Jaki jest mianownik progresji? Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego

Pierwszy poziom

Postęp geometryczny. Kompleksowy przewodnik z przykładami (2019)

Sekwencja numerów

Usiądźmy więc i zacznijmy pisać liczby. Na przykład:

Możesz wpisać dowolne liczby, a może być ich tyle, ile chcesz (w naszym przypadku są). Nieważne, ile liczb zapiszemy, zawsze możemy powiedzieć, która jest pierwsza, która druga i tak dalej, aż do ostatniej, czyli możemy je policzyć. Oto przykład ciągu liczbowego:

Sekwencja numerów to zbiór liczb, z których każdej można przypisać unikalny numer.

Na przykład dla naszej sekwencji:

Przypisany numer jest specyficzny tylko dla jednego numeru w sekwencji. Innymi słowy, w sekwencji nie ma trzech sekund. Druga liczba (podobnie jak ta) jest zawsze taka sama.

Liczba z liczbą nazywana jest n-tym członkiem ciągu.

Zwykle całą sekwencję nazywamy jakąś literą (na przykład), a każdy element tej sekwencji to ta sama litera z indeksem równym numerowi tego elementu: .

W naszym przypadku:

Najpopularniejszymi rodzajami progresji są arytmetyka i geometryczna. W tym temacie porozmawiamy o drugim typie - postęp geometryczny.

Dlaczego potrzebny jest postęp geometryczny i jego historia?

Już w czasach starożytnych włoski matematyk, mnich Leonardo z Pizy (lepiej znany jako Fibonacci) zajmował się praktycznymi potrzebami handlu. Mnich stanął przed zadaniem ustalenia, jaka jest najmniejsza liczba odważników, którymi można zważyć produkt? Fibonacci w swoich pracach udowadnia, że ​​taki układ wag jest optymalny: To jedna z pierwszych sytuacji, w których ludzie mieli do czynienia z postępem geometrycznym, o którym zapewne już słyszeliście i przynajmniej ogólna koncepcja. Kiedy już w pełni zrozumiesz temat, zastanów się, dlaczego taki system jest optymalny?

Obecnie w praktyce życiowej postęp geometryczny objawia się lokowaniem pieniędzy w banku, gdy kwota odsetek naliczana jest od kwoty zgromadzonej na rachunku za poprzedni okres. Innymi słowy, jeśli lokujesz pieniądze na lokacie terminowej w banku oszczędnościowym, to po roku lokata wzrośnie o pierwotną kwotę, tj. nowa kwota będzie równa wkładowi pomnożonemu przez. W kolejnym roku kwota ta wzrośnie m.in. uzyskana w tym czasie kwota zostanie ponownie pomnożona przez i tak dalej. Podobną sytuację opisano w problematyce obliczania tzw odsetki składane- procent liczony jest każdorazowo od kwoty znajdującej się na rachunku, z uwzględnieniem wcześniejszych odsetek. O tych zadaniach porozmawiamy nieco później.

Jest ich o wiele więcej proste przypadki, gdzie stosuje się postęp geometryczny. Na przykład rozprzestrzenianie się grypy: jedna osoba zaraziła drugą osobę, ona z kolei zaraziła kolejną osobę i tak druga fala infekcji to osoba, a ona z kolei zaraziła kolejną... i tak dalej. .

Nawiasem mówiąc, piramida finansowa, to samo MMM, to prosta i sucha kalkulacja oparta na właściwościach postępu geometrycznego. Ciekawy? Rozwiążmy to.

Postęp geometryczny.

Powiedzmy, że mamy ciąg liczb:

Od razu odpowiesz, że to proste, a nazwa takiego ciągu to ciąg arytmetyczny z różnicą jego wyrazów. Co powiesz na to:

Jeśli odejmiesz poprzednią liczbę od kolejnej, zobaczysz, że za każdym razem otrzymasz nową różnicę (i tak dalej), ale ciąg na pewno istnieje i nie jest trudno to zauważyć - każda Następny numer razy więcej niż poprzednio!

Ten typ sekwencji liczb nazywa się postęp geometryczny i jest wyznaczony.

Postęp geometryczny () to ciąg liczbowy, którego pierwszy wyraz jest różny od zera, a każdy wyraz, zaczynając od drugiego, jest równy poprzedniemu, pomnożonemu przez tę samą liczbę. Liczba ta nazywana jest mianownikiem postępu geometrycznego.

Ograniczenia, że ​​pierwszy wyraz ( ) nie jest równy i nie są przypadkowe. Załóżmy, że ich nie ma, a pierwszy wyraz jest nadal równy, a q jest równe, hmm.. niech tak będzie, wtedy się okaże:

Zgadzam się, że to nie jest już postęp.

Jak rozumiesz, otrzymamy te same wyniki, jeśli będzie jakakolwiek liczba różna od zera, a. W takich przypadkach po prostu nie będzie żadnego postępu, ponieważ cała seria liczb będzie składać się albo z zer, albo z jednej liczby, a cała reszta będzie zerami.

Porozmawiajmy teraz bardziej szczegółowo o mianowniku postępu geometrycznego, czyli o.

Powtórzmy: - to jest liczba ile razy zmienia się każdy kolejny wyraz? postęp geometryczny.

Jak myślisz, co to może być? Zgadza się, dodatnia i ujemna, ale nie zero (rozmawialiśmy o tym nieco wyżej).

Załóżmy, że nasza jest dodatnia. Niech w naszym przypadku a. Jaka jest wartość drugiego terminu i? Możesz łatwo odpowiedzieć na to pytanie:

Zgadza się. Odpowiednio, jeśli, to wszystkie kolejne warunki progresji mają ten sam znak- Oni są pozytywne.

A jeśli wynik będzie negatywny? Na przykład: Jaka jest wartość drugiego terminu i?

To zupełnie inna historia

Spróbuj policzyć warunki tej progresji. Ile dostałeś? Ja mam. Zatem, jeśli, to znaki wyrazów postępu geometrycznego są naprzemienne. Oznacza to, że jeśli widzisz progresję ze naprzemiennymi znakami dla swoich członków, wówczas jej mianownik jest ujemny. Ta wiedza może pomóc Ci sprawdzić się przy rozwiązywaniu problemów na ten temat.

A teraz trochę poćwiczmy: spróbujmy ustalić, które ciągi liczbowe są postępem geometrycznym, a które arytmetycznym:

Rozumiem? Porównajmy nasze odpowiedzi:

• Postęp geometryczny - 3, 6.
• Postęp arytmetyczny - 2, 4.
• Nie jest to ani arytmetyka, ani postęp geometryczny - 1, 5, 7.

Wróćmy do naszego ostatniego ciągu i spróbujmy znaleźć jego człon, podobnie jak w arytmetycznym. Jak można się domyślić, można go znaleźć na dwa sposoby.

Sukcesywnie mnożymy każdy wyraz przez.

Zatem termin opisywanego postępu geometrycznego jest równy.

Jak już się domyśliłeś, teraz sam wyprowadzisz wzór, który pomoże ci znaleźć dowolnego członka postępu geometrycznego. A może już to opracowałeś dla siebie i opisałeś jak krok po kroku znaleźć członka? Jeśli tak, to sprawdź poprawność swojego rozumowania.

Zilustrujmy to przykładem znalezienia wyrazu tego ciągu:

Innymi słowy:

Znajdź samodzielnie wartość wyrazu danego ciągu geometrycznego.

Stało się? Porównajmy nasze odpowiedzi:

Zauważ, że otrzymałeś dokładnie tę samą liczbę, co w poprzedniej metodzie, gdy pomnożyliśmy sekwencyjnie przez każdy poprzedni wyraz postępu geometrycznego.
Spróbujmy „odpersonalizować” tę formułę – sformułujmy ją ogólnie i otrzymamy:

Wyprowadzony wzór jest prawdziwy dla wszystkich wartości - zarówno dodatnich, jak i ujemnych. Sprawdź to sam, obliczając wyrazy postępu geometrycznego przy spełnieniu następujących warunków: , a.

Czy policzyłeś? Porównajmy wyniki:

Zgadzam się, że możliwe byłoby znalezienie terminu progresji w taki sam sposób, jak terminu, istnieje jednak możliwość nieprawidłowego obliczenia. A jeśli już znaleźliśmy wyraz 3. ciągu geometrycznego, to co może być prostszego niż użycie „obciętej” części wzoru.

Nieskończenie malejący postęp geometryczny.

Niedawno rozmawialiśmy o tym, że może być większy lub mniejszy od zera, jednak istnieją specjalne wartości, dla których nazywa się postęp geometryczny nieskończenie maleje.

