Fórmula de pirámide hexagonal regular. Pirámide. Guía visual (2019)

• apotema- la altura de la cara lateral de una pirámide regular, que se dibuja desde su vértice (además, la apotema es la longitud de la perpendicular, que desciende desde el centro del polígono regular hasta uno de sus lados);
• caras laterales (ASB, BSC, CSD, DSA) - triángulos que se encuentran en el vértice;
• costillas laterales ( COMO , BS , C.S. , D.S. ) — lados comunes de las caras laterales;
• cima de la pirámide (t.S) - un punto que conecta las nervaduras laterales y que no se encuentra en el plano de la base;
• altura ( ENTONCES ) - un segmento perpendicular dibujado a través de la cima de la pirámide hasta el plano de su base (los extremos de dicho segmento serán la cima de la pirámide y la base de la perpendicular);
• sección diagonal pirámides- una sección de la pirámide que pasa por la cima y la diagonal de la base;
• base (ABCD) - un polígono que no pertenece al vértice de la pirámide.

Propiedades de la pirámide.

1. Cuando todos los bordes laterales sean del mismo tamaño, entonces:

• es fácil describir un círculo cerca de la base de la pirámide, y la cima de la pirámide se proyectará hacia el centro de este círculo;
• las nervaduras laterales forman ángulos iguales con el plano de la base;
• Además, lo contrario también es cierto, es decir. cuando las costillas laterales se forman con el plano de la base ángulos iguales, o cuando se puede describir un círculo cerca de la base de la pirámide y la cima de la pirámide se proyectará hacia el centro de este círculo, lo que significa que todos los bordes laterales de la pirámide son del mismo tamaño.

2. Cuando las caras laterales tienen un ángulo de inclinación con respecto al plano de la base del mismo valor, entonces:

• es fácil describir un círculo cerca de la base de la pirámide, y la cima de la pirámide se proyectará hacia el centro de este círculo;
• las alturas de las caras laterales son longitud igual;
• el área de la superficie lateral es igual a ½ producto del perímetro de la base por la altura de la cara lateral.

3. Se puede describir una esfera alrededor de una pirámide si en la base de la pirámide hay un polígono alrededor del cual se puede describir un círculo (condición necesaria y suficiente). El centro de la esfera será el punto de intersección de los planos que pasan por el centro de las aristas de la pirámide perpendiculares a ellas. De este teorema concluimos que una esfera se puede describir tanto alrededor de cualquier pirámide triangular como alrededor de cualquier pirámide regular.

4. Una esfera se puede inscribir en una pirámide si los planos bisectores de los ángulos diédricos internos de la pirámide se cruzan en el primer punto (condición necesaria y suficiente). Este punto se convertirá en el centro de la esfera.

La pirámide más simple.

Según el número de ángulos, la base de la pirámide se divide en triangular, cuadrangular, etc.

Habrá una pirámide triangular, cuadrangular, y así sucesivamente, cuando la base de la pirámide es un triángulo, un cuadrilátero, etcétera. Una pirámide triangular es un tetraedro, un tetraedro. Cuadrangular - pentagonal y así sucesivamente.

Definición

Pirámide es un poliedro compuesto por un polígono \(A_1A_2...A_n\) y \(n\) triángulos con un vértice común \(P\) (que no se encuentra en el plano del polígono) y lados opuestos a él, coincidiendo con el lados del polígono.
Designación: \(PA_1A_2...A_n\) .
Ejemplo: pirámide pentagonal \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Triángulos \(PA_1A_2, \PA_2A_3\), etc. son llamados caras laterales pirámides, segmentos \(PA_1, PA_2\), etc. – costillas laterales, polígono \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – base, punto \(P\) – arriba.

Altura Las pirámides son una perpendicular que desciende desde la cima de la pirámide hasta el plano de la base.

Una pirámide con un triángulo en su base se llama tetraedro.

La pirámide se llama correcto, si su base se encuentra polígono regular y se cumple una de las condiciones:

\((a)\) los bordes laterales de la pirámide son iguales;

\((b)\) la altura de la pirámide pasa por el centro del círculo circunscrito cerca de la base;

\((c)\) las nervaduras laterales están inclinadas con respecto al plano de la base en el mismo ángulo.

\((d)\) las caras laterales están inclinadas con respecto al plano de la base en el mismo ángulo.

tetraedro regular- Este pirámide triangular, cuyas caras son triángulos equiláteros iguales.

Teorema

Las condiciones \((a), (b), (c), (d)\) son equivalentes.

Prueba

Encontremos la altura de la pirámide \(PH\) . Sea \(\alpha\) el plano de la base de la pirámide.

1) Demostremos que \((a)\) implica \((b)\) . Sea \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Porque \(PH\perp \alpha\), entonces \(PH\) es perpendicular a cualquier línea que se encuentre en este plano, lo que significa que los triángulos son rectángulos. Esto significa que estos triángulos son iguales en el cateto común \(PH\) y la hipotenusa \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Esto significa \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Esto significa que los puntos \(A_1, A_2, ..., A_n\) están a la misma distancia del punto \(H\), por lo tanto, se encuentran en el mismo círculo con el radio \(A_1H\). Este círculo, por definición, está circunscrito al polígono \(A_1A_2...A_n\) .

2) Demostremos que \((b)\) implica \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) rectangulares e iguales sobre dos patas. Esto significa que sus ángulos también son iguales, por lo tanto, \(\ángulo PA_1H=\ángulo PA_2H=...=\ángulo PA_nH\).

3) Demostremos que \((c)\) implica \((a)\) .

Similar al primer punto, los triángulos \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) rectangular tanto a lo largo del cateto como en ángulo agudo. Esto significa que sus hipotenusas también son iguales, es decir, \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Demostremos que \((b)\) implica \((d)\) .

Porque en un polígono regular coinciden los centros de los círculos circunscritos e inscritos (en general, este punto se llama centro de un polígono regular), entonces \(H\) es el centro del círculo inscrito. Dibujemos perpendiculares desde el punto \(H\) a los lados de la base: \(HK_1, HK_2\), etc. Estos son los radios del círculo inscrito (por definición). Entonces, según TTP (\(PH\) es una perpendicular al plano, \(HK_1, HK_2\), etc. son proyecciones perpendiculares a los lados) inclinadas \(PK_1, PK_2\), etc. perpendicular a los lados \(A_1A_2, A_2A_3\), etc. respectivamente. Entonces, por definición \(\ángulo PK_1H, \ángulo PK_2H\) iguales a los ángulos entre las caras laterales y la base. Porque triángulos \(PK_1H, PK_2H, ...\) son iguales (como rectangulares en dos lados), entonces los ángulos \(\ángulo PK_1H, \ángulo PK_2H, ...\) son iguales.

