Cómo hacer una fracción impropia a partir de un número mixto. Números mixtos, convertir un número mixto a fracción impropia y viceversa

Cada hombre moderno Cuando estaba en la escuela, mientras resolvía problemas matemáticos, a menudo me encontraba con una variedad de problemas que involucraban fracciones. Hay muchos de ellos, por lo que tiene sentido considerar varias opciones resolviendo los problemas más básicos de este tipo.

Fracciones propias e impropias

El número superior de cualquier fracción se llama numerador, mientras que el número inferior es denominador. Las fracciones ordinarias son cocientes de dos números; además, uno de estos números está en el numerador de la fracción y el segundo, respectivamente, es el denominador de esta fracción. Los tipos de tales fracciones ordinarias se determinan comparando los valores de su denominador y numerador.

fracción adecuada

En el caso de que el denominador de una fracción sea número natural, que en su valor es mayor que su numerador, también número natural, entonces la fracción se llama propia. Ejemplos de estos podrían ser: 19/8; 14/9; 31/162; 5/37 y así sucesivamente.

Si el denominador de una fracción es menor o igual que su numerador, entonces dicha fracción ya se llama impropia. Por ejemplo, estos son: 7/4; 19/6; 15/3; 231/83 y similares.

¿Por qué convertir una fracción impropia en una fracción propia?

Esta manipulación matemática es necesaria si se realiza una operación con varias fracciones, por ejemplo, si se suman.

Consejo

Si hay una fracción mixta, primero debes convertirla en una fracción impropia y luego realizar otras operaciones matemáticas.

Convertir a una fracción impropia

Para algunos fracción mixta para convertirlo en incorrecto, primero deberás multiplicar su parte entera por el denominador de su parte fraccionaria y luego sumar el numerador a este producto. A continuación, se toma la suma como numerador, pero con el mismo denominador que antes. Para convertir una fracción impropia en una fracción propia, necesitarás dividir el numerador de dicha fracción impropia por su denominador. Además, el número entero obtenido de esta manera debe tomarse como la parte entera de la fracción, mientras que el resto, si lo hay, por supuesto, debe convertirse en el numerador de la parte fraccionaria de la fracción propia. El denominador se escribe igual que antes. Para traducir cualquier fracción impropia en un decimal, primero debe averiguar si existe algún factor que le permita reducir el denominador de su parte fraccionaria en el formato incorrecto a un número igual a diez o diez elevado a cualquier potencia. Es decir, 10, 100, 1000 y así sucesivamente. Si existe tal factor, entonces debes multiplicar tanto el numerador como el denominador de la fracción impropia por este factor, comprobando así, por así decirlo. Y luego habrá que sumar el numerador multiplicado, separado por una coma, a la parte entera de la fracción impropia.

No se puede convertir redondeando a décimas

En el caso de que dicho factor no exista como tal, esto significa que dicha fracción impropia no tiene un equivalente claro en forma decimal. En pocas palabras, no todas las fracciones impropias se pueden convertir a decimales. En este caso, necesitará encontrar el valor máximo correspondiente aproximado de la fracción. Todo depende del grado de precisión requerido en las condiciones de una tarea particular. La forma más sencilla de calcular esta fracción es con una calculadora, pero también puedes hacerlo mentalmente o simplemente en una columna. Por ejemplo, "41/7 = 5(6/7) = 5,9", esto se redondea a la décima más cercana, o "= 5,86" cuando se requiere redondear a la centésima, y ​​también "= 5,857" cuando se redondea a la centésima más cercana. milésimas Muchas de las fracciones no se pueden convertir claramente a decimales, por lo que es más fácil contarlas no mentalmente o en una columna, sino con una calculadora.

Conclusión:

Sin manipular fracciones, no es posible hacer nada. curso escolar matemáticas. Y en la vida cotidiana rara vez es necesario tratar solo con números enteros y, por lo tanto, todos deben poder convertir fracciones regulares en impropias o convertirlas en fracciones mixtas. Esto es muy sencillo y por eso podrás recordar cómo hacerlo literalmente después de un par de ejemplos prácticos, resuelto en papel y luego, en general, en la mente. Con las fracciones decimales la situación es algo diferente y no todo se puede convertir con precisión al formato decimal.

