Directo a 2 puntos online. Línea recta. Ecuación de una recta

Deje que la línea pase por los puntos M 1 (x 1; y 1) y M 2 (x 2; y 2). La ecuación de una línea recta que pasa por el punto M 1 tiene la forma y-y 1 = k (x-x1), (10.6)

Dónde k - coeficiente aún desconocido.

Dado que la línea recta pasa por el punto M 2 (x 2 y 2), las coordenadas de este punto deben satisfacer la ecuación (10.6): y 2 -y 1 = k (x2-x1).

Desde aquí encontramos Sustituyendo el valor encontrado. k en la ecuación (10.6), obtenemos la ecuación de una recta que pasa por los puntos M 1 y M 2:

Se supone que en esta ecuación x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Si x 1 = x 2, entonces la recta que pasa por los puntos M 1 (x 1,y I) y M 2 (x 2,y 2) es paralela al eje de ordenadas. Su ecuación es x = x 1 .

Si y 2 = y I, entonces la ecuación de la recta se puede escribir como y = y 1, la recta M 1 M 2 es paralela al eje de abscisas.

Ecuación de una recta en segmentos

Deje que la línea recta cruce el eje Ox en el punto M 1 (a;0) y el eje Oy en el punto M 2 (0;b). La ecuación tomará la forma:
aquellos.
. Esta ecuación se llama ecuación de una recta en segmentos, porque Los números a y b indican qué segmentos corta la línea en los ejes de coordenadas..

Ecuación de una recta que pasa por un punto dado perpendicular a un vector dado

Encontremos la ecuación de una línea recta que pasa por un punto dado Mo (x O; y o) perpendicular a un vector dado distinto de cero n = (A; B).

Tomemos un punto arbitrario M(x; y) en la recta y consideremos el vector M 0 M (x - x 0; y - y o) (ver Fig. 1). Como los vectores n y M o M son perpendiculares, su producto escalar es igual a cero: es decir

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

La ecuación (10.8) se llama ecuación de una recta que pasa por un punto dado perpendicular a un vector dado .

Vector n= (A; B), perpendicular a la recta, se llama normal vector normal de esta línea .

La ecuación (10.8) se puede reescribir como Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

donde A y B son las coordenadas del vector normal, C = -Ax o - Vu o es el término libre. Ecuación (10.9) es la ecuación general de la recta(ver figura 2).

Fig.1 Fig.2

Ecuaciones canónicas de la recta.

Dónde
- coordenadas del punto por el que pasa la línea, y
- vector de dirección.

Curvas de segundo orden Círculo

Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de un punto dado, al que se le llama centro.

Ecuación canónica de un círculo de radio. R centrado en un punto
:

En particular, si el centro de la estaca coincide con el origen de coordenadas, entonces la ecuación quedará así:

Elipse

Una elipse es un conjunto de puntos en un plano, cuya suma de las distancias de cada uno de ellos a dos puntos dados. Y , que se llaman focos, es una cantidad constante
, mayor que la distancia entre focos
.

ecuación canónica una elipse cuyos focos se encuentran en el eje Ox, y el origen de coordenadas en el medio entre los focos tiene la forma
GRAMO Delaware a longitud del semieje mayor; b – longitud del semieje menor (Fig. 2).

Este artículo revela cómo obtener la ecuación de una línea recta que pasa por dos puntos dados en un sistema de coordenadas rectangular ubicado en un plano. Derivemos la ecuación de una línea recta que pasa por dos puntos dados en un sistema de coordenadas rectangular. Mostraremos y resolveremos claramente varios ejemplos relacionados con el material tratado.

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Antes de obtener la ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados, es necesario prestar atención a algunos hechos. Hay un axioma que dice que por dos puntos divergentes de un plano es posible trazar una línea recta y sólo uno. En otras palabras, dos puntos dados en un plano están definidos por una línea recta que pasa por esos puntos.

Si el plano está definido por el sistema de coordenadas rectangular Oxy, entonces cualquier línea recta representada en él corresponderá a la ecuación de una línea recta en el plano. También existe una conexión con el vector director de la línea recta. Estos datos son suficientes para compilar la ecuación de una línea recta que pasa por dos puntos dados.

Veamos un ejemplo de cómo resolver un problema similar. Es necesario crear una ecuación para una línea recta a que pasa por dos puntos divergentes M 1 (x 1, y 1) y M 2 (x 2, y 2), ubicados en el sistema de coordenadas cartesiano.

