소수. 숫자. 소수 1이 소수가 아닌 이유

정리.

소수의 개수는 무한합니다.

증거.

이것이 사실이 아니라고 가정해 봅시다. 즉, n개의 소수만이 있고, 이들 소수는 p 1, p 2, ..., p n이라고 가정하자. 표시된 것과 다른 소수를 항상 찾을 수 있음을 보여드리겠습니다.

p 1 ·p 2 ·...·p n +1과 동일한 숫자 p를 고려하십시오. 이 숫자는 각 소수 p 1, p 2, ..., p n과 다르다는 것이 분명합니다. 숫자 p가 소수이면 정리가 증명됩니다. 이 숫자가 합성수라면 이전 정리에 따라 이 숫자의 소수가 존재합니다(p n+1로 나타냄). 이 제수가 p 1, p 2, ..., p n 숫자와 일치하지 않음을 보여 드리겠습니다.

그렇지 않다면, 가분성의 특성에 따라 곱 p 1 ·p 2 ·...·p n은 p n+1로 나누어질 것입니다. 그러나 숫자 p는 또한 p n+1로 나누어질 수 있으며, 이는 합 p 1 ·p 2 ·...·p n +1과 같습니다. p n+1은 이 합의 두 번째 항을 나누어야 하며 이는 1과 같지만 이는 불가능합니다.

따라서, 미리 정해진 소수 중 임의의 개수에 포함되지 않는 새로운 소수가 항상 발견될 수 있음이 입증되었다. 그러므로 소수는 무한히 많다.

따라서 무한한 수의 소수가 있다는 사실로 인해 소수 테이블을 컴파일할 때 항상 위에서부터 특정 숫자(보통 100, 1,000, 10,000 등)로 제한해야 합니다.

에라토스테네스의 체

이제 소수 테이블을 만드는 방법에 대해 논의하겠습니다. 100까지의 소수로 구성된 테이블을 만들어야 한다고 가정해 보겠습니다.

이 문제를 해결하는 가장 확실한 방법은 2부터 시작하여 100으로 끝나는 양의 정수를 순차적으로 검사하여 1보다 크고 테스트되는 숫자보다 작은 양의 약수가 있는지 확인하는 것입니다. 제수의 절대값이 배당금의 절대값(0이 아닌 값)을 초과하지 않음). 그러한 제수가 발견되지 않으면 테스트되는 숫자는 소수이며 소수 테이블에 입력됩니다. 그러한 제수가 발견되면 테스트되는 숫자는 소수 테이블에 입력되지 않습니다. 그 후에는 다음 숫자로 전환되며 마찬가지로 제수가 있는지 확인됩니다.

처음 몇 단계를 설명해 보겠습니다.

우리는 숫자 2부터 시작합니다. 숫자 2에는 1과 2 외에 양의 약수가 없습니다. 그러므로 간단하므로 소수표에 입력합니다. 여기서는 2가 가장 작은 소수라고 말해야 합니다. 3번으로 넘어가겠습니다. 1과 3 이외의 가능한 양의 약수는 숫자 2입니다. 하지만 3은 2로 나누어지지 않으므로 3은 소수이므로 소수표에도 포함되어야 합니다. 4번으로 넘어가겠습니다. 1과 4 이외의 양의 약수는 숫자 2와 3이 될 수 있습니다. 확인해 보겠습니다. 숫자 4는 2로 나눌 수 있으므로 4는 합성수이므로 소수 표에 포함될 필요가 없습니다. 4는 가장 작은 합성수라는 점에 유의하세요. 5번으로 넘어가겠습니다. 숫자 2, 3, 4 중 적어도 하나가 약수인지 확인합니다. 5는 2, 3, 4로 나누어지지 않으므로 소수이므로 소수표에 적어야 합니다. 그런 다음 숫자 6, 7 등으로 최대 100까지 전환됩니다.

소수 테이블을 컴파일하는 이러한 접근 방식은 이상적이지 않습니다. 어떤 식으로든 그는 존재할 권리가 있습니다. 정수 테이블을 구성하는 이 방법을 사용하면 나눗셈 기준을 사용할 수 있으므로 제수를 찾는 프로세스 속도가 약간 빨라집니다.

이라는 소수 테이블을 만드는 더 편리한 방법이 있습니다. 이름에 있는 "체"라는 단어는 우연이 아닙니다. 이 방법의 작업은 에라토스테네스의 체를 통해 전체 숫자와 큰 단위를 "체질"하여 단순한 단위와 복합 단위를 분리하는 데 도움이 되기 때문입니다.

최대 50까지의 소수 표를 작성할 때 에라토스테네스의 체를 살펴보겠습니다.

먼저 숫자 2, 3, 4, ..., 50을 순서대로 적어보세요.

쓰여진 첫 번째 숫자 2는 소수입니다. 이제 2번부터 두 개의 숫자만큼 순차적으로 오른쪽으로 이동하고 컴파일되는 숫자 표의 끝에 도달할 때까지 이 숫자에 줄을 그어 지웁니다. 이렇게 하면 2의 배수인 모든 숫자가 지워집니다.

2 다음에서 지워지지 않은 첫 번째 숫자는 3입니다. 이 숫자는 소수입니다. 이제 3번부터 (이미 줄이 그어진 숫자를 고려하여) 3개의 숫자만큼 순차적으로 오른쪽으로 이동하여 줄을 그어 지웁니다. 이렇게 하면 3의 배수인 모든 숫자가 지워집니다.

3 다음에서 지워지지 않은 첫 번째 숫자는 5입니다. 이 숫자는 소수입니다. 이제 숫자 5에서 5개의 숫자만큼 지속적으로 오른쪽으로 이동하고(이전에 지워진 숫자도 고려합니다) 줄을 그어 지웁니다. 이렇게 하면 5의 배수인 모든 숫자가 지워집니다.

다음으로 7의 배수, 11의 배수 등의 숫자를 지웁니다. 더 이상 지울 숫자가 없으면 프로세스가 종료됩니다. 아래는 에라토스테네스의 체를 사용하여 얻은 50까지의 소수의 완성된 표입니다. 교차되지 않은 숫자는 모두 소수이고, 교차된 숫자는 모두 합성수입니다.

또한 에라토스테네스의 체를 사용하여 소수 표를 작성하는 과정을 가속화하는 정리를 공식화하고 증명해 봅시다.

정리.

1과 다른 합성수 a의 가장 작은 양수 제수는 를 초과하지 않습니다. 여기서 는 a에서 입니다.

증거.

1과 다른 합성수 a의 가장 작은 약수를 문자 b로 표시하겠습니다(이전 단락의 시작 부분에서 증명된 정리에 따라 숫자 b는 소수입니다). 그런 다음 a=b·q를 만족하는 정수 q가 있습니다(여기서 q는 정수 곱셈의 규칙을 따르는 양의 정수입니다). (b>q의 경우 b가 a의 최소 약수라는 조건이 위반됩니다. , q는 또한 a=q·b 등식으로 인해 숫자 a의 약수이기 때문입니다. 부등식의 양쪽에 양수와 1보다 큰 정수를 곱하면(이렇게 할 수 있습니다), 우리는 , which 와 를 얻습니다.

