Rumus luas total silinder. Silinder: luas permukaan samping. Rumus luas permukaan lateral silinder

Nama ilmu “geometri” diterjemahkan sebagai “pengukuran bumi”. Ini berasal dari upaya para pengelola lahan kuno pertama. Dan kejadiannya seperti ini: saat banjir di Sungai Nil yang suci, aliran air terkadang menghanyutkan batas-batas lahan petani, dan batas-batas baru mungkin tidak sesuai dengan batas-batas yang lama. Pajak dibayarkan oleh petani ke kas firaun sebanding dengan luas peruntukan tanah. Orang-orang khusus dilibatkan dalam mengukur luas lahan subur dalam batas-batas baru setelah tumpahan. Dari kegiatan merekalah muncul ilmu-ilmu baru yang dikembangkan di dalamnya Yunani kuno. Di sana ia mendapat namanya dan secara praktis diperoleh tampilan modern. Selanjutnya istilah tersebut menjadi nama internasional untuk ilmu bangun datar dan tiga dimensi.

Planimetri adalah salah satu cabang geometri yang berhubungan dengan kajian angka datar. Cabang ilmu lainnya adalah stereometri, yang mengkaji sifat-sifat bangun ruang (volumetrik). Angka-angka tersebut termasuk yang dijelaskan dalam artikel ini - sebuah silinder.

Contoh keberadaan benda berbentuk silinder di Kehidupan sehari-hari banyak. Hampir semua bagian yang berputar - poros, selongsong, jurnal, gandar, dll. - berbentuk silinder (lebih jarang berbentuk kerucut). Silinder juga banyak digunakan dalam konstruksi: menara, penyangga, kolom dekoratif. Dan juga piring, beberapa jenis kemasan, pipa dengan berbagai diameter. Dan terakhir - topi terkenal, yang telah lama menjadi simbol keanggunan pria. Daftarnya terus bertambah.

Pengertian silinder sebagai bangun datar

Silinder (silinder lingkaran) biasa disebut bangun datar yang terdiri dari dua lingkaran, yang bila diinginkan digabung dengan translasi paralel. Lingkaran-lingkaran ini adalah alas silinder. Tetapi garis (segmen lurus) yang menghubungkan titik-titik yang bersesuaian disebut “generator”.

Penting agar alas silinder selalu sama (jika kondisi ini tidak terpenuhi, maka kita punya - frustrasi, apa pun, kecuali silinder) dan berada pada bidang sejajar. Ruas-ruas yang menghubungkan titik-titik yang bersesuaian pada lingkaran adalah sejajar dan sama besar.

Keseluruhan jumlah yang tak terbatas pembentukan - tidak lebih dari permukaan samping silinder - salah satu elemen dari bangun geometris ini. Komponen penting lainnya adalah lingkaran yang dibahas di atas. Mereka disebut pangkalan.

Jenis silinder

Jenis silinder yang paling sederhana dan umum adalah silinder melingkar. Dibentuk oleh dua lingkaran beraturan yang bertindak sebagai alas. Tapi selain mereka, mungkin ada angka lain.

Basis silinder dapat membentuk (selain lingkaran) elips dan bentuk tertutup lainnya. Namun silinder belum tentu berbentuk tertutup. Misalnya, alas silinder dapat berupa parabola, hiperbola, atau fungsi terbuka lainnya. Silinder seperti itu akan terbuka atau dikerahkan.

Menurut sudut kemiringan silinder yang membentuk alasnya, bisa lurus atau miring. Untuk silinder lurus, generatricesnya tegak lurus terhadap bidang alasnya. Jika sudut tertentu berbeda dari 90°, silindernya miring.

Apa yang dimaksud dengan permukaan revolusi

Silinder sirkular lurus tidak diragukan lagi merupakan permukaan rotasi yang paling umum digunakan dalam bidang teknik. Kadang-kadang, karena alasan teknis, permukaan berbentuk kerucut, bola, dan beberapa jenis lainnya digunakan, tetapi 99% dari semua poros, sumbu, dll. dibuat dalam bentuk silinder. Untuk lebih memahami apa itu permukaan revolusi, kita dapat memperhatikan bagaimana silinder itu sendiri terbentuk.

