Potencia con exponente racional

Una vez determinada la potencia de un número, es lógico hablar de propiedades de grado. En este artículo daremos las propiedades básicas de la potencia de un número, abordando todos los exponentes posibles. Aquí proporcionaremos pruebas de todas las propiedades de los grados y también mostraremos cómo se utilizan estas propiedades al resolver ejemplos.

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Propiedades de los grados con exponentes naturales.

Por definición de potencia con exponente natural, la potencia an es el producto de n factores, cada uno de los cuales es igual a a. A partir de esta definición y utilizando también propiedades de la multiplicación de números reales, podemos obtener y justificar lo siguiente propiedades de grado con exponente natural:

la propiedad principal del grado a m ·a n =a m+n, su generalización;
propiedad de potencias cocientes con bases idénticas a m:a n =a m−n ;
propiedad de potencia del producto (a·b) n =a n ·b n , su extensión;
propiedad del cociente al grado natural (a:b) n =a n:b n ;
elevando un grado a una potencia (a m) n =a m·n, su generalización (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
comparación de grado con cero:
- si a>0, entonces a n>0 para cualquier número natural n;
- si a=0, entonces an =0;
- si un<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 si un<0 и показатель степени есть número impar 2 m−1, luego 2 m−1<0 ;
si a y b son números positivos y a
si m y n son números naturales tales que m>n, entonces en 0 0 la desigualdad a m >a n es verdadera.

Notemos inmediatamente que todas las igualdades escritas son idéntico Sujeto a las condiciones especificadas, tanto la parte derecha como la izquierda se pueden intercambiar. Por ejemplo, la propiedad principal de la fracción a m ·a n =a m+n con simplificando expresiones a menudo se usa en la forma a m+n =a m ·a n .

Ahora veamos cada uno de ellos en detalle.

Empecemos por la propiedad del producto de dos potencias con las mismas bases, que se llama la propiedad principal del título: para cualquier número real a y cualquier número natural m y n, la igualdad a m ·a n =a m+n es verdadera.

Demostremos la propiedad principal del título. Según la definición de potencia con exponente natural, el producto de potencias con las mismas bases de la forma a m ·a n se puede escribir como producto. Debido a las propiedades de la multiplicación, la expresión resultante se puede escribir como , y este producto es una potencia del número a con exponente natural m+n, es decir, a m+n. Esto completa la prueba.

Pongamos un ejemplo que confirme la propiedad principal del título. Tomemos grados con las mismas bases 2 y potencias naturales 2 y 3, usando la propiedad básica de los grados podemos escribir la igualdad 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Comprobemos su validez calculando los valores de las expresiones 2 2 · 2 3 y 2 5 . Realizando la exponenciación tenemos 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 y 2 5 =2·2·2·2·2=32, al obtener valores iguales, entonces la igualdad 2 2 ·2 3 =2 5 es correcta y confirma la propiedad principal del grado.

La propiedad básica de un grado, basada en las propiedades de la multiplicación, se puede generalizar al producto de tres o más potencias con las mismas bases y exponentes naturales. Entonces, para cualquier número k de números naturales n 1, n 2,…, n k la siguiente igualdad es verdadera: un 1 ·un 2 ·…·un k =un 1 +n 2 +…+n k.

Por ejemplo, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Podemos pasar a la siguiente propiedad de las potencias con exponente natural: propiedad de potencias cocientes con las mismas bases: para cualquier número real distinto de cero a y números naturales arbitrarios m y n que satisfagan la condición m>n, la igualdad a m:a n =a m−n es verdadera.

Antes de presentar la prueba de esta propiedad, analicemos el significado de las condiciones adicionales en la formulación. La condición a≠0 es necesaria para evitar la división por cero, ya que 0 n =0, y cuando nos familiarizamos con la división, estuvimos de acuerdo en que no podemos dividir por cero. La condición m>n se introduce para que no vayamos más allá de los exponentes naturales. De hecho, para m>n el exponente a m−n es un número natural; de lo contrario, será cero (lo que ocurre para m−n) o un número negativo (lo que ocurre para m
Prueba. La propiedad principal de una fracción nos permite escribir la igualdad. a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. De la igualdad resultante a m−n ·a n =a m y se deduce que a m−n es un cociente de las potencias a m y a n . Esto prueba la propiedad de potencias cocientes con bases idénticas.

