Berapakah permukaan lateral prisma lurus? Seperti apa bentuk prisma persegi panjang?

Prisma yang berbeda berbeda satu sama lain. Di saat yang sama, mereka memiliki banyak kesamaan. Untuk mencari luas alas prisma, Anda perlu memahami jenisnya.

Teori umum

Prisma adalah polihedron apa pun yang sisi-sisinya berbentuk jajar genjang. Selain itu, alasnya dapat berupa polihedron apa saja - dari segitiga hingga n-gon. Selain itu, alas prisma selalu sama besar satu sama lain. Apa yang tidak berlaku pada permukaan samping adalah ukurannya dapat sangat bervariasi.

Saat menyelesaikan soal, tidak hanya luas alas prisma saja yang ditemui. Ini mungkin memerlukan pengetahuan tentang permukaan lateral, yaitu semua permukaan yang bukan alas. Permukaan lengkapnya akan menjadi gabungan semua permukaan yang membentuk prisma.

Terkadang masalah melibatkan ketinggian. Itu tegak lurus dengan alasnya. Diagonal polihedron adalah segmen yang menghubungkan secara berpasangan dua simpul yang tidak memiliki sisi yang sama.

Perlu dicatat bahwa luas alas prisma lurus atau miring tidak bergantung pada sudut antara prisma dan sisi-sisinya. Jika kedua bangun tersebut sama pada sisi atas dan bawahnya, maka luasnya sama.

Prisma segitiga

Pada dasarnya terdapat bangun datar dengan tiga titik sudut, yaitu segitiga. Seperti yang Anda tahu, ini bisa berbeda. Jika demikian, cukup diingat bahwa luasnya ditentukan oleh setengah hasil kali kaki-kakinya.

Notasi matematikanya terlihat seperti ini: S = ½ av.

Untuk mengetahui luas alas di pandangan umum, rumusnya akan berguna: Bangau dan rumus yang separuh sisinya diambil ke ketinggian yang ditarik ke sana.

Rumus pertama harus ditulis sebagai berikut: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Notasi ini mengandung setengah keliling (p), yaitu jumlah tiga sisi dibagi dua.

Kedua: S = ½ n a * a.

Jika ingin mencari luas alas prisma segitiga beraturan, maka segitiga tersebut ternyata sama sisi. Ada rumusnya: S = ¼ a 2 * √3.

Prisma segi empat

Basisnya adalah salah satu segi empat yang diketahui. Itu bisa berupa persegi panjang atau persegi, paralelepiped atau belah ketupat. Dalam setiap kasus, untuk menghitung luas alas prisma, Anda memerlukan rumus Anda sendiri.

Jika alasnya berbentuk persegi panjang, maka luasnya ditentukan sebagai berikut: S = ab, dimana a, b adalah sisi-sisi persegi panjang tersebut.

Jika berbicara tentang prisma segi empat, maka luas alasnya prisma yang benar dihitung menggunakan rumus persegi. Karena dialah yang mendasarinya. S = sebuah 2.

Jika alasnya adalah paralelepiped, diperlukan persamaan berikut: S = a * n a. Kebetulan sisi paralelepiped dan salah satu sudut diberikan. Kemudian, untuk menghitung tinggi, Anda perlu menggunakan rumus tambahan: n a = b * sin A. Selain itu, sudut A berbatasan dengan sisi “b”, dan tinggi n berhadapan dengan sudut tersebut.

Jika terdapat belah ketupat pada alas prisma, maka untuk menentukan luasnya diperlukan rumus yang sama seperti jajar genjang (karena merupakan kasus khusus). Tapi Anda juga bisa menggunakan ini: S = ½ d 1 d 2. Di sini d 1 dan d 2 adalah dua diagonal belah ketupat.

Prisma segi lima beraturan

Kasus ini melibatkan pembagian poligon menjadi segitiga, yang luasnya lebih mudah diketahui. Meskipun demikian, angka-angka tersebut dapat memiliki jumlah simpul yang berbeda.

