Permukaan penuh prisma beraturan. Luas permukaan lateral prisma

Kursus video “Dapatkan nilai A” mencakup semua topik yang diperlukan untuk sukses lulus Ujian Negara Bersatu dalam matematika untuk 60-65 poin. Sepenuhnya semua soal 1-13 Profil Ujian Negara Terpadu matematika. Juga cocok untuk lulus Ujian Negara Terpadu Dasar dalam matematika. Jika Anda ingin lulus Ujian Negara Bersatu dengan poin 90-100, Anda harus menyelesaikan bagian 1 dalam 30 menit dan tanpa kesalahan!

Kursus persiapan Ujian Negara Bersatu untuk kelas 10-11, serta untuk guru. Semua yang Anda butuhkan untuk menyelesaikan Bagian 1 Ujian Negara Bersatu dalam matematika (12 soal pertama) dan Soal 13 (trigonometri). Dan ini lebih dari 70 poin pada Ujian Negara Bersatu, dan baik siswa dengan nilai 100 poin maupun siswa humaniora tidak dapat melakukannya tanpa poin tersebut.

Semua teori yang diperlukan. Cara cepat solusi, jebakan dan rahasia Ujian Negara Bersatu. Seluruh tugas saat ini bagian 1 dari Bank Tugas FIPI telah dianalisis. Kursus ini sepenuhnya memenuhi persyaratan Ujian Negara Terpadu 2018.

Kursus ini berisi 5 topik besar, masing-masing 2,5 jam. Setiap topik diberikan dari awal, sederhana dan jelas.

Ratusan tugas Ujian Negara Bersatu. Masalah kata dan teori probabilitas. Algoritma yang sederhana dan mudah diingat untuk memecahkan masalah. Geometri. Teori, materi referensi, analisis semua jenis tugas Unified State Examination. Stereometri. Solusi rumit, lembar contekan yang berguna, pengembangan imajinasi spasial. Trigonometri dari awal ke soal 13. Memahami bukan menjejalkan. Penjelasan visual konsep yang kompleks. Aljabar. Akar, pangkat dan logaritma, fungsi dan turunannya. Dasar penyelesaian tugas yang kompleks 2 bagian dari Ujian Negara Bersatu.

"Pelajaran Teorema Pythagoras" - Teorema Pythagoras. Menentukan jenis KMNP segi empat. Pemanasan. Pengantar teorema. Menentukan jenis segitiga: Rencana pembelajaran: Tamasya sejarah. Memecahkan masalah sederhana. Dan Anda akan menemukan tangga sepanjang 125 kaki. Hitunglah tinggi CF trapesium ABCD. Bukti. Tunjukkan gambar. Bukti teorema.

"Volume prisma" - Konsep prisma. Prisma lurus. Volume prisma asal sama dengan hasil kali S · h. Bagaimana cara mencari volume prisma lurus? Prisma dapat dibagi menjadi prisma segitiga lurus dengan tinggi h. Menggambar tinggi segitiga ABC. Solusi dari masalah tersebut. Tujuan pelajaran. Langkah-langkah dasar dalam membuktikan teorema prisma langsung? Mempelajari teorema volume prisma.

“Prisma polihedra” - Definisikan polihedron. DABC – tetrahedron, polihedron cembung. Penerapan prisma. Di mana prisma digunakan? ABCDMP adalah segi delapan yang terdiri dari delapan segitiga. ABCDA1B1C1D1 – polihedron cembung paralelepiped. Polihedron cembung. Konsep polihedron. Polihedron А1А2..АnB1B2..Bn - prisma.

“Prisma kelas 10” - Prisma adalah polihedron yang mukanya sejajar. Penggunaan prisma dalam kehidupan sehari-hari. Sisi = Basis + h Untuk prisma lurus : Sp.p = Pbas. jam + 2Sbas. Cenderung. Benar. Lurus. Prisma. Rumus mencari luas. Penerapan prisma dalam arsitektur. Sp.p = Sisi + 2Sbase

"Bukti Teorema Pythagoras" - Bukti geometris. Arti dari teorema Pythagoras. Teori Pitagoras. bukti Euclid. "DI DALAM segitiga siku-siku Kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya.” Bukti teorema. Arti penting dari teorema ini adalah bahwa sebagian besar teorema geometri dapat disimpulkan dari teorema tersebut atau dengan bantuannya.

DI DALAM kurikulum sekolah Dalam mata kuliah stereometri, pembelajaran bangun tiga dimensi biasanya dimulai dengan benda geometris sederhana - polihedron prisma. Peran basisnya dilakukan oleh 2 poligon yang sama, berbaring di bidang paralel. Kasus khusus adalah prisma segi empat beraturan. Alasnya berupa 2 segi empat beraturan yang identik, yang sisi-sisinya tegak lurus, berbentuk jajar genjang (atau persegi panjang, jika prisma tidak miring).

