Pojęcie prostokąta. Co to jest prostokąt? Szczególne przypadki prostokąta

Prostokąt jest Po pierwsze geometryczny płaska figura. Składa się z czterech punktów połączonych ze sobą dwiema parami równych odcinków, które przecinają się prostopadle tylko w tych punktach.

Prostokąt definiuje się poprzez równoległobok. Innymi słowy, prostokąt jest równoległobokiem, którego wszystkie kąty są kątami prostymi, czyli równymi 90 stopni. W geometrii euklidesowej, jeśli figura geometryczna ma 3 z 4 kątów równych 90 stopni, to czwarty kąt automatycznie przyjmuje 90 stopni i taką figurę można nazwać prostokątem. Z definicji równoległoboku jasno wynika, że prostokąt to wiele odmian tej figury na płaszczyźnie. Wynika z tego, że właściwości równoległoboku odnoszą się również do prostokąta. Na przykład: w prostokącie przeciwne boki mają taką samą długość. Konstruując przekątną w prostokącie, podzieli figurę na dwa identyczne trójkąty. Jest to podstawa twierdzenia Pitagorasa, które stwierdza, że kwadrat przeciwprostokątnej w trójkąt prostokątny równa sumie kwadratów jego nóg. Jeśli wszystkie boki zwykłego prostokąta są równe, wówczas taki prostokąt nazywa się kwadratem. Kwadrat definiuje się również jako romb, w którym wszystkie jego boki są równe, a wszystkie kąty są kątami prostymi.

Kwadrat prostokąt można znaleźć według wzoru: S=a*b, gdzie a jest długością tego prostokąta, b jest szerokością. Na przykład: pole prostokąta o bokach 4 i 6 cm będzie równe 4 * 6 = 24 centymetry kwadratowe.

Obwód itppitagon oblicza się ze wzoru: P= (a+b)*2, gdzie a jest długością prostokątów, b jest szerokością danego prostokąt. Przykładowo: obwód prostokąta o bokach 4 i 8 cm wynosi 24 cm. Przekątne prostokąta wpisanego w okrąg pokrywają się ze średnicą tego koła. Punkt przecięcia tych przekątnych będzie środkiem okręgu.

Dowodząc włączenia figury geometrycznej w prostokąt, sprawdza się, czy figura ta spełnia którykolwiek z warunków: 1 – kwadrat przekątnej figurki równa sumie kwadratów dwóch boków z jednym wspólnym punktem; 2 – przekątne figurki Posiadać jednakowa długość; 3 – wszystkie kąty mają miarę 90 stopni. Jeśli spełniony jest przynajmniej jeden warunek, figurę można nazwać prostokątem.

Geografia, biologia, chemia, algebra, geometria... Dzieci w wieku szkolnym mają do czynienia z dużą ilością informacji z różnorodnych nauk. Istnieją jednak obszary wiedzy, które dość łatwo zrozumieć, zapoznając się z ich podstawowymi prawami. Dotyczy to również geometrii. Aby poznać wszystkie zawiłości tej nauki, należy zapoznać się z jej podstawami i aksjomatami. W końcu nie ma miejsca w geometrii bez podstaw.

Definicja prostokąta

Prostokąt to figura geometryczna z czterema kątami prostymi. Definicja jest dość prosta, ale nie należy sądzić, że student nie będzie miał problemów z nauką takiego tematu, ponieważ istnieje tutaj szereg funkcji. Wymiary prostokąta zależą od długości jego boków, które najczęściej oznacza się łacińskimi literami a i b.

Właściwości prostokąta

boki leżące naprzeciw siebie są równe i równoległe;
przekątne figury są równe;
punkt przecięcia przekątnych dzieli je na pół;
prostokąt można podzielić na dwie równe części

Znaki prostokątne

Prostokąt ma tylko trzy cechy. Tutaj są:

równoległobok o równych przekątnych jest prostokątem;
równoległobok z jednym kątem prostym jest prostokątem;
czworokąt mający trzy kąty proste jest prostokątem.