En la ecuación canónica de una recta en un plano, que tiene la forma x - x 1 a x = y - y 1 a y, un sistema de coordenadas rectangular O x y se especifica con una recta que se cruza con él en un punto con coordenadas M 1 (x 1, y 1) con un vector guía a → = (a x , a y) .

Es necesario crear una ecuación canónica de una recta a, que pasará por dos puntos con coordenadas M 1 (x 1, y 1) y M 2 (x 2, y 2).

La recta a tiene un vector director M 1 M 2 → con coordenadas (x 2 - x 1, y 2 - y 1), ya que cruza los puntos M 1 y M 2. Hemos obtenido los datos necesarios para transformar la ecuación canónica con las coordenadas del vector director M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) y las coordenadas de los puntos M 1 que se encuentran sobre ellos. (x 1, y 1) y M 2 (x 2, y 2). Obtenemos una ecuación de la forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 o x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.

Considere la siguiente figura.

Siguiendo los cálculos, escribimos las ecuaciones paramétricas de una recta en un plano que pasa por dos puntos con coordenadas M 1 (x 1, y 1) y M 2 (x 2, y 2). Obtenemos una ecuación de la forma x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ o x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .

Echemos un vistazo más de cerca a la resolución de varios ejemplos.

Ejemplo 1

Escribe la ecuación de una línea recta que pasa por 2 puntos dados con coordenadas M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.

Solución

La ecuación canónica para una línea que se cruza en dos puntos con coordenadas x 1, y 1 y x 2, y 2 toma la forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Según las condiciones del problema, tenemos que x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Es necesario sustituir los valores numéricos en la ecuación x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. De aquí obtenemos que la ecuación canónica toma la forma x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Respuesta: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Si necesitas resolver un problema con otro tipo de ecuación, primero puedes pasar a la canónica, ya que es más fácil pasar de ella a cualquier otra.

Ejemplo 2

Redacte la ecuación general de una línea recta que pasa por puntos con coordenadas M 1 (1, 1) y M 2 (4, 2) en el sistema de coordenadas O x y.

Solución

Primero, debes escribir la ecuación canónica de una recta dada que pasa por dos puntos dados. Obtenemos una ecuación de la forma x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Llevemos la ecuación canónica a la forma deseada, luego obtenemos:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Respuesta: x - 3 y + 2 = 0 .

En los libros de texto escolares se discutieron ejemplos de tales tareas durante las lecciones de álgebra. Los problemas escolares se diferenciaban en que se conocía la ecuación de una línea recta con un coeficiente angular, que tenía la forma y = k x + b. Si necesita encontrar el valor de la pendiente k y el número b, para lo cual la ecuación y = k x + b define una recta en el sistema O x y que pasa por los puntos M 1 (x 1, y 1) y M 2 (x 2, y 2), donde x 1 ≠ x 2. Cuando x1 = x2 , entonces el coeficiente angular toma el valor de infinito, y la recta M 1 M 2 está definida por la general ecuación incompleta de la forma x - x 1 = 0 .

porque los puntos m 1 Y m2 están en línea recta, entonces sus coordenadas satisfacen la ecuación y 1 = k x 1 + b y y 2 = k x 2 + b. Es necesario resolver el sistema de ecuaciones y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b para k y b.

Para hacer esto, encontramos k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 o k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Con estos valores de k y b, la ecuación de una recta que pasa por los dos puntos dados queda y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 o y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Es imposible recordar una cantidad tan grande de fórmulas a la vez. Para ello, es necesario aumentar el número de repeticiones en la resolución de problemas.

Ejemplo 3

Escriba la ecuación de una línea recta con un coeficiente angular que pasa por puntos con coordenadas M 2 (2, 1) e y = k x + b.

Solución

Para resolver el problema, usamos una fórmula con un coeficiente angular de la forma y = k x + b. Los coeficientes k y b deben tomar un valor tal que esta ecuación corresponda a una línea recta que pasa por dos puntos con coordenadas M 1 (- 7, - 5) y M 2 (2, 1).

Agujas m 1 Y m2 están ubicados en una línea recta, entonces sus coordenadas deben hacer que la ecuación y = k x + b sea una verdadera igualdad. De esto obtenemos que - 5 = k · (- 7) + b y 1 = k · 2 + b. Combinemos la ecuación en el sistema - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b y resolvamos.

