Transformación de fracciones racionales (algebraicas), tipos de transformaciones, ejemplos. Información básica sobre expresiones racionales y sus transformaciones.
El artículo habla de la transformación de expresiones racionales. Consideremos los tipos de expresiones racionales, sus transformaciones, agrupaciones y poner entre paréntesis el factor común. Aprendamos a representar expresiones racionales fraccionarias en forma de fracciones racionales.
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Definición y ejemplos de expresiones racionales.
Definición 1Se llaman expresiones que se componen de números, variables, paréntesis, potencias con las operaciones de suma, resta, multiplicación, división con presencia de una línea de fracción. expresiones racionales.
Por ejemplo, tenemos que 5, 2 3 x - 5, - 3 a b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b), (x + 1) (y - 2) x 5 - 5 · x · y · 2 - 1 11 · x 3 .
Es decir, se trata de expresiones que no se dividen en expresiones con variables. El estudio de las expresiones racionales comienza en el octavo grado, donde se denominan expresiones racionales fraccionarias. Se presta especial atención a las fracciones en el numerador, que se transforman mediante reglas de transformación.
Esto nos permite proceder a la transformación de fracciones racionales de forma arbitraria. Esta expresión puede considerarse como una expresión con presencia de fracciones racionales y expresiones enteras con signos de acción.
Principales tipos de transformaciones de expresiones racionales.
Las expresiones racionales se utilizan para realizar transformaciones idénticas, agrupaciones, traer similares y realizar otras operaciones con números. El propósito de tales expresiones es la simplificación.
Ejemplo 1
Convierte la expresión racional 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 .
Solución
Se puede ver que dicha expresión racional es la diferencia entre 3 x x y - 1 y 2 x x y - 1. Notamos que su denominador es idéntico. Esto significa que la reducción de términos similares tomará la forma
3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 3 - 2 = x x y - 1
Respuesta: 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 = x x · y - 1 .
Ejemplo 2
Convertir 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x).
Solución
Inicialmente, realizamos las acciones entre paréntesis 3 · x − x = 2 · x. Presentamos esta expresión en la forma 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x. Llegamos a una expresión que contiene operaciones de un paso, es decir, tiene suma y resta.
Eliminamos los paréntesis usando la propiedad de división. Entonces obtenemos que 2 x y 4 (- 4) x 2: 2 x = 2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x.
Agrupamos factores numéricos con la variable x, tras lo cual podemos realizar operaciones con potencias. lo entendemos
2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x = (2 (- 4) : 2) (x x 2: x) y 4 = - 4 x 2 y 4
Respuesta: 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = - 4 x 2 y 4.
Ejemplo 3
Transformar una expresión de la forma x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 .
Solución
Primero, transformamos el numerador y el denominador. Luego obtenemos una expresión de la forma (x · (x + 3) - (3 · x + 1)): 1 2 · x · 4 + 2, y las acciones entre paréntesis se realizan primero. En el numerador se realizan operaciones y se agrupan factores. Luego obtenemos una expresión de la forma x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x 2 + 3 · x - 3 · x - 1 1 2 · 4 · x + 2 = x 2 - 1 2 · x + 2 .
Transformamos la fórmula de diferencia de cuadrados en el numerador, luego obtenemos que
x 2 - 1 2 x + 2 = (x - 1) (x + 1) 2 (x + 1) = x - 1 2
Respuesta: x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x - 1 2 .
Representación de fracción racional
Las fracciones algebraicas suelen simplificarse cuando se resuelven. Todo racional se reduce a esto. de diferentes maneras. Es necesario realizar todas las operaciones necesarias con polinomios para que la expresión racional pueda dar finalmente una fracción racional.
Ejemplo 4
Presentar como fracción racional a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a.
Solución
Esta expresión se puede representar como a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a. La multiplicación se realiza principalmente según las reglas.
Deberíamos comenzar con la multiplicación, luego obtenemos eso.
a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a - 5 (a + 5) a + 3 1 a (a + 5) = a - 5 (a + 5) 1 (a + 3) a (a + 5) = un - 5 (un + 3) un
Presentamos el resultado obtenido con el original. lo entendemos
a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a
Ahora hagamos la resta:
a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a = a + 5 · a + 3 a · (a - 3) · (a + 3) - (a - 5) · (a - 3) (a + 3) a (a - 3) = = a + 5 a + 3 - (a - 5) (a - 3) a (a - 3) (a + 3) = a 2 + 3 a + 5 a + 15 - (a 2 - 3 a - 5 a + 15) a (a - 3) (a + 3) = = 16 a a (a - 3) (a + 3) = 16 a - 3 (a + 3) = 16 un 2 - 9
Después de lo cual es obvio que la expresión original tomará la forma 16 a 2 - 9.
