Logarytmy z różnymi wykładnikami. Własności logarytmów i przykłady ich rozwiązań. Kompleksowy przewodnik (2019)

Jednym z elementów algebry poziomu pierwotnego jest logarytm. Nazwa pochodzi od język grecki od słowa „liczba” lub „potęga” i oznacza stopień, w jakim należy podnieść liczbę w podstawie, aby znaleźć liczbę ostateczną.

Rodzaje logarytmów

• log a b – logarytm liczby b o podstawie a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• log b – logarytm dziesiętny(logarytm o podstawie 10, a = 10);
• ln b – logarytm naturalny (logarytm o podstawie e, a = e).

Jak rozwiązywać logarytmy?

Logarytm b do podstawy a jest wykładnikiem, który wymaga podniesienia b do podstawy a. Otrzymany wynik wymawia się w następujący sposób: „logarytm b na podstawie a”. Rozwiązaniem problemów logarytmicznych jest to, że musisz określić daną moc w liczbach na podstawie podanych liczb. Istnieje kilka podstawowych zasad wyznaczania lub rozwiązywania logarytmu, a także konwertowania samego zapisu. Za ich pomocą powstaje rozwiązanie równania logarytmiczne, znajdują się pochodne, rozwiązuje się całki i wykonuje się wiele innych operacji. Zasadniczo rozwiązaniem samego logarytmu jest jego uproszczony zapis. Poniżej znajdują się podstawowe wzory i właściwości:

Dla dowolnego a; a > 0; a ≠ 1 i dla dowolnego x ; y > 0.

• a log a b = b – podstawowa tożsamość logarytmiczna
• loga 1 = 0
• loga = 1
• log a (x y) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x , dla k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x/ log b a – wzór na przeniesienie do nowej bazy
• log a x = 1/log x a

Jak rozwiązywać logarytmy - instrukcje krok po kroku dotyczące rozwiązywania

• Najpierw zapisz wymagane równanie.

Uwaga: jeśli logarytm podstawowy wynosi 10, wówczas wpis jest skracany i otrzymuje się logarytm dziesiętny. Jeśli warto Liczba naturalna e, następnie zapisujemy to, redukując do logarytmu naturalnego. Oznacza to, że wynikiem wszystkich logarytmów jest potęga, do której podnosi się liczbę podstawową, aby otrzymać liczbę b.

Bezpośrednio rozwiązanie polega na obliczeniu tego stopnia. Przed rozwiązaniem wyrażenia za pomocą logarytmu należy je uprościć zgodnie z regułą, czyli za pomocą formuł. Główne tożsamości można znaleźć, cofając się nieco w artykule.

Dodając i odejmując logarytmy o dwóch różnych liczbach, ale o tych samych podstawach, zastąp jeden logarytm z iloczynem lub podziałem odpowiednio liczb b i c. W takim przypadku możesz zastosować formułę przeniesienia do innej bazy (patrz wyżej).

Jeśli używasz wyrażeń do uproszczenia logarytmu, musisz wziąć pod uwagę pewne ograniczenia. I to jest tak: podstawa logarytmu a jest tylko liczbą dodatnią, ale nie równą jedności. Liczba b, podobnie jak a, musi być większa od zera.

Są przypadki, gdy upraszczając wyrażenie, nie będziesz w stanie obliczyć logarytmu numerycznie. Zdarza się, że takie wyrażenie nie ma sensu, ponieważ wiele potęg to liczby niewymierne. W tym warunku pozostaw potęgę liczby jako logarytm.

W miarę rozwoju społeczeństwa i coraz bardziej złożonej produkcji rozwijała się także matematyka. Przejście od prostego do złożonego. Ze zwykłej księgowości metodą dodawania i odejmowania, z ich wielokrotnym powtarzaniem, doszliśmy do pojęcia mnożenia i dzielenia. Ograniczenie powtarzającej się operacji mnożenia stało się koncepcją potęgowania. Pierwsze tablice zależności liczb od podstawy i liczby potęgowań zostały opracowane już w VIII wieku przez indyjskiego matematyka Varasenę. Z nich można policzyć czas wystąpienia logarytmów.

