Logaritmos y sus propiedades. Logaritmo. Definición de logaritmo binario, logaritmo natural, logaritmo decimal; función exponencial exp(x), número e. Registro, Ln. Fórmulas de potencias y logaritmos. Usando logaritmo, decibeles

El logaritmo de un número b en base a es el exponente al que se debe elevar el número a para obtener el número b.

Si entonces.

Logaritmo - extremo cantidad matemática importante, ya que el cálculo logarítmico permite no sólo resolver ecuaciones exponenciales, sino también operar con exponentes, diferenciar funciones exponenciales y logarítmicas, integrarlas y llevarlas a una forma más aceptable para ser calculadas.

Todas las propiedades de los logaritmos están directamente relacionadas con las propiedades. funciones exponenciales. Por ejemplo, el hecho de que significa que:

Cabe señalar que al resolver problemas específicos, las propiedades de los logaritmos pueden resultar más importantes y útiles que las reglas para trabajar con potencias.

Presentemos algunas identidades:

Aquí están las expresiones algebraicas básicas:

;

¡Atención! sólo puede existir para x>0, x≠1, y>0.

Intentemos comprender la cuestión de qué son los logaritmos naturales. Interés especial por las matemáticas. representan dos tipos- el primero tiene como base el número “10”, y se llama “logaritmo decimal”. El segundo se llama natural. La base del logaritmo natural es el número “e”. De esto es de lo que hablaremos en detalle en este artículo.

Designaciones:

lgx - decimal;
En x - natural.

Usando la identidad, podemos ver que ln e = 1, así como el hecho de que lg 10=1.

Gráfico de logaritmo natural

Construyamos una gráfica del logaritmo natural usando el estándar. de la manera clásica por puntos. Si lo desea, puede comprobar si estamos construyendo la función correctamente examinándola. Sin embargo, tiene sentido aprender a construirlo "manualmente" para saber calcular correctamente el logaritmo.

Función: y = lnx. Anotemos una tabla de puntos por los que pasará la gráfica:

Expliquemos por qué elegimos estos valores particulares del argumento x. Se trata de identidad: . Para el logaritmo natural esta identidad se verá así:

Por conveniencia, podemos tomar cinco puntos de referencia:

;

Así, calcular logaritmos naturales es una tarea bastante sencilla, además, simplifica los cálculos de operaciones con potencias, convirtiéndolas en; multiplicación ordinaria.

Trazando un gráfico punto por punto, obtenemos un gráfico aproximado:

El dominio de definición del logaritmo natural (es decir, todos valores válidos argumento X): todos los números son mayores que cero.

¡Atención!¡El dominio de definición del logaritmo natural incluye solo números positivos! El alcance de la definición no incluye x=0. Esto es imposible según las condiciones de existencia del logaritmo.

El rango de valores (es decir, todos los valores válidos de la función y = ln x) son todos los números del intervalo.

Límite de registro natural

Al estudiar la gráfica, surge la pregunta: ¿cómo se comporta la función en y?<0.

Obviamente, la gráfica de la función tiende a cruzar el eje y, pero no podrá hacerlo, ya que el logaritmo natural en x<0 не существует.

Límite de natural registro se puede escribir de esta manera:

Fórmula para reemplazar la base de un logaritmo.

Trabajar con un logaritmo natural es mucho más fácil que con un logaritmo que tiene una base arbitraria. Por eso intentaremos aprender a reducir cualquier logaritmo a uno natural, o expresarlo a una base arbitraria mediante logaritmos naturales.

Empecemos con la identidad logarítmica:

Entonces cualquier número o variable y se puede representar como:

donde x es cualquier número (positivo según las propiedades del logaritmo).

Esta expresión se puede tomar logarítmicamente en ambos lados. Hagamos esto usando una base z arbitraria:

Usemos la propiedad (sólo que en lugar de “c” tenemos la expresión):

De aquí obtenemos la fórmula universal:

En particular, si z=e, entonces:

Pudimos representar un logaritmo en una base arbitraria mediante la relación de dos logaritmos naturales.

