Piramida beraturan memiliki semua rusuk lateral. Piramida. Rumus dan sifat-sifat piramida

Hipotesa: kami percaya bahwa kesempurnaan bentuk piramida disebabkan oleh hukum matematika yang melekat pada bentuknya.

Target: Setelah mempelajari piramida sebagai benda geometris, jelaskan kesempurnaan bentuknya.

Tugas:

1. Berikan definisi matematis tentang piramida.

2. Pelajari piramida sebagai benda geometris.

3. Pahami apa pengetahuan matematika orang Mesir meletakkannya di piramida mereka.

Pertanyaan pribadi:

1. Apa yang dimaksud dengan piramida sebagai benda geometris?

2. Bagaimana bentuk unik piramida dapat dijelaskan dari sudut pandang matematis?

3. Apa yang menjelaskan keajaiban geometri piramida?

4. Apa yang menjelaskan kesempurnaan bentuk limas?

Definisi piramida.

PIRAMIDA (dari bahasa Yunani pyramis, gen.pyramidos) - polihedron yang alasnya adalah poligon, dan permukaan lainnya adalah segitiga yang memiliki titik sudut yang sama (gambar). Berdasarkan jumlah sudut alasnya, limas dibedakan menjadi segitiga, segi empat, dan seterusnya.

PIRAMIDA - struktur monumental yang berbentuk geometris piramida (kadang juga berundak atau berbentuk menara). Piramida adalah nama yang diberikan untuk makam raksasa firaun Mesir kuno pada milenium ke-3-2 SM. e., serta tiang kuil Amerika kuno (di Meksiko, Guatemala, Honduras, Peru), yang terkait dengan kultus kosmologis.

Ada kemungkinan bahwa kata Yunani “piramida” berasal dari ungkapan Mesir per-em-us, yaitu dari istilah yang berarti ketinggian piramida. Ahli Mesir Kuno Rusia V. Struve percaya bahwa kata Yunani “puram...j” berasal dari kata Mesir kuno “p"-mr".

Dari sejarah. Setelah mempelajari materi dalam buku teks “Geometri” oleh penulis Atanasyan. Butuzov dan lainnya, kita mengetahui bahwa: Sebuah polihedron yang terdiri dari n-gon A1A2A3 ... An dan n segitiga PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1 disebut piramida. Poligon A1A2A3...An adalah alas limas, dan segitiga PA1A2, PA2A3,..., PAnA1 adalah sisi-sisi limas, P adalah puncak limas, ruas PA1, PA2,..., PAn adalah tepi samping.

Namun definisi piramida seperti itu tidak selalu ada. Misalnya, ahli matematika Yunani kuno, penulis risalah teoretis matematika yang sampai kepada kita, Euclid, mendefinisikan piramida sebagai bangun datar yang dibatasi oleh bidang-bidang yang menyatu dari satu bidang ke satu titik.

Namun definisi ini sudah dikritik pada zaman kuno. Maka Heron mengusulkan definisi piramida sebagai berikut: “Ini adalah bangun datar yang dibatasi oleh segitiga-segitiga yang berkumpul pada satu titik dan alasnya berupa poligon.”

Kelompok kami, setelah membandingkan definisi-definisi tersebut, sampai pada kesimpulan bahwa definisi-definisi tersebut tidak memiliki rumusan yang jelas tentang konsep “fondasi”.

Kami memeriksa definisi ini dan menemukan definisi Adrien Marie Legendre, yang pada tahun 1794 dalam karyanya “Elements of Geometry” mendefinisikan piramida sebagai berikut: “Piramida adalah bangun datar yang dibentuk oleh segitiga-segitiga yang berkumpul pada satu titik dan berakhir pada sisi yang berbeda. dasar yang rata.”

Tampaknya bagi kita definisi terakhir memberikan gambaran yang jelas tentang piramida, karena definisi tersebut menunjukkan bahwa alasnya datar. Definisi lain dari piramida muncul dalam buku teks abad ke-19: “piramida adalah sudut padat yang dipotong oleh sebuah bidang.”

Piramida sebagai benda geometris.

Itu. Piramida adalah polihedron yang salah satu mukanya (alasnya) berbentuk poligon, sisa muka (sisinya) adalah segitiga yang mempunyai satu titik sudut yang sama (titik puncak limas).

Garis tegak lurus yang ditarik dari puncak limas ke bidang alasnya disebut tinggiH piramida.

Selain piramida sembarang, ada juga piramida yang benar atas dasar itu poligon beraturan Dan piramida terpotong.

Pada gambar terdapat limas PABCD, ABCD adalah alasnya, PO adalah tingginya.

Daerah permukaan penuh piramida adalah jumlah luas semua sisinya.

Sfull = Sisi + Smain, Di mana Samping– jumlah luas sisi-sisinya.

Volume piramida ditemukan dengan rumus:

V=1/3Sbas. H, di mana Sbas. - daerah dasar, H- tinggi.

Luas sisi muka limas beraturan dinyatakan sebagai berikut: Sside. =1/2P H, dimana P adalah keliling alasnya, H- tinggi sisi muka (apotema piramida biasa). Jika limas tersebut dipotong oleh bidang A’B’C’D’ yang sejajar alasnya, maka:

1) rusuk samping dan tinggi dibagi oleh bidang ini menjadi bagian-bagian yang proporsional;

2) pada penampang diperoleh poligon A'B'C'D', mirip dengan alasnya;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

Dasar piramida terpotong– poligon sejenis ABCD dan A`B`C`D`, sisi-sisinya berbentuk trapesium.

Tinggi piramida terpotong - jarak antara alasnya.

Volume terpotong piramida ditemukan dengan rumus:

V = 1/3 H(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Luas permukaan lateral piramida terpotong beraturan dinyatakan sebagai berikut: Ssisi = ½(P+P') H, dimana P dan P’ adalah keliling alasnya, H- tinggi sisi muka (apotema piri terpotong biasa

Bagian dari piramida.

Bagian-bagian piramida menurut bidang-bidang yang melewati puncaknya adalah segitiga.

Bagian yang melalui dua sisi lateral limas yang tidak berdekatan disebut bagian diagonal.

Jika bagian tersebut melewati suatu titik pada tepi samping dan sisi alasnya, maka jejaknya ke bidang alas limas adalah sisi ini.

Suatu bagian yang melalui suatu titik yang terletak pada muka limas dan suatu bagian tertentu dijiplak pada bidang alasnya, maka konstruksinya harus dilakukan sebagai berikut:

· temukan titik potong bidang suatu permukaan tertentu dan jejak bagian piramida dan tentukan;

buatlah garis lurus yang melewatinya titik tertentu dan titik potong yang dihasilkan;

· ulangi langkah ini untuk wajah berikutnya.

, yang sesuai dengan perbandingan kaki-kaki segitiga siku-siku 4:3. Perbandingan kaki-kaki ini sesuai dengan segitiga siku-siku yang terkenal dengan sisi-sisinya 3:4:5, yang disebut segitiga “sempurna”, “suci”, atau “Mesir”. Menurut sejarawan, segitiga “Mesir” diberi makna magis. Plutarch menulis bahwa orang Mesir membandingkan sifat alam semesta dengan segitiga “suci”; mereka secara simbolis mengibaratkan kaki vertikal dengan suami, alas dengan istri, dan sisi miring dengan yang lahir dari keduanya.

