Penyelesaian sistem persamaan aljabar linier dengan metode Gaussian. Metode Gauss untuk boneka: contoh solusi

Solusi sistem persamaan linear metode Gauss. Misalkan kita perlu mencari solusi untuk sistem dari N persamaan linear dengan N variabel yang tidak diketahui
determinan matriks utamanya bukan nol.

Inti dari metode Gauss terdiri dari menghilangkan variabel yang tidak diketahui secara berurutan: pertama menghilangkan x 1 dari semua persamaan sistem, mulai dari persamaan kedua, selanjutnya dikecualikan x 2 dari semua persamaan, dimulai dari persamaan ketiga, dan seterusnya, hingga hanya variabel yang tidak diketahui yang tersisa pada persamaan terakhir xn. Proses transformasi persamaan sistem untuk menghilangkan variabel yang tidak diketahui secara berurutan disebut metode Gaussian langsung. Setelah menyelesaikan perkembangan maju metode Gaussian, dari persamaan terakhir kita temukan xn, menggunakan nilai ini dari persamaan kedua dari belakang yang kami hitung xn-1, dan seterusnya, dari persamaan pertama kita temukan x 1. Proses menghitung variabel yang tidak diketahui ketika berpindah dari persamaan terakhir sistem ke persamaan pertama disebut kebalikan dari metode Gaussian.

Mari kita jelaskan secara singkat algoritma untuk menghilangkan variabel yang tidak diketahui.

Kita akan berasumsi demikian, karena kita selalu dapat mencapainya dengan menata ulang persamaan sistem. Hilangkan variabel yang tidak diketahui x 1 dari semua persamaan sistem, dimulai dari persamaan kedua. Untuk melakukan ini, ke persamaan kedua sistem kita tambahkan persamaan pertama, dikalikan dengan , ke persamaan ketiga kita tambahkan persamaan pertama, dikalikan dengan , dan seterusnya, ke ke-n ke persamaan kita tambahkan persamaan pertama, dikalikan dengan . Sistem persamaan setelah transformasi tersebut akan berbentuk

dimana dan .

Kita akan sampai pada hasil yang sama jika kita menyatakannya x 1 melalui variabel lain yang tidak diketahui dalam persamaan pertama sistem dan ekspresi yang dihasilkan disubstitusikan ke semua persamaan lainnya. Jadi variabelnya x 1 dikecualikan dari semua persamaan, mulai dari persamaan kedua.

Selanjutnya, kita melanjutkan dengan cara yang sama, tetapi hanya dengan bagian dari sistem yang dihasilkan, yang ditandai pada gambar

Untuk melakukan ini, ke persamaan ketiga sistem kita tambahkan persamaan kedua, dikalikan dengan , ke persamaan keempat kita tambahkan persamaan kedua, dikalikan dengan , dan seterusnya, ke ke-n ke persamaan kita tambahkan persamaan kedua, dikalikan dengan . Sistem persamaan setelah transformasi tersebut akan berbentuk

dimana dan . Jadi variabelnya x 2 dikecualikan dari semua persamaan mulai dari persamaan ketiga.

Selanjutnya kita lanjutkan untuk menghilangkan yang tidak diketahui x 3, dalam hal ini kita bertindak serupa dengan bagian sistem yang ditandai pada gambar

Jadi kita lanjutkan perkembangan langsung metode Gaussian hingga sistem terbentuk

Mulai saat ini kita memulai kebalikan dari metode Gaussian: kita menghitung xn dari persamaan terakhir sebagai, menggunakan nilai yang diperoleh xn kami menemukan xn-1 dari persamaan kedua dari belakang, dan seterusnya, kita temukan x 1 dari persamaan pertama.

Contoh.

Memecahkan sistem persamaan linear metode Gauss.

Misalkan diberikan sistem persamaan aljabar linier yang perlu diselesaikan (temukan nilai xi yang tidak diketahui yang mengubah setiap persamaan sistem menjadi persamaan).

Kita tahu bahwa sistem persamaan aljabar linier dapat:

1) Tidak punya solusi (jadilah non-bersama).
2) Memiliki banyak solusi yang tak terhingga.
3) Miliki solusi tunggal.

Seperti yang kita ingat, aturan Cramer dan metode matriks tidak cocok jika sistem memiliki banyak solusi yang tak terhingga atau tidak konsisten. metode Gauss – alat paling ampuh dan serbaguna untuk menemukan solusi terhadap sistem persamaan linear apa pun, yang dalam setiap kasus akan membawa kita pada jawabannya! Algoritma metode itu sendiri dalam segala hal tiga kasus bekerja sama. Jika metode Cramer dan matriks membutuhkan pengetahuan tentang determinan, maka untuk menerapkan metode Gauss hanya diperlukan pengetahuan saja operasi aritmatika, yang membuatnya dapat diakses bahkan oleh siswa sekolah dasar.

Transformasi matriks tertambah ( ini adalah matriks sistem - matriks yang hanya terdiri dari koefisien yang tidak diketahui, ditambah kolom suku bebas) sistem persamaan aljabar linier dalam metode Gauss:

1) Dengan troki matriks Bisa mengatur kembali di beberapa tempat.

2) jika bilangan proporsional muncul (atau ada) dalam matriks (seperti kasus spesial– identik) garis, lalu mengikuti menghapus Semua baris ini berasal dari matriks kecuali satu.