Trochę ciekawiej

Zatem czym jest prostokąt, jest teraz jasne, ale jaką rolę odgrywa w problemach geometrycznych i pomiarach praktycznych, pozostaje do zrozumienia. Przede wszystkim trzeba powiedzieć, że jest to najwygodniejsza figura geometryczna, za pomocą której można podzielić obszar na sekcje zarówno na terenach otwartych, jak i wewnątrz.

Co to jest prostokąt? Jak wiadomo, jest to czworokąt. Istnieje wiele odmian tych ostatnich, wśród których możemy wymienić trapez (tylko dwa boki są równe), równoległobok (przeciwległe boki są równoległe), kwadrat (wszystkie kąty i boki są takie same), romb (równoległobok z równe strony) i inni. Szczególnym przypadkiem prostokąta jest kwadrat, w którym wszystkie kąty są proste, a boki równe.

Nie można mówić o tym, czym jest prostokąt, nie wspominając o tym, jak określić jego wymiary. Obszar ten jest zwykle uważany za iloczyn jego szerokości i długości, a obwód, podobnie jak w przypadku każdej figury, jest równy sumie długości wszystkich boków. W tym przypadku jest on również równy dwukrotności sumy długości i szerokości, ponieważ przeciwne boki prostokąta są równe. Teraz wiesz, czym jest prostokąt i co z nim zrobić, rozwiązując problemy i rozumiejąc tajemnice tak tajemniczej i tajemniczej nauki, jak geometria.

Lekcja na temat „Prostokąt i jego właściwości”

Cele Lekcji:

Powtórz koncepcję prostokąta, opierając się na wiedzy zdobytej przez uczniów na lekcjach matematyki w klasach 1–6.

Rozważ właściwości prostokąta jako specjalnego typu równoległoboku.

Rozważmy szczególną właściwość prostokąta.

Pokaż zastosowanie właściwości do rozwiązywania problemów.

Podczas zajęć.

I Omoment organizacyjny.

Poinformuj o celu lekcji, temacie lekcji. (slajd 1)

IINauka nowego materiału.

· Powtarzać:

1. Jaka figura nazywa się równoległobokiem?

2. Jakie właściwości ma równoległobok? (slajd 2)

● Przedstaw pojęcie prostokąta.

Który równoległobok można nazwać prostokątem?

Definicja: Prostokąt to równoległobok, w którym wszystkie kąty są proste.(slajd 3)

Oznacza to, że ponieważ prostokąt jest równoległobokiem, ma wszystkie właściwości równoległoboku. Ponieważ prostokąt ma inną nazwę, musi mieć swoją właściwość (slajd 4).

● Aktywność ucznia (samodzielna): Zbadaj boki, kąty i przekątne równoległoboku i prostokąta, zapisując wyniki w tabeli.

	Równoległobok	Prostokąt


Przekątne

Wyciągnąć wniosek: Przekątne prostokąta są równe.

● To wyjście jest prywatną własnością prostokąta:

Twierdzenie. D Przekątne prostokąta są równe.(slajdy 5)

Dowód:

1) Rozważ ∆ ACD i ∆ ABD:

a) ADC = https://pandia.ru/text/78/059/images/image005_65.jpg" szerokość="120" wysokość="184 src="> a) b) 181">

2. Znajdź boki prostokąta, wiedząc, że jego obwód wynosi 24 cm.

1)ACD - prostokątny, CAD = 30°,

oznacza CD = 0,5AC = 6 cm.

2) AB = CD = 6 cm.

3) W prostokącie przekątne są równe i podzielone na pół przez punkt przecięcia, tj. AO = BO = 6 cm.

4) p (aov) = AO + VO + AB = 6 +6+ 6 = 18 cm.

Odpowiedź: 18 cm.

IV Podsumowanie lekcji.

Prostokąt ma następujące właściwości:

1. Suma kątów prostokąta wynosi 360°.

2. Przeciwległe boki prostokąta są równe.

3. Przekątne prostokąta przecinają się i są podzielone na pół przez punkt przecięcia.

4. Dwusieczna kąta prostokąta odcina od niego trójkąt równoramienny.

5. Przekątne prostokąta są równe.

V Praca domowa.