Jak myślisz, dlaczego nadano tę nazwę?
Najpierw zapiszmy pewien postęp geometryczny składający się z terminów.
Powiedzmy zatem:

Widzimy, że każdy kolejny wyraz jest mniejszy od poprzedniego o współczynnik, ale czy będzie jakaś liczba? Natychmiast odpowiesz - „nie”. Dlatego maleje w nieskończoność – maleje i maleje, ale nigdy nie osiąga zera.

Aby dobrze zrozumieć jak to wygląda wizualnie, spróbujmy narysować wykres naszego postępu. Zatem w naszym przypadku formuła przyjmuje następującą postać:

Na wykresach jesteśmy przyzwyczajeni do wykreślania zależności od, zatem:

Istota wyrażenia nie uległa zmianie: w pierwszym wpisie pokazaliśmy zależność wartości członka ciągu geometrycznego od jego liczby porządkowej, a w drugim wpisie po prostu przyjęliśmy wartość członka ciągu geometrycznego jako i oznaczył liczbę porządkową nie jako, ale jako. Pozostało jeszcze tylko zbudować wykres.
Zobaczmy co masz. Oto wykres, który wymyśliłem:

Czy ty widzisz? Funkcja maleje, dąży do zera, ale nigdy jej nie przekracza, więc jest nieskończenie malejąca. Zaznaczmy nasze punkty na wykresie, a jednocześnie jaką współrzędną i co oznacza:

Spróbuj schematycznie przedstawić wykres postępu geometrycznego, jeśli jego pierwszy wyraz jest również równy. Przeanalizuj, jaka jest różnica w stosunku do naszego poprzedniego wykresu?

Czy udało Ci się? Oto wykres, który wymyśliłem:

Teraz, gdy już w pełni zrozumiałeś podstawy tematu postępu geometrycznego: wiesz, co to jest, wiesz, jak znaleźć jego termin, a także wiesz, co to jest nieskończenie malejący postęp geometryczny, przejdźmy do jego głównej właściwości.

Własność postępu geometrycznego.

Czy pamiętasz własność wyrazów ciągu arytmetycznego? Tak, tak, jak znaleźć wartość określonej liczby progresji, gdy istnieją poprzednie i kolejne wartości warunków tej progresji. Pamiętasz? Ten:

Teraz stajemy przed dokładnie tym samym pytaniem dotyczącym wyrazów postępu geometrycznego. Aby wyprowadzić taką formułę, zacznijmy rysować i rozumować. Zobaczysz, jest to bardzo proste, a jeśli zapomnisz, możesz to zrobić sam.

Weźmy inny prosty postęp geometryczny, w którym wiemy i. Jak znaleźć? Z postępem arytmetycznym jest to łatwe i proste, ale co z tym? Tak naprawdę w geometrii też nie ma nic skomplikowanego - wystarczy każdą podaną nam wartość zapisać według wzoru.

Możesz zapytać, co powinniśmy teraz z tym zrobić? Tak, bardzo proste. Najpierw przedstawmy te formuły na obrazku i spróbujmy wykonać z nimi różne manipulacje, aby uzyskać wartość.

Abstrahujmy od liczb, które są nam dane, skupmy się jedynie na ich wyrażeniu poprzez formułę. Musimy znaleźć podświetloną wartość Pomarańczowy, znając członków sąsiadujących z nim. Spróbujmy z nimi produkować różne działania w wyniku czego możemy uzyskać.

Dodatek.
Spróbujmy dodać dwa wyrażenia i otrzymamy:

Z tego wyrażenia, jak widać, nie możemy go w żaden sposób wyrazić, dlatego spróbujemy innej opcji - odejmowania.

Odejmowanie.

Jak widać, tego też nie potrafimy wyrazić, dlatego spróbujmy pomnożyć te wyrażenia przez siebie.

Mnożenie.

Teraz przyjrzyj się uważnie temu, co mamy, mnożąc podane nam wyrazy postępu geometrycznego w porównaniu z tym, co należy znaleźć:

Zgadnij o czym mówię? Zgadza się, aby znaleźć, musimy wziąć Pierwiastek kwadratowy z geometrycznych liczb progresji sąsiadujących z żądaną, pomnożonych przez siebie:

Proszę bardzo. Sam wyprowadziłeś własność postępu geometrycznego. Spróbuj zapisać tę formułę w ogólna perspektywa. Stało się?

Zapomniałeś warunku? Zastanów się, dlaczego jest to ważne, na przykład spróbuj obliczyć to samodzielnie. Co się stanie w tym przypadku? Zgadza się, kompletna bzdura, bo wzór wygląda tak:

W związku z tym nie zapominaj o tym ograniczeniu.

Teraz obliczmy, co to jest równe

Poprawna odpowiedź - ! Jeśli podczas obliczeń nie zapomniałeś o drugiej możliwej wartości, to jesteś świetny i możesz od razu przejść do treningu, a jeśli zapomniałeś, przeczytaj to, co omówiono poniżej i zwróć uwagę, dlaczego konieczne jest zapisanie obu pierwiastków w odpowiedzi.

Narysujmy oba nasze postępy geometryczne – jeden z wartością, drugi z wartością i sprawdźmy, czy oba mają prawo istnieć:

Aby sprawdzić, czy taki postęp geometryczny istnieje, czy nie, należy sprawdzić, czy wszystkie podane w nim wyrazy są takie same? Oblicz q dla pierwszego i drugiego przypadku.

Widzisz, dlaczego musimy napisać dwie odpowiedzi? Ponieważ znak szukanego terminu zależy od tego, czy jest on dodatni, czy ujemny! A ponieważ nie wiemy, co to jest, musimy zapisać obie odpowiedzi z plusem i minusem.

Teraz, gdy opanowałeś główne punkty i wyprowadziłeś wzór na właściwość postępu geometrycznego, znajdź, poznaj i

Porównaj swoje odpowiedzi z prawidłowymi:

Jak myślisz, co by było, gdybyśmy nie otrzymali wartości wyrazów postępu geometrycznego sąsiadujących z pożądaną liczbą, ale w równej odległości od niej. Na przykład musimy znaleźć i podać i. Czy w tym przypadku możemy zastosować otrzymany wzór? Spróbuj potwierdzić lub obalić tę możliwość w ten sam sposób, opisując, z czego składa się każda wartość, tak jak to zrobiłeś, gdy pierwotnie wyprowadzałeś wzór, w.
Co dostałeś?

Teraz przyjrzyj się uważnie jeszcze raz.
i odpowiednio:

Z tego możemy wywnioskować, że formuła działa nie tylko z sąsiadem z pożądanymi terminami postępu geometrycznego, ale także z równoodległy od tego, czego szukają członkowie.

Zatem nasza początkowa formuła ma postać:

Oznacza to, że jeśli w pierwszym przypadku to powiedzieliśmy, teraz mówimy, że może to być równa dowolnej liczbie naturalnej, która jest mniejsza. Najważniejsze, że jest taki sam dla obu podanych liczb.

Ćwicz dalej konkretne przykłady, po prostu bądź bardzo ostrożny!

1. , . Znajdować.
2. , . Znajdować.
3. , . Znajdować.

Zdecydowany? Mam nadzieję, że byłeś bardzo uważny i zauważyłeś mały haczyk.

Porównajmy wyniki.

W pierwszych dwóch przypadkach spokojnie stosujemy powyższy wzór i otrzymujemy następujące wartości:

W trzecim przypadku, po dokładnym zbadaniu numerów seryjnych podanych nam numerów, rozumiemy, że nie są one w równej odległości od numeru, którego szukamy: jest poprzednią datę, ale jest usuwany w miejscu, więc nie jest możliwe zastosowanie wzoru.

Jak to rozwiązać? To naprawdę nie jest tak trudne, jak się wydaje! Zapiszmy z czego składa się każda podana nam liczba oraz liczba której szukamy.

Mamy więc i. Zobaczmy, co możemy z nimi zrobić? Sugeruję dzielenie przez. Otrzymujemy:

Podstawiamy nasze dane do wzoru:

Następny krok, jaki możemy znaleźć – w tym celu musimy podjąć pierwiastek sześcienny z otrzymanej liczby.

Teraz spójrzmy jeszcze raz na to, co mamy. Mamy to, ale musimy to znaleźć, a to z kolei jest równe:

Znaleźliśmy wszystkie dane niezbędne do obliczeń. Podstaw do wzoru:

Nasza odpowiedź: .

Spróbuj samodzielnie rozwiązać inny podobny problem:
Dany: ,
Znajdować:

Ile dostałeś? Ja mam - .