3) jika baris nol muncul dalam matriks selama transformasi, maka seharusnya juga demikian menghapus.

4) suatu baris matriks dapat berupa kalikan (bagi) ke angka apa pun selain nol.

5) ke deretan matriks yang Anda bisa tambahkan string lain dikalikan dengan angka, berbeda dari nol.

Dalam metode Gauss, transformasi elementer tidak mengubah solusi sistem persamaan.

Metode Gauss terdiri dari dua tahap:

1. "Gerakan langsung" - dengan menggunakan transformasi dasar, bawa matriks yang diperluas dari sistem persamaan aljabar linier ke bentuk langkah "segitiga": elemen-elemen matriks yang diperluas yang terletak di bawah diagonal utama sama dengan nol (gerakan dari atas ke bawah). Misalnya untuk tipe ini:

Untuk melakukan ini, ayo lakukan tindakan berikut:

1) Mari kita perhatikan persamaan pertama dari sistem persamaan aljabar linier dan koefisien untuk x 1 sama dengan K. Persamaan kedua, ketiga, dan seterusnya. kita ubah persamaannya sebagai berikut: kita membagi setiap persamaan (koefisien yang tidak diketahui, termasuk suku bebas) dengan koefisien yang tidak diketahui x 1, yang ada di setiap persamaan, dan mengalikannya dengan K. Setelah itu, kita kurangi persamaan pertama dari persamaan tersebut. persamaan kedua (koefisien yang tidak diketahui dan suku bebas). Untuk x 1 pada persamaan kedua kita memperoleh koefisien 0. Dari persamaan transformasi ketiga kita kurangi persamaan pertama sampai semua persamaan kecuali persamaan pertama, untuk x 1 yang tidak diketahui, memiliki koefisien 0.

2) Mari kita lanjutkan ke persamaan berikutnya. Misalkan ini adalah persamaan kedua dan koefisien untuk x 2 sama dengan M. Kita lanjutkan dengan semua persamaan “lebih rendah” seperti yang dijelaskan di atas. Jadi, “di bawah” x 2 yang tidak diketahui akan ada nol di semua persamaan.

3) Lanjutkan ke persamaan berikutnya dan seterusnya sampai satu persamaan terakhir yang tidak diketahui dan suku bebas yang ditransformasikan tetap ada.

1. “Pergerakan terbalik” dari metode Gauss adalah memperoleh solusi terhadap sistem persamaan aljabar linier (“pergerakan “bottom-up”). Dari persamaan "bawah" terakhir kita memperoleh satu solusi pertama - x n yang tidak diketahui. Untuk melakukan ini, kita menyelesaikan persamaan dasar A * x n = B. Dalam contoh yang diberikan di atas, x 3 = 4. Kita substitusikan nilai yang ditemukan ke persamaan berikutnya yang “atas” dan selesaikan dengan persamaan berikutnya yang tidak diketahui. Misalnya, x 2 – 4 = 1, yaitu. x 2 = 5. Begitu seterusnya hingga kita menemukan semua yang belum diketahui.

Contoh.

Mari kita selesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode Gauss, seperti saran beberapa penulis:

Mari kita tuliskan matriks yang diperluas dari sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap:

Kami melihat "langkah" kiri atas. Kita harus memilikinya di sana. Soalnya kolom pertama tidak ada satuannya sama sekali, jadi menata ulang baris-barisnya tidak akan menyelesaikan apa pun. Dalam kasus seperti itu, unit tersebut harus diorganisasikan menggunakan transformasi dasar. Hal ini biasanya dapat dilakukan dengan beberapa cara. Mari kita lakukan:
1 langkah . Ke baris pertama kita tambahkan baris kedua, dikalikan –1. Artinya, secara mental kita mengalikan baris kedua dengan –1 dan menjumlahkan baris pertama dan kedua, sedangkan baris kedua tidak berubah.

Sekarang di kiri atas ada “minus satu”, yang cukup cocok untuk kita. Siapa pun yang ingin mendapatkan +1 dapat melakukannya tindakan tambahan: kalikan baris pertama dengan –1 (ubah tandanya).

Langkah 2 . Baris pertama dikalikan 5 ditambahkan ke baris kedua. Baris pertama dikalikan 3 ditambahkan ke baris ketiga.

Langkah 3 . Baris pertama dikalikan –1, prinsipnya untuk kecantikan. Tanda baris ketiga juga diubah dan dipindahkan ke posisi kedua, sehingga pada “langkah” kedua kami memiliki unit yang dibutuhkan.

Langkah 4 . Baris ketiga ditambahkan ke baris kedua, dikalikan 2.

Langkah 5 . Baris ketiga dibagi 3.

Tanda yang menunjukkan kesalahan dalam perhitungan (lebih jarang salah ketik) adalah garis bawah yang “buruk”. Artinya, jika kita mendapatkan sesuatu seperti (0 0 11 |23) di bawah, dan karenanya, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, maka dengan tingkat kemungkinan yang tinggi kita dapat mengatakan bahwa telah terjadi kesalahan pada saat dasar transformasi.

