Logaritma dan sifat-sifatnya. Logaritma. Pengertian logaritma biner, logaritma natural, logaritma desimal; fungsi eksponensial exp(x), bilangan e. Log, Ln. Rumus pangkat dan logaritma. Menggunakan logaritma, desibel

Logaritma suatu bilangan b ke basis a adalah eksponen bilangan a yang harus dipangkatkan untuk memperoleh bilangan b.

Jika kemudian.

Logaritma - ekstrim besaran matematika yang penting, karena kalkulus logaritma memungkinkan tidak hanya menyelesaikan persamaan eksponensial, tetapi juga mengoperasikan eksponen, membedakan fungsi eksponensial dan logaritma, mengintegrasikannya dan mengarahkannya ke bentuk perhitungan yang lebih dapat diterima.

Dalam kontak dengan

Semua properti logaritma berhubungan langsung dengan properti fungsi eksponensial. Misalnya fakta itu maksudnya:

Perlu dicatat bahwa ketika memecahkan masalah tertentu, sifat-sifat logaritma mungkin menjadi lebih penting dan berguna daripada aturan untuk bekerja dengan pangkat.

Mari kita sajikan beberapa identitas:

Berikut adalah ekspresi aljabar dasar:

;

Perhatian! hanya bisa ada untuk x>0, x≠1, y>0.

Mari kita coba memahami pertanyaan tentang apa itu logaritma natural. Minat khusus pada matematika mewakili dua jenis- yang pertama mempunyai bilangan “10” sebagai basisnya, dan disebut “logaritma desimal”. Yang kedua disebut alami. Basis logaritma natural adalah angka “e”. Inilah yang akan kita bahas secara rinci di artikel ini.

Sebutan:

lg x - desimal;
dalam x - alami.

Dengan menggunakan identitas tersebut, kita dapat melihat bahwa ln e = 1, serta fakta bahwa lg 10=1.

Grafik logaritma natural

Mari kita buat grafik logaritma natural menggunakan standar dengan cara klasik berdasarkan poin. Jika mau, Anda dapat memeriksa apakah kita membangun fungsi dengan benar dengan memeriksa fungsinya. Namun, masuk akal untuk mempelajari cara membuatnya “secara manual” untuk mengetahui cara menghitung logaritma dengan benar.

Fungsi: y = ln x. Mari kita tuliskan tabel titik-titik yang akan dilalui grafik:

Mari kita jelaskan mengapa kita memilih nilai-nilai khusus dari argumen x. Ini semua tentang identitas: . Untuk logaritma natural identitasnya akan terlihat seperti ini:

Untuk memudahkan, kita dapat mengambil lima titik acuan:

;

Jadi, menghitung logaritma natural adalah tugas yang cukup sederhana; terlebih lagi, ini menyederhanakan perhitungan operasi dengan pangkat, mengubahnya menjadi perkalian biasa.

Dengan memplot grafik titik demi titik, kita mendapatkan grafik perkiraan:

Domain definisi logaritma natural (yaitu semua nilai yang valid argumen X) - semua angka lebih besar dari nol.

Perhatian! Domain definisi logaritma natural hanya mencakup bilangan positif! Ruang lingkup definisi tidak mencakup x=0. Hal ini tidak mungkin berdasarkan kondisi keberadaan logaritma.

Rentang nilai (yaitu semua nilai valid dari fungsi y = ln x) adalah semua bilangan dalam interval.

Batas log natural

Mempelajari grafik, muncul pertanyaan - bagaimana fungsi tersebut berperilaku di y<0.

Jelasnya, grafik fungsi cenderung memotong sumbu y, tetapi tidak akan mampu melakukannya, karena logaritma natural dari x<0 не существует.

Batas alami catatan dapat ditulis seperti ini:

Rumus penggantian basis logaritma

Mengurus logaritma natural jauh lebih mudah daripada menangani logaritma yang memiliki basis sembarang. Itulah sebabnya kami akan mencoba mempelajari cara mereduksi logaritma apa pun menjadi logaritma natural, atau menyatakannya ke basis sembarang melalui logaritma natural.

Mari kita mulai dengan identitas logaritma:

Maka bilangan atau variabel apa pun y dapat direpresentasikan sebagai:

di mana x adalah bilangan apa pun (positif menurut sifat logaritma).

Ekspresi ini dapat diambil secara logaritma di kedua sisi. Mari kita lakukan ini menggunakan basis z yang berubah-ubah:

Mari kita gunakan propertinya (hanya alih-alih “c” kita memiliki ekspresi):

Dari sini kita mendapatkan rumus universal:

Khususnya, jika z=e, maka:

Kami dapat merepresentasikan logaritma ke basis sembarang melalui rasio dua logaritma natural.