Untuk segitiga 3:4:5, persamaannya benar: 32 + 42 = 52, yang menyatakan teorema Pythagoras. Bukankah teorema inilah yang ingin diabadikan oleh para pendeta Mesir dengan mendirikan piramida berdasarkan segitiga 3:4:5? Sulit untuk menemukan lebih banyak contoh yang baik untuk menggambarkan teorema Pythagoras yang telah diketahui orang Mesir jauh sebelum ditemukan oleh Pythagoras.

Oleh karena itu, pencipta piramida Mesir yang brilian berusaha memukau keturunan jauh dengan kedalaman pengetahuan mereka, dan mereka mencapainya dengan memilih yang "emas" sebagai "ide geometris utama" untuk piramida Cheops. segitiga siku-siku, dan untuk piramida Khafre - segitiga "suci" atau "Mesir".

Seringkali dalam penelitiannya, para ilmuwan menggunakan sifat-sifat piramida dengan proporsi Golden Ratio.

Dalam matematika kamus ensiklopedis Definisi Bagian Emas berikut ini diberikan - ini adalah pembagian harmonik, pembagian dalam perbandingan ekstrem dan rata-rata - membagi segmen AB menjadi dua bagian sedemikian rupa sehingga bagian AC yang lebih besar adalah rata-rata proporsional antara seluruh segmen AB dan segmennya. bagian yang lebih kecil NE.

Penentuan aljabar Bagian Emas suatu segmen AB = sebuah direduksi menjadi penyelesaian persamaan a: x = x: (a – x), dimana x kira-kira sama dengan 0,62a. Perbandingan x dapat dinyatakan dalam pecahan 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0,618, dimana 2, 3, 5, 8, 13, 21 adalah bilangan Fibonacci.

Konstruksi geometri Bagian Emas ruas AB dilakukan sebagai berikut: di titik B tegak lurus AB dipulihkan, ruas BE = 1/2 AB diletakkan di atasnya, A dan E dihubungkan, DE = BE diberhentikan dan terakhir AC = AD, maka persamaan AB terpenuhi: CB = 2:3.

Rasio emas sering digunakan dalam karya seni, arsitektur, dan ditemukan di alam. Contoh nyata adalah patung Apollo Belvedere dan Parthenon. Selama pembangunan Parthenon, rasio tinggi bangunan terhadap panjangnya digunakan dan rasio ini adalah 0,618. Benda-benda di sekitar kita juga memberikan contoh Rasio Emas, misalnya penjilidan banyak buku memiliki rasio lebar dan panjang mendekati 0,618. Mengingat susunan daun pada batang tanaman pada umumnya, Anda dapat melihat bahwa di antara setiap dua pasang daun, daun ketiga terletak pada Rasio Emas (slide). Masing-masing dari kita “membawa” Rasio Emas “di tangan kita” - ini adalah rasio ruas jari.

Berkat penemuan beberapa papirus matematika, para ahli Mesir Kuno telah mempelajari sesuatu tentang sistem perhitungan dan pengukuran Mesir kuno. Tugas-tugas yang terkandung di dalamnya diselesaikan oleh ahli-ahli Taurat. Salah satu yang paling terkenal adalah Papirus Matematika Rhind. Dengan mempelajari masalah-masalah ini, para ahli Mesir Kuno mempelajari bagaimana orang Mesir kuno menangani berbagai besaran yang muncul ketika menghitung ukuran berat, panjang, dan volume, yang sering kali melibatkan pecahan, serta cara mereka menangani sudut.

Orang Mesir kuno menggunakan metode menghitung sudut berdasarkan perbandingan tinggi dan alas segitiga siku-siku. Mereka mengekspresikan sudut mana pun dalam bahasa gradien. Gradien lereng dinyatakan sebagai rasio bilangan bulat yang disebut “seced”. Dalam Mathematics in the Age of the Pharaohs, Richard Pillins menjelaskan: “Seked sebuah piramida beraturan adalah kemiringan salah satu dari empat sisi segitiga terhadap bidang alasnya, diukur dengan jumlah ke-n unit horizontal per unit vertikal kenaikan. . Jadi, satuan pengukuran ini setara dengan kotangen sudut kemiringan modern. Oleh karena itu, kata Mesir "seced" ada hubungannya dengan kita kata modern"gradien"".

Kunci numerik piramida terletak pada rasio tinggi dan alasnya. Dalam istilah praktis, ini adalah cara termudah untuk membuat templat yang diperlukan untuk terus-menerus memeriksa sudut kemiringan yang benar di seluruh konstruksi piramida.

Ahli Mesir Kuno akan dengan senang hati meyakinkan kita bahwa setiap firaun ingin sekali mengekspresikan individualitasnya, oleh karena itu terdapat perbedaan sudut kemiringan setiap piramida. Tapi mungkin ada alasan lain. Mungkin mereka semua ingin mewujudkan asosiasi simbolik yang berbeda, tersembunyi dalam proporsi berbeda. Namun, sudut piramida Khafre (berdasarkan segitiga (3:4:5) muncul dalam tiga soal yang disajikan piramida di Papirus Matematika Rhind). Jadi sikap ini sudah dikenal baik oleh orang Mesir kuno.

Agar adil bagi para ahli Mesir Kuno yang menyatakan bahwa orang Mesir kuno tidak mengetahui segitiga 3:4:5, panjang sisi miring 5 tidak pernah disebutkan. Namun permasalahan matematika yang melibatkan piramida selalu diselesaikan berdasarkan sudut seceda - rasio tinggi dan alas. Karena panjang sisi miring tidak pernah disebutkan, disimpulkan bahwa orang Mesir tidak pernah menghitung panjang sisi ketiganya.

Rasio tinggi dan dasar yang digunakan dalam piramida Giza tidak diragukan lagi diketahui oleh orang Mesir kuno. Ada kemungkinan bahwa hubungan untuk setiap piramida ini dipilih secara sewenang-wenang. Namun, hal ini bertentangan dengan pentingnya simbolisme angka di semua jenis bahasa Mesir seni visual. Kemungkinan besar hubungan seperti itu penting karena mengungkapkan gagasan keagamaan tertentu. Dengan kata lain, seluruh kompleks Giza memiliki desain koheren yang dirancang untuk mencerminkan tema ketuhanan tertentu. Ini akan menjelaskan mengapa para desainer memilih sudut yang berbeda untuk ketiga piramida.

Dalam Misteri Orion, Bauval dan Gilbert menyajikan bukti yang meyakinkan yang menghubungkan piramida Giza dengan konstelasi Orion, khususnya dengan bintang-bintang di Sabuk Orion. Konstelasi yang sama terdapat dalam mitos Isis dan Osiris, dan ada alasan untuk melihatnya setiap piramida sebagai representasi salah satu dari tiga dewa utama - Osiris, Isis dan Horus.

KEAJAIBAN "GEOMETRIS".

Di antara piramida megah Mesir, ia menempati tempat khusus Piramida Besar Firaun Cheops (Khufu). Sebelum kita mulai menganalisis bentuk dan ukuran piramida Cheops, kita harus mengingat sistem pengukuran apa yang digunakan orang Mesir. Orang Mesir memiliki tiga satuan panjang: satu "hasta" (466 mm), yang sama dengan tujuh "telapak tangan" (66,5 mm), yang, pada gilirannya, sama dengan empat "jari" (16,6 mm).

