W równoległoboku wszystkie boki są równe. Równoległobok

Równoległobok to czworokąt, którego przeciwne boki są równoległe, tj. leżą na liniach równoległych

Właściwości równoległoboku:
Twierdzenie 22. Przeciwległe boki równoległoboku są równe.
Dowód. W równoległoboku ABCD rysujemy przekątną AC. Trójkąty ACD i ACB są równe, ponieważ mają wspólny bok AC i dwie pary równe kąty. sąsiadujące z nim: ∠ CAB=∠ ACD, ∠ ACB=∠ DAC (jako kąty poprzeczne z równoległymi liniami AD i BC). Oznacza to, że AB = CD i BC = AD, jako odpowiadające boki równych trójkątów itp. Z równości tych trójkątów wynika również, że odpowiednie kąty trójkątów są równe:
Twierdzenie 23. Przeciwległe kąty równoległoboku są równe: ∠ A=∠ C i ∠ B=∠ D.
Równość pierwszej pary wynika z równości trójkątów ABD i CBD, a drugiej - ABC i ACD.
Twierdzenie 24. Sąsiednie kąty równoległoboku, tj. kąty przylegające do jednej strony sumują się do 180 stopni.
Dzieje się tak, ponieważ są to kąty wewnętrzne jednostronne.
Twierdzenie 25. Przekątne równoległoboku przecinają się w punkcie przecięcia.
Dowód. Rozważmy trójkąty BOC i AOD. Zgodnie z pierwszą własnością AD=BC ∠ OAD=∠ OCB i ∠ ODA=∠ OBC leżące poprzecznie dla prostych równoległych AD i BC. Dlatego trójkąty BOC i AOD są równe pod kątem bocznym i przyległym. Oznacza to BO=OD i AO=OS, podobnie jak odpowiadające im boki równych trójkątów itp.

Znaki równoległoboku
Twierdzenie 26. Jeżeli przeciwne strony czworokąta są równe parami, to jest to równoległobok.
Dowód. Niech czworokąt ABCD ma odpowiednio równe boki AD i BC, AB i CD (rys. 2). Narysujmy przekątną AC. Trójkąty ABC i ACD są równe z trzech stron. Wtedy kąty BAC i DCA są sobie równe, zatem AB jest równoległy do ​​CD. Równoległość boków BC i AD wynika z równości kątów CAD i ACB.
Twierdzenie 27. Jeżeli przeciwne kąty czworokąta są równe parami, to jest to równoległobok.
Niech ∠ A=∠ C i ∠ B=∠ D. Ponieważ ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360 o, następnie ∠ A+∠ B=180 o i boki AD i BC są równoległe (w oparciu o równoległość linii prostych). Udowodnimy również równoległość boków AB i CD i dochodzimy do wniosku, że ABCD jest z definicji równoległobokiem.
Twierdzenie 28. Jeżeli sąsiednie narożniki czworoboku, tj. Kąty sąsiadujące z jednym bokiem sumują się do 180 stopni, wtedy jest to równoległobok.
Jeśli wewnętrzne kąty jednostronne sumują się do 180 stopni, wówczas linie proste są równoległe. Zatem AB jest równoległe do CD, a BC jest równoległe do AD. Z definicji czworokąt jest równoległobokiem.
Twierdzenie 29. Jeżeli przekątne czworokąta przecinają się w punkcie przecięcia, to czworokąt jest równoległobokiem.
Dowód. Jeśli AO = OC, BO = OD, to trójkąty AOD i BOC są równe, ponieważ mają równe (pionowe) kąty w wierzchołku O, zawarte pomiędzy parami równych boków. Z równości trójkątów wnioskujemy, że AD i BC są równe. Boki AB i CD są również równe, a czworokąt okazuje się równoległobokiem zgodnie z kryterium 1.
Twierdzenie 30. Jeśli czworokąt ma parę równych, równoległych boków, to jest równoległobokiem.
Niech boki AB i CD czworokąta ABCD będą równoległe i równe. Narysujmy przekątne AC i BD. Z równoległości tych prostych wynika, że ​​kąty poprzeczne ABO = CDO i BAO = OCD są równe. Trójkąty ABO i CDO mają równe kąty boczne i przyległe. Zatem AO=OS, VO=ОD, tj. Przekątne są podzielone na pół przez punkt przecięcia i czworokąt okazuje się równoległobokiem zgodnie z kryterium 4.

W geometrii rozważa się szczególne przypadki równoległoboków.