Al sustituirlo obtenemos que

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Ahora los valores k = 2 3 y b = - 1 3 se sustituyen en la ecuación y = k x + b. Encontramos que la ecuación requerida que pasa por los puntos dados será una ecuación de la forma y = 2 3 x - 1 3 .

Este método de solución predetermina la pérdida de mucho tiempo. Hay una manera de resolver el problema literalmente en dos pasos.

Escribamos la ecuación canónica de la recta que pasa por M 2 (2, 1) y M 1 (- 7, - 5), que tiene la forma x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Ahora pasemos a la ecuación de la pendiente. Obtenemos que: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

Respuesta: y = 2 3 x - 1 3 .

Si en el espacio tridimensional hay un sistema de coordenadas rectangular O x y z con dos puntos dados no coincidentes con coordenadas M 1 (x 1, y 1, z 1) y M 2 (x 2, y 2, z 2), el recta M que pasa por ellos 1 M 2 , es necesario obtener la ecuación de esta recta.

Tenemos que ecuaciones canónicas de la forma x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z y ecuaciones paramétricas de la forma x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ son capaces de definir una recta en el sistema de coordenadas O x y z, que pasa por puntos que tienen coordenadas (x 1, y 1, z 1) con un vector director a → = (a x, a y, a z).

Recto M 1 M 2 tiene un vector de dirección de la forma M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), donde la línea recta pasa por el punto M 1 (x 1, y 1, z 1) y M 2 (x 2 , y 2 , z 2), por lo tanto, la ecuación canónica puede tener la forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 o x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, a su vez paramétrico x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ o x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

Considere un dibujo que muestra 2 puntos dados en el espacio y la ecuación de una línea recta.

Ejemplo 4

Escribe la ecuación de una recta definida en un sistema de coordenadas rectangular O x y z del espacio tridimensional, que pasa por dos puntos dados con coordenadas M 1 (2, - 3, 0) y M 2 (1, - 3, - 5).

Solución

Es necesario encontrar la ecuación canónica. Dado que estamos hablando de espacio tridimensional, significa que cuando una línea pasa por puntos dados, la ecuación canónica deseada tomará la forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

Por condición tenemos que x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. De ello se deduce que las ecuaciones necesarias se escribirán de la siguiente manera:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Respuesta: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

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Propiedades de una línea recta en geometría euclidiana.

Por cualquier punto se puede trazar un número infinito de líneas rectas.

A través de dos puntos cualesquiera que no coincidan se puede trazar una sola línea recta.

Dos rectas divergentes en un plano se cortan en un solo punto o están

paralelo (sigue del anterior).

En el espacio tridimensional hay tres opciones. posición relativa dos rectas:

las líneas se cruzan;

las líneas son paralelas;

las líneas rectas se cruzan.

Derecho línea— curva algebraica de primer orden: una línea recta en el sistema de coordenadas cartesiano

está dada en el plano por una ecuación de primer grado (ecuación lineal).

Ecuación general de una recta.

Definición. Cualquier línea recta en el plano se puede especificar mediante una ecuación de primer orden.

Hacha + Wu + C = 0,

y constante A, B no son iguales a cero al mismo tiempo. Esta ecuación de primer orden se llama general

ecuación de una recta. Dependiendo de los valores de las constantes. A, B Y CON Son posibles los siguientes casos especiales:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- una recta pasa por el origen

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Por + C = 0)- línea recta paralela al eje Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- línea recta paralela al eje Oh

. B = C = 0, A ≠0- la recta coincide con el eje Oh

. A = C = 0, B≠0- la recta coincide con el eje Oh

La ecuación de una línea recta se puede representar en en varias formas dependiendo de cualquier dado

condiciones iniciales.

Ecuación de una recta a partir de un punto y un vector normal.

Definición. En un sistema de coordenadas rectangular cartesiano, un vector con componentes (A, B)

perpendicular a la recta dada por la ecuación

Hacha + Wu + C = 0.

Ejemplo. Encuentra la ecuación de una recta que pasa por un punto. A(1, 2) perpendicular al vector (3, -1).

Solución. Con A = 3 y B = -1, compongamos la ecuación de la recta: 3x - y + C = 0. Para encontrar el coeficiente C

Sustituyamos las coordenadas del punto A dado en la expresión resultante. Obtenemos: 3 - 2 + C = 0, por lo tanto.