5) Demostremos que \((d)\) implica \((b)\) .

Similar al cuarto punto, los triángulos \(PK_1H, PK_2H, ...\) son iguales (como rectangulares a lo largo del cateto y ángulo agudo), lo que significa que los segmentos \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) son igual. Esto significa, por definición, \(H\) es el centro de un círculo inscrito en la base. Pero porque Para polígonos regulares, los centros de los círculos inscritos y circunscritos coinciden, entonces \(H\) es el centro del círculo circunscrito. Chtd.

Consecuencia

Las caras laterales de una pirámide regular son iguales. triángulos isósceles.

Definición

La altura de la cara lateral de una pirámide regular trazada desde su vértice se llama apotema.
Las apotemas de todas las caras laterales de una pirámide regular son iguales entre sí y también son medianas y bisectrices.

Notas importantes

1. La altura de una pirámide triangular regular cae en el punto de intersección de las alturas (o bisectrices o medianas) de la base (la base es un triángulo regular).

2. La altura es correcta pirámide cuadrangular cae en el punto de intersección de las diagonales de la base (la base es un cuadrado).

3. La altura de una pirámide hexagonal regular cae en el punto de intersección de las diagonales de la base (la base es un hexágono regular).

4. La altura de la pirámide es perpendicular a cualquier línea recta que se encuentre en la base.

Definición

La pirámide se llama rectangular, si uno de sus bordes laterales es perpendicular al plano de la base.

Notas importantes

1. En una pirámide rectangular, el borde perpendicular a la base es la altura de la pirámide. Es decir, \(SR\) es la altura.

2. Porque \(SR\) es perpendicular a cualquier línea desde la base, entonces \(\triángulo SRM, \triángulo SRP\)– triángulos rectángulos.

3. Triángulos \(\triángulo SRN, \triángulo SRK\)- también rectangular.
Es decir, cualquier triángulo formado por esta arista y la diagonal que sale del vértice de esta arista situada en la base será rectangular.

\[(\Large(\text(Volumen y superficie de la pirámide)))\]

Teorema

El volumen de la pirámide es igual a un tercio del producto del área de la base por la altura de la pirámide: \

Consecuencias

Sea \(a\) el lado de la base, \(h\) la altura de la pirámide.

1. El volumen de una pirámide triangular regular es \(V_(\text(triángulo rectángulo.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. El volumen de una pirámide cuadrangular regular es \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).

3. El volumen de una pirámide hexagonal regular es \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. El volumen de un tetraedro regular es \(V_(\text(tetr. derecha))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Teorema

El área de la superficie lateral de una pirámide regular es igual a la mitad del producto del perímetro de la base por la apotema.

\[(\Grande(\text(Frustum)))\]

Definición

Considere una pirámide arbitraria \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Dibujemos un plano paralelo a la base de la pirámide que pase por un cierto punto que se encuentra en el borde lateral de la pirámide. Este plano dividirá la pirámide en dos poliedros, uno de los cuales es una pirámide (\(PB_1B_2...B_n\)), y el otro se llama pirámide truncada(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\)).

La pirámide truncada tiene dos bases: los polígonos \(A_1A_2...A_n\) y \(B_1B_2...B_n\) que son similares entre sí.

La altura de una pirámide truncada es una perpendicular trazada desde algún punto de la base superior al plano de la base inferior.

Notas importantes

1. Todas las caras laterales de una pirámide truncada son trapecios.

2. El segmento que conecta los centros de las bases de una pirámide truncada regular (es decir, una pirámide obtenida por sección transversal de una pirámide regular) es la altura.

Este vídeo tutorial ayudará a los usuarios a tener una idea del tema Pirámide. Pirámide correcta. En esta lección nos familiarizaremos con el concepto de pirámide y le daremos una definición. Consideremos qué es una pirámide regular y qué propiedades tiene. Luego demostramos el teorema sobre la superficie lateral de una pirámide regular.

En esta lección nos familiarizaremos con el concepto de pirámide y le daremos una definición.

Considere un polígono Un 1 Un 2...Un, que se encuentra en el plano α, y el punto PAG, que no se encuentra en el plano α (Fig. 1). Conectemos los puntos PAG con picos Un 1, Un 2, Un 3, … Un. obtenemos norte triángulos: Un 1 Un 2 R, Un 2 Un 3 R etcétera.

Definición. Poliedro RA 1 A 2 ...A n, compuesto por norte-cuadrado Un 1 Un 2...Un Y norte triangulos AR 1 A 2, AR 2 A 3 …ra norte un norte-1 se llama norte-pirámide de carbón. Arroz. 1.

Arroz. 1

Considere una pirámide cuadrangular PABCD(Figura 2).

R- la cima de la pirámide.

ABCD- la base de la pirámide.

REAL ACADEMIA DE BELLAS ARTES- costilla lateral.

AB- nervadura base.

desde el punto R dejemos caer la perpendicular enfermera registrada al plano base ABCD. La perpendicular trazada es la altura de la pirámide.

Arroz. 2

La superficie completa de la pirámide consta de la superficie lateral, es decir, el área de todas las caras laterales y el área de la base:

S completo = S lateral + S principal

Una pirámide se dice correcta si:

• su base es un polígono regular;
• el segmento que conecta la cima de la pirámide con el centro de la base es su altura.

Explicación utilizando el ejemplo de una pirámide cuadrangular regular.

Considere una pirámide cuadrangular regular PABCD(Figura 3).

R- la cima de la pirámide. Base de la pirámide ABCD- un cuadrilátero regular, es decir, un cuadrado. Punto ACERCA DE, el punto de intersección de las diagonales, es el centro del cuadrado. Medio, RO es la altura de la pirámide.

Arroz. 3

Explicación: en lo correcto norte En un triángulo coinciden el centro del círculo inscrito y el centro del círculo circunstante. Este centro se llama centro del polígono. A veces dicen que el vértice se proyecta hacia el centro.