Karena alas prisma berbentuk segi lima beraturan, maka prisma dapat dibagi menjadi lima segitiga sama sisi. Maka luas alas prisma sama dengan luas salah satu segitiga tersebut (rumusnya dapat dilihat di atas), dikalikan lima.

Prisma heksagonal beraturan

Dengan menggunakan prinsip yang dijelaskan untuk prisma segi lima, segi enam alasnya dapat dibagi menjadi 6 segitiga sama sisi. Rumus luas alas prisma tersebut mirip dengan rumus sebelumnya. Hanya saja harus dikalikan enam.

Rumusnya akan terlihat seperti ini: S = 3/2 a 2 * √3.

Tugas

No 1. Diketahui sebuah garis lurus beraturan, diagonalnya 22 cm, tinggi polihedron 14 cm. Hitunglah luas alas prisma dan seluruh permukaannya.

Larutan. Alas prisma berbentuk persegi, namun sisinya tidak diketahui. Anda dapat mencari nilainya dari diagonal persegi (x), yang berhubungan dengan diagonal prisma (d) dan tingginya (h). x 2 = d 2 - n 2. Sebaliknya, ruas “x” ini adalah sisi miring pada segitiga yang kaki-kakinya sama dengan sisi persegi. Artinya, x 2 = a 2 + a 2. Jadi ternyata a 2 = (d 2 - n 2)/2.

Gantikan angka 22 dengan d, dan ganti “n” dengan nilainya - 14, ternyata panjang sisi persegi adalah 12 cm. Sekarang cari saja luas alasnya: 12 * 12 = 144 cm 2.

Untuk mengetahui luas seluruh permukaan, Anda perlu menjumlahkan dua kali luas alas dan empat kali lipat luas sisinya. Yang terakhir ini dapat dengan mudah ditemukan menggunakan rumus persegi panjang: kalikan tinggi polihedron dan sisi alasnya. Artinya, 14 dan 12, angkanya sama dengan 168 cm 2. luas keseluruhan Luas permukaan prisma adalah 960 cm2.

Menjawab. Luas alas prisma adalah 144 cm2. Luas seluruh permukaannya adalah 960 cm2.

Nomor 2. Diketahui alasnya terdapat sebuah segitiga yang panjang sisinya 6 cm. Dalam hal ini, diagonal sisi sisinya adalah 10 cm. Hitung luas alas dan permukaan sisinya.

Larutan. Karena prisma beraturan, alasnya berbentuk segitiga sama sisi. Jadi, luasnya menjadi 6 kuadrat, dikalikan dengan ¼ dan akar kuadrat dari 3. Perhitungan sederhana menghasilkan hasil: 9√3 cm 2. Ini adalah luas salah satu alas prisma.

Semua sisi sisinya sama dan berbentuk persegi panjang dengan panjang sisi 6 dan 10 cm. Untuk menghitung luasnya, kalikan saja angka-angka ini. Kemudian kalikan dengan tiga, karena prisma mempunyai sisi-sisi yang persis sama. Maka luas permukaan lateral luka adalah 180 cm2.

Menjawab. Luas: alas - 9√3 cm 2, permukaan lateral prisma - 180 cm 2.

Polihedra

Objek utama kajian stereometri adalah benda spasial. Tubuh mewakili bagian ruang yang dibatasi oleh permukaan tertentu.

Polihedron adalah benda yang permukaannya terdiri dari sejumlah poligon datar yang terbatas. Suatu polihedron disebut cembung jika terletak pada salah satu sisi bidang setiap poligon bidang pada permukaannya. Bagian umum dari bidang tersebut dan permukaan polihedron disebut tepian. Muka polihedron cembung adalah poligon cembung datar. Sisi mukanya disebut tepi polihedron, dan simpulnya adalah simpul polihedron.