Kami memecahkan masalah

Untuk lebih memahami logaritma natural, mari kita lihat contoh beberapa soal.

Masalah 1. Persamaan ln x = 3 harus diselesaikan.

Larutan: Dengan menggunakan definisi logaritma: jika , maka , kita peroleh:

Masalah 2. Selesaikan persamaan (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Penyelesaian: Dengan menggunakan definisi logaritma: jika , maka , kita peroleh:

Mari kita gunakan kembali definisi logaritma:

Dengan demikian:

Anda dapat menghitung kira-kira jawabannya, atau membiarkannya dalam formulir ini.

Tugas 3. Selesaikan persamaannya.

Larutan: Mari kita lakukan substitusi: t = ln x. Maka persamaannya akan berbentuk sebagai berikut:

Kami memiliki persamaan kuadrat. Mari kita temukan diskriminannya:

Akar persamaan pertama:

Akar persamaan kedua:

Mengingat kita melakukan substitusi t = ln x, kita peroleh:

Dalam statistika dan teori probabilitas, besaran logaritmik sangat sering ditemukan. Hal ini tidak mengherankan, karena angka e sering kali mencerminkan laju pertumbuhan besaran eksponensial.

Dalam ilmu komputer, pemrograman dan teori komputer, logaritma cukup sering ditemukan, misalnya untuk menyimpan N bit dalam memori.

Dalam teori fraktal dan dimensi, logaritma terus digunakan, karena dimensi fraktal hanya ditentukan dengan bantuannya.

Dalam mekanika dan fisika Tidak ada bagian di mana logaritma tidak digunakan. Distribusi barometrik, semua prinsip termodinamika statistik, persamaan Tsiolkovsky, dll. adalah proses yang hanya dapat dijelaskan secara matematis menggunakan logaritma.

Dalam kimia, logaritma digunakan dalam persamaan Nernst dan deskripsi proses redoks.

Hebatnya, bahkan dalam musik, untuk mengetahui jumlah bagian satu oktaf, digunakan logaritma.

Logaritma natural Fungsi y=ln x sifat-sifatnya

Bukti sifat dasar logaritma natural

Kami terus mempelajari logaritma. Pada artikel ini kita akan membicarakannya menghitung logaritma, proses ini disebut logaritma. Pertama kita akan memahami perhitungan logaritma menurut definisinya. Selanjutnya, mari kita lihat bagaimana nilai logaritma ditemukan menggunakan propertinya. Setelah ini, kita akan fokus menghitung logaritma melalui nilai logaritma lain yang ditentukan sebelumnya. Terakhir, mari pelajari cara menggunakan tabel logaritma. Seluruh teori dilengkapi dengan contoh-contoh dengan solusi rinci.

Navigasi halaman.

Menghitung logaritma menurut definisi

Dalam kasus yang paling sederhana, hal ini dapat dilakukan dengan cukup cepat dan mudah menemukan logaritma menurut definisi. Mari kita lihat lebih dekat bagaimana proses ini terjadi.

Esensinya adalah merepresentasikan bilangan b dalam bentuk a c, yang menurut definisi logaritma, bilangan c adalah nilai logaritma. Artinya, menurut definisi, rantai persamaan berikut berhubungan dengan pencarian logaritma: log a b=log a a c =c.

Jadi, menghitung logaritma menurut definisi adalah mencari bilangan c sedemikian rupa sehingga a c = b, dan bilangan c itu sendiri adalah nilai logaritma yang diinginkan.

Dengan mempertimbangkan informasi di paragraf sebelumnya, ketika angka di bawah tanda logaritma diberikan oleh pangkat tertentu dari basis logaritma, Anda dapat langsung menunjukkan berapa logaritmanya - sama dengan eksponen. Mari kita tunjukkan solusi dengan contoh.

Contoh.

Temukan log 2 2 −3, dan hitung juga logaritma natural dari bilangan e 5,3.

Larutan.

Definisi logaritma memungkinkan kita untuk langsung mengatakan bahwa log 2 2 −3 =−3. Memang benar, bilangan di bawah tanda logaritma sama dengan basis 2 pangkat −3.

Demikian pula, kita menemukan logaritma kedua: lne 5.3 =5.3.

Menjawab:

log 2 2 −3 =−3 dan lne 5,3 =5,3.

