Pole trapezu równoramiennego, jeśli znane są wszystkie boki. Pole trapezu: jak obliczyć, wzór

Instrukcje

Aby obie metody były bardziej zrozumiałe, możemy podać kilka przykładów.

Przykład 1: długość linii środkowej trapezu wynosi 10 cm, a jego pole wynosi 100 cm². Aby znaleźć wysokość tego trapezu, musisz wykonać:

h = 100/10 = 10 cm

Odpowiedź: wysokość tego trapezu wynosi 10 cm

Przykład 2: pole trapezu wynosi 100 cm², długości podstaw wynoszą 8 cm i 12 cm. Aby znaleźć wysokość tego trapezu, należy wykonać następującą czynność:

h = (2*100)/(8+12) = 200/20 = 10 cm

Odpowiedź: wysokość tego trapezu wynosi 20 cm

notatka

Istnieje kilka rodzajów trapezów:
Trapez równoramienny to trapez, którego boki są sobie równe.
Trapez prostokątny to trapez, w którym jeden z narożniki wewnętrzne równy 90 stopni.
Warto zaznaczyć, że w trapez prostokątny wysokość pokrywa się z długością boku w prosty kąt.
Można narysować okrąg wokół trapezu lub dopasować go do danej figury. W okrąg można wpisać tylko wtedy, gdy suma jego podstaw jest równa sumie jego przeciwnych boków. Koło można opisać tylko wokół trapez równoramienny.

Pomocna rada

Równoległobok jest szczególnym przypadkiem trapezu, ponieważ definicja trapezu w żaden sposób nie jest sprzeczna z definicją równoległoboku. Równoległobok to czworokąt, którego przeciwne strony są do siebie równoległe. W przypadku trapezu definicja dotyczy tylko pary jego boków. Dlatego każdy równoległobok jest również trapezem. Odwrotne stwierdzenie nie jest prawdziwe.

Źródła:

• jak znaleźć obszar wzoru trapezu

Wskazówka 2: Jak znaleźć wysokość trapezu, jeśli znana jest jego powierzchnia

Trapez to czworokąt, w którym dwa z czterech boków są do siebie równoległe. Boki równoległe są podstawami danego, dwa pozostałe są bokami danego. trapezoidy. Znajdować wysokość trapezoidy, Jeśli jest znany kwadrat, będzie to bardzo łatwe.

Instrukcje

Musisz dowiedzieć się, jak obliczyć kwadrat oryginalny trapezoidy. Istnieje na to kilka wzorów, w zależności od danych początkowych: S = ((a+b)*h)/2, gdzie a i b są podstawami trapezoidy, a h to jego wysokość (Height trapezoidy- prostopadły, obniżony z jednej podstawy trapezoidy do innego);
S = m*h, gdzie m jest linią trapezoidy(Środkowa linia to odcinek z podstawami trapezoidy i łącząc środki jego boków).

Aby było to jaśniejsze, można rozważyć podobne problemy: Przykład 1: Biorąc pod uwagę trapez z kwadrat 68 cm², którego środkowa linia wynosi 8 cm, musisz znaleźć wysokość dany trapezoidy. Aby rozwiązać ten problem, należy skorzystać z wcześniej wyprowadzonego wzoru:
h = 68/8 = 8,5 cm Odpowiedź: wysokość tego trapezoidy wynosi 8,5 cm. Przykład 2: Niech y trapezoidy kwadrat wynosi 120 cm², długość jego podstaw trapezoidy Odpowiednio 8 cm i 12 cm musisz znaleźć wysokość Ten trapezoidy. Aby to zrobić, musisz zastosować jedną z wyprowadzonych formuł:
h = (2*120)/(8+12) = 240/20 = 12 cmOdpowiedź: podana wysokość trapezoidy równa 12 cm

Wideo na ten temat

notatka

Każdy trapez ma wiele właściwości:

Linia środkowa trapezu jest równa połowie sumy jego podstaw;

Odcinek łączący przekątne trapezu jest równy połowie różnicy jego podstaw;

Jeżeli przez środki podstaw poprowadzono linię prostą, to przetnie ona punkt przecięcia przekątnych trapezu;

W trapez można wpisać okrąg, jeżeli suma podstaw trapezu jest równa sumie jego boków.

Użyj tych właściwości podczas rozwiązywania problemów.