La altura de la cara lateral de una pirámide regular trazada desde su vértice se llama apotema y es designado Ja.

1. todas las aristas laterales de una pirámide regular son iguales;

2. Las caras laterales son triángulos isósceles iguales.

Demostraremos estas propiedades usando el ejemplo de una pirámide cuadrangular regular.

Dado: PABCD- pirámide cuadrangular regular,

ABCD- cuadrado,

RO- altura de la pirámide.

Probar:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Ver Fig. 4.

Arroz. 4

Prueba.

RO- altura de la pirámide. Es decir, recto RO perpendicular al plano abecedario, y por lo tanto directo JSC, VO, SO Y HACER acostado en él. entonces triangulos ROA, ROV, ROS, VARILLA- rectangular.

Considere un cuadrado ABCD. De las propiedades de un cuadrado se deduce que AO = VO = CO = HACER.

Entonces los triángulos rectángulos ROA, ROV, ROS, VARILLA pierna RO- general y piernas JSC, VO, SO Y HACER son iguales, lo que significa que estos triángulos son iguales en dos lados. De la igualdad de triángulos se sigue la igualdad de segmentos, RA = PB = RS = PD. El punto 1 ha sido probado.

Segmentos AB Y Sol son iguales porque son lados de un mismo cuadrado, RA = PB = RS. entonces triangulos AVR Y VSR - isósceles e iguales en tres lados.

De manera similar encontramos que los triángulos ABP, VCP, CDP, DAP son isósceles e iguales, como se requiere demostrar en el párrafo 2.

El área de la superficie lateral de una pirámide regular es igual a la mitad del producto del perímetro de la base por la apotema:

Para demostrar esto, elijamos una pirámide triangular regular.

Dado: RAVS- pirámide triangular regular.

AB = BC = CA.

RO- altura.

Probar: . Ver Fig. 5.

Arroz. 5

Prueba.

RAVS- pirámide triangular regular. Eso es AB= CA = antes de Cristo. Dejar ACERCA DE- centro del triángulo abecedario, Entonces RO es la altura de la pirámide. En la base de la pirámide se encuentra un triángulo equilátero abecedario. Tenga en cuenta que .

Triangulos RAV, RVS, RSA- triángulos isósceles iguales (por propiedad). Una pirámide triangular tiene tres caras laterales: RAV, RVS, RSA. Esto significa que el área de la superficie lateral de la pirámide es:

Lado S = 3S CRUDO

El teorema ha sido demostrado.

El radio de un círculo inscrito en la base de una pirámide cuadrangular regular es de 3 m, la altura de la pirámide es de 4 m. Encuentre el área de la superficie lateral de la pirámide.

Dado: pirámide cuadrangular regular ABCD,

ABCD- cuadrado,

r= 3 metros,

RO- altura de la pirámide,

RO= 4 metros.

Encontrar: lado S. Ver Fig. 6.

Arroz. 6

Solución.

Según el teorema demostrado, .

Primero encontremos el lado de la base. AB. Sabemos que el radio de un círculo inscrito en la base de una pirámide cuadrangular regular es de 3 m.

Entonces, m.

Encuentra el perímetro del cuadrado. ABCD con un lado de 6 m:

Considere un triángulo BCD. Dejar METRO- medio del lado corriente continua. Porque ACERCA DE- medio BD, Eso (metro).

Triángulo DPC- isósceles. METRO- medio corriente continua. Eso es, RM- mediana y, por tanto, altura en el triángulo DPC. Entonces RM- apotema de la pirámide.

RO- altura de la pirámide. Entonces, directamente RO perpendicular al plano abecedario, y por lo tanto directo om, acostado en él. Encontremos la apotema RM de un triángulo rectángulo memoria de sólo lectura.

Ahora podemos encontrar superficie lateral pirámides:

Respuesta: 60 m2.

El radio del círculo circunscrito alrededor de la base de una pirámide triangular regular es igual a m El área de la superficie lateral es 18 m 2. Encuentra la longitud de la apotema.

Dado: ABCP- pirámide triangular regular,

AB = BC = SA,

R= metro,

Lado S = 18 m2.

Encontrar: . Ver Fig. 7.

Arroz. 7

Solución.

en un triangulo rectángulo abecedario Se da el radio del círculo circunscrito. busquemos un lado AB este triángulo usando la ley de los senos.

Conociendo el lado de un triángulo regular (m), encontramos su perímetro.

Por el teorema del área de la superficie lateral de una pirámide regular, donde Ja- apotema de la pirámide. Entonces:

Respuesta: 4 metros.

Entonces, vimos qué es una pirámide, qué es una pirámide regular y demostramos el teorema sobre la superficie lateral de una pirámide regular. En la próxima lección nos familiarizaremos con la pirámide truncada.

Referencias

1. Geometría. Grados 10-11: libro de texto para estudiantes de instituciones de educación general (básica y niveles de perfil) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5ª ed., rev. y adicional - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: enfermo.
2. Geometría. 10-11 grado: Libro de texto para educación general. instituciones educativas/ Sharygin I.F. - M.: Avutarda, 1999. - 208 p.: enfermo.
3. Geometría. Grado 10: Libro de texto para instituciones de educación general con estudio profundo y especializado de matemáticas /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6ª ed., estereotipo. - M.: Avutarda, 008. - 233 p.: enfermo.

1. Portal de Internet "Yaklass" ()
2. Portal de Internet “Festival de ideas pedagógicas “Primero de Septiembre” ()
3. Portal de Internet “Slideshare.net” ()

Tarea

1. ¿Puede un polígono regular ser la base de una pirámide irregular?
2. Demuestre que las aristas disjuntas de una pirámide regular son perpendiculares.
3. Encuentre el valor del ángulo diédrico en el lado de la base de una pirámide cuadrangular regular si la apotema de la pirámide es igual al lado de su base.
4. RAVS- pirámide triangular regular. Construye el ángulo lineal del ángulo diédrico en la base de la pirámide.

Hipótesis: Creemos que la perfección de la forma de la pirámide se debe a las leyes matemáticas inherentes a su forma.

Objetivo: Habiendo estudiado la pirámide como cuerpo geométrico, explica la perfección de su forma.

Tareas:

1. Dé una definición matemática de pirámide.

2. Estudiar la pirámide como cuerpo geométrico.

3. Entiende qué conocimiento matemático los egipcios lo pusieron en sus pirámides.

Preguntas privadas:

1. ¿Qué es una pirámide como cuerpo geométrico?