Mari kita menganalisis dimensi piramida Cheops (Gbr. 2), mengikuti argumen yang diberikan dalam buku luar biasa ilmuwan Ukraina Nikolai Vasyutinsky “The Golden Proportion” (1990).

Kebanyakan peneliti sepakat bahwa panjang sisi alas limas, misalnya, pacar sama dengan L= 233,16 m. Nilai ini hampir sama persis dengan 500 “siku”. Kesesuaian penuh dengan 500 “siku” akan terjadi jika panjang “siku” dianggap sama dengan 0,4663 m.

Ketinggian piramida ( H) diperkirakan oleh para peneliti dengan berbagai cara mulai dari 146,6 hingga 148,2 m. Dan bergantung pada ketinggian piramida yang diterima, semua hubungan elemen geometrisnya berubah. Apa penyebab perbedaan perkiraan ketinggian piramida? Faktanya adalah, sebenarnya, piramida Cheops terpotong. Platform atasnya saat ini berukuran sekitar 10 ´ 10 m, tetapi seabad yang lalu tingginya 6 ´ 6 m. Jelas, puncak piramida telah dibongkar, dan tidak sesuai dengan aslinya.

Saat menilai ketinggian piramida, perlu memperhitungkan faktor fisik seperti “draft” struktur. Di belakang lama di bawah pengaruh tekanan yang sangat besar (mencapai 500 ton per 1 m2 permukaan bawah), ketinggian piramida menurun dibandingkan ketinggian aslinya.

Berapa tinggi asli piramida tersebut? Ketinggian ini dapat diciptakan kembali dengan menemukan "ide geometris" dasar dari piramida.

Gambar 2.

Pada tahun 1837, Kolonel Inggris G. Wise mengukur sudut kemiringan permukaan piramida: ternyata sama A= 51°51". Nilai ini masih diakui oleh sebagian besar peneliti saat ini. Nilai sudut yang ditentukan sesuai dengan garis singgung (tg A), sama dengan 1,27306. Nilai ini sesuai dengan rasio tinggi limas AC menjadi setengah basisnya C.B.(Gbr.2), yaitu AC / C.B. = H / (L / 2) = 2H / L.

Dan di sini para peneliti mendapat kejutan besar!.png" width="25" height="24">= 1,272. Bandingkan nilai ini dengan nilai tg A= 1,27306, kita melihat bahwa nilai-nilai ini sangat berdekatan satu sama lain. Jika kita mengambil sudutnya A= 51°50", yaitu, kurangi satu menit busur saja, lalu nilainya A akan menjadi sama dengan 1,272, artinya akan bertepatan dengan nilainya. Perlu dicatat bahwa pada tahun 1840 G. Wise mengulangi pengukurannya dan mengklarifikasi bahwa nilai sudut A=51°50".

Pengukuran ini mengarahkan para peneliti pada hipotesis yang sangat menarik berikut ini: segitiga ACB dari piramida Cheops didasarkan pada relasi AC / C.B. = = 1,272!

Sekarang perhatikan segitiga siku-siku ABC, di mana rasio kaki-kakinya AC / C.B.= (Gbr. 2). Jika sekarang panjang sisi-sisi persegi panjang ABC ditunjuk oleh X, kamu, z, dan juga memperhitungkan rasionya kamu/X= , maka sesuai dengan teorema Pythagoras, panjangnya z dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

Jika kita menerima X = 1, kamu= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

Gambar 3. Segitiga siku-siku "Emas".

Segitiga siku-siku yang sisi-sisinya berhubungan seperti T:emas" segitiga siku-siku.

Kemudian, jika kita mengambil dasar hipotesis bahwa “ide geometris” utama piramida Cheops adalah segitiga siku-siku “emas”, maka dari sini kita dapat dengan mudah menghitung tinggi “desain” piramida Cheops. Itu sama dengan:

T = (L/2) ´ = 148,28 m.

Sekarang mari kita turunkan beberapa hubungan lain untuk piramida Cheops, yang mengikuti hipotesis “emas”. Secara khusus, kita akan mencari perbandingan luas luar limas dengan luas alasnya. Untuk melakukan ini, kita ambil panjang kakinya C.B. per satuan, yaitu: C.B.= 1. Tapi panjang sisi alas limas pacar= 2, dan luas alasnya EFGH akan sama SEFGH = 4.

Sekarang mari kita hitung luas sisi sisi piramida Cheops SD. Karena tingginya AB segi tiga AEF sama dengan T, maka luas sisi sisinya akan sama dengan SD = T. Maka luas total keempat sisi sisi limas akan sama dengan 4 T, dan perbandingan luas luar total limas dengan luas alasnya akan sama dengan rasio emas! Itu dia - misteri geometris utama piramida Cheops!

Kelompok “keajaiban geometris” piramida Cheops mencakup sifat-sifat nyata dan tidak masuk akal dari hubungan antara berbagai dimensi dalam piramida.

Biasanya, mereka diperoleh dengan mencari “konstanta” tertentu, khususnya bilangan “pi” (bilangan Ludolfo), sama dengan 3,14159...; alasan logaritma natural"e" (bilangan Neper), sama dengan 2,71828...; angka "F", angka "bagian emas", sama dengan, misalnya, 0,618... dst.

Anda dapat menyebutkan, misalnya: 1) Properti Herodotus: (Tinggi)2 = 0,5 seni. dasar x Apotema; 2) Properti V. Harga: Tinggi: 0,5 seni. base = Akar kuadrat dari "F"; 3) Sifat M. Eist: Keliling alas: 2 Tinggi = "Pi"; dalam interpretasi berbeda - 2 sdm. dasar : Tinggi = "Pi"; 4) Properti G. Edge: Jari-jari lingkaran tertulis: 0,5 seni. dasar = "F"; 5) Properti K. Kleppisch: (Art. main.)2: 2(Art. main. x Apothem) = (Art. main. W. Apothema) = 2(Art. main. x Apothem) : ((2 art .main X Apotema) + (v. utama)2). Dll. Anda dapat menemukan banyak properti seperti itu, terutama jika Anda menghubungkan dua piramida yang berdekatan. Misalnya pada “Properti A. Arefyev” dapat disebutkan bahwa selisih volume piramida Cheops dan piramida Khafre sama dengan dua kali volume piramida Mikerin...

Banyak ketentuan yang menarik Secara khusus, konstruksi piramida menurut “rasio emas” dijelaskan dalam buku karya D. Hambidge “Simetri Dinamis dalam Arsitektur” dan M. Gick “Estetika Proporsi dalam Alam dan Seni”. Mari kita ingat bahwa “rasio emas” adalah pembagian suatu segmen sedemikian rupa sehingga bagian A berkali-kali lebih besar dari bagian B, berapa kali A lebih kecil dari keseluruhan segmen A + B. Rasio A/B sama dengan angka “F” == 1,618.. Penggunaan “rasio emas” ditunjukkan tidak hanya di masing-masing piramida, tetapi juga di seluruh kompleks piramida di Giza.

