokół której grupowane są wyniki poszczególnych obserwacji. Oczekiwanie matematyczne dyskretnej zmiennej losowej M[X] definiuje się jako sumę iloczynów wszystkich możliwych wartości zmiennej losowej przez prawdopodobieństwo tych wartości .
W przypadku ciągłych zmiennych losowych należy uciekać się do całkowania, dla którego konieczna jest znajomość zależności gęstości prawdopodobieństwa X, tj. f(x), Gdzie x=D. Następnie .
Wyrażenie to oznacza, że ​​oczekiwanie matematyczne jest równe sumie nieskończenie dużej liczby iloczynów wszystkich możliwych wartości zmiennej losowej X do nieskończenie małych obszarów k(x)dx, Gdzie f(x) — współrzędne dla każdego X, A dx - elementarne odcinki osi odciętych.
Jeśli zaobserwowany zostanie rozkład normalny błędów losowych, wówczas matematyczne oczekiwanie błędu losowego wynosi zero (ryc. 4.4). Jeśli weźmiemy pod uwagę rozkład normalny wyników, to oczekiwanie matematyczne będzie odpowiadać prawdziwej wartości zmierzonej wartości, którą oznaczamy przez A.
Błąd systematyczny to odchylenie matematycznego oczekiwania wyników obserwacji od wartości prawdziwej A zmierzona ilość: Dc = M[X]-A, a błąd losowy to różnica między wynikiem pojedynczej obserwacji a oczekiwaniem matematycznym: .
Rozproszenie liczby obserwacji charakteryzuje stopień rozproszenia (rozproszenia) wyników poszczególnych obserwacji wokół oczekiwania matematycznego:
D[X] =Dx=M[(ai-mx)2].
Im mniejszy rozrzut, tym mniejszy rozrzut poszczególnych wyników, tym dokładniejsze są pomiary. Jednakże rozproszenie wyraża się w jednostkach kwadratu zmierzonej wartości. Dlatego do scharakteryzowania dokładności szeregu obserwacji najczęściej stosuje się odchylenie standardowe (MSD), równe pierwiastkowi kwadratowemu wariancji: .
Rozważany rozkład normalny zmiennych losowych, uwzględniający błędy losowe, ma charakter teoretyczny, dlatego też opisany rozkład normalny należy uznać za „idealny”, tj. podstawy teoretyczne badanie błędów przypadkowych i ich wpływu na wynik pomiaru.
Poniżej opisano, jak zastosować ten rozkład w praktyce przy różnym stopniu przybliżenia. Rozważany jest także inny rozkład (rozkład Studenta), stosowany w przypadku małej liczby obserwacji.
Oszacowania błędów wyników pomiarów bezpośrednich. Niech to zostanie zrealizowane P bezpośrednie pomiary tej samej wielkości. Ogólnie rzecz biorąc, w każdym akcie pomiarowym błąd będzie inny:
Dja =ai-A,
gdzie Di jest błędem i-tego pomiaru; ai- wynik i-tego pomiaru.
Ponieważ prawdziwa wartość mierzonej wielkości A nieznane, losowego błędu bezwzględnego nie można bezpośrednio obliczyć. W praktycznych obliczeniach zamiast A skorzystaj z jego oceny. Zwykle przyjmuje się, że prawdziwą wartością jest średnia arytmetyczna szeregu pomiarów:
. (4.2)
Gdzie AI - wyniki poszczególnych pomiarów; P - liczba pomiarów.
Teraz podobnie jak w wyrażeniu (4.1) możemy wyznaczyć odchylenie wyniku każdego pomiaru od wartości średniej :
(4.3)
Gdzie w I- odchylenie wyniku pojedynczego pomiaru od wartości średniej. Należy pamiętać, że suma odchyleń wyniku pomiaru od wartości średniej wynosi zero, a suma ich kwadratów jest minimalna, tj.
i min.
Właściwości te wykorzystywane są podczas przetwarzania wyników pomiarów w celu kontroli poprawności obliczeń.
Następnie oblicz szacunkową wartość średni błąd kwadratowy dla danej serii pomiarów

