Jak obliczyć pole trójkąta na podstawie trzech boków. Pole trójkąta - wzory i przykłady rozwiązywania problemów

Instrukcje

Strony i kąty są uważane za elementy podstawowe A. Trójkąt jest całkowicie zdefiniowany przez którykolwiek z następujących podstawowych elementów: albo trzy boki, albo jeden bok i dwa kąty, albo dwa boki i kąt między nimi. Dla istnienia trójkąt dane przez trzy strony a, b, c, jest konieczne i wystarczające, aby spełnić nierówności zwane nierównościami trójkąt:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

Do budowy trójkąt z trzech stron a, b, c, należy z punktu C odcinka CB = a narysować za pomocą kompasu okrąg o promieniu b. Następnie w podobny sposób narysuj okrąg z punktu B o promieniu równy bokowi C. Ich punkt przecięcia A jest trzecim wierzchołkiem pożądanego trójkąt ABC, gdzie AB=c, CB=a, CA=b - boki trójkąt. Problem ma , jeśli boki a, b, c spełniają nierówności trójkąt określone w kroku 1.

W ten sposób skonstruowany został obszar S trójkąt ABC z znane partie a, b, c, obliczone ze wzoru Herona:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
gdzie a, b, c są bokami trójkąt, p – półobwód.
p = (a+b+c)/2

Jeśli trójkąt jest równoboczny, to znaczy, że wszystkie jego boki są równe (a=b=c).Powierzchnia trójkąt obliczane według wzoru:
S=(a^2 v3)/4

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to znaczy jeden z jego kątów jest równy 90°, a tworzące go boki są nogami, to trzeci bok jest przeciwprostokątną. W tym przypadku kwadrat równa się iloczynowi nóg podzielonemu przez dwa.
S=ab/2

Znaleźć kwadrat trójkąt, możesz użyć jednej z wielu formuł. Wybierz formułę w zależności od tego, jakie dane są już znane.

Będziesz potrzebować

znajomość wzorów na znalezienie pola trójkąta

Instrukcje

Jeśli znasz wielkość jednego z boków i wartość wysokości obniżonej na ten bok od przeciwległego do niego kąta, to pole możesz obliczyć korzystając ze wzoru: S = a*h/2, gdzie S jest polem trójkąta a jest jednym z boków trójkąta, a h - wysokość do boku a.

Znana jest metoda wyznaczania pola trójkąta, jeśli znane są jego trzy boki. To jest wzór Herona. Aby uprościć jego zapis, wprowadza się wartość pośrednią - półobwód: p = (a+b+c)/2, gdzie a, b, c - . Wtedy wzór Herona jest następujący: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ potęgowanie.

Załóżmy, że znasz jeden z boków trójkąta i trzy kąty. Wtedy łatwo jest znaleźć pole trójkąta: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), gdzie β jest kątem przeciwnym do boku a, a α i γ są kątami przylegającymi do boku.

Wideo na ten temat

notatka

Najbardziej ogólna formuła, który jest odpowiedni dla wszystkich przypadków, to wzór Herona.

Źródła:

Wskazówka 3: Jak znaleźć obszar trójkąta na podstawie trzech boków

Znalezienie pola trójkąta jest jednym z najczęstszych problemów w planimetrii szkolnej. Znajomość trzech boków trójkąta wystarczy, aby określić pole dowolnego trójkąta. W szczególnych przypadkach trójkątów równobocznych wystarczy znać długości odpowiednio dwóch i jednego boku.

Będziesz potrzebować

długości boków trójkątów, wzór Herona, twierdzenie cosinus

Instrukcje

Wzór Herona na pole trójkąta jest następujący: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Jeśli zapiszemy półobwód p, otrzymamy: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Wzór na pole trójkąta można wyprowadzić z rozważań, na przykład stosując twierdzenie cosinus.

Z twierdzenia cosinus: AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Korzystając z wprowadzonych oznaczeń, można je zapisać także w postaci: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Zatem cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Pole trójkąta oblicza się również ze wzoru S = a*c*sin(ABC)/2, wykorzystując dwa boki i kąt między nimi. Sinus kąta ABC można wyrazić za pomocą podstawy tożsamość trygonometryczna: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) Podstawiając sinus do wzoru na pole i zapisując go, można otrzymać wzór na pole trójkąta ABC.