Cada persona, al resolver problemas de matemáticas, a menudo se encuentra con problemas que involucran fracciones. Hay muchos de ellos, así que veremos diferentes opciones resolver los principales problemas de este tipo.

¿Qué son las fracciones?

El número superior de cualquier fracción se llama numerador y el número inferior es denominador. Una fracción ordinaria es el cociente de dos números, uno de estos números está en el numerador de la fracción y el segundo está en el denominador de la fracción. Los tipos de estas fracciones comunes se determinarán comparando el denominador y numerador de la fracción.

Si el denominador de una fracción (número natural) es mayor que el numerador de la fracción (número natural), entonces la fracción se llama propia. A continuación se muestran algunos ejemplos: 19/7; 13/9; 31/152; 17/5.

Si el denominador de una fracción (número natural) es menor o igual que el numerador de la fracción (número natural), entonces la fracción se llama impropia. A continuación se muestran algunos ejemplos: 7/5; 19/3; 15/9; 231/63.

Cómo convertir una fracción impropia

Para convertir una fracción mixta en una fracción impropia, debes multiplicar la parte entera de la fracción por el denominador en la parte fraccionaria y sumar el numerador a este producto. Luego toma la cantidad como numerador y escribe el mismo denominador que antes. A continuación se muestran algunos ejemplos:

• 4(3/11) = (4x11+3)/11 = (44+3)/11 = 47/11.
• 11(5/9) = (11x9+5)/9 = (99+5)/9 = 104/9.

Para convertir una fracción impropia en fracción propia, debes dividir el numerador de la fracción impropia por su denominador. Toma el número entero resultante como parte entera de la fracción y toma el resto (por supuesto, si lo hay) como numerador de la parte fraccionaria de la fracción propia, escribiendo el mismo denominador que antes. A continuación se muestran algunos ejemplos:

• 150/13 = (143/13)+(7/13) = 11(7/13).
• 156/12 = (13x12)/12 = 13.

Para convertir una fracción impropia a decimal, es necesario averiguar si existe un factor que permita reducir el denominador de la parte fraccionaria de la fracción impropia a un número igual a diez (o una decena que se eleva a cualquier potencia (10, 100, 1000 y más). Si tal factor es así, entonces debes multiplicar el numerador y el denominador de la fracción impropia por este factor para verificarlo. Ahora se debe asignar el numerador multiplicado, separado. por una coma, a la parte entera de la fracción impropia Aquí hay ejemplos:

• Multiplicador “5” - 8/20 = (8x5)/(20x5) = 40/100 = 0,4.
• Multiplicador "4" - 14/25 = (14x4)/(25x4) = 56/100 = 0,56.
• Multiplicador "25" - 3/40 = (3x25)/(40x25) = 75/1000 = 0,075.

Si tal factor no existe, significa que esta fracción impropia en forma decimal no tiene un equivalente claro. Es decir, no todas las fracciones impropias se pueden convertir a decimales. En este caso, necesitas encontrar el valor aproximado de la fracción con el grado de precisión que requieres. Puede calcular dicha fracción en una calculadora, mentalmente o en una columna. A continuación se muestran algunos ejemplos: 41/7 = 5(6/7) = 5,9 (redondeado a décimas), = 5,86 (redondeado a centésimas), = 5,857 (redondeado a milésimas); 3/7, 7/6, 1/3 y otros. Tampoco están claramente traducidos y se calculan en una calculadora, en el encabezado o en una columna.

¡Ahora ya sabes cómo convertir una fracción impropia en una fracción propia o decimal!

La palabra “fracciones” pone la piel de gallina a muchas personas. Porque recuerdo la escuela y las tareas que se resolvían en matemáticas. Éste era un deber que debía cumplirse. ¿Qué pasaría si trataras los problemas que involucran fracciones propias e impropias como un rompecabezas? Después de todo, muchos adultos resuelven crucigramas digitales y japoneses. Descubrimos las reglas y eso es todo. Es lo mismo aquí. Sólo hay que ahondar en la teoría y todo encajará. Y los ejemplos se convertirán en una forma de entrenar tu cerebro.