Szkic historyczny

Odrodzenie Europy w XVI wieku pobudziło także rozwój mechaniki. T wymagało dużej ilości obliczeń związane z mnożeniem i dzieleniem liczb wielocyfrowych. Starożytne stoły były bardzo przydatne. Umożliwiły zastąpienie skomplikowanych operacji prostszymi - dodawaniem i odejmowaniem. Dużym krokiem naprzód była praca matematyka Michaela Stiefela, opublikowana w 1544 roku, w której zrealizował ideę wielu matematyków. Dzięki temu możliwe było wykorzystanie tabel nie tylko dla stopni w formularzu liczby pierwsze, ale także arbitralnie racjonalne.

W 1614 roku po raz pierwszy przedstawił Szkot Jan Napier, rozwijając te idee nowy semestr„logarytm liczby”. Opracowano nowe złożone tabele do obliczania logarytmów sinusów i cosinusów, a także stycznych. To znacznie ograniczyło pracę astronomów.

Zaczęły pojawiać się nowe tablice, z których naukowcy z powodzeniem korzystali przez trzy stulecia. Minęło dużo czasu, zanim nowa operacja algebry uzyskała gotową formę. Podano definicję logarytmu i zbadano jego właściwości.

Dopiero w XX wieku, wraz z pojawieniem się kalkulatora i komputera, ludzkość porzuciła starożytne tablice, które z powodzeniem działały przez cały XIII wiek.

Dzisiaj nazywamy logarytm b opierając a na liczbie x, która jest potęgą a dającą b. Zapisuje się to jako wzór: x = log a(b).

Na przykład log 3(9) będzie równy 2. Jest to oczywiste, jeśli postępujesz zgodnie z definicją. Jeśli podniesiemy 3 do potęgi 2, otrzymamy 9.

Tak więc sformułowana definicja stawia tylko jedno ograniczenie: liczby a i b muszą być rzeczywiste.

Rodzaje logarytmów

Klasyczna definicja nazywa się logarytmem rzeczywistym i jest w rzeczywistości rozwiązaniem równania a x = b. Opcja a = 1 jest na granicy i nie jest interesująca. Uwaga: 1 do dowolnej potęgi równa się 1.

Rzeczywista wartość logarytmu zdefiniowane tylko wtedy, gdy podstawa i argument są większe niż 0, a podstawa nie może być równa 1.

Szczególne miejsce w dziedzinie matematyki zagraj w logarytmy, które będą nazywane w zależności od wielkości ich podstawy:

Zasady i ograniczenia

Podstawową właściwością logarytmów jest zasada: logarytm iloczynu jest równy sumie logarytmicznej. log abp = log a(b) + log a(p).

Wariantem tego stwierdzenia będzie: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), funkcja ilorazu jest równa różnicy funkcji.

Z dwóch poprzednich reguł łatwo zauważyć, że: log a(b p) = p * log a(b).

Inne właściwości obejmują:

Komentarz. Nie ma potrzeby popełniać typowego błędu - logarytm sumy nie jest równy sumie logarytmów.

Przez wiele stuleci operacja znajdowania logarytmu była zadaniem dość czasochłonnym. Matematycy posługiwali się dobrze znanym wzorem logarytmicznej teorii rozwinięcia wielomianu:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), gdzie n jest liczbą naturalną większą od 1, która decyduje o dokładności obliczeń.

Logarytmy o innych podstawach obliczono, korzystając z twierdzenia o przejściu z jednej podstawy do drugiej i własności logarytmu iloczynu.

Ponieważ metoda ta jest bardzo pracochłonna i przy podejmowaniu decyzji problemy praktyczne trudne do wdrożenia, wykorzystaliśmy gotowe tablice logarytmów, co znacznie przyspieszyło całą pracę.

W niektórych przypadkach stosowano specjalnie opracowane wykresy logarytmów, co dawało mniejszą dokładność, ale znacznie przyspieszało poszukiwanie pożądanej wartości. Krzywa funkcji y = log a(x), zbudowana w kilku punktach, pozwala za pomocą zwykłej linijki znaleźć wartość funkcji w dowolnym innym punkcie. Inżynierowie długi czas Do tych celów używano tzw. papieru milimetrowego.