Dowód

Najpierw narysujmy przekątną AC. Otrzymujemy dwa trójkąty: ABC i ADC.

Ponieważ ABCD jest równoległobokiem, prawdziwe jest następujące stwierdzenie:

AD || BC \Strzałka w prawo \angle 1 = \angle 2 jak leżenie w poprzek.

AB || CD\Strzałka w prawo\kąt3 =\kąt 4 jak leżenie w poprzek.

Zatem \triangle ABC = \triangle ADC (według drugiego kryterium: i AC jest wspólne).

A zatem \triangle ABC = \triangle ADC, następnie AB = CD i AD = BC.

Udowodniony!

2. Przeciwne kąty są identyczne.

Dowód

Według dowodu właściwości 1 Wiemy to \angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4. Zatem suma przeciwległych kątów wynosi: \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4. Biorąc pod uwagę, że \triangle ABC = \triangle ADC otrzymujemy \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .

Udowodniony!

3. Przekątne są podzielone na pół przez punkt przecięcia.

Dowód

Narysujmy kolejną przekątną.

Przez nieruchomość 1 wiemy, że przeciwne strony są identyczne: AB = CD. Jeszcze raz zwróć uwagę na leżące w poprzek równe kąty.

Zatem jasne jest, że \triangle AOB = \triangle COD zgodnie z drugim kryterium równości trójkątów (dwa kąty i bok między nimi). Oznacza to, że BO = OD (naprzeciwko narożników \angle 2 i \angle 1) i AO = OC (naprzeciwko odpowiednio narożników \angle 3 i \angle 4).

Udowodniony!

Znaki równoległoboku

Jeśli w Twoim problemie występuje tylko jedna cecha, wówczas figura jest równoległobokiem i możesz wykorzystać wszystkie właściwości tej figury.

Dla lepszego zapamiętywania zwróć uwagę, że znak równoległoboku odpowie na następujące pytanie: „jak się dowiedzieć?”. To znaczy, jak dowiedzieć się, że dana figura jest równoległobokiem.

1. Równoległobok to czworokąt, którego dwa boki są równe i równoległe.

AB = CD; AB || CD\Rightarrow ABCD jest równoległobokiem.

Dowód

Przyjrzyjmy się bliżej. Dlaczego AD || PNE?

\triangle ABC = \triangle ADC wg nieruchomość 1: AB = CD, AC - wspólne i \angle 1 = \angle 2 leżące poprzecznie z równoległymi AB i CD oraz sieczną AC.

Ale jeśli \triangle ABC = \triangle ADC , to \angle 3 = \angle 4 (leżą odpowiednio naprzeciw AB i CD). A zatem AD || BC (\angle 3 i \angle 4 - te leżące w poprzek też są równe).

Pierwszy znak jest prawidłowy.

2. Równoległobok to czworokąt, którego przeciwne strony są równe.

AB = CD, AD = BC \Strzałka w prawo ABCD jest równoległobokiem.

Dowód

Rozważmy ten znak. Narysujmy jeszcze raz przekątną AC.

Przez nieruchomość 1\trójkąt ABC = \trójkąt ACD .

Wynika, że: \angle 1 = \angle 2 \Strzałka w prawo AD || PNE. I \angle 3 = \angle 4 \Strzałka w prawo AB || płyta CD, czyli ABCD jest równoległobokiem.

Drugi znak jest prawidłowy.

3. Równoległobok to czworokąt, którego przeciwległe kąty są równe.

\angle A = \angle C , \angle B = \angle D \Strzałka w prawo ABCD- równoległobok.

Dowód

2 \alfa + 2 \beta = 360^(\circ)(ponieważ ABCD jest czworokątem i \angle A = \angle C , \angle B = \angle D według warunku).

Okazuje się, że \alpha + \beta = 180^(\circ) . Ale \alfa i \beta są jednostronne wewnętrzne w siecznej AB.

A fakt, że \alpha + \beta = 180^(\circ) oznacza również, że AD || PNE.

Co więcej, \alpha i \beta są jednostronne wewnętrznie w siecznej AD. A to oznacza AB || PŁYTA CD.

Trzeci znak jest prawidłowy.

4. Równoległobok to czworokąt, którego przekątne są podzielone na pół w punkcie przecięcia.

AO = OC; BO = Równoległobok OD\Strzałka w prawo.

Dowód

BO = OD; AO = OC , \angle 1 = \angle 2 w pionie \Strzałka w prawo \triangle AOB = \triangle COD, \Strzałka w prawo \kąt 3 = \kąt 4 i \Rightarrow AB || PŁYTA CD.