Namun, hal yang paling aneh adalah bahwa piramida Cheops yang satu dan sama “tidak dapat” menampung begitu banyak properti yang luar biasa. Mengambil properti tertentu satu per satu, itu bisa "dipasang", tetapi semuanya tidak cocok sekaligus - tidak bertepatan, saling bertentangan. Oleh karena itu, jika misalnya saat memeriksa semua sifat, awalnya kita mengambil sisi alas limas yang sama (233 m), maka tinggi limas dengan sifat berbeda juga akan berbeda. Dengan kata lain, ada “keluarga” piramida tertentu yang secara lahiriah mirip dengan Cheops, tetapi bersesuaian properti yang berbeda. Perhatikan bahwa tidak ada yang sangat ajaib dalam sifat-sifat "geometris" - banyak yang muncul secara otomatis, dari sifat-sifat gambar itu sendiri. Sebuah “keajaiban” seharusnya hanya dianggap sebagai sesuatu yang jelas-jelas mustahil bagi orang Mesir kuno. Ini, khususnya, termasuk mukjizat “kosmik”, di mana pengukuran piramida Cheops atau kompleks piramida di Giza dibandingkan dengan beberapa pengukuran astronomi dan angka “genap” ditunjukkan: satu juta kali lebih sedikit, satu miliar kali lebih sedikit, dan segera. Mari kita pertimbangkan beberapa hubungan "kosmik".

Salah satu pernyataannya adalah: “jika Anda membagi sisi alas piramida dengan panjang tahun yang tepat, Anda mendapatkan tepat 10 sepersejuta sumbu bumi.” Hitung: bagi 233 dengan 365, kita mendapatkan 0,638. Jari-jari bumi adalah 6378 km.

Pernyataan lain sebenarnya kebalikan dari pernyataan sebelumnya. F. Noetling menunjukkan bahwa jika kita menggunakan "hasta Mesir" yang ia ciptakan sendiri, maka sisi piramida akan sesuai dengan "durasi paling akurat tahun matahari, dinyatakan dalam sepersejuta hari terdekat" - 365.540. 903.777.

Pernyataan P. Smith: “Ketinggian piramida tepat sepersejuta jarak Bumi ke Matahari.” Meskipun ketinggian yang biasanya diambil adalah 146,6 m, Smith menganggapnya sebagai 148,2 m. Menurut pengukuran radar modern, sumbu semi-mayor orbit bumi adalah 149.597.870 + 1,6 km. Ini adalah jarak rata-rata Bumi ke Matahari, tetapi pada perihelion jaraknya 5.000.000 kilometer lebih kecil dibandingkan pada aphelion.

Satu pernyataan menarik terakhir:

“Bagaimana kita bisa menjelaskan bahwa massa piramida Cheops, Khafre, dan Mykerinus berhubungan satu sama lain, seperti massa planet Bumi, Venus, Mars?” Mari kita hitung. Massa ketiga piramida tersebut adalah: Khafre - 0,835; Cheops - 1.000; Mikerin - 0,0915. Rasio massa tiga planet: Venus - 0,815; Bumi - 1.000; Mars - 0,108.

Jadi, meskipun ada skeptisisme, kami mencatat keselarasan konstruksi pernyataan yang terkenal: 1) ketinggian piramida, seperti garis yang “menuju luar angkasa”, sesuai dengan jarak dari Bumi ke Matahari; 2) sisi dasar piramida, yang paling dekat “dengan substrat”, yaitu ke Bumi, bertanggung jawab atas jari-jari bumi dan sirkulasi bumi; 3) volume piramida (baca - massa) sesuai dengan rasio massa planet-planet yang paling dekat dengan Bumi. “Sandi” serupa dapat ditelusuri, misalnya, dalam bahasa lebah yang dianalisis oleh Karl von Frisch. Namun, kami tidak akan mengomentari masalah ini untuk saat ini.

BENTUK PIRAMIDA

Bentuk piramida tetrahedral yang terkenal tidak serta merta muncul. Orang Skit membuat penguburan dalam bentuk bukit – gundukan tanah. Orang Mesir membangun "bukit" dari batu - piramida. Hal ini pertama kali terjadi setelah penyatuan Mesir Hulu dan Mesir Hilir, pada abad ke-28 SM, ketika pendiri Dinasti Ketiga, Firaun Djoser (Zoser), dihadapkan pada tugas untuk memperkuat persatuan negara.

Dan di sini, menurut sejarawan, peran penting berperan dalam memperkuat pemerintah pusat" Konsep baru"pendewaan" raja. Meskipun pemakaman kerajaan lebih megah, pada prinsipnya mereka tidak berbeda dengan makam bangsawan istana, mereka memiliki struktur yang sama - mastabas. Di atas ruangan dengan sarkofagus berisi mumi, berbentuk persegi panjang bukit batu-batu kecil dituangkan, di mana kemudian ditempatkan sebuah bangunan kecil yang terbuat dari balok-balok batu besar - "mastaba" (dalam bahasa Arab - "bangku"). Di situs mastaba pendahulunya, Sanakht, Firaun Djoser mendirikan yang pertama piramida. Itu berundak dan merupakan transisi yang terlihat dari satu. bentuk arsitektur ke yang lain, dari mastaba - ke piramida.

Dengan cara ini, orang bijak dan arsitek Imhotep, yang kemudian dianggap sebagai penyihir dan diidentikkan oleh orang Yunani dengan dewa Asclepius, “mengangkat” firaun. Seolah-olah enam mastaba didirikan berturut-turut. Selain itu, piramida pertama menempati area seluas 1125 x 115 meter, dengan perkiraan ketinggian 66 meter (menurut standar Mesir - 1000 “telapak tangan”). Awalnya sang arsitek berencana membangun mastaba, namun tidak berbentuk bujur sangkar, melainkan berbentuk bujur sangkar. Nanti diperluas, tapi karena perpanjangannya dibuat lebih rendah, sepertinya ada dua langkah.

Situasi ini tidak memuaskan sang arsitek, dan di platform atas mastaba datar besar, Imhotep menempatkan tiga mastaba lagi, secara bertahap mengecil ke arah atas. Makam itu terletak di bawah piramida.

Beberapa piramida bertingkat lagi diketahui, tetapi kemudian para pembangun beralih ke membangun piramida yang lebih familiar piramida tetrahedral. Namun mengapa tidak berbentuk segitiga atau, katakanlah, segi delapan? Jawaban tidak langsung diberikan oleh fakta bahwa hampir semua piramida berorientasi sempurna sepanjang empat arah mata angin, dan karenanya memiliki empat sisi. Selain itu, piramida adalah “rumah”, cangkang ruang pemakaman berbentuk segi empat.

Tapi apa yang menentukan sudut kemiringan wajah? Dalam buku “Prinsip Proporsi”, seluruh bab dikhususkan untuk hal ini: “Apa yang bisa menentukan sudut kemiringan piramida.” Secara khusus, disebutkan bahwa “gambar yang menjadi daya tarik piramida besar Kerajaan Lama adalah segitiga dengan sudut siku-siku di puncaknya.

Di ruang angkasa ia berbentuk setengah oktahedron: sebuah piramida yang rusuk dan sisi alasnya sama besar, dan rusuk-rusuknya adalah segitiga sama sisi." Pertimbangan tertentu mengenai hal ini diberikan dalam buku Hambidge, Gick, dan lain-lain.