Jak widać, zasadniczo potrzebujesz zapamiętaj tylko jedną formułę- . Całą resztę możesz w każdej chwili wypłacić sam, bez żadnych trudności. Aby to zrobić, wystarczy zapisać na kartce papieru najprostszy postęp geometryczny i zapisać, ile wynosi każda z jego liczb, zgodnie ze wzorem opisanym powyżej.

Suma wyrazów postępu geometrycznego.

Przyjrzyjmy się teraz wzorom, które pozwalają nam szybko obliczyć sumę wyrazów postępu geometrycznego w danym przedziale:

Aby wyprowadzić wzór na sumę wyrazów skończonego postępu geometrycznego, mnożymy wszystkie części powyższego równania przez. Otrzymujemy:

Przyjrzyj się uważnie: co mają wspólnego te dwie ostatnie formuły? Zgadza się, na przykład zwykli członkowie i tak dalej, z wyjątkiem pierwszego i ostatniego członka. Spróbujmy odjąć pierwsze od drugiego równania. Co dostałeś?

Wyraź teraz wyraz postępu geometrycznego za pomocą wzoru i podstaw wynikowe wyrażenie do naszego ostatniego wzoru:

Pogrupuj wyrażenie. Powinieneś wziąć:

Pozostało jeszcze tylko wyrazić:

Odpowiednio w tym przypadku.

Co jeśli? Jaka formuła wtedy działa? Wyobraź sobie postęp geometryczny w. Jaka ona jest? Szereg identycznych liczb jest poprawny, więc wzór będzie wyglądał następująco:

Istnieje wiele legend zarówno na temat postępu arytmetycznego, jak i geometrycznego. Jedną z nich jest legenda o Setie, twórcy szachów.

Wiele osób wie, że gra w szachy została wynaleziona w Indiach. Kiedy spotkał ją król hinduski, był zachwycony jej dowcipem i różnorodnością możliwych w niej stanowisk. Dowiedziawszy się, że został wynaleziony przez jednego ze swoich poddanych, król postanowił osobiście go nagrodzić. Przywołał wynalazcę do siebie i kazał mu prosić o wszystko, czego chce, obiecując spełnić nawet najbardziej zręczne pragnienie.

Seta poprosił o czas do namysłu, a kiedy następnego dnia Seta pojawił się przed królem, zaskoczył króla niespotykaną skromnością swojej prośby. Prosił, aby dać ziarno pszenicy na pierwsze pole szachownicy, ziarno pszenicy na drugie, ziarno pszenicy na trzecie, czwarte itd.

Król rozgniewał się i wypędził Seta, mówiąc, że prośba sługi jest niegodna hojności króla, ale obiecał, że sługa otrzyma swoje zboże za wszystkie kwadraty planszy.

A teraz pytanie: korzystając ze wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego obliczyć, ile ziaren powinien otrzymać Set?

Zacznijmy rozumować. Ponieważ zgodnie z warunkiem Seth poprosił o ziarno pszenicy na pierwsze pole szachownicy, na drugie, na trzecie, na czwarte itd., to widzimy, że problem dotyczy postępu geometrycznego. Co to jest równe w tym przypadku?
Prawidłowy.

Całkowita liczba pól szachownicy. Odpowiednio, . Mamy już wszystkie dane, pozostaje tylko podłączyć je do wzoru i obliczyć.

Aby wyobrazić sobie przynajmniej w przybliżeniu „skalę” podany numer, przekształć wykorzystując właściwości stopnia:

Oczywiście, jeśli chcesz, możesz wziąć kalkulator i obliczyć, jaką liczbę otrzymasz, a jeśli nie, musisz mi uwierzyć na słowo: ostateczna wartość wyrażenia będzie wynosić.
To jest:

kwintylion kwadrylion bilion miliardów milionów tysięcy.

Uff) Jeśli chcesz sobie wyobrazić ogrom tej liczby, to oszacuj, jak duża byłaby stodoła, aby pomieścić całą ilość zboża.
Jeżeli stodoła ma m wysokości i m szerokości, jej długość musiałaby sięgać km, tj. dwa razy dalej niż Ziemia od Słońca.

Gdyby król był mocny w matematyce, mógłby zaprosić samego uczonego do policzenia ziaren, ponieważ aby policzyć milion ziaren, potrzebowałby co najmniej jednego dnia niestrudzonego liczenia, a biorąc pod uwagę, że konieczne jest liczenie kwintylionów, ziarna musiałby być liczony przez całe życie.

Rozwiążmy teraz proste zadanie dotyczące sumy wyrazów ciągu geometrycznego.
Uczennica klasy 5A Wasia zachorowała na grypę, ale nadal chodzi do szkoły. Wasia zaraża codziennie dwie osoby, które z kolei zarażają kolejne dwie osoby i tak dalej. W klasie są tylko ludzie. Za ile dni cała klasa będzie chora na grypę?

Zatem pierwszym wyrazem postępu geometrycznego jest Wasia, czyli osoba. Piąty wyraz postępu geometrycznego to dwie osoby, które zaraził pierwszego dnia swojego przybycia. Całkowita suma warunków progresji jest równa liczbie uczniów klasy 5A. W związku z tym mówimy o progresji, w której:

Podstawmy nasze dane do wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego:

W ciągu kilku dni cała klasa zachoruje. Nie wierzysz formułom i liczbom? Spróbuj samodzielnie przedstawić „infekcję” uczniów. Stało się? Zobacz jak to wygląda u mnie:

Oblicz, ile dni zajęłoby uczniom zachorowanie na grypę, gdyby każdy z nich zaraził inną osobę, a w klasie była tylko jedna osoba.

Jaką wartość otrzymałeś? Okazało się, że po jednym dniu wszyscy zaczęli chorować.

Jak widać, takie zadanie i jego rysunek przypominają piramidę, w której każde kolejne „przynosi” nowych ludzi. Jednak prędzej czy później nadchodzi moment, kiedy ten ostatni nie może nikogo przyciągnąć. W naszym przypadku, jeśli wyobrazimy sobie, że klasa jest izolowana, osoba z niej zamyka łańcuch (). Tak więc, jeśli dana osoba była zaangażowana w piramidę finansową, w której dano pieniądze, jeśli przyprowadziłeś dwóch innych uczestników, wówczas ta osoba (lub w ogóle) nie przyprowadziłaby nikogo, w związku z czym straciłaby wszystko, co zainwestowała w to oszustwo finansowe.

Wszystko, co zostało powiedziane powyżej, odnosi się do malejącego lub rosnącego postępu geometrycznego, ale jak pamiętacie, mamy specjalny typ - nieskończenie malejący postęp geometryczny. Jak obliczyć sumę jego członków? I dlaczego ten rodzaj progresji ma pewne cechy? Rozwiążmy to razem.

Zatem najpierw spójrzmy jeszcze raz na rysunek nieskończenie malejącego postępu geometrycznego z naszego przykładu:

Przyjrzyjmy się teraz wzorowi na sumę postępu geometrycznego, wyprowadzonemu nieco wcześniej:
Lub

Do czego dążymy? Zgadza się, wykres pokazuje, że zmierza do zera. Oznacza to, że w, będą odpowiednio prawie równe, przy obliczaniu wyrażenia otrzymamy prawie. W związku z tym uważamy, że przy obliczaniu sumy nieskończenie malejącego postępu geometrycznego można pominąć ten nawias, ponieważ będzie równy.

- wzór jest sumą wyrazów nieskończenie malejącego postępu geometrycznego.

WAŻNY! Ze wzoru na sumę wyrazów nieskończenie malejącego postępu geometrycznego korzystamy tylko wtedy, gdy warunek wyraźnie mówi, że musimy znaleźć sumę nieskończony Liczba członków.

Jeśli zostanie podana konkretna liczba n, wówczas stosujemy wzór na sumę n wyrazów, nawet jeśli lub.

Teraz poćwiczmy.

1. Znajdź sumę pierwszych wyrazów postępu geometrycznego za pomocą i.
2. Znajdź sumę wyrazów nieskończenie malejącego postępu geometrycznego za pomocą i.

Mam nadzieję, że zachowałeś szczególną ostrożność. Porównajmy nasze odpowiedzi:

Teraz wiesz już wszystko o postępie geometrycznym i czas przejść od teorii do praktyki. Najczęstszymi problemami z postępem geometrycznym spotykanymi na egzaminie są problemy z obliczaniem odsetek składanych. To właśnie o nich będziemy rozmawiać.

Problemy z naliczaniem odsetek składanych.

Prawdopodobnie słyszałeś o tak zwanej formule odsetek składanych. Czy rozumiesz, co to znaczy? Jeśli nie, zastanówmy się, bo kiedy zrozumiesz sam proces, od razu zrozumiesz, co ma z tym wspólnego postęp geometryczny.