Pongamos un ejemplo. Tomemos dos grados con las mismas bases π y exponentes naturales 5 y 2, la igualdad π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 corresponde a la propiedad considerada del grado.

Ahora consideremos propiedad de potencia del producto: la potencia natural n del producto de dos números reales cualesquiera a y b es igual al producto de las potencias a n y b n , es decir, (a·b) n =a n ·b n .

De hecho, por la definición de un grado con exponente natural tenemos . Según las propiedades de la multiplicación, el último producto se puede reescribir como , que es igual a a n · b n .

He aquí un ejemplo: .

Esta propiedad se extiende a la potencia del producto de tres o más factores. Es decir, la propiedad de grado natural n del producto de k factores se escribe como (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

Para mayor claridad, mostraremos esta propiedad con un ejemplo. Para el producto de tres factores elevado a 7 tenemos .

La siguiente propiedad es propiedad de un cociente en especie: el cociente de los números reales a y b, b≠0 elevado a la potencia natural n es igual al cociente de las potencias a n y b n, es decir, (a:b) n =a n:b n.

La prueba se puede realizar utilizando la propiedad anterior. Entonces (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, y de la igualdad (a:b) n ·b n =a n se sigue que (a:b) n es el cociente de an dividido por b n .

Escribamos esta propiedad usando números específicos como ejemplo: .

Ahora vamos a expresarlo propiedad de elevar una potencia a una potencia: para cualquier número real a y cualquier número natural m y n, la potencia de a m elevada a n es igual a la potencia del número a con exponente m·n, es decir, (a m) n =a m·n.

Por ejemplo, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

La prueba de la propiedad de potencia a grado es la siguiente cadena de igualdades: .

La propiedad considerada puede ampliarse de grado a grado, etc. Por ejemplo, para cualquier número natural p, q, r y s, la igualdad . Para mayor claridad, aquí hay un ejemplo con números específicos: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Queda por detenernos en las propiedades de comparar grados con un exponente natural.

Comencemos demostrando la propiedad de comparar cero y potencia con un exponente natural.

Primero, demostremos que a n >0 para cualquier a>0.

El producto de dos números positivos es un número positivo, como se desprende de la definición de multiplicación. Este hecho y las propiedades de la multiplicación sugieren que el resultado de multiplicar cualquier número de números positivos también será un número positivo. Y la potencia de un número a con exponente natural n, por definición, es el producto de n factores, cada uno de los cuales es igual a a. Estos argumentos nos permiten afirmar que para cualquier base a positiva, el grado an es un número positivo. Debido a la propiedad probada 3 5 >0, (0.00201) 2 >0 y .

Es bastante obvio que para cualquier número natural n con a=0 el grado de an es cero. De hecho, 0 n =0·0·…·0=0 . Por ejemplo, 0 3 =0 y 0 762 =0.

Pasemos a bases de grado negativas.

Comencemos con el caso en el que el exponente es un número par, denotémoslo como 2·m, donde m es un número natural. Entonces . Pues cada uno de los productos de la forma a·a es igual al producto de los módulos de los números a y a, lo que significa que es un número positivo. Por tanto, el producto también será positivo. y grado a 2·m. Pongamos ejemplos: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 y .

Finalmente, cuando la base a es un número negativo y el exponente es un número impar 2 m−1, entonces . Todos los productos a·a son números positivos, el producto de estos números positivos también es positivo, y su multiplicación por el número negativo restante a da como resultado un número negativo. Debido a esta propiedad (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Pasemos a la propiedad de comparar potencias con los mismos exponentes naturales, que tiene la siguiente formulación: de dos potencias con los mismos exponentes naturales, n es menor que aquella cuya base es menor, y mayor es aquella cuya base es mayor . Demostrémoslo.

Desigualdad propiedades de las desigualdades una desigualdad demostrable de la forma an también es cierta (2.2) 7 y .

Queda por demostrar la última de las propiedades enumeradas de potencias con exponentes naturales. Formulémoslo. De dos potencias con exponentes naturales y bases positivas idénticas menores que uno, es mayor aquella cuyo exponente es menor; y de dos potencias con exponentes naturales y bases idénticas mayores que uno, es mayor aquel cuyo exponente es mayor. Procedamos a la prueba de esta propiedad.

