Rumus konversi fungsi trigonometri. Trigonometri: cara menghitung sudut sinus ganda

Berpusat pada satu titik A.
α - sudut dinyatakan dalam radian.

Definisi
Sinus (dosa α) adalah fungsi trigonometri yang bergantung pada sudut α antara sisi miring dan kaki segitiga siku-siku, sama dengan perbandingan panjang sisi berhadapan |BC| dengan panjang sisi miring |AC|.

Kosinus (cos α) adalah fungsi trigonometri yang bergantung pada sudut α antara sisi miring dan kaki segitiga siku-siku, sama dengan perbandingan panjang kaki yang berdekatan |AB| dengan panjang sisi miring |AC|.

Notasi yang diterima

;
;
.

;
;
.

Grafik fungsi sinus y = sin x

Grafik fungsi kosinus y = cos x

Sifat sinus dan kosinus

Periodisitas

Fungsi y = dosa x dan kamu = karena x periodik dengan periode 2π.

Keseimbangan

Fungsi sinusnya ganjil. Fungsi cosinusnya genap.

Domain definisi dan nilai, ekstrem, naik, turun

Fungsi sinus dan kosinus kontinu dalam domain definisinya, yaitu untuk semua x (lihat bukti kontinuitas). Properti utamanya disajikan dalam tabel (n - integer).

Rumus dasar

Jumlah kuadrat sinus dan kosinus

Rumus sinus dan cosinus dari jumlah dan selisih

;
;

Rumus hasil kali sinus dan cosinus

Rumus jumlah dan selisih

Menyatakan sinus melalui kosinus

;
;
;
.

Menyatakan cosinus melalui sinus

;
;
;
.

Ekspresi melalui garis singgung

; .

Kapan kita punya:
; .

Pada :
; .

Tabel sinus dan cosinus, garis singgung dan kotangen

Tabel ini menunjukkan nilai sinus dan cosinus untuk nilai argumen tertentu.

Ekspresi melalui variabel kompleks

;

rumus Euler

Ekspresi melalui fungsi hiperbolik

;
;

Derivatif

; . Menurunkan rumus > > >

Turunan dari orde ke-n:
{ -∞ < x < +∞ }

Garis potong, garis potong

Fungsi terbalik

Fungsi terbalik sinus dan kosinus masing-masing adalah arcsinus dan arccosine.

Arcsinus, arcsin

Arccosine, arccos

Referensi:
DI DALAM. Bronstein, K.A. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa, “Lan”, 2009.

Pertanyaan Paling Sering Diajukan

Apakah mungkin membuat stempel pada suatu dokumen sesuai dengan contoh yang diberikan? Menjawab Iya itu mungkin. Kirimkan salinan pindaian atau foto ke alamat email kami kualitas baik, dan kami akan membuat duplikat yang diperlukan.

Jenis pembayaran apa yang Anda terima? Menjawab Anda dapat membayar dokumen tersebut setelah diterima oleh kurir, setelah memeriksa kebenaran pengisian dan kualitas pelaksanaan ijazah. Hal ini juga dapat dilakukan di kantor perusahaan pos yang menawarkan layanan pengiriman tunai.
Semua ketentuan pengiriman dan pembayaran dokumen dijelaskan di bagian “Pembayaran dan Pengiriman”. Kami juga siap mendengarkan saran Anda mengenai syarat pengiriman dan pembayaran dokumen.

Dapatkah saya yakin bahwa setelah melakukan pemesanan, Anda tidak akan kehilangan uang saya? Menjawab Kami mempunyai pengalaman yang cukup panjang dalam bidang produksi ijazah. Kami memiliki beberapa situs web yang terus diperbarui. Spesialis kami bekerja di berbagai belahan negara, menghasilkan lebih dari 10 dokumen setiap hari. Selama bertahun-tahun, dokumen kami telah membantu banyak orang memecahkan masalah ketenagakerjaan atau beralih ke pekerjaan dengan gaji lebih tinggi. Kami telah mendapatkan kepercayaan dan pengakuan di antara klien, jadi sama sekali tidak ada alasan bagi kami untuk melakukan hal ini. Selain itu, hal ini tidak mungkin dilakukan secara fisik: Anda membayar pesanan saat Anda menerimanya, tidak ada pembayaran di muka.

Bisakah saya memesan ijazah dari universitas mana pun? Menjawab Secara umum, ya. Kami telah bekerja di bidang ini selama hampir 12 tahun. Selama ini, database dokumen yang hampir lengkap yang dikeluarkan oleh hampir semua universitas di tanah air dan sekitarnya telah terbentuk. tahun yang berbeda penerbitan. Yang Anda perlukan hanyalah memilih universitas, spesialisasi, dokumen, dan mengisi formulir pemesanan.