Wszyscy idziemy do banku i wiemy, że tam są różne warunki dla depozytów: jest to termin i usługa dodatkowa oraz odsetki z dwoma różne sposoby jego obliczenia - proste i złożone.

Z proste zainteresowanie wszystko jest mniej więcej jasne: odsetki naliczane są jednorazowo na koniec okresu lokaty. Oznacza to, że jeśli powiemy, że wpłacamy 100 rubli na rok, to zostaną one zaksięgowane dopiero pod koniec roku. Odpowiednio, pod koniec depozytu otrzymamy ruble.

Odsetki składane- jest to opcja, w której to występuje kapitalizacja odsetek, tj. ich doliczenie do kwoty depozytu i późniejsze obliczenie dochodu nie od początkowej, ale od zgromadzonej kwoty depozytu. Kapitalizacja nie występuje stale, ale z pewną częstotliwością. Z reguły okresy te są równe i najczęściej banki posługują się miesiącem, kwartałem lub rokiem.

Załóżmy, że co roku wpłacamy te same ruble, ale z miesięczną kapitalizacją lokaty. Co my robimy?

Czy wszystko tutaj rozumiesz? Jeśli nie, rozwiążemy to krok po kroku.

Przynieśliśmy ruble do banku. Do końca miesiąca powinniśmy mieć na koncie kwotę składającą się z naszych rubli plus odsetki od nich, czyli:

Zgadzać się?

Możemy wyjąć to z nawiasów i wtedy otrzymamy:

Zgadzam się, ta formuła jest już bardziej podobna do tego, co pisaliśmy na początku. Pozostało tylko obliczyć procenty

W opisie problemu powiedziano nam o stawkach rocznych. Jak wiadomo nie mnożymy przez - zamieniamy procenty na ułamki dziesiętne, czyli:

Prawidłowy? Teraz możesz zapytać, skąd wzięła się ta liczba? Bardzo prosta!
Powtarzam: stwierdzenie problemu mówi o COROCZNY odsetki, które narosną MIESIĘCZNY. Jak wiadomo za rok odpowiednio bank będzie pobierał od nas część rocznych odsetek miesięcznie:

Zrozumiałeś? Spróbuj teraz napisać, jak wyglądałaby ta część wzoru, gdybym powiedział, że odsetki naliczane są codziennie.
Czy udało Ci się? Porównajmy wyniki:

Dobrze zrobiony! Wróćmy do naszego zadania: napisz, ile wpłynie na nasze konto w drugim miesiącu, biorąc pod uwagę, że od zgromadzonej kwoty lokaty naliczane są odsetki.
Oto co dostałem:

Lub innymi słowy:

Myślę, że dostrzegliście już pewien wzór i widzieliście w tym postęp geometryczny. Napisz, ile będzie wynosić jego członek, czyli inaczej jaką sumę pieniędzy otrzymamy na koniec miesiąca.
Zrobił? Sprawdźmy!

Jak widać, jeśli wpłacisz pieniądze do banku na rok według prostego oprocentowania, otrzymasz ruble, a jeśli z oprocentowaniem złożonym, otrzymasz ruble. Korzyść jest niewielka, ale dzieje się to tylko w ciągu th roku, ale w dłuższym okresie kapitalizacja jest znacznie bardziej opłacalna:

Przyjrzyjmy się innemu rodzajowi problemu związanego z odsetkami składanymi. Po tym, co odkryłeś, będzie to dla ciebie elementarne. A więc zadanie:

Firma Zvezda rozpoczęła inwestycje w branży w 2000 roku, dysponując kapitałem w dolarach. Od 2001 roku corocznie osiąga zysk równy kapitałowi z roku poprzedniego. Ile zysku otrzyma firma Zvezda na koniec 2003 roku, jeśli zyski nie zostaną wycofane z obiegu?

Kapitał firmy Zvezda w 2000 roku.
- kapitał firmy Zvezda w 2001 roku.
- kapitał firmy Zvezda w 2002 roku.
- kapitał firmy Zvezda w 2003 roku.

Lub możemy napisać krótko:

W naszym przypadku:

2000, 2001, 2002 i 2003.

Odpowiednio:
ruble
Proszę zwrócić uwagę, że w tym zadaniu nie mamy podziału ani przez, ani przez, ponieważ procent jest podawany ROCZNIE i jest obliczany ROCZNIE. Oznacza to, że czytając zadanie dotyczące odsetek składanych, zwróć uwagę na to, jaki procent jest podany i w jakim okresie jest naliczany, a dopiero potem przystąp do obliczeń.
Teraz wiesz już wszystko o postępie geometrycznym.

Szkolenie.

1. Znajdź wyraz postępu geometrycznego, jeśli wiadomo, że i
2. Znajdź sumę pierwszych wyrazów postępu geometrycznego, jeśli wiadomo, że i
3. Firma MDM Capital rozpoczęła inwestycje w branży w 2003 roku, dysponując kapitałem w dolarach. Od 2004 roku corocznie osiąga zysk równy kapitałowi z roku poprzedniego. Firma MSK Cash Flows rozpoczęła inwestowanie w branży w 2005 roku kwotą 10 000 dolarów, zaczynając osiągać zysk w wysokości 2006 roku. O ile dolarów kapitał jednej spółki jest większy od drugiej na koniec 2007 roku, gdyby zyski nie zostały wycofane z obiegu?

Odpowiedzi:

1. Ponieważ w sformułowaniu problemu nie jest napisane, że postęp jest nieskończony i należy znaleźć sumę określonej liczby jego wyrazów, obliczenia przeprowadza się według wzoru:
2. 
   Spółka kapitałowa MDM:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - wzrasta o 100%, czyli 2 razy.
   Odpowiednio:
   ruble
   Firma MSK Cash Flows:

   2005, 2006, 2007.
   - wzrasta o, czyli razy.
   Odpowiednio:
   ruble
   ruble

Podsumujmy.

1) Postęp geometryczny ( ) to ciąg liczbowy, którego pierwszy wyraz jest różny od zera, a każdy wyraz, zaczynając od drugiego, jest równy poprzedniemu, pomnożonemu przez tę samą liczbę. Liczba ta nazywana jest mianownikiem postępu geometrycznego.

2) Równanie wyrazów postępu geometrycznego wynosi .

3) może przyjmować dowolne wartości z wyjątkiem i.

• jeśli, to wszystkie kolejne wyrazy progresji mają ten sam znak - oni są pozytywne;
• jeśli, to wszystkie kolejne warunki progresji znaki alternatywne;
• kiedy - postęp nazywa się nieskończenie malejącym.

4) , z - właściwość postępu geometrycznego (sąsiednie wyrazy)

Lub
, w (równoodległe terminy)

Kiedy już to znajdziesz, nie zapomnij o tym powinny być dwie odpowiedzi.

Na przykład,

5) Sumę wyrazów postępu geometrycznego oblicza się ze wzoru:
Lub

Jeżeli postęp jest nieskończenie malejący, to:
Lub

WAŻNY! Ze wzoru na sumę wyrazów nieskończenie malejącego postępu geometrycznego korzystamy tylko wtedy, gdy warunek wyraźnie stwierdza, że ​​musimy znaleźć sumę nieskończonej liczby wyrazów.

6) Zadania z odsetkami składanymi oblicza się także ze wzoru na VII wyraz ciągu geometrycznego, pod warunkiem, że gotówka nie zostały wycofane z obiegu:

POSTĘP GEOMETRYCZNY. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH

Postęp geometryczny( ) jest ciągiem liczbowym, którego pierwszy wyraz jest różny od zera, a każdy wyraz, zaczynając od drugiego, jest równy poprzedniemu, pomnożonemu przez tę samą liczbę. Ten numer się nazywa mianownik postępu geometrycznego.

Mianownik postępu geometrycznego może przyjmować dowolną wartość z wyjątkiem i.

• Jeżeli wówczas wszystkie kolejne wyrazy progresji mają ten sam znak - są dodatnie;
• jeśli, to wszyscy kolejni członkowie progresji znakują naprzemiennie;
• kiedy - postęp nazywa się nieskończenie malejącym.

Równanie wyrazów postępu geometrycznego - .

Suma wyrazów postępu geometrycznego obliczane według wzoru:
Lub

Jeśli dla każdej liczby naturalnej N dopasować liczbę rzeczywistą jakiś , to mówią, że jest dane sekwencja liczb :

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , jakiś , . . . .

Zatem sekwencja liczb jest funkcją argumentu naturalnego.

Numer A 1 zwany pierwszy wyraz ciągu , numer A 2 — drugi wyraz ciągu , numer A 3 — trzeci i tak dalej. Numer jakiś zwany n-ty termin sekwencje i liczba naturalna N — jego numer .