Misalnya, sebuah kubus terdiri dari enam persegi, yang merupakan wajah-wajahnya. Ini berisi 12 sisi (sisi kotak) dan 8 simpul (bagian atas kotak).

Polihedra paling sederhana adalah prisma dan piramida, yang akan kita pelajari lebih lanjut.

Prisma

Pengertian dan sifat-sifat prisma

Prisma adalah polihedron yang terdiri dari dua poligon datar yang terletak pada bidang sejajar yang digabungkan dengan translasi paralel, dan semua segmen yang menghubungkan titik-titik yang bersesuaian dari poligon tersebut. Poligon disebut dasar prisma, dan segmen yang menghubungkan simpul-simpul poligon yang bersesuaian adalah tepi lateral prisma.

Tinggi prisma disebut jarak antara bidang alasnya (). Ruas yang menghubungkan dua titik sudut pada suatu prisma yang tidak mempunyai muka yang sama disebut diagonal prisma(). Prisma disebut n-karbon, jika basisnya berisi n-gon.

Setiap prisma mempunyai sifat-sifat berikut, yang dihasilkan dari fakta bahwa alas prisma digabungkan melalui translasi paralel:

1. Alas prisma adalah sama.

2. Sisi-sisi sisi prisma sejajar dan sama panjang.

Permukaan prisma terdiri dari alas dan permukaan lateral. Permukaan lateral prisma terdiri dari jajaran genjang (mengikuti sifat-sifat prisma). Luas permukaan lateral suatu prisma adalah jumlah luas permukaan lateralnya.

Prisma lurus

Prisma disebut lurus, jika dia tulang rusuk lateral tegak lurus dengan alasnya. Kalau tidak, prisma disebut cenderung.

Muka prisma siku-siku berbentuk persegi panjang. Tinggi prisma lurus sama dengan sisi-sisinya.

Permukaan prisma penuh disebut jumlah luas permukaan lateral dan luas alasnya.

Dengan prisma yang tepat disebut prisma tegak yang mempunyai poligon beraturan pada alasnya.

Teorema 13.1. Luas permukaan lateral prisma lurus sama dengan hasil kali keliling dan tinggi prisma (atau, yang sama, dengan rusuk lateral).

Bukti. Sisi-sisi prisma siku-siku adalah persegi panjang, yang alasnya adalah sisi-sisi poligon pada alas prisma, dan tingginya adalah rusuk-rusuk sisi prisma. Maka, menurut definisi, luas permukaan lateral adalah:

,

dimana adalah keliling alas prisma lurus.

Paralelipiped

Jika jajar genjang terletak pada alas prisma, maka disebut paralelipiped. Semua permukaan jajar genjang adalah jajar genjang. Dalam hal ini, sisi-sisi yang berlawanan dari paralelepiped adalah sejajar dan sama besar.

Teorema 13.2. Diagonal-diagonal suatu parallelepiped berpotongan di satu titik dan dibagi dua oleh titik potong tersebut.

Bukti. Perhatikan dua diagonal sembarang, misalnya, dan . Karena muka-muka suatu jajar genjang adalah jajar genjang, lalu dan , artinya menurut To ada dua garis lurus yang sejajar dengan garis ketiga. Selain itu, ini berarti garis lurus dan terletak pada bidang (bidang) yang sama. Bidang ini memotong bidang sejajar dan sepanjang garis sejajar dan . Jadi, segi empat adalah jajar genjang, dan berdasarkan sifat jajar genjang, diagonal-diagonalnya berpotongan dan dibagi dua oleh titik potongnya, yang perlu dibuktikan.

Paralelepiped siku-siku yang alasnya berbentuk persegi panjang disebut paralelepiped persegi panjang. kamu paralelepiped persegi panjang semua mukanya berbentuk persegi panjang. Panjang sisi-sisi yang tidak sejajar dari suatu parallelepiped persegi panjang disebut dimensi liniernya (dimensi). Ada tiga ukuran seperti itu (lebar, tinggi, panjang).