Apa kelebihan sudut setengah oktahedron? Menurut deskripsi para arkeolog dan sejarawan, beberapa piramida runtuh karena beratnya sendiri. Yang dibutuhkan adalah “sudut ketahanan”, sebuah sudut yang paling dapat diandalkan secara energi. Secara empiris murni, sudut ini dapat diambil dari sudut puncak tumpukan pasir kering yang hancur. Namun untuk mendapatkan data yang akurat perlu menggunakan model. Mengambil empat bola yang terpasang kuat, Anda harus meletakkan bola kelima di atasnya dan mengukur sudut kemiringannya. Namun, Anda bisa membuat kesalahan di sini, jadi perhitungan teoretis membantu: Anda harus menghubungkan bagian tengah bola dengan garis (secara mental). Alasnya berbentuk persegi dengan panjang sisi dua kali jari-jarinya. Persegi hanya akan menjadi alas limas, yang panjang rusuknya juga sama dengan dua kali jari-jarinya.

Jadi, pengepakan bola yang rapat seperti 1:4 akan menghasilkan semi-oktahedron biasa.

Namun, mengapa banyak piramida, yang tertarik pada bentuk serupa, namun tidak mempertahankannya? Piramida mungkin sudah menua. Bertentangan dengan pepatah terkenal:

“Segala sesuatu di dunia takut akan waktu, dan waktu takut pada piramida,” bangunan piramida harus menua, tidak hanya proses pelapukan eksternal yang dapat dan harus terjadi di dalamnya, tetapi juga proses “penyusutan” internal yang mungkin terjadi. menyebabkan piramida menjadi lebih rendah. Penyusutan juga dimungkinkan karena, seperti diungkapkan oleh karya D. Davidovits, orang Mesir kuno menggunakan teknologi pembuatan balok dari serpihan kapur, dengan kata lain, dari “beton”. Proses serupa inilah yang bisa menjelaskan alasan hancurnya Piramida Medum, yang terletak 50 km selatan Kairo. Umurnya 4600 tahun, ukuran alasnya 146 x 146 m, tinggi 118 m. “Mengapa bentuknya begitu rusak?” tanya V. Zamarovsky. “Referensi umum mengenai dampak destruktif waktu dan “penggunaan batu untuk bangunan lain” tidak cocok di sini.

Lagipula, sebagian besar balok-balok dan lempengan-lempengan yang menghadapnya masih tetap di tempatnya hingga hari ini, berupa reruntuhan di kakinya." Seperti yang akan kita lihat, sejumlah ketentuan bahkan membuat kita berpikir bahwa piramida Cheops yang terkenal itu juga "kerut". Di bagaimanapun, di semua gambar kuno, piramida itu runcing ...

Bentuk piramida juga bisa saja dihasilkan melalui peniruan: beberapa sampel alami, “kesempurnaan ajaib”, misalnya, beberapa kristal berbentuk segi delapan.

Kristal serupa bisa berupa kristal berlian dan emas. Sejumlah besar fitur yang “tumpang tindih” merupakan ciri khas konsep seperti Firaun, Matahari, Emas, Berlian. Di mana-mana - mulia, cemerlang (cemerlang), hebat, sempurna, dan sebagainya. Kesamaan tersebut bukan suatu kebetulan.

Kultus matahari, seperti diketahui, merupakan bagian penting dari agama Mesir Kuno. “Tidak peduli bagaimana kita menerjemahkan nama piramida terbesar,” tulis salah satu manual modern, “Langit Khufu” atau “Khufu ke Langit”, itu berarti rajanya adalah matahari.” Jika Khufu, dalam kecemerlangan kekuasaannya, membayangkan dirinya sebagai matahari kedua, maka putranya Djedef-Ra menjadi raja Mesir pertama yang menyebut dirinya “putra Ra”, yaitu putra Matahari. Matahari, di hampir semua negara, dilambangkan dengan “logam matahari”, emas. “Sebuah piringan besar berisi emas terang” - begitulah orang Mesir menyebut siang hari kita. Orang Mesir mengenal emas dengan sempurna, mereka mengetahui bentuk aslinya, dimana kristal emas dapat muncul dalam bentuk segi delapan.

“Batu matahari”—berlian—juga menarik di sini sebagai “contoh bentuk”. Nama berlian justru berasal dari dunia Arab, "almas" - yang paling keras, paling keras, tidak bisa dihancurkan. Orang Mesir kuno mengetahui berlian dan sifat-sifatnya dengan cukup baik. Menurut beberapa penulis, mereka bahkan menggunakan tabung perunggu dengan pemotong berlian untuk mengebor.

Saat ini pemasok utama berlian adalah Afrika Selatan, tapi Afrika Barat juga kaya akan berlian. Wilayah Republik Mali bahkan disebut sebagai “Tanah Berlian”. Sementara itu, di wilayah Mali-lah suku Dogon tinggal, tempat para pendukung hipotesis kunjungan paleo menaruh banyak harapan (lihat di bawah). Berlian tidak mungkin menjadi alasan kontak orang Mesir kuno dengan wilayah ini. Namun, dengan satu atau lain cara, mungkin saja dengan menyalin segi delapan dari berlian dan kristal emas, orang Mesir kuno dengan demikian mendewakan para firaun, yang "tidak bisa dihancurkan" seperti berlian dan "cemerlang" seperti emas, putra-putra Matahari, yang hanya sebanding untuk ciptaan alam yang paling menakjubkan.

Kesimpulan:

Setelah mempelajari piramida sebagai suatu benda geometris, mengenal unsur-unsur dan sifat-sifatnya, kami yakin akan keabsahan pendapat tentang keindahan bentuk piramida.

Sebagai hasil penelitian kami, kami sampai pada kesimpulan bahwa orang Mesir, setelah mengumpulkan pengetahuan matematika yang paling berharga, mewujudkannya dalam sebuah piramida. Oleh karena itu, piramida benar-benar merupakan ciptaan alam dan manusia yang paling sempurna.

BIBLIOGRAFI

"Geometri: Buku Teks. untuk kelas 7 – 9. pendidikan umum institusi\, dll. - Edisi ke-9 - M.: Pendidikan, 1999

Sejarah matematika di sekolah, M: “Prosveshchenie”, 1982.

Geometri kelas 10-11, M: “Pencerahan”, 2000

Peter Tompkins "Rahasia" piramida besar Cheops", M: "Tsentropoligraf", 2005.

Sumber daya internet

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

Konsep piramida

Definisi 1

Suatu bangun datar yang dibentuk oleh suatu poligon dan suatu titik yang tidak terletak pada bidang yang memuat poligon tersebut, dihubungkan ke semua titik sudut poligon tersebut, disebut piramida (Gbr. 1).

Poligon tempat piramida dibuat disebut alas piramida; segitiga yang dihasilkan, jika dihubungkan ke suatu titik, adalah sisi-sisi piramida, sisi-sisi segitiga adalah sisi-sisi piramida, dan titik persekutuannya. untuk semua segitiga adalah puncak piramida.

Jenis piramida

Tergantung pada jumlah sudut pada dasar limas, dapat disebut segitiga, segi empat, dan seterusnya (Gbr. 2).

Gambar 2.