에라토스테네스의 체에 관해 입증된 정리는 우리에게 무엇을 제공합니까?

첫째, 소수 b의 배수인 합성수를 지우려면 다음과 같은 숫자로 시작해야 합니다(부등식에서 유래). 예를 들어, 2의 배수인 숫자를 지우려면 숫자 4로 시작해야 하고, 3의 배수는 숫자 9, 5의 배수는 숫자 25 등으로 시작해야 합니다.

둘째, 에라토스테네스의 체를 사용하여 n까지의 소수 표를 작성하는 것은 소수의 배수인 모든 합성수가 를 초과하지 않을 때 완전한 것으로 간주될 수 있다. 우리의 예에서는 n=50(최대 50의 소수 표를 만들고 있기 때문에)이므로 에라토스테네스의 체는 소수 2, 3, 5, 7의 배수인 모든 합성수를 제거해야 합니다. 50의 산술 제곱근을 초과하지 마십시오. 즉, 더 이상 소수 11, 13, 17, 19, 23 등 최대 47의 배수인 숫자를 검색하고 지울 필요가 없습니다. 왜냐하면 이미 더 작은 소수 2의 배수로 지울 것이기 때문입니다. , 3, 5 및 7.

이 숫자는 소수인가요, 합성인가요?

일부 작업에서는 주어진 숫자가 소수인지 합성수인지 알아내야 합니다. 일반적으로 이 작업은 결코 간단하지 않습니다. 특히 문자 수가 많은 문자로 구성된 숫자의 경우 더욱 그렇습니다. 대부분의 경우, 문제를 해결하기 위한 구체적인 방법을 찾아야 합니다. 그러나 우리는 간단한 경우에 대해 생각의 흐름에 방향을 제시하려고 노력할 것입니다.

물론, 주어진 숫자가 합성수임을 증명하기 위해 가분성 테스트를 사용할 수 있습니다. 예를 들어, 일부 나눗셈 테스트에서 주어진 숫자가 1보다 큰 양의 정수로 나누어진다는 사실이 밝혀지면 원래 숫자는 합성수입니다.

예.

898,989,898,989,898,989가 합성수임을 증명하시오.

해결책.

이 숫자의 자릿수의 합은 9·8+9·9=9·17이다. 9·17에 해당하는 수는 9로 나누어 떨어지므로 9로 나누어지면 원래의 숫자도 9로 나누어진다고 말할 수 있습니다. 그러므로 복합적이다.

이 접근법의 중요한 단점은 나눗셈 기준이 숫자의 소수를 증명하는 것을 허용하지 않는다는 것입니다. 따라서 숫자가 소수인지 합성인지 테스트할 때는 다르게 진행해야 합니다.

가장 논리적인 접근 방식은 주어진 숫자의 가능한 모든 제수를 시도하는 것입니다. 가능한 제수 중 어느 것도 주어진 숫자의 실제 제수가 아닌 경우 이 숫자는 소수가 되고, 그렇지 않으면 합성수가 됩니다. 이전 단락에서 증명된 정리에 따르면 주어진 수 a의 약수는 를 초과하지 않는 소수 중에서 찾아야 합니다. 따라서 주어진 숫자 a는 소수(소수 표에서 편리하게 가져온)로 순차적으로 나누어 숫자 a의 제수를 찾을 수 있습니다. 제수가 발견되면 숫자 a는 합성수입니다. 를 초과하지 않는 소수 중에서 a의 약수가 없으면 a는 소수이다.

예.

숫자 11 723 단순 또는 복합?

해결책.

11,723의 약수가 소수가 될 수 있는 수까지 알아봅시다. 이를 위해 평가해 봅시다.

그것은 꽤 분명하다 , 200 2 =40,000 및 11,723 이후<40 000 (при необходимости смотрите статью 숫자의 비교). 따라서 11,723의 가능한 소인수는 200보다 작습니다. 이것은 이미 우리의 작업을 훨씬 쉽게 만들어줍니다. 이것을 모른다면 200이 아닌 11,723까지의 모든 소수를 조사해야 할 것입니다.

원하는 경우 더 정확하게 평가할 수 있습니다. 108 2 =11,664이고 109 2 =11,881이므로 108 2<11 723<109 2 , следовательно, . 따라서 109보다 작은 소수는 잠재적으로 주어진 숫자 11,723의 소인수입니다.

이제 숫자 11,723을 소수 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71로 순차적으로 나누겠습니다. , 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107. 숫자 11,723을 쓰여진 소수 중 하나로 나누면 합성수가 됩니다. 작성된 소수 중 어느 하나로도 나누어지지 않으면 원래 숫자는 소수입니다.

우리는 이 단조롭고 단조로운 분할 과정 전체를 설명하지 않을 것입니다. 바로 11,723이라고 가정해 보겠습니다.

§2 소수.

p.1 소수와 합성수.

자연수는 몇 개의 약수를 가질 수 있나요? 숫자 1에는 약수가 하나만 있습니다. 모든 자연수에는 두 개의 약수가 있습니다: 1과 숫자 자체 ㅏ. 다른 약수가 없는 숫자도 있습니다.

정의 . 자연수 아르 자형정확히 두 개의 약수(1과 p)가 있는 경우 소수라고 합니다.

정의 . 자연수 a는 1과 a 외에 적어도 하나의 약수가 있으면 합성수라고 합니다.

논평. 숫자 1은 화합물도 아니고 소수도 아닙니다.

한 무리의 N세 가지 하위 집합으로 나눌 수 있습니다.

1은 약수가 하나인 숫자입니다.

약수가 정확히 2개인 소수입니다.

최소 3개의 약수가 있는 합성수입니다.

처음 몇 개의 소수를 적어 보겠습니다.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 …

이 수열은 무한합니까, 아니면 모든 소수를 나열할 수 있습니까? 그 대답은 이미 유클리드에게 알려져 있었습니다.

정리. (유클리드)

소수의 집합은 무한하다.

증거. “
"허락하다
- 모든 소수의 집합, 여기서 - 마지막(가장 큰) 소수.

숫자를 만들어보자
. 확실히,
, 수단, N-합성물.
예를 들어 다음과 같은 간단한 것 중 하나로 나뉩니다. . 그러나 가분성의 성질에 따라 1은 다음과 같이 나누어집니다. , 그것은 불가능합니다.

소수의 몇 가지 기본 속성을 고려해 보겠습니다.

1. 하자
- 자연수 a의 가장 작은 약수.

그 다음에 피-소수.

증거. 허락하다 디- 숫자의 일부 제수 피.

하지만 피-최소 제수
또는
피-단순한.

2. 하자
- 합성수의 가장 작은 제수 ㅏ.

그 다음에

증거. 합성물, 의미

조건별

3. a를 자연수라 하자. 피- 소수.

그러면 a는 다음과 같이 나누어진다. 피, 또는 ㅏ그리고 피상호 간단합니다.

증거. 허락하다
. 디- 소인수
또는

만약에 디=1, 그 다음 a 및 피상호 간단합니다.

만약에 디=피, 그러면 a는 r로 나누어집니다.

