Odcinek łączący środek okręgu z punktami na jego obwodzie nazywamy promieniem. Co więcej, w każdym okręgu wszystkie promienie są sobie równe. Średnica okręgu to linia prosta łącząca dwa punkty na okręgu i przechodząca przez jego środek. Będziemy potrzebować tego wszystkiego, aby poprawnie obliczyć pole koła. Dodatkowo wartość tę oblicza się za pomocą liczby Pi.

Jak obliczyć pole koła

Na przykład mamy okrąg o promieniu czterech centymetrów. Obliczmy jego pole: S=(3,14)*4^2=(3,14)*16=50,24. Zatem powierzchnia koła wynosi 50,24 centymetrów kwadratowych.

Istnieje również specjalny wzór na obliczenie pola koła przez jego średnicę: S=(pi/4) d^2.

Spójrzmy na przykład takiego obliczenia koła przez jego średnicę, znając promień figury. Na przykład mamy okrąg o promieniu czterech centymetrów. Najpierw musisz znaleźć średnicę dwukrotnie większą od samego promienia: d=2R, d=2*4=8.

Teraz należy na podstawie uzyskanych danych obliczyć pole koła, korzystając ze wzoru opisanego powyżej: S=((3,14)/4 )*8^2=0,785*64=50,24.

Jak widać, ostatecznie otrzymujemy taką samą odpowiedź, jak w pierwszym przypadku.

Znajomość opisanych powyżej standardowych wzorów do prawidłowego obliczenia pola koła pomoże Ci łatwo znaleźć brakujące wartości i określić powierzchnię sektorów.

Wiemy więc, że wzór na obliczenie pola koła oblicza się poprzez pomnożenie stałej wartości Pi przez kwadrat promienia samego koła. Sam promień można wyrazić w kategoriach rzeczywistego obwodu, zastępując wyrażenie w postaci obwodu we wzorze. Czyli: R=l/2pi.

Teraz musimy podstawić tę równość do wzoru na obliczenie pola koła, w wyniku czego otrzymamy wzór na znalezienie obszaru tego figura geometryczna przez obwód: S=pi((l/2pi))^2=l^2/(4pi).

Na przykład mamy okrąg, którego obwód wynosi osiem centymetrów. Podstawiamy wartość do rozważanego wzoru: S=(8^2)/(4*3,14)=64/(12,56)=5. I otrzymujemy obszar koła równy pięciu centymetrom kwadratowym.

Okrąg to widoczny zbiór wielu punktów znajdujących się w tej samej odległości od środka. Aby obliczyć jego pole, trzeba znać promień, średnicę, liczbę π i obwód.

Ilości potrzebne do obliczenia pola koła

Odległość ograniczona przez punkt środkowy okręgu i dowolny z punktów okręgu nazywana jest promieniem tej figury geometrycznej. Długości wszystkich promieni jednego okręgu są takie same. Odcinek pomiędzy dwoma dowolnymi punktami okręgu przechodzący przez punkt środkowy nazywa się średnicą. Długość średnicy jest równa długości promienia pomnożonej przez 2.

Aby obliczyć pole koła, stosuje się wartość liczby π. Wartość ta jest równa stosunkowi obwodu do długości średnicy koła i ma wartość stałą. Π = 3,1415926. Obwód oblicza się ze wzoru L=2πR.

Znajdź obszar koła za pomocą promienia

Dlatego pole koła jest równe iloczynowi liczby π i promienia koła podniesionego do drugiej potęgi. Jako przykład przyjmijmy, że długość promienia okręgu wynosi 5 cm. Wtedy pole koła S będzie równe 3,14*5^2=78,5 metra kwadratowego. cm.

Pole koła przez średnicę

Pole koła można również obliczyć, znając średnicę koła. W tym przypadku S = (π/4)*d^2, gdzie d jest średnicą okręgu. Weźmy ten sam przykład, gdzie promień wynosi 5 cm, a jego średnica będzie wynosić 5*2=10 cm Pole koła wynosi S = 3,14/4*10^2=78,5 cm2. Wynik równy sumie obliczeń z pierwszego przykładu potwierdza poprawność obliczeń w obu przypadkach.

Pole koła przez obwód

Jeśli promień okręgu przedstawimy na obwodzie, wówczas wzór będzie miał postać: R=(L/2)π. Podstawmy to wyrażenie do wzoru na pole koła i otrzymamy S=(L^2)/4π. Rozważmy przykład, w którym obwód wynosi 10 cm. Wtedy pole koła wynosi S = (10^2)/4*3,14=7,96 metra kwadratowego. cm.