Resolvemos problemas

Para comprender mejor los logaritmos naturales, veamos ejemplos de varios problemas.

Problema 1. Es necesario resolver la ecuación ln x = 3.

Solución: Usando la definición del logaritmo: si , entonces , obtenemos:

Problema 2. Resuelve la ecuación (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Solución: Usando la definición del logaritmo: si , entonces , obtenemos:

Usemos nuevamente la definición de logaritmo:

De este modo:

Puedes calcular aproximadamente la respuesta o puedes dejarla en este formulario.

Tarea 3. Resuelve la ecuación.

Solución: Hagamos una sustitución: t = ln x. Entonces la ecuación tomará la siguiente forma:

Tenemos una ecuación cuadrática. Encontremos su discriminante:

Primera raíz de la ecuación:

Segunda raíz de la ecuación:

Recordando que hicimos la sustitución t = ln x, obtenemos:

En estadística y teoría de la probabilidad, las cantidades logarítmicas se encuentran con mucha frecuencia. Esto no es sorprendente, porque el número e a menudo refleja la tasa de crecimiento de cantidades exponenciales.

En informática, programación y teoría de la computación, los logaritmos se encuentran con bastante frecuencia, por ejemplo, para almacenar N bits en la memoria.

En las teorías de fractales y dimensiones, los logaritmos se utilizan constantemente, ya que las dimensiones de los fractales se determinan sólo con su ayuda.

En mecánica y física. No hay ninguna sección donde no se hayan utilizado logaritmos. La distribución barométrica, todos los principios de la termodinámica estadística, la ecuación de Tsiolkovsky, etc. son procesos que sólo pueden describirse matemáticamente utilizando logaritmos.

En química, los logaritmos se utilizan en las ecuaciones de Nernst y en las descripciones de procesos redox.

Sorprendentemente, incluso en música, para saber el número de partes de una octava, se utilizan logaritmos.

Logaritmo natural Función y=ln x sus propiedades

Prueba de la propiedad principal del logaritmo natural.

Seguimos estudiando logaritmos. En este artículo hablaremos de calculando logaritmos, este proceso se llama logaritmo. Primero entenderemos el cálculo de logaritmos por definición. A continuación, veamos cómo se encuentran los valores de los logaritmos usando sus propiedades. Después de esto, nos centraremos en calcular logaritmos a través de los valores inicialmente especificados de otros logaritmos. Finalmente, aprendamos a usar tablas de logaritmos. Toda la teoría se proporciona con ejemplos con soluciones detalladas.

Navegación de páginas.

Calcular logaritmos por definición

En los casos más simples es posible realizar con bastante rapidez y facilidad encontrar el logaritmo por definición. Echemos un vistazo más de cerca a cómo ocurre este proceso.

Su esencia es representar el número b en la forma a c, de donde, según la definición de logaritmo, el número c es el valor del logaritmo. Es decir, por definición, la siguiente cadena de igualdades corresponde a encontrar el logaritmo: log a b=log a a c =c.

Entonces, calcular un logaritmo por definición se reduce a encontrar un número c tal que a c = b, y el número c en sí es el valor deseado del logaritmo.

Teniendo en cuenta la información de los párrafos anteriores, cuando el número bajo el signo del logaritmo está dado por una determinada potencia de la base del logaritmo, puede indicar inmediatamente a qué es igual el logaritmo: es igual al exponente. Mostremos soluciones a ejemplos.

Ejemplo.

Encuentra log 2 2 −3 y también calcula el logaritmo natural del número e 5,3.

Solución.

La definición del logaritmo nos permite decir inmediatamente que log 2 2 −3 =−3. De hecho, el número bajo el signo del logaritmo es igual a base 2 elevado a −3.

De manera similar, encontramos el segundo logaritmo: lne 5,3 =5,3.