. (4.4)
Zgodnie z teorią prawdopodobieństwa, przy odpowiednio dużej liczbie pomiarów obarczonych niezależnymi błędami losowymi, estymatorem jest estymacja S zbiega się prawdopodobieństwem do S. Zatem,

. (4.5)
Ze względu na to, że średnia arytmetyczna jest również zmienną losową, koncepcja odchylenia standardowego średniej arytmetycznej ma sens. Wartość tę oznaczamy symbolem sav. Można to wykazać dla błędów niezależnych
. (4.6)
Wartość sр charakteryzuje stopień rozproszenia . Jak stwierdzono powyżej, pełni funkcję szacunku prawdziwej wartości mierzonej wielkości, tj. jest ostatecznym wynikiem przeprowadzonych pomiarów. Dlatego sр nazywany jest również błędem średniokwadratowym wyniku pomiaru.
W praktyce wartość s obliczoną ze wzoru (4.5) stosuje się wówczas, gdy konieczne jest scharakteryzowanie dokładności zastosowanej metody pomiaru: jeżeli metoda jest dokładna, to rozrzut wyników poszczególnych pomiarów jest niewielki, tj. mała wartość s . Wartość sр , obliczony według (4.6), służy do scharakteryzowania dokładności wyniku pomiaru określonej wielkości, tj. wynik uzyskany poprzez matematyczne przetworzenie wyników szeregu pojedynczych pomiarów bezpośrednich.
Czasami używa się tego pojęcia przy ocenie wyników pomiarów maksymalny Lub maksymalny dopuszczalny błąd, którego wartość określa się w ułamkach s lub S. Obecnie obowiązują różne kryteria ustalania błędu maksymalnego, czyli granic pola tolerancji ±D, w obrębie których muszą mieścić się błędy losowe. Ogólnie przyjęta definicja błędu maksymalnego to D = 3s (lub 3 S). W Ostatnio Opierając się na informacyjnej teorii pomiarów, profesor P. V. Novitsky zaleca stosowanie wartości D = 2s.
Wprowadźmy teraz ważne pojęcia prawdopodobieństwo pewności I przedział ufności. Jak wspomniano powyżej, średnia arytmetyczna , uzyskana w wyniku określonej serii pomiarów jest oszacowaniem wartości rzeczywistej A i z reguły nie pokrywa się z nim, ale różni się wartością błędu. Pozwalać R & D istnieje taka możliwość różni się od A o nie więcej niż D, tj. R(-D< A< + D)=Рд. Prawdopodobieństwo R & D zwany prawdopodobieństwo ufności, i zakres wartości mierzonej wielkości pochodzi z - D do + D- przedział ufności.
Powyższe nierówności oznaczają, że z prawdopodobieństwem R & D przedział ufności od - D do + D zawiera prawdziwe znaczenie A. Zatem, aby w pełni scharakteryzować błąd losowy, konieczne są dwie liczby - prawdopodobieństwo ufności i odpowiadający mu przedział ufności. Jeżeli znane jest prawo rozkładu prawdopodobieństwa błędu, to z danego prawdopodobieństwa można wyznaczyć przedział ufności. W szczególności przy dostatecznie dużej liczbie pomiarów często uzasadnione jest zastosowanie prawa normalnego, natomiast przy małej liczbie pomiarów (P< 20), których wyniki należą do rozkładu normalnego, należy zastosować rozkład Studenta. Rozkład ten ma gęstość prawdopodobieństwa, która praktycznie pokrywa się z normalną P, ale znacznie różni się od normalnego w małym P.
W tabeli Na rysunku 4.1 przedstawiono tzw. kwantyle rozkładu Studenta ½ T(N)½ R & D dla liczby pomiarów P= 2 - 20 i prawdopodobieństwa ufności R = 0,5 - 0,999.
Zwracamy jednak uwagę, że tablice rozkładu Studenta zwykle nie są podawane dla wartości P I R & D, i dla wartości m =n-1 I a =1 - Рд, na co należy zwrócić uwagę przy ich stosowaniu. Aby określić przedział ufności, potrzebne są dane P I R & D znajdź ½ kwantyla T(N)½Рд i obliczyć wartości Jakiś = - sr× ½ T(N)½Rdi Av = + sr× ½ T(N)½Рд, które będą dolną i górną granicą przedziału ufności.