Wskazówka 3: Jak znaleźć obszar trapezu, jeśli znane są podstawy

Z definicji geometrycznej trapez jest czworokątem mającym tylko jedną parę boków równoległych. Te strony są jej powodów. Odległość pomiędzy powodów zwany wzrostem trapezoidy. Znajdować kwadrat trapezoidy możliwe użycie wzory geometryczne.

Instrukcje

Zmierz podstawy i trapezoidy ABCD. Zwykle podaje się je w zadaniach. Wpuść w tym przykładzie zadania fundacja AD (a) trapezoidy będzie wynosić 10 cm, podstawa BC (b) - 6 cm, wysokość trapezoidy BK (h) - 8 cm Użyj geometrii, aby znaleźć pole trapezoidy, jeżeli znane są długości jego podstaw i wysokości - S= 1/2 (a+b)*h, gdzie: - a - wielkość podstawy AD trapezoidy ABCD, - b - wartość podstawy BC, - h - wartość wysokości BK.

Powierzchnia trapezu. Pozdrowienia! W tej publikacji przyjrzymy się tej formule. Dlaczego ona taka jest i jak ją zrozumieć. Jeśli istnieje zrozumienie, nie musisz go uczyć. Jeśli chcesz tylko spojrzeć na tę formułę i pilnie, możesz od razu przewinąć stronę w dół))

Teraz szczegółowo i po kolei.

Trapez jest czworokątem, dwa boki tego czworokąta są równoległe, a pozostałe dwa nie. Te, które nie są równoległe, to podstawy trapezu. Pozostałe dwa nazywane są stronami.

Jeśli boki są równe, trapez nazywa się równoramiennym. Jeśli jeden z boków jest prostopadły do ​​podstaw, wówczas taki trapez nazywa się prostokątnym.

W swojej klasycznej formie trapez jest przedstawiony w następujący sposób - większa podstawa znajduje się odpowiednio na dole, mniejsza na górze. Ale nikt nie zabrania przedstawiania jej i odwrotnie. Oto szkice:

Następna ważna koncepcja.

Linia środkowa trapezu to odcinek łączący środki boków. Linia środkowa jest równoległa do podstaw trapezu i równa ich połowie.

Teraz zagłębimy się głębiej. Dlaczego tak jest?

Rozważmy trapez z podstawami a i b i z linią środkową l, i wykonaj dodatkowe konstrukcje: narysuj linie proste przez podstawy i prostopadłe przez końce linii środkowej, aż przetną się z podstawami:

*Oznaczenia literowe wierzchołków i innych punktów nie zostały uwzględnione celowo, aby uniknąć niepotrzebnych oznaczeń.

Spójrz, trójkąty 1 i 2 są równe zgodnie z drugim znakiem równości trójkątów, trójkąty 3 i 4 są takie same. Z równości trójkątów wynika równość elementów, a mianowicie nóg (są one oznaczone odpowiednio kolorem niebieskim i czerwonym).

Teraz uwaga! Jeśli mentalnie „odetniemy” niebieskie i czerwone segmenty od dolnej podstawy, pozostanie nam odcinek (jest to bok prostokąta) równy środkowej linii. Następnie, jeśli „przykleimy” wycięte segmenty niebieski i czerwony do górnej podstawy trapezu, to otrzymamy również odcinek (jest to jednocześnie bok prostokąta) równy linii środkowej trapezu.

Rozumiem? Okazuje się, że suma podstaw będzie równa dwóm środkowym liniom trapezu:

Zobacz inne wyjaśnienie

Zróbmy tak - skonstruuj linię prostą przechodzącą przez dolną podstawę trapezu oraz linię prostą, która przejdzie przez punkty A i B:

Otrzymujemy trójkąty 1 i 2, są one równe wzdłuż boku i sąsiednich kątów (drugi znak równości trójkątów). Oznacza to, że powstały odcinek (na szkicu jest zaznaczony na niebiesko) jest równy górnej podstawie trapezu.

Teraz rozważmy trójkąt:

*Środek tego trapezu pokrywa się z linią środkową trójkąta.

Wiadomo, że trójkąt jest równy połowie równoległej do niego podstawy, czyli:

OK, wymyśliliśmy to. Teraz o obszarze trapezu.

Wzór na pole trapezu:

Mówią: pole trapezu jest równe iloczynowi połowy sumy jego podstaw i wysokości.