Seperti apa bentuk prisma?

Prisma segi empat beraturan adalah segi enam, alasnya adalah 2 persegi, dan sisi-sisinya diwakili oleh persegi panjang. Nama lain untuk ini sosok geometris- paralelepiped lurus.

Gambar yang menunjukkan prisma segi empat ditunjukkan di bawah ini.

Anda juga bisa melihat di gambar elemen penting, yang terdiri dari benda geometris. Ini termasuk:

Terkadang dalam soal geometri Anda dapat menemukan konsep suatu bagian. Definisinya akan berbunyi seperti ini: suatu bagian adalah semua titik suatu benda volumetrik yang termasuk dalam bidang potong. Penampangnya bisa tegak lurus (memotong tepi gambar dengan sudut 90 derajat). Untuk prisma segiempat juga dipertimbangkan bagian diagonal (jumlah maksimum bagian yang dapat dibangun - 2), melewati 2 sisi dan diagonal alasnya.

Jika bagian tersebut digambar sedemikian rupa sehingga bidang potongnya tidak sejajar dengan alas atau sisi sisinya, maka hasilnya adalah prisma terpotong.

Untuk mencari unsur prismatik tereduksi digunakan berbagai relasi dan rumus. Beberapa diantaranya diketahui dari mata kuliah planimetri (misalnya untuk mencari luas alas prisma cukup mengingat rumus luas persegi).

Luas permukaan dan volume

Untuk menentukan volume prisma menggunakan rumus, Anda perlu mengetahui luas alas dan tingginya:

V = Sbas h

Karena alas prisma tetrahedral beraturan berbentuk persegi dengan sisi A, Anda dapat menulis rumusnya dalam bentuk yang lebih detail:

V = a²·jam

Jika kita berbicara tentang kubus - prisma biasa dengan panjang yang sama, lebar dan tinggi, volume dihitung sebagai berikut:

Untuk memahami cara mencari luas permukaan lateral prisma, Anda perlu membayangkan perkembangannya.

Dari gambar terlihat bahwa permukaan sisinya terdiri dari 4 persegi panjang yang sama besar. Luasnya dihitung sebagai hasil kali keliling alas dan tinggi bangun:

Sisi = Posn h

Mengingat keliling persegi sama dengan P = 4a, rumusnya berbentuk:

Sisi = 4a jam

Untuk kubus:

Sisi = 4a²

Untuk menghitung luas permukaan total prisma, Anda perlu menambahkan 2 luas alas ke luas lateral:

Spenuh = Sisi + 2Sutama

Sehubungan dengan prisma beraturan segi empat, rumusnya terlihat seperti:

Stotal = 4a jam + 2a²

Untuk luas permukaan kubus:

Penuh = 6a²

Mengetahui volume atau luas permukaan, Anda dapat menghitung elemen individual suatu benda geometris.

Menemukan elemen prisma

Seringkali terdapat soal-soal yang menyatakan volume atau mengetahui nilai luas permukaan lateral, sehingga perlu menentukan panjang sisi alas atau tingginya. Dalam kasus seperti itu, rumusnya dapat diturunkan:

• panjang sisi alas: a = Sisi / 4h = √(V / h);
• tinggi panjang atau tulang rusuk lateral: h = Sisi / 4a = V / a²;
• daerah dasar: Sbas = V/jam;
• area samping wajah: Samping gr = Sisi / 4.

Untuk menentukan luas suatu penampang diagonal, Anda perlu mengetahui panjang diagonal dan tinggi bangun tersebut. Untuk persegi d = a√2. Karena itu:

Sdiag = ah√2

Untuk menghitung diagonal prisma, gunakan rumus:

hadiah d = √(2a² + h²)

Untuk memahami cara menerapkan hubungan yang diberikan, Anda dapat berlatih dan menyelesaikan beberapa tugas sederhana.

Contoh permasalahan yang ada solusinya

Berikut beberapa tugas yang terdapat pada ujian akhir negara bidang matematika.

Latihan 1.

Pasir dituangkan ke dalam kotak berbentuk prisma segi empat biasa. Tinggi tinggi permukaannya adalah 10 cm. Berapakah tinggi permukaan pasir jika dipindahkan ke dalam wadah yang bentuknya sama tetapi alasnya dua kali lebih panjang?