2. ¿Cómo se puede explicar la forma única de la pirámide desde un punto de vista matemático?

3. ¿Qué explica las maravillas geométricas de la pirámide?

4. ¿Qué explica la perfección de la forma piramidal?

Definición de pirámide.

PIRÁMIDE (del griego pyramis, gen. Pyramidos): un poliedro cuya base es un polígono y el resto de las caras son triángulos que tienen un vértice común (dibujo). Según el número de vértices de la base, las pirámides se clasifican en triangulares, cuadrangulares, etc.

PIRÁMIDE - una estructura monumental que tiene la forma geométrica de una pirámide (a veces también escalonada o en forma de torre). Las pirámides son el nombre que se les da a las tumbas gigantes de los antiguos faraones egipcios del tercer y segundo milenio antes de Cristo. e., así como antiguos pedestales de templos americanos (en México, Guatemala, Honduras, Perú), asociados con cultos cosmológicos.

Es posible que la palabra griega “pirámide” provenga de la expresión egipcia per-em-us, es decir, de un término que significa la altura de la pirámide. El destacado egiptólogo ruso V. Struve creía que el griego “puram...j” proviene del antiguo egipcio “p"-mr”.

De la historia. Habiendo estudiado el material del libro de texto "Geometría" de los autores de Atanasyan. Butuzov y otros, aprendimos que: Un poliedro compuesto por un n-gón A1A2A3... An yn triángulos PA1A2, PA2A3,..., PAnA1 se llama pirámide. El polígono A1A2A3...An es la base de la pirámide, y los triángulos PA1A2, PA2A3,..., PAnA1 son las caras laterales de la pirámide, P es la cima de la pirámide, los segmentos PA1, PA2,..., PAn son los bordes laterales.

Sin embargo, esta definición de pirámide no siempre existió. Por ejemplo, el antiguo matemático griego, autor de tratados teóricos sobre matemáticas que nos han llegado, Euclides, define una pirámide como una figura sólida delimitada por planos que convergen de un plano a un punto.

Pero esta definición ya fue criticada en la antigüedad. Entonces Herón propuso la siguiente definición de pirámide: “Es una figura delimitada por triángulos que convergen en un punto y cuya base es un polígono”.

Nuestro grupo, después de comparar estas definiciones, llegó a la conclusión de que no tienen una formulación clara del concepto de "fundamento".

Examinamos estas definiciones y encontramos la definición de Adrien Marie Legendre, quien en 1794 en su obra “Elementos de geometría” define una pirámide de la siguiente manera: “Una pirámide es una figura sólida formada por triángulos que convergen en un punto y terminan en diferentes lados de una base plana”.

Nos parece que la última definición da una idea clara de la pirámide, ya que habla de que la base es plana. Otra definición de pirámide apareció en un libro de texto del siglo XIX: "una pirámide es un ángulo sólido intersecado por un plano".

Pirámide como cuerpo geométrico.

Eso. Una pirámide es un poliedro, una de cuyas caras (base) es un polígono, las caras restantes (lados) son triángulos que tienen un vértice común (el vértice de la pirámide).

La perpendicular trazada desde la cima de la pirámide al plano de la base se llama alturah pirámides.

Además de la pirámide arbitraria, hay pirámide correcta en cuya base hay un polígono regular y pirámide truncada.

En la figura hay una pirámide PABCD, ABCD es su base, PO es su altura.

Área superficie completa La pirámide es la suma de las áreas de todas sus caras.

Sfull = Sside + Smain, Dónde Lado– la suma de las áreas de las caras laterales.

Volumen de la pirámide se encuentra mediante la fórmula:

V=1/3Sbas. h, donde Sbas. - superficie base, h- altura.

El área de la cara lateral de una pirámide regular se expresa de la siguiente manera: Slado. =1/2P h, donde P es el perímetro de la base, h- altura de la cara lateral (apotema de una pirámide regular). Si la pirámide es intersecada por el plano A’B’C’D’, paralelo a la base, entonces:

1) las nervaduras laterales y la altura se dividen por este plano en partes proporcionales;

2) en sección se obtiene un polígono A’B’C’D’, similar a la base;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" ancho="287" alto="151">

Bases de una pirámide truncada– polígonos semejantes ABCD y A`B`C`D`, las caras laterales son trapecios.

Altura pirámide truncada: la distancia entre las bases.

Volumen truncado La pirámide se encuentra mediante la fórmula:

V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> El área de la superficie lateral de una pirámide truncada regular se expresa de la siguiente manera: Slado = ½(P+P') h, donde P y P’ son los perímetros de las bases, h- altura de la cara lateral (apotema de una pirámide truncada regular

Secciones de una pirámide.

Las secciones de una pirámide formadas por planos que pasan por su vértice son triángulos.

Una sección que pasa por dos aristas laterales no adyacentes de una pirámide se llama sección diagonal.

Si la sección pasa por un punto en el borde lateral y el lado de la base, entonces su trayectoria hasta el plano de la base de la pirámide será este lado.

Una sección que pasa por un punto que se encuentra en la cara de la pirámide y una sección determinada traza en el plano base, entonces la construcción se debe realizar de la siguiente manera:

· encontrar el punto de intersección del plano de una cara dada y la traza de la sección de la pirámide y designarlo;

construir una línea recta que pase por punto dado y el punto de intersección resultante;

· repite estos pasos para las siguientes caras.

, que corresponde a la relación de los catetos de un triángulo rectángulo 4:3. Esta proporción de los catetos corresponde al conocido triángulo rectángulo de lados 3:4:5, que se llama triángulo “perfecto”, “sagrado” o “egipcio”. Según los historiadores, al triángulo "egipcio" se le dio un significado mágico. Plutarco escribió que los egipcios comparaban la naturaleza del universo con un triángulo “sagrado”; comparaban simbólicamente el cateto vertical con el marido, la base con la esposa y la hipotenusa con lo que nace de ambos.

Para un triángulo 3:4:5, la igualdad es verdadera: 32 + 42 = 52, que expresa el teorema de Pitágoras. ¿No era este teorema el que querían perpetuar los sacerdotes egipcios cuando construyeron una pirámide basada en el triángulo 3:4:5? Es difícil encontrar más buen ejemplo para ilustrar el teorema de Pitágoras, que los egipcios conocían mucho antes de que lo descubriera Pitágoras.