Jenis piramida lainnya adalah piramida biasa.

Mari kita perkenalkan dan buktikan sifat-sifat piramida beraturan.

Teorema 1

Semua sisi sisi piramida beraturan adalah segitiga sama kaki yang sama besar satu sama lain.

Bukti.

Misalkan piramida $n-$gonal beraturan dengan titik sudut $S$ setinggi $h=SO$. Mari kita menggambar lingkaran di sekeliling alasnya (Gbr. 4).

Gambar 4.

Perhatikan segitiga $SOA$. Berdasarkan teorema Pythagoras, kita peroleh

Jelasnya, tepi samping mana pun akan ditentukan dengan cara ini. Oleh karena itu, semua sisi sisinya sama satu sama lain, yaitu semua sisi sisinya - segitiga sama kaki. Mari kita buktikan bahwa mereka setara satu sama lain. Karena alasnya adalah poligon beraturan, alas semua sisi sisinya sama besar. Oleh karena itu, semua sisi sisinya sama menurut kriteria III persamaan segitiga.

Teorema tersebut telah terbukti.

Sekarang mari kita perkenalkan definisi berikut terkait dengan konsep piramida beraturan.

Definisi 3

Apotema piramida beraturan adalah tinggi sisi sisinya.

Jelasnya, menurut Teorema Satu, semua apotema adalah sama satu sama lain.

Teorema 2

Luas permukaan lateral limas beraturan ditentukan sebagai hasil kali setengah keliling alas dan apotema.

Bukti.

Mari kita nyatakan sisi alas piramida $n-$gonal dengan $a$, dan apotema dengan $d$. Oleh karena itu, luas sisi mukanya sama dengan

Karena menurut Teorema 1, semua sisinya sama besar, maka

Teorema tersebut telah terbukti.

Jenis piramida lainnya adalah piramida terpotong.

Definisi 4

Jika sebuah bidang yang sejajar alasnya ditarik melalui limas biasa, maka bangun datar yang terbentuk antara bidang tersebut dan bidang alasnya disebut limas terpotong (Gbr. 5).

Gambar 5. Piramida terpotong

Sisi samping piramida terpotong berbentuk trapesium.

Teorema 3

Luas permukaan lateral piramida terpotong beraturan ditentukan sebagai hasil kali jumlah setengah keliling alas dan apotema.

Bukti.

Mari kita nyatakan sisi-sisi alas piramida $n-$gonal masing-masing dengan $a\ dan\ b$, dan apotemanya dengan $d$. Oleh karena itu, luas sisi mukanya sama dengan

Karena semua sisinya sama, maka

Teorema tersebut telah terbukti.

Contoh tugas

Contoh 1

Hitunglah luas permukaan lateral limas segitiga terpotong jika diperoleh dari limas beraturan yang sisi alasnya 4 dan apotema 5 dengan cara memotong bidang yang melalui garis tengah sisi-sisinya.

Larutan.

Dengan menggunakan teorema garis tengah, kita menemukan bahwa alas atas piramida terpotong sama dengan $4\cdot \frac(1)(2)=2$, dan apotemanya sama dengan $5\cdot \frac(1)(2) =2,5$.

Kemudian, berdasarkan Teorema 3, kita peroleh

Siswa menemukan konsep piramida jauh sebelum mempelajari geometri. Kesalahannya terletak pada keajaiban dunia Mesir yang terkenal. Oleh karena itu, ketika mulai mempelajari polihedron yang indah ini, sebagian besar siswa sudah membayangkannya dengan jelas. Semua atraksi yang disebutkan di atas memiliki bentuk yang benar. Apa yang terjadi piramida biasa, dan properti apa yang dimilikinya akan dibahas lebih lanjut.

Dalam kontak dengan

Definisi

Definisi piramida cukup banyak. Sejak zaman kuno, ini sudah sangat populer.

Misalnya, Euclid mendefinisikannya sebagai sosok tubuh yang terdiri dari bidang-bidang yang dimulai dari satu, bertemu pada suatu titik tertentu.

Heron memberikan formulasi yang lebih tepat. Dia bersikeras bahwa ini adalah sosok itu mempunyai alas dan bidang-bidang yang berbentuk segitiga, berkumpul pada satu titik.

Berdasarkan interpretasi modern, piramida direpresentasikan sebagai polihedron spasial yang terdiri dari k-gon dan k tertentu angka datar bentuk segitiga, memiliki satu kesamaan.

Mari kita lihat lebih detail, terdiri dari elemen apa:

• K-gon dianggap sebagai dasar dari gambar tersebut;
• Bentuk 3-gonal menonjol sebagai tepi bagian samping;
• bagian atas dari mana elemen samping berasal disebut puncak;
• semua segmen yang menghubungkan suatu titik disebut sisi;
• jika suatu garis lurus diturunkan dari titik sudut ke bidang bangun dengan sudut 90 derajat, maka bagiannya diapit oleh ruang dalam— tinggi piramida;
• di elemen lateral mana pun, sebuah garis tegak lurus, yang disebut apotema, dapat ditarik ke sisi polihedron kita.

Jumlah sisi dihitung menggunakan rumus 2*k, dimana k adalah jumlah sisi k-gon. Berapa banyak permukaan yang dimiliki polihedron seperti piramida dapat ditentukan menggunakan persamaan k+1.

Penting! Piramida bentuk yang benar disebut bangun stereometrik yang bidang alasnya berupa k-gon yang sisi-sisinya sama panjang.

Properti dasar

Piramida yang benar memiliki banyak properti, yang unik baginya. Mari kita daftarkan mereka:

1. Dasarnya adalah sosok dengan bentuk yang benar.
2. Tepi-tepi limas yang membatasi unsur-unsur sisinya mempunyai nilai numerik yang sama.
3. Unsur-unsur sisinya adalah segitiga sama kaki.
4. Alas tinggi suatu bangun terletak di tengah-tengah poligon, sekaligus merupakan titik pusat dari bidang yang tertulis dan dibatasi.
5. Semua rusuk samping dimiringkan ke bidang alas dengan sudut yang sama.
6. Semua permukaan samping memiliki sudut kemiringan yang sama terhadap alasnya.

Berkat semua properti yang terdaftar, melakukan perhitungan elemen menjadi lebih sederhana. Berdasarkan sifat-sifat di atas, kami memperhatikan dua tanda:

1. Jika poligon masuk ke dalam lingkaran, sisi-sisinya akan memiliki alas sudut yang sama.
2. Saat mendeskripsikan lingkaran di sekitar poligon, semua sisi piramida yang berasal dari titik sudut akan memiliki panjang yang sama dan sudut yang sama besar dengan alasnya.

Basisnya adalah persegi

Piramida segi empat beraturan - polihedron yang alasnya berbentuk persegi.

Ia memiliki empat sisi muka, yang bentuknya sama kaki.

Sebuah persegi digambarkan pada sebuah bidang, tetapi didasarkan pada semua sifat-sifat segi empat beraturan.

Misalnya, jika Anda ingin menghubungkan sisi persegi dengan diagonalnya, gunakan rumus berikut: diagonalnya sama dengan hasil kali sisi persegi dan akar kuadrat dua.

Itu didasarkan pada segitiga beraturan

Benar piramida segitiga– polihedron yang alasnya berupa 3-gon beraturan.