Jika bilangan b di bawah tanda logaritma tidak ditentukan sebagai pangkat dari basis logaritma, maka Anda perlu mencermati apakah mungkin untuk menghasilkan representasi bilangan b dalam bentuk a c . Seringkali representasi ini cukup jelas, terutama bila bilangan di bawah tanda logaritma sama dengan pangkat 1, atau 2, atau 3, ...

Contoh.

Hitung logaritma log 5 25 , dan .

Larutan.

Sangat mudah untuk melihat bahwa 25=5 2, ini memungkinkan Anda menghitung logaritma pertama: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Mari kita beralih ke menghitung logaritma kedua. Angka tersebut dapat direpresentasikan sebagai pangkat 7: (lihat jika perlu). Karena itu, .

Mari kita tulis ulang logaritma ketiga dalam bentuk berikut. Sekarang Anda bisa melihatnya , dari situlah kami menyimpulkan bahwa . Oleh karena itu, menurut definisi logaritma .

Secara singkat solusinya dapat ditulis sebagai berikut: .

Menjawab:

catatan 5 25=2 , Dan .

Jika terdapat bilangan asli yang cukup besar di bawah tanda logaritma, tidak ada salahnya untuk memfaktorkannya menjadi faktor prima. Seringkali membantu untuk merepresentasikan bilangan seperti pangkat dari basis logaritma, dan oleh karena itu menghitung logaritma ini berdasarkan definisi.

Contoh.

Temukan nilai logaritma.

Larutan.

Beberapa properti logaritma memungkinkan Anda untuk segera menentukan nilai logaritma. Sifat-sifat tersebut antara lain sifat logaritma satu dan sifat logaritma suatu bilangan sama dengan bilangan pokok: log 1 1=log a a 0 =0 dan log a a=log a a 1 =1. Artinya, bila di bawah tanda logaritma terdapat angka 1 atau angka a yang sama dengan basis logaritma, maka dalam hal ini logaritmanya masing-masing sama dengan 0 dan 1.

Contoh.

Logaritma dan log10 sama dengan apa?

Larutan.

Karena , maka dari definisi logaritma berikut ini .

Pada contoh kedua, angka 10 di bawah tanda logaritma bertepatan dengan basisnya, sehingga logaritma desimal sepuluh sama dengan satu, yaitu lg10=lg10 1 =1.

Menjawab:

DAN lg10=1 .

Perhatikan bahwa penghitungan logaritma menurut definisi (yang telah kita bahas di paragraf sebelumnya) menyiratkan penggunaan persamaan log a a p =p, yang merupakan salah satu sifat logaritma.

Dalam praktiknya, ketika bilangan di bawah tanda logaritma dan basis logaritma mudah direpresentasikan sebagai pangkat dari bilangan tertentu, akan sangat mudah untuk menggunakan rumus , yang sesuai dengan salah satu properti logaritma. Mari kita lihat contoh mencari logaritma yang menggambarkan penggunaan rumus ini.

Contoh.

Hitung logaritmanya.

Larutan.

Menjawab:

Properti logaritma yang tidak disebutkan di atas juga digunakan dalam perhitungan, tetapi kita akan membicarakannya di paragraf berikut.

Menemukan logaritma melalui logaritma lain yang diketahui

Informasi dalam paragraf ini melanjutkan topik penggunaan properti logaritma saat menghitungnya. Namun perbedaan utamanya di sini adalah bahwa sifat-sifat logaritma digunakan untuk menyatakan logaritma asli dalam bentuk logaritma lain, yang nilainya diketahui. Mari kita beri contoh untuk klarifikasi. Katakanlah kita mengetahui log 2 3≈1.584963, maka kita dapat mencari, misalnya log 2 6 dengan melakukan sedikit transformasi menggunakan sifat-sifat logaritma: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Pada contoh di atas, kita cukup menggunakan properti logaritma suatu produk. Namun, lebih sering kita perlu menggunakan properti logaritma yang lebih luas untuk menghitung logaritma asli melalui logaritma yang diberikan.

Contoh.

Hitung logaritma 27 dengan basis 60 jika diketahui log 60 2=a dan log 60 5=b.

Larutan.

Jadi kita perlu mencari log 60 27 . Sangat mudah untuk melihat bahwa 27 = 3 3, dan logaritma aslinya, karena sifat logaritma pangkat, dapat ditulis ulang menjadi 3·log 60 3.