Mari kita lakukan yang sebaliknya; dalam merancang contoh, sistem itu sendiri sering kali tidak ditulis ulang, namun persamaannya “diambil langsung dari matriks yang diberikan”. Saya ingatkan Anda, langkah sebaliknya bekerja dari bawah ke atas. DI DALAM dalam contoh ini ternyata itu adalah hadiah:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, maka x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Menjawab:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Mari selesaikan sistem yang sama menggunakan algoritma yang diusulkan. Kita mendapatkan

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Bagi persamaan kedua dengan 5, dan persamaan ketiga dengan 3. Kita peroleh:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Mengalikan persamaan kedua dan ketiga dengan 4, kita mendapatkan:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Kurangi persamaan pertama dari persamaan kedua dan ketiga, kita mendapatkan:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Bagilah persamaan ketiga dengan 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Kalikan persamaan ketiga dengan 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Dengan mengurangkan persamaan kedua dari persamaan ketiga, kita memperoleh matriks yang diperluas “bertingkat”:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Jadi, karena kesalahan terakumulasi selama perhitungan, kita memperoleh x 3 = 0,96 atau sekitar 1.

x 2 = 3 dan x 1 = –1.

Dengan menyelesaikan cara ini, Anda tidak akan pernah bingung dalam perhitungan dan meskipun ada kesalahan perhitungan, Anda akan mendapatkan hasilnya.

Metode penyelesaian sistem persamaan aljabar linier ini mudah diprogram dan tidak memperhitungkan ciri-ciri khusus koefisien yang tidak diketahui, karena dalam praktiknya (dalam perhitungan ekonomi dan teknis) kita harus berurusan dengan koefisien non-bilangan bulat.

Aku harap kamu berhasil! Sampai jumpa di kelas! guru.

blog.site, apabila menyalin materi seluruhnya atau sebagian, diperlukan link ke sumber aslinya.

Hari ini kita melihat metode Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier. Anda dapat membaca tentang sistem ini di artikel sebelumnya yang ditujukan untuk menyelesaikan SLAE yang sama menggunakan metode Cramer. Metode Gauss tidak memerlukan pengetahuan khusus, yang dibutuhkan hanya perhatian dan konsistensi. Padahal dari sudut pandang matematika, penerapannya saja sudah cukup persiapan sekolah, seringkali siswa merasa kesulitan untuk menguasai metode ini. Pada artikel ini kami akan mencoba meniadakannya!

metode Gauss

M metode Gaussian– metode paling universal untuk menyelesaikan SLAE (dengan pengecualian sistem yang sangat besar). Berbeda dengan apa yang telah dibahas sebelumnya, ini cocok tidak hanya untuk sistem yang memiliki solusi tunggal, namun juga untuk sistem yang memiliki solusi himpunan tak terbatas. Ada tiga opsi yang memungkinkan di sini.

1. Sistem mempunyai solusi unik (determinan matriks utama sistem tidak sama dengan nol);
2. Sistem ini mempunyai solusi yang jumlahnya tak terhingga;
3. Tidak ada solusi, sistem tidak kompatibel.

Jadi kita punya sistem (biarkan ada satu solusi) dan kita akan menyelesaikannya menggunakan metode Gaussian. Bagaimana itu bekerja?

Metode Gauss terdiri dari dua tahap - maju dan mundur.

Pukulan langsung dari metode Gaussian

Pertama, mari kita tuliskan matriks perluasan sistem. Untuk melakukan ini, tambahkan kolom anggota bebas ke matriks utama.

Inti dari metode Gauss adalah membawa matriks ini ke bentuk bertahap (atau, seperti yang juga dikatakan, segitiga) melalui transformasi dasar. Dalam bentuk ini, hanya boleh ada angka nol di bawah (atau di atas) diagonal utama matriks.

Apa yang dapat Anda lakukan:

1. Anda dapat mengatur ulang baris-baris matriks;
2. Jika terdapat baris-baris yang sama (atau proporsional) dalam suatu matriks, Anda dapat menghapus semuanya kecuali satu;
3. Anda dapat mengalikan atau membagi string dengan angka apa pun (kecuali nol);
4. Baris kosong dihapus;
5. Anda dapat menambahkan string yang dikalikan dengan angka selain nol ke sebuah string.

Metode Gaussian Terbalik

Setelah kami mengubah sistem dengan cara ini, ada yang tidak diketahui Xn menjadi diketahui, dan Anda dapat menemukan semua sisa yang tidak diketahui dalam urutan terbalik, dengan mensubstitusikan x yang sudah diketahui ke dalam persamaan sistem, hingga persamaan pertama.

Ketika Internet selalu tersedia, Anda dapat menyelesaikan sistem persamaan menggunakan metode Gaussian on line. Anda hanya perlu memasukkan koefisien ke dalam kalkulator online. Namun harus Anda akui, jauh lebih menyenangkan menyadari bahwa contoh tersebut belum terpecahkan program komputer, tapi dengan otakmu sendiri.