Jika alasnya adalah segitiga beraturan dan rusuk-rusuk sisinya sama dengan rusuk alasnya, maka bangun tersebut disebut tetrahedron.

Semua sisi tetrahedron adalah 3-gon sama sisi. Dalam hal ini, Anda perlu mengetahui beberapa poin dan tidak membuang waktu untuk menghitungnya:

• sudut kemiringan tulang rusuk ke alas mana pun adalah 60 derajat;
• ukuran semua permukaan bagian dalam juga 60 derajat;
• wajah apa pun dapat bertindak sebagai basis;
• , yang digambar di dalam gambar, ini adalah elemen yang sama.

Bagian dari polihedron

Di polihedron mana pun ada beberapa jenis bagian datar. Seringkali di kursus sekolah geometri bekerja dengan dua:

• aksial;
• sejajar dengan dasar.

Bagian aksial diperoleh dengan memotong polihedron dengan bidang yang melalui titik sudut, tepi samping, dan sumbu. Dalam hal ini, sumbu adalah tinggi yang ditarik dari titik sudut. Bidang potong dibatasi oleh garis perpotongan dengan semua sisinya sehingga membentuk segitiga.

Perhatian! Pada piramida beraturan, bagian aksialnya adalah segitiga sama kaki.

Jika bidang potong sejajar dengan alas, maka hasilnya adalah pilihan kedua. Dalam hal ini, kita memiliki gambar penampang yang mirip dengan alasnya.

Misalnya, jika alasnya berbentuk persegi, maka bagian yang sejajar alasnya juga akan berbentuk persegi, hanya saja ukurannya lebih kecil.

Saat menyelesaikan masalah dalam kondisi ini, mereka menggunakan tanda dan sifat kemiripan bangun-bangun, berdasarkan teorema Thales. Pertama-tama, perlu ditentukan koefisien kemiripannya.

Jika bidang digambar sejajar dengan alas dan memotong bagian atas polihedron, maka diperoleh piramida terpotong beraturan di bagian bawah. Maka alas polihedron terpotong dikatakan poligon sebangun. Dalam hal ini, sisi-sisinya adalah trapesium sama kaki. Bagian aksial juga sama kaki.

Untuk menentukan tinggi polihedron terpotong, perlu menggambar tinggi pada bagian aksial, yaitu pada trapesium.

Area permukaan

Masalah geometri utama yang harus diselesaikan dalam mata pelajaran geometri sekolah adalah mencari luas permukaan dan volume limas.

Ada dua jenis nilai luas permukaan:

• luas elemen samping;
• luas seluruh permukaan.

Dari namanya sendiri sudah jelas apa yang dimaksud. Permukaan samping hanya mencakup elemen samping. Oleh karena itu, untuk mencarinya, Anda hanya perlu menjumlahkan luas bidang lateral, yaitu luas 3-gon sama kaki. Mari kita coba menurunkan rumus luas elemen samping:

1. Luas 3-gon sama kaki adalah Str=1/2(aL), dengan a adalah sisi alasnya, L adalah apotema.
2. Banyaknya bidang lateral bergantung pada jenis k-gon di alasnya. Misalnya, piramida segi empat beraturan memiliki empat bidang lateral. Oleh karena itu, perlu dilakukan penambahan luas empat angka Ssisi=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. Persamaan tersebut disederhanakan dengan cara ini karena nilainya adalah 4a = Rosn, dimana Rosn adalah keliling alasnya. Dan persamaan 1/2*Rosn adalah setengah kelilingnya.
3. Jadi, kita simpulkan bahwa luas unsur-unsur lateral limas beraturan sama dengan hasil kali setengah keliling alas dan apotema: Ssisi = Rosn * L.

Luas seluruh permukaan limas terdiri dari jumlah luas bidang samping dan alasnya: Sp.p = Sside + Sbas.

Sedangkan untuk luas alasnya, disini digunakan rumus sesuai dengan jenis poligonnya.

Volume piramida biasa sama dengan hasil kali luas bidang alas dan tinggi dibagi tiga: V=1/3*Sbas*H, dengan H adalah tinggi polihedron.

Apa yang dimaksud dengan piramida beraturan dalam geometri

Sifat-sifat piramida segi empat beraturan

Perkenalan

Saat kami mulai mempelajari bangun-bangun stereometrik, kami menyentuh topik “Piramida”. Kami menyukai topik ini karena piramida sangat sering digunakan dalam arsitektur. Dan sejak kita profesi masa depan arsitek, terinspirasi oleh sosok ini, kami pikir dia dapat mendorong kami menuju proyek-proyek hebat.

Kekuatan struktur arsitektur adalah kualitas terpentingnya. Menghubungkan kekuatan, pertama, dengan bahan pembuatnya, dan kedua, dengan ciri-ciri solusi desain, ternyata kekuatan suatu struktur berhubungan langsung dengan bentuk geometris yang mendasarinya.

Dengan kata lain, kita berbicara tentang sosok geometris yang dapat dianggap sebagai model bentuk arsitektur yang sesuai. Ternyata bentuk geometris juga menentukan kekuatan suatu struktur arsitektur.

Sejak zaman kuno, piramida Mesir telah dianggap sebagai struktur arsitektur paling tahan lama. Seperti yang Anda ketahui, mereka berbentuk piramida segi empat beraturan.

Bentuk geometris inilah yang memberikan stabilitas terbesar karena luas alasnya yang besar. Di sisi lain, bentuk piramida memastikan bahwa massa berkurang seiring bertambahnya ketinggian di atas tanah. Kedua sifat inilah yang membuat piramida stabil, dan karenanya kuat di bawah kondisi gravitasi.

Tujuan proyek: mempelajari sesuatu yang baru tentang piramida, memperdalam pengetahuan Anda dan menemukan penerapan praktis.

Untuk mencapai tujuan ini, tugas-tugas berikut perlu diselesaikan:

· Pelajari informasi sejarah tentang piramida

· Anggaplah piramida sebagai sosok geometris

· Temukan penerapan dalam kehidupan dan arsitektur

· Temukan persamaan dan perbedaan antara piramida yang terletak di bagian yang berbeda cahaya

Bagian teoritis

Informasi sejarah

Awal mula geometri piramida diletakkan di Mesir Kuno dan Babilonia, tetapi dikembangkan secara aktif di Mesir Yunani kuno. Orang pertama yang menetapkan volume piramida adalah Democritus, dan Eudoxus dari Cnidus membuktikannya. Matematikawan Yunani kuno Euclid mensistematisasikan pengetahuan tentang piramida di Jilid XII dari “Prinsip” -nya, dan juga memperoleh definisi pertama dari piramida: sosok tubuh yang dibatasi oleh bidang-bidang yang menyatu dari satu bidang ke satu titik.