Respuesta:

log 2 2 −3 =−3 y lne 5,3 =5,3.

Si el número b bajo el signo del logaritmo no se especifica como una potencia de la base del logaritmo, entonces debes observar cuidadosamente si es posible obtener una representación del número b en la forma a c. A menudo, esta representación es bastante obvia, especialmente cuando el número bajo el signo del logaritmo es igual a la base elevada a 1, o 2, o 3,...

Ejemplo.

Calcula los logaritmos log 5 25 y .

Solución.

Es fácil ver que 25=5 2, esto te permite calcular el primer logaritmo: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Pasemos a calcular el segundo logaritmo. El número se puede representar como una potencia de 7: (ver si es necesario). Por eso, .

Reescribamos el tercer logaritmo de la siguiente forma. Ahora puedes ver eso , de lo cual concluimos que . Por lo tanto, por la definición de logaritmo .

Brevemente, la solución podría escribirse de la siguiente manera: .

Respuesta:

iniciar sesión 5 25 = 2 , Y .

Cuando hay un número natural suficientemente grande bajo el signo del logaritmo, no está de más factorizarlo en factores primos. A menudo es útil representar un número de este tipo como una potencia de la base del logaritmo y, por lo tanto, calcular este logaritmo por definición.

Ejemplo.

Encuentra el valor del logaritmo.

Solución.

Algunas propiedades de los logaritmos le permiten especificar inmediatamente el valor de los logaritmos. Estas propiedades incluyen la propiedad del logaritmo de uno y la propiedad del logaritmo de un número igual a la base: log 1 1=log a a 0 =0 y log a a=log a a 1 =1. Es decir, cuando bajo el signo del logaritmo hay un número 1 o un número a igual a la base del logaritmo, entonces en estos casos los logaritmos son iguales a 0 y 1, respectivamente.

Ejemplo.

¿A qué equivalen los logaritmos y log10?

Solución.

Dado que , de la definición del logaritmo se sigue .

En el segundo ejemplo, el número 10 bajo el signo del logaritmo coincide con su base, por lo que el logaritmo decimal de diez es igual a uno, es decir, lg10=lg10 1 =1.

Respuesta:

Y lg10=1.

Tenga en cuenta que el cálculo de logaritmos por definición (que analizamos en el párrafo anterior) implica el uso de la igualdad log a a p =p, que es una de las propiedades de los logaritmos.

En la práctica, cuando un número bajo el signo del logaritmo y la base del logaritmo se representan fácilmente como una potencia de un determinado número, es muy conveniente utilizar la fórmula , que corresponde a una de las propiedades de los logaritmos. Veamos un ejemplo de cómo encontrar un logaritmo que ilustra el uso de esta fórmula.

Ejemplo.

Calcula el logaritmo.

Solución.

Respuesta:

Las propiedades de los logaritmos que no se mencionan anteriormente también se utilizan en los cálculos, pero hablaremos de esto en los párrafos siguientes.

Encontrar logaritmos a través de otros logaritmos conocidos

La información de este párrafo continúa con el tema del uso de las propiedades de los logaritmos al calcularlos. Pero aquí la principal diferencia es que las propiedades de los logaritmos se utilizan para expresar el logaritmo original en términos de otro logaritmo cuyo valor se conoce. Pongamos un ejemplo para aclarar. Digamos que sabemos que log 2 3≈1.584963, entonces podemos encontrar, por ejemplo, log 2 6 haciendo una pequeña transformación usando las propiedades del logaritmo: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

En el ejemplo anterior, nos bastó con utilizar la propiedad del logaritmo de un producto. Sin embargo, mucho más a menudo es necesario utilizar un arsenal más amplio de propiedades de logaritmos para calcular el logaritmo original a través de los dados.

Ejemplo.

Calcula el logaritmo de 27 en base 60 si sabes que log 60 2=a y log 60 5=b.

Solución.