Wideo na ten temat

Dla prace naprawcze może być konieczne zmierzenie kwadratściany Łatwiej to policzyć wymagana ilość farba lub tapeta. Do pomiarów najlepiej użyć miarki lub taśmy mierniczej. Pomiary należy wykonać po ściany zostały wyrównane.

Będziesz potrzebować

-ruletka;
-drabina.

Instrukcje

Liczyć kwadratściany, musisz znać dokładną wysokość sufitów, a także zmierzyć długość wzdłuż podłogi. Odbywa się to w następujący sposób: weź centymetr i połóż go na listwie przypodłogowej. Zwykle centymetr nie wystarcza na całą długość, dlatego należy zabezpieczyć go w rogu, a następnie rozwinąć maksymalna długość. W tym miejscu należy zaznaczyć ołówkiem, zapisać uzyskany wynik i w ten sam sposób przeprowadzić dalsze pomiary, zaczynając od ostatniego punktu pomiarowego.

Standardowe sufity wynoszą 2 metry 80 centymetrów, 3 metry i 3 metry 20 centymetrów, w zależności od domu. Jeśli dom został zbudowany przed latami 50. XX wieku, najprawdopodobniej rzeczywista wysokość jest nieco niższa niż wskazano. Jeśli kalkulujesz kwadrat do prac naprawczych mały zapas nie zaszkodzi - rozważ w oparciu o standard. Jeśli nadal chcesz znać rzeczywistą wysokość, wykonaj pomiary. Zasada jest podobna do pomiaru długości, ale będziesz potrzebować drabiny.

Pomnóż powstałe wskaźniki - to jest kwadrat twój ściany. To prawda, kiedy prace malarskie lub bo trzeba odjąć kwadrat drzwi i otwory okienne. Aby to zrobić, połóż centymetr wzdłuż otworu. Jeśli mówimy o drzwiach, które później zamierzasz zmienić, wykonaj je z usuniętymi Framuga, biorąc pod uwagę tylko kwadrat bezpośrednio do samego otworu. Powierzchnię okna oblicza się wzdłuż obwodu jego ramy. Po kwadrat obliczone okno i drzwi, odejmij wynik od całkowitej wynikowej powierzchni pomieszczenia.

Należy pamiętać, że pomiar długości i szerokości pomieszczenia wykonują dwie osoby, co ułatwia ustalenie centymetra lub miarki i, odpowiednio, uzyskanie dokładniejszego wyniku. Wykonaj ten sam pomiar kilka razy, aby upewnić się, że otrzymane liczby są dokładne.

Wideo na ten temat

Znalezienie objętości trójkąta jest naprawdę nietrywialnym zadaniem. Faktem jest, że trójkąt jest figurą dwuwymiarową, tj. leży całkowicie w jednej płaszczyźnie, co oznacza, że po prostu nie ma objętości. Oczywiście nie da się znaleźć czegoś, czego nie ma. Ale nie poddawajmy się! Możemy przyjąć następujące założenie: objętość figury dwuwymiarowej to jej pole. Będziemy szukać obszaru trójkąta.

Będziesz potrzebować

kartka papieru, ołówek, linijka, kalkulator

Instrukcje

Rysuj na kartce papieru za pomocą linijki i ołówka. Uważnie badając trójkąt, możesz upewnić się, że tak naprawdę nie ma on trójkąta, ponieważ jest narysowany na płaszczyźnie. Oznacz boki trójkąta: niech jeden bok będzie bokiem „a”, drugi bok „b”, a trzeci bok „c”. Oznacz wierzchołki trójkąta literami „A”, „B” i „C”.

Zmierz dowolny bok trójkąta za pomocą linijki i zapisz wynik. Następnie przywróć prostopadłość do zmierzonego boku z przeciwległego wierzchołka, taka prostopadłość będzie wysokością trójkąta. W przypadku pokazanym na rysunku prostopadłość „h” zostaje przywrócona na bok „c” z wierzchołka „A”. Zmierz uzyskaną wysokość za pomocą linijki i zapisz wynik pomiaru.