Contoh penyelesaian sistem persamaan dengan metode Gauss

Dan sekarang - sebuah contoh agar semuanya menjadi jelas dan dapat dimengerti. Biarkan sistem persamaan linear diberikan, dan Anda perlu menyelesaikannya menggunakan metode Gauss:

Pertama, mari kita tulis matriks yang diperluas:

Sekarang mari kita lakukan transformasi. Kita ingat bahwa kita perlu mendapatkan tampilan matriks yang berbentuk segitiga. Mari kalikan baris pertama dengan (3). Kalikan baris ke-2 dengan (-1). Tambahkan baris ke-2 ke baris ke-1 dan dapatkan:

Kemudian kalikan baris ke-3 dengan (-1). Mari tambahkan baris ke-3 ke baris ke-2:

Mari kalikan baris pertama dengan (6). Kalikan baris ke-2 dengan (13). Mari tambahkan baris ke-2 ke baris ke-1:

Voila - sistem dibawa ke bentuk yang sesuai. Masih menemukan hal yang tidak diketahui:

Sistem dalam contoh ini memiliki solusi unik. Kami akan mempertimbangkan penyelesaian sistem dengan jumlah solusi tak terbatas dalam artikel terpisah. Mungkin pada awalnya Anda tidak tahu harus mulai dari mana untuk mengubah matriks, tetapi setelah latihan yang tepat Anda akan terbiasa dan akan memecahkan SLAE menggunakan metode Gaussian seperti orang gila. Dan jika Anda tiba-tiba menemukan SLA yang ternyata terlalu sulit untuk dipecahkan, hubungi penulis kami! Anda bisa dengan meninggalkan permintaan di Kantor Korespondensi. Bersama-sama kita akan menyelesaikan masalah apa pun!

Itu kalkulator daring menemukan solusi sistem persamaan linear (SLE) dengan menggunakan metode Gaussian. Solusi terperinci diberikan. Untuk menghitung, pilih jumlah variabel dan jumlah persamaan. Kemudian masukkan data ke dalam sel dan klik tombol "Hitung".

Representasi angka:

Jumlah tempat setelah pemisah desimal

×

Peringatan

Hapus semua sel?

Tutup Hapus

Instruksi entri data. Angka dimasukkan sebagai bilangan bulat (contoh: 487, 5, -7623, dst.), desimal (mis. 67., 102.54, dst.) atau pecahan. Pecahan tersebut harus dimasukkan dalam bentuk a/b, dimana a dan b (b>0) adalah bilangan bulat atau angka desimal. Contoh 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, dst.

metode Gauss

Metode Gauss merupakan suatu metode peralihan dari sistem persamaan linear semula (menggunakan transformasi ekuivalen) ke sistem yang lebih mudah diselesaikan dibandingkan sistem aslinya.

Transformasi ekuivalen suatu sistem persamaan linear adalah:

• menukar dua persamaan dalam sistem,
• mengalikan persamaan apa pun dalam sistem dengan bilangan real bukan nol,
• menambahkan persamaan lain ke satu persamaan dikalikan dengan bilangan sembarang.

Pertimbangkan sistem persamaan linear:

Mari kita tulis sistem (1) dalam bentuk matriks:

(3)

A- disebut matriks koefisien sistem, B− sisi kanan pembatasan, X− vektor variabel yang dapat ditemukan. Biarkan peringkat( A)=P.

Transformasi ekuivalen tidak mengubah rank matriks koefisien dan rank matriks perluasan sistem. Himpunan solusi sistem juga tidak berubah pada transformasi ekuivalen. Inti dari metode Gauss adalah mereduksi matriks koefisien A menjadi diagonal atau melangkah.

Mari kita membangun matriks sistem yang diperluas:

Pada tahap selanjutnya, kita mereset semua elemen kolom 2, di bawah elemen. Jika elemen ini nol, maka baris ini ditukar dengan baris yang terletak di bawah baris ini dan memiliki elemen bukan nol pada kolom kedua. Selanjutnya, reset semua elemen kolom 2 di bawah elemen utama A 22. Untuk melakukan ini, tambahkan baris 3, ... M dengan string 2 dikalikan dengan − A 32 /A 22 , ..., −A m2/ A 22, masing-masing. Melanjutkan prosedur, kita memperoleh matriks berbentuk diagonal atau berundak. Biarkan matriks diperluas yang dihasilkan berbentuk:

Karena rangA= berbunyi(A|b), maka himpunan solusi (7) adalah ( n−p)− variasi. Karena itu n−p yang tidak diketahui dapat dipilih secara sewenang-wenang. Sisa yang tidak diketahui dari sistem (7) dihitung sebagai berikut. Dari persamaan terakhir kami nyatakan X p melalui variabel yang tersisa dan masukkan ke dalam ekspresi sebelumnya. Selanjutnya, dari persamaan kedua dari belakang kita nyatakan X p−1 melalui variabel yang tersisa dan masukkan ke dalam ekspresi sebelumnya, dll. Mari kita lihat metode Gauss menggunakan contoh spesifik.

Contoh penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode Gauss

Contoh 1. Temukan keputusan bersama sistem persamaan linear dengan metode Gauss:

Mari kita nyatakan dengan A elemen ij Saya-baris ke-dan J kolom ke-.

A sebelas . Untuk melakukan ini, tambahkan baris 2,3 dengan baris 1, dikalikan dengan -2/3,-1/2, masing-masing:

Jenis rekaman matriks: Kapak=b, Di mana

Mari kita nyatakan dengan A elemen ij Saya-baris ke-dan J kolom ke-.

Mari kita kecualikan elemen kolom pertama matriks di bawah elemen tersebut A sebelas . Untuk melakukan ini, tambahkan baris 2,3 dengan baris 1, dikalikan dengan -1/5,-6/5, masing-masing:

Kami membagi setiap baris matriks dengan elemen utama yang sesuai (jika elemen utama ada):

Di mana X 3 , X

Mengganti ekspresi atas ke ekspresi bawah, kita memperoleh solusinya.