Teorema 13.3. Dalam suatu persegi panjang parallelepiped, kuadrat setiap diagonalnya sama dengan jumlah kuadrat ketiga dimensinya (dibuktikan dengan penerapan Pythagoras T sebanyak dua kali).

Paralelepiped persegi panjang yang semua rusuknya sama disebut kubus.

Tugas

13.1 Berapa banyak diagonal yang dimilikinya? N-prisma karbon

13.2 Pada prisma segitiga miring, jarak antara sisi-sisinya adalah 37, 13 dan 40. Tentukan jarak antara sisi yang lebih besar dan sisi yang berhadapan.

13.3 Sebuah bidang ditarik melalui sisi alas bawah prisma segitiga beraturan, memotong sisi-sisinya sepanjang segmen-segmen dengan sudut di antara keduanya. Temukan sudut kemiringan bidang ini ke alas prisma.

Definisi 1. Permukaan prismatik
Teorema 1. Pada bagian sejajar permukaan prismatik
Definisi 2. Bagian tegak lurus dari permukaan prismatik
Definisi 3. Prisma
Definisi 4. Tinggi prisma
Definisi 5. Prisma siku-siku
Teorema 2. Luas permukaan lateral prisma

Paralelipiped:
Definisi 6. Paralelepiped
Teorema 3. Pada perpotongan diagonal-diagonal suatu parallelepiped
Definisi 7. Paralelepiped kanan
Definisi 8. Paralelepiped persegi panjang
Definisi 9. Pengukuran paralelepiped
Definisi 10. Kubus
Definisi 11. Belah Ketupat
Teorema 4. Pada diagonal-diagonal suatu parallelepiped persegi panjang
Teorema 5. Volume prisma
Teorema 6. Volume prisma lurus
Teorema 7. Volume paralelepiped persegi panjang

Prisma adalah polihedron yang kedua mukanya (alasnya) terletak pada bidang sejajar, dan sisi-sisinya yang tidak terletak pada muka-muka tersebut sejajar satu sama lain.
Muka selain alas disebut samping.
Sisi muka dan alas samping disebut tulang rusuk prisma, ujung-ujungnya disebut simpul prisma. Tulang rusuk samping rusuk yang tidak termasuk alasnya disebut. Penyatuan muka-muka lateral disebut permukaan lateral prisma, dan penyatuan semua wajah disebut seluruh permukaan prisma. Tinggi prisma disebut garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik alas atas ke bidang alas bawah, atau panjang tegak lurus tersebut. Prisma langsung disebut prisma yang rusuk-rusuk sisinya tegak lurus terhadap bidang alasnya. Benar disebut prisma lurus (Gbr. 3), yang alasnya terletak poligon beraturan.

Sebutan:
aku - rusuk samping;
P - perimeter dasar;
S o - luas dasar;
H - tinggi;
P^ - keliling bagian tegak lurus;
S b - luas permukaan lateral;
V - volume;
S p - daerah permukaan penuh prisma.

Definisi 2 . Bagian tegak lurus permukaan prismatik adalah bagian permukaan tersebut oleh bidang yang tegak lurus tepinya. Berdasarkan teorema sebelumnya, semua bagian tegak lurus pada permukaan prismatik yang sama akan berupa poligon yang sama besar.

Definisi 3 . Prisma adalah polihedron yang dibatasi oleh permukaan prismatik dan dua bidang yang sejajar satu sama lain (tetapi tidak sejajar dengan tepi permukaan prismatik)
Wajah-wajah yang terletak pada bidang-bidang terakhir ini disebut dasar prisma; wajah milik permukaan primatik - wajah samping; tepi permukaan primatik - rusuk samping prisma. Berdasarkan teorema sebelumnya, alas prisma adalah poligon yang sama. Semua sisi samping prisma - jajaran genjang; semua rusuk samping sama satu sama lain.
Jelasnya, jika alas prisma ABCDE dan salah satu sisi AA" diberikan ukuran dan arah, maka prisma dapat dibuat dengan menggambar sisi BB", CC", ... sama dan sejajar dengan sisi AA" .