4. 하자 피- 소수, a의 곱 비로 나눈 피, 그러면 a는 다음으로 나누어집니다. 피또는 비 r로 나눈다.

증거. a가 다음으로 나누어지지 않는 경우 피, 속성 3으로 GCD(ㅏ, 피)=1.

그런데 2개의 서로소의 성질에 의해, 비로 나눈 아르 자형.

참고 1. 속성 4는 귀납법에 의해 쉽게 일반화될 수 있습니다.
소수로 나눌 수 있는 피, 그러면 요인이 있습니다 , r로 나누어진다.

노트 2. 작품의 경우
소수로 나눌 수 있는 피및 모든 요인 소수이면 인수 중 적어도 하나가 p와 ​​같습니다.

주어진 숫자를 초과하지 않는 소수의 목록을 컴파일하려면 N, "에라토스테네스의 체"라는 알고리즘을 사용합니다.

2부터 까지의 자연수를 적어보자 N.

숫자 2는 소수입니다. 목록에서 2의 배수인 모든 숫자(2 제외)를 지워 봅시다. 나머지 중 첫 번째인 3이 소수가 됩니다. 목록에서 3의 배수인 모든 숫자(3 제외)를 지워 봅시다. 나머지 숫자 중 첫 번째 숫자인 5가 소수가 됩니다. 그런 다음 5의 배수인 모든 숫자(숫자 5 제외)를 지웁니다.

줄을 그어 지우지 않은 숫자가 다음 값보다 커지면 알고리즘이 중지됩니다.
. 실제로 속성 2에 따르면 목록의 모든 합성수에는 제수가 있습니다.
. 이는 이미 삭제되었음을 의미합니다.

다른 모든 숫자는 소수입니다.

예. 2부터 100까지의 구간에 있는 모든 소수를 찾아보세요.

해결책. 2의 배수인 숫자를 강조 표시해 봅시다(그림 1).

다음 소수
다른 모든 숫자는 소수입니다(그림 5).

논평. 만약에 피- 첫 번째 숫자에 줄이 그어지지 않은 경우, 그 다음에는 모든 숫자가 더 작습니다. 이미 삭제되었습니다.
숫자의 배수를 지우세요 피당신은 시작할 수 있습니다 .

2항 인수분해.

합성수 495의 제수는 5입니다.
. 두 번째 요소도 합성수입니다.
. 프로세스를 계속하면 처음에 숫자를 인수분해할 수 있습니다.

정의 . 합성수 인수분해하기 N분해라고 불리는 N소인수로.

숫자를 인수분해하는 가장 확실한 방법 N가능한 모든 소수를 열거하는 것으로 축소됩니다.
.

예. 숫자 323을 인수분해합니다.

그것을주의해라
. 이는 소수 중에서 제수를 찾아야 함을 의미합니다.
. 하나씩 살펴보면서 우리는 그것을 발견합니다.

예. 919가 소수임을 증명하여라.

왜냐하면
이면 가장 작은 소수 약수가 29를 초과하지 않습니다. 검사를 통해 919가 소수로 나누어지지 않는지 확인합니다.
- 소수.

큰 자연수의 경우 고려된 방법은 효과적이지 않습니다. 많은 수학자들은 계산이 덜 필요한 간단한 인수분해 방법을 찾았습니다.

I. 페르마의 방법.

허락하다 N- 주어진 번호,
. 숫자 형성

그 중 하나가 정확한 정사각형으로 판명되면 우리는 평등을 얻습니다.
, 또는
.

검색은 해당 값까지 수행되어야 합니다.
. (이 경우
그리고
). 정확한 정사각형인 경우 그때 만나지 않았어 N- 소수.

예. 인수분해 N=9271.

우리는
이는 m=97을 의미합니다. 순차적으로 계산해 봅시다: .

II. 오일러의 방법.

오일러는 숫자를 적어 두라고 제안했습니다. N합계로
, 어디 디- 특별히 선택된 승수 GCD (엑스, y 디)=1. 크기 디숫자의 종류에 따라 다름 N. 그래서 만약 N=4케이그러면 +1 디=1인 경우 N=6케이그러면 +1 디=3 등 전체적으로 오일러는 65개의 요인을 나타냈습니다. 디다양한 유형에 대해 N.

만약에 N로 제시
두 가지 방법(동일한 디), 저것 N인수분해할 수 있습니다.

예를 들어

그럼 어디서 GCD(u,v)=1.

우리는 시스템을 얻습니다.
그리고

이를 해결하면 다음을 찾을 수 있습니다.

예. 인수분해 N = 2197.

따라서 u=2, v=3, t=10, s=24입니다.

.

III. 다수의 기술은 간단한 대수적 항등식을 기반으로 합니다. 예를 들어 소피아 제르맹(Sophia Germain)의 정리는 다음과 같습니다.
- 합성수.

이는 다음과 같은 사실에서 비롯됩니다. N>1 두 요소가 모두 1보다 큽니다.

최근 수십 년 동안 새로운 효율적인 인수분해 알고리즘에 대한 검색은 정수론에서 가장 시급한 문제 중 하나였습니다. 그 이유는 공개 키 암호화 알고리즘이 개발되었기 때문이며, 이를 해독하려면 큰 합성수의 인수분해가 필요합니다.

제3항. 소수를 생성하는 공식에 대해

오랫동안 수학자들은 큰 소수를 계산할 수 있는 공식을 찾으려고 노력했습니다. 가장 유명한 것은 메르센의 공식이다.
페르마 수 .

정의 .
- 메르센 수.

복합 값의 경우
숫자
로 나눈 이는 그것이 간단하지 않다는 것을 의미합니다.

허락하다 N- 소수. 그런 다음 소수입니다.

하지만 이미
, 따라서 숫자의 소수 피전립선을 보장하지 않습니다
.

Mersenne 수는 .

숫자의 단순성
(139자리로 작성)은 1876년 프랑스 수학자 E. Luc에 의해 증명되었습니다.

컴퓨터 기술의 도움으로 메센 소수에 대한 추가 검색이 계속되었습니다.

2011년 현재 가장 유명한 소수는 46번째 메르센 수이다. 이것
. 쓰려면 약 1,300만 자릿수가 필요합니다.

계산 알고리즘의 기초는 숫자의 단순성의 기준입니다.
, 1878년 Luc에 의해 표시되고 1930년 Lemaire에 의해 개선되었습니다.

루카스-르메르 기준.

숫자
반복 시퀀스에 있는 경우에만 프라임
회원
로 나눈
.

오늘날 메르센 수의 집합이 유한한지 무한한지는 알 수 없습니다.

정의 .
- 페르마 수.

수열의 첫 번째 항은 소수입니다.

Fermat는 이 유형의 모든 숫자가 소수일 것이라고 제안했습니다(1650). 그러나 오일러는 (1739) 다음과 같은 사실을 보여주었습니다.

현재로서는 다른 페르마 소수가 있는지 여부는 알 수 없습니다.
.

페르마 수를 사용하면 유클리드 정리의 또 다른 증거를 얻을 수 있습니다.

정리(포야).

두 페르마 수는 상대적으로 소수입니다.