Hal ini harus dijelaskan sebagai berikut. Jumlah pasir pada wadah pertama dan kedua tidak berubah, yaitu volumenya sama. Anda dapat menyatakan panjang alasnya dengan A. Dalam hal ini, untuk kotak pertama volume zatnya adalah:

V₁ = ha² = 10a²

Untuk kotak kedua, panjang alasnya adalah 2a, tetapi ketinggian permukaan pasir tidak diketahui:

V₂ = jam (2a)² = 4ha²

Karena V₁ = V₂, kita dapat menyamakan ekspresi:

10a² = 4ha²

Setelah mengurangi kedua ruas persamaan dengan a², kita peroleh:

Akibatnya, permukaan pasir akan menjadi baru jam = 10/4 = 2,5 cm.

Tugas 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ adalah prisma tegak. Diketahui BD = AB₁ = 6√2. Temukan total luas permukaan tubuh.

Untuk memudahkan memahami unsur apa saja yang diketahui, Anda dapat menggambar sebuah gambar.

Karena kita berbicara tentang prisma beraturan, kita dapat menyimpulkan bahwa pada alasnya terdapat persegi dengan diagonal 6√2. Diagonal muka samping mempunyai ukuran yang sama, oleh karena itu muka samping juga berbentuk persegi sama dengan alasnya. Ternyata ketiga dimensi - panjang, lebar dan tinggi - adalah sama. Dapat disimpulkan bahwa ABCDA₁B₁C₁D₁ adalah kubus.

Panjang setiap sisi ditentukan melalui diagonal yang diketahui:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Luas permukaan total dicari dengan menggunakan rumus kubus:

Penuh = 6a² = 6 6² = 216

Tugas 3.

Kamar sedang direnovasi. Diketahui lantainya berbentuk persegi dengan luas 9 m². Ketinggian ruangan adalah 2,5 m. Berapa biaya terendah untuk menempelkan wallpaper pada ruangan jika 1 m² berharga 50 rubel?

Karena lantai dan langit-langit berbentuk bujur sangkar, yaitu segi empat beraturan, dan dindingnya tegak lurus permukaan horizontal, kita dapat menyimpulkan bahwa itu adalah prisma yang benar. Penting untuk menentukan luas permukaan lateralnya.

Panjang ruangan tersebut adalah a = √9 = 3 M.

Area tersebut akan ditutup dengan wallpaper Sisi = 4 3 2,5 = 30 m².

Biaya wallpaper terendah untuk ruangan ini adalah 50·30 = 1500 rubel

Jadi, untuk menyelesaikan soal-soal prisma segi empat, cukup mampu menghitung luas dan keliling persegi dan persegi panjang, serta mengetahui rumus mencari volume dan luas permukaan.

Cara mencari luas kubus

Bagaimana penampilannya

Sifat-sifat prisma segi empat

Prisma yang berbeda berbeda satu sama lain. Di saat yang sama, mereka memiliki banyak kesamaan. Untuk mencari luas alas prisma, Anda perlu memahami jenisnya.

Teori umum

Prisma adalah polihedron apa pun yang sisi-sisinya berbentuk jajar genjang. Selain itu, alasnya dapat berupa polihedron apa saja - dari segitiga hingga n-gon. Selain itu, alas prisma selalu sama besar satu sama lain. Apa yang tidak berlaku pada permukaan samping adalah ukurannya dapat sangat bervariasi.

Saat menyelesaikan soal, tidak hanya luas alas prisma saja yang ditemui. Ini mungkin memerlukan pengetahuan tentang permukaan lateral, yaitu semua permukaan yang bukan alas. Permukaan penuh sudah akan ada penyatuan semua wajah yang membentuk prisma.

Terkadang masalah melibatkan ketinggian. Itu tegak lurus dengan alasnya. Diagonal polihedron adalah segmen yang menghubungkan secara berpasangan dua simpul yang tidak memiliki sisi yang sama.

Perlu dicatat bahwa luas alas prisma lurus atau miring tidak bergantung pada sudut antara prisma dan sisi-sisinya. Jika kedua bangun tersebut sama pada sisi atas dan bawahnya, maka luasnya sama.

Prisma segitiga

Pada dasarnya terdapat bangun datar dengan tiga titik sudut, yaitu segitiga. Seperti yang Anda tahu, ini bisa berbeda. Jika demikian, cukup diingat bahwa luasnya ditentukan oleh setengah hasil kali kaki-kakinya.

Notasi matematikanya terlihat seperti ini: S = ½ av.

Untuk mengetahui luas alas di pandangan umum, rumusnya akan berguna: Bangau dan rumus yang separuh sisinya diambil ke ketinggian yang ditarik ke sana.

Rumus pertama harus ditulis sebagai berikut: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Notasi ini mengandung setengah keliling (p), yaitu jumlah tiga sisi dibagi dua.

Kedua: S = ½ n a * a.

Jika perlu mengetahui luas alasnya prisma segitiga, yang beraturan, maka segitiga tersebut menjadi sama sisi. Ada rumusnya: S = ¼ a 2 * √3.