Przywrócenie dokładnej prostopadłości może być trudne. W takim przypadku powinieneś zastosować inną formułę. Zmierz wszystkie boki trójkąta za pomocą linijki. Następnie oblicz półobwód trójkąta „p”, dodając powstałe długości boków i dzieląc ich sumę przez pół. Mając do dyspozycji wartość półobwodu, możesz skorzystać ze wzoru Herona. Aby to zrobić, musisz wyodrębnić Pierwiastek kwadratowy z następujących: p(p-a)(p-b)(p-c).

Uzyskałeś wymagany obszar trójkąta. Problem znalezienia objętości trójkąta nie został rozwiązany, ale jak wspomniano powyżej, objętość nie jest. W trójwymiarowym świecie można znaleźć objętość, która jest zasadniczo trójkątem. Jeśli wyobrazimy sobie, że nasz pierwotny trójkąt stał się trójwymiarową piramidą, wówczas objętość takiej piramidy będzie iloczynem długości jej podstawy przez pole otrzymanego trójkąta.

notatka

Im dokładniej dokonasz pomiaru, tym dokładniejsze będą Twoje obliczenia.

Źródła:

Kalkulator „Wszystko do wszystkiego” – portal wartości referencyjnych
objętość trójkąta w 2019 roku

Trzy punkty, które jednoznacznie definiują trójkąt w kartezjańskim układzie współrzędnych, to jego wierzchołki. Znając ich położenie względem każdej z osi współrzędnych, można obliczyć dowolne parametry tej płaskiej figury, także te ograniczone jej obwodem kwadrat. Można to zrobić na kilka sposobów.

Instrukcje

Do obliczenia pola użyj wzoru Herona trójkąt. Obejmuje wymiary trzech boków figury, więc rozpocznij obliczenia od . Długość każdego boku musi być równa pierwiastkowi sumy kwadratów długości jego rzutów na osie współrzędnych. Jeżeli oznaczymy współrzędne A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) i C(X₃,Y₃,Z₃), to długości ich boków można wyrazić następująco: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Aby uprościć obliczenia, wprowadź zmienną pomocniczą - półobwód (P). Z faktu, że jest to połowa sumy długości wszystkich boków: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).

Pole trójkąta - wzory i przykłady rozwiązywania problemów

Poniżej są wzory na znalezienie obszaru dowolnego trójkąta które nadają się do znalezienia obszaru dowolnego trójkąta, niezależnie od jego właściwości, kątów czy rozmiarów. Wzory prezentowane są w formie obrazkowej, wraz z objaśnieniami ich zastosowania lub uzasadnieniem ich poprawności. Korespondencje pokazano także na odrębnym rysunku oznaczenia literowe we wzorach i symbolach graficznych na rysunku.

Notatka . Jeśli trójkąt ma specjalne właściwości(równoramienny, prostokątny, równoboczny), możesz skorzystać z podanych poniżej wzorów, a także dodatkowych specjalnych wzorów, które obowiązują tylko dla trójkątów o następujących własnościach:

„Wzory na pole trójkąta równobocznego”

Wzory na pole trójkąta

Objaśnienia do formuł:
a, b, c- długości boków trójkąta, którego pole chcemy znaleźć
R- promień okręgu wpisanego w trójkąt
R- promień okręgu opisanego na trójkącie
H- wysokość trójkąta obniżonego na bok
P- półobwód trójkąta, 1/2 sumy jego boków (obwód)
α - kąt przeciwny do boku a trójkąta
β - kąt przeciwny do boku b trójkąta
γ - kąt przeciwległy do boku c trójkąta
H A, H B , H C- wysokość trójkąta obniżonego do boków a, b, c

Należy pamiętać, że podane oznaczenia odpowiadają powyższemu rysunkowi, dzięki czemu przy rozwiązywaniu rzeczywistego problemu z geometrią łatwiej będzie wizualnie zastąpić właściwe miejsca formuły są poprawnymi wartościami.