Katakanlah ada garis lurus tertentu A, terletak secara vertikal. ABCD adalah persegi panjang yang salah satu sisinya (ruas AB) terletak pada suatu garis A. Jika kita memutar sebuah persegi panjang mengelilingi garis lurus, seperti yang ditunjukkan pada gambar, maka volume yang ditempatinya selama rotasi adalah benda revolusi kita - sebuah silinder siku-siku dengan tinggi H = AB = DC dan jari-jari R = AD = BC.

Dalam hal ini, sebagai hasil memutar gambar - persegi panjang - diperoleh silinder. Dengan memutar segitiga, Anda bisa mendapatkan kerucut, dengan memutar setengah lingkaran - bola, dll.

Luas permukaan silinder

Untuk menghitung luas permukaan silinder lingkaran siku-siku biasa, perlu menghitung luas alas dan permukaan lateral.

Pertama, mari kita lihat bagaimana luas permukaan lateral dihitung. Ini adalah hasil kali keliling silinder dan tinggi silinder. Kelilingnya, pada gilirannya, sama dengan dua kali hasil kali bilangan universal P dengan jari-jari lingkaran.

Luas lingkaran diketahui sama dengan hasil kali P per radius persegi. Jadi, setelah menambahkan rumus luas permukaan lateral dengan ekspresi ganda untuk luas alas (ada dua) dan melakukan yang sederhana transformasi aljabar, kita memperoleh ekspresi akhir untuk menentukan luas permukaan silinder.

Menentukan volume suatu bangun

Volume silinder ditentukan sesuai dengan skema standar: luas permukaan alas dikalikan dengan tingginya.

Jadi, rumus akhirnya terlihat seperti ini: nilai yang diinginkan didefinisikan sebagai hasil kali tinggi benda dengan bilangan universal P dan dengan kuadrat jari-jari alasnya.

Rumus yang dihasilkan, harus dikatakan, dapat diterapkan untuk memecahkan masalah yang paling tidak terduga. Dengan cara yang sama seperti volume silinder, misalnya, volume kabel listrik ditentukan. Ini mungkin diperlukan untuk menghitung massa kabel.

Satu-satunya perbedaan dalam rumusnya adalah bahwa alih-alih jari-jari satu silinder, yang ada adalah diameter untaian kabel yang dibagi dua dan jumlah untaian kawat muncul dalam ekspresi. N. Selain itu, panjang kawat juga digunakan sebagai pengganti tinggi. Dengan cara ini, volume "silinder" dihitung tidak hanya dengan satu, tetapi dengan jumlah kabel dalam jalinan.

Perhitungan seperti itu sering kali diperlukan dalam praktik. Memang sebagian besar wadah air dibuat dalam bentuk pipa. Dan seringkali volume silinder perlu dihitung bahkan di rumah tangga.

Namun seperti yang telah disebutkan, bentuk silinder bisa berbeda-beda. Dan dalam beberapa kasus perlu untuk menghitung berapa volume silinder miring.

Perbedaannya adalah luas permukaan alas tidak dikalikan dengan panjang generatrix, seperti pada silinder lurus, tetapi dengan jarak antar bidang - segmen tegak lurus yang dibangun di antara keduanya.

Terlihat dari gambar, segmen tersebut sama dengan hasil kali panjang generatrix dan sinus sudut kemiringan generatrix terhadap bidang.

Cara membangun pengembangan silinder

Dalam beberapa kasus, rim silinder perlu dipotong. Gambar di bawah menunjukkan aturan pembuatan blanko untuk pembuatan silinder dengan tinggi dan diameter tertentu.

Harap dicatat bahwa gambar ditampilkan tanpa jahitan.

Perbedaan antara silinder miring

Mari kita bayangkan sebuah silinder lurus tertentu, yang salah satu sisinya dibatasi oleh bidang yang tegak lurus terhadap generator. Namun bidang yang membatasi silinder pada sisi yang lain tidak tegak lurus terhadap generator dan tidak sejajar dengan bidang pertama.

Gambar tersebut menunjukkan silinder miring. Pesawat A pada sudut tertentu, berbeda dari 90° terhadap generator, memotong gambar tersebut.

Bentuk geometris ini lebih sering dijumpai dalam praktek berupa sambungan pipa (siku). Namun ada pula bangunan yang berbentuk silinder miring.

Ciri-ciri geometris silinder miring

Kemiringan salah satu bidang silinder miring sedikit mengubah prosedur penghitungan luas permukaan bangun tersebut dan volumenya.

Ini adalah benda geometris yang dibatasi oleh dua bidang sejajar dan permukaan silinder.