Definisi 4 . Ketinggian prisma adalah jarak antar bidang alasnya (HH").

Definisi 5 . Suatu prisma disebut lurus jika alas-alasnya merupakan bagian tegak lurus permukaan prismatik. Dalam hal ini, tinggi prisma, tentu saja, adalah miliknya tulang rusuk samping; tepi sampingnya akan menjadi persegi panjang.
Prisma dapat diklasifikasikan menurut jumlah sisi sisinya, jumlah yang sama sisi poligon yang berfungsi sebagai alasnya. Jadi, prisma bisa berbentuk segitiga, segi empat, pentagonal, dll.

Teorema 2 . Luas permukaan lateral prisma sama dengan hasil kali tepi lateral dan keliling bagian tegak lurus.
Misalkan ABCDEA"B"C"D"E" adalah suatu prisma tertentu dan abcde bagian tegak lurusnya, sehingga ruas ab, bc, .. tegak lurus terhadap tepi lateralnya. Muka ABA"B" adalah jajar genjang; luasnya sama dengan hasil kali alas AA " dengan ketinggian yang bertepatan dengan ab; luas permukaan ВСВ "С" sama dengan hasil kali alas ВВ" dengan tinggi bc, dst. Oleh karena itu, permukaan samping (yaitu jumlah luas permukaan samping) sama dengan hasil kali dari tepi samping, dengan kata lain, panjang total segmen AA", ВВ", .., untuk jumlah ab+bc+cd+de+ea.

Definisi.

Ini adalah segi enam, yang alasnya adalah dua persegi yang sama besar, dan sisi-sisinya adalah persegi panjang yang sama

Tulang rusuk samping- adalah sisi persekutuan dari dua sisi sisi yang berdekatan

Tinggi prisma- ini adalah segmen yang tegak lurus dengan alas prisma

Diagonal prisma- segmen yang menghubungkan dua simpul alas yang tidak berada pada permukaan yang sama

Bidang diagonal- bidang yang melalui diagonal prisma dan rusuk lateralnya

Bagian diagonal - batas perpotongan prisma dan bidang diagonal. Penampang diagonal prisma segi empat beraturan adalah persegi panjang

Bagian tegak lurus (bagian ortogonal)- ini adalah perpotongan prisma dan bidang yang ditarik tegak lurus terhadap tepi lateralnya

Unsur prisma segi empat beraturan

Gambar tersebut menunjukkan dua prisma segi empat beraturan, yang ditandai dengan huruf yang sesuai:

• Basis ABCD dan A 1 B 1 C 1 D 1 sama panjang dan sejajar
• Sisi muka AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C dan CC 1 D 1 D yang masing-masing berbentuk persegi panjang
• Permukaan lateral - jumlah luas semua permukaan lateral prisma
• Total permukaan - jumlah luas semua alas dan sisi samping (jumlah luas permukaan samping dan alas)
• Iga samping AA 1, BB 1, CC 1 dan DD 1.
• Diagonal B 1 D
• Diagonal dasar BD
• Bagian diagonal BB 1 D 1 D
• Bagian tegak lurus A 2 B 2 C 2 D 2.