Demostremos que para m>n y 0 0 debido a la condición inicial m>n, lo que significa que en 0
Falta acreditar la segunda parte de la propiedad. Demostremos que para m>n y a>1 a m >a n es cierto. La diferencia a m −a n después de sacar a n entre paréntesis toma la forma a n ·(a m−n −1) . Este producto es positivo, ya que para a>1 el grado a n es un número positivo, y la diferencia a m−n −1 es un número positivo, ya que m−n>0 debido a la condición inicial, y para a>1 el grado un m−n es mayor que uno. En consecuencia, a m −a n >0 y a m >a n , que es lo que había que demostrar. Esta propiedad se ilustra con la desigualdad 3 7 >3 2.

Propiedades de potencias con exponentes enteros
Dado que los números enteros positivos son números naturales, entonces todas las propiedades de las potencias con exponentes enteros positivos coinciden exactamente con las propiedades de las potencias con exponentes naturales enumeradas y demostradas en el párrafo anterior.

Definimos un grado con exponente entero negativo, así como un grado con exponente cero, de tal manera que todas las propiedades de los grados con exponentes naturales, expresadas por igualdades, siguieran siendo válidas. Por tanto, todas estas propiedades son válidas tanto para exponentes cero como para exponentes negativos, mientras que, por supuesto, las bases de las potencias son distintas de cero.

Entonces, para cualquier número real y distinto de cero a y b, así como para cualquier número entero myn, se cumple lo siguiente: propiedades de potencias con exponentes enteros:

a m ·a n =a m+n ;

un metro:un =un metro−n ;

(a·b) n =a n ·b n ;

(a:b) n =a n:b n ;

(a m) n =a m·n ;

si n es un entero positivo, a y b son números positivos y a b-norte;

si m y n son números enteros y m>n, entonces en 0 1 se cumple la desigualdad a m >a n.

Cuando a=0, las potencias a m y a n tienen sentido sólo cuando m y n son números enteros positivos, es decir, números naturales. Por lo tanto, las propiedades que acabamos de escribir también son válidas para los casos en que a=0 y los números myn son números enteros positivos.

Demostrar cada una de estas propiedades no es difícil; para ello basta con utilizar las definiciones de grados con exponentes naturales y enteros, así como las propiedades de las operaciones con números reales. Como ejemplo, demostremos que la propiedad potencia-potencia es válida tanto para números enteros positivos como para números enteros no positivos. Para hacer esto, necesitas demostrar que si p es cero o un número natural y q es cero o un número natural, entonces las igualdades (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) y (a −p) −q =a (−p)·(−q). Vamos a hacerlo.

Para p y q positivos, la igualdad (a p) q =a p·q quedó demostrada en el párrafo anterior. Si p=0, entonces tenemos (a 0) q =1 q =1 y a 0·q =a 0 =1, de donde (a 0) q =a 0·q. De manera similar, si q=0, entonces (a p) 0 =1 y a p·0 =a 0 =1, de donde (a p) 0 =a p·0. Si ambos p=0 y q=0, entonces (a 0) 0 =1 0 =1 y a 0·0 =a 0 =1, de donde (a 0) 0 =a 0·0.

Ahora demostramos que (a −p) q =a (−p)·q . Por definición de una potencia con un exponente entero negativo, entonces . Por la propiedad de los cocientes a potencias tenemos . Dado que 1 p =1·1·…·1=1 y , entonces . La última expresión, por definición, es una potencia de la forma a −(p·q), que, debido a las reglas de la multiplicación, puede escribirse como a (−p)·q.

Asimismo .

Y .

Usando el mismo principio, puedes probar todas las demás propiedades de un grado con un exponente entero, escrito en forma de igualdades.

En la penúltima de las propiedades registradas, vale la pena detenerse en la prueba de la desigualdad a −n >b −n, que es válida para cualquier entero negativo −n y cualquier a y b positivos para los cuales se cumple la condición a. . Dado que por condición a 0. El producto a n · b n también es positivo como producto de números positivos a n y b n . Entonces la fracción resultante es positiva como el cociente de números positivos b n −a n y a n ·b n . Por tanto, de donde a −n >b −n , que es lo que había que demostrar.

La última propiedad de potencias con exponentes enteros se demuestra de la misma manera que una propiedad similar de potencias con exponentes naturales.

Propiedades de potencias con exponentes racionales.

Definimos un grado con un exponente fraccionario extendiendo las propiedades de un grado con un exponente entero. En otras palabras, las potencias con exponentes fraccionarios tienen las mismas propiedades que las potencias con exponentes enteros. A saber:

La prueba de las propiedades de los grados con exponentes fraccionarios se basa en la definición de un grado con exponente fraccionario y en las propiedades de un grado con exponente entero. Aportemos pruebas.