Podobnie BO = OD; AO = OC, \angle 5 = \angle 6 \Strzałka w prawo \triangle AOD = \triangle BOC \Strzałka w prawo \angle 7 = \angle 8 i \Rightarrow AD || PNE.

Czwarty znak jest poprawny.

Koncepcja równoległoboku

Definicja 1

Równoległobok to czworokąt, w którym przeciwne strony są do siebie równoległe (ryc. 1).

Obrazek 1.

Równoległobok ma dwie główne właściwości. Rozważmy je bez dowodu.

Właściwość 1: Przeciwległe boki i kąty równoległoboku są odpowiednio równe.

Właściwość 2: Przekątne narysowane w równoległoboku są podzielone na pół przez punkt przecięcia.

Znaki równoległoboku

Rozważmy trzy cechy równoległoboku i przedstawmy je w formie twierdzeń.

Twierdzenie 1

Jeśli dwa boki czworokąta są sobie równe i równoległe, to czworokąt ten będzie równoległobokiem.

Dowód.

Dajmy sobie czworokąt $ABCD$. W którym $AB||CD$ i $AB=CD$ Narysujmy w nim przekątną $AC$ (rys. 2).

Rysunek 2.

Rozważmy linie równoległe $AB$ i $CD$ oraz ich sieczną $AC$. Następnie

\[\kąt CAB=\kąt DCA\]

jak skrzyżowane rogi.

Zgodnie z kryterium $I$ równości trójkątów,

ponieważ $AC$ jest ich wspólną stroną, a $AB=CD$ według warunku. Oznacza

\[\kąt DAC=\kąt ACB\]

Rozważmy proste $AD$ i $CB$ oraz ich sieczną $AC$; z ostatniej równości kątów leżących otrzymujemy $AD||CB$.) Zatem z definicji $1$ ten czworokąt jest równoległobokiem.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Twierdzenie 2

Jeśli przeciwne strony czworokąta są sobie równe, to jest to równoległobok.

Dowód.

Dajmy sobie czworokąt $ABCD$. Gdzie $AD=BC$ i $AB=CD$. Narysujmy w nim przekątną $AC$ (rys. 3).

Rysunek 3.

Ponieważ $AD=BC$, $AB=CD$ i $AC$ są wspólnym bokiem, to zgodnie z kryterium $III$ równości trójkątów

\[\trójkąt DAC=\trójkąt ACB\]

\[\kąt DAC=\kąt ACB\]

Rozważmy proste $AD$ i $CB$ oraz ich sieczną $AC$; z ostatniej równości kątów leżących otrzymamy $AD||CB$. Dlatego z definicji $1$ ten czworokąt jest równoległobokiem.

\[\kąt DCA=\kąt CAB\]

Rozważmy proste $AB$ i $CD$ oraz ich sieczne $AC$; z ostatniej równości kątów leżących otrzymamy $AB||CD$. Dlatego zgodnie z definicją 1 ten czworokąt jest równoległobokiem.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Twierdzenie 3

Jeśli przekątne narysowane w czworokącie zostaną podzielone na dwie równe części przez punkt przecięcia, to ten czworokąt jest równoległobokiem.

Dowód.

Dajmy sobie czworokąt $ABCD$. Narysujmy w nim przekątne $AC$ i $BD$. Niech przecinają się w punkcie $O$ (ryc. 4).

Rysunek 4.

Ponieważ zgodnie z warunkiem $BO=OD,\ AO=OC$ i kąty $\angle COB=\angle DOA$ są pionowe, to zgodnie z kryterium $I$ równości trójkątów,

\[\trójkąt BOC=\trójkąt AOD\]

\[\kąt DBC=\kąt BDA\]

Rozważmy proste $BC$ i $AD$ oraz ich sieczną $BD$; z ostatniej równości kątów leżących otrzymamy $BC||AD$. Również $BC=AD$. Zatem zgodnie z twierdzeniem $1$ ten czworokąt jest równoległobokiem.

Aby ustalić, czy dana figura jest równoległobokiem, stosuje się szereg znaków. Przyjrzyjmy się trzem głównym cechom równoległoboku.

1 znak równoległoboku

Jeśli dwa boki czworokąta są równe i równoległe, wówczas ten czworokąt będzie równoległobokiem.

Dowód:

Rozważmy czworokąt ABCD. Niech boki AB i CD będą równoległe. I niech AB=CD. Narysujmy w nim przekątną BD. Podzieli ten czworokąt na dwa równe trójkąty: ABD i CBD.