Respuesta: a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = 16 a 2 - 9 .
Ejemplo 5
Expresa x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x como una fracción racional.
Solución
La expresión dada se escribe como una fracción, cuyo numerador tiene x x + 1 + 1 y el denominador 2 x - 1 1 + x. Es necesario hacer transformaciones x x + 1 + 1 . Para hacer esto necesitas sumar una fracción y un número. Obtenemos que x x + 1 + 1 = x x + 1 + 1 1 = x x + 1 + 1 · (x + 1) 1 · (x + 1) = x x + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1x + 1 = 2x + 1x + 1
Se deduce que x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 2 x - 1 1 + x
La fracción resultante se puede escribir como 2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x.
Después de la división llegamos a una fracción racional de la forma
2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 (1 + x) (x + 1) (2 x - 1 ) = 2 x + 1 2 x - 1
Puedes resolver esto de otra manera.
En lugar de dividir por 2 x - 1 1 + x, multiplicamos por su inverso 1 + x 2 x - 1. Aplicable propiedad distributiva y lo entendemos
x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1: 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = = x x + 1 1 + x 2 x - 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = x 1 + x (x + 1) 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = = x 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = x + 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 2 x - 1
Respuesta: x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 2 · x - 1 .
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En el pasado lejano, cuando aún no se había inventado el sistema numérico, la gente contaba todo con los dedos. Con la llegada de la aritmética y los conceptos básicos de las matemáticas, se volvió mucho más fácil y práctico realizar un seguimiento de bienes, productos y artículos para el hogar. Sin embargo, ¿cómo se ve? sistema moderno Cálculo: ¿en qué tipos se dividen los números existentes y qué significa “forma racional de los números”? Vamos a resolverlo.
¿Cuántos tipos de números hay en matemáticas?
El concepto mismo de "número" denota una determinada unidad de cualquier objeto que caracteriza sus indicadores cuantitativos, comparativos u ordinales. Para calcular correctamente el número de determinadas cosas o realizar determinadas operaciones matemáticas con números (suma, multiplicación, etc.), conviene en primer lugar familiarizarse con las variedades de esos mismos números.
Entonces, los números existentes se pueden dividir en las siguientes categorías:
- Los números naturales son aquellos números con los que contamos el número de objetos (el número natural más pequeño es 1, es lógico que la serie números naturales es infinito, es decir, no existe el número natural más grande). El conjunto de los números naturales suele denotarse con la letra N.
- Números enteros. Este conjunto incluye todo, mientras que también se le añaden valores negativos, incluido el número “cero”. La designación de un conjunto de números enteros se escribe con la letra latina Z.
- Los números racionales son aquellos que podemos transformar mentalmente en una fracción, cuyo numerador pertenecerá al conjunto de los números enteros, y el denominador pertenecerá al conjunto de los números naturales. A continuación veremos con más detalle lo que significa un "número racional" y daremos algunos ejemplos.
- - un conjunto que incluye todos los racionales y este conjunto se denota con la letra R.
- Los números complejos contienen parte de un número real y parte de un número variable. Se utilizan para resolver varias ecuaciones cúbicas que, a su vez, pueden tener una expresión negativa en las fórmulas (i 2 = -1).
Qué significa “racional”: veamos ejemplos
Si se consideran números racionales aquellos que podemos representar en la forma fracción común, entonces resulta que todos los números enteros positivos y negativos también están incluidos en el conjunto de los racionales. Después de todo, cualquier número entero, por ejemplo 3 o 15, se puede representar como una fracción, donde el denominador es uno.
Fracciones: -9/3; 5/7, 55/6: aquí hay ejemplos numeros racionales.
¿Qué significa "expresión racional"?