C = -1. Total: la ecuación requerida: 3x - y - 1 = 0.

Ecuación de una recta que pasa por dos puntos.

Sean dos puntos en el espacio. M1 (x1, y1, z1) Y M2 (x 2, y 2, z 2), Entonces ecuación de una recta,

pasando por estos puntos:

Si alguno de los denominadores es cero, el numerador correspondiente debe ser igual a cero. En

plano, la ecuación de la recta escrita arriba se simplifica:

Si x 1 ≠ x 2 Y x = x 1, Si x1 = x2 .

Fracción =k llamado pendiente directo.

Ejemplo. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(3, 4).

Solución. Aplicando la fórmula escrita arriba, obtenemos:

Ecuación de una recta utilizando un punto y una pendiente.

Si la ecuación general de la recta Hacha + Wu + C = 0 conducir a:

y designar , entonces la ecuación resultante se llama

ecuación de una recta con pendiente k.

Ecuación de una recta a partir de un punto y un vector director.

Por analogía con el punto considerando la ecuación de una línea recta que pasa por un vector normal, puedes ingresar a la tarea

una línea recta que pasa por un punto y un vector director de una línea recta.

Definición. Cada vector distinto de cero (α1,α2), cuyos componentes satisfacen la condición

Aα 1 + Bα 2 = 0 llamado vector director de una línea recta.

Hacha + Wu + C = 0.

Ejemplo. Encuentra la ecuación de una recta con un vector director (1, -1) y que pasa por el punto A(1, 2).

Solución. Buscaremos la ecuación de la recta deseada en la forma: Hacha + Por + C = 0. Según la definición,

Los coeficientes deben cumplir las siguientes condiciones:

1 * A + (-1) * B = 0, es decir A = B.

Entonces la ecuación de la recta tiene la forma: Hacha + Ay + C = 0, o x + y + C/A = 0.

en x = 1, y = 2 obtenemos C/A = -3, es decir. ecuación requerida:

x + y - 3 = 0

Ecuación de una recta en segmentos.

Si en la ecuación general de la línea recta Ах + Ву + С = 0 С≠0, entonces, dividiendo por -С, obtenemos:

o donde

Significado geométrico coeficientes es que el coeficiente a es la coordenada del punto de intersección

recto con eje Oh, A b- coordenada del punto de intersección de la línea con el eje Oh.

Ejemplo. La ecuación general de una línea recta está dada. x - y + 1 = 0. Encuentra la ecuación de esta recta en segmentos.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Ecuación normal de una recta.

Si ambos lados de la ecuación Hacha + Wu + C = 0 dividir por número que se llama

factor de normalización, entonces obtenemos

xcosφ + ysinφ - p = 0 -ecuación normal de una recta.

El signo ± del factor de normalización debe elegirse de modo que µ*C< 0.

r- la longitud de la perpendicular caída desde el origen hasta la línea recta,

A φ - el ángulo formado por esta perpendicular con la dirección positiva del eje Oh.

Ejemplo. La ecuación general de la recta está dada. 12x - 5y - 65 = 0. Requerido para escribir varios tipos ecuaciones

esta línea recta.

La ecuación de esta recta en segmentos.:

La ecuación de esta recta con la pendiente.: (dividir por 5)

Ecuación de una recta:

porque φ = 12/13; pecado φ= -5/13; pag = 5.

Cabe señalar que no todas las líneas rectas se pueden representar mediante una ecuación en segmentos, por ejemplo, líneas rectas,

paralelo a los ejes o pasando por el origen.

El ángulo entre líneas rectas en un plano.

Definición. Si se dan dos líneas y = k 1 x + segundo 1 , y = k 2 x + segundo 2, entonces el ángulo agudo entre estas líneas

se definirá como

Dos rectas son paralelas si k 1 = k 2. Dos rectas son perpendiculares

Si k 1 = -1/ k 2 .

Teorema.

Directo Hacha + Wu + C = 0 Y A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 paralelo cuando los coeficientes son proporcionales

A 1 = λA, B 1 = λB. si también С 1 = λС, entonces las líneas coinciden. Coordenadas del punto de intersección de dos rectas.

se encuentran como solución al sistema de ecuaciones de estas rectas.

La ecuación de una recta que pasa por un punto dado perpendicular a una recta dada.