W XVII wieku pojawiły się pierwsze pomocnicze warunki obliczeniowe analogowe, które 19 wiek uzyskał wykończony wygląd. Najbardziej udane urządzenie nazwano suwakiem logarytmicznym. Pomimo prostoty urządzenia, jego wygląd znacznie przyspieszał proces wszelkich obliczeń inżynierskich, a to jest trudne do przecenienia. Obecnie niewiele osób zna to urządzenie.

Pojawienie się kalkulatorów i komputerów sprawiło, że korzystanie z jakichkolwiek innych urządzeń stało się bezcelowe.

Równania i nierówności

Aby rozwiązać różne równania i nierówności za pomocą logarytmów, stosuje się następujące wzory:

• Przechodzenie z jednej bazy do drugiej: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Konsekwencją poprzedniej opcji: log a(b) = 1 / log b(a).

Aby rozwiązać nierówności, warto wiedzieć:

• Wartość logarytmu będzie dodatnia tylko wtedy, gdy podstawa i argument będą większe lub mniejsze niż jeden; jeżeli zostanie naruszony przynajmniej jeden warunek, wartość logarytmu będzie ujemna.
• Jeżeli funkcję logarytmu zastosujemy do prawej i lewej strony nierówności, a podstawa logarytmu jest większa niż jeden, to znak nierówności zostaje zachowany; inaczej to się zmienia.

Przykładowe problemy

Rozważmy kilka opcji korzystania z logarytmów i ich właściwości. Przykłady rozwiązywania równań:

Rozważ możliwość umieszczenia logarytmu w potędze:

• Zadanie 3. Oblicz 25^log 5(3). Rozwiązanie: w warunkach problemu wpis jest podobny do następującego (5^2)^log5(3) lub 5^(2 * log 5(3)). Zapiszmy to inaczej: 5^log 5(3*2), czyli kwadrat liczby jako argumentu funkcji, można zapisać jako kwadrat samej funkcji (5^log 5(3))^2. Korzystając z właściwości logarytmów, to wyrażenie jest równe 3^2. Odpowiedź: w wyniku obliczeń otrzymujemy 9.

Praktyczne użycie

Będąc narzędziem czysto matematycznym, wydaje się to dalekie od ideału prawdziwe życieże logarytm nagle zyskał bardzo ważne do opisywania obiektów świata rzeczywistego. Trudno znaleźć naukę, w której nie jest ona wykorzystywana. Dotyczy to w pełni nie tylko przyrodniczych, ale także humanitarnych dziedzin wiedzy.

Zależności logarytmiczne

Oto kilka przykładów zależności numerycznych:

Mechanika i fizyka

Historycznie rzecz biorąc, mechanika i fizyka zawsze rozwijały się przy użyciu metody matematyczne badań, a jednocześnie stanowił zachętę do rozwoju matematyki, w tym logarytmów. Teoria większości praw fizyki jest napisana w języku matematyki. Podajmy tylko dwa przykłady opisu praw fizycznych za pomocą logarytmu.

Problem obliczenia tak złożonej wielkości, jak prędkość rakiety, można rozwiązać za pomocą wzoru Ciołkowskiego, który położył podwaliny pod teorię eksploracji kosmosu:

V = I * ln (M1/M2), gdzie

• V to prędkość końcowa samolotu.
• I – impuls właściwy silnika.
• M 1 – masa początkowa rakiety.
• M 2 – masa końcowa.

Inny ważny przykład - jest to stosowane we wzorze innego wielkiego naukowca Maxa Plancka, który służy do oceny stanu równowagi w termodynamice.

S = k * ln (Ω), gdzie

• S – właściwość termodynamiczna.
• k – stała Boltzmanna.
• Ω jest wagą statystyczną różnych stanów.

Chemia

Mniej oczywiste jest stosowanie w chemii wzorów zawierających iloraz logarytmów. Podajmy tylko dwa przykłady:

• Równanie Nernsta, stan potencjału redoks ośrodka w zależności od aktywności substancji i stałej równowagi.
• Obliczenia takich stałych jak wskaźnik autolizy i kwasowość roztworu również nie da się wykonać bez naszej funkcji.

Psychologia i biologia

I wcale nie jest jasne, co ma z tym wspólnego psychologia. Okazuje się, że siłę czucia dobrze opisuje ta funkcja jako odwrotny stosunek wartości natężenia bodźca do wartości natężenia niższego.