Silinder terdiri dari permukaan samping dan dua alas. Rumus luas permukaan silinder meliputi perhitungan tersendiri luas alas dan permukaan samping. Karena alas dalam silinder adalah sama, luas totalnya dihitung dengan rumus:

Kita akan membahas contoh penghitungan luas silinder setelah kita mengetahui semua rumus yang diperlukan. Pertama kita membutuhkan rumus luas alas silinder. Karena alas silinder berbentuk lingkaran, kita perlu menerapkan:
Kita ingat bahwa dalam perhitungan ini digunakan bilangan konstan Π = 3,1415926, yang dihitung sebagai perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya. Angka ini adalah konstanta matematika. Kita juga akan melihat contoh penghitungan luas alas silinder nanti.

Luas permukaan sisi silinder

Rumus luas permukaan lateral silinder adalah hasil kali panjang alas dan tingginya:

Sekarang mari kita lihat masalah yang perlu kita hitung wilayah penuh silinder. Pada gambar di atas, tingginya adalah h = 4 cm, r = 2 cm.
Pertama, mari kita hitung luas alasnya:
Sekarang mari kita lihat contoh penghitungan luas permukaan lateral silinder. Ketika diperluas, itu mewakili persegi panjang. Luasnya dihitung menggunakan rumus di atas. Mari kita gantikan semua data ke dalamnya:
Luas seluruh lingkaran adalah jumlah dua kali lipat luas alas dan sisinya:

Jadi, dengan menggunakan rumus luas alas dan permukaan lateral gambar, kita dapat mencari luas permukaan total silinder.
Bagian aksial silinder adalah persegi panjang yang sisi-sisinya sama dengan tinggi dan diameter silinder.

Rumus luas penampang aksial silinder diturunkan dari rumus perhitungan:

Saat mempelajari stereometri, salah satu topik utamanya adalah “Silinder”. Luas permukaan lateral dianggap, jika bukan yang utama, maka rumus penting ketika memecahkan masalah geometri. Namun, penting untuk mengingat definisi yang akan membantu Anda menavigasi contoh dan membuktikan berbagai teorema.

Konsep silinder

Pertama, ada beberapa definisi yang perlu dipertimbangkan. Baru setelah mempelajarinya kita dapat mulai memikirkan pertanyaan tentang rumus luas permukaan lateral silinder. Berdasarkan catatan ini, ekspresi lain dapat dihitung.

Permukaan silinder dipahami sebagai bidang yang digambarkan oleh suatu generatrix yang bergerak dan tetap sejajar dengan arah tertentu, meluncur sepanjang kurva yang ada.
Ada juga definisi kedua: permukaan silinder dibentuk oleh sekumpulan garis sejajar yang memotong kurva tertentu.
Generatrix secara konvensional disebut tinggi silinder. Ketika bergerak mengelilingi sumbu yang melewati pusat alas, diperoleh benda geometris yang ditunjukkan.
Yang kami maksud dengan sumbu adalah garis lurus yang melalui kedua alas gambar.
Silinder adalah benda stereometrik yang dibatasi oleh permukaan samping yang berpotongan dan dua bidang sejajar.

Ada jenis figur volumetrik ini:

Yang kami maksud dengan lingkaran adalah silinder yang pemandunya berbentuk lingkaran. Komponen utamanya adalah jari-jari alas dan generatrix. Yang terakhir ini sama dengan tinggi gambar.
Ada silinder lurus. Ia mendapat namanya karena tegak lurus bentuk pembentuknya ke alasnya.
Tipe ketiga adalah silinder miring. Di buku teks, Anda dapat menemukan nama lain untuknya: “silinder melingkar dengan alas miring”. Angka ini ditentukan oleh jari-jari alas, minimum dan tinggi maksimum.
Silinder sama sisi dipahami sebagai benda yang memiliki tinggi dan diameter bidang melingkar yang sama.

Legenda

Secara tradisional, “komponen” utama silinder disebut sebagai berikut:

Jari-jari alasnya adalah R (juga menggantikan nilai serupa dari bangun stereometrik).
Pembangkit - L.
Tinggi - H.
Luas alasnya adalah S alas (dengan kata lain, perlu mencari parameter lingkaran yang ditentukan).
Ketinggian silinder miring adalah h 1 , h 2 (minimum dan maksimum).
Luas permukaan lateralnya adalah sisi S (jika dibuka, diperoleh semacam persegi panjang).
Volume suatu bangun stereometri adalah V.
Persegi permukaan penuh- S.