Maka solusi vektornya dapat direpresentasikan sebagai berikut:

Di mana X 3 , X 4 adalah bilangan real sembarang.

metode Gauss sempurna untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier (SLAE). Ini memiliki sejumlah keunggulan dibandingkan metode lain:

• pertama, tidak perlu memeriksa konsistensi sistem persamaan terlebih dahulu;
• kedua, metode Gauss tidak hanya dapat menyelesaikan SLAE yang jumlah persamaannya sama dengan jumlah variabel yang tidak diketahui dan matriks utama sistemnya non-singular, tetapi juga sistem persamaan yang jumlah persamaannya tidak sama. jumlah variabel yang tidak diketahui atau determinan matriks utama sama dengan nol;
• ketiga, metode Gaussian memberikan hasil dengan jumlah operasi komputasi yang relatif kecil.

Ikhtisar singkat artikel tersebut.

Pertama, kami memberikan definisi yang diperlukan dan memperkenalkan notasi.

Selanjutnya akan dijelaskan algoritma metode Gauss untuk kasus yang paling sederhana, yaitu untuk sistem persamaan aljabar linier, banyaknya persamaan yang berimpit dengan banyaknya variabel yang tidak diketahui dan determinan matriks utama sistem tersebut adalah tidak sama dengan nol. Saat menyelesaikan sistem persamaan seperti itu, inti dari metode Gauss terlihat paling jelas, yaitu eliminasi variabel yang tidak diketahui secara berurutan. Oleh karena itu, metode Gaussian disebut juga metode eliminasi berurutan dari hal-hal yang tidak diketahui. Kami akan menunjukkannya padamu solusi terperinci beberapa contoh.

Sebagai kesimpulan, kami akan mempertimbangkan penyelesaian sistem persamaan aljabar linier dengan metode Gauss, yang matriks utamanya berbentuk persegi panjang atau tunggal. Solusi untuk sistem tersebut memiliki beberapa fitur, yang akan kita bahas secara rinci menggunakan contoh.

Navigasi halaman.

Definisi dan notasi dasar.

Pertimbangkan sistem persamaan linear p dengan n yang tidak diketahui (p bisa sama dengan n):

Dimana merupakan variabel yang tidak diketahui, merupakan bilangan (nyata atau kompleks), dan merupakan suku bebas.

Jika , maka sistem persamaan aljabar linier disebut homogen, jika tidak - heterogen.

Himpunan nilai variabel yang tidak diketahui yang seluruh persamaan sistemnya menjadi identitas disebut keputusan SLAU.

Jika terdapat paling sedikit satu penyelesaian pada suatu sistem persamaan aljabar linier, maka disebut persendian, jika tidak - non-bersama.

Jika SLAE mempunyai solusi unik, maka SLAE disebut yakin. Jika terdapat lebih dari satu solusi, maka sistem disebut tidak pasti.

Mereka mengatakan bahwa sistem itu tertulis bentuk koordinat, jika memiliki bentuk
.

Sistem ini masuk bentuk matriks catatan memiliki bentuk di mana - matriks utama SLAE, - matriks kolom variabel yang tidak diketahui, - matriks suku bebas.

Jika kita menambahkan kolom matriks suku bebas ke matriks A sebagai kolom ke-(n+1), kita memperoleh apa yang disebut matriks diperluas sistem persamaan linear. Biasanya matriks yang diperluas dilambangkan dengan huruf T, dan kolom suku bebas dipisahkan oleh garis vertikal dari kolom yang tersisa, yaitu,

Matriks persegi A disebut merosot, jika determinannya nol. Jika , maka matriks A disebut tidak merosot.

Hal berikut perlu diperhatikan.

Jika Anda melakukan tindakan berikut dengan sistem persamaan aljabar linier

• menukar dua persamaan,
• mengalikan kedua ruas persamaan apa pun dengan bilangan real (atau kompleks) sembarang dan bukan nol k,
• ke kedua ruas persamaan apa pun tambahkan bagian-bagian yang bersesuaian dari persamaan lain, dikalikan dengan bilangan sembarang k,

maka Anda mendapatkan sistem ekuivalen yang memiliki solusi yang sama (atau, sama seperti sistem aslinya, tidak memiliki solusi).

Untuk matriks yang diperluas dari sistem persamaan aljabar linier, tindakan berikut berarti melakukan transformasi elementer dengan baris:

• bertukar dua baris,
• mengalikan semua elemen dari setiap baris matriks T dengan bilangan bukan nol k,
• menambahkan elemen-elemen dari setiap baris matriks elemen-elemen yang bersesuaian dari baris lain, dikalikan dengan bilangan sembarang k.

Sekarang kita dapat melanjutkan ke penjelasan metode Gauss.

Penyelesaian sistem persamaan aljabar linier yang jumlah persamaannya sama dengan jumlah persamaan yang tidak diketahui dan matriks utama sistemnya non-tunggal, menggunakan metode Gauss.

Apa yang akan kita lakukan di sekolah jika kita diberi tugas untuk menemukan solusi sistem persamaan? .

Beberapa orang akan melakukan itu.

Perhatikan bahwa dengan menambahkan ruas kiri persamaan pertama ke ruas kiri persamaan kedua, dan ruas kanan ke ruas kanan, Anda dapat menghilangkan variabel yang tidak diketahui x 2 dan x 3 dan segera mencari x 1:

Kami mengganti nilai yang ditemukan x 1 =1 ke dalam persamaan pertama dan ketiga sistem:

Jika kita mengalikan kedua ruas persamaan ketiga sistem dengan -1 dan menjumlahkannya ke suku-suku yang bersesuaian pada persamaan pertama, kita menghilangkan variabel yang tidak diketahui x 3 dan dapat menemukan x 2:

Kami mengganti nilai yang dihasilkan x 2 = 2 ke dalam persamaan ketiga dan menemukan sisa variabel x 3 yang tidak diketahui:

Orang lain akan melakukan hal yang berbeda.