Od dwóch sąsiednich członków jakiś I jakiś +1 członek sekwencji jakiś +1 zwany późniejszy (w kierunku jakiś ), A jakiś — poprzedni (w kierunku jakiś +1 ).

Aby zdefiniować ciąg, należy określić metodę, która pozwoli znaleźć element ciągu o dowolnym numerze.

Często kolejność jest określana za pomocą n-te formuły wyrazowe , czyli formuła pozwalająca określić element ciągu na podstawie jego numeru.

Na przykład,

sekwencja pozytywów liczby nieparzyste można podać ze wzoru

jakiś= 2N- 1,

i kolejność naprzemienności 1 I -1 - formuła

B N = (-1)N +1 . ◄

Można ustalić kolejność powtarzalna formuła, to znaczy formuła wyrażająca dowolny element sekwencji, zaczynając od niektórych, a kończąc na poprzednich (jednym lub większej liczbie) elementów.

Na przykład,

Jeśli A 1 = 1 , A jakiś +1 = jakiś + 5

A 1 = 1,

A 2 = A 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

A 3 = A 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

A 4 = A 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

A 5 = A 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Jeśli 1= 1, 2 = 1, jakiś +2 = jakiś + jakiś +1 , wówczas pierwsze siedem wyrazów ciągu liczbowego ustala się w następujący sposób:

1 = 1,

2 = 1,

3 = 1 + 2 = 1 + 1 = 2,

4 = 2 + 3 = 1 + 2 = 3,

5 = 3 + 4 = 2 + 3 = 5,

A 6 = A 4 + A 5 = 3 + 5 = 8,

A 7 = A 5 + A 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sekwencje mogą być finał I nieskończony .

Sekwencja nazywa się ostateczny , jeśli ma skończoną liczbę członków. Sekwencja nazywa się nieskończony , jeśli ma nieskończenie wiele elementów.

Na przykład,

ciąg dwucyfrowych liczb naturalnych:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

finał.

Sekwencja liczb pierwszych:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

nieskończony. ◄

Sekwencja nazywa się wzrastający , jeśli każdy z jego członków, zaczynając od drugiego, jest większy od poprzedniego.

Sekwencja nazywa się malejące , jeśli każdy z jego członków, zaczynając od drugiego, jest mniejszy od poprzedniego.

Na przykład,

2, 4, 6, 8, . . . , 2N, . . . — ciąg rosnący;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /N, . . . — ciąg malejący. ◄

Nazywa się ciąg, którego elementy nie zmniejszają się wraz ze wzrostem liczby lub odwrotnie monotonna sekwencja .

W szczególności ciągi monotoniczne to ciągi rosnące i malejące.

Postęp arytmetyczny

Postęp arytmetyczny to ciąg, w którym każdy człon, zaczynając od drugiego, jest równy poprzedniemu, do którego dodawana jest ta sama liczba.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , jakiś, . . .

jest postępem arytmetycznym, jeśli dla dowolnego Liczba naturalna N warunek jest spełniony:

jakiś +1 = jakiś + D,

Gdzie D - pewna liczba.

Zatem różnica między kolejnymi i poprzednimi wyrazami danego ciągu arytmetycznego jest zawsze stała:

2 - A 1 = 3 - A 2 = . . . = jakiś +1 - jakiś = D.

Numer D zwany różnica postępu arytmetycznego.

Aby zdefiniować postęp arytmetyczny, wystarczy wskazać jego pierwszy wyraz i różnicę.

Na przykład,

Jeśli A 1 = 3, D = 4 , wówczas znajdujemy pierwsze pięć wyrazów ciągu w następujący sposób:

1 =3,

2 = 1 + D = 3 + 4 = 7,

3 = 2 + D= 7 + 4 = 11,

4 = 3 + D= 11 + 4 = 15,

A 5 = A 4 + D= 15 + 4 = 19. ◄

Dla postępu arytmetycznego z pierwszym wyrazem A 1 i różnica D jej N

jakiś = 1 + (N- 1)D.

Na przykład,

znajdź trzydziesty wyraz ciągu arytmetycznego

1, 4, 7, 10, . . .

1 =1, D = 3,

30 = 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = 1 + (N- 2)D,

jakiś= 1 + (N- 1)D,

jakiś +1 = A 1 + II,

wtedy oczywiście

Każdy element ciągu arytmetycznego, zaczynając od drugiego, jest równy średniej arytmetycznej poprzednich i kolejnych elementów.

liczby a, b i c są kolejnymi wyrazami pewnego postępu arytmetycznego wtedy i tylko wtedy, gdy jedna z nich jest równa średniej arytmetycznej dwóch pozostałych.

Na przykład,

jakiś = 2N- 7 , jest postępem arytmetycznym.

Skorzystajmy z powyższego stwierdzenia. Mamy:

jakiś = 2N- 7,

n-1 = 2(N- 1) - 7 = 2N- 9,

n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2N- 5.

Stąd,

◄

Zauważ to N Wyraz dziewiątego ciągu arytmetycznego można znaleźć nie tylko poprzez A 1 , ale także wszelkie poprzednie k

jakiś = k + (N- k)D.

Na przykład,

Dla A 5 można zapisać

5 = 1 + 4D,

5 = 2 + 3D,

5 = 3 + 2D,

5 = 4 + D. ◄

jakiś = nk + kd,

jakiś = n+k - kd,

wtedy oczywiście

każdy element ciągu arytmetycznego, zaczynając od drugiego, jest równy połowie sumy równo rozmieszczonych elementów tego postępu arytmetycznego.

Ponadto dla dowolnego postępu arytmetycznego zachodzi równość:

za m + za n = za k + za l,

m + n = k + l.

Na przykład,

w postępie arytmetycznym

1) A 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (A 9 + A 11 )/2;

2) 28 = 10 = 3 + 7D= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) za 2 + za 12 = za 5 + za 9, ponieważ

2 + 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= za 1 + za 2 + za 3 + . . .+ jakiś,

Pierwszy N wyrazy ciągu arytmetycznego są równe iloczynowi połowy sumy skrajnych wyrazów i liczby wyrazów:

Stąd w szczególności wynika, że ​​jeśli trzeba podsumować warunki

k, k +1 , . . . , jakiś,

wówczas poprzednia formuła zachowuje swoją strukturę:

Na przykład,

w postępie arytmetycznym 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Jeśli podany jest postęp arytmetyczny, to ilości A 1 , jakiś, D, N IS N połączone dwoma wzorami:

Dlatego też, jeśli podane zostaną wartości trzech z tych wielkości, wówczas z tych wzorów zostaną określone odpowiadające im wartości dwóch pozostałych wielkości, połączone w układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi.

Postęp arytmetyczny jest ciągiem monotonicznym. W której:

• Jeśli D > 0 , to rośnie;
• Jeśli D < 0 , to maleje;
• Jeśli D = 0 , to ciąg będzie stacjonarny.

Postęp geometryczny

Postęp geometryczny to ciąg, w którym każdy element, zaczynając od drugiego, jest równy poprzedniemu pomnożonemu przez tę samą liczbę.

B 1 , B 2 , B 3 , . . . , b n, . . .

jest postępem geometrycznym, jeśli dla dowolnej liczby naturalnej N warunek jest spełniony:

b n +1 = b n · Q,

Gdzie Q ≠ 0 - pewna liczba.

Zatem stosunek kolejnego wyrazu danego ciągu geometrycznego do poprzedniego jest liczbą stałą:

B 2 / B 1 = B 3 / B 2 = . . . = b n +1 / b n = Q.

Numer Q zwany mianownik postępu geometrycznego.

Aby zdefiniować postęp geometryczny, wystarczy wskazać jego pierwszy wyraz i mianownik.

Na przykład,

Jeśli B 1 = 1, Q = -3 , wówczas znajdujemy pierwsze pięć wyrazów ciągu w następujący sposób:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · Q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · Q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · Q= 9 · (-3) = -27,

B 5 = B 4 · Q= -27 · (-3) = 81. ◄

B 1 i mianownik Q jej N Termin ten można znaleźć korzystając ze wzoru:

b n = B 1 · qn -1 .

Na przykład,

znajdź siódmy wyraz postępu geometrycznego 1, 2, 4, . . .

B 1 = 1, Q = 2,

B 7 = B 1 · Q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = B 1 · qn,

wtedy oczywiście

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

każdy element ciągu geometrycznego, zaczynając od drugiego, jest równy średniej geometrycznej (proporcjonalnej) elementów poprzedzających i kolejnych.