"Komponen" dari gambar stereometrik

Saat mempelajari silinder, luas permukaan lateral memainkan peran penting. Hal ini disebabkan rumus ini termasuk dalam beberapa rumus lain yang lebih kompleks. Oleh karena itu, seseorang harus menguasai teori dengan baik.

Komponen utama dari gambar tersebut adalah:

Permukaan samping. Seperti diketahui, hal ini diperoleh karena pergerakan generatrix sepanjang kurva tertentu.
Permukaan lengkap mencakup alas yang ada dan bidang samping.
Penampang silinder biasanya berbentuk persegi panjang yang terletak sejajar dengan sumbu gambar. Kalau tidak, itu disebut pesawat. Ternyata panjang dan lebar juga merupakan komponen bangun lainnya. Jadi, secara konvensional, panjang bagian tersebut adalah generatornya. Lebar - tali busur paralel dari bangun stereometrik.
Yang kami maksud dengan bagian aksial adalah letak bidang yang melalui bagian tengah benda.
Dan akhirnya, definisi akhir. Garis singgung adalah bidang yang melewati generatrix silinder dan terletak tegak lurus terhadap bagian aksial. Dalam hal ini, satu syarat harus dipenuhi. Generatrix yang ditentukan harus dimasukkan dalam bidang bagian aksial.

Rumus dasar untuk bekerja dengan silinder

Untuk menjawab pertanyaan bagaimana mencari luas permukaan silinder, perlu dipelajari “komponen” utama bangun stereometrik dan rumus mencarinya.

Rumus-rumus ini berbeda karena ekspresi pertama diberikan untuk silinder miring, dan kemudian untuk silinder lurus.

Contoh dengan solusi yang dibongkar

Penting untuk mengetahui luas permukaan lateral silinder. Diagonal bagian AC = 8 cm diberikan (dan aksial). Setelah kontak dengan generatrix ternyata< ACD = 30°

Larutan. Karena nilai diagonal dan sudutnya diketahui, maka dalam hal ini:

CD = AC*karena 30°.

Komentar. Segitiga ACD, di contoh spesifik, persegi panjang. Artinya hasil bagi CD dan AC = kosinus sudut yang ada. Arti fungsi trigonometri dapat ditemukan di tabel khusus.

Demikian pula, Anda dapat menemukan nilai AD:

AD = AC*sin 30°

Sekarang Anda perlu menghitung hasil yang diinginkan menggunakan rumus berikut: luas permukaan lateral silinder sama dengan dua kali hasil perkalian “pi”, jari-jari bangun dan tingginya. Rumus lain harus digunakan: luas alas silinder. Ini sama dengan hasil perkalian “pi” dengan kuadrat jari-jarinya. Dan terakhir, rumus terakhir: luas keseluruhan permukaan. Itu sama dengan jumlah dua luas sebelumnya.

Silinder diberikan. Volumenya = 128*p cm³. Silinder manakah yang mempunyai luas permukaan total terkecil?

Larutan. Pertama, Anda perlu menggunakan rumus untuk mencari volume suatu bangun dan tingginya.

Karena luas permukaan total silinder diketahui dari teori, maka rumusnya perlu diterapkan.

Jika kita menganggap rumus yang dihasilkan sebagai fungsi luas silinder, maka “indikator” minimum akan tercapai pada titik ekstrem. Untuk mendapatkan nilai terakhir harus menggunakan diferensiasi.

Rumusnya dapat dilihat pada tabel khusus untuk mencari turunan. Selanjutnya, hasil yang ditemukan disamakan dengan nol dan solusi persamaan ditemukan.

Jawaban : S min akan tercapai pada h = 1/32 cm, R = 64 cm.

Gambar stereometrik diberikan - silinder dan bagian. Yang terakhir ini dilakukan sedemikian rupa sehingga letaknya sejajar dengan sumbu benda stereometrik. Silinder mempunyai parameter sebagai berikut: VK = 17 cm, h = 15 cm, R = 5 cm. Perlu dicari jarak antara bagian dan sumbu.

Karena penampang silinder dipahami sebagai VSKM, yaitu persegi panjang, maka sisinya BM = h. VMC perlu dipertimbangkan. Segitiga adalah segitiga siku-siku. Berdasarkan pernyataan tersebut, kita dapat menyimpulkan asumsi yang benar bahwa MK = BC.

VK² = VM² + MK²

MK² = VK² - VM²

MK² = 17² - 15²

Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa MK = BC = 8 cm.