Mari kita selesaikan persamaan pertama sistem terhadap variabel yang tidak diketahui x 1 dan substitusikan ekspresi yang dihasilkan ke persamaan kedua dan ketiga sistem untuk mengecualikan variabel ini dari persamaan tersebut:

Sekarang mari kita selesaikan persamaan kedua sistem untuk x 2 dan substitusikan hasilnya ke persamaan ketiga untuk menghilangkan variabel x 2 yang tidak diketahui dari persamaan tersebut:

Dari persamaan ketiga sistem tersebut jelas bahwa x 3 =3. Dari persamaan kedua kita temukan , dan dari persamaan pertama kita peroleh .

Solusi yang familier, bukan?

Hal yang paling menarik di sini adalah bahwa metode penyelesaian kedua pada dasarnya adalah metode eliminasi berurutan dari hal-hal yang tidak diketahui, yaitu metode Gaussian. Ketika kami menyatakan variabel yang tidak diketahui (pertama x 1, pada tahap berikutnya x 2) dan mensubstitusikannya ke dalam persamaan sistem yang tersisa, kami mengecualikannya. Kami melakukan eliminasi hingga hanya tersisa satu variabel yang tidak diketahui pada persamaan terakhir. Proses menghilangkan hal-hal yang tidak diketahui secara berurutan disebut metode Gaussian langsung. Setelah menyelesaikan langkah maju, kita mempunyai kesempatan untuk menghitung variabel yang tidak diketahui yang ditemukan pada persamaan terakhir. Dengan bantuannya, kita menemukan variabel yang tidak diketahui berikutnya dari persamaan kedua dari belakang, dan seterusnya. Proses mencari variabel yang tidak diketahui secara berurutan sambil berpindah dari persamaan terakhir ke persamaan pertama disebut kebalikan dari metode Gaussian.

Perlu dicatat bahwa ketika kita menyatakan x 1 dalam bentuk x 2 dan x 3 pada persamaan pertama, dan kemudian mengganti ekspresi yang dihasilkan ke dalam persamaan kedua dan ketiga, tindakan berikut akan menghasilkan hasil yang sama:

Memang, prosedur seperti itu juga memungkinkan untuk menghilangkan variabel yang tidak diketahui x 1 dari persamaan kedua dan ketiga sistem:

Nuansa penghapusan variabel yang tidak diketahui menggunakan metode Gaussian muncul ketika persamaan sistem tidak memuat beberapa variabel.

Misalnya saja di SLAU pada persamaan pertama tidak ada variabel yang tidak diketahui x 1 (dengan kata lain koefisien di depannya adalah nol). Oleh karena itu, kita tidak dapat menyelesaikan persamaan pertama sistem untuk x 1 untuk menghilangkan variabel yang tidak diketahui ini dari persamaan lainnya. Jalan keluar dari situasi ini adalah dengan menukar persamaan sistem. Karena kita mempertimbangkan sistem persamaan linier yang determinan matriks utamanya berbeda dari nol, selalu ada persamaan yang memiliki variabel yang kita butuhkan, dan kita dapat mengatur ulang persamaan ini ke posisi yang kita butuhkan. Sebagai contoh kita, cukup menukar persamaan pertama dan kedua dari sistem , maka Anda dapat menyelesaikan persamaan pertama untuk x 1 dan mengecualikannya dari persamaan sistem lainnya (walaupun x 1 tidak lagi ada di persamaan kedua).

Kami harap Anda memahami intinya.

Mari kita jelaskan Algoritma metode Gaussian.

Misalkan kita perlu menyelesaikan sistem n persamaan aljabar linier dengan n variabel yang bentuknya tidak diketahui , dan biarkan determinan matriks utamanya berbeda dari nol.

Kita akan berasumsi demikian, karena kita selalu dapat mencapainya dengan menata ulang persamaan sistem. Mari kita hilangkan variabel x 1 yang tidak diketahui dari semua persamaan sistem, dimulai dari persamaan kedua. Caranya, pada persamaan kedua sistem kita tambahkan persamaan pertama, dikalikan dengan , pada persamaan ketiga kita tambahkan persamaan pertama, dikalikan dengan , dan seterusnya, pada persamaan ke-n kita tambahkan persamaan pertama, dikalikan dengan . Sistem persamaan setelah transformasi tersebut akan berbentuk

dimana dan .

Kita akan mendapatkan hasil yang sama jika kita menyatakan x 1 dalam bentuk variabel lain yang tidak diketahui dalam persamaan pertama sistem dan mensubstitusikan ekspresi yang dihasilkan ke dalam semua persamaan lainnya. Jadi, variabel x 1 dikeluarkan dari semua persamaan mulai dari persamaan kedua.