증거. 허락하다 그리고
- 임의의 페르마 수.

그걸 보여주자
로 나눈 . 실제로 x+1로 나눌 수 있습니다. 즉, ~에 .

m을 공약수라 하자 그리고
. 그 이후로
, 수단,
. 그러나 페르마 수는 홀수이다

결과. 소수의 개수는 무한합니다.

증거. 각각의
다른 페르마 수를 나누지 않는 홀수 약수를 가지므로 적어도 가 있습니다. N간단한 홀수,
소수는 무한히 많습니다.

논평. 페르마 소수는 정규 방정식을 만드는 문제에 예기치 않게 나타납니다. N– 나침반과 자를 사용한 정사각형. 가우스는 다음과 같은 경우에만 건설이 가능하다는 것을 증명했습니다.
, 어디 - 페르마 소수.

숫자의 단순성에 대한 근거 없는 가정
그리고 과학자들은 값이 소수이거나 적어도 무한한 소수 값을 포함하는 다른 공식을 찾도록 유도했습니다.

오일러는 다항식에 주목했습니다.
, 소수 지정
그리고 , 에서 간단한 값을 취합니다.
.

나중에 다음 정리가 증명되었습니다.

정리(골드바흐).

다항식 없음
정수 계수를 사용하면 간단한 값을 사용할 수 없습니다.
모두들 앞에서
.

증거. 놔둬, 놔둬
- 소수.

그런 다음 Taylor의 공식에 따르면: .

모든 확률
- 정수
r로 나눈다.

값을 얻으려고 하면
그렇다면 간단했다
모든 정수 t에 대해 그러나 이는 다음 사실과 모순됩니다.
.

하나는 소수인가요? 아니요, 하나는 소수가 아닙니다.

0은 소수인가요? 아니요, 0은 소수가 아닙니다.

2는 소수인가요? 예, 2는 소수입니다. 2는 유일한 짝수이다.

3은 소수인가요? 예, 3은 소수입니다.

5는 소수인가요? 예, 5는 소수입니다.

7은 소수인가요? 예, 7은 소수입니다.

9는 소수인가요? 아니요, 9는 소수가 아닙니다. 결국 9는 그 자체로, 1과 3으로 나누어집니다.

11은 소수인가요? 예, 11은 소수입니다.

13은 소수인가요? 예, 13은 소수입니다.

15는 소수인가요? 아니요, 15는 소수가 아닙니다. 결국 15는 그 자체로, 1, 3, 5로 나누어질 수 있습니다.

17은 소수인가요? 예, 17은 소수입니다.

19는 소수인가요? 예, 19는 소수입니다.

20은 소수인가요? 아니요, 20은 소수가 아닙니다. 결국 20은 그 자체로, 1, 2, 4, 5, 10으로 나누어집니다.

777은 소수인가요? 아니요, 777은 소수가 아닙니다. 결국 777은 1, 3, 7, 37로 나누어질 수 있습니다.

997은 소수인가요? 예, 997은 소수입니다.

소수(素數)란 자신과 1로만 나누어 떨어지는 자연수를 말합니다.

자연제수는 2개만 있습니다. 다른 말로 하면 숫자는 피그러면 그것이 1보다 크고 오직 1과 그 자체로만 나누어질 수 있을 때 그것은 단순해질 것입니다. 피.

자연수, 큰 단위, 소수가 아닌 수를 호칭합니다. 합성수. 따라서 모든 자연수는 3가지 클래스로 나뉩니다: 단위(약수가 1개 있음), 소수(제수가 2개 있음) 및 합성수(제수가 2개 이상입니다).

시작 p 소수의 시퀀스다음과 같습니다:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, …

자연수를 소수의 곱으로 상상한다면, 이를 소수 분해(prime decomposition) 또는 숫자의 인수분해.

알려진 가장 큰 소수.

알려진 가장 큰 소수는 257885161 - 1입니다. 이 숫자는 17,425,170개의 십진수를 가지며 소수라고 합니다. 메르센 수(M 57885161).

소수의 일부 속성.

의 말을하자 피- 간단하고 피나누다 ab, 그 다음에 피나누다 ㅏ또는 비.

공제의 고리 아연다음과 같은 경우에만 필드라고 불립니다. N- 단순한.

모든 필드의 특성은 0 또는 소수입니다.

언제 피- 간단하지만 ㅏ- 자연스럽다는 뜻이다 a p -a으로 나눌 수 있다 피 (페르마의 작은 정리).

언제 G는 그 순서를 갖는 유한군이다 |지|로 나눈 피, 즉 G질서의 요소가 있다 피 (코시의 정리).

언제 G유한 그룹이고, 피엔- 최고도 피, 나누기 |지|, 즉 G주문의 하위 그룹이 있습니다 피엔, 이를 Sylow 하위 그룹이라고 하며, Sylow 하위 그룹의 수는 다음과 같습니다. pk+1일부 전체에 대해 케이(Silow의 정리).

자연스러운 피 > 1경우에만 간단합니다 (p-1)! + 1넌 불어도 돼 피 (윌슨의 정리).

언제 n > 1- 자연스럽다는 것은 단순하다는 뜻이다. 피: N< p < 2 n (베르트랑의 가정).

소수의 역수인 일련의 숫자는 발산합니다. 게다가 때 .

해당 유형의 모든 산술 진행 a, a + q, a + 2 q, a + 3 q, ..., 어디 a, q > 1- 전체 서로소수, 무한한 수의 소수를 포함합니다( 산술수열에서 소수에 대한 디리클레의 정리).

3보다 큰 소수는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. 6k+1또는 6k-1, 어디 케이- 자연수. 이를 바탕으로 연속된 여러 소수의 차이( k>1)은 동일합니다. 즉, 정확히 6으로 나눌 수 있다는 의미입니다. 예를 들어: 251-257-263-269; 199-211-223; 20183-20201-20219 .

언제 피 > 3는 소수라는 뜻이다. 피 2 -1로 나눈 24 (3으로 나눌 수 없는 홀수에도 적용됩니다).

그린-타오 정리. 소수로 구성된 무한한 산술수열이 있습니다.

nk-1, 어디 n>2, k>1. 즉, 소수 뒤에 오는 숫자는 제곱이나 밑이 2보다 큰 더 높은 거듭제곱이 될 수 없습니다. 소수가 다음과 같이 표현되면 다음과 같이 결론을 내릴 수 있습니다. 2k -1, 수단 케이- 단순한.

소수는 다음과 같이 표현될 수 없습니다. n 2k+1 +1, 어디 n>1, k>0. 즉, 소수 앞에 오는 숫자는 세제곱이거나 밑이 1보다 큰 더 큰 홀수 거듭제곱이 될 수 없습니다.

변수의 양수 값에 대한 음수가 아닌 값 세트가 소수 세트와 일치하는 다항식이 있습니다. 예:

이 다항식에는 26개의 변수가 포함되어 있으며 25개의 변수가 있습니다. 제시된 유형의 알려진 다항식에 대한 가장 낮은 차수는 42개의 변수가 있는 5개입니다. 가장 작은 변수 수는 10개이며 약 1.6 10 45 의 거듭제곱입니다.