Por definición de una potencia con exponente fraccionario y , entonces . Las propiedades de la raíz aritmética nos permiten escribir las siguientes igualdades. Además, usando la propiedad de un grado con un exponente entero, obtenemos , de donde, por la definición de un grado con un exponente fraccionario, tenemos , y el indicador del título obtenido se puede transformar de la siguiente manera: . Esto completa la prueba.

La segunda propiedad de las potencias con exponentes fraccionarios se demuestra de forma absolutamente similar:

Las igualdades restantes se prueban utilizando principios similares:

Pasemos a demostrar la siguiente propiedad. Demostremos que para cualquier a y b positivos, a bp. Escribamos el número racional p como m/n, donde m es un número entero y n es un número natural. Condiciones p<0 и p>0 en este caso las condiciones m<0 и m>0 en consecuencia. Para m>0 y a indicador positivo la desigualdad a m debe ser satisfecha
De manera similar, para m<0 имеем a m >b m , de donde, es decir, y a p >b p .

Queda por probar la última de las propiedades enumeradas. Demostremos que para números racionales p y q, p>q en 0 0 – desigualdad a p >a q . Siempre podemos reducir los números racionales p y q a un denominador común, incluso si obtenemos fracciones ordinarias y , donde m 1 y m 2 son números enteros y n es un número natural. En este caso, la condición p>q corresponderá a la condición m 1 >m 2, que se desprende de. Luego, por la propiedad de comparar potencias con las mismas bases y exponentes naturales en 0 1 – desigualdad a m 1 >a m 2 . Estas desigualdades en las propiedades de las raíces se pueden reescribir en consecuencia como Y . Y la definición de un grado con exponente racional nos permite pasar a las desigualdades y, en consecuencia. De aquí sacamos la conclusión final: para p>q y 0 0 – desigualdad a p >a q .

Propiedades de potencias con exponentes irracionales

De la forma en que se define un grado con exponente irracional, podemos concluir que tiene todas las propiedades de los grados con exponentes racionales. Entonces, para cualquier a>0, b>0 y números irracionales p y q lo siguiente es cierto propiedades de potencias con exponentes irracionales:

a p ·a q =a p+q ;

a p:a q =a p−q ;

(a·b) p =a p ·b p ;

(a:b) p =a p:b p ;

(a p) q =a p·q ;

para cualquier número positivo a y b, a 0 la desigualdad a p bp;

para números irracionales p y q, p>q en 0 0 – desigualdad a p >a q .

De esto podemos concluir que las potencias con exponentes reales p y q para a>0 tienen las mismas propiedades.

Bibliografía.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Libro de texto de matemáticas para 5to grado. Instituciones educacionales.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Álgebra: libro de texto para 7º grado. Instituciones educacionales.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Álgebra: libro de texto para octavo grado. Instituciones educacionales.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Álgebra: libro de texto para noveno grado. Instituciones educacionales.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. y otros Álgebra y los inicios del análisis: Libro de texto para los grados 10 - 11 de instituciones de educación general.

Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemáticas (un manual para quienes ingresan a las escuelas técnicas).

De exponentes enteros del número a la transición a indicador racional. A continuación definiremos un grado con exponente racional, y lo haremos de tal forma que se conserven todas las propiedades de un grado con exponente entero. Esto es necesario porque los números enteros son parte de los números racionales.

Se sabe que el conjunto de los números racionales está formado por números enteros y fraccionarios, y cada uno un número fraccionario se puede representar como positivo o negativo fracción común. Definimos un grado con exponente entero en el párrafo anterior, por lo tanto, para completar la definición de un grado con exponente racional, necesitamos darle significado al grado del número. a con un indicador fraccionario Minnesota, Dónde metro es un número entero y norte- natural. Vamos a hacerlo.

Consideremos un grado con un exponente fraccionario de la forma . Para que la propiedad poder-poder siga siendo válida, la igualdad debe cumplirse . Si tenemos en cuenta la igualdad obtenida y cómo determinamos la raíz enésima del grado, entonces es lógico aceptar, siempre que dado lo dado metro, norte Y a la expresión tiene sentido.

Es fácil comprobar que para todas las propiedades de un grado con exponente entero son válidas (esto se hizo en la sección propiedades de un grado con exponente racional).