Así, los brillantes creadores pirámides egipcias buscaron sorprender a los descendientes lejanos con la profundidad de sus conocimientos, y lo lograron eligiendo "dorado" como la "idea geométrica principal" para la pirámide de Keops. triangulo rectángulo, y para la pirámide de Kefrén, el triángulo "sagrado" o "egipcio".

Muy a menudo en sus investigaciones, los científicos utilizan las propiedades de las pirámides con proporciones áureas.

en matematicas diccionario enciclopédico Se da la siguiente definición de Sección Áurea - esta es una división armónica, división en razón extrema y media - dividiendo el segmento AB en dos partes de tal manera que su parte mayor AC sea el promedio proporcional entre todo el segmento AB y su parte más pequeña NE.

Determinación algebraica de la sección áurea de un segmento AB = un se reduce a resolver la ecuación a: x = x: (a – x), de la cual x es aproximadamente igual a 0,62a. La razón x se puede expresar como fracciones 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0,618, donde 2, 3, 5, 8, 13, 21 son números de Fibonacci.

La construcción geométrica de la sección áurea del segmento AB se realiza de la siguiente manera: en el punto B se restablece la perpendicular a AB, sobre él se traza el segmento BE = 1/2 AB, se conectan A y E, DE = Se despide BE y, finalmente, AC = AD, entonces se cumple la igualdad AB: CB = 2:3.

La proporción áurea se utiliza a menudo en obras de arte, arquitectura y se encuentra en la naturaleza. Ejemplos vívidos Se encuentran la escultura de Apolo Belvedere, el Partenón. Durante la construcción del Partenón, se utilizó la relación entre la altura del edificio y su longitud y esta relación es 0,618. Los objetos que nos rodean también proporcionan ejemplos de la proporción áurea; por ejemplo, las encuadernaciones de muchos libros tienen una proporción ancho-largo cercana a 0,618. Considerando la disposición de las hojas en el tallo común de las plantas, se puede notar que entre cada dos pares de hojas el tercero se ubica en la Proporción Áurea (diapositivas). Cada uno de nosotros "lleva" la proporción áurea "en nuestras manos" con nosotros: esta es la proporción de las falanges de los dedos.

Gracias al descubrimiento de varios papiros matemáticos, los egiptólogos han aprendido algo sobre los sistemas de cálculo y medición del antiguo Egipto. Las tareas contenidas en ellos fueron resueltas por escribas. Uno de los más famosos es el Papiro Matemático de Rhind. Al estudiar estos problemas, los egiptólogos aprendieron cómo los antiguos egipcios manejaban las diversas cantidades que surgían al calcular medidas de peso, longitud y volumen, que a menudo implicaban fracciones, así como cómo manejaban los ángulos.

Los antiguos egipcios utilizaban un método para calcular ángulos basado en la relación entre la altura y la base de un triángulo rectángulo. Expresaban cualquier ángulo en el lenguaje de un gradiente. La pendiente de la pendiente se expresó como una relación de números enteros llamada "seced". En Matemáticas en la era de los faraones, Richard Pillins explica: “El seked de una pirámide regular es la inclinación de cualquiera de las cuatro caras triangulares respecto al plano de la base, medida por el enésimo número de unidades horizontales por unidad vertical de elevación. . Por tanto, esta unidad de medida es equivalente a nuestra cotangente moderna del ángulo de inclinación. Por lo tanto, la palabra egipcia "seced" está relacionada con nuestra palabra moderna"gradiente"".

La clave numérica de las pirámides radica en la relación entre su altura y su base. En términos prácticos, esta es la forma más sencilla de realizar las plantillas necesarias para comprobar constantemente el correcto ángulo de inclinación durante toda la construcción de la pirámide.

Los egiptólogos estarían felices de convencernos de que cada faraón anhelaba expresar su individualidad, de ahí las diferencias en los ángulos de inclinación de cada pirámide. Pero podría haber otra razón. Quizás todos querían encarnar diferentes asociaciones simbólicas, ocultas en diferentes proporciones. Sin embargo, el ángulo de la pirámide de Kefrén (basado en el triángulo (3:4:5) aparece en los tres problemas presentados por las pirámides en el Papiro Matemático de Rhind). De modo que esta actitud era bien conocida por los antiguos egipcios.

Para ser justos con los egiptólogos que afirman que los antiguos egipcios no conocían el triángulo 3:4:5, la longitud de la hipotenusa 5 nunca fue mencionada. Pero los problemas matemáticos relacionados con las pirámides siempre se resuelven basándose en el ángulo seceda: la relación entre la altura y la base. Como nunca se mencionó la longitud de la hipotenusa, se concluyó que los egipcios nunca calcularon la longitud del tercer lado.

Sin duda, los antiguos egipcios conocían las proporciones altura-base utilizadas en las pirámides de Giza. Es posible que estas relaciones para cada pirámide hayan sido elegidas arbitrariamente. Sin embargo, esto contradice la importancia otorgada al simbolismo numérico en todos los tipos de egipcio. bellas artes. Es muy probable que tales relaciones fueran significativas porque expresaban ideas religiosas específicas. En otras palabras, todo el complejo de Giza estaba subordinado a un diseño coherente diseñado para reflejar un determinado tema divino. Esto explicaría por qué los diseñadores eligieron diferentes ángulos para las tres pirámides.

En The Orion Mystery, Bauval y Gilbert presentaron pruebas convincentes que vinculan las pirámides de Giza con la constelación de Orión, particularmente las estrellas del Cinturón de Orión. La misma constelación está presente en el mito de Isis y Osiris, y hay razones para ver cada pirámide como una. Representación de una de las tres deidades principales: Osiris, Isis y Horus.

MILAGROS "GEOMÉTRICOS".

Entre las grandiosas pirámides de Egipto, ocupa un lugar especial. Gran Pirámide del Faraón Keops (Khufu). Antes de comenzar a analizar la forma y el tamaño de la pirámide de Keops, conviene recordar qué sistema de medidas utilizaban los egipcios. Los egipcios tenían tres unidades de longitud: un "codo" (466 mm), que equivalía a siete "palmas" (66,5 mm), que, a su vez, equivalía a cuatro "dedos" (16,6 mm).