소수를 사용한 작업.

1. 소수의 곱.

2. 소수의 차이.

3. 소수의 합.

4. 소수의 나눗셈.

현재로서는 숫자를 인수분해하는 다항식 알고리즘이 알려져 있지 않지만 그러한 알고리즘이 존재하지 않는다는 것이 입증되지는 않았습니다. RSA 암호 시스템과 일부 다른 암호 시스템은 인수분해 문제의 높은 계산 복잡성을 기반으로 합니다. Shor의 알고리즘을 사용하는 양자 컴퓨터에서는 이론적으로 다항식 복잡도를 사용한 인수분해가 가능합니다.

소수 검색 및 인식 알고리즘

특정 값까지 소수의 초기 목록을 찾는 간단한 방법은 에라토스테네스의 체, 순다람의 체, 아트킨의 체에 의해 제공됩니다.

그러나 실제로는 소수 목록을 얻는 대신 주어진 숫자가 소수인지 확인하려는 경우가 많습니다. 이 문제를 해결하는 알고리즘을 소수성 테스트라고 합니다. 많은 다항식 소수성 테스트가 있지만 대부분은 확률적(밀러-라빈 테스트 등)이며 암호화 요구에 사용됩니다. 2002년에 소수성 검정 문제가 일반적으로 다항식으로 풀 수 있다는 것이 입증되었지만 제안된 결정론적 Agrawal-Kajal-Saxena 검정은 계산량이 다소 커서 실제 적용이 어렵습니다.

일부 숫자 클래스에는 특화된 효율적인 소수성 테스트가 있습니다(아래 참조).

소수 집합의 무한대

소수의 개수는 무한합니다. 이 사실에 대해 알려진 가장 오래된 증거는 유클리드의 원소론(Book IX, 설명 20)에서 제시되었습니다. 그의 증명은 다음과 같이 간략하게 재현될 수 있습니다.

수학자들은 다른 증거를 제시했습니다. 그 중 하나(오일러가 제공)는 첫 번째 역수의 합이 다음과 같다는 것을 보여줍니다. N소수, 성장에 따라 무제한으로 증가 N.

메르센 수는 효과적인 소수 테스트인 Luc-Lemaire 테스트가 있다는 점에서 다른 수와 유리하게 다릅니다. 그 덕분에 메르센 소수는 오랫동안 알려진 가장 큰 소수라는 기록을 유지해 왔습니다.

EFF는 100,000,000개 이상의 소수와 1,000,000,000개 이상의 소수를 찾는 데 각각 미화 150,000달러와 250,000달러의 상금을 수여했습니다. EFF는 이전에 소수 1,000,000자리와 10,000,000자리 소수를 찾아 상금을 수여한 바 있습니다.

특수한 유형의 소수

특수한 알고리즘을 사용하여 효율적으로 소수를 설정할 수 있는 숫자가 많이 있습니다.

지정된 유형의 소수를 검색하기 위해 현재 분산 컴퓨팅 프로젝트 GIMPS, PrimeGrid, Ramsey@Home, Seventeen 또는 Bust, Riesel Sieve, Wieferich@Home이 사용됩니다.

일부 속성

• p가 소수이고 p가 ab를 나누면 p는 a 또는 b를 나눕니다. 이 사실에 대한 증거는 유클리드(Euclid)에 의해 제시되었으며 유클리드의 보조정리(Euclid's lemma)로 알려져 있습니다. 산술의 기본 정리를 증명하는 데 사용됩니다.
• 공제의 고리 $\backslash mathbb(Z)\_n$필드는 다음과 같은 경우에만 가능합니다. $N$- 단순한.
• 각 필드의 특성은 0 또는 소수입니다.
• 만약에 $피$- 간단하지만 $ㅏ$- 그럼 당연하지 $a^p-a$로 나눈 $피$(페르마의 작은 정리).
• 만약에 $G$는 그 순서를 갖는 유한군이다 $|지|$로 나눈 $피$, 저것 $G$질서의 요소를 포함하고 있다 $피$(코시의 정리).
• 만약에 $G$유한 그룹이고, $p^n$- 최대 학위 $피$, 이는 $|지|$, 저것 $G$순서의 하위 그룹이 있습니다 $p^n$, Sylow 하위 그룹이라고 하며, 또한 Sylow 하위 그룹의 수는 다음과 같습니다. $pk+1$일부 전체에 대해 $케이$(Silow의 정리).
• 자연스러운 $피\; >\; 1$간단합니다. $(p-1)!\; +\; 1$로 나눈 $피$(윌슨의 정리).
• 만약에 $n\; >\; 1$- 자연스럽고 간단합니다. $피$, 그렇게 (Bertrand의 가정).
• 소수의 역수 계열은 발산합니다. 더욱이 언제 $x\backslash to\backslash infty$
• 형식의 모든 산술 진행 $a,\; a\; +\; q,\; a\; +\; 2\; q,\; a\; +\; 3\; q,\; ...$, 어디 $a,\; q\; >\; 1$- 공동 소수 정수, 무한히 많은 소수를 포함합니다(산술 수열에서 소수에 대한 디리클레의 정리).
• 3보다 큰 모든 소수는 다음과 같이 표현될 수 있습니다. $6k+1$또는 $6k-1$, 어디 $케이$- 어떤 자연수. 따라서 여러 연속 소수(k>1)의 차이가 동일하면 반드시 6의 배수가 됩니다. 예: 251-257-263-269; 199-211-223; 20183-20201-20219.
• 만약에 $피\; >\; 3$- 그럼 간단해요 $p^2-1$ 24의 배수입니다(3으로 나눌 수 없는 모든 홀수에도 해당).
• 그린-타오 정리. 소수로 구성된 임의로 긴 유한 산술 수열이 있습니다.
• $n^k-1$, 어디 N>2, 케이>1. 즉, 소수 뒤에 오는 숫자는 제곱이거나 밑이 2보다 큰 더 높은 거듭제곱이 될 수 없습니다. 또한 소수가 다음 형식을 갖는 경우에도 마찬가지입니다. $2^k-1$, 저것 케이- 소수(메르센 수 참조).
• 소수는 다음과 같은 형식을 가질 수 없습니다. $n^(2k+1)+1$, 어디 N>1, 케이>0. 즉, 소수 앞에 오는 숫자는 세제곱이나 밑이 1보다 큰 더 큰 홀수 거듭제곱이 될 수 없습니다.

소수를 찾는 공식

여러 번, 포함된 변수의 서로 다른 값이 주어지면 해당 값이 소수가 되는 표현식을 나타내려는 시도가 있었습니다. L. Euler는 다항식을 지적했습니다. $\backslash textstyle\; n^2-n+41,$간단한 값을 취하는 것 n = 0, 1, 2, ..., 40. 그러나 언제 n = 41다항식의 값은 합성수입니다. 하나의 변수 n에 모든 정수 n에 대해 소수 값을 취하는 다항식이 없다는 것을 증명할 수 있습니다. P. Fermat는 형식 2의 모든 숫자를 제안했습니다. 2k + 1단순한; 그러나 오일러는 숫자 2를 증명함으로써 이 가설을 반박했습니다. 2 5 + 1 = 4 294 967 297 - 화합물.