El razonamiento anterior nos permite hacer lo siguiente conclusión: si se dan datos metro, norte Y a la expresión tiene sentido, entonces la potencia del número a con un indicador fraccionario Minnesota llamada la raíz norte grado de a en un grado metro.

Esta afirmación nos acerca a la definición de grado con exponente fraccionario. Sólo queda describir en qué metro, norte Y a la expresión tiene sentido. Dependiendo de las restricciones impuestas metro, norte Y a Hay dos enfoques principales.

1. La forma más sencilla es imponer una restricción a a, habiendo aceptado a≥0 por positivo metro Y a>0 por negativo metro(desde cuando m≤0 grado 0 metros no determinado). Luego obtenemos la siguiente definición de grado con exponente fraccionario.

Definición.

Potencia de un número positivo a con un indicador fraccionario Minnesota , Dónde metro- entero, y norte – número natural, llamada raíz norte-ésima parte del número a en un grado metro, eso es, .

También definido potencia fraccionaria cero con la única salvedad de que el indicador debe ser positivo.

Definición.

Potencia de cero con exponente positivo fraccionario Minnesota , Dónde metro es un entero positivo y norte– número natural, definido como .
Cuando no se determina el grado, es decir, el grado del número cero con una fracción indicador negativo no tiene sentido.

Cabe señalar que con esta definición de grado con exponente fraccionario, hay una advertencia: para algunos negativos a y algo metro Y norte la expresión tiene sentido, pero descartamos estos casos introduciendo la condición a≥0. Por ejemplo, las entradas tienen sentido. o , y la definición dada anteriormente nos obliga a decir que las potencias con exponente fraccionario de la forma No tiene sentido, ya que la base no debe ser negativa.

2. Otro método para determinar el grado con un exponente fraccionario Minnesota consiste en considerar por separado los exponentes pares e impares de la raíz. Este enfoque requiere una condición adicional: la potencia del número a, cuyo exponente es una fracción ordinaria reducible, se considera una potencia del número a, cuyo indicador es la fracción irreducible correspondiente (la importancia de esta condición se explicará más adelante). Es decir, si Minnesota es una fracción irreducible, entonces para cualquier número natural k el grado se reemplaza preliminarmente por .

Incluso para norte y positivo metro la expresión tiene sentido para cualquier no negativo a(incluso raíz de numero negativo no tiene sentido), con negativa metro número a aún debe ser diferente de cero (de lo contrario, habrá división por cero). y por extraño norte y positivo metro número a puede ser cualquiera (la raíz impar se define para cualquier número real), y para números negativos metro número a debe ser distinto de cero (para que no haya división por cero).

El razonamiento anterior nos lleva a esta definición de grado con exponente fraccionario.

Definición.

Dejar Minnesota– fracción irreducible, metro- entero, y norte- número natural. Para cualquier fracción reducible, el grado se reemplaza por . Grado de a con un exponente fraccionario irreducible Minnesota- es para

o cualquier número real a, todo positivo metro y extraño natural norte, Por ejemplo, ;

o cualquier número real distinto de cero a, entero negativo metro y extraño norte, Por ejemplo, ;

o cualquier número no negativo a, todo positivo metro e incluso norte, Por ejemplo, ;

o cualquier positivo a, entero negativo metro e incluso norte, Por ejemplo, ;

o en otros casos no se determina la titulación con indicador fraccionario, como por ejemplo las titulaciones no están definidas .a no le damos ningún significado a la entrada definimos la potencia del número cero para exponentes fraccionarios positivos; Minnesota Cómo , para exponentes fraccionarios negativos no se determina la potencia del número cero.

Para concluir este párrafo, llamemos la atención sobre el hecho de que un exponente fraccionario se puede escribir como una fracción decimal o numero mixto, Por ejemplo, . Para calcular los valores de expresiones de este tipo, es necesario escribir el exponente en forma de fracción ordinaria y luego usar la definición del exponente con un exponente fraccionario. Para los ejemplos anteriores tenemos Y

MBOU "Sidorskaya"

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Desarrollo de un plan general. lección abierta

en álgebra en el grado 11 sobre el tema:

Preparado y realizado

profesor de matemáticas

Iskhakova E.F.

Esquema de una lección abierta de álgebra en el 11º grado.