Definición. Línea que pasa por un punto. M1 (x1, y1) y perpendicular a la recta y = kx + b

representado por la ecuación:

Distancia de un punto a una recta.

Teorema. Si se da un punto M(x 0, y 0), entonces la distancia a la recta Hacha + Wu + C = 0 definido como:

Prueba. deja el punto M1 (x1, y1)- la base de una perpendicular caída desde un punto METRO para un determinado

directo. Entonces la distancia entre puntos METRO Y m 1:

(1)

Coordenadas x1 Y a las 1 se puede encontrar como solución al sistema de ecuaciones:

La segunda ecuación del sistema es la ecuación de una línea recta que pasa por un punto dado M 0 perpendicularmente

línea recta dada. Si transformamos la primera ecuación del sistema a la forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Por 0 + C = 0,

luego resolviendo obtenemos:

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación (1), encontramos:

El teorema está demostrado.

Que se den dos puntos METRO(incógnita 1 ,Ud. 1) y norte(incógnita 2,y 2). Encontremos la ecuación de la recta que pasa por estos puntos.

Como esta recta pasa por el punto METRO, entonces según la fórmula (1.13) su ecuación tiene la forma

Ud. – Y 1 = k(X–x 1),

Dónde k– coeficiente angular desconocido.

El valor de este coeficiente se determina a partir de la condición de que la línea recta deseada pase por el punto norte, lo que significa que sus coordenadas satisfacen la ecuación (1.13)

Y 2 – Y 1 = k(incógnita 2 – incógnita 1),

Desde aquí puedes encontrar la pendiente de esta recta:

O después de la conversión

(1.14)

La fórmula (1.14) determina Ecuación de una recta que pasa por dos puntos. METRO(incógnita 1, Y 1) y norte(incógnita 2, Y 2).

En el caso especial cuando los puntos METRO(A, 0), norte(0, B), A ¹ 0, B¹ 0, se encuentran en los ejes de coordenadas, la ecuación (1.14) tomará una forma más simple

Ecuación (1.15) llamado Ecuación de una recta en segmentos, Aquí A Y B denotamos los segmentos cortados por una línea recta en los ejes (Figura 1.6).

Figura 1.6

Ejemplo 1.10. Escribe una ecuación para una recta que pasa por los puntos. METRO(1, 2) y B(3, –1).

. Según (1.14), la ecuación de la recta deseada tiene la forma

2(Y – 2) = -3(incógnita – 1).

Transferiendo todos los términos al lado izquierdo, finalmente obtenemos la ecuación deseada.

3incógnita + 2Y – 7 = 0.

Ejemplo 1.11. Escribe una ecuación para una recta que pasa por un punto. METRO(2, 1) y el punto de intersección de las rectas incógnita+ Y – 1 = 0, X – y+ 2 = 0.

. Encontraremos las coordenadas del punto de intersección de las rectas resolviendo estas ecuaciones juntas

Si sumamos estas ecuaciones término por término, obtenemos 2 incógnita+ 1 = 0, de donde . Sustituyendo el valor encontrado en cualquier ecuación, encontramos el valor de la ordenada. Ud.:

Ahora escribamos la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2, 1) y:

o .

Por lo tanto o –5( Y – 1) = incógnita – 2.

Finalmente obtenemos la ecuación de la recta deseada en la forma incógnita + 5Y – 7 = 0.

Ejemplo 1.12. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos. METRO(2.1) y norte(2,3).

Usando la fórmula (1.14), obtenemos la ecuación

No tiene sentido ya que el segundo denominador es cero. De las condiciones del problema se desprende que las abscisas de ambos puntos tienen el mismo valor. Esto significa que la línea recta deseada es paralela al eje. oy y su ecuación es: incógnita = 2.

Comentario . Si, al escribir la ecuación de una línea usando la fórmula (1.14), uno de los denominadores resulta ser igual a cero, entonces la ecuación deseada se puede obtener igualando el numerador correspondiente a cero.

Consideremos otras formas de definir una línea en un plano.

1. Sea un vector distinto de cero perpendicular a la recta dada. l y punto METRO 0(incógnita 0, Y 0) se encuentra en esta línea (Figura 1.7).

Figura 1.7

denotemos METRO(incógnita, Y) cualquier punto de una recta l. Vectores y Ortogonal. Usando las condiciones de ortogonalidad de estos vectores, obtenemos o A(incógnita – incógnita 0) + B(Y – Y 0) = 0.