그러나 변수가 음수가 아닐 때 양수 값 세트가 소수 세트와 일치하는 다항식이 있습니다. 한 가지 예는 다항식입니다.

• $\backslash begin(정렬)$

&(k+2) (1 - ^2 - [(gk + 2g + k + 1)(h + j) + h - z]^2 - ^2 - \\ &^2 - ^2 - [(a ^2 - 1)y^2 + 1 - x^2]^2 - \\ &^2 - [((a + u^2(u^2 - a))^2 - 1)(n + 4dy) ^2 + 1 - (x + cu)^2]^2 - ^2 - \\ &[(a^2 - 1)l^2 + 1 - m^2]^2 - ^2 - ^2 - \ \ &^2 - ^2) \end(정렬) 26개의 변수를 포함하고 차수가 25입니다. 이 유형의 알려진 다항식에 대한 가장 작은 차수는 42개의 변수를 포함하는 5입니다. 변수의 최소 개수는 10개이고 그 정도는 약 1.6·10 45입니다. 이 결과는 Yuri Matiyasevich가 증명한 열거 가능한 집합의 디오판토스 속성의 특별한 경우입니다.

공개 질문

소수에 관한 미해결 질문이 여전히 많이 있으며, 그 중 가장 유명한 질문은 제5차 국제 수학 회의에서 Edmund Landau가 나열한 것입니다.

열린 문제는 메르센 수, 피보나치 수, 페르마 수 등을 포함한 많은 정수열에 무한한 수의 소수가 존재한다는 것입니다.

응용

공개 키 암호화에는 큰 소수(약 10,300)가 사용됩니다. 소수는 해시 테이블에서도 사용되며 의사 난수를 생성하는 데에도 사용됩니다(특히 Mersenne Twister PRNG에서).

변형 및 일반화

• 일반 대수학의 한 분야인 고리 이론에서는 소수 요소와 소수 이상 개념이 정의됩니다.
• 매듭 이론에서 단순 매듭의 개념은 중요하지 않은 매듭의 연결된 합으로 표현될 수 없는 중요하지 않은 매듭으로 정의됩니다.