Sigamos adelante. Ya hemos comentado qué significa la forma racional de los números. imaginemos ahora expresión matemática, que consta de la suma, diferencia, producto o cociente de varios números y variables. Aquí hay un ejemplo: una fracción en la que el numerador es la suma de dos o más números enteros y el denominador contiene tanto un número entero como alguna variable. Es este tipo de expresión la que se llama racional. Con base en la regla "no se puede dividir por cero", puedes adivinar que el valor de esta variable no puede ser tal que el valor del denominador sea cero. Por lo tanto, al resolver una expresión racional, primero debes determinar el rango de la variable. Por ejemplo, si el denominador tiene la siguiente expresión: x+5-2, entonces resulta que “x” no puede ser igual a -3. De hecho, en este caso, toda la expresión se vuelve cero, por lo que al resolver es necesario excluir el número entero -3 para esta variable.
¿Cómo resolver correctamente ecuaciones racionales?
Las expresiones racionales pueden contener una cantidad bastante grande de números e incluso 2 variables, por lo que a veces resolverlas resulta difícil. Para facilitar la solución de dicha expresión, se recomienda realizar determinadas operaciones de forma racional. Entonces, ¿qué significa “de forma racional” y qué reglas se deben aplicar a la hora de tomar una decisión?
- El primer tipo, cuando basta con simplificar la expresión. Para ello, puedes recurrir a la operación de reducir el numerador y el denominador a un valor irreducible. Por ejemplo, si el numerador tiene la expresión 18x y el denominador tiene 9x, entonces, al reducir ambos exponentes en 9x, simplemente obtenemos un número entero igual a 2.
- El segundo método es práctico cuando tenemos un monomio en el numerador y un polinomio en el denominador. Veamos un ejemplo: en el numerador tenemos 5x y en el denominador 5x + 20x 2. En este caso, lo mejor es sacar la variable del denominador entre paréntesis, obtenemos la siguiente forma del denominador: 5x(1+4x). Ahora puedes usar la primera regla y simplificar la expresión cancelando 5x en el numerador y denominador. Como resultado, obtenemos una fracción de la forma 1/1+4x.
¿Qué operaciones puedes realizar con números racionales?
El conjunto de números racionales tiene varias características propias. Muchos de ellos son muy similares a las características presentes en los números enteros y naturales, debido a que estos últimos siempre están incluidos en el conjunto de los racionales. Aquí hay algunas propiedades de los números racionales, sabiendo cuáles puedes resolver fácilmente cualquier expresión racional.
- La propiedad conmutativa permite sumar dos o más números, independientemente de su orden. En pocas palabras, cambiar los lugares de los términos no cambia la suma.
- La propiedad distributiva permite resolver problemas utilizando la ley de distribución.
- Y por último, las operaciones de suma y resta.
Incluso los escolares saben lo que significa "forma racional de los números" y cómo resolver problemas basados en tales expresiones, por lo que un adulto educado simplemente necesita recordar al menos los conceptos básicos del conjunto de números racionales.
Una expresión racional es una expresión algebraica que no contiene radicales. En otras palabras, se trata de una o más cantidades algebraicas (números y letras) conectadas por signos. operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación... ... Wikipedia
Una expresión algebraica que no contiene radicales e incluye solo las operaciones de suma, resta, multiplicación y división. Por ejemplo, a2 + b, x/(y z2)… Gran diccionario enciclopédico
Una expresión algebraica que no contiene radicales e incluye solo las operaciones de suma, resta, multiplicación y división. Por ejemplo, a2 + b, x/(y z2). * * * EXPRESIÓN RACIONAL EXPRESIÓN RACIONAL, una expresión algebraica que no contiene... ... Diccionario enciclopédico
Una expresión algebraica que no contiene radicales, por ejemplo a2 + b, x/(y z3). Si los incluidos en la R. v. las letras se consideran variables, entonces R. v. define una función racional (Ver Función racional) de estas variables... Gran enciclopedia soviética
Una expresión algebraica que no contiene radicales e incluye solo las operaciones de suma, resta, multiplicación y división. Por ejemplo, a2 + b, x/(y z2) ... Ciencias naturales. Diccionario enciclopédico
EXPRESIÓN- un concepto matemático primario, que significa un registro de letras y números conectados por signos de operaciones aritméticas, en el que se pueden utilizar paréntesis, notaciones de funciones, etc.; Generalmente B es una parte de un millón de la fórmula. Hay B (1)…… Gran Enciclopedia Politécnica
RACIONAL- (Racional; Racional) término utilizado para describir pensamientos, sentimientos y acciones consistentes con la razón; una actitud basada en valores objetivos obtenidos como resultado de la experiencia práctica “Los valores objetivos se establecen en la experiencia... ... Diccionario de psicología analítica
COGNICIÓN RACIONAL- una imagen subjetiva del mundo objetivo obtenida a través del pensamiento. El pensamiento es un proceso activo de reflexión generalizada e indirecta de la realidad, asegurando el descubrimiento de sus conexiones naturales a partir de datos sensoriales y su expresión... Filosofía de la Ciencia y la Tecnología: Diccionario Temático
ECUACIÓN RACIONAL- Una expresión lógica o matemática basada en suposiciones (racionales) sobre procesos. Estas ecuaciones se diferencian de las empíricas en que sus parámetros se obtienen como resultado de conclusiones deductivas de teorías... ... Diccionario en psicología
RACIONAL, racional, racional; racional, racional, racional. 1. adj. al racionalismo (libro). Filosofía racional. 2. Bastante razonable, justificado, apropiado. Hizo una propuesta racional. Racional... ... Diccionario explicativo de Ushakov
1) R. ecuación algebraica f(x)=0 grado n ecuación algebraica g(y)=0 con coeficientes que dependen racionalmente de los coeficientes f(x), de modo que el conocimiento de las raíces de esta ecuación nos permite encontrar las raíces de esta ecuación... ... Enciclopedia Matemática
¡Notas importantes!