Po powyższych przykładach nie jest już zaskakujące, że temat logarytmów jest szeroko stosowany w biologii. O formach biologicznych odpowiadających spiralom logarytmicznym można napisać całe tomy.

Inne obszary

Wydaje się, że istnienie świata nie jest możliwe bez związku z tą funkcją i rządzi ona wszelkimi prawami. Zwłaszcza, gdy prawa natury są powiązane postęp geometryczny. Warto zajrzeć na stronę MatProfi, a takich przykładów jest wiele w następujących obszarach działalności:

Lista może nie mieć końca. Po opanowaniu podstawowych zasad tej funkcji możesz zanurzyć się w świat nieskończonej mądrości.

1. Sprawdź, czy pod znakiem logarytmu znajdują się liczby ujemne lub jedynka. Ta metoda ma zastosowanie do wyrażeń w formie log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) (\ Displaystyle (\ Frac (\ log _ (b) (x)) (\ log _ (b) (a)))). Jednak nie nadaje się do niektórych szczególnych przypadków:

   • Logarytm Liczba ujemna nieokreślone na żadnej podstawie (np. log ⁡ (- 3) (\ Displaystyle \ log (-3)) Lub log 4 ⁡ (- 5) (\ Displaystyle \ log _ (4) (-5))). W tym przypadku napisz „brak rozwiązania”.
   • Logarytm zera do dowolnej podstawy jest również nieokreślony. Jeśli zostaniesz złapany ln ⁡ (0) (\ displaystyle \ ln (0)), wpisz „brak rozwiązania”.
   • Logarytm jeden do dowolnej podstawy ( log ⁡ (1) (\ displaystyle \ log (1))) wynosi zawsze zero, ponieważ x 0 = 1 (\ displaystyle x ^ (0) = 1) dla wszystkich wartości X. Zamiast tego logarytmu wpisz 1 i nie korzystaj z poniższej metody.
   • Jeśli logarytmy mają rózne powody, Na przykład l o sol 3 (x) l o sol 4 (a) (\ Displaystyle (\ Frac (log_ (3) (x)) (log_ (4) (a)))) i nie są zredukowane do liczb całkowitych, wartości wyrażenia nie można znaleźć ręcznie.

2. Zamień wyrażenie na jeden logarytm. Jeżeli wyrażenie nie ma zastosowania w powyższych przypadkach specjalnych, można je wyrazić jako pojedynczy logarytm. Użyj w tym celu poniższej formuły: log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) = log za ⁡ (x) (\ Displaystyle (\ Frac (\ log _ (b) (x)) (\ log _ (b) (a))) = \ log_(a)(x)).

   • Przykład 1: Rozważmy wyrażenie log ⁡ 16 log ⁡ 2 (\ Displaystyle (\ Frac (\ log (16)) (\ log (2}}}.
     Najpierw przedstawmy wyrażenie jako pojedynczy logarytm, korzystając z powyższego wzoru: log ⁡ 16 log ⁡ 2 = log 2 ⁡ (16) (\ Displaystyle (\ Frac (\ log (16)) (\ log (2))) = \ log _ (2) (16)}.
   • Ten wzór na „zastąpienie podstawy” logarytmu wywodzi się z podstawowych właściwości logarytmów.

3. Jeśli to możliwe, oceń wartość wyrażenia ręcznie. Znaleźć log za ⁡ (x) (\ Displaystyle \ log _ (a) (x)) wyobraź sobie wyrażenie „ A? = x (\ displaystyle a ^ (?) = x)", czyli zadaj następujące pytanie: "Do jakiej potęgi powinieneś podnieść A, Pozyskać X?. Odpowiedź na to pytanie może wymagać użycia kalkulatora, ale jeśli będziesz mieć szczęście, być może uda Ci się go znaleźć ręcznie.

   • Przykład 1 (ciąg dalszy): Zapisz jako 2? = 16 (\ displaystyle 2 ^ (?) = 16). Musisz znaleźć liczbę, która powinna stać w miejscu znaku „?”. Można to zrobić metodą prób i błędów:
     2 2 = 2 ∗ 2 = 4 (\ Displaystyle 2 ^ (2) = 2 * 2 = 4)
     2 3 = 4 ∗ 2 = 8 (\ Displaystyle 2 ^ (3) = 4 * 2 = 8)
     2 4 = 8 ∗ 2 = 16 (\ Displaystyle 2 ^ (4) = 8 * 2 = 16)
     Zatem szukana liczba to 4: log 2 ⁡ (16) (\ Displaystyle \ log _ (2) (16)) = 4 .