Analicemos las dimensiones de la pirámide de Keops (Fig. 2), siguiendo los argumentos expuestos en el maravilloso libro del científico ucraniano Nikolai Vasyutinsky "La proporción áurea" (1990).

La mayoría de los investigadores coinciden en que la longitud del lado de la base de la pirámide, por ejemplo, novia igual a l= 233,16 m Este valor corresponde casi exactamente a 500 “codos”. El cumplimiento total de 500 "codos" se producirá si la longitud del "codo" se considera igual a 0,4663 m.

Altura de la pirámide ( h) es estimada por los investigadores de 146,6 a 148,2 m y dependiendo de la altura aceptada de la pirámide, todas las relaciones de sus elementos geométricos cambian. ¿Cuál es el motivo de las diferencias en las estimaciones de la altura de la pirámide? El caso es que, en rigor, la pirámide de Keops está truncada. Su plataforma superior hoy mide aproximadamente 10 ´ 10 m, pero hace un siglo medía 6 ´ 6 m. Obviamente la cima de la pirámide fue desmantelada, y no corresponde a la original.

Al evaluar la altura de la pirámide, es necesario tener en cuenta un factor físico como el "calado" de la estructura. Para mucho tiempo Bajo la influencia de una presión colosal (que alcanzó las 500 toneladas por 1 m2 de la superficie inferior), la altura de la pirámide disminuyó en comparación con su altura original.

¿Cuál era la altura original de la pirámide? Esta altura se puede recrear encontrando la "idea geométrica" ​​básica de la pirámide.

Figura 2.

En 1837, el coronel inglés G. Wise midió el ángulo de inclinación de las caras de la pirámide: resultó ser igual a= 51°51". Este valor todavía es reconocido por la mayoría de los investigadores hoy en día. El valor del ángulo indicado corresponde a la tangente (tg a), igual a 1,27306. Este valor corresponde a la relación entre la altura de la pirámide. C.A. a la mitad de su base C.B.(Fig.2), es decir C.A. / C.B. = h / (l / 2) = 2h / l.

¡Y aquí los investigadores se llevaron una gran sorpresa!.png" width="25" height="24">= 1.272 Comparando este valor con el valor tg a= 1,27306, vemos que estos valores están muy próximos entre sí. Si tomamos el ángulo a= 51°50", es decir, reducirlo sólo en un minuto de arco, entonces el valor a será igual a 1.272, es decir, coincidirá con el valor. Cabe señalar que en 1840 G. Wise repitió sus mediciones y aclaró que el valor del ángulo a=51°50".

Estas mediciones llevaron a los investigadores a la siguiente hipótesis muy interesante: el triángulo ACB de la pirámide de Keops se basó en la relación AC / C.B. = = 1,272!

Consideremos ahora el triángulo rectángulo. abecedario, en el que la proporción de las piernas C.A. / C.B.= (Figura 2). Si ahora las longitudes de los lados del rectángulo abecedario designar por incógnita, y, z, y también tener en cuenta que la relación y/incógnita= , entonces de acuerdo con el teorema de Pitágoras, la longitud z se puede calcular usando la fórmula:

si aceptamos incógnita = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" ancho="143" alto="27">

Figura 3. Triángulo rectángulo "dorado".

Un triángulo rectángulo cuyos lados están relacionados como t:triángulo rectángulo dorado.

Entonces, si tomamos como base la hipótesis de que la principal "idea geométrica" ​​de la pirámide de Keops es un triángulo rectángulo "dorado", entonces desde aquí podemos calcular fácilmente la altura "de diseño" de la pirámide de Keops. Es igual a:

Alto = (L/2)´ = 148,28 m.

Derivemos ahora algunas otras relaciones para la pirámide de Keops, que se derivan de la hipótesis "áurea". En particular, encontraremos la relación entre el área exterior de la pirámide y el área de su base. Para hacer esto, tomamos la longitud de la pierna. C.B. por unidad, es decir: C.B.= 1. Pero entonces la longitud del lado de la base de la pirámide novia= 2, y el área de la base EFGH será igual SEFGH = 4.

Calculemos ahora el área de la cara lateral de la pirámide de Keops. DAKOTA DEL SUR. porque la altura AB triángulo AEF igual a t, entonces el área de la cara lateral será igual a DAKOTA DEL SUR = t. Entonces el área total de las cuatro caras laterales de la pirámide será igual a 4 t, ¡y la relación entre el área exterior total de la pirámide y el área de la base será igual a la proporción áurea! Esto es todo - El principal misterio geométrico de la pirámide de Keops.!

El grupo de los “milagros geométricos” de la pirámide de Keops incluye propiedades reales e inverosímiles de las relaciones entre las distintas dimensiones de la pirámide.

Por regla general, se obtienen en busca de determinadas “constantes”, en particular, el número “pi” (número de Ludolfo), igual a 3,14159...; jardines logaritmos naturales"e" (número de Neper), igual a 2,71828...; el número "F", el número de la "sección áurea", igual a, por ejemplo, 0,618... etc.

Se puede nombrar, por ejemplo: 1) Propiedad de Heródoto: (Altura)2 = 0,5 art. básico x Apotema; 2) Propiedad de V. Precio: Altura: 0,5 art. base = Raíz cuadrada de "F"; 3) Propiedad de M. Eist: Perímetro de la base: 2 Altura = "Pi"; en una interpretación diferente: 2 cucharadas. básico : Altura = "Pi"; 4) Propiedad de G. Borde: Radio del círculo inscrito: 0,5 art. básico = "F"; 5) Propiedad de K. Kleppisch: (Art. main.)2: 2(Art. main. x Apothema) = (Art. main. W. Apothema) = 2(Art. main. x Apothem) : ((2 art. . principal X Apotema) + (v. principal)2). Etcétera. Puedes encontrar muchas propiedades de este tipo, especialmente si conectas dos pirámides adyacentes. Por ejemplo, como "Propiedades de A. Arefyev" se puede mencionar que la diferencia en los volúmenes de la pirámide de Keops y la pirámide de Khafre es igual al doble del volumen de la pirámide de Mikerin...