Po znalezieniu przedziałów ufności dla danego prawdopodobieństwa ufności zgodnie z powyższą metodą zapisz wynik pomiaru w formularzu ; D=Dn¸ Dw; R & D,
Gdzie - ocena prawdziwej wartości wyniku pomiaru w jednostkach wielkości mierzonej; D - błąd pomiaru; Dw = + sr× ½ T(N)½Рд i Dн = - sr× ½ T(N)½Рд - górna i dolna granica błędu pomiaru; Рд - prawdopodobieństwo ufności.

Tabela 4.1

Szacowanie błędów wyników pomiarów pośrednich. W pomiarach pośrednich żądana ilość A funkcjonalnie powiązane z jedną lub większą liczbą bezpośrednio mierzonych wielkości: X,y,..., T. Rozważmy najprostszy przypadek określenie błędu dla jednej zmiennej, gdy A= F(X). Po wyznaczeniu bezwzględnego błędu pomiaru wielkości X przez ±Dx, otrzymujemy + D A= F(x± D X).
Rozwijając prawą stronę tej równości w szereg Taylora i zaniedbując wyrazy rozwinięcia zawierającego Dx do potęgi wyższej niż pierwsza, otrzymujemy
A+DA » F(x) ± Dx lub DA » ± Dx.
Względny błąd pomiaru funkcji określa się na podstawie wyrażenia
.
Jeśli zmierzona ilość A jest funkcją kilku zmiennych: A=F(X,y,...,T), wówczas błąd bezwzględny wyniku pomiarów pośrednich
.
Częściowe błędy względne pomiaru pośredniego określają wzory ; itp. Błąd względny wyniku pomiaru
.
Zastanówmy się również nad cechami oceny wyniku pomiaru pośredniego w obecności błędu losowego.
Ocena błędu losowego wyników pośrednich pomiarów wielkości A założymy, że systematyczne błędy w pomiarze wielkości x, y,…, t są wykluczone, a błędy losowe w pomiarach tych samych wielkości nie są od siebie zależne.
W pomiarach pośrednich wartość mierzonej wielkości wyznacza się za pomocą wzoru ,
gdzie są średnie lub średnie ważone wartości ilości x, y,…, t.
Aby obliczyć odchylenie standardowe mierzonej wartości A zaleca się stosowanie odchyleń standardowych uzyskanych z pomiarów x, y,…, t.
W ogólna perspektywa aby wyznaczyć odchylenie standardowe s pomiaru pośredniego, należy skorzystać ze wzoru:
, (4.7)
Gdzie Dx ;Dy ;…;Dt— tzw. błędy cząstkowe pomiaru pośredniego ; ; …; ; ; ; … ; — pochodne cząstkowe A Przez x, y,…, t ;sx; Sy,…,st., …— odchylenia standardowe wyników pomiarów x, y,…, t.
Rozważmy kilka szczególnych przypadków zastosowania równania (4.7), gdy zależność funkcjonalna pomiędzy wielkościami mierzonymi pośrednio i bezpośrednio wyraża się wzorem A=k× XA× yB× zG, Gdzie k- współczynnik numeryczny (bezwymiarowy).
W tym przypadku wzór (4.7) przyjmie następującą postać:
.
Jeśli a =b =g = 1 I A=k× X× y× z, wówczas wzór na błąd względny upraszcza się do postaci .
Wzór ten ma zastosowanie np. do obliczenia odchylenia standardowego wyniku pomiaru objętości z wyników pomiarów wysokości, szerokości i głębokości zbiornika w kształcie prostokątnego równoległościanu.