Oznacza to, że jest równy iloczynowi linii środkowej i wysokości:

Pewnie już zauważyłeś, że to oczywiste. Geometrycznie można to wyrazić w ten sposób: jeśli w myślach odetniemy trójkąty 2 i 4 z trapezu i umieścimy je odpowiednio na trójkątach 1 i 3:

Otrzymamy wówczas prostokąt o polu równym polu naszego trapezu. Pole tego prostokąta będzie równe iloczynowi linii środkowej i wysokości, to znaczy możemy napisać:

Ale tu nie chodzi oczywiście o pisanie, ale o zrozumienie.

Pobierz (przejrzyj) materiał artykułu w formacie *pdf

To wszystko. Powodzenia!

Z poważaniem, Aleksander.

Aby czuć się pewnie i skutecznie rozwiązywać problemy na lekcjach geometrii, nie wystarczy nauczyć się wzorów. Najpierw trzeba je zrozumieć. Bać się, a tym bardziej nienawidzić formuł, jest bezproduktywne. W tym artykule dokonamy analizy w przystępnym języku różne drogi Znalezienie pola trapezu. Aby lepiej zrozumieć odpowiednie reguły i twierdzenia, zwrócimy uwagę na jego właściwości. Pomoże Ci to zrozumieć, jak działają reguły i w jakich przypadkach należy zastosować określone formuły.

Definicja trapezu

Co to w ogóle za liczba? Trapez to wielokąt mający cztery narożniki i dwa równoległe boki. Pozostałe dwa boki trapezu można przechylić różne kąty. Jego równoległe boki nazywane są podstawami, a dla boków nierównoległych używa się nazwy „boki” lub „biodra”. Takie liczby są dość powszechne w życiu codziennym. Kontury trapezu widać na sylwetkach odzieży, elementów wyposażenia wnętrz, mebli, naczyń i wielu innych. Trapez się zdarza różne rodzaje: skalenowe, równoboczne i prostokątne. Ich rodzajom i właściwościom przyjrzymy się bardziej szczegółowo w dalszej części artykułu.

Właściwości trapezu

Zatrzymajmy się na chwilę nad właściwościami tej figury. Suma kątów przylegających do dowolnej strony wynosi zawsze 180°. Należy zauważyć, że wszystkie kąty trapezu sumują się do 360°. Trapez ma koncepcję linii środkowej. Jeśli połączymy środki boków odcinkiem, będzie to linia środkowa. Wyznaczony jest m. Linia środkowa ma ważne właściwości: jest zawsze równoległa do podstaw (pamiętamy, że podstawy też są do siebie równoległe) i równa ich połowie sumy:

Tę definicję trzeba poznać i zrozumieć, bo jest kluczem do rozwiązania wielu problemów!

W przypadku trapezu zawsze możesz obniżyć wysokość do podstawy. Wysokość to prostopadła, często oznaczona symbolem h, poprowadzona z dowolnego punktu jednej podstawy do drugiej podstawy lub jej przedłużenia. Linia środkowa i wysokość pomogą Ci znaleźć obszar trapezu. Takie zadania są najczęstsze w kurs szkolny geometrii i regularnie pojawiają się w pracach testowych i egzaminacyjnych.

Najprostsze wzory na pole trapezu

Spójrzmy na dwa najpopularniejsze i proste formuły, za pomocą którego znajduje się obszar trapezu. Wystarczy pomnożyć wysokość przez połowę sumy podstaw, aby łatwo znaleźć to, czego szukasz:

S = h*(a + b)/2.

W tym wzorze a, b oznaczają podstawy trapezu, h - wysokość. Dla ułatwienia w tym artykule znaki mnożenia są we wzorach oznaczone symbolem (*), chociaż w oficjalnych podręcznikach znak mnożenia jest zwykle pomijany.

Spójrzmy na przykład.

Dane: trapez o dwóch podstawach równych 10 i 14 cm, wysokość wynosi 7 cm. Jakie jest pole trapezu?

Spójrzmy na rozwiązanie tego problemu. Korzystając z tego wzoru, musisz najpierw znaleźć połowę sumy podstaw: (10+14)/2 = 12. Zatem suma połówkowa wynosi 12 cm. Teraz mnożymy sumę połówkową przez wysokość: 12*7 = 84. Znaleziono to, czego szukamy. Odpowiedź: Pole trapezu wynosi 84 metry kwadratowe. cm.