Sekarang mari kita lihat cara menyatakan log 60 3 dalam logaritma yang diketahui. Sifat logaritma suatu bilangan yang sama dengan basis memungkinkan kita untuk menulis log persamaan 60 60=1. Sebaliknya, log 60 60=log60(2 2 3 5)= catatan 60 2 2 +catatan 60 3+catatan 60 5= 2·catatan 60 2+catatan 60 3+catatan 60 5 . Dengan demikian, 2 catatan 60 2+catatan 60 3+catatan 60 5=1. Karena itu, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Terakhir, kita menghitung logaritma asli: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Menjawab:

catatan 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Secara terpisah, perlu disebutkan arti rumus transisi ke basis baru dari bentuk logaritma . Ini memungkinkan Anda untuk berpindah dari logaritma dengan basis apa pun ke logaritma dengan basis tertentu, yang nilainya diketahui atau dimungkinkan untuk menemukannya. Biasanya dari logaritma asli, dengan menggunakan rumus transisi, mereka berpindah ke logaritma di salah satu basis 2, e atau 10, karena untuk basis ini terdapat tabel logaritma yang memungkinkan nilainya dihitung dengan derajat tertentu. ketepatan. Di paragraf berikutnya kami akan menunjukkan bagaimana hal ini dilakukan.

Tabel logaritma dan kegunaannya

Untuk perhitungan perkiraan nilai logaritma dapat digunakan tabel logaritma. Tabel logaritma basis 2 yang paling umum digunakan, tabel logaritma natural, dan tabel logaritma desimal. Saat bekerja dalam sistem bilangan desimal, akan lebih mudah jika menggunakan tabel logaritma berdasarkan basis sepuluh. Dengan bantuannya kita akan belajar mencari nilai logaritma.

Tabel yang disajikan memungkinkan Anda menemukan nilai logaritma desimal angka dari 1.000 hingga 9.999 (dengan tiga tempat desimal) dengan akurasi sepersepuluh ribu. Kami akan menganalisis prinsip mencari nilai logaritma menggunakan tabel logaritma desimal menggunakan contoh spesifik - lebih jelasnya seperti ini. Mari kita cari log1.256.

Di kolom kiri tabel logaritma desimal kita menemukan dua digit pertama dari angka 1,256, yaitu kita menemukan 1,2 (angka ini dilingkari biru untuk kejelasan). Digit ketiga dari angka 1.256 (angka 5) terdapat pada baris pertama atau terakhir di sebelah kiri garis ganda (angka ini dilingkari merah). Digit keempat dari bilangan asli 1.256 (angka 6) terdapat pada baris pertama atau terakhir di sebelah kanan garis ganda (bilangan ini dilingkari dengan garis hijau). Sekarang kita menemukan angka-angka di sel tabel logaritma di perpotongan baris yang ditandai dan kolom yang ditandai (angka-angka ini disorot dengan warna oranye). Jumlah angka-angka yang ditandai memberikan nilai logaritma desimal yang diinginkan hingga desimal keempat, yaitu, log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Apakah mungkin, dengan menggunakan tabel di atas, untuk mencari nilai logaritma desimal dari bilangan yang memiliki lebih dari tiga digit setelah koma, serta yang melampaui rentang 1 hingga 9,999? Ya kamu bisa. Mari kita tunjukkan bagaimana hal ini dilakukan dengan sebuah contoh.

Mari kita hitung lg102.76332. Pertama, Anda perlu menulis nomor dalam bentuk standar: 102,76332=1,0276332·10 2. Setelah ini, mantissa harus dibulatkan ke tempat desimal ketiga, yang kita punya 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, sedangkan logaritma desimal aslinya kira-kira sama dengan logaritma bilangan yang dihasilkan, yaitu kita ambil log102.76332≈lg1.028·10 2. Sekarang kita terapkan properti logaritma: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Terakhir, kita mencari nilai logaritma lg1.028 dari tabel logaritma desimal lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Hasilnya, seluruh proses penghitungan logaritma terlihat seperti ini: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

Sebagai kesimpulan, perlu dicatat bahwa dengan menggunakan tabel logaritma desimal Anda dapat menghitung nilai perkiraan logaritma apa pun. Untuk melakukan ini, cukup menggunakan rumus transisi untuk beralih ke logaritma desimal, mencari nilainya di tabel, dan melakukan penghitungan sisanya.

Misalnya, mari kita hitung log 2 3 . Menurut rumus transisi ke basis logaritma baru, kita punya . Dari tabel logaritma desimal kita menemukan log3≈0.4771 dan log2≈0.3010. Dengan demikian, .

Bibliografi.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain.Aljabar dan permulaan analisis: Buku ajar untuk kelas 10 - 11 lembaga pendidikan umum.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (panduan bagi mereka yang memasuki sekolah teknik).