Pole trójkąta wynosi połowa iloczynu wysokości trójkąta i długości boku, o który obniżona jest ta wysokość(Formuła 1). Poprawność tej formuły można zrozumieć logicznie. Wysokość obniżona do podstawy podzieli dowolny trójkąt na dwa prostokątne. Jeśli zbudujesz każdy z nich w prostokąt o wymiarach b i h, to oczywiście pole tych trójkątów będzie równe dokładnie połowie pola prostokąta (Spr = bh)
Pole trójkąta wynosi połowa iloczynu jego dwóch boków i sinusa kąta między nimi(Wzór 2) (patrz przykład rozwiązania problemu przy użyciu tego wzoru poniżej). Choć wydaje się inny od poprzedniego, łatwo można go w niego przekształcić. Jeśli obniżymy wysokość od kąta B do boku b, okaże się, że iloczyn boku a i sinusa kąta γ, zgodnie z właściwościami sinusa w trójkącie prostokątnym, jest równy wysokości narysowanego przez nas trójkąta , co daje nam poprzedni wzór
Można znaleźć obszar dowolnego trójkąta Poprzez praca połowę promienia okręgu w niego wpisanego, będącego sumą długości wszystkich jego boków(Wzór 3), najprościej mówiąc, należy pomnożyć półobwód trójkąta przez promień okręgu wpisanego (łatwiej to zapamiętać)
Pole dowolnego trójkąta można znaleźć dzieląc iloczyn wszystkich jego boków przez 4 promienie okręgu opisanego wokół niego (wzór 4)
Formuła 5 znajduje pole trójkąta na podstawie długości jego boków i jego półobwodu (połowa sumy wszystkich jego boków)
Wzór Herona(6) jest przedstawieniem tego samego wzoru bez użycia pojęcia półobwodu, tylko poprzez długości boków
Pole dowolnego trójkąta jest równe iloczynowi kwadratu boku trójkąta i sinusów kątów przylegających do tego boku podzielonego przez podwójny sinus kąt przeciwny do tej strony (wzór 7)
Pole dowolnego trójkąta można znaleźć jako iloczyn dwóch kwadratów koła opisanego wokół niego przez sinusy każdego z jego kątów. (Formuła 8)
Jeśli znana jest długość jednego boku i wartości dwóch sąsiednich kątów, wówczas pole trójkąta można obliczyć jako kwadrat tego boku podzielony przez podwójną sumę kotangentów tych kątów (wzór 9)
Jeżeli znana jest tylko długość każdej z wysokości trójkąta (wzór 10), to pole takiego trójkąta jest odwrotnie proporcjonalne do długości tych wysokości, zgodnie ze wzorem Herona
Formuła 11 pozwala na obliczenia obszar trójkąta na podstawie współrzędnych jego wierzchołków, które są określone jako wartości (x;y) dla każdego z wierzchołków. Należy pamiętać, że wynikową wartość należy przyjmować modulo, ponieważ współrzędne poszczególnych (lub nawet wszystkich) wierzchołków mogą mieścić się w obszarze wartości ujemnych

Notatka. Poniżej znajdują się przykłady rozwiązywania problemów z geometrii w celu znalezienia pola trójkąta. Jeśli potrzebujesz rozwiązać problem z geometrią, który nie jest tutaj podobny, napisz o tym na forum. W rozwiązaniach zamiast symbolu „pierwiastka kwadratowego” można zastosować funkcję sqrt(), w której sqrt jest symbolem pierwiastka kwadratowego, a wyrażenie pierwiastkowe podano w nawiasach.Czasami w przypadku prostych wyrażeń radykalnych można użyć symbolu √

Zadanie. Znajdź pole, mając dane dwa boki i kąt między nimi

Boki trójkąta mają długości 5 i 6 cm. Kąt między nimi wynosi 60 stopni. Znajdź obszar trójkąta.

Rozwiązanie.

Aby rozwiązać ten problem, używamy wzoru numer dwa z teoretycznej części lekcji.
Pole trójkąta można znaleźć poprzez długości dwóch boków i sinus kąta między nimi i będzie równe
S=1/2 ab sin γ

Ponieważ posiadamy wszystkie dane niezbędne do rozwiązania (zgodnie ze wzorem), możemy jedynie podstawić wartości z warunków problemu do wzoru:
S = 1/2 * 5 * 6 * grzech 60

W tabeli wartości funkcji trygonometrycznych znajdziemy i podstawimy do wyrażenia wartość sinusa 60 stopni. Będzie to równe pierwiastkowi z trzech razy dwa.
S = 15 √3 / 2

Odpowiedź: 7,5 √3 (w zależności od wymagań nauczyciela prawdopodobnie można zostawić 15 √3/2)

Zadanie. Znajdź obszar trójkąta równobocznego

Znajdź pole trójkąta równobocznego o boku 3 cm.