Drugi znany wzór mówi: pole trapezu jest równe iloczynowi linii środkowej i wysokości trapezu. Oznacza to, że faktycznie wynika to z poprzedniej koncepcji linii środkowej: S=m*h.

Stosowanie przekątnych w obliczeniach

Inny sposób znalezienia obszaru trapezu w rzeczywistości nie jest tak skomplikowany. Jest połączony z jego przekątnymi. Korzystając z tego wzoru, aby obliczyć pole, należy pomnożyć półprodukt jego przekątnych (d 1 d 2) przez sinus kąta między nimi:

S = ½ re 1 re 2 grzech A.

Rozważmy problem pokazujący zastosowanie tej metody. Dane: trapez o długości przekątnych odpowiednio 8 i 13 cm. Kąt a między przekątnymi wynosi 30°. Znajdź obszar trapezu.

Rozwiązanie. Korzystając z powyższego wzoru, łatwo jest obliczyć, co jest potrzebne. Jak wiadomo, grzech 30° wynosi 0,5. Zatem S = 8*13*0,5=52. Odpowiedź: powierzchnia wynosi 52 metry kwadratowe. cm.

Znalezienie obszaru trapezu równoramiennego

Trapez może być równoramienny (równoramienny). Jego boki są takie same, a kąty u podstaw równe, co dobrze ilustruje rysunek. Trapez równoramienny ma takie same właściwości jak zwykły, a także szereg specjalnych. Na trapezie równoramiennym można opisać okrąg i można w nim wpisać okrąg.

Jakie są metody obliczania pola takiej figury? Poniższa metoda będzie wymagała wielu obliczeń. Aby z niego skorzystać, musisz znać wartości sinusa (grzechu) i cosinusa (cos) kąta u podstawy trapezu. Do ich obliczeń wymagane są tabele Bradisa lub kalkulator inżynierski. Oto formuła:

S= C*grzech A*(A - C*sałata A),

Gdzie Z- boczny udo, A- kąt przy dolnej podstawie.

Trapez równoboczny ma przekątne równej długości. Odwrotna sytuacja jest również prawdziwa: jeśli trapez ma równe przekątne, to jest równoramienny. Stąd następujący wzór, który pomoże znaleźć pole trapezu - połowę iloczynu kwadratu przekątnych i sinusa kąta między nimi: S = ½ d 2 sin A.

Znalezienie pola prostokątnego trapezu

Słynny szczególny przypadek trapez prostokątny. Jest to trapez, w którym jedna strona (jego udo) łączy się z podstawami pod kątem prostym. Ma właściwości zwykłego trapezu. Poza tym ma bardzo interesująca funkcja. Różnica kwadratów przekątnych takiego trapezu jest równa różnicy kwadratów jego podstaw. Wykorzystywane są do tego wszystkie opisane wcześniej metody obliczania powierzchni.

Wykorzystujemy pomysłowość

Jest jedna sztuczka, która może pomóc, jeśli zapomnisz określonych formuł. Przyjrzyjmy się bliżej, czym jest trapez. Jeśli podzielimy go mentalnie na części, otrzymamy znane i zrozumiałe kształty geometryczne: kwadrat lub prostokąt i trójkąt (jeden lub dwa). Jeśli znana jest wysokość i boki trapezu, możesz skorzystać ze wzorów na pole trójkąta i prostokąta, a następnie zsumować wszystkie otrzymane wartości.

Zilustrujmy to następującym przykładem. Biorąc pod uwagę trapez prostokątny. Kąt C = 45°, kąty A, D wynoszą 90°. Górna podstawa trapezu wynosi 20 cm, wysokość 16 cm. Musisz obliczyć pole figury.

Figura ta składa się oczywiście z prostokąta (jeśli dwa kąty mają miarę 90°) i trójkąta. Ponieważ trapez jest prostokątny, jego wysokość jest równa jego boku, czyli 16 cm. Mamy prostokąt o bokach odpowiednio 20 i 16 cm. Rozważmy teraz trójkąt, którego kąt wynosi 45°. Wiemy, że jeden jego bok ma długość 16 cm. Ponieważ ten bok jest jednocześnie wysokością trapezu (i wiemy, że wysokość schodzi do podstawy pod kątem prostym), zatem drugi kąt trójkąta wynosi 90°. Zatem pozostały kąt trójkąta wynosi 45°. W rezultacie otrzymujemy prostokąt Trójkąt równoramienny, którego dwie strony są takie same. Oznacza to, że drugi bok trójkąta jest równy wysokości, czyli 16 cm. Pozostaje obliczyć pole trójkąta i prostokąta i dodać powstałe wartości.