¿Qué tipos de fracciones existen?

Empecemos por lo que es. Una fracción es un número que tiene alguna parte de uno. Se puede escribir de dos formas. El primero se llama ordinario. Es decir, aquel que tiene una línea horizontal o inclinada. Equivale al signo de división.

En tal notación, el número que está encima de la línea se llama numerador y el número que está debajo se llama denominador.

Entre las fracciones ordinarias se distinguen fracciones propias e impropias. Para el primero, el valor absoluto del numerador es siempre menor que el denominador. Los equivocados se llaman así porque tienen todo al revés. El valor de una fracción propia siempre es menor que uno. Mientras que el incorrecto siempre es mayor que este número.

También hay números mixtos, es decir, aquellos que tienen parte entera y parte fraccionaria.

El segundo tipo de notación es una fracción decimal. Hay una conversación aparte sobre ella.

¿En qué se diferencian las fracciones impropias de los números mixtos?

En esencia, nada. es simple entrada diferente el mismo número. Las fracciones impropias se convierten fácilmente en números mixtos después de sencillos pasos. Y viceversa.

Todo depende de la situación específica. A veces es más conveniente utilizar una fracción impropia en las tareas. Y a veces es necesario convertirlo a un número mixto y así el ejemplo se resolverá muy fácilmente. Por tanto, qué utilizar: fracciones impropias, números mixtos, depende de la capacidad de observación de quien resuelve el problema.

El número mixto también se compara con la suma de la parte entera y la parte fraccionaria. Además, el segundo es siempre menor que uno.

¿Cómo representar un número mixto como fracción impropia?

Si necesitas realizar alguna acción con varios números que están escritos en diferentes tipos, entonces necesitas hacerlos iguales. Un método consiste en representar números como fracciones impropias.

Para ello, deberá realizar el siguiente algoritmo:

• multiplica el denominador por la parte entera;
• sumar el valor del numerador al resultado;
• escriba la respuesta encima de la línea;
• Deja el denominador igual.

A continuación se muestran ejemplos de cómo escribir fracciones impropias a partir de números mixtos:

• 17 ¼ = (17 x 4 + 1): 4 = 69/4;
• 39 ½ = (39 x 2 + 1): 2 = 79/2.

¿Cómo escribir una fracción impropia como un número mixto?

La siguiente técnica es la opuesta a la comentada anteriormente. Es decir, cuando todos los números mixtos se reemplazan por fracciones impropias. El algoritmo de acciones será el siguiente:

• divide el numerador por el denominador para obtener el resto;
• escribe el cociente en lugar de la parte entera de la mixta;
• el resto debe colocarse encima de la línea;
• el divisor será el denominador.

Ejemplos de tal transformación:

76/14; 76:14 = 5 con resto 6; la respuesta será 5 entero y 6/14; la parte fraccionaria en este ejemplo debe reducirse en 2, lo que da como resultado 3/7; la respuesta final es 5 punto 3/7.

108/54; después de la división se obtiene el cociente de 2 sin resto; esto significa que no todas las fracciones impropias se pueden representar en la forma numero mixto; la respuesta será un número entero: 2.

¿Cómo convertir un número entero en una fracción impropia?

Hay situaciones en las que tal acción es necesaria. Para obtener fracciones impropias con denominador conocido, deberás realizar el siguiente algoritmo:

• multiplica un número entero por el denominador deseado;
• escriba este valor encima de la línea;
• coloca el denominador debajo de él.

La opción más sencilla es cuando el denominador es igual a uno. Entonces no necesitas multiplicar nada. Basta con escribir el número entero dado en el ejemplo y colocar uno debajo de la línea.

Ejemplo: Haz de 5 una fracción impropia con un denominador de 3. Multiplicar 5 por 3 da 15. Este número será el denominador. La respuesta a la tarea es una fracción: 15/3.