Sifat-sifat prisma segi empat beraturan

• Basisnya adalah dua persegi yang sama besar
• Basisnya sejajar satu sama lain
• Sisi sampingnya berbentuk persegi panjang
• Tepi sampingnya sama satu sama lain
• Wajah samping tegak lurus dengan alasnya
• Tulang rusuk lateral sejajar satu sama lain dan sama besar
• Bagian tegak lurus tegak lurus terhadap semua rusuk samping dan sejajar dengan alasnya
• Sudut bagian tegak lurus adalah lurus
• Penampang diagonal prisma segi empat beraturan adalah persegi panjang
• Tegak lurus (bagian ortogonal) sejajar dengan alasnya

Rumus prisma segi empat beraturan

Petunjuk untuk memecahkan masalah

Prisma yang benar- prisma yang alasnya terdapat poligon beraturan, dan sisi-sisinya tegak lurus terhadap bidang alasnya. Artinya, prisma segi empat beraturan terdapat pada alasnya persegi. (lihat sifat-sifat prisma segi empat beraturan di atas) Catatan. Ini adalah bagian dari pelajaran soal geometri (bagian stereometri - prisma). Berikut adalah permasalahan yang sulit dipecahkan. Jika Anda perlu menyelesaikan soal geometri yang tidak ada di sini, tulislah di forum. Untuk menunjukkan tindakan pengambilan akar pangkat dua simbol tersebut digunakan dalam menyelesaikan masalah√ .

Tugas.

Diagonal prisma beraturan membentuk segitiga siku-siku dengan diagonal alas dan tinggi prisma. Oleh karena itu, menurut teorema Pythagoras, diagonal prisma segi empat beraturan tertentu akan sama dengan:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Menjawab: 22cm

Tugas

Larutan.
Karena alas prisma segi empat beraturan adalah persegi, kita mencari sisi alasnya (dilambangkan dengan a) menggunakan teorema Pythagoras:

SEBUAH 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

Ketinggian sisi muka (dilambangkan dengan h) kemudian akan sama dengan:

H 2 + 12,5 = 4 2
jam 2 + 12,5 = 16
jam 2 = 3,5
jam = √3.5

Luas permukaan total sama dengan jumlah luas permukaan lateral dan dua kali luas alas

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Jawaban: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

"Pelajaran Teorema Pythagoras" - Teorema Pythagoras. Menentukan jenis KMNP segi empat. Pemanasan. Pengantar teorema. Menentukan jenis segitiga: Rencana pembelajaran: Tamasya sejarah. Memecahkan masalah sederhana. Dan Anda akan menemukan tangga sepanjang 125 kaki. Hitunglah tinggi CF trapesium ABCD. Bukti. Tunjukkan gambar. Bukti teorema.

"Volume prisma" - Konsep prisma. Prisma lurus. Volume prisma asal sama dengan hasil kali S · h. Bagaimana cara mencari volume prisma lurus? Prisma dapat dibagi menjadi garis lurus prisma segitiga dengan tinggi h. Menggambar tinggi segitiga ABC. Solusi dari masalah tersebut. Tujuan pelajaran. Langkah-langkah dasar dalam membuktikan teorema prisma langsung? Mempelajari teorema volume prisma.

"Prisma polihedra" - Berikan definisi polihedron. DABC – tetrahedron, polihedron cembung. Penerapan prisma. Di mana prisma digunakan? ABCDMP adalah segi delapan yang terdiri dari delapan segitiga. ABCDA1B1C1D1 – polihedron cembung paralelepiped. Polihedron cembung. Konsep polihedron. Polihedron А1А2..АnB1B2..Bn - prisma.

“Prisma kelas 10” - Prisma adalah polihedron yang mukanya sejajar. Penggunaan prisma dalam kehidupan sehari-hari. Sisi = Basis + h Untuk prisma lurus : Sp.p = Pbas. jam + 2Sbas. Cenderung. Benar. Lurus. Prisma. Rumus mencari luas. Penerapan prisma dalam arsitektur. Sp.p = Sisi + 2Sbase

"Bukti Teorema Pythagoras" - Bukti geometris. Arti dari teorema Pythagoras. Teori Pitagoras. bukti Euclid. "DI DALAM segitiga siku-siku Kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya.” Bukti teorema. Arti penting dari teorema ini adalah bahwa sebagian besar teorema geometri dapat disimpulkan dari teorema tersebut atau dengan bantuannya.