Pole trójkąta prostokątnego jest równe połowie iloczynu jego nóg: S = (16*16)/2 = 128. Pole prostokąta jest równe iloczynowi jego szerokości i długości: S = 20*16 = 320. Znaleźliśmy wymagane: pole trapezu S = 128 + 320 = 448 m2. zobacz Możesz łatwo sprawdzić siebie, korzystając z powyższych wzorów, odpowiedź będzie identyczna.

Używamy formuły Pick

S = M/2 + N - 1,

w tym wzorze M jest liczbą węzłów, tj. przecięcia linii figury z liniami komórki na granicach trapezu (pomarańczowe kropki na rysunku), N to liczba węzłów wewnątrz figury (niebieskie kropki). Najwygodniej jest go używać przy znajdowaniu obszaru nieregularnego wielokąta. Jednak im większy arsenał stosowanych technik, tym mniej błędów i lepsze wyniki.

Oczywiście podane informacje nie wyczerpują rodzajów i właściwości trapezu, a także metod wyznaczania jego pola. W tym artykule przedstawiono przegląd jego najważniejszych cech. Przy rozwiązywaniu problemów geometrycznych ważne jest, aby działać stopniowo, zaczynać od łatwych wzorów i problemów, konsekwentnie utrwalać zrozumienie i przechodzić na kolejny poziom złożoności.

Zebrane razem najpopularniejsze wzory pomogą uczniom poruszać się po różnych sposobach obliczania pola trapezu i lepiej przygotować się do testów i testy w tym temacie.

Istnieje wiele sposobów znalezienia obszaru trapezu. Zwykle nauczyciel matematyki zna kilka metod jej obliczania, przyjrzyjmy się im bardziej szczegółowo:
1) , gdzie AD i BC to podstawy, a BH to wysokość trapezu. Dowód: narysuj przekątną BD i wyraź pola trójkątów ABD i CDB przez połowę iloczynu ich podstaw i wysokości:

, gdzie DP jest wysokością zewnętrzną w

Dodajmy te równości wyraz po wyrazie i biorąc pod uwagę, że wysokości BH i DP są równe, otrzymamy:

Wyjmijmy to z nawiasów

co było do okazania

Wniosek ze wzoru na pole trapezu:
Ponieważ suma połówek podstaw jest równa MN - zatem linia środkowa trapezu

2) Aplikacja ogólna formuła obszar czworoboku.
Pole czworokąta jest równe połowie iloczynu przekątnych pomnożonego przez sinus kąta między nimi
Aby to udowodnić, wystarczy podzielić trapez na 4 trójkąty, wyrazić pole każdego z nich w kategoriach „połowy iloczynu przekątnych i sinusa kąta między nimi” (przyjętego jako kąt, dodać wynikowy wyrażenia, usuń je z nawiasu i rozłóż ten nawias, korzystając z metody grupowania, aby uzyskać jego równość z wyrażeniem Stąd

3) Metoda przesunięcia diagonalnego
To moje imię. Korepetytor matematyki nie spotka się z takim tytułem w podręcznikach szkolnych. Opis techniki można znaleźć jedynie w dodatku podręczniki jako przykład rozwiązania problemu. Zauważam, że większość interesujących i przydatne fakty korepetytorzy matematyki planimetrii ujawniają uczniom w trakcie wykonywania praktyczna praca. Jest to wyjątkowo nieoptymalne, ponieważ uczeń musi wydzielić je na osobne twierdzenia i nazwać je „wielkimi nazwiskami”. Jednym z nich jest „przesunięcie po przekątnej”. O czym to jest? Narysujmy prostą równoległą do AC przez wierzchołek B, aż przetnie się ona z dolną podstawą w punkcie E. W tym przypadku czworokąt EBCA będzie (z definicji) równoległobokiem, a zatem BC=EA i EB=AC. Pierwsza równość jest dla nas teraz ważna. Mamy:

Zauważ, że trójkąt ŁÓŻKO, którego powierzchnia jest równa powierzchni trapezu, ma kilka innych niezwykłych właściwości:
1) Jego powierzchnia jest równa powierzchni trapezu
2) Jego równoramienne występują jednocześnie z równoramiennymi samymi trapezami
3) Jego górny róg przy wierzchołku B równy kątowi między przekątnymi trapezu (który jest bardzo często używany w zadaniach)
4) Jego mediana BK jest równa odległości QS pomiędzy środkami podstaw trapezu. Z wykorzystaniem tej właściwości spotkałem się niedawno, przygotowując studenta mechaniki i matematyki na Uniwersytecie Moskiewskim, korzystając z podręcznika Tkachuka, wersja z 1973 r. (problem podano na dole strony).

