Sección transversal diagonal de la definición de un prisma. ¿Cómo se ve un prisma rectangular?

Información general sobre el prisma recto.

La superficie lateral de un prisma (más precisamente, el área de la superficie lateral) se llama sumaáreas de las caras laterales. La superficie total del prisma es igual a la suma de la superficie lateral y las áreas de las bases.

Teorema 19.1. La superficie lateral de un prisma recto es igual al producto del perímetro de la base por la altura del prisma, es decir, la longitud del borde lateral.

Prueba. Las caras laterales de un prisma recto son rectángulos. Las bases de estos rectángulos son los lados del polígono que se encuentran en la base del prisma y las alturas son iguales a la longitud de los bordes laterales. Se deduce que la superficie lateral del prisma es igual a

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

donde a 1 y n son las longitudes de los bordes de la base, p es el perímetro de la base del prisma e I es la longitud de los bordes laterales. El teorema ha sido demostrado.

tarea practica

Problema (22) . En un prisma inclinado se realiza sección, perpendicular a las nervaduras laterales y cruzando todas costillas laterales. Encontrar superficie lateral prismas si el perímetro de la sección transversal es igual a p y los bordes laterales son iguales a l.

Solución. El plano de la sección dibujada divide el prisma en dos partes (Fig. 411). Sometamos uno de ellos a traslación paralela, combinando las bases del prisma. En este caso, obtenemos un prisma recto, cuya base es la sección transversal del prisma original y los bordes laterales son iguales a l. Este prisma tiene la misma superficie lateral que el original. Por tanto, la superficie lateral del prisma original es igual a pl.

Resumen del tema tratado.

Ahora intentemos resumir el tema que cubrimos sobre los prismas y recordar qué propiedades tiene un prisma.

Propiedades del prisma

En primer lugar, un prisma tiene todas sus bases. polígonos iguales;
En segundo lugar, en un prisma todas sus caras laterales son paralelogramos;
En tercer lugar, en una figura tan multifacética como un prisma, todos los bordes laterales son iguales;

Además, cabe recordar que los poliedros como los prismas pueden ser rectos o inclinados.

¿Qué prisma se llama prisma recto?

Si el borde lateral de un prisma se encuentra perpendicular al plano de su base, entonces dicho prisma se llama recto.

No estará de más recordar que las caras laterales de un prisma recto son rectángulos.

¿Qué tipo de prisma se llama oblicuo?

Pero si el borde lateral de un prisma no se encuentra perpendicular al plano de su base, entonces podemos decir con seguridad que es un prisma inclinado.

¿Qué prisma se llama correcto?

Si en la base de un prisma recto se encuentra polígono regular, entonces ese prisma es correcto.

Ahora recordemos las propiedades que tiene un prisma regular.

Propiedades de un prisma regular

Primero, siempre razones. prisma correcto sirven polígonos regulares;
En segundo lugar, si consideramos las caras laterales de un prisma regular, siempre son rectángulos iguales;
En tercer lugar, si comparamos los tamaños de las nervaduras laterales, en un prisma regular siempre son iguales.
En cuarto lugar, un prisma correcto es siempre recto;
En quinto lugar, si en un prisma regular las caras laterales tienen forma de cuadrados, esa figura suele denominarse polígono semirregular.

Sección transversal del prisma

Ahora veamos la sección transversal del prisma:

Tarea

Ahora intentemos consolidar el tema que hemos aprendido resolviendo problemas.

Dibujemos una inclinación prisma triangular, en el que la distancia entre sus aristas será igual a: 3 cm, 4 cm y 5 cm, y la superficie lateral de este prisma será igual a 60 cm2. Teniendo estos parámetros, encuentre el borde lateral de este prisma.

¿Sabes que las figuras geométricas nos rodean constantemente no solo en las lecciones de geometría, sino también en la vida cotidiana Hay objetos que se parecen a una u otra figura geométrica.

Todo el mundo en casa, en la escuela o en el trabajo tiene una computadora, unidad del sistema que tiene la forma de un prisma recto.

Si tomas un lápiz simple, verás que la parte principal del lápiz es un prisma.

Caminando por la calle central de la ciudad, vemos que bajo nuestros pies se encuentra un azulejo que tiene forma de prisma hexagonal.

A. V. Pogorelov, Geometría para los grados 7-11, Libro de texto para instituciones educativas

Definición.

Este es un hexágono cuyas bases son dos cuadrados iguales y las caras laterales son rectángulos iguales.

costilla lateral- es el lado común de dos caras laterales adyacentes

altura del prisma- este es un segmento perpendicular a las bases del prisma

prisma diagonal- un segmento que conecta dos vértices de las bases que no pertenecen a la misma cara

Plano diagonal- un plano que pasa por la diagonal del prisma y sus bordes laterales

sección diagonal- los límites de la intersección del prisma y el plano diagonal. La sección transversal diagonal de un prisma cuadrangular regular es un rectángulo.

Sección perpendicular (sección ortogonal)- esta es la intersección de un prisma y un plano trazado perpendicular a sus bordes laterales

Elementos de un prisma cuadrangular regular.

La figura muestra dos prismas cuadrangulares regulares, que se indican con las letras correspondientes:

• Las bases ABCD y A 1 B 1 C 1 D 1 son iguales y paralelas entre sí
• Caras laterales AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C y CC 1 D 1 D, cada una de las cuales es un rectángulo
• Superficie lateral: la suma de las áreas de todas las caras laterales del prisma.
• Superficie total: la suma de las áreas de todas las bases y caras laterales (suma del área de la superficie lateral y las bases)
• Costillas laterales AA 1, BB 1, CC 1 y DD 1.
• Diagonal B 1 D
• Base diagonal BD
• Sección diagonal BB 1 D 1 D
• Sección perpendicular A 2 B 2 C 2 D 2.

Propiedades de un prisma cuadrangular regular

• Las bases son dos cuadrados iguales.
• Las bases son paralelas entre sí.
• Las caras laterales son rectángulos.
• Los bordes laterales son iguales entre sí.
• Las caras laterales son perpendiculares a las bases.
• Las costillas laterales son paralelas entre sí e iguales.
• Sección perpendicular perpendicular a todas las nervaduras laterales y paralela a las bases.
• Ángulos de sección perpendicular - recta
• La sección transversal diagonal de un prisma cuadrangular regular es un rectángulo.
• Perpendicular (sección ortogonal) paralela a las bases

Fórmulas para un prisma cuadrangular regular.

Instrucciones para resolver problemas.

Prisma correcto- un prisma en cuya base se encuentra un polígono regular y cuyos bordes laterales son perpendiculares a los planos de la base. Es decir, un prisma cuadrangular regular contiene en su base cuadrado. (ver propiedades de un prisma cuadrangular regular arriba) Nota. Esto es parte de una lección con problemas de geometría (sección estereometría - prisma). Aquí hay problemas que son difíciles de resolver. Si necesitas resolver un problema de geometría que no está aquí, escríbelo en el foro.. Para indicar la acción de recuperar. raíz cuadrada El símbolo se utiliza para resolver problemas.√ .

Tarea.

La diagonal de un prisma regular se forma con la diagonal de la base y la altura del prisma. triangulo rectángulo. En consecuencia, según el teorema de Pitágoras, la diagonal de un prisma cuadrangular regular dado será igual a:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22cm

Respuesta: 22cm

Tarea

Solución.
Dado que la base de un prisma cuadrangular regular es un cuadrado, encontramos el lado de la base (denotado como a) usando el teorema de Pitágoras:

Un 2 + un 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

La altura de la cara lateral (indicada como h) será entonces igual a:

H 2 + 12,5 = 4 2
h2 + 12,5 = 16
h2 = 3,5
h = √3.5

La superficie total será igual a la suma de la superficie lateral y el doble del área de la base.

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Respuesta: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

La estereometría es una rama de la geometría que estudia figuras que no se encuentran en el mismo plano. Uno de los objetos de estudio de la estereometría son los prismas. En el artículo definiremos un prisma con punto geométrico visión, y también enumerar brevemente las propiedades que le son características.

Figura geométrica

La definición de prisma en geometría es la siguiente: es una figura espacial formada por dos n-gonos idénticos ubicados en planos paralelos, conectados entre sí por sus vértices.

Conseguir un prisma no es difícil. Imaginemos que hay dos n-gonos idénticos, donde n es el número de lados o vértices. Coloquémoslos de manera que queden paralelos entre sí. Después de esto, los vértices de un polígono deben conectarse a los vértices correspondientes del otro. La figura resultante estará formada por dos lados n-gonales, que se llaman bases, y n lados cuadrangulares, que en general son paralelogramos. El conjunto de paralelogramos forma la superficie lateral de la figura.

Existe otra forma de obtener geométricamente la figura en cuestión. Entonces, si tomas un n-gon y lo transfieres a otro plano usando segmentos paralelos longitud igual, luego en el nuevo plano obtenemos el polígono original. Ambos polígonos y todos los segmentos paralelos extraídos de sus vértices forman un prisma.

La imagen de arriba demuestra esto. Se llama así porque sus bases son triángulos.

Elementos que componen una figura.

La definición de prisma se dio anteriormente, de la cual se desprende claramente que los elementos principales de la figura son sus bordes o lados, que limitan todos los puntos internos del prisma desde el espacio externo. Cualquier rostro de la figura en cuestión pertenece a uno de dos tipos:

• lateral;
• jardines.

Hay n piezas laterales y son paralelogramos o sus tipos particulares (rectángulos, cuadrados). En general, las caras laterales se diferencian entre sí. Sólo hay dos caras de la base; son n-gonos y son iguales entre sí. Por tanto, todo prisma tiene n+2 lados.

Además de los lados, la figura se caracteriza por sus vértices. Representan puntos donde tres caras se tocan simultáneamente. Además, dos de las tres caras siempre pertenecen a la superficie lateral y una a la base. Así, en un prisma no hay un vértice especialmente asignado, como, por ejemplo, en una pirámide todos son iguales; El número de vértices de la figura es 2*n (n piezas por cada base).

Finalmente, tercero elemento importante los prismas son sus aristas. Son segmentos de cierta longitud que se forman como resultado de la intersección de los lados de una figura. Al igual que las caras, las aristas también tienen dos diferentes tipos:

• o formado sólo por los lados;
• o surgen en la unión del paralelogramo y el lado de la base n-gonal.

Por tanto, el número de aristas es igual a 3*n, y 2*n de ellas pertenecen al segundo de los tipos nombrados.

tipos de prismas

Hay varias formas de clasificar los prismas. Sin embargo, todos ellos se basan en dos características de la figura:

• sobre el tipo de base de n-carbono;
• en tipo lateral.

Primero, pasemos a la segunda característica y definamos una línea recta. Si al menos un lado es un paralelogramo tipo general, entonces la figura se llama oblicua u oblicua. Si todos los paralelogramos son rectángulos o cuadrados, entonces el prisma será recto.

La definición también se puede dar de manera un poco diferente: una figura recta es un prisma cuyos bordes laterales y caras son perpendiculares a sus bases. La figura muestra dos figuras cuadrangulares. El de la izquierda es recto, el de la derecha inclinado.

Pasemos ahora a la clasificación según el tipo de n-gon que se encuentra en las bases. Puede tener los mismos lados y ángulos o diferentes. En el primer caso, el polígono se llama regular. Si la figura en cuestión contiene un polígono con lados iguales y ángulos y es una línea recta, entonces se llama regular. Según esta definición, un prisma regular en su base puede tener un triángulo equilátero, un cuadrado, un pentágono o un hexágono regular, etc. Las cifras regulares enumeradas se muestran en la figura.

Parámetros lineales de prismas.

Para describir los tamaños de las figuras en cuestión, se utilizan los siguientes parámetros:

• altura;
• lados de la base;
• longitud de las costillas laterales;
• diagonales volumétricas;
• diagonales de los lados y bases.

Para los prismas regulares, todas estas cantidades están relacionadas entre sí. Por ejemplo, las longitudes de las nervaduras laterales son iguales e iguales a la altura. Para una n-gonal específica la figura correcta Hay fórmulas que le permiten determinar todas las demás utilizando dos parámetros lineales cualesquiera.

superficie de una figura

Si nos remitimos a la definición de prisma dada anteriormente, entonces no será difícil entender qué representa la superficie de la figura. La superficie es el área de todas las caras. Para un prisma recto se calcula mediante la fórmula:

S = 2*S o + P o *h

donde S o es el área de la base, P o es el perímetro del n-gón en la base, h es la altura (la distancia entre las bases).

Volumen de la figura

Además de la superficie para practicar, es importante conocer el volumen del prisma. Se puede determinar mediante la siguiente fórmula:

Esta expresión es válida para absolutamente cualquier tipo de prisma, incluidos los que son inclinados y están formados por polígonos irregulares.

Para las correctas, es función del largo del lado de la base y de la altura de la figura. Para el prisma n-gonal correspondiente, la fórmula para V tiene una forma específica.

¿Cómo se ve ella?

Propiedades de un prisma rectangular

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