Dos enfoques para resolver problemas con diferentes números

El ejemplo requiere calcular la suma y la diferencia, así como el producto y el cociente de dos números: 2 enteros 3/5 y 14/11.

En el primer acercamiento el número mixto se representará como una fracción impropia.

Después de realizar los pasos descritos anteriormente, obtendrá el siguiente valor: 13/5.

Para encontrar la suma, debes reducir las fracciones al mismo denominador. 13/5 después de multiplicarlo por 11 se convierte en 143/55. Y 14/11 después de multiplicar por 5 quedará así: 70/55. Para calcular la suma, solo necesitas sumar los numeradores: 143 y 70, y luego escribir la respuesta con un denominador. 213/55 - esta fracción impropia es la respuesta al problema.

Al encontrar la diferencia se restan los mismos números: 143 - 70 = 73. La respuesta será una fracción: 73/55.

Al multiplicar 13/5 y 14/11 no es necesario llevar a denominador común. Basta con multiplicar los numeradores y denominadores por parejas. La respuesta será: 182/55.

Lo mismo ocurre con la división. Para la decisión correcta necesitas reemplazar la división con multiplicación e invertir el divisor: 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70.

En el segundo enfoque una fracción impropia se convierte en un número mixto.

Después de realizar las acciones del algoritmo, 14/11 se convertirá en un número mixto con una parte entera de 1 y una parte fraccionaria de 3/11.

Al calcular la suma, debe sumar las partes enteras y fraccionarias por separado. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. La respuesta final es 3 punto 48/55. En la primera aproximación la fracción fue 213/55. Puedes comprobar su exactitud convirtiéndolo a un número mixto. Después de dividir 213 entre 55, el cociente es 3 y el resto es 48. Es fácil ver que la respuesta es correcta.

Al restar, el signo “+” se reemplaza por “-”. 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Para comprobarlo, es necesario convertir la respuesta del método anterior a un número mixto: 73 se divide por 55 y el cociente es 1 y el resto es 18.

Para encontrar el producto y el cociente, es inconveniente utilizar números mixtos. Aquí siempre se recomienda pasar a fracciones impropias.

En este material examinaremos el concepto de números mixtos. Empecemos, como siempre, con una definición y pequeños ejemplos, luego explicaremos la conexión entre números mixtos y fracciones impropias. Después de esto, aprenderemos cómo separar correctamente la parte entera de una fracción y obtener como resultado un número entero.

Concepto de número mixto

Si tomamos la suma n + a b, donde el valor de n puede ser cualquier número natural y a b es una fracción ordinaria propia, entonces podemos escribir lo mismo sin usar un más: n a b. Tomemos números específicos para mayor claridad: por ejemplo, 28 + 5 7 es lo mismo que 28 5 7. Escribir una fracción junto a un número entero se llama número mixto.

Definición 1

numero mixto representa un número que es igual a la suma del número natural n con la fracción ordinaria propia a b. En este caso, n es la parte entera del número y ab es su parte fraccionaria.

De la definición se desprende que cualquier número mixto es igual al que se obtiene sumando sus partes enteras y fraccionarias. Por tanto, se cumplirá la igualdad n a b = n + a b.

También se puede escribir como n + a b = n a b.

¿Cuáles son algunos ejemplos de números mixtos? Entonces, incluyen 5 1 8, mientras que cinco es su parte entera y un octavo es una fracción. Más ejemplos: 1 1 2, 234 34 53, 34000 6 25.

Escribimos anteriormente que la parte fraccionaria de un número mixto solo debe contener una fracción propia. A veces puedes encontrar entradas como 5 22 3, 75 7 2. No son números mixtos porque su parte fraccionaria es incorrecta. Deben entenderse como la suma de las partes enteras y fraccionarias. Estas cifras pueden reducirse a vista estándar escribir números mixtos quitando la parte entera de la fracción impropia y sumándola a 5 y 75 en estos ejemplos, respectivamente.