Specjalne techniki dla nauczyciela matematyki.

Czasem proponuję problemy wykorzystując bardzo podstępny sposób wyznaczania pola trapezu. Klasyfikuję ją jako technikę specjalną, ponieważ w praktyce korepetytor wykorzystuje ją niezwykle rzadko. Jeśli potrzebujesz przygotowania do Unified State Exam z matematyki tylko w części B, nie musisz o nich czytać. O innych powiem dalej. Okazuje się, że powierzchnia trapezu jest podwojona więcej obszaru trójkąt z wierzchołkami na końcach jednego boku i środku drugiego, czyli trójkąt ABS na rysunku:
Dowód: narysuj wysokości SM i SN w trójkątach BCS i ADS i wyraź sumę pól tych trójkątów:

Ponieważ punkt S jest środkiem CD, to (udowodnij to sam). Znajdź sumę pól trójkątów:

Ponieważ suma ta okazała się równa połowie powierzchni trapezu, a następnie jego drugiej połowie. Itp.

Dodałbym do zbioru technik specjalnych nauczyciela formę obliczania pola trapezu równoramiennego wzdłuż jego boków: gdzie p jest półobwodem trapezu. Nie dam dowodu. W przeciwnym razie Twój nauczyciel matematyki zostanie bez pracy :). Chodź do klasy!

Problemy na obszarze trapezu:

Notatka nauczyciela matematyki: Poniższa lista nie stanowi metodologicznego uzupełnienia tematu, jest jedynie niewielkim wyborem interesujących zadań opartych na technikach omówionych powyżej.

1) Dolna podstawa trapezu równoramiennego wynosi 13, a górna 5. Znajdź obszar trapezu, jeśli jego przekątna jest prostopadła do boku.
2) Znajdź pole trapezu, jeśli jego podstawy mają długość 2 cm i 5 cm, a boki 2 cm i 3 cm.
3) W trapezie równoramiennym większa podstawa wynosi 11, bok wynosi 5, a przekątna to Znajdź obszar trapezu.
4) Przekątna trapezu równoramiennego wynosi 5, a linia środkowa wynosi 4. Znajdź pole.
5) W trapezie równoramiennym podstawy wynoszą 12 i 20, a przekątne są wzajemnie prostopadłe. Oblicz pole trapezu
6) Przekątna trapezu równoramiennego tworzy kąt z jego dolną podstawą. Znajdź pole trapezu, jeśli jego wysokość wynosi 6 cm.
7) Pole trapezu wynosi 20, a jeden z jego boków ma długość 4 cm. Znajdź odległość do niego od środka przeciwnej strony.
8) Przekątna trapezu równoramiennego dzieli go na trójkąty o polach 6 i 14. Znajdź wysokość, jeśli bok boczny wynosi 4.
9) W trapezie przekątne są równe 3 i 5, a odcinek łączący środki podstaw jest równy 2. Znajdź obszar trapezu (Mekhmat MSU, 1970).

Nie wybrałem najlepszego złożone zadania(nie bójcie się mechaniki i matematyki!) z oczekiwaniem ich możliwości niezależna decyzja. Zdecyduj się na swoje zdrowie! Jeśli potrzebujesz przygotowania do jednolitego egzaminu państwowego z matematyki, bez udziału w tym procesie mogą pojawić się wzory na obszar trapezu poważne problemy nawet w przypadku problemu B6, a tym bardziej w przypadku C4. Nie zaczynaj tematu i w razie jakichkolwiek trudności poproś o pomoc. Korepetytor matematyki zawsze chętnie Ci pomoże.

Kołpakow A.N.
Korepetytor matematyki w Moskwie, przygotowanie do Jednolitego Egzaminu Państwowego w Stroginie.