4. Pozostaw odpowiedź w formie logarytmicznej, jeśli nie możesz jej uprościć. Wiele logarytmów jest bardzo trudnych do obliczenia ręcznie. W takim przypadku, aby uzyskać dokładną odpowiedź, będziesz potrzebować kalkulatora. Jeśli jednak rozwiązujesz problem na zajęciach, nauczyciel najprawdopodobniej będzie usatysfakcjonowany odpowiedzią w formie logarytmicznej. Metoda omówiona poniżej służy do rozwiązania bardziej złożonego przykładu:

   • przykład 2: co jest równe log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) (\ Displaystyle (\ Frac (\ log _ (3) (58)) (\ log _ (3) (7)}}?
   • Przekształćmy to wyrażenie na jeden logarytm: log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) = log 7 ⁡ (58) (\ Displaystyle (\ Frac (\ log _ (3) (58)) (\ log _ (3) (7))) = \ log_(7)(58)). Należy zauważyć, że podstawa 3 wspólna dla obu logarytmów znika; jest to prawdą z jakiegokolwiek powodu.
   • Przepiszmy wyrażenie w formie 7? = 58 (\ displaystyle 7 ^ (?) = 58) i spróbujmy znaleźć wartość?:
     7 2 = 7 ∗ 7 = 49 (\ Displaystyle 7 ^ (2) = 7 * 7 = 49)
     7 3 = 49 ∗ 7 = 343 (\ Displaystyle 7 ^ (3) = 49 * 7 = 343)
     Ponieważ pomiędzy tymi dwiema liczbami znajduje się 58, nie jest ona wyrażana jako liczba całkowita.
   • Odpowiedź pozostawiamy w formie logarytmicznej: log 7 ⁡ (58) (\ Displaystyle \ log _ (7) (58)).

Co to jest logarytm?

Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy „bardzo…”)

Co to jest logarytm? Jak rozwiązywać logarytmy? Te pytania dezorientują wielu absolwentów. Tradycyjnie temat logarytmów jest uważany za złożony, niezrozumiały i przerażający. Zwłaszcza równania z logarytmami.

To absolutnie nie jest prawdą. Absolutnie! Nie wierzysz mi? Cienki. Teraz w ciągu zaledwie 10–20 minut:

1. Zrozumiesz co to jest logarytm.

2. Naucz się rozwiązywać całą klasę równań wykładniczych. Nawet jeśli nic o nich nie słyszałeś.

3. Naucz się obliczać proste logarytmy.

Co więcej, do tego wystarczy znać tabliczkę mnożenia i podnosić liczbę do potęgi...

Czuję, że masz wątpliwości... No cóż, zaznacz czas! Iść!

Najpierw rozwiąż w głowie to równanie:

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Instrukcje

Zapisz podane wyrażenie logarytmiczne. Jeżeli w wyrażeniu używany jest logarytm liczby 10, to jego zapis ulega skróceniu i wygląda następująco: lg b jest logarytmem dziesiętnym. Jeżeli logarytm ma za podstawę liczbę e, to zapisz wyrażenie: ln b – logarytm naturalny. Rozumie się, że wynikiem any jest potęga, do której należy podnieść liczbę podstawową, aby otrzymać liczbę b.

Gdy znajdujesz sumę dwóch funkcji, wystarczy je rozróżnić i dodać wyniki: (u+v)" = u"+v";

Szukając pochodnej iloczynu dwóch funkcji należy pomnożyć pochodną pierwszej funkcji przez drugą i dodać pochodną drugiej funkcji pomnożoną przez pierwszą funkcję: (u*v)" = u"*v +v"*u;

Aby znaleźć pochodną ilorazu dwóch funkcji, należy od iloczynu pochodnej dzielnej pomnożonej przez funkcję dzielnika odjąć iloczyn pochodnej dzielnika pomnożonej przez funkcję dzielnej i podzielić wszystko to przez funkcję dzielnika do kwadratu. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Jeśli podano złożona funkcja, to należy pomnożyć pochodną funkcja wewnętrzna i pochodną zewnętrznej. Niech y=u(v(x)), wtedy y"(x)=y"(u)*v"(x).