Prisma segi empat

Basisnya adalah salah satu segi empat yang diketahui. Itu bisa berupa persegi panjang atau persegi, paralelepiped atau belah ketupat. Dalam setiap kasus, untuk menghitung luas alas prisma, Anda memerlukan rumus Anda sendiri.

Jika alasnya berbentuk persegi panjang, maka luasnya ditentukan sebagai berikut: S = ab, dimana a, b adalah sisi-sisi persegi panjang tersebut.

Untuk prisma segi empat, luas alas prisma beraturan dihitung menggunakan rumus persegi. Karena dialah yang mendasarinya. S = sebuah 2.

Jika alasnya adalah paralelepiped, diperlukan persamaan berikut: S = a * n a. Kebetulan sisi paralelepiped dan salah satu sudut diberikan. Kemudian, untuk menghitung tinggi, Anda perlu menggunakan rumus tambahan: n a = b * sin A. Selain itu, sudut A berbatasan dengan sisi “b”, dan tinggi n berhadapan dengan sudut tersebut.

Jika terdapat belah ketupat pada alas prisma, maka untuk menentukan luasnya diperlukan rumus yang sama seperti jajar genjang (karena merupakan kasus khusus). Tapi Anda juga bisa menggunakan ini: S = ½ d 1 d 2. Di sini d 1 dan d 2 adalah dua diagonal belah ketupat.

Prisma segi lima beraturan

Kasus ini melibatkan pembagian poligon menjadi segitiga, yang luasnya lebih mudah diketahui. Meskipun demikian, angka-angka tersebut dapat memiliki jumlah simpul yang berbeda.

Karena alas prisma berbentuk segi lima beraturan, maka prisma dapat dibagi menjadi lima segitiga sama sisi. Maka luas alas prisma sama dengan luas salah satu segitiga tersebut (rumusnya dapat dilihat di atas), dikalikan lima.

Prisma heksagonal beraturan

Dengan menggunakan prinsip yang dijelaskan untuk prisma segi lima, segi enam alasnya dapat dibagi menjadi 6 segitiga sama sisi. Rumus luas alas prisma serupa dengan rumus sebelumnya. Hanya saja harus dikalikan enam.

Rumusnya akan terlihat seperti ini: S = 3/2 a 2 * √3.

Tugas

No 1. Diketahui sebuah garis lurus beraturan, diagonalnya 22 cm, tinggi polihedron 14 cm. Hitunglah luas alas prisma dan seluruh permukaannya.

Larutan. Alas prisma berbentuk persegi, namun sisinya tidak diketahui. Anda dapat mencari nilainya dari diagonal persegi (x), yang berhubungan dengan diagonal prisma (d) dan tingginya (h). x 2 = d 2 - n 2. Sebaliknya, ruas “x” ini adalah sisi miring pada segitiga yang kaki-kakinya sama dengan sisi persegi. Artinya, x 2 = a 2 + a 2. Jadi ternyata a 2 = (d 2 - n 2)/2.

Gantikan angka 22 dengan d, dan ganti “n” dengan nilainya - 14, ternyata panjang sisi persegi adalah 12 cm. Sekarang cari saja luas alasnya: 12 * 12 = 144 cm 2.

Untuk mengetahui luas seluruh permukaan, Anda perlu menjumlahkan dua kali luas alas dan empat kali lipat luas sisinya. Yang terakhir ini dapat dengan mudah ditemukan menggunakan rumus persegi panjang: kalikan tinggi polihedron dan sisi alasnya. Artinya, 14 dan 12, angkanya sama dengan 168 cm 2. luas keseluruhan Luas permukaan prisma adalah 960 cm2.

Menjawab. Luas alas prisma adalah 144 cm2. Luas seluruh permukaannya adalah 960 cm2.

Nomor 2. Diketahui alasnya terdapat sebuah segitiga yang panjang sisinya 6 cm. Dalam hal ini, diagonal sisi sisinya adalah 10 cm. Hitung luas alas dan permukaan sisinya.

Larutan. Karena prisma beraturan, alasnya berbentuk segitiga sama sisi. Oleh karena itu, luasnya menjadi 6 kuadrat, dikalikan dengan ¼ dan akar kuadrat dari 3. Perhitungan sederhana menghasilkan hasil: 9√3 cm 2. Ini adalah luas salah satu alas prisma.

Semua sisi sisinya sama dan berbentuk persegi panjang dengan panjang sisi 6 dan 10 cm. Untuk menghitung luasnya, kalikan saja angka-angka ini. Kemudian kalikan dengan tiga, karena prisma mempunyai sisi-sisi yang persis sama. Maka luas permukaan lateral luka adalah 180 cm2.

Menjawab. Luas: alas - 9√3 cm 2, permukaan lateral prisma - 180 cm 2.