Praktyka ubiegłorocznych jednolitych egzaminów państwowych i egzaminów państwowych pokazuje, że problemy z geometrią sprawiają wielu uczniom trudności. Możesz łatwo sobie z nimi poradzić, jeśli zapamiętasz wszystkie niezbędne formuły i przećwiczysz rozwiązywanie problemów.

W tym artykule zobaczysz wzory na znalezienie pola trapezu, a także przykłady problemów z rozwiązaniami. Na te same można natknąć się w KIM-ach podczas egzaminów certyfikacyjnych czy na olimpiadach. Dlatego traktuj je ostrożnie.

Co warto wiedzieć o trapezie?

Na początek pamiętajmy o tym trapez nazywa się czworokątem, w którym dwa przeciwległe boki, zwane także podstawami, są równoległe, a pozostałe dwa nie.

W trapezie wysokość (prostopadle do podstawy) można również obniżyć. Rysowana jest linia środkowa - jest to linia prosta równoległa do podstaw i równa połowie ich sumy. Jak również przekątne, które mogą się przecinać, tworząc kąty ostre i rozwarte. Albo w w niektórych przypadkach, pod właściwymi kątami. Ponadto, jeśli trapez jest równoramienny, można w niego wpisać okrąg. I opisz okrąg wokół niego.

Wzory na pole trapezu

Najpierw spójrzmy na standardowe wzory na znalezienie obszaru trapezu. Poniżej rozważymy sposoby obliczania powierzchni trapezów równoramiennych i krzywoliniowych.

Wyobraźmy sobie więc trapez o podstawach a i b, w którym wysokość h jest obniżona do większej podstawy. Obliczenie pola figury w tym przypadku jest tak proste, jak łuskanie gruszek. Wystarczy podzielić sumę długości podstaw przez dwa i pomnożyć wynik przez wysokość: S = 1/2(a + b)*h.

Weźmy inny przypadek: załóżmy, że w trapezie oprócz wysokości znajduje się linia środkowa m. Znamy wzór na znalezienie długości linii środkowej: m = 1/2(a + b). Dlatego możemy słusznie uprościć wzór na pole trapezu do następującej postaci: S = m* godz. Innymi słowy, aby znaleźć pole trapezu, należy pomnożyć linię środkową przez wysokość.

Rozważmy inną opcję: trapez zawiera przekątne d 1 i d 2, które nie przecinają się pod kątem prostym α. Aby obliczyć pole takiego trapezu, należy podzielić iloczyn przekątnych przez dwa i pomnożyć wynik przez grzech kąta między nimi: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Rozważmy teraz wzór na znalezienie pola trapezu, jeśli nie wiadomo o nim nic poza długościami wszystkich jego boków: a, b, c i d. Jest nieporęczny i złożona formuła, ale na wszelki wypadek warto o tym pamiętać: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + do 2 – re 2)) 2.

Nawiasem mówiąc, powyższe przykłady dotyczą również przypadku, gdy potrzebny jest wzór na pole prostokątnego trapezu. Jest to trapez, którego bok łączy się z podstawami pod kątem prostym.

Trapez równoramienny

Trapez, którego boki są równe, nazywa się równoramiennymi. Rozważymy kilka opcji wzoru na obszar trapezu równoramiennego.

Opcja pierwsza: dla przypadku, gdy okrąg o promieniu r jest wpisany w trapez równoramienny, a bok i większa podstawa tworzą kąt ostry α. W trapez można wpisać okrąg, jeśli suma długości jego podstaw jest równa sumie długości boków.

Pole trapezu równoramiennego oblicza się w następujący sposób: pomnóż kwadrat promienia wpisanego koła przez cztery i podziel przez sinα: S = 4r 2 /sinα. Inny wzór na pole jest szczególnym przypadkiem dla opcji, gdy kąt między dużą podstawą a bokiem wynosi 30 0: S = 8r2.

Opcja druga: tym razem bierzemy trapez równoramienny, w którym dodatkowo narysowane są przekątne d 1 i d 2 oraz wysokość h. Jeżeli przekątne trapezu są do siebie prostopadłe, wysokość stanowi połowę sumy podstaw: h = 1/2(a + b). Wiedząc o tym, łatwo jest przekształcić znany już wzór na pole trapezu do tej postaci: S = godz. 2.