Pole koła na długości boku wpisanego kwadratu

Jeżeli w okrąg wpisano kwadrat, to długość średnicy tego okręgu jest równa długości przekątnej kwadratu. Znając wielkość boku kwadratu, łatwo obliczyć średnicę koła, korzystając ze wzoru: d^2=2a^2. Innymi słowy, średnica do drugiej potęgi równy bok do kwadratu do drugiej potęgi pomnożonej przez 2.

Po obliczeniu długości średnicy koła możesz poznać jego promień, a następnie skorzystać z jednego ze wzorów do określenia pola koła.

Obszar sektora koła

Sektor to część okręgu ograniczona 2 promieniami i łukiem pomiędzy nimi. Aby poznać jego obszar, musisz zmierzyć kąt sektora. Następnie musisz utworzyć ułamek, którego licznikiem będzie wartość kąta sektora, a mianownikiem będzie 360. Aby obliczyć powierzchnię sektora, wartość uzyskana przez podzielenie ułamka musi należy pomnożyć przez pole koła obliczone za pomocą jednego z powyższych wzorów.

Okręgi wymagają bardziej ostrożnego podejścia i są znacznie rzadsze w zadaniu B5. Jednocześnie ogólny schemat rozwiązań jest jeszcze prostszy niż w przypadku wielokątów (patrz lekcja „Obszary wielokątów na siatce współrzędnych”).

W takich zadaniach wystarczy znaleźć promień okręgu R. Następnie możesz obliczyć pole koła za pomocą wzoru S = πR 2. Z tego wzoru wynika również, że aby go rozwiązać, wystarczy znaleźć R 2.

Aby znaleźć wskazane wartości, wystarczy wskazać punkt na okręgu leżący na przecięciu linii siatki. A następnie skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa. Rozważmy konkretne przykłady obliczenia promienia:

Zadanie. Znajdź promienie trzech okręgów pokazanych na rysunku:

Wykonajmy dodatkowe konstrukcje w każdym okręgu:

W każdym przypadku wybierany jest punkt B na okręgu, który leży na przecięciu linii siatki. Punkt C w okręgach 1 i 3 uzupełnia figurę trójkąt prostokątny. Pozostaje znaleźć promienie:

Rozważmy trójkąt ABC w pierwszym okręgu. Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.

Dla drugiego okręgu wszystko jest oczywiste: R = AB = 2.

Trzeci przypadek jest podobny do pierwszego. Z trójkąta ABC za pomocą twierdzenia Pitagorasa: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 1 2 + 2 2 = 5.

Teraz wiemy, jak znaleźć promień okręgu (lub przynajmniej jego kwadrat). Dlatego możemy znaleźć obszar. Występują problemy, w których trzeba znaleźć obszar sektora, a nie cały okrąg. W takich przypadkach łatwo jest dowiedzieć się, jaką częścią koła jest ten sektor, a tym samym znaleźć jego pole.

Zadanie. Znajdź obszar S zacienionego sektora. W odpowiedzi proszę wskazać S/π.

Oczywiście sektor to jedna czwarta koła. Zatem S = 0,25 S koła.

Pozostaje znaleźć S koła - obszar koła. Aby to zrobić, wykonujemy dodatkową konstrukcję:

Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym. Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa mamy: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.

Teraz znajdujemy obszar koła i sektor: S okrąg = πR 2 = 8π ; S = 0,25 S okrąg = 2π.

Wreszcie pożądaną wartością jest S /π = 2.

Obszar sektora o nieznanym promieniu

To jest absolutnie nowy typ zadań, w latach 2010-2011 czegoś takiego nie było. Zgodnie z warunkiem otrzymujemy okrąg pewien obszar(mianowicie obszar, a nie promień!). Następnie w tym okręgu wybierany jest sektor, którego obszar należy znaleźć.

Dobra wiadomość jest taka, że ​​tego typu zadania są najłatwiejszymi ze wszystkich zadań obszarowych pojawiających się na egzaminie Unified State Examination z matematyki. Ponadto okrąg i sektor są zawsze umieszczane na siatce współrzędnych. Dlatego, aby dowiedzieć się, jak rozwiązać takie problemy, wystarczy spojrzeć na zdjęcie:

Niech pierwotny okrąg będzie miał pole S = 80. Następnie można go podzielić na dwa sektory o polu S = 40 każdy (patrz krok 2). Podobnie każdą z tych „połówek” sektorów można ponownie podzielić na pół – otrzymamy cztery sektory o powierzchni S = 20 każdy (patrz krok 3). Ostatecznie możemy każdy z tych sektorów podzielić na jeszcze dwa - otrzymamy 8 sektorów „złomów”. Powierzchnia każdego z tych „skrawków” będzie wynosić S = 10.