Hemos obtenido la ecuación de una recta que pasa por un punto. METRO 0 es perpendicular al vector. Este vector se llama vectores normales a una línea recta l. La ecuación resultante se puede reescribir como

Oh + Wu + CON= 0, donde CON = –(Aincógnita 0 + Por 0), (1.16),

Dónde A Y EN– coordenadas del vector normal.

Obtenemos la ecuación general de la recta en forma paramétrica.

2. Una línea recta en un plano se puede definir de la siguiente manera: sea un vector distinto de cero paralelo a la línea recta dada l y punto METRO 0(incógnita 0, Y 0) se encuentra en esta línea. Tomemos de nuevo un punto arbitrario. METRO(incógnita, y) en línea recta (Figura 1.8).

Figura 1.8

Vectores y colineal.

Anotemos la condición para la colinealidad de estos vectores: , donde t– un número arbitrario llamado parámetro. Escribamos esta igualdad en coordenadas:

Estas ecuaciones se llaman Ecuaciones paramétricas Directo. Excluyamos el parámetro de estas ecuaciones. t:

De lo contrario, estas ecuaciones se pueden escribir como

. (1.18)

La ecuación resultante se llama La ecuación canónica de la recta.. El vector se llama El vector director es recto. .

Comentario . Es fácil ver que if es el vector normal a la recta l, entonces su vector dirección puede ser el vector desde , es decir .

Ejemplo 1.13. Escribe la ecuación de una recta que pasa por un punto. METRO 0(1, 1) paralelo a la línea 3 incógnita + 2Ud.– 8 = 0.

Solución . El vector es el vector normal a las líneas dadas y deseadas. Usemos la ecuación de una recta que pasa por un punto. METRO 0 con un vector normal dado 3( incógnita –1) + 2(Ud.– 1) = 0 o 3 incógnita + 2u– 5 = 0. Obtuvimos la ecuación de la recta deseada.

Que se den dos puntos M1 (x1,y1) Y M2 (x2,y2). Escribamos la ecuación de la recta en la forma (5), donde k coeficiente aún desconocido:

Desde el punto m2 pertenece a una recta dada, entonces sus coordenadas satisfacen la ecuación (5): . Expresando desde aquí y sustituyéndolo en la ecuación (5), obtenemos la ecuación requerida:

Si Esta ecuación se puede reescribir en una forma que sea más conveniente para la memorización:

(6)

Ejemplo. Escribe la ecuación de una recta que pasa por los puntos M 1 (1,2) y M 2 (-2,3)

Solución. . Utilizando la propiedad de proporción y realizando las transformaciones necesarias, obtenemos la ecuación general de una recta:

Ángulo entre dos rectas

Considere dos líneas rectas yo 1 Y yo 2:

yo 1: , , Y

yo 2: , ,

φ es el ángulo entre ellos (). De la Fig. 4 queda claro: .

Desde aquí , o

Usando la fórmula (7) puedes determinar uno de los ángulos entre líneas rectas. El segundo ángulo es igual a .

Ejemplo. Dos líneas rectas están dadas por las ecuaciones y=2x+3 e y=-3x+2. Encuentra el ángulo entre estas líneas.

Solución. De las ecuaciones se desprende claramente que k 1 =2 y k 2 =-3. Sustituyendo estos valores en la fórmula (7), encontramos

. Por tanto, el ángulo entre estas líneas es igual a .

Condiciones de paralelismo y perpendicularidad de dos rectas.

si es heterosexual yo 1 Y yo 2 son paralelos, entonces φ=0 Y tgφ=0. de la fórmula (7) se deduce que , de donde k 2 =k 1. Por tanto, la condición para el paralelismo de dos rectas es la igualdad de sus coeficientes angulares.

si es heterosexual yo 1 Y yo 2 son perpendiculares, entonces φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . . Por tanto, la condición para la perpendicularidad de dos rectas es que sus coeficientes angulares sean de magnitud inversa y de signo opuesto.

Distancia de un punto a una línea

Teorema. Si se da un punto M(x 0, y 0), entonces la distancia a la recta Ax + Bу + C = 0 se determina como

Prueba. Sea el punto M 1 (x 1, y 1) la base de una perpendicular que cae desde el punto M a una línea recta dada. Entonces la distancia entre los puntos M y M 1:

Las coordenadas x 1 e y 1 se pueden encontrar resolviendo el sistema de ecuaciones:

La segunda ecuación del sistema es la ecuación de una recta que pasa por un punto dado M 0 perpendicular a una recta dada.