Trójkąty te są sobie równe wzdłuż dwóch boków i kąta między nimi (BD jest bokiem wspólnym, AB = CD zgodnie z warunkiem, kąt1 = kąt2 jako kąty poprzeczne z poprzecznymi BD prostych równoległych AB i CD.), a zatem kąt3 = kąt4.

A te kąty będą leżeć poprzecznie, gdy proste BC i AD przecinają się z sieczną BD. Wynika z tego, że BC i AD są do siebie równoległe. Mamy, że w czworokącie ABCD przeciwne boki są parami równoległe, a zatem czworokąt ABCD jest równoległobokiem.

Znak równoległoboku 2

Jeśli w czworoboku przeciwne strony są równe parami, wówczas ten czworokąt będzie równoległobokiem.

Dowód:

Rozważmy czworokąt ABCD. Narysujmy w nim przekątną BD. Podzieli ten czworokąt na dwa równe trójkąty: ABD i CBD.

Te dwa trójkąty będą sobie równe z trzech stron (BD to bok wspólny, AB = CD i BC = AD według warunku). Z tego możemy wywnioskować, że kąt1 = kąt2. Wynika z tego, że AB jest równoległe do CD. A ponieważ AB = CD i AB jest równoległe do CD, to zgodnie z pierwszym kryterium równoległoboku czworokąt ABCD będzie równoległobokiem.

3 znak równoległoboku

Jeśli przekątne czworoboku przecinają się i są podzielone na pół przez punkt przecięcia, wówczas ten czworokąt będzie równoległobokiem.

Rozważmy czworokąt ABCD. Narysujmy w nim dwie przekątne AC i BD, które przecinają się w punkcie O i są przez ten punkt podzielone na pół.

Trójkąty AOB i COD będą sobie równe, zgodnie z pierwszym znakiem równości trójkątów. (AO = OC, BO = OD według warunku, kąt AOB = kąt COD jako kąty pionowe.) Zatem AB = CD i kąt1 = kąt 2. Z równości kątów 1 i 2 wynika, że ​​AB jest równoległe do CD. Wtedy mamy, że w czworokącie ABCD boki AB są równe CD i równoległe i zgodnie z pierwszym kryterium równoległoboku czworokąt ABCD będzie równoległobokiem.

Kurs wideo „Zdobądź piątkę” obejmuje wszystkie tematy niezbędne do osiągnięcia sukcesu zdanie jednolitego egzaminu państwowego z matematyki na 60-65 punktów. Kompletnie wszystkie zadania 1-13 Profil Ujednolicony egzamin państwowy matematyka. Nadaje się również do zdania podstawowego jednolitego egzaminu państwowego z matematyki. Jeśli chcesz zdać Unified State Exam z 90-100 punktami, musisz rozwiązać część 1 w 30 minut i bez błędów!

Kurs przygotowawczy do Jednolitego Egzaminu Państwowego dla klas 10-11, a także dla nauczycieli. Wszystko, czego potrzebujesz, aby rozwiązać część 1 egzaminu państwowego Unified State Exam z matematyki (pierwsze 12 zadań) i zadanie 13 (trygonometria). A to ponad 70 punktów na egzaminie Unified State Exam i ani 100-punktowy student, ani student nauk humanistycznych nie mogą się bez nich obejść.

Cała niezbędna teoria. Szybkie sposoby rozwiązania, pułapki i tajemnice Unified State Exam. Przeanalizowano wszystkie aktualne zadania części 1 z Banku Zadań FIPI. Kurs w pełni odpowiada wymogom Unified State Exam 2018.

Kurs zawiera 5 dużych tematów, każdy po 2,5 godziny. Każdy temat jest podany od podstaw, prosto i przejrzyście.

Setki zadań z egzaminu Unified State Exam. Zadania tekstowe i teoria prawdopodobieństwa. Proste i łatwe do zapamiętania algorytmy rozwiązywania problemów. Geometria. Teoria, materiał referencyjny, analiza wszystkich typów zadań Unified State Examation. Stereometria. Podstępne rozwiązania, przydatne ściągawki, rozwój wyobraźni przestrzennej. Trygonometria od podstaw do zadania 13. Zrozumienie zamiast wkuwania. Wizualne wyjaśnienie złożone koncepcje. Algebra. Pierwiastki, potęgi i logarytmy, funkcja i pochodna. Podstawa rozwiązania złożone zadania 2 części jednolitego egzaminu państwowego.