Uwaga: nie ma lepszego podziału na żadne problemy matematyczne USE! Zatem algorytm rozwiązania Problemu B-3 jest następujący:

1. Wytnij oryginalny okrąg na 8 „skrawków”. Pole każdego z nich wynosi dokładnie 1/8 pola całego koła. Przykładowo, jeśli zgodnie z warunkiem okrąg ma pole S koła = 240, to „skrawki” mają pole S = 240: 8 = 30;
2. Dowiedz się, ile „skrawków” mieści się w oryginalnym sektorze, którego obszar należy znaleźć. Przykładowo, jeśli nasz sektor zawiera 3 „złomy” o powierzchni 30, to powierzchnia wymaganego sektora wynosi S = 3 · 30 = 90. To będzie odpowiedź.

To wszystko! Problem rozwiązuje się praktycznie ustnie. Jeśli coś nadal nie jest jasne, kup pizzę i pokrój ją na 8 kawałków. Każdy taki element będzie tym samym sektorem – „skrawkami”, który można połączyć w większe kawałki.

Przyjrzyjmy się teraz przykładom z próbnego egzaminu Unified State Exam:

Zadanie. Na papierze w kratkę narysowano okrąg o powierzchni 40. Znajdź obszar zacienionej figury.

Zatem pole koła wynosi 40. Podzielmy je na 8 sektorów - każdy o powierzchni S = 40: 5 = 8. Otrzymujemy:

Oczywiście zacieniony sektor składa się z dokładnie dwóch sektorów „skrawków”. Zatem jego pole wynosi 2 · 5 = 10. To jest całe rozwiązanie!

Zadanie. Na papierze w kratkę narysowano okrąg o powierzchni 64. Znajdź obszar zacienionej figury.

Ponownie podziel cały okrąg na 8 równych sektorów. Oczywiście obszar jednego z nich jest dokładnie tym, co należy znaleźć. Dlatego jego powierzchnia wynosi S = 64: 8 = 8.

Zadanie. Na papierze w kratkę narysowano okrąg o powierzchni 48. Znajdź obszar zacienionej figury.

Ponownie podziel okrąg na 8 równych sektorów. Powierzchnia każdego z nich jest równa S = 48: 8 = 6. Wymagany sektor zawiera dokładnie trzy sektory „złomu” (patrz rysunek). Dlatego obszar wymaganego sektora wynosi 3 · 6 = 18.

• Długość średnicy to odcinek przechodzący przez środek okręgu i łączący dwa przeciwne punkty okręgu, lub promień to odcinek, którego jeden z skrajnych punktów znajduje się w środku okręgu, a drugi to na łuku koła. A więc średnica równa długości promień pomnożony przez dwa.
• Wartość liczby π. Ta wartość jest stała - ułamkiem irracjonalnym, który nie ma końca. Nie jest to jednak okresowe. Ten numer wyraża stosunek obwód do jego promienia. Aby obliczyć obszar koła w zadaniach kurs szkolny stosuje się wartość π podaną z dokładnością do setnych - 3,14.

Wzory na znalezienie obszaru koła, jego odcinka lub sektora

W zależności od konkretnych warunków problemu geometrycznego, dwa wzory na znalezienie obszaru koła:

Aby określić najłatwiejszy sposób znalezienia obszaru koła, należy dokładnie przeanalizować warunki zadania.

Szkolny kurs geometrii obejmuje także zadania dotyczące obliczania powierzchni segmentów lub sektorów, dla których stosuje się specjalne wzory:

1. Sektor to część okręgu ograniczona okręgiem i kątem, którego wierzchołek znajduje się w środku. Powierzchnię sektora oblicza się ze wzoru: S = (π*r 2 /360)*A;
   • r – promień;
   • A jest wielkością kąta w stopniach.
   • r – promień;
   • p – długość łuku.

Istnieje również druga opcja S = 0,5*p*r;

2. Odcinek to część ograniczona odcinkiem okręgu (akordu) i okręgu. Jego pole można obliczyć korzystając ze wzoru S=(π*r 2 /360)*A ± S ∆ ;

• r – promień;
• A – wartość kąta w stopniach;
• S ∆ – pole trójkąta, którego bokami są promienie i cięciwa okręgu; w tym przypadku jeden z jego wierzchołków znajduje się w środku okręgu, a dwa pozostałe w punktach styku łuku okręgu z cięciwą. Ważny punkt– znak „minus” umieszcza się, jeśli wartość A jest mniejsza niż 180 stopni, a znak „plus” – jeśli jest większa niż 180 stopni.

Aby uprościć rozwiązanie problemu geometrycznego, możesz obliczyć obszar koła online. Specjalny program szybko i dokładnie wykona obliczenia w ciągu kilku sekund. Jak obliczyć pole kształtów online? Aby to zrobić, musisz wprowadzić znane dane początkowe: promień, średnicę, kąt.