Bagian tentang logaritma sangat penting dalam kursus sekolah “Analisis Matematika”. Soal fungsi logaritma didasarkan pada prinsip yang berbeda dengan soal pertidaksamaan dan persamaan. Pengetahuan tentang definisi dan sifat dasar konsep logaritma dan fungsi logaritma akan memastikan keberhasilan penyelesaian masalah USE pada umumnya.

Sebelum kita mulai menjelaskan apa itu fungsi logaritma, ada baiknya kita melihat dulu pengertian logaritma.

Mari kita lihat contoh spesifik: log a x = x, di mana a › 0, a ≠ 1.

Sifat-sifat utama logaritma dapat dicantumkan dalam beberapa poin:

Logaritma

Logaritma adalah operasi matematika yang memungkinkan, dengan menggunakan properti suatu konsep, untuk menemukan logaritma suatu bilangan atau ekspresi.

Contoh:

Fungsi logaritma dan sifat-sifatnya

Fungsi logaritma memiliki bentuk

Mari kita segera perhatikan bahwa grafik suatu fungsi dapat meningkat pada a › 1 dan menurun pada 0 ‹ a ‹ 1. Bergantung pada ini, kurva fungsi akan memiliki satu atau lain bentuk.

Berikut sifat-sifat dan cara memplot logaritma:

domain dari f(x) adalah himpunan semua bilangan positif, yaitu x dapat mengambil nilai apa pun dari interval (0; + ∞);
Fungsi ODZ adalah himpunan semua bilangan real, mis. y dapat sama dengan bilangan apa pun dari interval (— ∞; +∞);
jika basis logaritma a › 1, maka f(x) meningkat di seluruh domain definisi;
jika basis logaritmanya adalah 0 ‹ a ‹ 1, maka F menurun;
fungsi logaritma tidak genap atau ganjil;
kurva grafik selalu melalui titik dengan koordinat (1;0).

Sangat mudah untuk membuat kedua jenis grafik; mari kita lihat prosesnya menggunakan sebuah contoh

Pertama, Anda perlu mengingat sifat-sifat logaritma sederhana dan fungsinya. Dengan bantuan mereka, Anda perlu membuat tabel untuk nilai x dan y tertentu. Maka Anda harus menandai titik-titik yang dihasilkan pada sumbu koordinat dan menghubungkannya dengan garis halus. Kurva ini akan menjadi grafik yang diperlukan.

Fungsi logaritma adalah kebalikan dari fungsi eksponensial yang diberikan oleh y= a x. Untuk memverifikasi ini, cukup menggambar kedua kurva pada sumbu koordinat yang sama.

Jelaslah bahwa kedua garis tersebut merupakan bayangan cermin satu sama lain. Dengan membuat garis lurus y = x, kita dapat melihat sumbu simetrinya.

Untuk menemukan jawaban soal dengan cepat, Anda perlu menghitung nilai titik y = log 2⁡ x, lalu cukup pindahkan asal titik koordinat tiga pembagian ke bawah sepanjang sumbu OY dan 2 pembagian ke kiri sepanjang sumbu OX.

Sebagai buktinya, mari kita buat tabel perhitungan titik-titik pada grafik y = log 2 ⁡(x+2)-3 dan bandingkan nilai yang diperoleh dengan gambar.

Seperti yang Anda lihat, koordinat dari tabel dan titik-titik pada grafik bertepatan, sehingga perpindahan sepanjang sumbu dilakukan dengan benar.

Contoh penyelesaian soal-soal khas Ujian Negara Bersatu

Sebagian besar soal pengujian dapat dibagi menjadi dua bagian: mencari domain definisi, menunjukkan jenis fungsi berdasarkan gambar grafik, menentukan apakah fungsi tersebut naik/turun.

Untuk menjawab tugas dengan cepat, perlu dipahami dengan jelas bahwa f(x) meningkat jika eksponen logaritma a › 1, dan menurun jika 0 ‹ a ‹ 1. Namun, tidak hanya basis, tetapi juga argumen dapat sangat mempengaruhi bentuknya. dari kurva fungsi.

F(x) yang diberi tanda centang adalah jawaban yang benar. Keraguan dalam hal ini dimunculkan oleh contoh 2 dan 3. Tanda “-” di depan log perubahan meningkat menjadi menurun dan sebaliknya.

Oleh karena itu, grafik y=-log 3⁡ x menurun di seluruh domain definisi, dan y= -log (1/3) ⁡x meningkat, meskipun basisnya 0 ‹ a ‹ 1.