Ponieważ prawdą jest również sytuacja odwrotna, zachodzi następujące stwierdzenie:

liczby a, b i c są kolejnymi wyrazami pewnego postępu geometrycznego wtedy i tylko wtedy, gdy kwadrat jednej z nich jest równy iloczynowi dwóch pozostałych, to znaczy jedna z liczb jest średnią geometryczną dwóch pozostałych.

Na przykład,

Udowodnimy, że ciąg określony wzorem b n= -3 2 N , jest postępem geometrycznym. Skorzystajmy z powyższego stwierdzenia. Mamy:

b n= -3 2 N,

b n -1 = -3 2 N -1 ,

b n +1 = -3 2 N +1 .

Stąd,

b n 2 = (-3 2 N) 2 = (-3 2 N -1 ) · (-3 · 2 N +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

co dowodzi pożądanego stwierdzenia. ◄

Zauważ to N Termin ciągu geometrycznego można znaleźć nie tylko poprzez B 1 , ale także każdego poprzedniego członka b k , dla czego wystarczy skorzystać ze wzoru

b n = b k · qn - k.

Na przykład,

Dla B 5 można zapisać

b 5 = b 1 · Q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · Q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

wtedy oczywiście

b n 2 = b n - k· b n + k

kwadrat dowolnego wyrazu ciągu geometrycznego, zaczynając od drugiego, jest równy iloczynowi wyrazów tego ciągu w równej odległości od niego.

Ponadto dla dowolnego postępu geometrycznego prawdziwa jest równość:

b m· b n= b k· b l,

M+ N= k+ l.

Na przykład,

w postępie geometrycznym

1) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = B 5 · B 7 ;

2) 1024 = B 11 = B 6 · Q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = B 4 · B 8 ;

4) B 2 · B 7 = B 4 · B 5 , ponieważ

B 2 · B 7 = 2 · 64 = 128,

B 4 · B 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= B 1 + B 2 + B 3 + . . . + b n

Pierwszy N elementy ciągu geometrycznego z mianownikiem Q ≠ 0 obliczane według wzoru:

I kiedy Q = 1 - zgodnie ze wzorem

S n= uwaga 1

Pamiętaj, że jeśli chcesz zsumować warunki

b k, b k +1 , . . . , b n,

wówczas stosuje się wzór:

Na przykład,

w postępie geometrycznym 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Jeśli podany jest postęp geometryczny, to ilości B 1 , b n, Q, N I S n połączone dwoma wzorami:

Dlatego jeśli podane zostaną wartości dowolnych trzech z tych wielkości, wówczas z tych wzorów zostaną określone odpowiednie wartości pozostałych dwóch wielkości, połączone w układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi.

Dla postępu geometrycznego z pierwszym wyrazem B 1 i mianownik Q mają miejsce następujące zdarzenia właściwości monotoniczności :

• progresja wzrasta, jeśli spełniony jest jeden z poniższych warunków:

B 1 > 0 I Q> 1;

B 1 < 0 I 0 < Q< 1;

• Progresja maleje, jeśli spełniony jest jeden z poniższych warunków:

B 1 > 0 I 0 < Q< 1;

B 1 < 0 I Q> 1.

Jeśli Q< 0 , to postęp geometryczny jest naprzemienny: jego wyrazy o liczbach nieparzystych mają ten sam znak, co pierwszy wyraz, a wyrazy o liczbach parzystych mają znak przeciwny. Jest oczywiste, że naprzemienny postęp geometryczny nie jest monotoniczny.

Produkt pierwszy N członków ciągu geometrycznego można obliczyć ze wzoru:

Pn= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) N / 2 .

Na przykład,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Nieskończenie malejący postęp geometryczny

Nieskończenie malejący postęp geometryczny nazywany nieskończonym postępem geometrycznym, którego moduł mianownika jest mniejszy 1 , to jest

|Q| < 1 .

Należy zauważyć, że nieskończenie malejący postęp geometryczny może nie być sekwencją malejącą. Pasuje do okazji

1 < Q< 0 .

Przy takim mianowniku sekwencja jest naprzemienna. Na przykład,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Suma nieskończenie malejącego postępu geometrycznego podaj liczbę, do której suma pierwszych zbliża się bez ograniczeń N członkowie progresji o nieograniczonym zwiększeniu liczby N . Liczba ta jest zawsze skończona i wyrażana jest wzorem

Na przykład,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Związek pomiędzy postępem arytmetycznym i geometrycznym

Arytmetyka i postęp geometryczny są blisko spokrewnione. Spójrzmy tylko na dwa przykłady.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . D , To

b.a 1 , b.a 2 , b.a 3 , . . . b d .

Na przykład,

1, 3, 5, . . . - postęp arytmetyczny z różnicą 2 I

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - postęp geometryczny z mianownikiem 7 2 . ◄

B 1 , B 2 , B 3 , . . . - postęp geometryczny z mianownikiem Q , To

zaloguj a b 1, zaloguj a b 2, zaloguj a b 3, . . . - postęp arytmetyczny z różnicą zaloguj sięQ .

Na przykład,

2, 12, 72, . . . - postęp geometryczny z mianownikiem 6 I

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - postęp arytmetyczny z różnicą lg 6 . ◄

Już w środku Starożytny Egipt Znał nie tylko arytmetykę, ale także postęp geometryczny. Oto na przykład problem z papirusu Rhinda: „Siedem twarzy ma siedem kotów; Każdy kot zjada siedem myszy, każda mysz zjada siedem kłosów kukurydzy, a każdy kłos jęczmienia może wyhodować siedem miar jęczmienia. Jak duże są liczby w tym szeregu i ich suma?

Ryż. 1. Problem progresji geometrycznej starożytnego Egiptu

Zadanie to powtarzano wiele razy, z różnymi różnicami wśród innych narodów, w innym czasie. Na przykład napisane w XIII wieku. „Księga liczydła” Leonarda z Pizy (Fibonacciego) ma problem, w którym w drodze do Rzymu pojawia się 7 starszych kobiet (oczywiście pielgrzymki), z których każda ma 7 mułów, z których każda ma 7 toreb, z których każda zawiera 7 bochenków chleba, każdy z nich ma 7 noży i każdy ma 7 osłon. Problem dotyczy liczby obiektów.

Suma pierwszych n wyrazów postępu geometrycznego S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . Wzór ten można udowodnić na przykład w następujący sposób: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.

Dodaj liczbę b 1 q n do S n i otrzymaj:

Stąd S n (q – 1) = b 1 (q n – 1) i otrzymujemy niezbędny wzór.

Już na jednej z glinianych tabliczek starożytnego Babilonu, datowanej na VI wiek. pne e. zawiera sumę 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. To prawda, podobnie jak w wielu innych przypadkach, nie wiemy, skąd Babilończycy wiedzieli o tym fakcie .

Szybki wzrost postępu geometrycznego w wielu kulturach, zwłaszcza w Indiach, jest wielokrotnie używany jako wizualny symbol ogromu wszechświata. W słynnej legendzie o pojawieniu się szachów władca daje ich wynalazcom możliwość samodzielnego wyboru nagrody i pyta o liczbę ziaren pszenicy, które otrzyma, jeśli jedno umieści się na pierwszym polu szachownicy, dwa na drugi, cztery na trzecim, osiem na czwartym itd., za każdym razem, gdy liczba się podwaja. Władyka myślała, że ​​co najwyżej mówimy o kilku torbach, ale się przeliczył. Łatwo zauważyć, że na wszystkie 64 pola szachownicy wynalazca musiałby otrzymać (2 64 - 1) ziaren, co wyraża się liczbą 20-cyfrową; nawet jeśli zasiejesz całą powierzchnię Ziemi, zebranie zajmie co najmniej 8 lat wymagana ilość ziarna Legendę tę czasami interpretuje się jako wskazówkę o praktycznie nieograniczonych możliwościach drzemiących w grze w szachy.

Łatwo zauważyć, że liczba ta jest w rzeczywistości 20-cyfrowa:

2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (dokładniejsze obliczenie daje 1,84∙10 19). Ale zastanawiam się, czy potrafisz dowiedzieć się, na jaką cyfrę kończy się ta liczba?

Postęp geometryczny może rosnąć, jeśli mianownik jest większy niż 1, lub malejący, jeśli jest mniejszy niż jeden. W tym drugim przypadku liczba q n dla wystarczająco dużego n może stać się dowolnie mała. Podczas gdy rosnący postęp geometryczny rośnie nieoczekiwanie szybko, malejący postęp geometryczny maleje równie szybko.