Selanjutnya, kita melanjutkan dengan cara yang sama, tetapi hanya dengan bagian dari sistem yang dihasilkan, yang ditandai pada gambar

Caranya, pada persamaan ketiga sistem kita tambahkan persamaan kedua, dikalikan dengan , pada persamaan keempat kita tambahkan persamaan kedua, dikalikan dengan , dan seterusnya, pada persamaan ke-n kita tambahkan persamaan kedua, dikalikan dengan . Sistem persamaan setelah transformasi tersebut akan berbentuk

dimana dan . Jadi, variabel x 2 dikeluarkan dari semua persamaan, mulai dari persamaan ketiga.

Selanjutnya, kita melanjutkan untuk menghilangkan x 3 yang tidak diketahui, sementara kita bertindak serupa dengan bagian sistem yang ditandai pada gambar

Jadi kita lanjutkan perkembangan langsung metode Gaussian hingga sistem terbentuk

Mulai saat ini kita memulai kebalikan dari metode Gaussian: kita menghitung x n dari persamaan terakhir sebagai , dengan menggunakan nilai x n yang diperoleh, kita mencari x n-1 dari persamaan kedua dari belakang, dan seterusnya, kita mencari x 1 dari persamaan pertama .

Mari kita lihat algoritmanya menggunakan sebuah contoh.

Contoh.

metode Gauss.

Larutan.

Koefisien a 11 bukan nol, jadi mari kita lanjutkan ke perkembangan langsung metode Gaussian, yaitu mengecualikan variabel yang tidak diketahui x 1 dari semua persamaan sistem kecuali yang pertama. Caranya, pada ruas kiri dan kanan persamaan kedua, ketiga, dan keempat, tambahkan ruas kiri dan kanan persamaan pertama, masing-masing dikalikan dengan . Dan :

Variabel yang tidak diketahui x 1 telah dihilangkan, mari kita lanjutkan ke penghapusan x 2 . Ke ruas kiri dan kanan persamaan ketiga dan keempat sistem kita tambahkan ruas kiri dan kanan persamaan kedua, dikalikan masing-masing Dan :

Untuk menyelesaikan kemajuan metode Gaussian, kita perlu menghilangkan variabel yang tidak diketahui x 3 dari persamaan terakhir sistem. Mari kita jumlahkan masing-masing ruas kiri dan kanan persamaan keempat, ruas kiri dan kanan persamaan ketiga, dikalikan dengan :

Anda dapat memulai kebalikan dari metode Gaussian.

Dari persamaan terakhir yang kita miliki ,
dari persamaan ketiga kita peroleh,
dari yang kedua,
dari yang pertama.

Untuk memeriksanya, Anda dapat mengganti nilai yang diperoleh dari variabel yang tidak diketahui ke dalam sistem persamaan aslinya. Semua persamaan berubah menjadi identitas, yang menunjukkan bahwa solusi menggunakan metode Gauss telah ditemukan dengan benar.

Menjawab:

Sekarang mari kita berikan solusi untuk contoh yang sama menggunakan metode Gaussian dalam notasi matriks.

Contoh.

Temukan solusi sistem persamaan metode Gauss.

Larutan.

Matriks yang diperluas dari sistem memiliki bentuk . Di bagian atas setiap kolom terdapat variabel yang tidak diketahui yang sesuai dengan elemen matriks.

Pendekatan langsung metode Gaussian di sini melibatkan reduksi matriks yang diperluas dari sistem menjadi bentuk trapesium menggunakan transformasi dasar. Proses ini mirip dengan penghapusan variabel yang tidak diketahui yang kita lakukan dengan sistem dalam bentuk koordinat. Sekarang Anda akan melihat ini.

Mari kita transformasikan matriksnya sehingga semua elemen pada kolom pertama, mulai dari kolom kedua, menjadi nol. Untuk melakukan ini, ke elemen baris kedua, ketiga dan keempat kita tambahkan elemen baris pertama yang sesuai dikalikan dengan , dan karenanya:

Selanjutnya kita transformasikan matriks yang dihasilkan sehingga pada kolom kedua semua elemen, mulai dari kolom ketiga, menjadi nol. Ini sama dengan menghilangkan variabel yang tidak diketahui x 2 . Untuk melakukan ini, ke elemen baris ketiga dan keempat kita menambahkan elemen yang bersesuaian dari baris pertama matriks, dikalikan dengan masing-masing Dan :

Tetap mengecualikan variabel yang tidak diketahui x 3 dari persamaan terakhir sistem. Untuk melakukan ini, ke elemen baris terakhir dari matriks yang dihasilkan, kita menambahkan elemen yang bersesuaian dari baris kedua dari belakang, dikalikan dengan :

Perlu dicatat bahwa matriks ini sesuai dengan sistem persamaan linier

yang diperoleh sebelumnya setelah bergerak maju.

Saatnya untuk kembali. Dalam notasi matriks, kebalikan dari metode Gaussian melibatkan transformasi matriks yang dihasilkan sedemikian rupa sehingga matriks yang ditandai pada gambar

menjadi diagonal, yaitu mengambil bentuk

di mana beberapa angka.

Transformasi ini mirip dengan transformasi maju metode Gaussian, tetapi dilakukan bukan dari baris pertama ke baris terakhir, melainkan dari baris terakhir ke baris pertama.

Tambahkan ke elemen baris ketiga, kedua dan pertama elemen yang sesuai dari baris terakhir, dikalikan dengan , terus menerus masing-masing:

Sekarang tambahkan ke elemen baris kedua dan pertama elemen yang sesuai dari baris ketiga, masing-masing dikalikan dengan dan dengan:

Pada langkah terakhir metode Gaussian terbalik, ke elemen baris pertama kita tambahkan elemen baris kedua yang bersesuaian, dikalikan dengan:

Matriks yang dihasilkan sesuai dengan sistem persamaan , dari mana kita menemukan variabel yang tidak diketahui.