4,5. Zasady sumowania błędów losowych i systematycznych
Błąd skomplikowanych przyrządów pomiarowych zależy od błędów poszczególnych jego elementów (bloków). Błędy sumuje się według określonych zasad.
Niech na przykład urządzenie pomiarowe składa się z M bloki, z których każdy zawiera losowe błędy niezależne od siebie. W tym przypadku wartości bezwzględne średniego kwadratu sk lub maksimum Mk błędy każdego bloku.
Sumowanie arytmetyczne lub podaje maksymalny błąd urządzenia, który ma znikomo małe prawdopodobieństwo i dlatego jest rzadko stosowany do oceny dokładności urządzenia jako całości. Zgodnie z teorią błędu, wynikowy błąd sres i Mrez określa się przez dodanie zgodnie z prawem kwadratowym Lub .
Wynikowy względny błąd pomiaru wyznacza się w podobny sposób: . (4.8)
Równanie (4.8) można wykorzystać do określenia błędów dopuszczalnych poszczególnych jednostek opracowywanych urządzeń przy zadanym całkowitym błędzie pomiaru. Projektując urządzenie, zwykle podaje się równe błędy dla poszczególnych bloków w nim zawartych. Jeżeli istnieje kilka źródeł błędów, które w różny sposób wpływają na końcowy wynik pomiaru (lub urządzenie składa się z kilku bloków z różnymi błędami), do wzoru (4.8) należy wprowadzić współczynniki wagowe ki :
, (4.9)
gdzie d1, d2, …, dm są błędami względnymi poszczególnych jednostek (bloków) urządzenia pomiarowego; k1,k2, … ,km- współczynniki uwzględniające stopień wpływu błędu losowego danego bloku na wynik pomiaru.
Jeżeli urządzenie pomiarowe (lub jego jednostki) również ma błędy systematyczne, błąd całkowity określa się poprzez ich sumę: To samo podejście obowiązuje dla więcej składniki.
Oceniając wpływ poszczególnych błędów, należy wziąć pod uwagę, że dokładność pomiarów zależy głównie od błędów o dużych wartościach bezwzględnych, a niektórych z najmniejszych błędów w ogóle nie można uwzględnić. Błąd częściowy szacowany jest na podstawie tzw kryterium błędu znikomego, co jest następujące. Załóżmy, że błąd całkowity dr wyznacza się ze wzoru (4.8) biorąc pod uwagę wszystkie M błędy prywatne, wśród których pewien błąd di ma niewielkie znaczenie. Jeżeli błąd całkowity d¢res, obliczony bez uwzględnienia błędu di, różni się od dres o nie więcej niż 5%, tj. drez-d¢rez< 0,05×dрез или 0,95×dрезW praktyce obliczeń technicznych często stosuje się mniej rygorystyczne kryterium - do tych wzorów wprowadza się współczynnik 0,4.