Muchos disposiciones interesantes En particular, la construcción de pirámides según la "proporción áurea" se describe en los libros de D. Hambidge "Simetría dinámica en la arquitectura" y M. Gick "Estética de la proporción en la naturaleza y el arte". Recordemos que la “proporción áurea” es la división de un segmento en una proporción tal que la parte A sea tantas veces mayor que la parte B, cuantas veces A sea menor que todo el segmento A + B. La proporción A/B es igual al número “F” == 1.618. El uso de la “proporción áurea” está indicado no solo en pirámides individuales, sino también en todo el complejo de pirámides de Giza.

Lo más curioso, sin embargo, es que una misma pirámide de Keops simplemente “no puede” contener tanto maravillosas propiedades. Tomando una determinada propiedad una por una, se puede “ajustar”, pero no todas encajan a la vez, no coinciden, se contradicen entre sí. Por lo tanto, si, por ejemplo, al verificar todas las propiedades, inicialmente tomamos el mismo lado de la base de la pirámide (233 m), entonces las alturas de las pirámides con diferentes propiedades también serán diferentes. En otras palabras, existe una cierta "familia" de pirámides que son externamente similares a Keops, pero corresponden diferentes propiedades. Tenga en cuenta que no hay nada particularmente milagroso en las propiedades "geométricas"; muchas cosas surgen de forma puramente automática, de las propiedades de la figura misma. Un “milagro” sólo debería considerarse algo que era claramente imposible para los antiguos egipcios. Esto, en particular, incluye los milagros "cósmicos", en los que las medidas de la pirámide de Keops o del complejo piramidal de Giza se comparan con algunas medidas astronómicas y se indican números "pares": un millón de veces menos, mil millones de veces menos, y pronto. Consideremos algunas relaciones "cósmicas".

Una de las afirmaciones es: “si divides el lado de la base de la pirámide por la duración exacta del año, obtienes exactamente 10 millonésimas del eje de la Tierra”. Calcula: dividimos 233 entre 365, obtenemos 0,638. El radio de la Tierra es 6378 km.

Otra afirmación es en realidad la contraria a la anterior. F. Noetling señaló que si utilizamos el "codo egipcio" que él mismo inventó, entonces el lado de la pirámide corresponderá a "la duración más precisa del año solar, expresada a la milmillonésima de día más cercana": 365.540.903.777 .

Declaración de P. Smith: "La altura de la pirámide es exactamente una milmillonésima parte de la distancia de la Tierra al Sol". Aunque la altura habitualmente tomada es de 146,6 m, Smith la consideró 148,2 m. Según las mediciones de radar modernas, el semieje mayor de la órbita terrestre es 149.597.870 + 1,6 km. Ésta es la distancia media de la Tierra al Sol, pero en el perihelio es 5.000.000 de kilómetros menos que en el afelio.

Una última declaración interesante:

“¿Cómo podemos explicar que las masas de las pirámides de Keops, Khafre y Mykerinus se relacionan entre sí, como las masas de los planetas Tierra, Venus, Marte?” Calculemos. Las masas de las tres pirámides son: Kefrén - 0,835; Keops: 1.000; Mikerin - 0,0915. Las proporciones de las masas de los tres planetas: Venus - 0,815; Tierra: 1.000; Marte - 0,108.

Entonces, a pesar del escepticismo, notamos la conocida armonía en la construcción de las afirmaciones: 1) la altura de la pirámide, como una línea que “va al espacio”, corresponde a la distancia de la Tierra al Sol; 2) el lado de la base de la pirámide más cercano “al sustrato”, es decir, a la Tierra, es responsable del radio terrestre y de la circulación terrestre; 3) los volúmenes de la pirámide (léase - masas) corresponden a la relación de las masas de los planetas más cercanos a la Tierra. Un “cifrado” similar se puede encontrar, por ejemplo, en el lenguaje de las abejas analizado por Karl von Frisch. Sin embargo, por el momento nos abstendremos de comentar este asunto.

FORMA DE PIRÁMIDE

La famosa forma tetraédrica de las pirámides no surgió de inmediato. Los escitas hicieron entierros en forma de colinas de tierra: montículos. Los egipcios construyeron "colinas" de piedra: pirámides. Esto ocurrió por primera vez después de la unificación del Alto y el Bajo Egipto, en el siglo 28 a. C., cuando el fundador de la Tercera Dinastía, el faraón Zoser (Zoser), se enfrentó a la tarea de fortalecer la unidad del país.

Y aquí, según los historiadores, papel importante jugado en el fortalecimiento del gobierno central" nuevo concepto"deificación" del rey Aunque los entierros reales se distinguían por un mayor esplendor, en principio no se diferenciaban de las tumbas de los nobles de la corte, eran las mismas estructuras: mastabas, encima de la cámara con el sarcófago que contenía la momia, una forma rectangular. Se vertió una colina de piedras pequeñas, donde luego se colocó un pequeño edificio hecho de grandes bloques de piedra: “mastaba” (en árabe, “banco”). En el lugar de la mastaba de su predecesor, Sanakht, el faraón Zoser erigió la primera. Era una pirámide escalonada y era una etapa de transición visible de una. forma arquitectónica al otro, de la mastaba - a la pirámide.

De esta manera, el sabio y arquitecto Imhotep, que luego fue considerado un mago e identificado por los griegos con el dios Asclepio, “crió” al faraón. Era como si se erigieran seis mastabas seguidas. Además, la primera pirámide ocupaba un área de 1125 x 115 metros, con una altura estimada de 66 metros (según los estándares egipcios, 1000 "palmas"). Al principio, el arquitecto planeó construir una mastaba, pero no alargada, sino de planta cuadrada. Posteriormente se amplió, pero como la extensión se hizo más baja, parecía que había dos escalones.

Esta situación no satisfizo al arquitecto, y en la plataforma superior de la enorme mastaba plana, Imhotep colocó tres más, disminuyendo gradualmente hacia la cima. La tumba estaba ubicada debajo de la pirámide.

Se conocen varias pirámides escalonadas más, pero luego los constructores pasaron a construir pirámides tetraédricas que nos resultan más familiares. ¿Por qué, sin embargo, no triangular o, digamos, octogonal? Una respuesta indirecta la da el hecho de que casi todas las pirámides están perfectamente orientadas según los cuatro puntos cardinales y, por tanto, tienen cuatro lados. Además, la pirámide era una “casa”, el armazón de una cámara funeraria cuadrangular.