S. 45, pytania 12,13. nr 000, 401 a), 404 (slajd 16)

W domu sam rozważ znak prostokąta.

Cele Lekcji

Utrwalenie wiedzy uczniów na temat prostokąta tematycznego;
Kontynuuj zapoznawanie uczniów z definicjami i właściwościami prostokąta;
Naucz uczniów, jak wykorzystywać zdobytą wiedzę na ten temat przy rozwiązywaniu problemów;
Rozwijanie zainteresowania przedmiotem matematyki, uwagi, logiczne myślenie;
Rozwijaj umiejętność samoanalizy i dyscypliny.

Cele Lekcji

Powtórzenie i utrwalenie wiedzy uczniów na temat pojęcia prostokąta w oparciu o wiedzę zdobytą w klasach poprzednich;
Kontynuuj pogłębianie wiedzy uczniów na temat właściwości i cech prostokątów;
Kontynuuj rozwijanie umiejętności w procesie rozwiązywania zadań;
Wzbudzać zainteresowanie lekcjami matematyki;
Pielęgnuj zainteresowanie naukami ścisłymi i pozytywne nastawienie do lekcji matematyki.

Plan lekcji

1. Część teoretyczna, informacje ogólne, definicje.
2. Powtórzenie tematu „Prostokąty”.
3. Właściwości prostokąta.
4. Znaki prostokąta.
5. Interesujące fakty z życia trójkątów.
6. Złoty prostokąt, pojęcia ogólne.
7. Pytania i zadania.

Co to jest prostokąt

Na poprzednich zajęciach zapoznawałeś się już z tematami dotyczącymi prostokątów. Teraz odświeżmy naszą pamięć i przypomnijmy sobie, jaki rodzaj figury nazywa się prostokątem.

Prostokąt to równoległobok, którego cztery kąty są proste i równe 90 stopni.

Prostokąt to figura geometryczna składająca się z 4 boków i czterech kątów prostych.

Przeciwległe boki prostokąta są zawsze równe.

Jeśli weźmiemy pod uwagę definicję prostokąta zgodnie z geometrią euklidesową, to aby czworokąt można było uznać za prostokąt, konieczne jest, aby w tej figurze geometrycznej co najmniej trzy kąty były proste. Wynika z tego, że czwarty kąt również będzie wynosił dziewięćdziesiąt stopni.

Chociaż jasne jest, że gdy suma kątów czworoboku nie wynosi 360 stopni, wówczas figura ta nie jest prostokątem.

Jeśli zwykły prostokąt ma wszystkie boki równe sobie, wówczas taki prostokąt nazywa się kwadratem.

W niektórych przypadkach kwadrat może działać jak romb, jeśli taki romb oprócz równych boków ma wszystkie kąty proste.

Aby udowodnić udział dowolnej figury geometrycznej w prostokącie wystarczy, że ta figura geometryczna spełnia przynajmniej jeden z poniższych warunków:

1. kwadrat przekątnej tej figury musi być równy sumie kwadratów 2 boków mających wspólny punkt;
2. przekątne figury geometrycznej muszą mieć tę samą długość;
3. wszystkie kąty figury geometrycznej muszą być równe dziewięćdziesiąt stopni.

Jeśli te warunki spełniają przynajmniej jeden wymóg, to masz prostokąt.

Prostokąt w geometrii jest główną figurą podstawową, która ma wiele podtypów, z własnymi specjalne właściwości i cechy.

Ćwiczenia: Nazwa figury geometryczne, które odnoszą się do prostokątów.