Si transformamos la primera ecuación del sistema a la forma:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Por 0 + C = 0,

luego resolviendo obtenemos:

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación (1), encontramos:

El teorema está demostrado.

Ejemplo. Determine el ángulo entre las líneas: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k1 = -3; k 2 = 2 tanj= ; j = p/4.

Ejemplo. Demuestre que las rectas 3x – 5y + 7 = 0 y 10x + 6y – 3 = 0 son perpendiculares.

Encontramos: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, por tanto, las rectas son perpendiculares.

Ejemplo. Se dan los vértices del triángulo A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Encuentra la ecuación de la altura extraída del vértice C.

Encontramos la ecuación del lado AB: ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

La ecuación de altura requerida tiene la forma: Ax + By + C = 0 o y = kx + b.

k= . Entonces y = . Porque altura pasa por el punto C, entonces sus coordenadas satisfacen esta ecuación: de donde b = 17. Total: .

Respuesta: 3x + 2y – 34 = 0.

La distancia de un punto a una recta está determinada por la longitud de la perpendicular trazada desde el punto a la recta.

Si la línea es paralela al plano de proyección. (h | | P 1), entonces para determinar la distancia desde el punto A a una línea recta h es necesario bajar la perpendicular desde el punto A a la horizontal h.

Consideremos más ejemplo complejo, cuando la recta toma posición general. Sea necesario determinar la distancia desde un punto. METRO a una línea recta A posición general.

Tarea de determinación distancias entre rectas paralelas Se resuelve de forma similar al anterior. Se toma un punto en una línea y desde allí se traza una perpendicular a otra línea. La longitud de una perpendicular es igual a la distancia entre líneas paralelas.

Curva de segundo orden es una recta definida por una ecuación de segundo grado relativa a las coordenadas cartesianas actuales. En el caso general, Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,

donde A, B, C, D, E, F son números reales y al menos uno de los números A 2 + B 2 + C 2 ≠0.

Círculo

Centro del círculo– este es el lugar geométrico de los puntos en el plano equidistantes de un punto en el plano C(a,b).

El círculo viene dado por la siguiente ecuación:

Donde x,y son las coordenadas de un punto arbitrario en el círculo, R es el radio del círculo.

Signo de la ecuación de un círculo.

1. Falta el término con x, y

2. Los coeficientes para x 2 y y 2 son iguales

Elipse

Elipse se llama lugar geométrico de puntos en un plano, la suma de las distancias de cada uno de los cuales desde dos puntos dados de este plano se llama focos (un valor constante).

La ecuación canónica de la elipse:

X e y pertenecen a la elipse.

a – semieje mayor de la elipse

b – semieje menor de la elipse

La elipse tiene 2 ejes de simetría OX y OU. Los ejes de simetría de una elipse son sus ejes, el punto de su intersección es el centro de la elipse. El eje en el que se ubican los focos se llama eje focal. El punto de intersección de la elipse con los ejes es el vértice de la elipse.

Relación de compresión (tensión): ε = s/a– excentricidad (caracteriza la forma de la elipse), cuanto más pequeña es, menos se extiende la elipse a lo largo del eje focal.

Si los centros de la elipse no están en el centro C(α, β)

Hipérbola

Hipérbole Se llama lugar geométrico de los puntos en un plano, el valor absoluto de la diferencia de distancias, cada una de las cuales desde dos puntos dados de este plano, llamados focos, es un valor constante distinto de cero.

Ecuación de hipérbola canónica

Una hipérbola tiene 2 ejes de simetría:

a – semieje de simetría real

b – semieje de simetría imaginario

Asíntotas de una hipérbola:

Parábola

Parábola es el lugar geométrico de los puntos en el plano equidistantes de un punto dado F, llamado foco, y de una recta dada, llamada directriz.

La ecuación canónica de una parábola:

У 2 =2рх, donde р es la distancia desde el foco a la directriz (parámetro de parábola)

Si el vértice de la parábola es C (α, β), entonces la ecuación de la parábola (y-β) 2 = 2р(x-α)

Si el eje focal se toma como eje de ordenadas, entonces la ecuación de la parábola tomará la forma: x 2 =2qу