Im większe n, tym słabsza liczba q n różni się od zera i im bliżej sumy n wyrazów postępu geometrycznego S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) do liczby S = b 1 / ( 1 – q). (Na przykład F. Viet rozumował w ten sposób). Liczbę S nazywa się sumą nieskończenie malejącego postępu geometrycznego. Jednak przez wiele stuleci pytanie, jaki jest sens sumowania CAŁEGO postępu geometrycznego, z jego nieskończoną liczbą wyrazów, nie było dla matematyków wystarczająco jasne.

Malejący postęp geometryczny widać na przykład w aporiach Zenona „Połowa podziału” i „Achilles i żółw”. W pierwszym przypadku widać wyraźnie, że cała droga (przy założeniu długości 1) jest sumą nieskończonej liczby odcinków 1/2, 1/4, 1/8 itd. Dzieje się tak oczywiście w przypadku punktu widzenia idei o sumie skończonej, nieskończonym postępie geometrycznym. A jednak – jak to możliwe?

W aporii o Achillesie sytuacja jest nieco bardziej skomplikowana, ponieważ tutaj mianownikiem progresji nie jest 1/2, ale inna liczba. Załóżmy, że Achilles biegnie z prędkością v, żółw porusza się z prędkością u, a początkowa odległość między nimi wynosi l. Achilles pokona tę drogę w czasie l/v i w tym czasie żółw przemieści się o odległość lu/v. Kiedy Achilles przebiegnie ten odcinek, odległość między nim a żółwiem będzie równa l (u/v) 2 itd. Okazuje się, że dogonienie żółwia oznacza znalezienie sumy nieskończenie malejącego postępu geometrycznego z pierwszym wyrazem l i mianownik u /v. Suma ta – odcinek, którym Achilles ostatecznie pobiegnie na miejsce spotkania z żółwiem – wynosi l / (1 – u /v) = lv / (v – u). Ale znowu, przez długi czas nie było jasne, jak zinterpretować ten wynik i dlaczego w ogóle ma on sens.

Archimedes wykorzystał sumę postępu geometrycznego do określenia pola odcinka paraboli. Niech ten odcinek paraboli będzie ograniczony cięciwą AB i niech styczna w punkcie D paraboli będzie równoległa do AB. Niech C będzie środkiem odcinka AB, E środkiem odcinka AC, F środkiem odcinka CB. Narysujmy linie równoległe do DC przez punkty A, E, F, B; Niech styczna narysowana w punkcie D przecina te proste w punktach K, L, M, N. Narysujmy także odcinki AD i DB. Niech prosta EL przecina prostą AD w punkcie G i parabolę w punkcie H; prosta FM przecina linię DB w punkcie Q i parabolę w punkcie R. Zgodnie z ogólną teorią przekrojów stożkowych DC jest średnicą paraboli (czyli odcinka równoległego do jej osi); ona i styczna w punkcie D mogą służyć jako osie współrzędnych x i y, w których równanie paraboli zapisuje się jako y 2 = 2px (x to odległość od D do dowolnego punktu o danej średnicy, y to długość odcinek równoległy do ​​danej stycznej od tego punktu średnicy do jakiegoś punktu na samej paraboli).

Z równania paraboli wynika, że ​​DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, a ponieważ DK = 2DL, to KA = 4LH. Ponieważ KA = 2LG, LH = HG. Pole odcinka ADB paraboli jest równe polu trójkąta ΔADB i połączonym obszarom odcinków AHD i DRB. Z kolei pole odcinka AHD jest podobnie równe polu trójkąta AHD oraz pozostałych odcinków AH i HD, przy czym na każdym z nich można wykonać tę samą operację - podzielić na trójkąt (Δ) i dwa pozostałe segmenty () itd.:

Pole trójkąta ΔAHD jest równe połowie pola trójkąta ΔALD (mają wspólną podstawę AD, a wysokości różnią się 2 razy), co z kolei jest równe połowie pola ​​trójkąt ΔAKD, a zatem połowa pola trójkąta ΔACD. Zatem pole trójkąta ΔAHD jest równe jednej czwartej pola trójkąta ΔACD. Podobnie pole trójkąta ΔDRB jest równe jednej czwartej pola trójkąta ΔDFB. Zatem pola trójkątów ΔAHD i ΔDRB razem wzięte są równe jednej czwartej pola trójkąta ΔADB. Powtórzenie tej operacji po zastosowaniu do odcinków AH, HD, DR i RB spowoduje wybranie z nich trójkątów, których powierzchnia wzięta będzie 4 razy mniejsza niż powierzchnia trójkątów ΔAHD i ΔDRB wziętych razem, oraz zatem 16 razy mniej niż pole trójkąta ΔADB. I tak dalej:

W ten sposób Archimedes udowodnił, że „każdy odcinek zawarty pomiędzy linią prostą a parabolą stanowi cztery trzecie trójkąta mającego tę samą podstawę i równą wysokość”.

Lekcja i prezentacja na temat: „Ciągi liczbowe. Postęp geometryczny”

Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, recenzji i życzeń! Wszystkie materiały zostały sprawdzone programem antywirusowym.

Pomoce edukacyjne i symulatory w sklepie internetowym Integral dla klasy 9
Potęgi i pierwiastki Funkcje i wykresy

Kochani dzisiaj poznamy kolejny rodzaj progresji.
Tematem dzisiejszej lekcji jest postęp geometryczny.

Postęp geometryczny

Przykład. 1,2,4,8,16... Postęp geometryczny, w którym pierwszy wyraz jest równy jeden i $q=2$.

Przykład. 8,8,8,8... Postęp geometryczny, w którym pierwszy wyraz jest równy osiem,
i $q=1$.

Przykład. 3,-3,3,-3,3... Postęp geometryczny, w którym pierwszy wyraz jest równy trzy,
i $q=-1$.

Postęp geometryczny ma właściwości monotonii.
Jeśli $b_(1)>0$, $q>1$,
wówczas ciąg jest rosnący.
Jeśli $b_(1)>0$, $0 Sekwencja jest zwykle oznaczana w postaci: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Podobnie jak w postępie arytmetycznym, jeśli w postępie geometrycznym liczba elementów jest skończona, to postęp ten nazywamy skończonym postępem geometrycznym.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Należy zauważyć, że jeśli ciąg jest postępem geometrycznym, to ciąg kwadratów wyrazów również jest postępem geometrycznym. W drugim ciągu pierwszy wyraz jest równy $b_(1)^2$, a mianownik jest równy $q^2$.

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego

Wróćmy do naszych przykładów.

Przykład. 1,2,4,8,16... Postęp geometryczny, w którym pierwszy wyraz jest równy jeden,
i $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Przykład. 16,8,4,2,1,1/2… Postęp geometryczny, w którym pierwszy wyraz jest równy szesnastu i $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Przykład. 8,8,8,8... Postęp geometryczny, w którym pierwszy wyraz jest równy osiem, a $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Przykład. 3,-3,3,-3,3... Postęp geometryczny, w którym pierwszy wyraz jest równy trzy i $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Przykład. Biorąc pod uwagę postęp geometryczny $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Wiadomo, że $b_(1)=6, q=3$. Znajdź $b_(5)$.
b) Wiadomo, że $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Znajdź n.
c) Wiadomo, że $q=-2, b_(6)=96$. Znajdź $b_(1)$.
d) Wiadomo, że $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Znajdź q.

Rozwiązanie.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, ponieważ $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Przykład. Różnica między siódmym i piątym wyrazem postępu geometrycznego wynosi 192, suma piątego i szóstego wyrazu postępu wynosi 192. Znajdź dziesiąty wyraz tego postępu.

Rozwiązanie.
Wiemy, że: $b_(7)-b_(5)=192$ i $b_(5)+b_(6)=192$.
Wiemy również: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Następnie:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Otrzymaliśmy układ równań:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
Porównując nasze równania otrzymujemy:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Mamy dwa rozwiązania q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Podstaw kolejno do drugiego równania:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ brak rozwiązań.
Mamy to: $b_(1)=4, q=2$.
Znajdźmy dziesiąty wyraz: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Suma skończonego postępu geometrycznego

Niech dany będzie skończony postęp geometryczny: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Wprowadźmy oznaczenie sumy jej wyrazów: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
W przypadku gdy $q=1$. Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego są równe pierwszemu członowi, to jest oczywiste, że $S_(n)=n*b_(1)$.
Rozważmy teraz przypadek $q≠1$.
Pomnóżmy powyższą kwotę przez q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Notatka:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2 )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Otrzymaliśmy wzór na sumę skończonego postępu geometrycznego.