Rozwiązanie .

Pole trójkąta można obliczyć korzystając ze wzoru Herona:

S = 1/4 kwadratu((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Ponieważ a = b = c, wzór na pole trójkąta równobocznego przyjmuje postać:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Odpowiedź: 9 √3 / 4.

Zadanie. Zmień obszar przy zmianie długości boków

Ile razy zwiększy się pole trójkąta, jeśli boki zwiększą się 4 razy?

Rozwiązanie.

Ponieważ wymiary boków trójkąta nie są nam znane, aby rozwiązać problem, założymy, że długości boków są odpowiednio równe dowolnym liczbom a, b, c. Następnie, aby odpowiedzieć na pytanie o problem, znajdziemy pole danego trójkąta, a następnie znajdziemy pole trójkąta, którego boki są czterokrotnie większe. Stosunek pól tych trójkątów da nam odpowiedź na pytanie.

Poniżej przedstawiamy tekstowe wyjaśnienie rozwiązania problemu krok po kroku. Jednak na sam koniec to samo rozwiązanie przedstawiono w wygodniejszej formie graficznej. Zainteresowani mogą od razu przejść do rozwiązań.

Do rozwiązania używamy wzoru Herona (patrz wyżej w części teoretycznej lekcji). To wygląda tak:

S = 1/4 kwadratu((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(patrz pierwsza linia obrazu poniżej)

Długości boków dowolnego trójkąta są określone przez zmienne a, b, c.
Jeśli boki zostaną zwiększone 4 razy, wówczas obszar nowego trójkąta c będzie wynosić:

S 2 = 1/4 kwadratu((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(patrz druga linia na obrazku poniżej)

Jak widać, 4 jest wspólnym czynnikiem, który można wyjąć z nawiasów ze wszystkich czterech wyrażeń zgodnie Główne zasady matematyka.
Następnie

S 2 = 1/4 kwadratu(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - w trzeciej linii obrazu
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - czwarta linia

Pierwiastek kwadratowy z liczby 256 jest doskonale wyodrębniony, więc usuńmy go spod pierwiastka
S 2 = 16 * 1/4 kwadratu((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(patrz piąta linia obrazu poniżej)

Aby odpowiedzieć na pytanie zadane w zadaniu, wystarczy podzielić obszar powstałego trójkąta przez obszar pierwotnego.
Określmy stosunki powierzchni, dzieląc wyrażenia przez siebie i redukując powstały ułamek.

Aby określić obszar trójkąta, możesz użyć różnych formuł. Ze wszystkich metod najłatwiejszą i najczęściej stosowaną jest pomnożenie wysokości przez długość podstawy, a następnie podzielenie wyniku przez dwa. Jednakże Ta metoda daleko od jedynego. Poniżej możesz przeczytać, jak znaleźć pole trójkąta za pomocą różnych wzorów.

Osobno przyjrzymy się sposobom obliczania powierzchni określonych typów trójkątów - prostokątnego, równoramiennego i równobocznego. Do każdej formuły dołączamy krótkie wyjaśnienie, które pomoże Państwu zrozumieć jej istotę.

Uniwersalne metody znajdowania pola trójkąta

W poniższych wzorach zastosowano specjalną notację. Rozszyfrujemy każdy z nich:

a, b, c – długości trzech boków rozważanej figury;
r jest promieniem okręgu, który można wpisać w nasz trójkąt;
R jest promieniem okręgu, który można wokół niego opisać;
α jest wielkością kąta utworzonego przez boki b i c;
β jest wielkością kąta pomiędzy a i c;
γ jest wielkością kąta utworzonego przez boki aib;
h jest wysokością naszego trójkąta obniżoną z kąta α na bok a;
p – połowa sumy boków a, b i c.