1. Si ve galimatías en lugar de fórmulas, borre su caché. Cómo hacer esto en su navegador está escrito aquí:
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A menudo escuchamos esta desagradable frase: "simplifica la expresión". Normalmente vemos algún tipo de monstruo como este:
"Es mucho más sencillo", decimos, pero esa respuesta normalmente no funciona.
Ahora te enseñaré a no tener miedo de tales tareas.
Además, al final de la lección, usted mismo simplificará este ejemplo a (¡solo!) un número ordinario (sí, al diablo con estas letras).
Pero antes de comenzar esta actividad, debes poder manejar fracciones Y polinomios factoriales.
Por lo tanto, si no ha hecho esto antes, asegúrese de dominar los temas “” y “”.
¿Lo has leído? En caso afirmativo, ya está listo.
¡Vamos! (¡Vamos!)
Operaciones básicas de simplificación de expresiones
Ahora veamos las técnicas básicas que se utilizan para simplificar expresiones.
El más simple es
1. Trayendo similares
¿Qué son similares? Tomaste esto en séptimo grado, cuando aparecieron por primera vez letras en lugar de números en matemáticas.
Similar- estos son términos (monomios) con la misma parte de letras.
Por ejemplo, en la suma, términos similares son y.
¿Te acuerdas?
dar similares- significa sumar varios términos similares entre sí y obtener un término.
¿Cómo podemos juntar las letras? - preguntas.
Esto es muy fácil de entender si imaginas que las letras son una especie de objetos.
Por ejemplo, una carta es una silla. Entonces ¿a qué es igual la expresión?
Dos sillas más tres sillas ¿cuántas serán? Así es, sillas: .
Ahora prueba esta expresión: .
Para evitar confusiones, permita que letras diferentes representen objetos diferentes.
Por ejemplo, - es (como siempre) una silla y - es una mesa.
sillas mesas sillas mesas sillas sillas mesas
Los números por los que se multiplican las letras de dichos términos se llaman coeficientes.
Por ejemplo, en un monomio el coeficiente es igual. Y en eso es igual.
Entonces, la regla para traer similares es:
Ejemplos:
Da otros similares:
Respuestas:
2. (y similares, ya que, por tanto, estos términos tienen la misma parte alfabética).
2. Factorización
Esto suele ser la parte más importante en la simplificación de expresiones.
Después de haber dado otros similares, la mayoría de las veces se necesita la expresión resultante. factorizar, es decir, presentado en forma de producto.
Especialmente esto importante en fracciones: después de todo, para poder reducir la fracción, El numerador y el denominador deben representarse como un producto.
Ya analizaste en detalle los métodos de factorización de expresiones en el tema “”, así que aquí solo tienes que recordar lo que aprendiste.
Para ello, resuelve varios ejemplos (es necesario factorizarlos)
Ejemplos:
Soluciones:
3. Reducir una fracción.
Bueno, ¿qué podría ser más agradable que tachar parte del numerador y del denominador y sacarlos de tu vida?
Ésa es la belleza de la reducción de personal.
Es sencillo:
Si el numerador y el denominador contienen los mismos factores, se pueden reducir, es decir, eliminar de la fracción.