Apa yang harus dilakukan jika Anda menemukan kesalahan ketik dan kesalahan dalam suatu dokumen? Menjawab Saat menerima dokumen dari kurir atau perusahaan pos kami, kami menyarankan Anda memeriksa semua detailnya dengan cermat. Jika ditemukan kesalahan ketik, kesalahan atau ketidakakuratan, Anda berhak untuk tidak mengambil ijazah, tetapi Anda harus menunjukkan kekurangan yang terdeteksi secara pribadi kepada kurir atau secara tertulis dengan mengirimkan surat ke surel.
DI DALAM secepat mungkin Kami akan memperbaiki dokumen dan mengirimkannya kembali ke alamat yang ditentukan. Tentu saja, pengiriman akan ditanggung oleh perusahaan kami.
Untuk menghindari kesalahpahaman seperti itu, sebelum mengisi formulir asli, kami mengirimkan email kepada pelanggan mock-up dokumen yang akan datang untuk diperiksa dan disetujui versi finalnya. Sebelum mengirimkan dokumen melalui kurir atau surat, kami juga mengambil foto dan video tambahan (termasuk dalam sinar ultraviolet) sehingga Anda memiliki gambaran yang jelas tentang apa yang akan Anda terima pada akhirnya.

Apa yang harus saya lakukan untuk memesan ijazah dari perusahaan Anda? Menjawab Untuk memesan dokumen (sertifikat, diploma, sertifikat akademik, dll.), Anda harus mengisi formulir pemesanan online di website kami atau memberikan email Anda sehingga kami dapat mengirimkan formulir aplikasi, yang perlu Anda isi dan kirimkan kembali untuk kita.
Jika Anda tidak tahu apa yang harus ditunjukkan pada kolom formulir pemesanan/kuesioner, kosongkan saja. Oleh karena itu, kami akan mengklarifikasi semua informasi yang hilang melalui telepon.

Ulasan Terbaru

Valentina:

Anda menyelamatkan putra kami dari pemecatan! Faktanya, setelah putus kuliah, anak saya bergabung dengan tentara. Dan ketika dia kembali, dia tidak ingin pulih. Bekerja tanpa ijazah. Namun baru-baru ini mereka mulai memecat semua orang yang tidak memiliki “kerak”. Itu sebabnya kami memutuskan untuk menghubungi Anda dan tidak menyesalinya! Sekarang dia bekerja dengan tenang dan tidak takut pada apapun! Terima kasih!

Pertanyaan Paling Sering Diajukan

Apakah mungkin membuat stempel pada suatu dokumen sesuai dengan contoh yang diberikan? Menjawab Iya itu mungkin. Kirimkan salinan pindaian atau foto berkualitas baik ke alamat email kami, dan kami akan membuat duplikat yang diperlukan.

Jenis pembayaran apa yang Anda terima? Menjawab Anda dapat membayar dokumen tersebut setelah diterima oleh kurir, setelah memeriksa kebenaran pengisian dan kualitas pelaksanaan ijazah. Hal ini juga dapat dilakukan di kantor perusahaan pos yang menawarkan layanan pengiriman tunai.
Semua ketentuan pengiriman dan pembayaran dokumen dijelaskan di bagian “Pembayaran dan Pengiriman”. Kami juga siap mendengarkan saran Anda mengenai syarat pengiriman dan pembayaran dokumen.

Dapatkah saya yakin bahwa setelah melakukan pemesanan, Anda tidak akan kehilangan uang saya? Menjawab Kami mempunyai pengalaman yang cukup panjang dalam bidang produksi ijazah. Kami memiliki beberapa situs web yang terus diperbarui. Spesialis kami bekerja di berbagai belahan negara, menghasilkan lebih dari 10 dokumen setiap hari. Selama bertahun-tahun, dokumen kami telah membantu banyak orang memecahkan masalah ketenagakerjaan atau beralih ke pekerjaan dengan gaji lebih tinggi. Kami telah mendapatkan kepercayaan dan pengakuan di antara klien, jadi sama sekali tidak ada alasan bagi kami untuk melakukan hal ini. Selain itu, hal ini tidak mungkin dilakukan secara fisik: Anda membayar pesanan saat Anda menerimanya, tidak ada pembayaran di muka.