Rozwiązanie.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Przykład.
Znajdź piąty wyraz znanego ciągu geometrycznego: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

Rozwiązanie.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
1365q-1365=1024q-1$.
341 kw. = 1364 USD.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Charakterystyczna właściwość postępu geometrycznego

Ciąg liczb jest postępem geometrycznym tylko wtedy, gdy kwadrat każdego elementu jest równy iloczynowi dwóch sąsiadujących elementów ciągu. Nie zapominaj, że dla skończonego postępu warunek ten nie jest spełniony dla pierwszego i ostatniego wyrazu.

Moduł dowolnego wyrazu ciągu geometrycznego jest równy średniej geometrycznej jego dwóch sąsiednich składników.

Rozwiązanie.
Skorzystajmy z charakterystycznej właściwości:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ i $x_(2)=-1$.
Zastąpmy kolejno nasze rozwiązania pierwotnym wyrażeniem:
Przy $x=2$ otrzymaliśmy ciąg: 4;6;9 – postęp geometryczny przy $q=1,5$.
Dla $x=-1$ otrzymujemy ciąg: 1;0;0.
Odpowiedź: $x=2.$

Problemy do samodzielnego rozwiązania

Matematyka jest czymludzie kontrolują przyrodę i siebie.

Radziecki matematyk, akademik A.N. Kołmogorow

Postęp geometryczny.

Oprócz problemów z postępami arytmetycznymi, na egzaminach wstępnych z matematyki często pojawiają się także problemy związane z pojęciem postępu geometrycznego. Aby skutecznie rozwiązywać takie problemy, trzeba znać właściwości postępów geometrycznych i posiadać dobrą umiejętność ich wykorzystania.

Artykuł poświęcony jest przedstawieniu podstawowych własności postępu geometrycznego. Znajdują się tu także przykłady rozwiązywania typowych problemów., zapożyczone z zadań egzaminów wstępnych z matematyki.

Zwróćmy najpierw uwagę na podstawowe właściwości postępu geometrycznego i przypomnijmy sobie najwięcej ważne formuły i oświadczenia, związane z tą koncepcją.

Definicja. Ciąg liczb nazywa się postępem geometrycznym, jeżeli każda liczba, począwszy od drugiej, jest równa poprzedniej, pomnożonej przez tę samą liczbę. Liczbę nazywa się mianownikiem postępu geometrycznego.

Dla postępu geometrycznegoformuły są ważne

, (1)

Gdzie . Wzór (1) nazywany jest wzorem na ogólny wyraz postępu geometrycznego, a wzór (2) reprezentuje główną właściwość postępu geometrycznego: każdy wyraz ciągu pokrywa się ze średnią geometryczną sąsiednich wyrazów i .

Notatka, że właśnie ze względu na tę właściwość omawiany postęp nazywa się „geometrycznym”.

Powyższe wzory (1) i (2) uogólniono w następujący sposób:

, (3)

Aby obliczyć kwotę Pierwszy elementy postępu geometrycznegoobowiązuje formuła

Jeśli oznaczymy , to

Gdzie . Ponieważ , wzór (6) jest uogólnieniem wzoru (5).

W przypadku, gdy i postęp geometrycznymaleje w nieskończoność. Aby obliczyć kwotęwszystkich wyrazów nieskończenie malejącego postępu geometrycznego stosuje się wzór

. (7)

Na przykład , korzystając ze wzoru (7) możemy wykazać, Co

Gdzie . Równości te otrzymuje się ze wzoru (7) pod warunkiem, że , (pierwsza równość) i , (druga równość).

Twierdzenie. Jeśli następnie

Dowód. Jeśli następnie

Twierdzenie zostało udowodnione.

Przejdźmy do rozważenia przykładów rozwiązywania problemów na temat „Postęp geometryczny”.

Przykład 1. Biorąc pod uwagę: i . Znajdować .

Rozwiązanie. Jeśli zastosujemy wzór (5), to

Odpowiedź: .

Przykład 2. Niech będzie. Znajdować .

Rozwiązanie. Ponieważ i , korzystamy ze wzorów (5), (6) i otrzymujemy układ równań

Jeśli drugie równanie układu (9) zostanie podzielone przez pierwsze, następnie lub . Z tego wynika, że . Rozważmy dwa przypadki.

1. Jeśli to z pierwszego równania układu (9) mamy.

2. Jeśli , to .

Przykład 3. Niech , i . Znajdować .

Rozwiązanie. Ze wzoru (2) wynika, że ​​lub . Ponieważ , wtedy lub .

Według warunku. Jednakże zatem. Od i wtedy mamy układ równań

Jeśli drugie równanie układu zostanie podzielone przez pierwsze, to lub .

Ponieważ równanie ma unikalny odpowiedni pierwiastek. W tym przypadku wynika to z pierwszego równania układu.

Uwzględniając wzór (7) otrzymujemy.

Odpowiedź: .

Przykład 4. Biorąc pod uwagę: i . Znajdować .

Rozwiązanie. Od tego czasu.

Ponieważ , wtedy lub

Zgodnie ze wzorem (2) mamy . W związku z tym z równości (10) otrzymujemy lub .

Jednak pod warunkiem.

Przykład 5. Wiadomo, że . Znajdować .

Rozwiązanie. Zgodnie z twierdzeniem mamy dwie równości

Ponieważ , wtedy lub . Ponieważ wtedy .

Odpowiedź: .

Przykład 6. Biorąc pod uwagę: i . Znajdować .

Rozwiązanie. Uwzględniając wzór (5) otrzymujemy

Od tego czasu. Od , i , wtedy .

Przykład 7. Niech będzie. Znajdować .

Rozwiązanie. Według wzoru (1) możemy pisać

Dlatego mamy lub . Wiadomo, że i , dlatego i .

Odpowiedź: .

Przykład 8. Znajdź mianownik nieskończonego malejącego postępu geometrycznego, jeśli

I .

Rozwiązanie. Ze wzoru (7) wynika I . Stąd i z warunków zadania otrzymujemy układ równań

Jeśli pierwsze równanie układu jest kwadratowe, a następnie podziel powstałe równanie przez drugie równanie, wtedy otrzymamy

Lub .

Odpowiedź: .

Przykład 9. Znajdź wszystkie wartości, dla których ciąg , jest postępem geometrycznym.

Rozwiązanie. Niech , i . Zgodnie ze wzorem (2), który określa główną właściwość ciągu geometrycznego, możemy napisać lub .

Stąd otrzymujemy równanie kwadratowe, czyje są korzenie I .

Sprawdźmy: czy, następnie i ; jeśli , to i .

W pierwszym przypadku mamy i , a w drugim – i .

Odpowiedź: , .

Przykład 10.Rozwiązać równanie

, (11)

gdzie i .

Rozwiązanie. Lewa strona równania (11) jest sumą nieskończonego malejącego postępu geometrycznego, w którym i , pod warunkiem: i .

Ze wzoru (7) wynika, Co . W związku z tym równanie (11) przyjmuje postać Lub . Odpowiedni korzeń równanie kwadratowe Jest

Odpowiedź: .

Przykład 11. P ciąg liczb dodatnichtworzy postęp arytmetyczny, A – postęp geometryczny, co to ma wspólnego. Znajdować .

Rozwiązanie. Ponieważ ciąg arytmetyczny, To (główna właściwość postępu arytmetycznego). Ponieważ, następnie lub . Oznacza to, że postęp geometryczny ma postać. Według wzoru (2), to zapisujemy to.

Od i , wtedy . W tym przypadku wyrażenie przyjmuje postać lub . Według warunku, więc z równaniauzyskujemy unikalne rozwiązanie rozważanego problemu, tj. .

Odpowiedź: .

Przykład 12. Oblicz sumę

. (12)

Rozwiązanie. Pomnóż obie strony równości (12) przez 5 i otrzymaj

Jeśli odejmiemy (12) od wynikowego wyrażenia, To

Lub .

Aby obliczyć, podstawiamy wartości do wzoru (7) i otrzymujemy . Od tego czasu.

Odpowiedź: .

Podane tutaj przykłady rozwiązywania problemów będą przydatne kandydatom podczas przygotowań do egzaminów wstępnych. Do głębszego zbadania metod rozwiązywania problemów, związane z postępem geometrycznym, może być użyte pomoc naukowa z listy polecanej literatury.

1. Zbiór problemów z matematyki dla kandydatów na studia / wyd. MI. Scanavi. – M.: Mir i Edukacja, 2013. – 608 s.

2. Suprun V.P. Matematyka dla uczniów szkół średnich: sekcje dodatkowe program nauczania. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 s.

3. Medyński M.M. Pełny kurs elementarna matematyka w zadaniach i ćwiczeniach. Księga 2: Sekwencje liczb i progresje. – M.: Edyta, 2015. – 208 s.

Nadal masz pytania?

Aby skorzystać z pomocy korepetytora zarejestruj się.

stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.