Korzystając z wyników uzyskanych powyżej, można rozróżnić prawie każdą funkcję. Spójrzmy więc na kilka przykładów:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *X));
Istnieją również problemy związane z obliczaniem pochodnej w punkcie. Niech będzie podana funkcja y=e^(x^2+6x+5), należy znaleźć wartość funkcji w punkcie x=1.
1) Znajdź pochodną funkcji: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Oblicz wartość funkcji w dany punkt y"(1)=8*e^0=8

Wideo na ten temat

Pomocna rada

Poznaj tabelę elementarnych pochodnych. Pozwoli to znacznie zaoszczędzić czas.

Źródła:

• pochodna stałej

Jaka jest więc różnica między racjonalne równanie od racjonalnego? Jeśli nieznana zmienna znajduje się pod znakiem pierwiastek kwadratowy, wówczas równanie uważa się za niewymierne.

Instrukcje

Główną metodą rozwiązywania takich równań jest metoda konstruowania obu stron równania w kwadrat. Jednakże. jest to naturalne, pierwszą rzeczą, którą musisz zrobić, to pozbyć się znaku. Metoda ta nie jest trudna technicznie, lecz czasem może przysporzyć kłopotów. Na przykład równanie ma postać v(2x-5)=v(4x-7). Podnosząc obie strony do kwadratu, otrzymasz 2x-5 = 4x-7. Rozwiązanie takiego równania nie jest trudne; x=1. Ale numer 1 nie zostanie podany równania. Dlaczego? Podstaw jeden do równania zamiast wartości x. Prawa i lewa strona będą zawierać wyrażenia, które nie mają sensu. Ta wartość nie dotyczy pierwiastka kwadratowego. Dlatego 1 jest obcym pierwiastkiem i dlatego to równanie nie ma pierwiastków.

Zatem irracjonalne równanie rozwiązuje się metodą podniesienia obu jego stron do kwadratu. Po rozwiązaniu równania konieczne jest odcięcie obcych korzeni. Aby to zrobić, podstaw znalezione pierwiastki do pierwotnego równania.

Rozważ inny.
2х+vх-3=0
Oczywiście równanie to można rozwiązać za pomocą tego samego równania, co poprzednie. Przesuń związki równania, które nie mają pierwiastka kwadratowego, po prawej stronie, a następnie zastosuj metodę podniesienia do kwadratu. rozwiązać powstałe racjonalne równanie i pierwiastki. Ale także inny, bardziej elegancki. Wprowadź nową zmienną; vх=y. W związku z tym otrzymasz równanie w postaci 2y2+y-3=0. To znaczy to, co zwykle równanie kwadratowe. Znajdź swoje korzenie; y1=1 i y2=-3/2. Następnie rozwiąż dwa równania vх=1; vх=-3/2. Drugie równanie nie ma pierwiastków; z pierwszego wynika, że ​​x=1. Nie zapomnij sprawdzić korzeni.

Rozwiązywanie tożsamości jest dość proste. Aby to zrobić, należy przeprowadzić identyczne przekształcenia, aż do osiągnięcia założonego celu. Zatem za pomocą najprostszego działania arytmetyczne stojące przed tobą zadanie zostanie rozwiązane.

Będziesz potrzebować

• - papier;
• - długopis.

Instrukcje

Najprostszymi tego typu przekształceniami są algebraiczne skrócone mnożenia (takie jak kwadrat sumy (różnicy), różnica kwadratów, suma (różnica), sześcian sumy (różnica)). Ponadto istnieje wiele wzorów trygonometrycznych, które są zasadniczo tymi samymi tożsamościami.

Rzeczywiście, kwadrat sumy dwóch wyrazów jest równy kwadratowi pierwszego plus dwukrotność iloczynu pierwszego przez drugi plus kwadrat drugiego, czyli (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Uprość oba

Ogólne zasady rozwiązania

Zmienna metoda wymiany

Rozwiązywanie całek drugiego rodzaju

Podstawienie granic całkowych