Bisakah saya memesan ijazah dari universitas mana pun? Menjawab Secara umum, ya. Kami telah bekerja di bidang ini selama hampir 12 tahun. Selama ini, database dokumen yang hampir lengkap yang dikeluarkan oleh hampir semua universitas di tanah air dan untuk tahun penerbitan yang berbeda telah terbentuk. Yang Anda perlukan hanyalah memilih universitas, spesialisasi, dokumen, dan mengisi formulir pemesanan.

Apa yang harus dilakukan jika Anda menemukan kesalahan ketik dan kesalahan dalam suatu dokumen? Menjawab Saat menerima dokumen dari kurir atau perusahaan pos kami, kami menyarankan Anda memeriksa semua detailnya dengan cermat. Jika ditemukan kesalahan ketik, kesalahan atau ketidakakuratan, Anda berhak untuk tidak mengambil ijazah, tetapi Anda harus menunjukkan cacat yang terdeteksi secara pribadi kepada kurir atau secara tertulis dengan mengirimkan email.
Kami akan memperbaiki dokumen tersebut sesegera mungkin dan mengirimkannya kembali ke alamat yang ditentukan. Tentu saja, pengiriman akan ditanggung oleh perusahaan kami.
Untuk menghindari kesalahpahaman seperti itu, sebelum mengisi formulir asli, kami mengirimkan email kepada pelanggan mock-up dokumen yang akan datang untuk diperiksa dan disetujui versi finalnya. Sebelum mengirimkan dokumen melalui kurir atau surat, kami juga mengambil foto dan video tambahan (termasuk dalam sinar ultraviolet) sehingga Anda memiliki gambaran yang jelas tentang apa yang akan Anda terima pada akhirnya.

Apa yang harus saya lakukan untuk memesan ijazah dari perusahaan Anda? Menjawab Untuk memesan dokumen (sertifikat, diploma, sertifikat akademik, dll.), Anda harus mengisi formulir pemesanan online di website kami atau memberikan email Anda sehingga kami dapat mengirimkan formulir aplikasi, yang perlu Anda isi dan kirimkan kembali untuk kita.
Jika Anda tidak tahu apa yang harus ditunjukkan pada kolom formulir pemesanan/kuesioner, kosongkan saja. Oleh karena itu, kami akan mengklarifikasi semua informasi yang hilang melalui telepon.

Ulasan Terbaru

Valentina:

Anda menyelamatkan putra kami dari pemecatan! Faktanya, setelah putus kuliah, anak saya bergabung dengan tentara. Dan ketika dia kembali, dia tidak ingin pulih. Bekerja tanpa ijazah. Namun baru-baru ini mereka mulai memecat semua orang yang tidak memiliki “kerak”. Itu sebabnya kami memutuskan untuk menghubungi Anda dan tidak menyesalinya! Sekarang dia bekerja dengan tenang dan tidak takut pada apapun! Terima kasih!

Pertanyaan Paling Sering Diajukan

Apakah mungkin membuat stempel pada suatu dokumen sesuai dengan contoh yang diberikan? Menjawab Iya itu mungkin. Kirimkan salinan pindaian atau foto berkualitas baik ke alamat email kami, dan kami akan membuat duplikat yang diperlukan.

Jenis pembayaran apa yang Anda terima? Menjawab Anda dapat membayar dokumen tersebut setelah diterima oleh kurir, setelah memeriksa kebenaran pengisian dan kualitas pelaksanaan ijazah. Hal ini juga dapat dilakukan di kantor perusahaan pos yang menawarkan layanan pengiriman tunai.
Semua ketentuan pengiriman dan pembayaran dokumen dijelaskan di bagian “Pembayaran dan Pengiriman”. Kami juga siap mendengarkan saran Anda mengenai syarat pengiriman dan pembayaran dokumen.

Dapatkah saya yakin bahwa setelah melakukan pemesanan, Anda tidak akan kehilangan uang saya? Menjawab Kami mempunyai pengalaman yang cukup panjang dalam bidang produksi ijazah. Kami memiliki beberapa situs web yang terus diperbarui. Spesialis kami bekerja di berbagai belahan negara, menghasilkan lebih dari 10 dokumen setiap hari. Selama bertahun-tahun, dokumen kami telah membantu banyak orang memecahkan masalah ketenagakerjaan atau beralih ke pekerjaan dengan gaji lebih tinggi. Kami telah mendapatkan kepercayaan dan pengakuan di antara klien, jadi sama sekali tidak ada alasan bagi kami untuk melakukan hal ini. Selain itu, hal ini tidak mungkin dilakukan secara fisik: Anda membayar pesanan saat Anda menerimanya, tidak ada pembayaran di muka.