Menjawab: 3,4,5.

Menjawab: 4.

Jenis tugas ini dianggap mudah dan diberi skor 1-2 poin.

Tugas 3.

Tentukan apakah fungsi tersebut menurun atau meningkat dan tunjukkan domain definisinya.

Y = log 0,7 ⁡(0,1x-5)

Karena basis logaritma kurang dari satu tetapi lebih besar dari nol, maka fungsi x menurun. Berdasarkan sifat logaritma, argumennya juga harus lebih besar dari nol. Mari selesaikan pertidaksamaan:

Menjawab: domain definisi D(x) – interval (50; + ∞).

Menjawab: 3, 1, sumbu OX, kanan.

Tugas-tugas tersebut diklasifikasikan sebagai rata-rata dan diberi skor 3 - 4 poin.

Tugas 5. Temukan rentang nilai suatu fungsi:

Dari sifat-sifat logaritma diketahui bahwa argumennya hanya bisa positif. Oleh karena itu, kami akan menghitung kisaran nilai fungsi yang dapat diterima. Untuk melakukan ini, Anda perlu menyelesaikan sistem dua pertidaksamaan.

Berikut definisinya. Begitu pula dengan logaritma bilangan tersebut B berdasarkan A didefinisikan sebagai eksponen yang suatu bilangan harus dipangkatkan A untuk mendapatkan nomornya B(logaritma hanya ada untuk bilangan positif).

Dari rumusan tersebut berikut perhitungannya x=log ab, setara dengan menyelesaikan persamaan ax =b. Misalnya, catatan 2 8 = 3 Karena 8 = 2 3 . Rumusan logaritma memungkinkan untuk membenarkan bahwa jika b=a c, lalu logaritma bilangan tersebut B berdasarkan A sama Dengan. Jelas juga bahwa topik logaritma erat kaitannya dengan topik pangkat suatu bilangan.

Dengan logaritma, seperti halnya angka apa pun, Anda bisa melakukannya operasi penjumlahan, pengurangan dan bertransformasi dengan segala cara yang memungkinkan. Tetapi karena logaritma bukan bilangan biasa, aturan khusus mereka sendiri berlaku di sini, yang disebut properti utama.

Penjumlahan dan pengurangan logaritma.

Mari kita ambil dua logaritma dengan basis yang sama: mencatat x Dan log ay. Maka dimungkinkan untuk melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

catatan a(X 1 . X 2 . X 3 ... xk) = mencatat x 1 + mencatat x 2 + mencatat x 3 + ... + log axk.

Dari teorema hasil bagi logaritma Satu lagi sifat logaritma dapat diperoleh. Sudah menjadi rahasia umum bahwa log A 1= 0, oleh karena itu

catatan A 1 /B=log A 1 - catatan sebuah b= - catatan sebuah b.

Artinya ada persamaan:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritma dua bilangan timbal balik karena alasan yang sama akan berbeda satu sama lain hanya berdasarkan tandanya. Jadi:

Catatan 3 9= - catatan 3 1 / 9 ; catatan 5 1/125 = -catatan 5 125.

Berhubungan dengan

tugas menemukan salah satu dari tiga angka dari dua angka lainnya dapat ditetapkan. Jika diberikan a dan kemudian N, maka keduanya ditemukan dengan eksponensial. Jika N dan kemudian a diberikan dengan mengambil akar derajat x (atau menaikkannya ke pangkat). Sekarang perhatikan kasus ketika, jika diketahui a dan N, kita perlu mencari x.

Misalkan bilangan N positif: bilangan a positif dan tidak sama dengan satu: .

Definisi. Logaritma bilangan N ke basis a adalah eksponen yang harus dipangkatkan a untuk memperoleh bilangan N; logaritma dilambangkan dengan

Jadi, dalam persamaan (26.1) eksponennya ditemukan sebagai logaritma dari N ke basis a. Postingan

mempunyai arti yang sama. Kesetaraan (26.1) kadang-kadang disebut sebagai identitas utama teori logaritma; pada kenyataannya ia mengungkapkan definisi konsep logaritma. Berdasarkan definisi ini, basis logaritma a selalu positif dan berbeda dengan kesatuan; bilangan logaritma N positif. Bilangan negatif dan nol tidak mempunyai logaritma. Dapat dibuktikan bahwa bilangan apa pun dengan basis tertentu mempunyai logaritma yang terdefinisi dengan baik. Oleh karena itu diperlukan kesetaraan. Perhatikan bahwa kondisi ini penting di sini; jika tidak, kesimpulannya tidak akan dapat dibenarkan, karena persamaan tersebut berlaku untuk semua nilai x dan y.