Esta regla se deriva de la propiedad básica de una fracción:
Es decir, la esencia de la operación de reducción es que Dividimos el numerador y denominador de la fracción por el mismo número (o por la misma expresión).
Para reducir una fracción necesitas:
1) numerador y denominador factorizar
2) si el numerador y el denominador contienen factores comunes, se pueden tachar.
Ejemplos:
¿El principio, creo, es claro?
Me gustaría llamar su atención sobre una cosa. error típico al contratar. Aunque este tema es simple, muchas personas hacen todo mal, sin entender que reducir- esto significa dividir numerador y denominador son el mismo número.
No se permiten abreviaturas si el numerador o denominador es una suma.
Por ejemplo: necesitamos simplificar.
Algunas personas hacen esto: lo cual es absolutamente incorrecto.
Otro ejemplo: reducir.
Los "más inteligentes" harán esto:
Dime ¿qué pasa aquí? Parecería: - este es un multiplicador, lo que significa que se puede reducir.
Pero no: - este es un factor de un solo término en el numerador, pero el numerador en sí no está factorizado en su conjunto.
He aquí otro ejemplo: .
Esta expresión está factorizada, lo que significa que puedes reducirla, es decir, dividir el numerador y el denominador entre y luego entre:
Puedes dividirlo inmediatamente en:
Para evitar este tipo de errores, recuerde manera fácil cómo determinar si una expresión está factorizada:
La operación aritmética que se realiza en último lugar al calcular el valor de una expresión es la operación “maestra”.
Es decir, si sustituyes algunos (cualquier) número en lugar de letras e intentas calcular el valor de la expresión, entonces si la última acción es la multiplicación, entonces tenemos un producto (la expresión está factorizada).
Si la última acción es suma o resta, esto significa que la expresión no está factorizada (y por lo tanto no se puede reducir).
Para reforzar esto, resuelve tú mismo algunos ejemplos:
Ejemplos:
Soluciones:
4. Sumar y restar fracciones. Reducir fracciones a un denominador común.
Sumar y restar fracciones ordinarias es una operación familiar: buscamos un denominador común, multiplicamos cada fracción por el factor que falta y sumamos/restamos los numeradores.
Recordemos:
Respuestas:
1. Los denominadores y son primos relativos, es decir, no tienen factores comunes. Por tanto, el MCM de estos números es igual a su producto. Este será el denominador común:
2. Aquí el denominador común es:
3. Lo primero aquí fracciones mixtas los convertimos en incorrectos y luego seguimos el patrón habitual:
Es completamente diferente si las fracciones contienen letras, por ejemplo:
Comencemos con algo simple:
a) Los denominadores no contienen letras.
Aquí todo es igual que con las fracciones numéricas ordinarias: encontramos el denominador común, multiplicamos cada fracción por el factor que falta y sumamos/restamos los numeradores:
Ahora en el numerador puedes poner otros similares, si los hay, y factorizarlos:
Pruébelo usted mismo:
Respuestas:
b) Los denominadores contienen letras.
Recordemos el principio de encontrar un denominador común sin letras:
· en primer lugar, determinamos los factores comunes;
· luego escribimos todos los factores comunes uno por uno;
· y multiplicarlos por todos los demás factores no comunes.
Para determinar los factores comunes de los denominadores, primero los factorizamos en factores primos:
Destacamos los factores comunes:
Ahora escribamos los factores comunes uno a la vez y agreguemos todos los factores no comunes (no subrayados):
Este es el denominador común.
Volvamos a las letras. Los denominadores se dan exactamente de la misma manera:
· factorizar los denominadores;
· determinar factores comunes (idénticos);
· escriba todos los factores comunes una vez;
· multiplicarlos por todos los demás factores no comunes.
Entonces, en orden:
1) factorizar los denominadores:
2) determinar factores comunes (idénticos):
3) escribe todos los factores comunes una vez y multiplícalos por todos los demás factores (no subrayados):
Entonces aquí hay un denominador común. La primera fracción debe multiplicarse por, la segunda por:
Por cierto, hay un truco:
Por ejemplo: .
Vemos los mismos factores en los denominadores, solo que todos con diferentes indicadores. El denominador común será:
hasta cierto punto
hasta cierto punto
hasta cierto punto
hasta cierto punto.
Compliquemos la tarea:
¿Cómo hacer que las fracciones tengan el mismo denominador?
Recordemos la propiedad básica de una fracción:
En ninguna parte dice que se pueda restar (o sumar) el mismo número al numerador y denominador de una fracción. ¡Porque no es verdad!