4.6. Formularze prezentacji wyników pomiarów

Wynik pomiaru ma wartość tylko wtedy, gdy można oszacować jego przedział niepewności, tj. stopień pewności. Dlatego wynik pomiaru musi zawierać wartość mierzonej wielkości oraz charakterystykę dokładności tej wartości, którą są błędy systematyczne i losowe. Ilościowe wskaźniki błędów, sposoby ich wyrażania, a także formy prezentacji wyników pomiarów reguluje GOST 8.011-72 „Wskaźniki dokładności pomiarów i formy prezentacji wyników pomiarów”. Rozważmy główne formy prezentacji wyników pomiarów.
Błąd wyniku bezpośredniego pojedynczego pomiaru zależy od wielu czynników, ale determinowany jest przede wszystkim błędem zastosowanych przyrządów pomiarowych. Dlatego w pierwszym przybliżeniu błąd wyniku pomiaru można przyjąć jako równy
błąd charakteryzujący przyrząd pomiarowy zastosowany w danym punkcie zakresu pomiarowego.
Błędy przyrządów pomiarowych różnią się w całym zakresie pomiarowym. Dlatego w każdym przypadku dla każdego pomiaru należy obliczyć błąd wyniku pomiaru za pomocą wzorów (3.19) - (3.21) w celu normalizacji błędu odpowiedniego przyrządu pomiarowego. Należy obliczyć zarówno błędy bezwzględne, jak i względne wyniku pomiaru, ponieważ pierwszy z nich jest potrzebny do zaokrąglenia wyniku i prawidłowego jego zapisania, a drugi - do jednoznacznego porównawczego opisu jego dokładności.
Dla różnych charakterystyk normalizacyjnych błędów SI obliczenia te przeprowadza się inaczej, dlatego rozważymy trzy typowe przypadki.
1. Klasa urządzenia jest oznaczona pojedynczą liczbą Q, zamknięte w okręgu. Następnie błąd względny wyniku (w procentach) g = Q, i jego błąd bezwzględny D x =Q× X/ 100.
2. Klasa urządzenia jest oznaczona jedną cyfrą P(bez okręgu). Następnie błąd bezwzględny wyniku pomiaru D x =P× xk/ 100, gdzie Xk jest granicą pomiaru, przy której przeprowadzono pomiar, a względny błąd pomiaru (w procentach) oblicza się ze wzoru ,
czyli w tym przypadku podczas pomiaru, oprócz odczytu mierzonej wartości X należy również ustalić granicę pomiaru Xk, w przeciwnym razie późniejsze obliczenie błędu wyniku nie będzie możliwe.
3. Klasę urządzenia określa się w formularzu za pomocą dwóch cyfr płyta CD. W takim przypadku wygodniej jest obliczyć błąd względny D wynik za pomocą wzoru (3.21) i dopiero wtedy znajdź błąd bezwzględny jako Dx =D× x/100.
Po obliczeniu błędu należy zastosować jedną z form przedstawienia wyniku pomiaru w postaci: X;± D I D, Gdzie X- zmierzona wartość; D- bezwzględny błąd pomiaru; D- względny błąd pomiaru. Przykładowo wprowadzany jest następujący wpis: „Pomiar został wykonany z błędem względnym D= …%. Zmierzona wartość x = (A± D), Gdzie A- wynik pomiarów.”
Bardziej przejrzyste jest jednak wskazanie granic przedziału niepewności wartości mierzonej w postaci: x = (A-D)¸(+D) Lub (A-D)< х < (+D) wskazując jednostki miary.
Inną formę prezentacji wyniku pomiaru ustala się następująco: X; D z Dn zanim Dw; R, Gdzie X- wynik pomiaru w jednostkach mierzonej wielkości; DDn,Dw- odpowiednio błąd pomiaru z dolną i górną granicą w tych samych jednostkach; R- prawdopodobieństwo, z jakim błąd pomiaru mieści się w tych granicach.
GOST 8.011-72 dopuszcza inne formy prezentacji wyników pomiarów, które różnią się od podanych form tym, że wskazują oddzielnie charakterystykę składowych systematycznych i losowych błędu pomiaru. Jednocześnie w przypadku błędu systematycznego wskazane są jego cechy probabilistyczne. W tym przypadku głównymi cechami błędu systematycznego są oczekiwania matematyczne M [ Dxc], odchylenia standardowe[ Dxc] i jego przedział ufności. Wyodrębnienie systematycznej i losowej składowej błędu jest wskazane, jeśli wynik pomiaru będzie wykorzystany w dalszym przetwarzaniu danych, np. przy ustalaniu wyniku pomiarów pośrednich i ocenie jego dokładności, przy sumowaniu błędów itp.

Każda forma prezentacji wyniku pomiaru przewidziana w GOST 8.011-72 musi zawierać niezbędne dane, na podstawie których można określić przedział ufności dla błędu wyniku pomiaru. Ogólnie rzecz biorąc, przedział ufności można ustalić, jeśli znany jest rodzaj prawa rozkładu błędu i główne cechy liczbowe tego prawa.