Wzór na pole zakrzywionego trapezu

Zacznijmy od ustalenia, czym jest zakrzywiony trapez. Wyobraźmy sobie oś współrzędnych i wykres ciągłej, nieujemnej funkcji f, która nie zmienia znaku w obrębie danego odcinka na osi x. Trapez krzywoliniowy tworzy wykres funkcji y = f(x) - u góry oś x znajduje się na dole (odcinek), a po bokach - linie proste poprowadzone pomiędzy punktami a i b oraz wykres funkcja.

Niemożliwe jest obliczenie powierzchni tak niestandardowej figury za pomocą powyższych metod. Tutaj musisz zastosować analizę matematyczną i użyć całki. Mianowicie: wzór Newtona-Leibniza - S = ∫ b za f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). W tym wzorze F jest funkcją pierwotną naszej funkcji na wybranym segmencie. I okolica zakrzywiony trapez odpowiada przyrostowi funkcji pierwotnej na danym segmencie.

Przykładowe problemy

Aby ułatwić zrozumienie wszystkich tych wzorów w głowie, oto kilka przykładów problemów ze znalezieniem pola trapezu. Najlepiej będzie, jeśli najpierw spróbujesz samodzielnie rozwiązać problemy, a dopiero potem porównasz otrzymaną odpowiedź z gotowym rozwiązaniem.

Zadanie 1: Biorąc pod uwagę trapez. Jego większa podstawa ma 11 cm, mniejsza 4 cm. Trapez ma przekątne, jedna o długości 12 cm, druga o długości 9 cm.

Rozwiązanie: Zbuduj trapez AMRS. Poprowadź prostą РХ przez wierzchołek P tak, aby była równoległa do przekątnej MC i przecinała prostą AC w ​​punkcie X. Otrzymasz trójkąt APХ.

Rozważymy dwie figury uzyskane w wyniku tych manipulacji: trójkąt APX i równoległobok CMRX.

Dzięki równoległobokowi dowiadujemy się, że PX = MC = 12 cm i CX = MR = 4 cm. Skąd możemy obliczyć bok AX trójkąta ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

Można także udowodnić, że trójkąt APX jest prostokątny (w tym celu należy zastosować twierdzenie Pitagorasa – AX 2 = AP 2 + PX 2). I oblicz jego pole: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.

Następnie musisz udowodnić, że trójkąty AMP i PCX mają równe pola. Podstawą będzie równość stron MR i CX (udowodniona już powyżej). A także wysokości, które obniżysz po tych bokach - są one równe wysokości trapezu AMRS.

Wszystko to pozwoli Ci powiedzieć, że SAMPC = S APX = 54 cm 2.

Zadanie nr 2: Dany jest trapez KRMS. Na jego bocznych stronach znajdują się punkty O i E, natomiast OE i KS są równoległe. Wiadomo też, że pola trapezów ORME i OKSE są w stosunku 1:5. RM = a i KS = b. Musisz znaleźć OE.

Rozwiązanie: Narysuj prostą równoległą do RK przez punkt M i oznacz punkt jej przecięcia z OE jako T. A jest punktem przecięcia prostej poprowadzonej przez punkt E równoległej do RK z podstawą KS.

Wprowadźmy jeszcze jedną notację - OE = x. A także wysokość h 1 dla trójkąta TME i wysokość h 2 dla trójkąta AEC (możesz samodzielnie udowodnić podobieństwo tych trójkątów).

Zakładamy, że b > a. Pola trapezów ORME i OKSE są w stosunku 1:5, co daje nam prawo do utworzenia równania: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Przekształćmy i otrzymamy: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

Ponieważ trójkąty TME i AEC są podobne, mamy h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Połączmy oba wpisy i otrzymamy: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Zatem OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Wniosek

Geometria nie jest nauką najłatwiejszą, ale z pytaniami egzaminacyjnymi z pewnością sobie poradzisz. Wystarczy wykazać się odrobiną wytrwałości w przygotowaniach. I oczywiście pamiętaj o wszystkich niezbędnych formułach.

Staraliśmy się zebrać wszystkie wzory na obliczenie pola trapezu w jednym miejscu, aby można było z nich skorzystać podczas przygotowań do egzaminów i powtórki materiału.

Pamiętaj, aby poinformować o tym artykule swoich kolegów i znajomych z klasy. w sieciach społecznościowych. Pozwalać dobre oceny będzie więcej w przypadku Jednolitego Egzaminu Państwowego i Testu Egzaminacyjnego Państwowego!

stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.