Compruébalo tú mismo: toma cualquier fracción, por ejemplo, y suma algún número al numerador y denominador, por ejemplo, . ¿Qué aprendiste?
Entonces, otra regla inquebrantable:
Cuando reduce fracciones a denominador común, ¡usa solo la operación de multiplicación!
¿Pero por qué necesitas multiplicar para obtener?
Entonces multiplica por. Y multiplica por:
Llamaremos "factores elementales" a las expresiones que no se pueden factorizar.
Por ejemplo, este es un factor elemental. - Mismo. Pero no: se puede factorizar.
¿Qué pasa con la expresión? ¿Es elemental?
No, porque se puede factorizar:
(ya leíste sobre factorización en el tema “”).
Entonces, los factores elementales en los que se descompone una expresión con letras son análogos de los factores simples en los que se descomponen los números. Y los trataremos de la misma manera.
Vemos que ambos denominadores tienen un multiplicador. Irá al denominador común en el grado (¿recuerdas por qué?).
El factor es elemental, y no tienen factor común, lo que significa que simplemente habrá que multiplicar la primera fracción por él:
Otro ejemplo:
Solución:
Antes de multiplicar estos denominadores en pánico, ¿debes pensar en cómo factorizarlos? Ambos representan:
¡Excelente! Entonces:
Otro ejemplo:
Solución:
Como siempre, factoricemos los denominadores. En el primer denominador simplemente lo ponemos entre paréntesis; en el segundo - la diferencia de cuadrados:
Parecería que no hay factores comunes. Pero si te fijas bien, son similares... Y es cierto:
Entonces escribamos:
Es decir, resultó así: dentro del paréntesis intercambiamos los términos y al mismo tiempo el signo delante de la fracción cambió al contrario. Toma nota, tendrás que hacer esto con frecuencia.
Ahora llevémoslo a un denominador común:
¿Entiendo? Comprobémoslo ahora.
Tareas para solución independiente:
Respuestas:
5. Multiplicación y división de fracciones.
Bueno, la parte más difícil ya pasó. Y delante de nosotros está el más sencillo, pero a la vez el más importante:
Procedimiento
¿Cuál es el procedimiento para calcular una expresión numérica? Recuerda calculando el significado de esta expresión:
¿Contaste?
Debería funcionar.
Así que déjame recordarte.
El primer paso es calcular el grado.
El segundo es la multiplicación y la división. Si hay varias multiplicaciones y divisiones al mismo tiempo, se pueden hacer en cualquier orden.
Y finalmente, realizamos sumas y restas. De nuevo, en cualquier orden.
Pero: ¡la expresión entre paréntesis se evalúa fuera de turno!
Si se multiplican o dividimos varios corchetes entre sí, primero calculamos la expresión en cada uno de los corchetes y luego los multiplicamos o dividimos.
¿Qué pasa si hay más corchetes dentro de los corchetes? Bueno, pensemos: alguna expresión está escrita entre paréntesis. Al calcular una expresión, ¿qué debes hacer primero? Así es, calcula los paréntesis. Bueno, lo descubrimos: primero calculamos los paréntesis internos, luego todo lo demás.
Entonces, el procedimiento para la expresión anterior es el siguiente (está resaltada en rojo la acción actual, es decir, la acción que estoy realizando ahora mismo):
Vale, es todo sencillo.
¿Pero esto no es lo mismo que una expresión con letras?
¡No, es lo mismo! Solo que en lugar de operaciones aritméticas es necesario realizar operaciones algebraicas, es decir, las acciones descritas en el apartado anterior: trayendo similares, suma de fracciones, reducción de fracciones, etc. La única diferencia será la acción de factorizar polinomios (a menudo usamos esto cuando trabajamos con fracciones). La mayoría de las veces, para factorizar, es necesario usar I o simplemente poner el factor común entre paréntesis.
Normalmente nuestro objetivo es representar una expresión como un producto o cociente.
Por ejemplo:
Simplifiquemos la expresión.
1) Primero, simplificamos la expresión entre paréntesis. Ahí tenemos una diferencia de fracciones y nuestro objetivo es presentarla como un producto o cociente. Entonces, llevamos las fracciones a un denominador común y sumamos:
Es imposible simplificar más esta expresión; todos los factores aquí son elementales (¿aún recuerdas lo que esto significa?).