Kalkulator okręgu to usługa specjalnie zaprojektowana do obliczania wymiarów geometrycznych kształtów online. Dzięki tej usłudze w prosty sposób można określić dowolny parametr figury na podstawie okręgu. Na przykład: znasz objętość piłki, ale musisz obliczyć jej powierzchnię. Nic prostszego! Wybierz odpowiednią opcję, wprowadź wartość liczbową i kliknij przycisk Oblicz. Usługa nie tylko wyświetla wyniki obliczeń, ale także udostępnia wzory, według których zostały wykonane. Korzystając z naszego serwisu w łatwy sposób obliczysz promień, średnicę, obwód (obwód koła), pole koła i kuli oraz objętość kuli.

Oblicz promień

Zadanie obliczenia wartości promienia jest jednym z najczęstszych. Powód jest dość prosty, ponieważ znając ten parametr, można łatwo określić wartość dowolnego innego parametru okręgu lub kuli. Nasza strona jest zbudowana dokładnie na tym schemacie. Niezależnie od tego, jaki parametr początkowy wybrałeś, w pierwszej kolejności obliczana jest wartość promienia i na niej opierają się wszystkie kolejne obliczenia. Aby uzyskać większą dokładność obliczeń, witryna wykorzystuje liczbę Pi w zaokrągleniu do 10. miejsca po przecinku.

Oblicz średnicę

Obliczanie średnicy to najprostszy rodzaj obliczeń, jakie może wykonać nasz kalkulator. Ręczne uzyskanie wartości średnicy wcale nie jest trudne, w tym celu nie trzeba wcale korzystać z Internetu. Średnica równa wartości promień pomnożony przez 2. Średnica – najważniejszy parametr koło, które jest niezwykle często używane w Życie codzienne. Absolutnie każdy powinien umieć to obliczyć i poprawnie wykorzystać. Korzystając z możliwości naszego serwisu, w ułamku sekundy obliczysz średnicę z dużą dokładnością.

Znajdź obwód

Nie możesz sobie nawet wyobrazić, ile okrągłych przedmiotów jest wokół nas i co ważna rola grają w naszym życiu. Umiejętność obliczenia obwodu jest niezbędna każdemu, od zwykłego kierowcy po czołowego inżyniera-konstruktora. Wzór na obliczenie obwodu jest bardzo prosty: D=2Pr. Obliczenia można łatwo wykonać na kartce papieru lub za pomocą tego Internetu asystent Zaletą tego ostatniego jest to, że ilustruje wszystkie obliczenia obrazami. A na dodatek druga metoda jest znacznie szybsza.

Oblicz pole koła

Pole koła – podobnie jak wszystkie parametry wymienione w tym artykule – jest podstawą współczesnej cywilizacji. Możliwość obliczenia i poznania obszaru koła jest przydatna dla wszystkich bez wyjątku grup ludności. Trudno wyobrazić sobie dziedzinę nauki i techniki, w której nie byłaby konieczna znajomość pola koła. Wzór do obliczeń znowu nie jest trudny: S=PR 2. Ta formuła i nasz kalkulator online pomogą Ci znaleźć pole dowolnego koła bez dodatkowego wysiłku. Nasza strona gwarantuje wysoką dokładność obliczeń i ich błyskawiczne wykonanie.

Oblicz pole kuli

Wzór na obliczenie powierzchni kuli wcale nie jest bardziej złożone formuły opisano w poprzednich akapitach. S=4Pr 2 . Ten prosty zestaw liter i cyfr od wielu lat pozwala ludziom dość dokładnie obliczyć powierzchnię kuli. Gdzie można to zastosować? Tak, wszędzie! Na przykład wiesz, że powierzchnia globu wynosi 510 100 000 kilometrów kwadratowych. Nie ma sensu wymieniać, gdzie można zastosować znajomość tej formuły. Zakres wzoru na obliczenie pola kuli jest zbyt szeroki.

Oblicz objętość kuli

Aby obliczyć objętość kuli, skorzystaj ze wzoru V = 4/3 (Pr 3). Został użyty do stworzenia naszego serwis internetowy. Strona umożliwia obliczenie objętości piłki w ciągu kilku sekund, jeśli znasz którykolwiek z następujących parametrów: promień, średnica, obwód, pole koła lub pole kuli. Można go również użyć do obliczeń odwrotnych, na przykład aby poznać objętość kuli i uzyskać wartość jej promienia lub średnicy. Dziękujemy za szybkie zapoznanie się z możliwościami naszego kalkulatora koła. Mamy nadzieję, że spodobała Ci się nasza witryna i już dodałeś ją do zakładek.