Logicznie jasne jest, dlaczego w ten sposób można znaleźć obszar trójkąta. Trójkąt można łatwo ułożyć w równoległobok, w którym jeden bok trójkąta będzie pełnił rolę przekątnej. Pole równoległoboku oblicza się, mnożąc długość jednego z jego boków przez wartość narysowanej do niego wysokości. Przekątna dzieli ten równoległobok warunkowy na 2 identyczne trójkąty. Dlatego jest całkiem oczywiste, że powierzchnia naszego pierwotnego trójkąta musi być równa połowie pola tego pomocniczego równoległoboku.

S=½ a b sin γ

Zgodnie z tym wzorem obszar trójkąta oblicza się, mnożąc długości jego dwóch boków, to znaczy aib, przez sinus utworzonego przez nie kąta. Formuła ta jest logicznie wyprowadzona z poprzedniej. Jeśli obniżymy wysokość od kąta β do boku b, to zgodnie z właściwościami trójkąta prostokątnego, mnożąc długość boku a przez sinus kąta γ, otrzymamy wysokość trójkąta, czyli h .

Pole danej figury oblicza się, mnożąc połowę promienia okręgu, który można w niej wpisać, przez jego obwód. Inaczej mówiąc, znajdujemy iloczyn półobwodu i promienia wspomnianego okręgu.

S= a b c/4R

Zgodnie z tym wzorem potrzebną wartość można znaleźć, dzieląc iloczyn boków figury przez 4 promienie okręgu wokół niej opisanego.

Wzory te są uniwersalne, ponieważ umożliwiają określenie obszaru dowolnego trójkąta (łuskanego, równoramiennego, równobocznego, prostokątnego). Można to zrobić za pomocą bardziej złożonych obliczeń, nad którymi nie będziemy się szczegółowo rozwodzić.

Obszary trójkątów o określonych właściwościach

Jak znaleźć obszar trójkąta prostokątnego? Osobliwością tej figury jest to, że jej dwa boki są jednocześnie jej wysokościami. Jeśli a i b są nogami, a c staje się przeciwprostokątną, wówczas obliczamy pole w następujący sposób:

Jak znaleźć obszar Trójkąt równoramienny? Ma dwa boki o długości a i jeden bok o długości b. W związku z tym jego pole można wyznaczyć, dzieląc przez 2 iloczyn kwadratu boku a przez sinus kąta γ.

Jak znaleźć obszar trójkąta równobocznego? W nim długość wszystkich boków jest równa a, a wielkość wszystkich kątów wynosi α. Jego wysokość jest równa połowie iloczynu długości boku a i pierwiastka kwadratowego z 3. Aby znaleźć pole trójkąta foremnego, należy pomnożyć kwadrat boku a przez pierwiastek kwadratowy z 3 i podzielić przez 4.

Trójkąt to najprostsza figura geometryczna, która składa się z trzech boków i trzech wierzchołków. Trójkąt ze względu na swoją prostotę był używany od czasów starożytnych do dokonywania różnych pomiarów, a dziś figura może być przydatna do rozwiązywania problemów praktycznych i codziennych.

Cechy trójkąta

Liczba ta była używana do obliczeń od czasów starożytnych, na przykład geodeci i astronomowie posługują się właściwościami trójkątów do obliczania powierzchni i odległości. Łatwo jest wyrazić obszar dowolnego n-gonu poprzez obszar tej figury, a starożytni naukowcy wykorzystali tę właściwość do wyprowadzenia wzorów na obszary wielokątów. Praca na pełen etat z trójkątami, zwłaszcza z trójkąt prostokątny, stał się podstawą całej sekcji matematyki - trygonometrii.

Geometria trójkąta

Nieruchomości figura geometryczna badano już w starożytności: najwcześniejsze informacje o trójkącie znaleziono w egipskich papirusach sprzed 4000 lat. Następnie postać została zbadana w Starożytna Grecja a największy wkład w geometrię trójkąta wnieśli Euklides, Pitagoras i Czapla. Badania nad trójkątem nie ustały i w XVIII wieku Leonhard Euler wprowadził koncepcję ortocentrum figury i koła Eulera. Na przełomie XIX i XX wieku, kiedy wydawało się, że o trójkącie wiadomo już wszystko, Frank Morley sformułował twierdzenie o trójkącie kąta, a Wacław Sierpiński zaproponował trójkąt fraktalny.