Sujeto : “Un grado con exponente racional”.

tipo de lección : Aprender material nuevo

Objetivos de la lección:

Introducir a los estudiantes en el concepto de grado con exponente racional y sus propiedades básicas, basándose en material previamente estudiado (grado con exponente entero).
Desarrollar habilidades computacionales y la capacidad de convertir y comparar números con exponentes racionales.
Desarrollar la alfabetización matemática y el interés matemático en los estudiantes.

Equipo : Fichas de tareas, presentación del alumno por titulación con indicador entero, presentación del profesor por titulación con indicador racional, portátil, proyector multimedia, pantalla.

Durante las clases:

Organizar el tiempo.

Comprobar el dominio del tema cubierto mediante tarjetas de tareas individuales.

Tarea número 1.

=2;

B) =x + 5;

Resuelve el sistema de ecuaciones irracionales: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

Tarea número 2.

Resuelve la ecuación irracional: = - 3;

B) =x-2;

Resuelve el sistema de ecuaciones irracionales: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

Comunicar el tema y los objetivos de la lección.

El tema de nuestra lección de hoy es “ Potencia con exponente racional».

Explicación de material nuevo utilizando el ejemplo de material previamente estudiado.

Ya estás familiarizado con el concepto de grado con exponente entero. ¿Quién me ayudará a recordarlos?

Repetición mediante presentación " Grado con exponente entero».

Para cualquier número a, b y cualquier número entero myn, las igualdades son verdaderas:

un metro * un norte = un metro + n ;

a m: a n =a m-n (a ≠ 0);

(un metro) n = un metro ;

(a b) n =a n * b n ;

(a/b) norte = an /b norte (b ≠ 0) ;

un 1 = un ; un 0 = 1(un ≠ 0)

Hoy generalizaremos el concepto de potencia de un número y daremos significado a expresiones que tienen un exponente fraccionario. vamos a presentar definición grados con exponente racional (Presentación “Grado con exponente racional”):

poder de un > 0 con exponente racional r = , Dónde metro es un número entero y norte - natural ( norte > 1), llamado el número metro .

Entonces, por definición obtenemos que = metro .

Intentemos aplicar esta definición al completar una tarea.

EJEMPLO N°1

Presento la expresión como raíz de un número:

A) B) EN) .

Ahora intentemos aplicar esta definición al revés.

II Expresar la expresión como una potencia con exponente racional:

A) 2 B) EN) 5 .

La potencia de 0 se define sólo para exponentes positivos.

0 r= 0 para cualquier r> 0.

Usando esta definición, Casas Completarás los números 428 y 429.

Demostremos ahora que con la definición de grado con exponente racional formulada anteriormente, se conservan las propiedades básicas de los grados, que son válidas para cualquier exponente.

Para cualquier número racional r y s y cualquier a y b positivos, se cumplen las siguientes igualdades:

1 0 . a r a s =un r+s ;

EJEMPLO: *

20 . a r: a s =a r-s ;

EJEMPLO: :

3 0 . (a r ) s = a rs ;

EJEMPLO: ( -2/3

4 0 . ( ab) r = a r b r ; 5 0 . ( = .

EJEMPLO: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

EJEMPLO de uso de varias propiedades a la vez: * : .

Minuto de educación física.

Dejamos los bolígrafos sobre el escritorio, enderezamos el dorso y ahora nos acercamos, queremos tocar el tablero. Ahora lo hemos levantado y nos hemos inclinado hacia la derecha, hacia la izquierda, hacia adelante y hacia atrás. Me mostraste tus manos, ahora muéstrame cómo pueden bailar tus dedos.

trabajando en el material

Observemos dos propiedades más de los grados con exponentes racionales:

6 0 . Dejar r es un número racional y 0< a < b . Тогда

a r < b r en r> 0,

a r < b r en r< 0.

7 0 . Para cualquier número racionalr Y s de la desigualdad r> s sigue eso

a r>un r para a > 1,

a r < а r en 0< а < 1.

EJEMPLO: Compara los números:

Y ; 2 300 y 3 200 .

Resumen de la lección:

Hoy en la lección recordamos las propiedades de un grado con exponente entero, aprendimos la definición y las propiedades básicas de un grado con exponente racional y consideramos la aplicación de esto. material teórico en la práctica al realizar ejercicios. Me gustaría llamar su atención sobre el hecho de que el tema "Exponente con exponente racional" es obligatorio en Asignaciones del examen estatal unificado. En la preparación de tarea ( N° 428 y N° 429