Langkah selanjutnya adalah menggambar bagian melalui dasar gambar. Penting untuk mempertimbangkan bidang yang dihasilkan.

AD adalah diameter bangun stereometrik. Ini paralel dengan bagian yang disebutkan dalam pernyataan masalah.

BC adalah garis lurus yang terletak pada bidang persegi panjang yang ada.

ABCD - trapesium. DI DALAM kasus tertentu dianggap sama kaki karena dikelilingi lingkaran.

Jika Anda mencari tinggi trapesium yang dihasilkan, Anda bisa mendapatkan jawaban yang diberikan di awal soal. Yaitu: mencari jarak antara sumbu dengan bagian yang digambar.

Untuk melakukan ini, Anda perlu mencari nilai AD dan OS.

Jawaban: bagian tersebut terletak 3 cm dari sumbu.

Tugas untuk mengkonsolidasikan materi

Diberikan sebuah silinder. Luas permukaan lateral digunakan dalam solusi selanjutnya. Parameter lain diketahui. Luas alasnya adalah Q, luas penampang aksialnya adalah M. Perlu dicari S. Dengan kata lain, luas total silinder.

Diberikan sebuah silinder. Luas permukaan lateral harus dicari pada salah satu langkah penyelesaian soal. Diketahui tinggi = 4 cm, jari-jari = 2 cm. Perlu dicari luas total bangun stereometrik.

Silinder adalah bangun datar yang terdiri dari permukaan silinder dan dua lingkaran terletak sejajar. Menghitung luas silinder merupakan permasalahan dalam cabang matematika geometri yang dapat diselesaikan dengan cukup sederhana. Ada beberapa cara untuk menyelesaikannya, yang pada akhirnya selalu bermuara pada satu rumus.

Cara mencari luas silinder - aturan perhitungan

Untuk mengetahui luas silinder, Anda perlu menjumlahkan kedua luas alasnya dengan luas permukaan samping: S = Ssisi + 2Salas. Dalam versi yang lebih rinci, rumus ini terlihat seperti ini: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
Luas permukaan lateral suatu benda geometris dapat dihitung jika tinggi dan jari-jari lingkaran yang terletak pada alasnya diketahui. Dalam hal ini, Anda dapat menyatakan jari-jari dari keliling, jika diberikan. Ketinggian dapat ditemukan jika nilai generator ditentukan dalam kondisi. Dalam hal ini, generatrixnya akan sama dengan tingginya. Rumus permukaan lateral tubuh yang diberikan terlihat seperti ini: S= 2 π rh.
Luas alas dihitung dengan menggunakan rumus mencari luas lingkaran: S osn= π r 2 . Dalam beberapa soal, jari-jari mungkin tidak diberikan, tetapi keliling dapat diberikan. Dengan rumus ini, jari-jari dinyatakan dengan mudah. =2π r, r= /2π. Anda juga harus ingat bahwa jari-jari adalah setengah diameter.
Saat melakukan semua perhitungan ini, angka π biasanya tidak diterjemahkan menjadi 3,14159... Hanya perlu ditambahkan di sebelah nilai numerik yang diperoleh dari hasil perhitungan.
Selanjutnya, Anda hanya perlu mengalikan luas alas yang ditemukan dengan 2 dan menambahkan luas permukaan lateral gambar yang dihitung ke angka yang dihasilkan.
Jika soal menunjukkan bahwa silinder mempunyai bagian aksial dan berbentuk persegi panjang, maka penyelesaiannya akan sedikit berbeda. Dalam hal ini, lebar persegi panjang akan menjadi diameter lingkaran yang terletak di dasar badan. Panjang gambar akan sama dengan generatrix atau tinggi silinder. Penting untuk menghitung nilai yang diperlukan dan menggantinya ke dalam rumus yang sudah diketahui. Dalam hal ini, lebar persegi panjang harus dibagi dua untuk mencari luas alasnya. Untuk mencari permukaan lateral, panjangnya dikalikan dua jari-jari dan bilangan π.
Anda dapat menghitung luas suatu benda geometris melalui volumenya. Untuk melakukan ini, Anda perlu menurunkan nilai yang hilang dari rumus V=π r 2 h.
Tidak ada yang rumit dalam menghitung luas silinder. Anda hanya perlu mengetahui rumus-rumusnya dan dapat memperoleh besaran-besaran yang diperlukan untuk melakukan perhitungan.