2) Obtenemos:
Multiplicar fracciones: qué podría ser más sencillo.
3) Ahora puedes acortar:
Bueno, eso es todo. Nada complicado, ¿verdad?
Otro ejemplo:
Simplifica la expresión.
Primero, intente resolverlo usted mismo y solo luego mire la solución.
Solución:
En primer lugar, determinemos el orden de las acciones.
Primero, sumemos las fracciones entre paréntesis, de modo que en lugar de dos fracciones obtengamos una.
Luego haremos división de fracciones. Bueno, sumemos el resultado con la última fracción.
Numeraré los pasos esquemáticamente:
Finalmente, te daré dos consejos útiles:
1. Si existen similares, deberán traerse inmediatamente. Siempre que surjan situaciones similares en nuestro país, es recomendable sacarlas a colación de inmediato.
2. Lo mismo se aplica a las fracciones reductoras: tan pronto como aparece la oportunidad de reducir, hay que aprovecharla. La excepción es para las fracciones que se suman o restan: si ahora tienen los mismos denominadores, entonces la reducción debe dejarse para más adelante.
A continuación te presentamos algunas tareas que puedes resolver por tu cuenta:
Y lo que se prometió desde el principio:
Respuestas:
Soluciones (breves):
Si ha abordado al menos los tres primeros ejemplos, considere que domina el tema.
¡Ahora a aprender!
CONVERSIÓN DE EXPRESIONES. RESUMEN Y FÓRMULAS BÁSICAS
Operaciones básicas de simplificación:
- Trayendo similares: para sumar (reducir) términos similares, debe sumar sus coeficientes y asignarles la parte de letras.
- Factorización: poniendo el factor común entre paréntesis, aplicándolo, etc.
- Reducir una fracción: El numerador y el denominador de una fracción se pueden multiplicar o dividir por el mismo número distinto de cero, lo que no cambia el valor de la fracción.
1) numerador y denominador factorizar
2) si el numerador y el denominador tienen factores comunes, se pueden tachar.IMPORTANTE: ¡solo se pueden reducir los multiplicadores!
- Sumar y restar fracciones:
; - Multiplicar y dividir fracciones:
;
Bueno, se acabó el tema. Si estás leyendo estas líneas es que eres muy guay.
Porque sólo el 5% de las personas son capaces de dominar algo por sí mismas. Y si lees hasta el final, ¡estás en este 5%!
Ahora lo más importante.
Has entendido la teoría sobre este tema. Y, repito, esto... ¡esto es simplemente genial! Ya eres mejor que la gran mayoría de tus compañeros.
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Este artículo está dedicado a transformación de expresiones racionales, en su mayoría fraccionariamente racional, es una de las cuestiones clave del curso de álgebra de octavo grado. Primero, recordemos qué tipo de expresiones se llaman racionales. A continuación nos centraremos en realizar transformaciones estándar con expresiones racionales, como agrupar términos, sacar de paréntesis factores comunes, traer términos similares, etc. Finalmente, aprenderemos a representar expresiones racionales fraccionarias como fracciones racionales.
Navegación de páginas.
Definición y ejemplos de expresiones racionales.
Las expresiones racionales son uno de los tipos de expresiones que se estudian en las lecciones de álgebra en la escuela. Demos una definición.
Definición.
Las expresiones compuestas de números, variables, paréntesis, potencias con exponentes enteros, conectados mediante signos aritméticos +, −, · y:, donde la división se puede indicar mediante una línea de fracción, se denominan expresiones racionales.
A continuación se muestran algunos ejemplos de expresiones racionales: .
Las expresiones racionales comienzan a estudiarse de manera decidida en el séptimo grado. Además, en el séptimo grado se aprenden los conceptos básicos del trabajo con los llamados expresiones racionales completas, es decir, con expresiones racionales que no contienen división en expresiones con variables. Para ello se estudian secuencialmente monomios y polinomios, así como los principios para realizar acciones con ellos. Todo este conocimiento, en última instancia, le permite realizar transformaciones de expresiones completas.
En octavo grado, pasan a estudiar expresiones racionales que contienen división por una expresión con variables llamadas expresiones racionales fraccionarias. Al mismo tiempo atención especial se da a los llamados fracciones racionales(también se les llama fracciones algebraicas), es decir, fracciones cuyo numerador y denominador contienen polinomios. En última instancia, esto hace posible convertir fracciones racionales.