Contoh 1. Temukan

Larutan. Untuk mendapatkan suatu bilangan, Anda harus menaikkan basis 2 ke pangkat Oleh karena itu.

Anda dapat membuat catatan saat menyelesaikan contoh-contoh tersebut dalam bentuk berikut:

Contoh 2. Temukan .

Larutan. Kita punya

Pada contoh 1 dan 2, kita dengan mudah menemukan logaritma yang diinginkan dengan merepresentasikan bilangan logaritma sebagai pangkat basis dengan eksponen rasional. Dalam kasus umum, misalnya untuk dll, hal ini tidak dapat dilakukan, karena logaritma memiliki nilai yang tidak rasional. Mari kita perhatikan satu isu terkait pernyataan ini. Dalam paragraf 12, kami memberikan konsep tentang kemungkinan menentukan pangkat nyata dari bilangan positif tertentu. Hal ini diperlukan untuk memperkenalkan logaritma, yang secara umum dapat berupa bilangan irasional.

Mari kita lihat beberapa sifat logaritma.

Sifat 1. Jika bilangan dan basisnya sama, maka logaritmanya sama dengan satu, dan sebaliknya, jika logaritmanya sama dengan satu, maka bilangan dan basisnya sama.

Bukti. Misalkan Berdasarkan definisi logaritma kita mempunyai dan dari mana

Sebaliknya, biarkan Then menurut definisinya

Properti 2. Logaritma satu ke basis apa pun sama dengan nol.

Bukti. Menurut definisi logaritma (pangkat nol dari setiap basis positif sama dengan satu, lihat (10.1)). Dari sini

Q.E.D.

Pernyataan kebalikannya juga benar: jika , maka N = 1. Memang benar, kita mempunyai .

Sebelum merumuskan sifat-sifat logaritma selanjutnya, mari kita sepakat untuk mengatakan bahwa dua bilangan a dan b terletak pada sisi yang sama dari bilangan ketiga c jika keduanya lebih besar dari c atau kurang dari c. Jika salah satu bilangan tersebut lebih besar dari c, dan bilangan lainnya lebih kecil dari c, maka kita dapat mengatakan bahwa bilangan-bilangan tersebut terletak pada sisi yang berlawanan dari c.

Sifat 3. Jika bilangan dan alasnya terletak pada sisi yang sama, maka logaritmanya positif; Jika bilangan dan alasnya terletak pada sisi yang berlawanan, maka logaritmanya negatif.

Pembuktian sifat 3 didasarkan pada kenyataan bahwa pangkat a lebih besar dari satu jika basisnya lebih besar dari satu dan eksponennya positif atau basisnya kurang dari satu dan eksponennya negatif. Suatu pangkat kurang dari satu jika basisnya lebih besar dari satu dan eksponennya negatif atau basisnya kurang dari satu dan eksponennya positif.

Ada empat kasus yang perlu dipertimbangkan:

Kami akan membatasi diri pada analisis yang pertama; pembaca akan mempertimbangkan sisanya sendiri.

Misalkan dalam persamaan eksponennya tidak boleh negatif atau sama dengan nol, oleh karena itu eksponennya positif, yaitu sebagaimana harus dibuktikan.

Contoh 3. Cari tahu logaritma di bawah ini yang mana yang positif dan mana yang negatif:

Penyelesaian, a) karena bilangan 15 dan alas 12 terletak pada sisi yang sama;

b) karena 1000 dan 2 terletak pada satu sisi satuan; dalam hal ini, tidak penting bahwa basisnya lebih besar dari bilangan logaritma;

c) karena 3.1 dan 0.8 terletak pada sisi yang berlawanan dari kesatuan;

G) ; Mengapa?

D) ; Mengapa?

Sifat-sifat berikut 4-6 sering disebut aturan logaritma: sifat-sifat ini memungkinkan, dengan mengetahui logaritma suatu bilangan, untuk menemukan logaritma hasil kali, hasil bagi, dan derajat masing-masing bilangan tersebut.

Properti 4 (aturan logaritma produk). Logaritma hasil kali beberapa bilangan positif dengan basis tertentu sama dengan jumlah logaritma dari bilangan-bilangan tersebut dengan basis yang sama.

Bukti. Biarkan angka yang diberikan menjadi positif.