Bisakah saya memesan ijazah dari universitas mana pun? Menjawab Secara umum, ya. Kami telah bekerja di bidang ini selama hampir 12 tahun. Selama ini, database dokumen yang hampir lengkap yang dikeluarkan oleh hampir semua universitas di tanah air dan untuk tahun penerbitan yang berbeda telah terbentuk. Yang Anda perlukan hanyalah memilih universitas, spesialisasi, dokumen, dan mengisi formulir pemesanan.

Apa yang harus dilakukan jika Anda menemukan kesalahan ketik dan kesalahan dalam suatu dokumen? Menjawab Saat menerima dokumen dari kurir atau perusahaan pos kami, kami menyarankan Anda memeriksa semua detailnya dengan cermat. Jika ditemukan kesalahan ketik, kesalahan atau ketidakakuratan, Anda berhak untuk tidak mengambil ijazah, tetapi Anda harus menunjukkan cacat yang terdeteksi secara pribadi kepada kurir atau secara tertulis dengan mengirimkan email.
Kami akan memperbaiki dokumen tersebut sesegera mungkin dan mengirimkannya kembali ke alamat yang ditentukan. Tentu saja, pengiriman akan ditanggung oleh perusahaan kami.
Untuk menghindari kesalahpahaman seperti itu, sebelum mengisi formulir asli, kami mengirimkan email kepada pelanggan mock-up dokumen yang akan datang untuk diperiksa dan disetujui versi finalnya. Sebelum mengirimkan dokumen melalui kurir atau surat, kami juga mengambil foto dan video tambahan (termasuk dalam sinar ultraviolet) sehingga Anda memiliki gambaran yang jelas tentang apa yang akan Anda terima pada akhirnya.

Apa yang harus saya lakukan untuk memesan ijazah dari perusahaan Anda? Menjawab Untuk memesan dokumen (sertifikat, diploma, sertifikat akademik, dll.), Anda harus mengisi formulir pemesanan online di website kami atau memberikan email Anda sehingga kami dapat mengirimkan formulir aplikasi, yang perlu Anda isi dan kirimkan kembali untuk kita.
Jika Anda tidak tahu apa yang harus ditunjukkan pada kolom formulir pemesanan/kuesioner, kosongkan saja. Oleh karena itu, kami akan mengklarifikasi semua informasi yang hilang melalui telepon.

Ulasan Terbaru

Valentina:

Anda menyelamatkan putra kami dari pemecatan! Faktanya, setelah putus kuliah, anak saya bergabung dengan tentara. Dan ketika dia kembali, dia tidak ingin pulih. Bekerja tanpa ijazah. Namun baru-baru ini mereka mulai memecat semua orang yang tidak memiliki “kerak”. Itu sebabnya kami memutuskan untuk menghubungi Anda dan tidak menyesalinya! Sekarang dia bekerja dengan tenang dan tidak takut pada apapun! Terima kasih!

– pasti akan ada tugas trigonometri. Trigonometri sering kali tidak disukai karena harus menjejali sejumlah besar rumus sulit yang penuh dengan sinus, cosinus, garis singgung, dan kotangen. Situs tersebut pernah memberikan nasehat bagaimana cara mengingat rumus yang terlupakan, dengan menggunakan contoh rumus Euler dan Peel.

Dan dalam artikel ini kami akan mencoba menunjukkan bahwa mengetahui secara pasti hanya lima yang paling sederhana saja sudah cukup rumus trigonometri, dan dapatkan gambaran umum tentang sisanya dan simpulkan semuanya. Ini seperti DNA: molekul tidak menyimpan cetak biru lengkap makhluk hidup. Sebaliknya, ini berisi instruksi untuk merakitnya dari asam amino yang tersedia. Jadi dalam trigonometri, mengetahui beberapa prinsip-prinsip umum, kita akan mendapatkan semua rumus yang diperlukan dari sekumpulan kecil rumus yang harus diingat.

Kami akan mengandalkan rumus berikut:

Dari rumus jumlah sinus dan cosinus, mengetahui paritas fungsi kosinus dan keanehan fungsi sinus, dengan mensubstitusi -b sebagai pengganti b, kita memperoleh rumus selisih:

1. Sinus perbedaannya: dosa(a-b) = dosaAkarena(-B)+karenaAdosa(-B) = dosaAkarenaB-karenaAdosaB
2. Kosinus selisihnya: karena(a-b) = karenaAkarena(-B)-dosaAdosa(-B) = karenaAkarenaB+dosaAdosaB

Dengan memasukkan a = b ke dalam rumus yang sama, kita memperoleh rumus sinus dan kosinus sudut ganda:

1. Sinus sudut ganda: dosa2a = dosa(a+a) = dosaAkarenaA+karenaAdosaA = 2dosaAkarenaA
2. Kosinus sudut ganda: karena2a = karena(a+a) = karenaAkarenaA-dosaAdosaA = karena2a-dosa2a

Rumus untuk beberapa sudut lainnya diperoleh dengan cara yang sama:

1. Sinus sudut rangkap tiga: dosa3a = dosa(2a+a) = dosa2akarenaA+karena2adosaA = (2dosaAkarenaA)karenaA+(karena2a-dosa2a)dosaA = 2dosaAkarena2a+dosaAkarena2a-dosa 3a = 3 dosaAkarena2a-dosa 3a = 3 dosaA(1-dosa2a)-dosa 3a = 3 dosaA-4dosa 3a
2. Kosinus sudut rangkap tiga: karena3a = karena(2a+a) = karena2akarenaA-dosa2adosaA = (karena2a-dosa2a)karenaA-(2dosaAkarenaA)dosaA = karena 3 a- dosa2akarenaA-2dosa2akarenaA = karena 3a-3 dosa2akarenaA = karena 3a-3(1- karena2a)karenaA = 4karena 3a-3 karenaA

Sebelum melanjutkan, mari kita lihat satu masalah.
Diketahui: sudutnya lancip.
Temukan kosinusnya jika
Solusi yang diberikan oleh salah satu siswa:
Karena , Itu dosaA= 3,a karenaA = 4.
(Dari humor matematika)

Jadi, definisi tangen menghubungkan fungsi ini dengan sinus dan kosinus. Namun Anda bisa mendapatkan rumus yang menghubungkan garis singgung hanya dengan kosinus. Untuk memperolehnya, mari kita ambil yang utama identitas trigonometri: dosa 2 A+karena 2 A= 1 dan membaginya dengan karena 2 A. Kita mendapatkan:

Jadi solusi untuk masalah ini adalah:

(Karena sudutnya lancip, maka saat mengekstraksi akarnya, diambil tanda +)

Rumus tangen suatu penjumlahan adalah rumus lain yang sulit diingat. Mari kita output seperti ini:

Segera ditampilkan dan

Dari rumus kosinus sudut ganda, Anda bisa mendapatkan rumus sinus dan kosinus setengah sudut. Untuk melakukan ini, terapkan rumus kosinus sudut ganda di sisi kiri:
karena2 A = karena 2 A-dosa 2 A
kami menambahkan satu, dan di sebelah kanan - satuan trigonometri, mis. jumlah kuadrat sinus dan cosinus.
karena2a+1 = karena2a-dosa2a+karena2a+dosa2a
2karena 2 A = karena2 A+1
Mengekspresikan karenaA melalui karena2 A dan melakukan perubahan variabel, kita mendapatkan:

Tandanya diambil tergantung kuadrannya.

Demikian pula, dengan mengurangkan satu dari ruas kiri persamaan dan jumlah kuadrat sinus dan cosinus dari ruas kanan, kita memperoleh:
karena2a-1 = karena2a-dosa2a-karena2a-dosa2a
2dosa 2 A = 1-karena2 A

Dan terakhir, untuk mengkonversi jumlahnya fungsi trigonometri dalam pekerjaan, kami menggunakan teknik berikut. Katakanlah kita perlu merepresentasikan jumlah sinus sebagai sebuah hasil kali dosaA+dosaB. Mari kita perkenalkan variabel x dan y sehingga a = x+y, b+x-y. Kemudian
dosaA+dosaB = dosa(x+y)+ dosa(x-y) = dosa X karena kamu+ karena X dosa kamu+ dosa X karena kamu- karena X dosa kamu=2 dosa X karena kamu. Sekarang mari kita nyatakan x dan y dalam bentuk a dan b.

Karena a = x+y, b = x-y, maka . Itu sebabnya

Anda dapat segera menariknya

1. Rumus untuk mempartisi hasil kali sinus dan kosinus V jumlah: dosaAkarenaB = 0.5(dosa(a+b)+dosa(a-b))

Kami menyarankan Anda berlatih dan mendapatkan rumus sendiri untuk mengubah selisih sinus dan jumlah serta selisih cosinus menjadi hasil kali, serta untuk membagi hasil kali sinus dan cosinus menjadi jumlah. Setelah menyelesaikan latihan ini, Anda akan benar-benar menguasai keterampilan menurunkan rumus trigonometri dan tidak akan tersesat bahkan dalam ujian, olimpiade, atau ujian yang paling sulit sekalipun.