Las habilidades adquiridas le permiten pasar a transformar expresiones racionales de cualquier forma. Esto se explica por el hecho de que cualquier expresión racional puede considerarse como una expresión compuesta de fracciones racionales y expresiones enteras conectadas por signos de operaciones aritméticas. Y ya sabemos trabajar con expresiones enteras y fracciones algebraicas.
Principales tipos de transformaciones de expresiones racionales.
Con expresiones racionales puedes realizar cualquiera de las transformaciones de identidad básicas, ya sea agrupar términos o factores, acercar términos similares, realizar operaciones con números, etc. Normalmente el propósito de realizar estas transformaciones es simplificación de la expresión racional.
Ejemplo.
.
Solución.
Está claro que esta expresión racional es la diferencia entre dos expresiones y , y estas expresiones son similares, ya que tienen la misma parte alfabética. Así, podemos realizar una reducción de términos similares:
Respuesta:
.
Está claro que al realizar transformaciones con expresiones racionales, así como con cualquier otra expresión, es necesario permanecer dentro del orden aceptado de realización de acciones.
Ejemplo.
Realizar una transformación de expresión racional.
Solución.
Sabemos que las acciones entre paréntesis se ejecutan primero. Por tanto, antes que nada, transformamos la expresión entre paréntesis: 3·x−x=2·x.
Ahora puedes sustituir el resultado obtenido en la expresión racional original: . Entonces llegamos a una expresión que contiene las acciones de una etapa: suma y multiplicación.
Eliminemos los paréntesis al final de la expresión aplicando la propiedad de división por un producto: .
Finalmente, podemos agrupar factores numéricos y factores de variable x, luego realizar la manipulación numérica adecuada y aplicar: .
Esto completa la transformación de la expresión racional y, como resultado, obtenemos un monomio.
Respuesta:
Ejemplo.
Convertir expresión racional 
.
Solución.
Primero transformamos el numerador y denominador. Este orden de transformación de fracciones se explica por el hecho de que la línea de una fracción es esencialmente otra designación de división, y la expresión racional original es esencialmente un cociente de la forma 
y las acciones entre paréntesis se realizan primero.
Entonces, en el numerador realizamos operaciones con polinomios, primero multiplicación, luego resta, y en el denominador agrupamos los factores numéricos y calculamos su producto: 
.
Imaginemos también el numerador y el denominador de la fracción resultante en forma de producto: de repente es posible reducir una fracción algebraica. Para hacer esto, usaremos en el numerador. fórmula de diferencia de cuadrados, y en el denominador quitamos los dos que están entre paréntesis, tenemos 
.
Respuesta:
.
Por tanto, el conocimiento inicial de la transformación de expresiones racionales puede considerarse completado. Pasemos, por así decirlo, a la parte más dulce.
Representación de fracción racional
Más a menudo objetivo final Transformar expresiones es simplificar su apariencia. En este sentido, lo más vista sencilla a la que se puede convertir una expresión fraccionariamente racional es una fracción racional (algebraica) y, en el caso especial, un polinomio, monomio o número.
¿Es posible representar cualquier expresión racional como una fracción racional? La respuesta es sí. Expliquemos por qué esto es así.
Como ya hemos dicho, toda expresión racional puede considerarse como polinomios y fracciones racionales conectadas por los signos más, menos, multiplicar y dividir. Todas las operaciones correspondientes con polinomios producen un polinomio o fracción racional. A su vez, cualquier polinomio se puede convertir en una fracción algebraica escribiéndolo con el denominador 1. Y sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones racionales da como resultado una nueva fracción racional. Por tanto, después de realizar todas las operaciones con polinomios y fracciones racionales en una expresión racional, obtenemos una fracción racional.
Ejemplo.
Expresar como fracción racional la expresión 
.
Solución.
La expresión racional original es la diferencia entre una fracción y el producto de fracciones de la forma 
. Según el orden de las operaciones, primero debemos realizar la multiplicación y solo luego la suma.
Empezamos multiplicando fracciones algebraicas:
Sustituimos el resultado obtenido en la expresión racional original: .
Llegamos a la resta de fracciones algebraicas con diferentes denominadores:
Entonces, habiendo realizado operaciones con fracciones racionales que forman la expresión racional original, la presentamos en forma de fracción racional.
Respuesta:
.
Para consolidar el material, analizaremos la solución a otro ejemplo.
Ejemplo.
Expresar una expresión racional como una fracción racional.