Prostokąt i jego właściwości

Przypomnijmy sobie teraz właściwości prostokąta:

Prostokąt ma wszystkie przekątne równe;
Prostokąt to równoległobok o równoległych przeciwległych bokach;
Boki prostokąta będą jednocześnie jego wysokościami;
Prostokąt ma równe przeciwne boki i kąty;
Okrąg można opisać na dowolnym prostokącie, a przekątna prostokąta będzie równa średnicy opisanego koła.
Przekątne prostokąta dzielą go na 2 równy trójkąt;
Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa kwadrat przekątnej prostokąta jest równy sumie kwadratów jego 2 przeciwległych boków;

Ćwiczenia:

1. Prostokąt ma dwie możliwości podzielenia go na 2 równe prostokąty. Narysuj w zeszycie dwa prostokąty i podziel je tak, aby otrzymać 2 równe prostokąty.

2. Narysuj okrąg wokół prostokąta, którego średnica będzie równa przekątnej prostokąta.

3. Czy można wpisać okrąg w prostokąt tak, aby dotykał wszystkich boków, pod warunkiem jednak, że prostokąt ten nie jest kwadratem?

Znaki prostokątne

Równoległobok będzie prostokątem pod warunkiem, że:

1. jeśli przynajmniej jeden z jego kątów jest prosty;
2. jeśli wszystkie cztery jego kąty są proste;
3. jeśli przeciwne strony są równe;
4. jeśli co najmniej trzy kąty są proste;
5. jeśli jego przekątne są równe;
6. jeśli kwadrat przekątnej jest równy sumie kwadratów przeciwległych boków.

To ciekawe wiedzieć

Czy wiesz, że jeśli narysujesz dwusieczne narożników prostokąta, który ma nierówne sąsiednie boki, to kiedy się przetną, otrzymasz prostokąt.

Ale jeśli narysowana dwusieczna prostokąta przecina jeden z jego boków, to odcina z tego prostokąta trójkąt równoramienny.

Czy wiesz, że jeszcze zanim Malewicz namalował swój wybitny „Czarny kwadrat”, w 1882 r., na wystawie w Paryżu, zaprezentowano obraz Paula Bilo, którego płótno przedstawiało czarny prostokąt o osobliwej nazwie „Bitwa Murzynów w tunel".

Ten pomysł z czarnym prostokątem zainspirował inne postacie kultury. Francuski pisarz i humorysta Alphonse Allais wydał całą serię swoich dzieł i z czasem pojawił się prostokątny krajobraz w radykalnie czerwonym kolorze zatytułowany „Zbieranie pomidorów nad brzegiem Morza Czerwonego przez apoplektycznych kardynałów”, który również nie miał żadnego obrazu.

Ćwiczenia

1. Podaj nazwę właściwości charakterystycznej tylko dla prostokąta?
2. Jaka jest różnica między dowolnym równoległobokiem a prostokątem?
3. Czy prawdą jest, że dowolny prostokąt może być równoległobokiem? Jeśli tak jest, to udowodnij dlaczego?
4. Wymień czworokąty będące prostokątami.
5. Podaj właściwości prostokąta.

Fakt historyczny

Prostokąt Euklidesa

Czy wiesz, że prostokąt Euklidesa, zwany złotym podziałem, przez długi czas był dla każdego budynku o znaczeniu religijnym doskonałą i proporcjonalną podstawą konstrukcyjną w tamtych czasach. Z jego pomocą zbudowano większość renesansowych budynków i klasycznych świątyń w starożytnej Grecji.

„Złoty” prostokąt nazywany jest zwykle prostokątem geometrycznym, stosunek większego boku do mniejszego jest równy złotemu podziałowi.

Stosunek boków tego prostokąta wynosił 382 do 618, czyli w przybliżeniu 19 do 31. Prostokąt euklidesowy był wówczas najwygodniejszym, najwygodniejszym, bezpiecznym i regularnym prostokątem ze wszystkich kształtów geometrycznych. Ze względu na tę cechę w całym tekście zastosowano prostokąt euklidesowy lub jego przybliżenia. Używano go w domach, obrazach, meblach, oknach, drzwiach, a nawet książkach.

Wśród Indian Navajo porównywano prostokąt forma kobieca, gdyż uważano ją za zwyczajową, standardową formę domu, symbolizującą kobietę, która jest właścicielką tego domu.

Rzeczy > Matematyka > Matematyka w klasie 8