Znanych jest kilka rodzajów płaskich trójkątów kurs szkolny geometria:

ostry - wszystkie rogi figury są ostre;
rozwarty - figura ma jeden kąt rozwarty (ponad 90 stopni);
prostokątny - figura zawiera jeden kąt prosty równy 90 stopni;
równoramienny - trójkąt o dwóch równych bokach;
równoboczny - trójkąt o wszystkich bokach równych.
W prawdziwe życie Istnieje wiele rodzajów trójkątów, a w niektórych przypadkach może być konieczne obliczenie pola figury geometrycznej.

Pole trójkąta

Pole to szacunkowa część płaszczyzny, jaką obejmuje figura. Pole trójkąta można wyznaczyć na sześć sposobów, wykorzystując boki, wysokość, kąty, promień okręgu wpisanego lub opisanego, a także korzystając ze wzoru Herona lub obliczając całka podwójna wzdłuż linii ograniczających płaszczyznę. Najbardziej prosta formuła obliczyć pole trójkąta wygląda następująco:

gdzie a to bok trójkąta, h to jego wysokość.

Jednak w praktyce nie zawsze jest nam wygodnie znaleźć wysokość figury geometrycznej. Algorytm naszego kalkulatora pozwala obliczyć powierzchnię wiedząc:

trzy boki;
dwa boki i kąt między nimi;
jedna strona i dwa rogi.

Aby wyznaczyć pole z trzech stron, używamy wzoru Herona:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

gdzie p jest półobwodem trójkąta.

Pole po obu stronach i kąt oblicza się według klasycznego wzoru:

S = a × b × grzech(alfa),

gdzie alfa jest kątem pomiędzy bokami a i b.

Aby wyznaczyć pole ze względu na jeden bok i dwa kąty, korzystamy z zależności:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gamma)

Stosując prostą proporcję wyznaczamy długość drugiego boku, po czym obliczamy pole ze wzoru S = a × b × sin(alfa). Algorytm ten jest w pełni zautomatyzowany i wystarczy wprowadzić określone zmienne i uzyskać wynik. Spójrzmy na kilka przykładów.

Przykłady z życia

Płyty chodnikowe

Załóżmy, że chcesz wyłożyć podłogę trójkątnymi płytkami i określić ich ilość wymagany materiał, powinieneś dowiedzieć się o powierzchni jednej płytki i powierzchni podłogi. Załóżmy, że musisz przetworzyć 6 metrów kwadratowych powierzchni za pomocą płytki o wymiarach a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm. Oczywiście, aby obliczyć pole trójkąta, kalkulator używa wzoru Herona i podaje wynik:

Zatem powierzchnia jednego elementu płytki będzie wynosić 0,021 metr kwadratowy, a do ulepszenia podłogi będziesz potrzebować 6/0,021 = 285 trójkątów. Liczby 20, 21 i 29 tworzą pitagorejskie liczby potrójne, które spełniają . I zgadza się, nasz kalkulator obliczył także wszystkie kąty trójkąta, a kąt gamma wynosi dokładnie 90 stopni.

Zadanie szkolne

W zadaniu szkolnym musisz znaleźć pole trójkąta, wiedząc, że bok a = 5 cm, a kąty alfa i beta wynoszą odpowiednio 30 i 50 stopni. Aby rozwiązać ten problem ręcznie, musielibyśmy najpierw znaleźć wartość boku b, korzystając z proporcji współczynnika kształtu i sinusów przeciwległych kątów, a następnie określić pole za pomocą prostego wzoru S = a × b × sin(alfa). Oszczędźmy czas, wprowadź dane do formularza kalkulatora i uzyskaj błyskawiczną odpowiedź

Podczas korzystania z kalkulatora ważne jest, aby poprawnie wskazać kąty i boki, w przeciwnym razie wynik będzie błędny.

Wniosek

Trójkąt to wyjątkowa figura, którą można znaleźć zarówno w prawdziwym życiu, jak i w abstrakcyjnych obliczeniach. Skorzystaj z naszego kalkulatora online, aby określić pole dowolnego rodzaju trójkątów.