Bagaimana cara menghilangkan logaritma. Persamaan logaritma. Cara Menyelesaikan Persamaan Logaritma

Dalam pelajaran ini kita akan meninjau fakta teoritis dasar tentang logaritma dan mempertimbangkan penyelesaian persamaan logaritma yang paling sederhana.

Mari kita mengingat kembali definisi sentral - definisi logaritma. Ini melibatkan penyelesaian persamaan eksponensial. Persamaan ini mempunyai akar tunggal, disebut logaritma dari b ke basis a:

Definisi:

Logaritma b ke basis a adalah eksponen ke basis a yang harus dipangkatkan untuk mendapatkan b.

Izinkan kami mengingatkan Anda identitas logaritmik dasar.

Ekspresi (ekspresi 1) adalah akar persamaan (ekspresi 2). Substitusikan nilai x dari ekspresi 1 alih-alih x ke dalam ekspresi 2 dan dapatkan identitas logaritma utama:

Jadi kita melihat bahwa setiap nilai dikaitkan dengan suatu nilai. Kita menyatakan b dengan x(), c dengan y, dan dengan demikian memperoleh fungsi logaritma:

Misalnya:

Mari kita mengingat kembali sifat dasar fungsi logaritma.

Mari kita perhatikan sekali lagi, di sini, karena di bawah logaritma dapat terdapat ekspresi yang sangat positif, sebagai basis logaritma.

Beras. 1. Grafik fungsi logaritma dalam basis yang berbeda

Grafik fungsi di ditampilkan dalam warna hitam. Beras. 1. Jika argumen bertambah dari nol hingga tak terhingga, maka fungsinya bertambah dari minus menjadi plus tak terhingga.

Grafik fungsi di ditunjukkan dengan warna merah. Beras. 1.

Properti dari fungsi ini:

Domain: ;

Jarak nilai: ;

Fungsinya monoton di seluruh domain definisinya. Ketika meningkat secara monoton (ketat), semakin besar nilai argumen maka semakin besar pula nilai fungsinya. Ketika menurun secara monoton (ketat), nilai argumen yang lebih besar berarti nilai fungsi yang lebih kecil.

Sifat-sifat fungsi logaritma adalah kunci untuk menyelesaikan berbagai persamaan logaritma.

Mari kita pertimbangkan persamaan logaritma paling sederhana; semua persamaan logaritma lainnya, biasanya, direduksi menjadi bentuk ini.

Karena basis logaritma dan logaritma itu sendiri adalah sama, fungsi-fungsi di bawah logaritma juga sama, tetapi kita tidak boleh melewatkan domain definisinya. Hanya bilangan positif yang dapat muncul di bawah logaritma, kita mempunyai:

Kami menemukan bahwa fungsi f dan g adalah sama, jadi cukup memilih salah satu pertidaksamaan untuk memenuhi ODZ.

Jadi kita dapat sistem campuran, yang didalamnya terdapat persamaan dan pertidaksamaan:

Sebagai aturan, tidak perlu menyelesaikan pertidaksamaan; cukup menyelesaikan persamaan dan mensubstitusikan akar-akar yang ditemukan ke dalam pertidaksamaan, sehingga melakukan pemeriksaan.

Mari kita rumuskan metode penyelesaian persamaan logaritma paling sederhana:

Menyamakan basis logaritma;

Menyamakan fungsi sublogaritma;

Lakukan pemeriksaan.

Mari kita lihat contoh spesifiknya.

Contoh 1 - selesaikan persamaan:

Basis logaritma awalnya sama, kita berhak menyamakannya ekspresi logaritma, jangan lupa tentang ODZ, mari kita pilih logaritma pertama untuk menyusun pertidaksamaan:

Contoh 2 - selesaikan persamaannya:

Persamaan ini berbeda dari persamaan sebelumnya karena basis logaritmanya kurang dari satu, tetapi hal ini tidak mempengaruhi penyelesaian sama sekali:

Mari kita cari akarnya dan substitusikan ke dalam pertidaksamaan:

Kami menerima pertidaksamaan yang salah, yang berarti akar yang ditemukan tidak memenuhi ODZ.

Contoh 3 - selesaikan persamaannya:

Basis logaritma awalnya sama, kita berhak menyamakan ekspresi sublogaritma, jangan lupa ODZ, kita pilih logaritma kedua untuk membuat pertidaksamaan:

Mari kita cari akarnya dan substitusikan ke dalam pertidaksamaan:

Jelasnya, hanya root pertama yang memenuhi ODZ.

instruksi

Tuliskan ekspresi logaritma yang diberikan. Jika ekspresi menggunakan logaritma 10, maka notasinya dipersingkat dan terlihat seperti ini: lg b adalah logaritma desimal. Jika logaritma mempunyai bilangan dasar e, maka tuliskan persamaannya: ln b – logaritma natural. Dapat dipahami bahwa hasil sembarang adalah pangkat yang harus dipangkatkan bilangan pokoknya untuk memperoleh bilangan b.

Saat mencari jumlah dua fungsi, Anda hanya perlu membedakannya satu per satu dan menjumlahkan hasilnya: (u+v)" = u"+v";

Untuk mencari turunan hasil kali dua fungsi, turunan fungsi pertama harus dikalikan dengan fungsi kedua dan dikalikan turunan fungsi kedua dengan fungsi pertama dijumlahkan: (u*v)" = u"*v +v"*kamu;

Untuk mencari turunan hasil bagi dua fungsi, perlu mengurangkan hasil kali turunan pembagi dikalikan fungsi pembagi dengan hasil kali turunan pembagi dikalikan fungsi pembagi, dan membaginya semua ini dengan fungsi pembagi kuadrat. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Jika diberikan fungsi yang kompleks, maka turunan dari perlu dikalikan fungsi dalaman dan turunan dari yang eksternal. Misalkan y=u(v(x)), maka y"(x)=y"(u)*v"(x).

Dengan menggunakan hasil yang diperoleh di atas, Anda dapat membedakan hampir semua fungsi. Jadi mari kita lihat beberapa contoh:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *X));
Ada juga masalah yang melibatkan penghitungan turunan pada suatu titik. Misalkan fungsi y=e^(x^2+6x+5) diberikan, Anda perlu mencari nilai fungsi di titik x=1.
1) Temukan turunan dari fungsi tersebut: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Hitung nilai fungsi di titik tertentu kamu"(1)=8*e^0=8

Video tentang topik tersebut

Saran yang bermanfaat

Pelajari tabel turunan dasar. Ini akan menghemat waktu secara signifikan.

Sumber:

• turunan dari suatu konstanta

Jadi, apa perbedaannya persamaan rasional dari rasional? Jika variabel yang tidak diketahui berada di bawah tanda akar pangkat dua, maka persamaan tersebut dianggap irasional.

instruksi

Metode utama untuk menyelesaikan persamaan tersebut adalah metode membangun kedua ruas persamaan menjadi persegi. Namun. hal ini wajar, hal pertama yang perlu Anda lakukan adalah menghilangkan tanda tersebut. Cara ini secara teknis tidak sulit, namun terkadang dapat menimbulkan masalah. Misalnya persamaannya adalah v(2x-5)=v(4x-7). Dengan mengkuadratkan kedua sisi diperoleh 2x-5=4x-7. Memecahkan persamaan seperti itu tidaklah sulit; x=1. Namun nomor 1 tidak akan diberikan persamaan. Mengapa? Gantikan satu ke dalam persamaan dan bukan nilai x. Dan ruas kanan dan kiri akan berisi ekspresi yang tidak masuk akal. Nilai ini tidak berlaku untuk akar kuadrat. Oleh karena itu, 1 adalah akar asing, sehingga persamaan ini tidak memiliki akar.

Jadi, persamaan irasional diselesaikan dengan menggunakan metode mengkuadratkan kedua sisinya. Dan setelah menyelesaikan persamaan tersebut, perlu untuk memotong akar-akar asing. Untuk melakukan ini, substitusikan akar-akar yang ditemukan ke dalam persamaan aslinya.

Pertimbangkan yang lain.
2х+vх-3=0
Tentu saja persamaan ini dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan yang sama seperti persamaan sebelumnya. Pindahkan Senyawa persamaan, yang tidak memiliki akar kuadrat, ke sisi kanan lalu gunakan metode kuadrat. selesaikan persamaan rasional dan akar yang dihasilkan. Tapi juga satu lagi yang lebih elegan. Masukkan variabel baru; vх=y. Oleh karena itu, Anda akan menerima persamaan dalam bentuk 2y2+y-3=0. Artinya, hal yang biasa persamaan kuadrat. Temukan akarnya; y1=1 dan y2=-3/2. Selanjutnya, selesaikan dua persamaan vх=1; vх=-3/2. Persamaan kedua tidak mempunyai akar; dari persamaan pertama kita mengetahui bahwa x=1. Jangan lupa periksa akarnya.

Memecahkan identitas cukup sederhana. Untuk itu perlu dilakukan transformasi yang identik hingga tujuan yang telah ditetapkan tercapai. Jadi, dengan bantuan yang paling sederhana operasi aritmatika tugas yang ada akan terpecahkan.

Anda akan perlu

• - kertas;
• - pena.

instruksi

Transformasi paling sederhana adalah perkalian singkat aljabar (seperti kuadrat jumlah (selisih), selisih kuadrat, jumlah (selisih), pangkat tiga jumlah (selisih)). Selain itu, ada banyak rumus trigonometri yang pada dasarnya mempunyai identitas yang sama.

Memang benar, kuadrat jumlah dua suku sama dengan kuadrat suku pertama ditambah dua kali hasil kali suku pertama dengan suku kedua dan ditambah kuadrat suku kedua, yaitu (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Sederhanakan keduanya

Prinsip umum penyelesaiannya

Metode Penggantian Variabel

Menyelesaikan integral jenis kedua

Pergantian batas integrasi

Seperti yang Anda ketahui, saat mengalikan ekspresi dengan pangkat, eksponennya selalu dijumlahkan (a b *a c = a b+c). Hukum matematika ini diturunkan oleh Archimedes, dan kemudian, pada abad ke-8, ahli matematika Virasen membuat tabel eksponen bilangan bulat. Merekalah yang berperan dalam penemuan logaritma lebih lanjut. Contoh penggunaan fungsi ini dapat ditemukan hampir di semua tempat di mana Anda perlu menyederhanakan perkalian rumit dengan penjumlahan sederhana. Jika Anda menghabiskan 10 menit membaca artikel ini, kami akan menjelaskan kepada Anda apa itu logaritma dan bagaimana cara menggunakannya. Dalam bahasa yang sederhana dan mudah diakses.

Definisi dalam matematika

Logaritma adalah ekspresi dalam bentuk berikut: log a b=c, yaitu, logaritma bilangan non-negatif (yaitu bilangan positif) “b” dengan basis “a” dianggap sebagai pangkat “c ” dimana basis “a” harus dipangkatkan untuk mendapatkan nilai “b”. Mari kita analisa logaritma menggunakan contoh, misalkan ada ekspresi log 2 8. Bagaimana cara mencari jawabannya? Ini sangat sederhana, Anda perlu mencari pangkat sedemikian rupa sehingga dari 2 hingga pangkat yang dibutuhkan Anda mendapatkan 8. Setelah melakukan beberapa perhitungan di kepala Anda, kita mendapatkan angka 3! Dan itu benar, karena 2 pangkat 3 memberikan jawaban 8.

Jenis logaritma

Bagi banyak siswa dan pelajar, topik ini tampaknya rumit dan tidak dapat dipahami, tetapi sebenarnya logaritma tidak begitu menakutkan, yang utama adalah memahami arti umum dan mengingat sifat-sifatnya serta beberapa aturannya. Ada tiga spesies individu ekspresi logaritma:

1. Logaritma natural ln a, dengan basis bilangan Euler (e = 2,7).
2. Desimal a yang basisnya 10.
3. Logaritma bilangan b apa pun dengan basis a>1.

Masing-masing diselesaikan dengan cara standar, termasuk penyederhanaan, reduksi, dan selanjutnya reduksi menjadi logaritma tunggal menggunakan teorema logaritma. Untuk mendapatkan nilai logaritma yang benar, Anda harus mengingat propertinya dan urutan tindakan saat menyelesaikannya.

Aturan dan beberapa batasan

Dalam matematika, ada beberapa aturan-batasan yang diterima sebagai aksioma, yaitu tidak perlu dibicarakan dan merupakan kebenaran. Misalnya, tidak mungkin membagi bilangan dengan nol, dan juga tidak mungkin mengekstrak akar genap angka negatif. Logaritma juga memiliki aturannya sendiri, berikut ini Anda dapat dengan mudah mempelajari cara bekerja bahkan dengan ekspresi logaritma yang panjang dan luas:

• Basis “a” harus selalu lebih besar dari nol, dan tidak sama dengan 1, jika tidak, ungkapan tersebut akan kehilangan maknanya, karena “1” dan “0” pada derajat apa pun selalu sama dengan nilainya;
• jika a > 0, maka a b >0, ternyata “c” juga harus lebih besar dari nol.

Bagaimana cara menyelesaikan logaritma?

Misalnya diberikan tugas untuk mencari jawaban persamaan 10 x = 100. Caranya sangat mudah, Anda perlu memilih suatu pangkat dengan menaikkan angka sepuluh sehingga kita mendapatkan 100. Tentu saja, ini adalah 10 2 = 100.

Sekarang mari kita nyatakan ekspresi ini dalam bentuk logaritma. Kita mendapatkan log 10 100 = 2. Saat menyelesaikan logaritma, semua tindakan secara praktis menyatu untuk mencari pangkat yang diperlukan untuk memasukkan basis logaritma untuk mendapatkan bilangan tertentu.

Untuk menentukan secara akurat nilai derajat yang tidak diketahui, Anda perlu mempelajari cara bekerja dengan tabel derajat. Ini terlihat seperti ini:

Seperti yang Anda lihat, beberapa eksponen dapat ditebak secara intuitif jika Anda memiliki pemikiran teknis dan pengetahuan tentang tabel perkalian. Namun, untuk nilai yang lebih besar, Anda memerlukan tabel pangkat. Ini dapat digunakan bahkan oleh mereka yang tidak tahu apa pun tentang kompleks topik matematika. Kolom kiri berisi angka (basis a), baris teratas bilangan adalah nilai pangkat c yang dipangkatkan bilangan a. Pada titik potongnya, sel-sel tersebut berisi nilai bilangan yang menjadi jawabannya (ac =b). Mari kita ambil, misalnya, sel pertama dengan angka 10 dan mengkuadratkannya, kita mendapatkan nilai 100, yang ditunjukkan pada perpotongan kedua sel kita. Semuanya begitu sederhana dan mudah sehingga bahkan humanis paling sejati pun akan memahaminya!

Persamaan dan pertidaksamaan

Ternyata dalam kondisi tertentu eksponennya adalah logaritma. Oleh karena itu, ekspresi numerik matematika apa pun dapat ditulis sebagai persamaan logaritma. Misalnya, 3 4 =81 dapat ditulis sebagai logaritma basis 3 dari 81 sama dengan empat (log 3 81 = 4). Untuk kekuatan negatif aturannya sama: 2 -5 = 1/32 kita tulis sebagai logaritma, kita dapatkan log 2 (1/32) = -5. Salah satu bagian matematika yang paling menarik adalah topik “logaritma”. Kita akan melihat contoh dan solusi persamaan di bawah ini, segera setelah mempelajari sifat-sifatnya. Sekarang mari kita lihat seperti apa pertidaksamaan dan bagaimana membedakannya dari persamaan.

Ekspresi berikut diberikan: log 2 (x-1) > 3 - ini adalah pertidaksamaan logaritma, karena nilai “x” yang tidak diketahui berada di bawah tanda logaritma. Dan juga dalam ekspresi dua besaran dibandingkan: logaritma bilangan yang diinginkan ke basis dua lebih besar dari bilangan tiga.

Perbedaan terpenting antara persamaan logaritma dan pertidaksamaan adalah persamaan dengan logaritma (contoh - logaritma 2 x = √9) menyiratkan satu atau lebih nilai numerik tertentu dalam jawabannya, sedangkan ketika menyelesaikan pertidaksamaan, persamaan tersebut didefinisikan sebagai suatu wilayah nilai-nilai yang dapat diterima, dan breakpoint dari fungsi ini. Konsekuensinya, jawabannya bukanlah himpunan bilangan tunggal yang sederhana, seperti pada jawaban suatu persamaan, melainkan rangkaian atau himpunan bilangan yang berkesinambungan.

Teorema dasar tentang logaritma

Saat menyelesaikan tugas primitif untuk menemukan nilai logaritma, propertinya mungkin tidak diketahui. Namun, jika menyangkut persamaan atau pertidaksamaan logaritma, pertama-tama, kita perlu memahami dengan jelas dan menerapkan semua sifat dasar logaritma dalam praktik. Kita akan melihat contoh persamaannya nanti; pertama-tama mari kita lihat masing-masing properti secara lebih rinci.

1. Identitas utama terlihat seperti ini: a logaB =B. Ini hanya berlaku jika a lebih besar dari 0, tidak sama dengan satu, dan B lebih besar dari nol.
2. Logaritma hasil kali dapat direpresentasikan dalam rumus berikut: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Dalam hal ini prasyarat adalah: d, s 1 dan s 2 > 0; a≠1. Anda dapat memberikan bukti rumus logaritma ini, beserta contoh dan solusinya. Misalkan log a s 1 = f 1 dan log a s 2 = f 2, maka a f1 = s 1, a f2 = s 2. Kita peroleh bahwa s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (sifat-sifat dari derajat ), dan kemudian menurut definisi: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, yang perlu dibuktikan.
3. Logaritma hasil bagi terlihat seperti ini: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorema dalam bentuk rumus berbentuk sebagai berikut: log a q b n = n/q log a b.

Rumus ini disebut “properti derajat logaritma”. Ini menyerupai sifat-sifat derajat biasa, dan ini tidak mengherankan, karena semua matematika didasarkan pada postulat alam. Mari kita lihat buktinya.

Misalkan log a b = t, ternyata at =b. Jika kita menaikkan kedua bagian ke pangkat m: a tn = b n ;

tetapi karena a tn = (a q) nt/q = b n, maka log a q b n = (n*t)/t, maka log a q b n = n/q log a b. Teorema tersebut telah terbukti.

Contoh masalah dan kesenjangan

Jenis soal logaritma yang paling umum adalah contoh persamaan dan pertidaksamaan. Mereka ditemukan di hampir semua buku soal, dan juga merupakan bagian wajib dalam ujian matematika. Untuk memasuki universitas atau lulus ujian masuk matematika, Anda perlu mengetahui cara menyelesaikan tugas-tugas tersebut dengan benar.

Sayangnya, tidak ada rencana atau skema tunggal untuk menyelesaikan dan menentukan nilai logaritma yang tidak diketahui, namun aturan tertentu dapat diterapkan pada setiap pertidaksamaan matematika atau persamaan logaritma. Pertama-tama, Anda harus mencari tahu apakah ekspresi tersebut dapat disederhanakan atau digiring penampilan umum. Anda dapat menyederhanakan ekspresi logaritma panjang jika Anda menggunakan propertinya dengan benar. Mari kita kenali mereka dengan cepat.

Saat menyelesaikan persamaan logaritma, kita harus menentukan jenis logaritma yang kita miliki: contoh ekspresi mungkin berisi logaritma natural atau desimal.

Berikut contoh ln100, ln1026. Solusi mereka bermuara pada fakta bahwa mereka perlu menentukan pangkat yang mana basis 10 masing-masing akan sama dengan 100 dan 1026. Untuk solusi logaritma natural perlu melamar identitas logaritma atau propertinya. Mari kita lihat contoh penyelesaian berbagai jenis masalah logaritma.

Cara Menggunakan Rumus Logaritma: Beserta Contoh dan Solusinya

Jadi, mari kita lihat contoh penggunaan teorema dasar tentang logaritma.

1. Properti logaritma suatu produk dapat digunakan dalam tugas-tugas yang perlu diperluas sangat penting bilangan b menjadi faktor yang lebih sederhana. Misalnya log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Jawabannya adalah 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - seperti yang Anda lihat, dengan menggunakan properti keempat dari pangkat logaritma, kami berhasil menyelesaikan ekspresi yang tampaknya rumit dan tidak dapat dipecahkan. Anda hanya perlu memfaktorkan basisnya lalu mengeluarkan nilai eksponennya dari tanda logaritma.

Tugas dari Ujian Negara Bersatu

Logaritma sering ditemukan di tes masuk, terutama banyak sekali soal logaritma pada UN Unified State (ujian negara untuk semua lulusan sekolah). Biasanya tugas-tugas ini hadir tidak hanya di bagian A (yang paling mudah bagian tes ujian), tetapi juga di bagian C (tugas yang paling rumit dan banyak). Ujian ini membutuhkan pengetahuan yang akurat dan sempurna tentang topik “Logaritma natural”.

Contoh dan solusi masalah diambil dari pejabat Opsi Ujian Negara Bersatu. Mari kita lihat bagaimana tugas-tugas tersebut diselesaikan.

Diketahui log 2 (2x-1) = 4. Penyelesaian:
mari kita tulis ulang ekspresinya, sederhanakan sedikit log 2 (2x-1) = 2 2, berdasarkan definisi logaritma kita mendapatkan bahwa 2x-1 = 2 4, oleh karena itu 2x = 17; x = 8,5.

• Yang terbaik adalah mereduksi semua logaritma ke basis yang sama agar penyelesaiannya tidak rumit dan membingungkan.
• Semua ekspresi di bawah tanda logaritma dinyatakan positif, oleh karena itu, jika eksponen dari ekspresi yang berada di bawah tanda logaritma dan sebagai basisnya diambil sebagai pengali, ekspresi yang tersisa di bawah logaritma harus positif.

Perkenalan

Meningkatnya beban mental dalam pembelajaran matematika membuat kita memikirkan bagaimana cara menjaga minat siswa terhadap materi yang dipelajari dan aktivitasnya sepanjang pembelajaran. Dalam hal ini, pencarian sedang dilakukan untuk metode pengajaran dan teknik metodologis baru yang efektif yang akan mengaktifkan pemikiran siswa dan merangsang mereka untuk memperoleh pengetahuan secara mandiri.

Munculnya minat terhadap matematika di antara sejumlah besar siswa sangat bergantung pada metodologi pengajarannya, pada seberapa terampil pekerjaan pendidikan akan disusun. Mengarahkan perhatian siswa secara tepat waktu terhadap apa yang dipelajari matematika. properti Umum objek dan fenomena dunia sekitarnya, tidak membahas objek, tetapi dengan konsep-konsep abstrak yang abstrak, seseorang dapat mencapai pemahaman bahwa matematika tidak melanggar hubungan dengan kenyataan, tetapi sebaliknya memungkinkan untuk mempelajarinya lebih dalam, untuk menarik kesimpulan teoretis umum yang banyak digunakan dalam praktik.

Mengikuti festival ide pedagogi “Pelajaran Terbuka” tahun ajaran 2004-2005, saya menyampaikan pembelajaran-ceramah dengan topik “Fungsi Logaritma” (diploma No. 204044). Saya menganggap metode ini yang paling berhasil dalam kasus khusus ini. Hasil belajar, siswa mempunyai gambaran rinci dan gambaran singkat tentang topik, yang akan memudahkan mereka dalam mempersiapkan pelajaran selanjutnya. Khususnya pada topik “Menyelesaikan persamaan logaritma”, yang seluruhnya didasarkan pada kajian fungsi logaritma dan sifat-sifatnya.

Ketika membentuk konsep-konsep matematika dasar, penting untuk menciptakan dalam diri siswa gagasan tentang kelayakan pengenalan masing-masing konsep tersebut dan kemungkinan penerapannya. Untuk itu, ketika merumuskan definisi suatu konsep tertentu, mengerjakan struktur logisnya, pertanyaan tentang sejarah munculnya konsep tersebut perlu dipertimbangkan. Pendekatan ini akan membantu siswa menyadari bahwa konsep baru berfungsi sebagai generalisasi dari fakta-fakta realitas.

Sejarah munculnya logaritma disajikan secara rinci pada karya tahun lalu.

Mengingat pentingnya kesinambungan dalam pengajaran matematika di lembaga pendidikan khusus menengah dan di universitas serta perlunya memenuhi persyaratan yang seragam bagi siswa, saya menganggap tepat untuk menggunakan metode berikut untuk memperkenalkan siswa pada penyelesaian persamaan logaritma.

Persamaan yang mengandung variabel di bawah tanda logaritma (khususnya, berdasarkan logaritma) disebut logaritma. Perhatikan persamaan logaritma dalam bentuk:

Solusi persamaan ini didasarkan pada teorema berikut.

Teorema 1. Persamaannya ekuivalen dengan sistem

(2)

Untuk menyelesaikan persamaan (1), cukup menyelesaikan persamaan tersebut

dan mengganti solusinya ke dalam sistem pertidaksamaan

mendefinisikan domain definisi persamaan (1).

Akar persamaan (1) hanya merupakan solusi persamaan (3) yang memenuhi sistem (4), yaitu. termasuk dalam domain definisi persamaan (1).

Saat menyelesaikan persamaan logaritma, domain definisi dapat diperluas (perolehan akar asing) atau penyempitan (kehilangan akar). Oleh karena itu, substitusikan akar-akar persamaan (3) ke dalam sistem (4), yaitu. verifikasi solusi diperlukan.

Contoh 1: Selesaikan persamaannya

Larutan:

Kedua arti tersebut X memenuhi kondisi sistem.

Menjawab:

Perhatikan persamaan bentuk:

Solusi mereka didasarkan pada teorema berikut

Teorema 2: Persamaan (5) ekuivalen dengan sistem

(6)

Akar-akar persamaan (5) hanya akan menjadi akar-akar persamaan itu

milik domain definisi yang ditentukan oleh kondisi.

Persamaan logaritma bentuk (5) dapat diselesaikan dengan berbagai cara. Mari kita lihat yang utama.

1. POTENSIASI (penerapan sifat-sifat logaritma).

Contoh 2: Selesaikan persamaannya

Larutan: Berdasarkan Teorema 2, persamaan ini ekuivalen dengan sistem:

Mari selesaikan persamaannya:

Hanya satu root yang memenuhi semua kondisi sistem. Menjawab:

2. MENGGUNAKAN DEFINISI LOGARITMA .

Contoh 3: Menemukan X, Jika

Larutan:

Arti X= 3 termasuk dalam domain definisi persamaan. Menjawab X = 3

3. REDUKSI MENJADI PERSAMAAN KUADRAT.

Contoh 4: Selesaikan persamaannya

Kedua arti tersebut X adalah akar persamaannya.

Menjawab:

4. LOGARIFTHING.

Contoh 5: Selesaikan persamaannya

Larutan: Mari kita ambil logaritma kedua ruas persamaan ke basis 10 dan terapkan properti "logaritma pangkat".

Kedua akar tersebut termasuk dalam kisaran nilai fungsi logaritma yang diizinkan.

Menjawab: X = 0,1; X = 100

5. MENGURANGI MENJADI SATU DASAR.

Contoh 6: Selesaikan persamaannya

Mari kita gunakan rumusnya dan mari kita beralih ke logaritma basis 2 dalam semua suku:

Maka persamaan ini akan berbentuk:

Karena , maka ini adalah akar persamaannya.

Menjawab: X = 16