Pero ¿qué determinaba el ángulo de inclinación de las caras? En el libro “El principio de proporciones” se dedica un capítulo entero a esto: “Lo que pudo determinar los ángulos de inclinación de las pirámides”. En particular, se indica que “la imagen hacia la que gravitan las grandes pirámides del Reino Antiguo es un triángulo con un ángulo recto en el vértice.

En el espacio es un semioctaedro: una pirámide en la que las aristas y los lados de la base son iguales, las aristas son triángulos equiláteros." Ciertas consideraciones sobre este tema se dan en los libros de Hambidge, Gick y otros.

¿Cuál es la ventaja del ángulo semioctaedro? Según descripciones de arqueólogos e historiadores, algunas pirámides colapsaron por su propio peso. Lo que se necesitaba era un “ángulo de durabilidad”, un ángulo que fuera el más confiable desde el punto de vista energético. De manera puramente empírica, este ángulo se puede tomar desde el ángulo del vértice de un montón de arena seca que se desmorona. Pero para obtener datos precisos, es necesario utilizar un modelo. Tomando cuatro bolas firmemente fijadas, es necesario colocarles una quinta y medir los ángulos de inclinación. Sin embargo, aquí puedes cometer un error, por lo que un cálculo teórico te ayudará: debes conectar los centros de las bolas con líneas (mentalmente). La base será un cuadrado con un lado igual al doble del radio. El cuadrado será simplemente la base de la pirámide, cuya longitud de sus aristas también será igual al doble del radio.

Por lo tanto, un empaquetado compacto de bolas como 1:4 nos dará un semioctaedro regular.

Sin embargo, ¿por qué muchas pirámides, que gravitan hacia una forma similar, no la conservan? Probablemente las pirámides estén envejeciendo. Al contrario del famoso dicho:

"Todo en el mundo tiene miedo al tiempo, y el tiempo tiene miedo a las pirámides", los edificios de las pirámides deben envejecer, en ellas pueden y deben ocurrir no sólo procesos de erosión externa, sino también procesos de "contracción" interna, que pueden hacer que las pirámides se vuelvan más bajas. La contracción también es posible porque, como lo revela el trabajo de D. Davidovits, los antiguos egipcios utilizaban la tecnología de fabricar bloques a partir de virutas de cal, es decir, de "hormigón". Precisamente procesos similares podrían explicar el motivo de la destrucción de la pirámide de Medum, situada a 50 km al sur de El Cairo. Tiene 4600 años, las dimensiones de la base son 146 x 146 m, la altura es 118 m. “¿Por qué está tan desfigurado?”, pregunta V. Zamarovsky. “Las referencias habituales a los efectos destructivos del tiempo y al “uso de la piedra para otras construcciones” no son adecuadas aquí.

Al fin y al cabo, la mayoría de sus bloques y losas de revestimiento permanecen en su lugar hasta el día de hoy, en ruinas a sus pies". Como veremos, una serie de disposiciones incluso nos hacen pensar que la famosa pirámide de Keops también "se marchitó". En cualquier caso, en todas las imágenes antiguas las pirámides son puntiagudas...

La forma de las pirámides también podría haber sido generada por imitación: algunas muestras naturales, “perfección milagrosa”, digamos, algunos cristales en forma de octaedro.

Cristales similares podrían ser cristales de diamante y oro. Una gran cantidad de características "superpuestas" son típicas de conceptos como Faraón, Sol, Oro, Diamante. En todas partes: noble, brillante (brillante), grandioso, impecable, etc. Las similitudes no son accidentales.

El culto solar, como se sabe, formaba una parte importante de la religión Antiguo Egipto. “No importa cómo traduzcamos el nombre de la mayor de las pirámides”, señala uno de los manuales modernos, “El cielo de Keops” o “The Skyward Khufu”, significaba que el rey es el sol”. Si Keops, en el esplendor de su poder, se imaginaba a sí mismo como el segundo sol, entonces su hijo Djedef-Ra se convirtió en el primero de los reyes egipcios en llamarse a sí mismo el "hijo de Ra", es decir, el hijo del sol. El sol, en casi todas las naciones, estaba simbolizado por el “metal solar”, el oro. "Un gran disco de oro brillante": así llamaban los egipcios a nuestra luz del día. Los egipcios conocían perfectamente el oro, conocían sus formas nativas, donde los cristales de oro pueden aparecer en forma de octaedros.

La “piedra del sol”, el diamante, también es interesante aquí como “muestra de formas”. El nombre del diamante proviene precisamente del mundo árabe, "almas", el más duro, el más duro, el indestructible. Los antiguos egipcios conocían bastante bien el diamante y sus propiedades. Según algunos autores, incluso utilizaban tubos de bronce con cortadores de diamante para perforar.

Actualmente el principal proveedor de diamantes es Sudáfrica, pero África occidental también es rica en diamantes. El territorio de la República de Mali incluso se llama "Tierra del Diamante". Mientras tanto, es en el territorio de Malí donde viven los Dogon, en quienes los partidarios de la hipótesis de la paleo-visita depositan muchas esperanzas (ver más abajo). Los diamantes no pudieron ser el motivo de los contactos de los antiguos egipcios con esta región. Sin embargo, de una forma u otra, es posible que precisamente al copiar los octaedros de diamantes y cristales de oro, los antiguos egipcios deificaran a los faraones, “indestructibles” como el diamante y “brillantes” como el oro, los hijos del Sol, sólo comparables. a las más maravillosas creaciones de la naturaleza.

Conclusión:

Habiendo estudiado la pirámide como cuerpo geométrico, conociendo sus elementos y propiedades, estábamos convencidos de la validez de la opinión sobre la belleza de la forma de la pirámide.

Como resultado de nuestra investigación, llegamos a la conclusión de que los egipcios, habiendo recopilado el conocimiento matemático más valioso, lo plasmaron en una pirámide. Por tanto, la pirámide es verdaderamente la creación más perfecta de la naturaleza y el hombre.

LISTA DE REFERENCIAS UTILIZADAS

"Geometría: libro de texto. para 7 – 9 grados. educación general instituciones\, etc. - 9ª ed. - M.: Educación, 1999

Historia de las matemáticas en la escuela, M: “Prosveshchenie”, 1982.

Geometría 10-11 grados, M: "Ilustración", 2000

Peter Tompkins "Secretos" gran pirámide Keops", M: "Tsentropoligraf", 2005.

recursos de internet

http://veka-i-mig. *****/

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http://www. *****/enc/54373.html