Makam firaun Mesir. Yang terbesar - piramida Cheops, Khafre dan Mikerin di El Giza - dianggap sebagai salah satu dari Tujuh Keajaiban Dunia di zaman kuno. Pembangunan piramida, di mana orang-orang Yunani dan Romawi telah melihat sebuah monumen kebanggaan raja yang belum pernah terjadi sebelumnya dan kekejaman yang membuat seluruh rakyat Mesir melakukan konstruksi yang tidak berarti, adalah tindakan pemujaan yang paling penting dan tampaknya mengekspresikan identitas mistis negara dan penguasanya. Penduduk negara tersebut mengerjakan pembangunan makam tersebut selama sebagian tahun bebas dari pekerjaan pertanian. Sejumlah teks membuktikan perhatian dan perhatian yang diberikan raja-raja itu sendiri (walaupun di kemudian hari) terhadap pembangunan makam mereka dan para pembangunnya. Diketahui juga tentang penghargaan pemujaan khusus yang diberikan kepada piramida itu sendiri.

Konsep dasar

Piramida disebut polihedron yang alasnya adalah poligon, dan sisi-sisinya yang lain adalah segitiga yang mempunyai titik sudut yang sama.

Apotema- tinggi sisi muka limas beraturan, ditarik dari puncaknya;

Wajah samping- segitiga bertemu di titik sudut;

Tulang rusuk samping- sisi umum dari sisi muka;

Puncak piramida- titik yang menghubungkan rusuk samping dan tidak terletak pada bidang alas;

Tinggi- ruas tegak lurus yang ditarik melalui puncak limas ke bidang alasnya (ujung ruas ini adalah puncak limas dan alas tegak lurus);

Bagian diagonal dari piramida- bagian piramida yang melewati bagian atas dan diagonal alasnya;

Basis- poligon yang tidak termasuk dalam titik puncak limas.

Sifat dasar piramida beraturan

Tepi lateral, sisi samping, dan apotema masing-masing sama besar.

Sudut dihedral pada alasnya sama besar.

Sudut dihedral pada rusuk-rusuk lateralnya sama besar.

Setiap titik ketinggian berjarak sama dari semua simpul alasnya.

Setiap titik ketinggian berjarak sama dari semua sisi sisinya.

Rumus dasar piramida

Luas permukaan lateral dan total piramida.

Luas permukaan lateral limas (penuh dan terpotong) adalah jumlah luas semua sisi lateralnya, luas permukaan total adalah jumlah luas semua sisinya.

Dalil: Luas permukaan lateral limas beraturan sama dengan setengah hasil kali keliling alas dan apotema limas.

P- keliling dasar;

H- apotema.

Luas permukaan lateral dan penuh piramida terpotong.

hal 1, P 2 - perimeter dasar;

H- apotema.

R- total luas permukaan piramida terpotong beraturan;

sisi S- luas permukaan lateral piramida terpotong beraturan;

S 1 + S 2- daerah dasar

Volume piramida

Membentuk volume ula digunakan untuk piramida jenis apa pun.

H- tinggi piramida.

Sudut piramida

Sudut-sudut yang dibentuk oleh sisi muka dan alas limas disebut sudut dihedral pada dasar limas.

Sudut dihedral dibentuk oleh dua garis tegak lurus.

Untuk menentukan sudut ini, Anda sering kali perlu menggunakan teorema tiga tegak lurus.

Sudut yang dibentuk oleh tepi lateral dan proyeksinya pada bidang alas disebut sudut antara tepi samping dan bidang alas.

Sudut yang dibentuk oleh dua rusuk lateral disebut sudut dihedral pada tepi lateral piramida.

Sudut yang dibentuk oleh dua rusuk lateral salah satu sisi limas disebut sudut di puncak piramida.

Bagian piramida

Permukaan piramida adalah permukaan polihedron. Masing-masing mukanya berbentuk bidang, jadi bagian piramida yang ditentukan oleh bidang potong adalah garis putus-putus, terdiri dari garis lurus individu.

Bagian diagonal

Bagian piramida oleh bidang yang melalui dua sisi lateral yang tidak terletak pada satu sisi disebut bagian diagonal piramida.

Bagian paralel

Dalil:

Jika limas dipotong oleh bidang yang sejajar dengan alasnya, maka rusuk-rusuk lateral dan tinggi limas dibagi oleh bidang tersebut menjadi bagian-bagian yang proporsional;

Bagian bidang ini berupa poligon yang mirip dengan alasnya;

Luas penampang dan alasnya berhubungan satu sama lain sebagai kuadrat jaraknya dari titik sudut.

Jenis piramida

Piramida yang benar– piramida yang alasnya berbentuk poligon beraturan, dan puncak piramida menonjol ke tengah alasnya.

Untuk piramida biasa:

1. rusuk sampingnya sama

2. sisi-sisinya sama besar

3. apotemanya sama

4. sudut dihedral pada alasnya sama besar

5. sudut dihedral pada rusuk-rusuk lateralnya sama besar

6. setiap titik ketinggian berjarak sama dari semua simpul alasnya

7. setiap titik ketinggian berjarak sama dari semua sisi sisinya

Piramida terpotong- bagian piramida yang tertutup di antara alasnya dan bidang potong yang sejajar dengan alasnya.

Alas dan bagian yang bersesuaian pada piramida terpotong disebut dasar piramida terpotong.

Garis tegak lurus yang ditarik dari suatu titik pada suatu alas ke bidang alas lainnya disebut ketinggian piramida terpotong.

Tugas

No.1. Pada limas segi empat beraturan, titik O adalah pusat alasnya, SO=8 cm, BD=30 cm. Tentukan rusuk samping SA.

Penyelesaian masalah

No.1. Dalam piramida beraturan, semua sisi dan sisinya sama.

Pertimbangkan OSB: OSB adalah persegi panjang, karena.

SB 2 =JADI 2 +OB 2

SB 2 =64+225=289

Piramida dalam arsitektur

Piramida adalah suatu bangunan monumental yang berbentuk piramida geometris beraturan biasa, yang sisi-sisinya bertemu pada satu titik. Menurut fungsinya, piramida pada zaman dahulu merupakan tempat pemakaman atau pemujaan pemujaan. Alas piramida bisa berbentuk segitiga, segi empat, atau poligon dengan jumlah simpul yang berubah-ubah, tetapi versi yang paling umum adalah alas segi empat.

Diketahui jumlah yang cukup besar piramida yang dibangun oleh budaya yang berbeda Dunia kuno terutama sebagai kuil atau monumen. Piramida besar termasuk piramida Mesir.

Di seluruh bumi Anda dapat melihat struktur arsitektur berbentuk piramida. Bangunan piramida mengingatkan kita pada zaman dahulu dan terlihat sangat indah.

Piramida Mesir monumen arsitektur terbesar Mesir Kuno, termasuk salah satu dari “Tujuh Keajaiban Dunia”, Piramida Cheops. Dari kaki sampai puncak mencapai 137,3 m, dan sebelum kehilangan puncak, tingginya 146,7 m

Gedung stasiun radio di ibu kota Slovakia yang menyerupai piramida terbalik ini dibangun pada tahun 1983. Selain perkantoran dan ruang layanan, di dalam volume terdapat ruangan yang cukup luas. ruang konser, yang memiliki salah satu organ terbesar di Slovakia.

Louvre, yang “sunyi, abadi, dan megah, seperti piramida”, telah mengalami banyak perubahan selama berabad-abad sebelum menjadi museum terbesar di dunia. Ia lahir sebagai benteng, didirikan oleh Philip Augustus pada tahun 1190, yang segera menjadi kediaman kerajaan. Pada tahun 1793 istana ini menjadi museum. Koleksi diperkaya melalui warisan atau pembelian.