Menjawab:

CATATAN.

Saat menggunakan metode Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier, perhitungan perkiraan harus dihindari, karena hal ini dapat menyebabkan hasil yang salah sepenuhnya. Kami menyarankan untuk tidak membulatkan desimal. Lebih baik beralih dari pecahan desimal ke pecahan biasa.

Contoh.

Memecahkan sistem tiga persamaan menggunakan metode Gauss .

Larutan.

Perhatikan bahwa dalam contoh ini variabel yang tidak diketahui memiliki sebutan berbeda (bukan x 1, x 2, x 3, tetapi x, y, z). Mari beralih ke pecahan biasa:

Mari kita kecualikan x yang tidak diketahui dari persamaan kedua dan ketiga sistem:

Dalam sistem yang dihasilkan, variabel y yang tidak diketahui tidak ada di persamaan kedua, tetapi y ada di persamaan ketiga, oleh karena itu, mari kita tukar persamaan kedua dan ketiga:

Ini melengkapi perkembangan langsung metode Gauss (tidak perlu mengecualikan y dari persamaan ketiga, karena variabel yang tidak diketahui ini sudah tidak ada lagi).

Mari kita mulai langkah sebaliknya.

Dari persamaan terakhir kita temukan ,
dari yang kedua dari belakang


dari persamaan pertama yang kita miliki

Menjawab:

X = 10, y = 5, z = -20.

Penyelesaian sistem persamaan aljabar linier yang jumlah persamaannya tidak sesuai dengan jumlah persamaan yang tidak diketahui atau matriks utama sistemnya berbentuk tunggal, menggunakan metode Gauss.

Sistem persamaan, yang matriks utamanya berbentuk persegi panjang atau persegi tunggal, mungkin tidak mempunyai solusi, mungkin mempunyai solusi tunggal, atau mungkin mempunyai jumlah solusi tak terhingga.

Sekarang kita akan memahami bagaimana metode Gauss memungkinkan kita menetapkan kompatibilitas atau ketidakcocokan suatu sistem persamaan linier, dan dalam kasus kompatibilitasnya, menentukan semua solusi (atau satu solusi tunggal).

Pada prinsipnya, proses menghilangkan variabel yang tidak diketahui dalam kasus SLAE tersebut tetap sama. Namun, ada baiknya menjelaskan secara detail beberapa situasi yang mungkin timbul.

Mari kita beralih ke tahap yang paling penting.

Jadi, mari kita asumsikan bahwa sistem persamaan aljabar linier, setelah menyelesaikan perkembangan maju metode Gauss, mengambil bentuk dan tidak ada satu persamaan pun yang direduksi menjadi (dalam hal ini kita akan menyimpulkan bahwa sistem tersebut tidak kompatibel). Sebuah pertanyaan logis muncul: “Apa yang harus dilakukan selanjutnya”?

Mari kita tuliskan variabel-variabel tak dikenal yang muncul lebih dulu dalam semua persamaan sistem yang dihasilkan:

Dalam contoh kita ini adalah x 1, x 4 dan x 5. Di ruas kiri persamaan sistem kita hanya menyisakan suku-suku yang mengandung variabel yang tidak diketahui tertulis x 1, x 4 dan x 5, suku-suku yang tersisa dipindahkan ke ruas kanan persamaan yang bertanda berlawanan:

Mari kita berikan nilai arbitrer pada variabel yang tidak diketahui yang berada di sisi kanan persamaan, di mana - nomor sewenang-wenang:

Setelah ini, ruas kanan semua persamaan SLAE kita berisi angka dan kita dapat melanjutkan ke kebalikan dari metode Gaussian.

Dari persamaan terakhir sistem yang kita miliki, dari persamaan kedua dari belakang kita temukan, dari persamaan pertama yang kita dapatkan

Penyelesaian sistem persamaan adalah himpunan nilai variabel yang tidak diketahui

Pemberian Angka arti yang berbeda, kita akan memperoleh solusi berbeda untuk sistem persamaan tersebut. Artinya, sistem persamaan kita mempunyai banyak solusi yang tak terhingga.

Menjawab:

Di mana - angka sewenang-wenang.

Untuk mengkonsolidasikan materi, kami akan menganalisis secara rinci solusi dari beberapa contoh lagi.

Contoh.

Memecahkan sistem persamaan aljabar linier yang homogen metode Gauss.

Larutan.

Mari kita kecualikan variabel x yang tidak diketahui dari persamaan kedua dan ketiga sistem. Untuk melakukan ini, ke ruas kiri dan kanan persamaan kedua, kita tambahkan masing-masing ruas kiri dan kanan persamaan pertama, dikalikan dengan , dan ke ruas kiri dan kanan persamaan ketiga, kita tambahkan kiri dan ruas kanan persamaan pertama, dikalikan dengan:

Sekarang mari kita kecualikan y dari persamaan ketiga dari sistem persamaan yang dihasilkan:

SLAE yang dihasilkan setara dengan sistem .

Kita tinggalkan di sisi kiri persamaan sistem hanya suku-suku yang mengandung variabel x dan y yang tidak diketahui, dan pindahkan suku-suku dengan variabel z yang tidak diketahui ke ruas kanan: