1 9 raíz de 3 potencias de 2. Formas simples y no tan simples de calcular la raíz cúbica

Felicitaciones: hoy veremos las raíces, uno de los temas más alucinantes del octavo grado :)

Muchas personas se confunden acerca de las raíces no porque sean complejas (lo que tiene de complicado: un par de definiciones y un par de propiedades más), sino porque en la mayoría de los libros de texto escolares las raíces se definen a través de una jungla tal que solo los propios autores de los libros de texto. puede entender este escrito. Y aun así sólo con una botella de buen whisky :)

Por lo tanto, ahora daré la definición más correcta y competente de raíz, la única que realmente debes recordar. Y luego explicaré: por qué es necesario todo esto y cómo aplicarlo en la práctica.

Pero primero recuerda uno. punto importante, que muchos compiladores de libros de texto, por alguna razón, “olvidan”:

Las raíces pueden ser de grado par (nuestro $\sqrt(a)$ favorito, así como todo tipo de $\sqrt(a)$ e incluso $\sqrt(a)$) y de grado impar (todo tipo de $\sqrt(a)$ (a)$, $\ sqrt(a)$, etc.). Y la definición de raíz de grado impar es algo diferente de una raíz par.

Probablemente el 95% de todos los errores y malentendidos asociados con las raíces se esconden en este jodido "algo diferente". Así que aclaremos la terminología de una vez por todas:

Definición. Incluso raíz norte del número $a$ es cualquiera no negativo el número $b$ es tal que $((b)^(n))=a$. Y la raíz impar del mismo número $a$ es generalmente cualquier número $b$ para el cual se cumple la misma igualdad: $((b)^(n))=a$.

En cualquier caso, la raíz se denota así:

\(a)\]

El número $n$ en tal notación se llama exponente raíz y el número $a$ se llama expresión radical. En particular, para $n=2$ obtenemos nuestra raíz cuadrada "favorita" (por cierto, esta es una raíz de grado par), y para $n=3$ obtenemos una raíz cúbica (de grado impar), que es También se encuentra a menudo en problemas y ecuaciones.

Ejemplos. Ejemplos clásicos raíces cuadradas:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(alinear)\]

Por cierto, $\sqrt(0)=0$ y $\sqrt(1)=1$. Esto es bastante lógico, ya que $((0)^(2))=0$ y $((1)^(2))=1$.

Las raíces cúbicas también son comunes; no hay que temerles:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(alinear)\]

Bueno, un par de “ejemplos exóticos”:

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(alinear)\]

Si no comprende cuál es la diferencia entre un grado par e impar, vuelva a leer la definición. ¡Esto es muy importante!

Mientras tanto, consideraremos una característica desagradable de las raíces, por la cual tuvimos que introducir una definición separada para exponentes pares e impares.

¿Por qué se necesitan raíces?

Después de leer la definición, muchos estudiantes se preguntarán: "¿Qué fumaban los matemáticos cuando se les ocurrió esto?" Y realmente: ¿por qué se necesitan todas estas raíces?

Para responder a esta pregunta, volvamos por un momento a la escuela primaria. Recuerda: en aquellos tiempos lejanos, cuando los árboles eran más verdes y las albóndigas más sabrosas, nuestra principal preocupación era multiplicar los números correctamente. Bueno, algo así como “cinco por cinco – veinticinco”, eso es todo. Pero puedes multiplicar números no en pares, sino en tripletes, cuádruples y, en general, conjuntos completos:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Sin embargo, este no es el punto. El truco es diferente: los matemáticos son gente vaga, por lo que les costó mucho escribir la multiplicación de diez por cinco así:

Por eso se les ocurrió los títulos. ¿Por qué no escribir el número de factores como un superíndice en lugar de una cadena larga? Algo como esto:

¡Es muy conveniente! Todos los cálculos se reducen significativamente y no es necesario desperdiciar un montón de hojas de pergamino y cuadernos para anotar unos 5.183. Este disco se llamó potencia de un número; en él se encontraron muchas propiedades, pero la felicidad resultó ser de corta duración.

Después de una grandiosa fiesta organizada precisamente para “descubrir” los grados, un matemático particularmente obstinado preguntó de repente: “¿Qué pasa si conocemos el grado de un número, pero el número en sí es desconocido?” Ahora bien, si sabemos que un cierto número $b$, digamos, elevado a la quinta potencia da 243, entonces ¿cómo podemos adivinar a qué es igual el número $b$?

Este problema resultó ser mucho más global de lo que parece a primera vista. Porque resultó que para la mayoría de los poderes "ya preparados" no existen tales números "iniciales". Juzgue usted mismo:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end(alinear)\]

¿Qué pasa si $((b)^(3))=$50? Resulta que necesitamos encontrar un número determinado que, multiplicado por sí mismo tres veces, nos dará 50. Pero, ¿cuál es este número? Es claramente mayor que 3, ya que 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Eso es este número se encuentra entre tres y cuatro, pero no entenderás a qué equivale.

Precisamente por eso a los matemáticos se les ocurrió la raíz $n$ésima. Precisamente por eso se introdujo el símbolo radical $\sqrt(*)$. Designar el propio número $b$, que en el grado indicado nos dará un valor previamente conocido

\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]

No discuto: a menudo estas raíces se calculan fácilmente; vimos varios ejemplos de este tipo anteriormente. Pero aún así, en la mayoría de los casos, si piensas en un número arbitrario y luego intentas extraer de él la raíz de un grado arbitrario, te espera un terrible fastidio.

¡Qué hay ahí! Incluso el $\sqrt(2)$ más simple y familiar no se puede representar en nuestra forma habitual: como un número entero o una fracción. Y si ingresas este número en una calculadora, verás esto:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

Como puedes ver, después del punto decimal hay una secuencia interminable de números que no obedecen a ninguna lógica. Por supuesto, puedes redondear este número para compararlo rápidamente con otros números. Por ejemplo:

\[\sqrt(2)=1.4142...\aprox 1.4 \lt 1.5\]

O aquí hay otro ejemplo:

\[\sqrt(3)=1.73205...\aprox 1.7 \gt 1.5\]

Pero todos estos rodeos, en primer lugar, son bastante aproximados; y en segundo lugar, también debe poder trabajar con valores aproximados; de lo contrario, puede detectar un montón de errores no obvios (por cierto, se requiere la habilidad de comparar y redondear para aprobar el examen de perfil).

Por lo tanto, en matemáticas serias no se puede prescindir de las raíces: son los mismos representantes iguales del conjunto de todos los números reales $\mathbb(R)$, al igual que las fracciones y los números enteros que nos son familiares desde hace mucho tiempo.

La incapacidad de representar una raíz como una fracción de la forma $\frac(p)(q)$ significa que esta raíz no es número racional. Estos números se denominan irracionales y no se pueden representar con precisión excepto con la ayuda de un radical u otras construcciones especialmente diseñadas para ello (logaritmos, potencias, límites, etc.). Pero hablaremos de eso en otro momento.

Consideremos algunos ejemplos en los que, después de todos los cálculos, los números irracionales seguirán estando en la respuesta.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\approx 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\aprox -1.2599... \\ \end(align)\]

Naturalmente, según apariencia raíz es casi imposible adivinar qué números vendrán después del punto decimal. Sin embargo, puedes contar con una calculadora, pero incluso la calculadora de fechas más avanzada solo nos da los primeros dígitos de un número irracional. Por lo tanto, es mucho más correcto escribir las respuestas en la forma $\sqrt(5)$ y $\sqrt(-2)$.

Precisamente por eso se inventaron. Para registrar cómodamente las respuestas.

¿Por qué se necesitan dos definiciones?

El lector atento probablemente ya habrá notado que todas las raíces cuadradas dadas en los ejemplos están tomadas de números positivos. Bueno, al menos desde cero. Pero las raíces cúbicas se pueden extraer fácilmente de absolutamente cualquier número, ya sea positivo o negativo.

¿Por qué sucede esto? Eche un vistazo a la gráfica de la función $y=((x)^(2))$:

Intentemos calcular $\sqrt(4)$ usando este gráfico. Para ello, se dibuja en la gráfica una recta horizontal $y=4$ (marcada en rojo), que corta a la parábola en dos puntos: $((x)_(1))=2$ y $((x )_(2)) =-2$. Esto es bastante lógico, ya que

Con el primer número todo está claro: es positivo, por lo que es la raíz:

Pero entonces ¿qué hacer con el segundo punto? ¿Cuatro tiene dos raíces a la vez? Después de todo, si elevamos al cuadrado el número −2, también obtenemos 4. ¿Por qué no escribir entonces $\sqrt(4)=-2$? ¿Y por qué los profesores miran esas publicaciones como si quisieran comerte :)

El problema es que si no impones ninguna condición adicional, entonces el quad tendrá dos raíces cuadradas: positiva y negativa. Y cualquier número positivo también tendrá dos de ellos. Pero los números negativos no tendrán ninguna raíz; esto se puede ver en el mismo gráfico, ya que la parábola nunca cae por debajo del eje. y, es decir. No acepta valores negativos.

Un problema similar ocurre para todas las raíces con exponente par:

1. Estrictamente hablando, cada número positivo tendrá dos raíces con exponente par $n$;
2. De los números negativos, la raíz par $n$ no se extrae en absoluto.

Es por eso que en la definición de raíz de grado par $n$ se estipula específicamente que la respuesta debe ser un número no negativo. Así es como nos deshacemos de la ambigüedad.

Pero para $n$ impares no existe tal problema. Para ver esto, veamos la gráfica de la función $y=((x)^(3))$:

De este gráfico se pueden extraer dos conclusiones:

1. Las ramas de una parábola cúbica, a diferencia de una normal, van al infinito en ambas direcciones, tanto hacia arriba como hacia abajo. Por lo tanto, no importa a qué altura dibujemos una línea horizontal, esta línea seguramente se cruzará con nuestra gráfica. En consecuencia, la raíz cúbica siempre se puede extraer absolutamente de cualquier número;
2. Además, dicha intersección siempre será única, por lo que no es necesario pensar qué número se considera la raíz "correcta" y cuál ignorar. Es por eso que determinar las raíces para un grado impar es más simple que para un grado par (no hay requisito de no negatividad).

Es una pena que estas cosas tan sencillas no se expliquen en la mayoría de los libros de texto. En cambio, nuestros cerebros comienzan a funcionar con todo tipo de raíces aritméticas y sus propiedades.

Sí, no discuto: también necesitas saber qué es una raíz aritmética. Y hablaré de esto en detalle en una lección separada. Hoy también hablaremos de ello, porque sin él todos los pensamientos sobre las raíces de la multiplicidad $n$-ésima estarían incompletos.

Pero primero debes comprender claramente la definición que di anteriormente. De lo contrario, debido a la abundancia de términos, se formará tal lío en tu cabeza que al final no entenderás nada de nada.

Todo lo que necesitas hacer es entender la diferencia entre indicadores pares e impares. Por eso, recopilemos una vez más todo lo que realmente necesitas saber sobre las raíces:

1. Una raíz de grado par existe sólo desde número negativo y él mismo es siempre un número no negativo. Para números negativos, dicha raíz no está definida.
2. Pero la raíz de un grado impar existe a partir de cualquier número y puede ser en sí mismo cualquier número: para números positivos es positiva y para números negativos, como sugiere el límite, es negativa.

¿Es difícil? No, no es difícil. ¿Está vacío? ¡Sí, es completamente obvio! Así que ahora practicaremos un poco con los cálculos.

Propiedades básicas y limitaciones.

Las raíces tienen muchas propiedades y limitaciones extrañas; esto se discutirá en una lección separada. Por lo tanto, ahora consideraremos sólo el "truco" más importante, que se aplica sólo a raíces con un índice par. Escribamos esta propiedad como una fórmula:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\izquierda| x\derecha|\]

En otras palabras, si elevamos un número a una potencia par y luego extraemos la raíz de la misma potencia, no obtendremos el número original, sino su módulo. Este es un teorema simple que se puede probar fácilmente (basta con considerar $x$ no negativos por separado y luego los negativos por separado). Los profesores hablan constantemente de ello, se incluye en todos los libros de texto escolares. Pero tan pronto como se trata de resolver ecuaciones irracionales (es decir, ecuaciones que contienen un signo radical), los estudiantes olvidan unánimemente esta fórmula.

Para entender el problema en detalle, olvidemos todas las fórmulas por un minuto e intentemos calcular dos números directamente:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

esto es muy ejemplos simples. La mayoría de la gente resolverá el primer ejemplo, pero mucha gente se quedará estancada en el segundo. Para solucionar cualquier problema de este tipo sin problemas, considere siempre el procedimiento:

1. Primero, el número se eleva a la cuarta potencia. Bueno, es algo fácil. Obtendrá un nuevo número que se puede encontrar incluso en la tabla de multiplicar;
2. Y ahora de este nuevo número es necesario extraer la raíz cuarta. Aquellos. no se produce ninguna "reducción" de raíces y poderes; estas son acciones secuenciales.

Veamos la primera expresión: $\sqrt(((3)^(4)))$. Obviamente, primero necesitas calcular la expresión bajo la raíz:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Luego extraemos la raíz cuarta del número 81:

Ahora hagamos lo mismo con la segunda expresión. Primero, elevamos el número −3 a la cuarta potencia, lo que requiere multiplicarlo por sí mismo 4 veces:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ izquierda(-3 \derecha)=81\]

Obtuvimos un número positivo porque cantidad total Hay 4 desventajas en el trabajo y todas se cancelarán entre sí (después de todo, un menos por un menos da un más). Luego volvemos a extraer la raíz:

En principio, esta línea no podría haberse escrito, ya que es obvio que la respuesta sería la misma. Aquellos. una raíz par de la misma potencia par "quema" los inconvenientes y, en este sentido, el resultado es indistinguible de un módulo normal:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \derecha|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \derecha|=3. \\ \end(alinear)\]

Estos cálculos concuerdan con la definición de raíz de grado par: el resultado siempre es no negativo y el signo radical también siempre contiene un número no negativo. De lo contrario, la raíz no está definida.

Nota sobre el procedimiento

1. La notación $\sqrt(((a)^(2)))$ significa que primero elevamos al cuadrado el número $a$ y luego sacamos la raíz cuadrada del valor resultante. Por lo tanto, podemos estar seguros de que siempre hay un número no negativo bajo el signo raíz, ya que $((a)^(2))\ge 0$ en cualquier caso;
2. Pero la notación $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, por el contrario, significa que primero tomamos la raíz de un cierto número $a$ y solo luego elevamos el resultado al cuadrado. Por lo tanto, el número $a$ en ningún caso puede ser negativo; este es un requisito obligatorio incluido en la definición.

Por lo tanto, en ningún caso se deben reducir irreflexivamente raíces y grados, supuestamente "simplificando" la expresión original. Porque si la raíz tiene un número negativo y su exponente es par, tenemos muchos problemas.

Sin embargo, todos estos problemas son relevantes sólo para indicadores pares.

Quitar el signo menos debajo del signo raíz

Naturalmente, las raíces con exponentes impares también tienen su propia característica, que en principio no existe con las pares. A saber:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

En resumen, puede eliminar el signo negativo debajo del signo de raíces de grados impares. esto es muy propiedad útil, que te permite "tirar" todos los negativos:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(alinear)\]

Esta sencilla propiedad simplifica enormemente muchos cálculos. Ahora no se preocupe: ¿qué pasa si debajo de la raíz se oculta una expresión negativa, pero el grado en la raíz resulta ser par? Basta con "tirar" todos los inconvenientes fuera de las raíces, después de lo cual pueden multiplicarse entre sí, dividirse y, en general, hacer muchas cosas sospechosas que, en el caso de las raíces "clásicas", seguramente nos llevarán a un error.

Y aquí entra en escena otra definición, la misma con la que la mayoría de las escuelas comienzan el estudio de las expresiones irracionales. Y sin el cual nuestros debates estarían incompletos. ¡Encontrarse!

raíz aritmética

Supongamos por un momento que bajo el signo raíz sólo puede haber números positivos o, en casos extremos, cero. Olvidémonos de los indicadores pares/impares, olvidémonos de todas las definiciones dadas anteriormente; trabajaremos solo con números no negativos. ¿Entonces qué?

Y luego obtendremos una raíz aritmética: se superpone parcialmente con nuestras definiciones "estándar", pero aún difiere de ellas.

Definición. Una raíz aritmética del $n$ésimo grado de un número no negativo $a$ es un número no negativo $b$ tal que $((b)^(n))=a$.

Como podemos ver, ya no nos interesa la paridad. En cambio, apareció una nueva restricción: la expresión radical ahora siempre es no negativa, y la raíz misma tampoco es negativa.

Para comprender mejor en qué se diferencia la raíz aritmética de la habitual, eche un vistazo a las gráficas de la parábola cuadrada y cúbica con las que ya estamos familiarizados:

Como puede ver, de ahora en adelante solo nos interesan aquellos fragmentos de gráficos que se encuentran en el primer cuarto de coordenadas, donde las coordenadas $x$ e $y$ son positivas (o al menos cero). Ya no es necesario mirar el indicador para comprender si tenemos derecho a poner un número negativo debajo de la raíz o no. Porque, en principio, los números negativos ya no se consideran.

Quizás se pregunte: "Bueno, ¿por qué necesitamos una definición tan neutralizada?" O: "¿Por qué no podemos arreglárnoslas con la definición estándar dada anteriormente?"

Bueno, daré sólo una propiedad por la cual la nueva definición resulta apropiada. Por ejemplo, la regla de exponenciación:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Tenga en cuenta: podemos elevar la expresión radical a cualquier potencia y al mismo tiempo multiplicar el exponente raíz por la misma potencia, ¡y el resultado será el mismo número! Aquí hay ejemplos:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]

Entonces, ¿cuál es el problema? ¿Por qué no pudimos hacer esto antes? He aquí por qué. Consideremos una expresión simple: $\sqrt(-2)$ - este número es bastante normal en nuestro entendimiento clásico, pero absolutamente inaceptable desde el punto de vista de la raíz aritmética. Intentemos convertirlo:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Como puedes ver, en el primer caso quitamos el menos debajo del radical (tenemos todo el derecho, ya que el exponente es impar), y en el segundo caso usamos la fórmula anterior. Aquellos. Desde un punto de vista matemático, todo se hace según las reglas.

¡¿Qué carajo?! ¿Cómo puede un mismo número ser positivo y negativo? De ninguna manera. Lo que pasa es que la fórmula de exponenciación, que funciona muy bien para los números positivos y el cero, empieza a producir una completa herejía en el caso de los números negativos.

Para deshacerse de tal ambigüedad se inventaron las raíces aritméticas. Se les dedica una gran lección separada, donde consideramos todas sus propiedades en detalle. Así que no nos detendremos en ellos ahora: la lección ya resultó ser demasiado larga.

Raíz algebraica: para los que quieren saber más

Durante mucho tiempo pensé si poner este tema en un párrafo aparte o no. Al final decidí dejarlo aquí. este material está destinado a aquellos que quieren comprender aún mejor las raíces, ya no en el nivel "escolar" promedio, sino en uno cercano al nivel de la Olimpiada.

Entonces: además de la definición "clásica" de la $n$ésima raíz de un número y la división asociada en exponentes pares e impares, existe una definición más "adulta" que no depende en absoluto de la paridad y otras sutilezas. Esto se llama raíz algebraica.

Definición. La raíz algebraica $n$ésima de cualquier $a$ es el conjunto de todos los números $b$ tales que $((b)^(n))=a$. No existe una designación establecida para dichas raíces, por lo que simplemente pondremos un guión encima:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

La diferencia fundamental con la definición estándar dada al comienzo de la lección es que una raíz algebraica no es un número específico, sino un conjunto. Y como trabajamos con números reales, este conjunto viene en sólo tres tipos:

1. Conjunto vacío. Ocurre cuando necesitas encontrar una raíz algebraica de un grado par a partir de un número negativo;
2. Conjunto formado por un solo elemento. Todas las raíces de potencias impares, así como las raíces de potencias pares de cero, entran en esta categoría;
3. Finalmente, el conjunto puede incluir dos números: los mismos $((x)_(1))$ y $((x)_(2))=-((x)_(1))$ que vimos en el graficar una función cuadrática. En consecuencia, tal disposición sólo es posible cuando se extrae la raíz de un grado par de un número positivo.

El último caso merece una consideración más detallada. Contemos un par de ejemplos para entender la diferencia.

Ejemplo. Evalúa las expresiones:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Solución. La primera expresión es simple:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Son dos números los que forman parte del conjunto. Porque cada uno de ellos al cuadrado da un cuatro.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

Aquí vemos un conjunto formado por un solo número. Esto es bastante lógico, ya que el exponente raíz es impar.

Finalmente, la última expresión:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Recibimos un juego vacío. Porque no hay un solo número real que, elevado a la cuarta potencia (es decir, ¡par!), nos dé el número negativo −16.

Nota final. Tenga en cuenta: no es casualidad que haya notado en todas partes que trabajamos con números reales. Porque también hay números complejos: es muy posible calcular $\sqrt(-16)$ allí, y muchas otras cosas extrañas.

Sin embargo, en la moderna curso escolar En matemáticas casi nunca se encuentran números complejos. Han sido eliminados de la mayoría de los libros de texto porque nuestros funcionarios consideran que el tema es “demasiado difícil de entender”.

Calculadora de ingeniería en línea

Tenemos prisa por presentar a todos un gratuito. calculadora de ingenieria. Con su ayuda, cualquier estudiante puede realizar de forma rápida y, lo más importante, fácilmente varios tipos de cálculos matemáticos en línea.

Una calculadora de ingeniería simple y fácil de usar con una interfaz discreta e intuitiva será realmente útil para una amplia gama de usuarios de Internet. Ahora, siempre que necesites una calculadora, visita nuestro sitio web y utiliza la calculadora de ingeniería gratuita.

Una calculadora de ingeniería puede funcionar tan simple operaciones aritméticas y cálculos matemáticos bastante complejos.

Web20calc es una calculadora de ingeniería que tiene una gran cantidad de funciones, por ejemplo, cómo calcular todas las funciones elementales. La calculadora también admite funciones trigonométricas, matrices, logaritmos e incluso trazados.

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En la expresión, puedes utilizar las operaciones de exponenciación, suma, resta, multiplicación, división, porcentaje y la constante PI. Para cálculos complejos, se deben incluir paréntesis.

Características de la calculadora de ingeniería:

1. operaciones aritméticas básicas;
2. trabajar con números en forma estándar;
3. cálculo de raíces trigonométricas, funciones, logaritmos, exponenciación;
4. cálculos estadísticos: suma, media aritmética o desviación estándar;
5. uso de celdas de memoria y funciones personalizadas de 2 variables;
6. trabajar con ángulos en radianes y medidas en grados.

La calculadora de ingeniería permite el uso de una variedad de funciones matemáticas:

Extracción de raíces (raíces cuadradas, cúbicas y enésimas);
ex (e elevado a la potencia x), exponencial;
funciones trigonométricas: seno - sen, coseno - cos, tangente - tan;
funciones trigonométricas inversas: arcoseno - sen-1, arcocoseno - cos-1, arcotangente - tan-1;
funciones hiperbólicas: seno - sinh, coseno - cosh, tangente - tanh;
logaritmos: logaritmo binario base dos - log2x, logaritmo en base diez - log, logaritmo natural - ln.

Esta calculadora de ingeniería también incluye una calculadora de valores con la capacidad de convertir cantidades fisicas Para varios sistemas medidas: unidades informáticas, distancia, peso, tiempo, etc. Con esta función, puede convertir instantáneamente millas a kilómetros, libras a kilogramos, segundos a horas, etc.

Para realizar cálculos matemáticos, primero ingrese la secuencia expresiones matemáticas en el campo correspondiente, luego haga clic en el signo igual y vea el resultado. Puede ingresar valores directamente desde el teclado (para esto, el área de la calculadora debe estar activa, por lo tanto, sería útil colocar el cursor en el campo de entrada). Entre otras cosas, los datos se pueden introducir mediante los botones de la propia calculadora.

Para construir gráficos, debes escribir la función en el campo de entrada como se indica en el campo con ejemplos o usar la barra de herramientas especialmente diseñada para esto (para acceder a ella, haz clic en el botón con el ícono de gráfico). Para convertir valores, haga clic en Unidad; para trabajar con matrices, haga clic en Matriz.

Es hora de solucionarlo métodos de extracción de raíces. Se basan en las propiedades de las raíces, en particular, en la igualdad, que es cierta para cualquier número b no negativo.

A continuación veremos los principales métodos de extracción de raíces uno por uno.

Comencemos con el caso más simple: extraer raíces de números naturales usando una tabla de cuadrados, una tabla de cubos, etc.

Si tablas de cuadrados, cubos, etc. Si no lo tienes a mano, lo lógico es utilizar el método de extracción de raíz, que consiste en descomponer el número radical en factores primos.

Vale la pena mencionar especialmente lo que es posible para raíces con exponentes impares.

Finalmente, consideremos un método que nos permita encontrar secuencialmente los dígitos del valor raíz.

Empecemos.

Utilizando una tabla de cuadrados, una tabla de cubos, etc.

en la mayoría casos simples tablas de cuadrados, cubos, etc. permiten extraer raíces. ¿Qué son estas tablas?

La tabla de cuadrados de números enteros del 0 al 99 inclusive (que se muestra a continuación) consta de dos zonas. La primera zona de la tabla se ubica sobre un fondo gris; al seleccionar una fila específica y una columna específica, le permite componer un número del 0 al 99. Por ejemplo seleccionemos una fila de 8 decenas y una columna de 3 unidades, con esto fijamos el número 83. La segunda zona ocupa el resto de la tabla. Cada celda está ubicada en la intersección de una determinada fila y una determinada columna, y contiene el cuadrado del número correspondiente del 0 al 99. En la intersección de nuestra fila elegida de 8 decenas y la columna 3 de unidades hay una celda con el número 6,889, que es el cuadrado del número 83.

Las tablas de cubos, tablas de cuartas potencias de números del 0 al 99, etc. son similares a la tabla de cuadrados, solo que contienen cubos, cuartas potencias, etc. en la segunda zona. números correspondientes.

Tablas de cuadrados, cubos, cuartas potencias, etc. le permite extraer raíces cuadradas, raíces cúbicas, raíces cuartas, etc. en consecuencia a partir de los números de estas tablas. Expliquemos el principio de su uso a la hora de extraer raíces.

Digamos que necesitamos extraer la raíz enésima del número a, mientras que el número a está contenido en la tabla de potencias enésimas. Usando esta tabla encontramos el número b tal que a=b n. Entonces , por lo tanto, el número b será la raíz deseada de enésimo grado.

Como ejemplo, mostremos cómo usar una tabla cúbica para extraer la raíz cúbica de 19,683. Encontramos el número 19,683 en la tabla de cubos, de ella encontramos que este número es el cubo del número 27, por lo tanto, .

Está claro que las tablas de enésimas potencias son muy convenientes para extraer raíces. Sin embargo, a menudo no están disponibles y su compilación requiere algo de tiempo. Además, a menudo es necesario extraer raíces de números que no están contenidos en las tablas correspondientes. En estos casos, hay que recurrir a otros métodos de extracción de raíces.

Factorizar un número radical en factores primos

Suficiente de una manera conveniente, que permite extraer una raíz de un número natural (si, por supuesto, se extrae la raíz), es la descomposición de un número radical en factores primos. Su el punto es este: después de eso es bastante fácil representarlo como una potencia con el exponente deseado, lo que permite obtener el valor de la raíz. Aclaremos este punto.

Sea la raíz enésima de un número natural a y su valor sea igual a b. En este caso, la igualdad a=b n es cierta. Número b como cualquier número natural se puede representar como el producto de todos sus factores primos p 1 , p 2 , …, p m en la forma p 1 · p 2 · … · p m , y el número radical a en este caso se representa como (p 1 · p 2 · … · p m) n. Dado que la descomposición de un número en factores primos es única, la descomposición del número radical a en factores primos tendrá la forma (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, lo que permite calcular el valor de la raíz como .

Tenga en cuenta que si la descomposición en factores primos de un número radical a no se puede representar en la forma (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, entonces la raíz enésima de dicho número a no se extrae por completo.

Resolvamos esto al resolver ejemplos.

Ejemplo.

Saca la raíz cuadrada de 144.

Solución.

Si nos fijamos en la tabla de cuadrados que figura en el párrafo anterior, se puede ver claramente que 144 = 12 2, de lo que se desprende que la raíz cuadrada de 144 es 12.

Pero a la luz de este punto, nos interesa saber cómo se extrae la raíz descomponiendo el número radical 144 en factores primos. Veamos esta solución.

vamos a descomponernos 144 a factores primos:

Es decir, 144=2·2·2·2·3·3. A partir de la descomposición resultante se pueden realizar las siguientes transformaciones: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Por eso, .

Usando las propiedades de los grados y las propiedades de las raíces, la solución podría formularse de manera un poco diferente: .

Respuesta:

Para consolidar el material, considere las soluciones a dos ejemplos más.

Ejemplo.

Calcula el valor de la raíz.

Solución.

La factorización prima del número radical 243 tiene la forma 243=3 5 . De este modo, .

Respuesta:

Ejemplo.

¿El valor raíz es un número entero?

Solución.

Para responder a esta pregunta, factoricemos el número radical en factores primos y veamos si se puede representar como el cubo de un número entero.

Tenemos 285 768 = 2 3 ·3 6 ·7 2. La expansión resultante no se puede representar como el cubo de un número entero, ya que la potencia del factor primo 7 no es múltiplo de tres. Por lo tanto, la raíz cúbica de 285,768 no se puede extraer por completo.

Respuesta:

No.

Extraer raíces de números fraccionarios

Es hora de descubrir cómo extraer la raíz de numero fraccionario. Deje que el número radical fraccionario se escriba como p/q. Según la propiedad de la raíz de un cociente, se cumple la siguiente igualdad. De esta igualdad se sigue regla para extraer la raíz de una fracción: La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador dividido por la raíz del denominador.

Veamos un ejemplo de cómo extraer una raíz de una fracción.

Ejemplo.

¿Cuál es la raíz cuadrada de fracción común 25/169 .

Solución.

Usando la tabla de cuadrados, encontramos que la raíz cuadrada del numerador de la fracción original es igual a 5 y la raíz cuadrada del denominador es igual a 13. Entonces . Con esto se completa la extracción de la raíz de la fracción común 25/169.

Respuesta:

La raíz de una fracción decimal o de un número mixto se extrae tras sustituir los números radicales por fracciones ordinarias.

Ejemplo.

Saca la raíz cúbica de la fracción decimal 474,552.

Solución.

Imaginemos la fracción decimal original como una fracción ordinaria: 474,552=474552/1000. Entonces . Queda por extraer las raíces cúbicas que se encuentran en el numerador y denominador de la fracción resultante. Porque 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 y 1 000 = 10 3, entonces Y . Ya sólo queda completar los cálculos. .

Respuesta:

.

Sacar la raíz de un número negativo

Vale la pena detenerse en extraer raíces de números negativos. Al estudiar las raíces, dijimos que cuando el exponente de la raíz es un número impar, entonces puede haber un número negativo debajo del signo de la raíz. Le dimos a estas entradas el siguiente significado: para un número negativo −a y un exponente impar de la raíz 2 n−1, . Esta igualdad da regla para extraer raíces impares de números negativos: para extraer la raíz de un número negativo, debes tomar la raíz del número positivo opuesto y poner un signo menos delante del resultado.

Veamos la solución de ejemplo.

Ejemplo.

Encuentra el valor de la raíz.

Solución.

Transformemos la expresión original para que haya un número positivo debajo del signo raíz: . Ahora numero mixto reemplácelo con una fracción ordinaria: . Aplicamos la regla para extraer la raíz de una fracción ordinaria: . Queda por calcular las raíces en el numerador y denominador de la fracción resultante: .

Aquí hay un breve resumen de la solución: .

Respuesta:

.

Determinación bit a bit del valor raíz

En el caso general, debajo de la raíz hay un número que, utilizando las técnicas comentadas anteriormente, no se puede representar como la enésima potencia de ningún número. Pero al mismo tiempo es necesario conocer el significado. raíz dada, al menos hasta cierto signo. En este caso, para extraer la raíz, puede utilizar un algoritmo que le permita obtener secuencialmente una cantidad suficiente de valores de dígitos del número deseado.

El primer paso de este algoritmo es descubrir cuál es el bit más significativo del valor raíz. Para ello se elevan secuencialmente los números 0, 10, 100, ... a la potencia n hasta el momento en que se obtiene un número superior al número radical. Entonces el número que elevamos a la potencia n en la etapa anterior indicará el dígito más significativo correspondiente.

Por ejemplo, considere este paso del algoritmo al extraer raíz cuadrada de cinco. Cogemos los números 0, 10, 100,... y los elevamos al cuadrado hasta obtener un número mayor que 5. Tenemos 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5, lo que significa que el dígito más significativo será el de las unidades. El valor de este bit, así como los inferiores, lo encontraremos en los siguientes pasos del algoritmo de extracción de raíz.

Todos los siguientes pasos del algoritmo tienen como objetivo aclarar secuencialmente el valor de la raíz encontrando los valores de los siguientes bits del valor deseado de la raíz, comenzando por el más alto y pasando a los más bajos. Por ejemplo, el valor de la raíz en el primer paso resulta ser 2, en el segundo – 2,2, en el tercero – 2,23, y así sucesivamente 2,236067977…. Describamos cómo se encuentran los valores de los dígitos.

Los dígitos se encuentran buscando entre sus posibles valores 0, 1, 2,..., 9. En este caso, las enésimas potencias de los números correspondientes se calculan en paralelo y se comparan con el número radical. Si en algún momento el valor del grado excede el número radical, entonces se considera encontrado el valor del dígito correspondiente al valor anterior, y se pasa al siguiente paso del algoritmo de extracción de raíces, si esto no sucede, entonces el valor de este dígito es igual a 9.

Expliquemos estos puntos usando el mismo ejemplo de extraer la raíz cuadrada de cinco.

Primero encontramos el valor del dígito de las unidades. Pasaremos por los valores 0, 1, 2,..., 9, calculando 0 2, 1 2,..., 9 2, respectivamente, hasta obtener un valor mayor que el número radical 5. Conviene presentar todos estos cálculos en forma de tabla:

Entonces el valor del dígito de las unidades es 2 (ya que 2 2<5 , а 2 3 >5). Pasemos a encontrar el valor de las décimas. En este caso elevaremos al cuadrado los números 2,0, 2,1, 2,2,..., 2,9, comparando los valores resultantes con el número radical 5:

Desde 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, entonces el valor de las décimas es 2. Puedes proceder a encontrar el valor de las centésimas:

Así se encontró el siguiente valor de la raíz de cinco, es igual a 2,23. Y así podrás seguir encontrando valores: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Para consolidar el material, analizaremos la extracción de la raíz con una precisión de centésimas utilizando el algoritmo considerado.

Primero determinamos el dígito más significativo. Para ello, elevamos al cubo los números 0, 10, 100, etc. hasta obtener un número mayor que 2.151.186. Tenemos 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186, por lo que el dígito más significativo es el dígito de las decenas.

Determinemos su valor.

Desde 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186, entonces el valor de las decenas es 1. Pasemos a las unidades.

Por tanto, el valor de la cifra de las unidades es 2. Pasemos a las décimas.

Dado que incluso 12,9 3 es menor que el número radical 2 151,186, entonces el valor de las décimas es 9. Queda por realizar el último paso del algoritmo; nos dará el valor de la raíz con la precisión requerida.

En esta etapa, el valor de la raíz se encuentra con una precisión de centésimas: .

Como conclusión de este artículo, me gustaría decir que existen muchas otras formas de extraer raíces. Pero para la mayoría de las tareas, las que estudiamos anteriormente son suficientes.

Referencias.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Álgebra: libro de texto para octavo grado. instituciones educativas.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. y otros Álgebra y los inicios del análisis: Libro de texto para los grados 10 - 11 de instituciones de educación general.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemáticas (un manual para quienes ingresan a las escuelas técnicas).

Instrucciones

Para elevar un número a la potencia de 1/3, ingrese el número, luego haga clic en el botón de exponenciación e ingrese el valor aproximado de 1/3 - 0,333. Esta precisión es suficiente para la mayoría de los cálculos. Sin embargo, es muy fácil aumentar la precisión de los cálculos: simplemente agregue tantos tripletes como quepan en el indicador de la calculadora (por ejemplo, 0,3333333333333333). Luego haga clic en el botón "=".

Para calcular la tercera raíz usando una computadora, ejecute el programa de calculadora de Windows. El procedimiento para calcular la raíz tercera es completamente similar al descrito anteriormente. La única diferencia está en el diseño del botón de exponenciación. En el teclado virtual de la calculadora se indica como “x^y”.

La tercera raíz también se puede calcular en MS Excel. Para hacer esto, ingrese “=" en cualquier celda y seleccione el ícono "insertar" (fx). Seleccione la función "GRADO" en la ventana que aparece y haga clic en el botón "Aceptar". En la ventana que aparece, ingresa el valor del número para el cual deseas calcular la raíz tercera. En "Grado" ingrese el número "1/3". Escriba el número 1/3 exactamente en este formulario, como uno normal. Después de eso, haga clic en el botón "Aceptar". La raíz cúbica del número dado aparecerá en la celda de la tabla donde se creó.

Si es necesario calcular la tercera raíz constantemente, mejore ligeramente el método descrito anteriormente. Para el número del que desea extraer la raíz, indique no el número en sí, sino una celda de la tabla. Después de eso, simplemente ingrese el número original en esta celda cada vez; su raíz cúbica aparecerá en la celda con la fórmula.

Vídeo sobre el tema.

tenga en cuenta

Conclusión. Este artículo examinó varios métodos para calcular los valores de la raíz cúbica. Resultó que los valores de la raíz cúbica se pueden encontrar usando el método de iteración, también puedes aproximar la raíz cúbica, elevar el número a la potencia de 1/3, buscar los valores de la tercera raíz usando Microsoft Office Ecxel, estableciendo fórmulas en celdas.

Consejos útiles

Las raíces de segundo y tercer grado se utilizan con especial frecuencia y, por lo tanto, tienen nombres especiales. Raíz cuadrada: en este caso, el exponente generalmente se omite y el término "raíz" sin especificar el exponente suele implicar la raíz cuadrada. Cálculo práctico de raíces Algoritmo para encontrar la raíz de enésimo grado. Todas las calculadoras suelen incluir raíces cuadradas y cúbicas.

Fuentes:

• tercera raíz
• Cómo sacar la raíz cuadrada de la potencia N en Excel

La operación de encontrar la raíz. tercero grados Se suele llamar extracción de la raíz “cúbica”, y consiste en encontrar un número real, cuyo cubo dará un valor igual al número radical. La operación de extraer cualquier raíz aritmética. grados n es equivalente a la operación de elevar a la potencia 1/n. Existen varios métodos que puedes utilizar para calcular de forma práctica las raíces cúbicas.

Si tienes una calculadora a mano, extraer la raíz cúbica de cualquier número no será ningún problema. Pero si no tienes calculadora o simplemente quieres impresionar a los demás, encuentra la raíz cúbica a mano. La mayoría de las personas encontrarán el proceso descrito aquí bastante complicado, pero con práctica, extraer raíces cúbicas será mucho más fácil. Antes de empezar a leer este artículo, recuerda las operaciones matemáticas básicas y los cálculos con números al cubo.

Pasos

Parte 1

Escribe la tarea. Sacar raíces cúbicas a mano es similar a la división larga, pero con algunos matices. Primero, escriba la tarea de una forma específica.

• Escribe el número del que quieres sacar la raíz cúbica. Divide el número en grupos de tres dígitos, comenzando con el punto decimal. Por ejemplo, necesitas sacar la raíz cúbica de 10. Escribe este número así: 10.000.000 Los ceros adicionales tienen como objetivo aumentar la precisión del resultado.
• Dibuja un signo de raíz al lado y encima del número. Piense en ello como las líneas horizontales y verticales que dibuja al dividir. La única diferencia es la forma de los dos signos.
• Coloque un punto decimal encima de la línea horizontal. Haga esto directamente encima del punto decimal del número original.

1. Recuerda los resultados de números enteros al cubo. Se utilizarán en los cálculos.

   • 1 3 = 1 ∗ 1 ∗ 1 = 1 (\displaystyle 1^(3)=1*1*1=1)
   • 2 3 = 2 ∗ 2 ∗ 2 = 8 (\displaystyle 2^(3)=2*2*2=8)
   • 3 3 = 3 ∗ 3 ∗ 3 = 27 (\displaystyle 3^(3)=3*3*3=27)
   • 4 3 = 4 ∗ 4 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 4^(3)=4*4*4=64)
   • 5 3 = 5 ∗ 5 ∗ 5 = 125 (\displaystyle 5^(3)=5*5*5=125)
   • 6 3 = 6 ∗ 6 ∗ 6 = 216 (\displaystyle 6^(3)=6*6*6=216)
   • 7 3 = 7 ∗ 7 ∗ 7 = 343 (\displaystyle 7^(3)=7*7*7=343)
   • 8 3 = 8 ∗ 8 ∗ 8 = 512 (\displaystyle 8^(3)=8*8*8=512)
   • 9 3 = 9 ∗ 9 ∗ 9 = 729 (\displaystyle 9^(3)=9*9*9=729)
   • 10 3 = 10 ∗ 10 ∗ 10 = 1000 (\displaystyle 10^(3)=10*10*10=1000)

2. Encuentra el primer dígito de la respuesta. Elija el cubo del número entero que sea más cercano pero más pequeño que el primer grupo de tres dígitos.

   • En nuestro ejemplo, el primer grupo de tres dígitos es el número 10. Encuentra el cubo más grande que sea menor que 10. Este cubo es 8 y la raíz cúbica de 8 es 2.
   • Sobre la línea horizontal sobre el número 10, escribe el número 2. Luego escribe el valor de la operación. 2 3 (\displaystyle 2^(3))= 8 menos 10. Dibuja una línea y resta 8 de 10 (como con la división larga normal). El resultado es 2 (este es el primer resto).
   • Por lo tanto, has encontrado el primer dígito de la respuesta. Considere si el resultado dado es suficientemente preciso. En la mayoría de los casos, esta será una respuesta muy aproximada. Cubre el resultado para saber qué tan cerca está del número original. En nuestro ejemplo: 2 3 (\displaystyle 2^(3))= 8, que no está muy cerca de 10, por lo que es necesario continuar con los cálculos.

3. Encuentra el siguiente dígito de la respuesta. Agrega un segundo grupo de tres dígitos al primer resto y dibuja una línea vertical a la izquierda del número resultante. Usando el número resultante encontrarás el segundo dígito de la respuesta. En nuestro ejemplo, necesitamos sumar un segundo grupo de tres dígitos (000) al primer resto (2) para obtener el número 2000.

   • A la izquierda de la línea vertical escribirás tres números, cuya suma es igual a un primer factor determinado. Deje espacios vacíos para estos números y coloque signos más entre ellos.

4. Encuentra el primer término (de tres). En el primer espacio vacío, escribe el resultado de multiplicar el número 300 por el cuadrado del primer dígito de la respuesta (está escrito encima del signo de la raíz). En nuestro ejemplo, el primer dígito de la respuesta es 2, por lo que 300*(2^2) = 300*4 = 1200. Escribe 1200 en el primer espacio en blanco. El primer término es el número 1200 (más dos números más para encontrar).

   Encuentra el segundo dígito de la respuesta. Averigua por qué número necesitas multiplicar 1200 para que el resultado sea cercano, pero no exceda de 2000. Este número solo puede ser 1, ya que 2 * 1200 = 2400, que es más de 2000. Escribe 1 (el segundo dígito de la respuesta) después de 2 y el punto decimal encima del signo raíz.

   Encuentra el segundo y tercer término (de tres). El multiplicador consta de tres números (términos), el primero de los cuales ya has encontrado (1200). Ahora necesitamos encontrar los dos términos restantes.

   • Multiplica 3 por 10 y por cada dígito de la respuesta (están escritos encima del signo raíz). En nuestro ejemplo: 3*10*2*1 = 60. Suma este resultado a 1200 y obtén 1260.
   • Finalmente, eleva al cuadrado el último dígito de tu respuesta. En nuestro ejemplo, el último dígito de la respuesta es 1, por lo que 1^2 = 1. Por lo tanto, el primer factor es igual a la suma de los siguientes números: 1200 + 60 + 1 = 1261. Escribe este número a la izquierda de la barra vertical.

5. Multiplica y resta. Multiplica el último dígito de la respuesta (en nuestro ejemplo es 1) por el factor encontrado (1261): 1*1261 = 1261. Escribe este número debajo de 2000 y réstalo de 2000. Obtendrás 739 (este es el segundo resto ).

6. Considere si la respuesta que recibe es lo suficientemente precisa. Haz esto cada vez que completes otra resta. Después de la primera resta, la respuesta fue 2, lo cual no es un resultado exacto. Después de la segunda resta, la respuesta es 2,1.

   • Para comprobar la exactitud de tu respuesta, eleva al cubo: 2,1*2,1*2,1 = 9,261.
   • Si cree que la respuesta es lo suficientemente precisa, no es necesario que continúe con los cálculos; de lo contrario, haz otra resta.

7. Encuentra el segundo factor. Para practicar sus cálculos y obtener un resultado más preciso, repita los pasos anteriores.

   • Al segundo resto (739) agregue el tercer grupo de tres dígitos (000). Obtendrá el número 739000.
   • Multiplica 300 por el cuadrado del número escrito encima del signo raíz (21): 300 ∗ 21 2 (\displaystyle 300*21^(2)) = 132300.
   • Encuentra el tercer dígito de la respuesta. Descubra por qué número necesita multiplicar 132300 para que el resultado se acerque a 739000, pero no lo supere. Este número es 5: 5 * 132200 = 661500. Escriba 5 (el tercer dígito de la respuesta) después del 1 encima del signo raíz.
   • Multiplica 3 por 10 por 21 y por el último dígito de la respuesta (están escritos encima del signo raíz). En nuestro ejemplo: 3 ∗ 21 ∗ 5 ∗ 10 = 3150 (\displaystyle 3*21*5*10=3150).
   • Finalmente, eleva al cuadrado el último dígito de tu respuesta. En nuestro ejemplo, el último dígito de la respuesta es 5, por lo que 5 2 = 25. (\displaystyle 5^(2)=25.)
   • Así, el segundo multiplicador es: 132300 + 3150 + 25 = 135475.

8. Multiplica el último dígito de la respuesta por el segundo factor. Una vez que hayas encontrado el segundo factor y el tercer dígito de la respuesta, procede de la siguiente manera:

   • Multiplica el último dígito de la respuesta por el factor encontrado: 135475*5 = 677375.
   • Restar: 739000-677375 = 61625.
   • Considere si la respuesta que recibe es lo suficientemente precisa. Para hacer esto, cúbralo en cubos: 2, 15 ∗ 2, 15 ∗ 2, 15 = 9, 94 (\displaystyle 2,15*2,15*2,15=9,94).

9. Escribe tu respuesta. El resultado, escrito encima del signo raíz, es la respuesta con una precisión de dos decimales. En nuestro ejemplo, la raíz cúbica de 10 es 2,15. Comprueba tu respuesta al elevarla al cubo: 2,15^3 = 9,94, que es aproximadamente 10. Si necesitas más precisión, continúa con el cálculo (como se describe arriba).

   parte 2

   Extracción de la raíz cúbica mediante el método de estimación.

   1. Utilice cubos numéricos para determinar los límites superior e inferior. Si necesitas sacar la raíz cúbica de casi cualquier número, encuentra los cubos (de algunos números) que estén cerca del número dado.

      • Por ejemplo, necesitas sacar la raíz cúbica de 600. Dado que 8 3 = 512 (\displaystyle 8^(3)=512) Y 9 3 = 729 (\displaystyle 9^(3)=729), entonces el valor de la raíz cúbica de 600 está entre 8 y 9. Por lo tanto, utiliza los números 512 y 729 como límites superior e inferior de la respuesta.

   2. Estima el segundo número. Encontraste el primer número gracias a tus conocimientos de cubos de números enteros. Ahora convierta el número entero en una fracción decimal sumándole (después del punto decimal) un cierto número del 0 al 9. Necesita encontrar una fracción decimal cuyo cubo esté cerca, pero menor, del número original.

      • En nuestro ejemplo, el número 600 se encuentra entre los números 512 y 729. Por ejemplo, suma el número 5 al primer número encontrado (8). El número que obtienes es 8,5.
   3. • En nuestro ejemplo: 8, 5 ∗ 8, 5 ∗ 8, 5 = 614, 1. (\displaystyle 8.5*8.5*8.5=614.1.)

   4. Compara el cubo del número resultante con el número original. Si el cubo del número resultante es mayor que el número original, intenta estimar el número menor. Si el cubo del número resultante es mucho menor que el número original, evalúa números mayores hasta que el cubo de uno de ellos exceda el número original.

      • En nuestro ejemplo: 8, 5 3 (\displaystyle 8.5^(3))> 600. Así que evalúe el número menor como 8,4. Cubre este número y compáralo con el número original: 8, 4 ∗ 8, 4 ∗ 8, 4 = 592, 7 (\displaystyle 8.4*8.4*8.4=592.7). Este resultado es menor que el número original. Por tanto, el valor de la raíz cúbica de 600 se sitúa entre 8,4 y 8,5.

   5. Tasa siguiente numero para mejorar la precisión de las respuestas. Para cada número que estimaste por última vez, suma un número del 0 al 9 hasta obtener la respuesta exacta. En cada ronda de evaluación, debes encontrar los límites superior e inferior entre los que se encuentra el número original.

      • En nuestro ejemplo: 8, 4 3 = 592, 7 (\displaystyle 8,4^(3)=592,7) Y 8, 5 3 = 614, 1 (\displaystyle 8,5^(3)=614,1). El número original 600 está más cerca de 592 que de 614. Por lo tanto, al último número que estimaste, asigna una cifra que esté más cerca de 0 que de 9. Por ejemplo, dicho número es 4. Por lo tanto, eleva al cubo el número 8,44.

   6. Si es necesario, calcule un número diferente. Compara el cubo del número resultante con el número original. Si el cubo del número resultante es mayor que el número original, intenta estimar el número menor. En resumen, necesitas encontrar dos números cuyos cubos sean un poco más grandes y un poco más pequeños que el número original.

      • En nuestro ejemplo 8, 44 ∗ 8, 44 ∗ 8, 44 = 601, 2 (\displaystyle 8.44*8.44*8.44=601.2). Este es ligeramente mayor que el número original, así que estime otro número (más pequeño), como 8,43: 8, 43 ∗ 8, 43 ∗ 8, 43 = 599, 07 (\displaystyle 8.43*8.43*8.43=599.07). Por tanto, la raíz cúbica de 600 se encuentra entre 8,43 y 8,44.

   7. Siga el proceso descrito hasta que obtenga una respuesta con la que esté satisfecho. Estima el siguiente número, compáralo con el original, luego, si es necesario, estima otro número, y así sucesivamente. Tenga en cuenta que cada dígito adicional después del punto decimal aumenta la precisión de la respuesta.

      • En nuestro ejemplo, el cubo de 8,43 es menos de 1 menos que el número original. Si necesita más precisión, cubo 8,434 y obtenga: 8, 434 3 = 599, 93 (\displaystyle 8,434^(3)=599,93), es decir, el resultado es menos de 0,1 menos que el número original.