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노트

소수의 특징을 나타내는 발췌문

나타샤는 더 차분했지만 더 쾌활하지는 않았습니다. 그녀는 무도회, 스케이팅, 콘서트, 극장 등 모든 외부 기쁨의 조건을 피했을 뿐만 아니라; 그러나 그녀는 웃음에서 눈물이 들리지 않을 정도로 크게 웃지 않았습니다. 그녀는 노래를 할 수 없었습니다. 그녀가 혼자 웃기 시작하거나 혼자서 노래를 부르려고 하자마자 눈물이 그녀를 질식시켰습니다. 회개의 눈물, 돌이킬 수 없는 순수한 시간에 대한 기억의 눈물이었습니다. 이토록 행복할 수도 있었던 자신의 젊은 인생을 괜히 망쳐버렸다는 안타까움의 눈물. 특히 웃음과 노래는 그녀의 슬픔에 대한 모독처럼 보였습니다. 그녀는 교태에 대해 결코 생각하지 않았습니다. 그녀는 기권할 필요조차 없었습니다. 그녀는 그 당시 모든 남자가 그녀에게 광대 Nastasya Ivanovna와 똑같다고 말하고 느꼈습니다. 내부 경비원은 그녀의 기쁨을 단호하게 금지했습니다. 그리고 그녀는 그 소녀 같고 평온하고 희망찬 삶의 방식에서 삶의 오래된 관심을 모두 갖고 있지 않았습니다. 가장 자주 그리고 가장 고통스럽게도 그녀는 Otradnoye에서 Nicholas와 함께 보낸 가을, 사냥, 삼촌 및 Christmastide를 기억했습니다. 그로부터 단 하루만이라도 가져오려면 그녀는 무엇을 주겠는가! 그러나 그것은 영원히 끝났습니다. 모든 기쁨에 대한 자유와 개방의 상태가 다시는 돌아오지 않을 것이라는 예감은 그녀를 속이지 않았습니다. 하지만 나는 살아야만 했다.
그녀는 이전에 생각했던 것처럼 자신이 더 나은 것이 아니라 세상의 모든 사람보다 더 나쁘고 훨씬 더 나쁘다는 생각에 기뻤습니다. 그러나 이것만으로는 충분하지 않았습니다. 그녀는 이것을 알고 스스로에게 이렇게 물었습니다. “다음은 무엇일까요?” 그러자 아무것도 없었습니다. 인생에는 기쁨이 없었고 인생은 지나갔습니다. 나타샤는 누구에게도 부담이되지 않고 누구에게도 방해가되지 않으려 고 노력했지만 자신에게는 아무것도 필요하지 않았습니다. 그녀는 집에있는 모든 사람에게서 멀어졌고 형제 Petya와 함께 만 편안함을 느꼈습니다. 그녀는 다른 사람들과 함께 있는 것보다 그와 함께 있는 것을 더 좋아했습니다. 그리고 가끔 그와 얼굴을 맞대고 있을 때 그녀는 웃었다. 그녀는 집을 거의 떠나지 않았고 그들에게 온 사람들 중에서 그녀는 피에르에게만 만족했습니다. 베주코프 백작이 그녀를 대하는 것보다 더 다정하게, 더 조심스럽게, 동시에 더 진지하게 그녀를 대하는 것은 불가능했습니다. 나타샤 오스(Natasha Oss)는 의식적으로 이러한 부드러움을 느꼈고 따라서 그의 회사에서 큰 기쁨을 얻었습니다. 그러나 그녀는 그의 부드러움에 대해 감사하지도 않았습니다. 피에르 측에서는 어떤 좋은 것도 그녀에게는 노력처럼 보이지 않았습니다. 피에르에게는 모든 사람에게 친절하게 대하는 것이 너무 자연스러워 보였기 때문에 그의 친절에는 장점이 없었습니다. 때때로 나타샤는 피에르가 그녀 앞에서 당혹스럽고 어색함을 느꼈습니다. 특히 피에르가 그녀를 위해 즐거운 일을 하고 싶었거나 대화의 어떤 것이 나타샤에게 어려운 기억을 불러일으킬까 봐 두려웠을 때 더욱 그렇습니다. 그녀는 이것을 알아 차리고 그것을 그의 일반적인 친절과 수줍음 때문이라고 생각했습니다. 그녀의 생각에 따르면 그녀와 마찬가지로 모든 사람과 함께 있어야했습니다. 그가 자유로워지면 무릎을 꿇고 그녀의 손길과 사랑을 구할 것이라는 예상치 못한 말을 한 후, 그녀에 대한 강한 흥분의 순간에 피에르는 나타샤에 대한 자신의 감정에 대해 아무 말도하지 않았습니다. 그리고 그때 그녀를 그토록 위로해 주었던 그 말이 마치 우는 아이를 위로하기 위해 온갖 의미 없는 말을 하듯 했다는 것이 그녀에게는 분명했습니다. Pierre가 기혼자 였기 때문이 아니라 Natasha가 자신과 그 사이에 도덕적 장벽의 힘을 가장 많이 느꼈기 때문에 Kyragin에서 느꼈던 부재는 Pierre와의 관계에서 벗어날 수 있다는 생각이 전혀 들지 않았습니다. 그녀의 사랑, 심지어 그 사람의 사랑뿐만 아니라 남자와 여자 사이의 부드럽고 자기 인식적이며 시적인 우정까지도 그녀는 몇 가지 예를 알고있었습니다.
Peter의 사순절이 끝날 무렵 Otradnensky에서 Rostovs의 이웃 인 Agrafena Ivanovna Belova가 모스크바 성도들에게 절하기 위해 모스크바에 왔습니다. 그녀는 나타샤에게 금식을 권유했고 나타샤는 기꺼이 이 아이디어를 받아들였습니다. 의사가 아침 일찍 외출하는 것을 금지했음에도 불구하고 나타샤는 금식을 고집했으며 일반적으로 로스토프의 집에서 금식하는 방식, 즉 집에서 세 번의 예배에 참석하는 방식이 아니라 Agrafena Ivanovna가 금식한 것처럼 금식합니다. , 일주일 내내 단 한 번의 저녁 기도, 미사 또는 마틴도 놓치지 않았습니다.
백작 부인은 나타샤의 이러한 열정을 좋아했습니다. 치료에 실패한 후 그녀는 마음 속으로기도가 더 많은 약을 먹는 데 도움이되기를 바랐으며 의사에게 두려움과 숨김에도 불구하고 나타샤의 소원에 동의하고 그녀를 벨로바에게 맡겼습니다. 아그라페나 이바노브나는 새벽 3시에 나타샤를 깨우러 왔고 대부분 그녀가 더 이상 잠을 자지 않는 것을 발견했습니다. 나타샤는 마틴 중에 늦잠을 자는 것을 두려워했습니다. 서둘러 세수를 하고 최악의 드레스와 낡은 만틸라를 겸손하게 차려입고 신선함으로 몸을 떨던 나타샤는 아침 새벽이 투명하게 비춰주는 황량한 거리로 나갔습니다. Agrafena Ivanovna의 조언에 따라 Natasha는 자신의 본당이 아니라 독실한 Belova에 따르면 매우 엄격하고 생활력이 뛰어난 신부가 있던 교회에서 금식했습니다. 교회에는 항상 사람이 거의 없었습니다. 나타샤와 벨로바는 왼쪽 합창단 뒤쪽에 박힌 신의 어머니의 아이콘 앞에 평소 자리를 잡았고, 이해할 수 없는 위대함 앞에서 나타샤에 대한 새로운 느낌이 이 특이한 아침 시간에 그녀를 덮었습니다. 촛불에 비춰진 하나님의 어머니의 검은 얼굴을 바라보며 그 앞에서 타 오르고 창문에서 떨어지는 아침 햇살을 바라보며 그녀는 따르려고 노력하는 예배의 소리를 듣고 이해했습니다. 그녀가 그것을 이해했을 때, 그녀의 개인적인 느낌과 그 뉘앙스가 그녀의 기도에 합류했습니다. 그녀가 이해하지 못했을 때, 모든 것을 이해하려는 욕망은 자존심이고, 모든 것을 이해하는 것은 불가능하며, 오직 하나님을 믿고 항복하기만 하면 된다고 생각하는 것이 그녀에게는 더욱 감미로웠습니다. 그녀의 영혼을 지배했습니다. 그녀는 성호를 긋고 절하고 이해하지 못했을 때 자신의 가증함에 겁을 먹고 모든 것에 대해, 모든 것에 대해 용서하고 자비를 베풀어달라고 하나님 께 간구했습니다. 그녀가 가장 힘써 드린 기도는 회개의 기도였습니다. 아침 이른 시간에 집에 돌아오면, 석공들만 출근하고 관리인들이 거리를 쓸고 있고 집 안의 모든 사람들이 아직 자고 있을 때, 나타샤는 자신의 악행을 바로잡을 가능성에 대한 새로운 느낌을 경험했습니다. 새롭고 깨끗한 삶과 행복의 가능성.
그녀가 이 삶을 살았던 일주일 동안, 이 느낌은 매일 커졌습니다. 그리고 Agrafena Ivanovna가 그녀에게 말했듯이, 이 단어를 즐겁게 가지고 놀면서 합류하거나 의사소통하는 행복은 그녀에게 너무 커서 그녀가 이 행복한 일요일을 보기 위해 살지 못할 것 같았습니다.
그러나 행복한 날이 왔고 나타샤는 이 기억에 남는 일요일에 흰색 모슬린 드레스를 입고 영성체를 마치고 돌아왔을 때 몇 달 만에 처음으로 그녀 앞에 놓인 삶에 부담을 느끼지 않고 차분함을 느꼈습니다.
그날 도착한 의사는 나타샤를 진찰하고 2주 전에 처방했던 마지막 가루약을 계속 복용하라고 지시했습니다.
“우리는 아침저녁으로 계속해야 합니다.” 그는 자신의 성공에 대해 양심적으로 기뻐하며 말했습니다. - 좀 더 조심해주세요. "진정하세요, 백작님." 의사는 손에 있는 금을 능숙하게 집어들며 농담조로 말했습니다. "곧 다시 노래하고 장난치게 될 겁니다." 마지막 약은 그녀에게 아주 아주 좋습니다. 그녀는 매우 상쾌합니다.
백작부인은 손톱과 침을 뱉은 모습을 바라보며 밝은 얼굴로 거실로 돌아왔다.