Untuk logaritma hasil kali mereka, kita tuliskan persamaan (26.1) yang mendefinisikan logaritma:

Dari sini kita akan menemukannya

Membandingkan eksponen ekspresi pertama dan terakhir, kita memperoleh persamaan yang diperlukan:

Perhatikan bahwa kondisi ini penting; logaritma hasil kali dua bilangan negatif masuk akal, tetapi dalam kasus ini kita mendapatkannya

Secara umum, jika hasil kali beberapa faktor positif, maka logaritmanya sama dengan jumlah logaritma nilai absolut faktor-faktor tersebut.

Sifat 5 (aturan pengambilan logaritma hasil bagi). Logaritma hasil bagi bilangan positif sama dengan selisih antara logaritma pembilang dan pembagi, jika diambil ke basis yang sama. Bukti. Kami secara konsisten menemukan

Q.E.D.

Properti 6 (aturan logaritma pangkat). Logaritma pangkat suatu bilangan positif sama dengan logaritma bilangan tersebut dikalikan eksponennya.

Bukti. Mari kita tuliskan lagi identitas utama (26.1) untuk nomor tersebut:

Q.E.D.

Konsekuensi. Logaritma akar bilangan positif sama dengan logaritma akar dibagi eksponen akar:

Validitas akibat wajar ini dapat dibuktikan dengan membayangkan bagaimana dan menggunakan properti 6.

Contoh 4. Ambil logaritma ke basis a:

a) (diasumsikan semua nilai b, c, d, e positif);

b) (diasumsikan bahwa ).

Solusi, a) Lebih mudah untuk beralih ke pangkat pecahan dalam ekspresi ini:

Berdasarkan persamaan (26.5)-(26.7), sekarang kita dapat menulis:

Kita memperhatikan bahwa operasi yang lebih sederhana dilakukan pada logaritma suatu bilangan daripada pada bilangan itu sendiri: ketika mengalikan bilangan, logaritmanya dijumlahkan, ketika membagi, dikurangi, dll.

Itulah sebabnya logaritma digunakan dalam praktik komputasi (lihat paragraf 29).

Kebalikan dari logaritma disebut potensiasi, yaitu: potensiasi adalah tindakan dimana bilangan itu sendiri ditemukan dari logaritma suatu bilangan tertentu. Pada dasarnya, potensiasi bukanlah tindakan khusus apa pun: ia bertujuan untuk menaikkan basis menjadi pangkat (sama dengan logaritma suatu bilangan). Istilah “potensiasi” dapat dianggap sinonim dengan istilah “eksponensial”.

Saat mempotensiasi, Anda harus menggunakan aturan kebalikan dari aturan logaritma: ganti jumlah logaritma dengan logaritma hasil kali, selisih logaritma dengan logaritma hasil bagi, dll. Khususnya, jika ada faktor di depannya dari tanda logaritma, maka pada saat potensiasi harus dipindahkan ke derajat eksponen di bawah tanda logaritma.

Contoh 5. Carilah N jika diketahui

Larutan. Sehubungan dengan aturan potensiasi yang baru saja disebutkan, kami akan memindahkan faktor 2/3 dan 1/3 di depan tanda logaritma di sisi kanan persamaan ini menjadi eksponen di bawah tanda logaritma ini; kita mendapatkan

Sekarang kita ganti selisih logaritma dengan logaritma hasil bagi:

untuk mendapatkan pecahan terakhir dalam rantai persamaan ini, kita membebaskan pecahan sebelumnya dari irasionalitas penyebutnya (klausul 25).

Sifat 7. Jika bilangan pokoknya lebih besar dari satu, maka bilangan yang lebih besar mempunyai logaritma yang lebih besar (dan bilangan yang lebih kecil mempunyai bilangan yang lebih kecil), jika bilangan pokoknya kurang dari satu, maka bilangan yang lebih besar mempunyai logaritma yang lebih kecil (dan bilangan yang lebih kecil seseorang memiliki yang lebih besar).

Sifat ini juga dirumuskan sebagai aturan untuk mengambil logaritma pertidaksamaan, yang kedua ruasnya positif:

Ketika logaritma pertidaksamaan dengan basis lebih besar dari satu, tanda pertidaksamaan dipertahankan, dan ketika logaritma dengan basis kurang dari satu, tanda pertidaksamaan berubah menjadi kebalikannya (lihat juga paragraf 80).

Pembuktiannya didasarkan pada sifat 5 dan 3. Perhatikan kasus ketika Jika , maka dan, dengan mengambil logaritma, kita memperoleh

(a dan N/M terletak pada sisi kesatuan yang sama). Dari sini

Kasus a berikut ini, pembaca akan mengetahuinya sendiri.