Entonces necesitamos encontrar log 60 27 . Es fácil ver que 27 = 3 3, y el logaritmo original, debido a la propiedad del logaritmo de la potencia, se puede reescribir como 3·log 60 3.

Ahora veamos cómo expresar log 60 3 en términos de logaritmos conocidos. La propiedad del logaritmo de un número igual a la base nos permite escribir la igualdad log 60 60=1. Por otro lado, log 60 60=log60(2 2 3 5)= registro 60 2 2 + registro 60 3 + registro 60 5 = 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . De este modo, 2 registro 60 2+ registro 60 3+ registro 60 5=1. Por eso, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Finalmente calculamos el logaritmo original: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Respuesta:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Por separado, vale la pena mencionar el significado de la fórmula para la transición a una nueva base del logaritmo de la forma . Permite pasar de logaritmos con cualquier base a logaritmos con una base específica, cuyos valores se conocen o es posible encontrarlos. Habitualmente, del logaritmo original, utilizando la fórmula de transición, se pasa a logaritmos en alguna de las bases 2, e o 10, ya que para estas bases existen tablas de logaritmos que permiten calcular sus valores con cierto grado de exactitud. En el siguiente párrafo mostraremos cómo se hace esto.

Tablas de logaritmos y sus usos.

Para el cálculo aproximado de los valores de logaritmo se puede utilizar tablas de logaritmos. La tabla de logaritmos de base 2, la tabla de logaritmos naturales y la tabla de logaritmos decimales más utilizadas. Cuando se trabaja en el sistema numérico decimal, es conveniente utilizar una tabla de logaritmos basada en base diez. Con su ayuda aprenderemos a encontrar los valores de los logaritmos.

La tabla presentada le permite encontrar los valores de los logaritmos decimales de números del 1000 al 9999 (con tres decimales) con una precisión de una diezmilésima. Analizaremos el principio de encontrar el valor de un logaritmo usando una tabla de logaritmos decimales usando un ejemplo específico; así queda más claro. Encontremos log1.256.

En la columna izquierda de la tabla de logaritmos decimales encontramos los dos primeros dígitos del número 1,256, es decir, encontramos 1,2 (este número está encerrado en un círculo azul para mayor claridad). El tercer dígito del número 1.256 (dígito 5) se encuentra en la primera o última línea a la izquierda de la doble línea (este número está rodeado por un círculo rojo). El cuarto dígito del número original 1.256 (dígito 6) se encuentra en la primera o última línea a la derecha de la línea doble (este número está rodeado por una línea verde). Ahora encontramos los números en las celdas de la tabla de logaritmos en la intersección de la fila marcada y las columnas marcadas (estos números están resaltados en naranja). La suma de los números marcados da el valor deseado del logaritmo decimal con precisión al cuarto decimal, es decir, log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

¿Es posible, utilizando la tabla anterior, encontrar los valores de los logaritmos decimales de números que tienen más de tres dígitos después del punto decimal, así como aquellos que van más allá del rango de 1 a 9,999? Sí, puedes. Demostremos cómo se hace esto con un ejemplo.

Calculemos lg102.76332. Primero necesitas escribir número en forma estándar: 102,76332=1,0276332·10 2. Después de esto, la mantisa debe redondearse al tercer decimal, tenemos 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, mientras que el logaritmo decimal original es aproximadamente igual al logaritmo del número resultante, es decir, tomamos log102.76332≈lg1.028·10 2. Ahora aplicamos las propiedades del logaritmo: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Finalmente, encontramos el valor del logaritmo lg1.028 de la tabla de logaritmos decimales lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Como resultado, todo el proceso de cálculo del logaritmo se ve así: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

En conclusión, cabe señalar que utilizando una tabla de logaritmos decimales se puede calcular el valor aproximado de cualquier logaritmo. Para ello, basta con utilizar la fórmula de transición para ir a logaritmos decimales, encontrar sus valores en la tabla y realizar el resto de cálculos.

Por ejemplo, calculemos log 2 3. Según la fórmula para la transición a una nueva base del logaritmo, tenemos . De la tabla de logaritmos decimales encontramos log3≈0.4771 y log2≈0.3010. De este modo, .

Referencias.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. y otros Álgebra y los inicios del análisis: Libro de texto para los grados 10 - 11 de instituciones de educación general.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemáticas (un manual para quienes ingresan a las escuelas técnicas).

De gran importancia en el curso escolar "Análisis matemático" es la sección sobre logaritmos. Los problemas de funciones logarítmicas se basan en principios diferentes a los de los problemas de desigualdades y ecuaciones. El conocimiento de las definiciones y propiedades básicas de los conceptos de logaritmo y función logarítmica garantizará la solución exitosa de problemas típicos de USE.

Antes de comenzar a explicar qué es una función logarítmica, vale la pena mirar la definición de logaritmo.

Veamos un ejemplo específico: a log a x = x, donde a › 0, a ≠ 1.

Las principales propiedades de los logaritmos se pueden enumerar en varios puntos:

Logaritmo

La logaritmación es una operación matemática que permite, utilizando las propiedades de un concepto, encontrar el logaritmo de un número o expresión.

Ejemplos:

Función logaritmo y sus propiedades.

La función logarítmica tiene la forma

Notemos inmediatamente que la gráfica de una función puede ser creciente cuando a › 1 y decreciente cuando 0 ‹ a ‹ 1. Dependiendo de esto, la curva de la función tendrá una forma u otra.

Estas son las propiedades y el método para trazar logaritmos:

el dominio de f(x) es el conjunto de todos los números positivos, es decir x puede tomar cualquier valor del intervalo (0; + ∞);
La función ODZ es el conjunto de todos los números reales, es decir y puede ser igual a cualquier número del intervalo (— ∞; +∞);
si la base del logaritmo a › 1, entonces f(x) aumenta en todo el dominio de definición;
si la base del logaritmo es 0 ‹ a ‹ 1, entonces F es decreciente;
la función logarítmica no es ni par ni impar;
la curva gráfica siempre pasa por el punto con coordenadas (1;0).

Es muy fácil construir ambos tipos de gráficos; veamos el proceso usando un ejemplo;

Primero debes recordar las propiedades del logaritmo simple y sus funciones. Con su ayuda, es necesario crear una tabla para valores específicos de xey. Luego debes marcar los puntos resultantes en el eje de coordenadas y conectarlos con una línea suave. Esta curva será la gráfica requerida.

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial dada por y= a x. Para comprobarlo basta con dibujar ambas curvas sobre el mismo eje de coordenadas.

Es obvio que ambas líneas son imágenes especulares entre sí. Al construir la línea recta y = x, puedes ver el eje de simetría.

Para encontrar rápidamente la respuesta al problema, debe calcular los valores de los puntos para y = log 2⁡ x, y luego simplemente mover el origen del punto de coordenadas tres divisiones hacia abajo a lo largo del eje OY y 2 divisiones hacia la izquierda a lo largo del eje OX.

Como prueba, construyamos una tabla de cálculo para los puntos del gráfico y = log 2 ⁡(x+2)-3 y comparemos los valores obtenidos con la figura.

Como ves, las coordenadas de la tabla y los puntos del gráfico coinciden, por lo que la transferencia a lo largo de los ejes se realizó correctamente.

Ejemplos de resolución de problemas típicos del Examen Estatal Unificado

La mayoría de los problemas de prueba se pueden dividir en dos partes: buscar el dominio de definición, indicar el tipo de función según el dibujo del gráfico y determinar si la función es creciente o decreciente.

Para responder rápidamente a las tareas, es necesario comprender claramente que f(x) aumenta si el exponente del logaritmo a › 1 y disminuye si 0 ‹ a ‹ 1. Sin embargo, no solo la base, sino también el argumento pueden afectar en gran medida la forma. de la curva de función.

F(x) marcadas con una marca de verificación son respuestas correctas. Las dudas en este caso surgen de los ejemplos 2 y 3. El signo “-” delante del registro cambia de creciente a decreciente y viceversa.

Por lo tanto, la gráfica y=-log 3⁡ x disminuye en todo el dominio de definición, y y= -log (1/3) ⁡x aumenta, a pesar de que la base 0 ‹ a ‹ 1.

Respuesta: 3,4,5.

Respuesta: 4.

Este tipo de tareas se consideran fáciles y se puntúan entre 1 y 2 puntos.

Tarea 3.

Determina si la función es decreciente o creciente e indica el dominio de su definición.

Y = iniciar sesión 0,7 ⁡(0,1x-5)

Como la base del logaritmo es menor que uno pero mayor que cero, la función de x es decreciente. Según las propiedades del logaritmo, el argumento también debe ser mayor que cero. Resolvamos la desigualdad:

Respuesta: dominio de definición D(x) – intervalo (50; + ∞).

Respuesta: 3, 1, eje OX, derecha.

Estas tareas se clasifican como medias y se puntúan entre 3 y 4 puntos.

Tarea 5. Encuentra el rango de valores de una función:

Por las propiedades del logaritmo se sabe que el argumento sólo puede ser positivo. Por tanto, calcularemos el rango de valores aceptables de la función. Para hacer esto, necesitarás resolver un sistema de dos desigualdades.

Se desprende de su definición. Y entonces el logaritmo del número. b Residencia en A se define como el exponente al que se debe elevar un número a para obtener el numero b(El logaritmo existe sólo para números positivos).

De esta formulación se deduce que el cálculo x=log a b, equivale a resolver la ecuación ax=b. Por ejemplo, iniciar sesión 2 8 = 3 porque 8 = 2 3 . La formulación del logaritmo permite justificar que si b=a c, entonces el logaritmo del número b Residencia en a es igual Con. También está claro que el tema de los logaritmos está estrechamente relacionado con el tema de las potencias de un número.

Con logaritmos, como con cualquier número, puedes hacer operaciones de suma, resta y transformarnos en todos los sentidos posibles. Pero debido al hecho de que los logaritmos no son números completamente ordinarios, aquí se aplican sus propias reglas especiales, que se llaman propiedades principales.

Sumar y restar logaritmos.

Tomemos dos logaritmos con las mismas bases: registrar una x Y iniciar sesión y. Entonces es posible realizar operaciones de suma y resta:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

registrar un(incógnita 1 . incógnita 2 . incógnita 3 ... x k) = registrar una x 1 + registrar una x 2 + registrar una x 3 + ... + iniciar sesión xk.

De teorema del cociente logaritmo Se puede obtener una propiedad más del logaritmo. Es de conocimiento común que el registro a 1= 0, por lo tanto

registro a 1 /b= iniciar sesión a 1 - registro un segundo= - iniciar sesión un segundo.

Esto significa que hay una igualdad:

iniciar sesión a 1 / b = - iniciar sesión a b.

Logaritmos de dos números recíprocos por la misma razón se diferenciarán entre sí únicamente por el signo. Entonces:

Iniciar sesión 3 9 = - iniciar sesión 3 1/9; registro 5 1/125 = - registro 5 125.

En proporción

Se puede establecer la tarea de encontrar cualquiera de los tres números a partir de los otros dos dados. Si se dan a y luego N, se encuentran mediante exponenciación. Si N y entonces a están dados sacando la raíz del grado x (o elevándolo a la potencia). Consideremos ahora el caso en el que, dados a y N, necesitamos encontrar x.

Sea positivo el número N: sea positivo el número a y distinto de uno: .

Definición. El logaritmo del número N en base a es el exponente al que se debe elevar a para obtener el número N; el logaritmo se denota por

Así, en la igualdad (26.1) el exponente se encuentra como el logaritmo de N en base a. Publicaciones

tienen el mismo significado. La igualdad (26.1) a veces se considera la identidad principal de la teoría de los logaritmos; en realidad expresa la definición del concepto de logaritmo. Según esta definición, la base del logaritmo a es siempre positiva y diferente de la unidad; el número logarítmico N es positivo. Los números negativos y el cero no tienen logaritmos. Se puede demostrar que cualquier número con una base determinada tiene un logaritmo bien definido. Por lo tanto, la igualdad implica. Tenga en cuenta que la condición aquí es esencial; de lo contrario, la conclusión no estaría justificada, ya que la igualdad es verdadera para cualquier valor de x e y.

Ejemplo 1. Encontrar

Solución. Para obtener un número, debes elevar la base 2 a la potencia Por tanto.

Puede tomar notas al resolver dichos ejemplos de la siguiente forma:

Ejemplo 2. Encuentra .

Solución. Tenemos

En los ejemplos 1 y 2, encontramos fácilmente el logaritmo deseado representando el número del logaritmo como una potencia de la base con un exponente racional. En el caso general, por ejemplo, etc., esto no se puede hacer, ya que el logaritmo tiene un valor irracional. Prestemos atención a una cuestión relacionada con esta afirmación. En el párrafo 12, dimos el concepto de la posibilidad de determinar cualquier potencia real de un número positivo dado. Esto fue necesario para la introducción de los logaritmos, que, en general, pueden ser números irracionales.

Veamos algunas propiedades de los logaritmos.

Propiedad 1. Si el número y la base son iguales, entonces el logaritmo es igual a uno y, a la inversa, si el logaritmo es igual a uno, entonces el número y la base son iguales.

Prueba. Dejemos que por la definición de logaritmo tenemos y de donde

Por el contrario, dejemos entonces por definición

Propiedad 2. El logaritmo de uno con cualquier base es igual a cero.

Prueba. Por definición de logaritmo (la potencia cero de cualquier base positiva es igual a uno, ver (10.1)). Desde aquí

Q.E.D.

La afirmación inversa también es cierta: si , entonces N = 1. De hecho, tenemos .

Antes de formular la siguiente propiedad de los logaritmos, aceptemos decir que dos números a y b se encuentran en el mismo lado del tercer número c si ambos son mayores que c o menores que c. Si uno de estos números es mayor que c y el otro es menor que c, entonces diremos que se encuentran en lados opuestos de c.

Propiedad 3. Si el número y la base se encuentran en el mismo lado de uno, entonces el logaritmo es positivo; Si el número y la base están en lados opuestos de uno, entonces el logaritmo es negativo.

La prueba de la propiedad 3 se basa en el hecho de que la potencia de a es mayor que uno si la base es mayor que uno y el exponente es positivo o la base es menor que uno y el exponente es negativo. Una potencia es menor que uno si la base es mayor que uno y el exponente es negativo o la base es menor que uno y el exponente es positivo.

Hay cuatro casos a considerar:

Nos limitaremos a analizar el primero de ellos; el lector considerará por su cuenta el resto.

Supongamos entonces que en igualdad el exponente no puede ser negativo ni igual a cero, por lo tanto, es positivo, es decir, como se requiere demostrar.

Ejemplo 3. Descubra cuáles de los siguientes logaritmos son positivos y cuáles son negativos:

Solución, a) ya que el número 15 y la base 12 están ubicados en el mismo lado de uno;

b) ya que 1000 y 2 están ubicados en un lado de la unidad; en este caso no importa que la base sea mayor que el número logarítmico;

c) dado que 3,1 y 0,8 se encuentran en lados opuestos de la unidad;

G); ¿Por qué?

d) ; ¿Por qué?

Las siguientes propiedades 4-6 a menudo se denominan reglas de logaritmación: permiten, conociendo los logaritmos de algunos números, encontrar los logaritmos de su producto, cociente y potencia de cada uno de ellos.

Propiedad 4 (regla del logaritmo del producto). El logaritmo del producto de varios números positivos con respecto a una base determinada es igual a la suma de los logaritmos de estos números con respecto a la misma base.

Prueba. Sean positivos los números dados.

Para el logaritmo de su producto, escribimos la igualdad (26.1) que define el logaritmo:

Desde aquí encontraremos

Comparando los exponentes de la primera y la última expresión, obtenemos la igualdad requerida:

Tenga en cuenta que la condición es esencial; el logaritmo del producto de dos números negativos tiene sentido, pero en este caso obtenemos

En general, si el producto de varios factores es positivo, entonces su logaritmo es igual a la suma de los logaritmos de los valores absolutos de estos factores.

Propiedad 5 (regla para tomar logaritmos de cocientes). El logaritmo de un cociente de números positivos es igual a la diferencia entre los logaritmos del dividendo y del divisor, llevados a la misma base. Prueba. Constantemente encontramos

Q.E.D.

Propiedad 6 (regla del logaritmo de potencias). El logaritmo de la potencia de cualquier número positivo es igual al logaritmo de ese número multiplicado por el exponente.

Prueba. Escribamos nuevamente la identidad principal (26.1) del número:

Q.E.D.

Consecuencia. El logaritmo de una raíz de un número positivo es igual al logaritmo del radical dividido por el exponente de la raíz:

La validez de este corolario se puede probar imaginando cómo y utilizando la propiedad 6.

Ejemplo 4. Llevar logaritmo a base a:

a) (se supone que todos los valores b, c, d, e son positivos);

b) (se supone que ).

Solución, a) Conviene ir a potencias fraccionarias en esta expresión:

Con base en las igualdades (26.5)-(26.7), ahora podemos escribir:

Notamos que se realizan operaciones más simples sobre los logaritmos de los números que sobre los números mismos: al multiplicar números se suman sus logaritmos, al dividir se restan, etc.

Es por eso que los logaritmos se utilizan en la práctica informática (ver párrafo 29).

La acción inversa del logaritmo se llama potenciación, a saber: la potenciación es la acción mediante la cual se encuentra el número mismo a partir de un logaritmo dado de un número. En esencia, la potenciación no es una acción especial: se reduce a elevar una base a una potencia (igual al logaritmo de un número). El término "potenciación" puede considerarse sinónimo del término "exponenciación".

Al potenciar, se deben utilizar las reglas inversas a las reglas de la logaritmación: sustituir la suma de logaritmos por el logaritmo del producto, la diferencia de logaritmos por el logaritmo del cociente, etc. En particular, si hay un factor delante del signo del logaritmo, luego durante la potenciación debe transferirse al exponente grados bajo el signo del logaritmo.

Ejemplo 5. Encuentre N si se sabe que

Solución. En relación con la regla de potenciación recién expuesta, transferiremos los factores 2/3 y 1/3 que se encuentran delante de los signos de los logaritmos en el lado derecho de esta igualdad a exponentes bajo los signos de estos logaritmos; obtenemos

Ahora reemplazamos la diferencia de logaritmos por el logaritmo del cociente:

Para obtener la última fracción de esta cadena de igualdades, liberamos a la fracción anterior de la irracionalidad en el denominador (cláusula 25).

Propiedad 7. Si la base es mayor que uno, entonces el número mayor tiene un logaritmo mayor (y el menor tiene uno menor), si la base es menor que uno, entonces el número mayor tiene un logaritmo menor (y el menor uno tiene uno más grande).

Esta propiedad también se formula como regla para tomar logaritmos de desigualdades cuyos ambos lados son positivos:

Al logaritmar desigualdades con una base mayor que uno, se conserva el signo de la desigualdad, y cuando se logaritma con una base menor que uno, el signo de la desigualdad cambia al opuesto (ver también el párrafo 80).

La prueba se basa en las propiedades 5 y 3. Considere el caso en el que Si , entonces y, tomando logaritmos, obtenemos

(a y N/M se encuentran en el mismo lado de la unidad). Desde aquí

El caso a sigue, el lector lo descubrirá por sí solo.