7 월 초 모스크바에서는 전쟁 진행에 대한 점점 더 놀라운 소문이 퍼지고있었습니다. 그들은 주권자가 국민에게 호소하는 것과 주권자가 군대에서 모스크바로 도착하는 것에 대해 이야기하고있었습니다. 그리고 7월 11일 이전에 선언문과 항소가 접수되지 않았기 때문에 그들과 러시아 상황에 대한 과장된 소문이 퍼졌습니다. 그들은 군대가 위험에 처해 있기 때문에 주권자가 떠난다고 말했고, 스몰렌스크는 항복했으며, 나폴레옹은 백만 명의 군대를 보유하고 있으며, 오직 기적만이 러시아를 구할 수 있다고 말했습니다.
7월 11일 토요일, 선언문이 접수되었으나 아직 인쇄되지 않았습니다. 로스토프 가문을 방문 중이던 피에르는 다음날인 일요일에 저녁 식사를 하러 오겠다고 약속했고, 선언문과 호소문을 가져오겠다고 약속했는데, 이를 라스토프친 백작에게서 받게 될 것입니다.
이번 일요일, 로스토프 부부는 평소와 같이 라주모프스키 부부의 고향 교회에서 미사에 참석했습니다. 더운 7월의 어느 날이었습니다. 이미 10시에 Rostovs가 교회 앞 마차에서 나왔을 때 뜨거운 공기, 행상인의 외침, 군중의 밝고 가벼운 여름 드레스, 먼지가 많은 나뭇잎 속에서 대로의 나무들, 음악 소리와 행군하는 대대의 흰 바지, 포장도로의 천둥소리, 뜨거운 태양의 밝은 빛 속에 그 여름의 나른함, 현재에 대한 만족과 불만이 있었다. 이는 도시의 맑고 더운 날에 특히 날카롭게 느껴집니다. Razumovsky 교회에는 모든 모스크바 귀족, Rostovs의 모든 지인이있었습니다 (올해는 마치 무언가를 기대하는 것처럼 일반적으로 마을을 여행하는 많은 부유 한 가족이 도시에 남아있었습니다). 어머니 근처에서 군중을 갈라놓고 있던 제복 보병 뒤를 지나던 나타샤는 너무 큰 속삭임으로 자신에 대해 말하는 젊은 남자의 목소리를 들었습니다.
- 이쪽은 로스토바, 같은 사람인데...
- 살이 많이 빠졌지만 여전히 건강해요!
그녀는 Kuragin과 Bolkonsky의 이름이 언급되었다고 들었거나 그렇게 보였습니다. 그러나 그녀에게는 항상 그렇게 보였습니다. 그녀를 바라 보는 모든 사람들은 그녀에게 일어난 일에 대해서만 생각하는 것처럼 보였습니다. 언제나처럼 군중 속에서 고통받고 희미해지는 나타샤는 여성이 걸을 수 있는 방식으로 검은색 레이스가 달린 보라색 실크 드레스를 입고 걸었습니다. 차분하고 장엄할수록 그녀의 영혼은 더 고통스럽고 부끄러워졌습니다. 그녀는 자신이 훌륭하다는 것을 알고 착각하지 않았지만 이전처럼 지금은 그녀를 기쁘게하지 않았습니다. 오히려 이것이 가장 최근에, 특히 도시의 밝고 더운 여름날에 그녀를 괴롭힌 이유였습니다. “또 다른 일요일, 또 다른 주.” 그녀는 그 일요일에 어떻게 여기에 있었는지 기억하며 스스로에게 말했습니다. “그리고 여전히 생명 없는 삶, 이전에 살기 쉬웠던 모든 조건과 똑같습니다. 그녀는 착하고 어려서 지금은 착하고 나쁘기 전에는 착했지만 지금은 착해요. 알아요. 그래서 최고의 시절은 누구에게도 헛되지 않습니다.”라고 그녀는 생각했습니다. 그녀는 어머니 옆에 서서 주변 지인들과 이야기를 나누었다. 나타샤는 습관적으로 여성용 드레스를 살펴보고 근처에 서있는 한 여성의 작은 공간에서 종신 [행동]과 손으로 성호를 긋는 음란 한 방식을 비난했으며 다시 그녀가 심판을 받고 있다고 생각했습니다. 그녀도 재판을 하고 있었는데 갑자기 예배 소리를 듣고 자기의 가증한 일에 겁을 먹었고, 이전의 순결이 다시 상실되었다는 사실에 겁을 먹었습니다.
잘생기고 조용한 노인은 기도하는 사람들의 영혼에 장엄하고 차분한 효과를 주는 온화한 엄숙함으로 섬겼습니다. 왕실 문이 닫히고 커튼이 천천히 닫혔습니다. 거기에서 신비롭고 조용한 목소리가 뭔가를 말했다. 그녀가 이해할 수없는 눈물이 나타샤의 가슴에 섰고 즐겁고 고통스러운 느낌이 그녀를 걱정했습니다.
“내가 무엇을 해야 하는지, 어떻게 하면 영원히 발전할 수 있는지, 인생에서 무엇을 해야 하는지 가르쳐 주세요…”라고 그녀는 생각했습니다.
집사는 강단으로 나가서 긴 머리를 가운 아래로 곧게 펴고 엄지 손가락을 넓게 잡고 가슴에 십자가를 얹고 큰 소리로 엄숙하게 기도문을 읽기 시작했습니다.
- “평안히 주님께 기도합시다.”
나타샤는 “평화롭게, 계급 구분 없이, 적대감 없이, 형제애로 연합하여 함께 기도합시다.”라고 생각했습니다.
- 천국과 우리 영혼의 구원에 대하여!
나타샤는 “천사의 평화와 우리 위에 사는 모든 무형의 생물의 영혼을 위해”라고 기도했습니다.
그들이 군대를 위해 기도했을 때 그녀는 자신의 오빠와 데니소프를 기억했습니다. 그들이 항해하고 여행하는 사람들을 위해 기도할 때, 그녀는 안드레이 왕자를 기억하고 그를 위해 기도했으며, 그녀가 그에게 행한 악을 하나님께서 용서해 주시기를 기도했습니다. 그들이 우리를 사랑하는 사람들을 위해 기도할 때, 그녀는 가족과 아버지, 어머니 소냐를 위해 기도했습니다. 이제 처음으로 그들 앞에 있는 자신의 모든 죄를 이해하고 그들을 향한 사랑의 모든 힘을 느꼈습니다. 그들이 우리를 미워하는 사람들을 위해 기도할 때, 그녀는 그들을 위해 기도하기 위해 스스로 원수와 미워하는 사람들을 만들어냈습니다. 그녀는 채권자와 아버지와 거래한 모든 사람들을 원수로 간주했고, 적과 증오자를 생각할 때마다 그녀에게 많은 해를 끼친 아나톨레를 기억했고, 그가 증오자는 아니었지만 기쁨으로 기도했습니다. 그에게도 적에게도 마찬가지다. 기도하는 동안에만 그녀는 안드레이 왕자와 아나톨을 하나님에 대한 두려움과 경외심에 비해 자신의 감정이 파괴된 사람들로 명확하고 침착하게 기억할 수 있다고 느꼈습니다. 그들이 왕가와 대회를 위해 기도할 때, 그녀는 특별히 몸을 굽히고 성호를 긋고 자신이 이해하지 못한다면 의심할 수 없으며 여전히 통치하는 대회를 사랑하며 기도했다고 스스로에게 말했습니다.
기도를 마친 후 집사는 가슴 주위에 오라리온을 건너며 이렇게 말했습니다.
- “우리는 우리 자신과 우리의 삶을 그리스도 하나님께 항복합니다.”
나타샤는 마음속으로 “우리는 우리 자신을 하나님께 항복할 것입니다.”라고 반복했습니다. “맙소사, 나는 당신의 뜻에 내 자신을 바칩니다”라고 그녀는 생각했습니다. - 나는 아무것도 원하지 않습니다. 나는 아무것도 원하지 않습니다. 무엇을 해야 하는지, 내 의지를 어디에 사용해야 하는지 가르쳐 주세요! 나를 데려가세요, 나를 데려가세요! -나타샤는 자신의 얇은 손을 낮추고 보이지 않는 힘이 그녀를 데려가 자신, 후회, 욕망, 비난, 희망 및 악덕에서 그녀를 구해줄 것이라고 기대하는 것처럼 영혼의 부드러운 조바심으로 말했습니다.
예배 중에 백작부인은 여러 번 딸의 부드럽고 반짝이는 얼굴을 돌아보며 하느님께 그녀를 도와달라고 기도했습니다.