Los números de la forma 0 3 14 tampoco se mezclan. La primera parte de la condición no se cumple aquí: la parte entera debe representarse únicamente por un número natural y cero no es uno.

Cómo se relacionan entre sí las fracciones impropias y los números mixtos

Esta conexión es más fácil de ver con un ejemplo específico.

Ejemplo 1

Cogemos una tarta entera y otras tres cuartas partes de lo mismo. Según las reglas de la suma, tenemos 1 + 3 4 pasteles en la mesa. Esta cantidad se puede expresar como un número mixto como 1 3 4 tortas. Si cogemos un bizcocho entero y además lo cortamos en cuatro partes iguales, entonces tendremos 7 4 bizcochos sobre la mesa. Obviamente, la cantidad no aumentó con el corte, y 1 3 4 = 7 4.

Nuestro ejemplo demuestra que cualquier fracción impropia se puede representar como un número mixto.

Volvamos a los 7 4 pasteles que quedan en la mesa. Volvamos a armar un pastel a partir de sus pedazos (1 + 3 4). Tendremos 1 3 4 nuevamente.

Respuesta: 7 4 = 1 3 4 .

Entendemos cómo convertir una fracción impropia a un número mixto. Si el numerador de una fracción impropia contiene un número que se puede dividir por el denominador sin resto, entonces podemos hacer esto y luego nuestra fracción impropia se convertirá en un número natural.

Ejemplo 2

Por ejemplo,

8 4 = 2, ya que 8: 4 = 2.

Cómo convertir un número mixto a una fracción impropia

Para resolver problemas con éxito, es útil poder realizar la acción inversa, es decir, hacer fracciones impropias a partir de números mixtos. En este párrafo veremos cómo hacer esto correctamente.

Para hacer esto, debe reproducir la siguiente secuencia de acciones:

1. Para empezar, imagine el número mixto disponible n a b como la suma de las partes entera y fraccionaria. Resulta n + a b

3. Después de esto, realizamos la acción ya familiar: sumamos dos fracciones ordinarias n 1 y a b. La fracción impropia resultante será igual al número mixto dado en la condición.

Veamos esta acción usando un ejemplo específico.

Ejemplo 3

Expresa 5 3 7 como una fracción impropia.

Solución

Realizamos los pasos del algoritmo anterior de forma secuencial. Nuestro número 5 3 7 es la suma de la parte entera y fraccionaria, es decir, 5 + 3 7. Ahora escribamos el cinco en la forma 5 1. Obtuvimos la suma 5 1 + 3 7.

El último paso es sumar fracciones con diferentes denominadores:

5 1 + 3 7 = 35 7 + 3 7 = 38 7

toda solución a forma corta se puede escribir como 5 3 7 = 5 + 3 7 = 5 1 + 3 7 = 35 7 + 3 7 = 38 7.

Respuesta: 5 3 7 = 38 7 .

Así, usando la cadena de acciones anterior, podemos convertir cualquier número mixto n a b en una fracción impropia. Tenemos la fórmula n a b = n b + a b, que usaremos para resolver problemas posteriores.

Ejemplo 4

Expresa 15 2 5 como una fracción impropia.

Solución

Tomemos la fórmula indicada y sustituyamos en ella los valores requeridos. Tenemos n = 15, a = 2, b = 5, por lo tanto, 15 2 5 = 15 5 + 2 5 = 77 5.

Respuesta: 15 2 5 = 77 5 .

Generalmente no incluimos una fracción impropia como respuesta final. Se acostumbra completar el cálculo y reemplazarlo con un número natural (dividiendo el numerador por el denominador) o un número mixto. Como regla general, el primer método se usa cuando es posible dividir el numerador por el denominador sin resto, y el segundo método se usa cuando tal acción es imposible.

Cuando aislamos la parte entera de una fracción impropia, simplemente la reemplazamos con un número mixto igual.

Averigüemos exactamente cómo se hace esto.

Definición 2

Demos una prueba de esta afirmación.

Necesitamos explicar por qué q r b = a b . Para ello, se debe representar el número mixto q r b como una fracción impropia, siguiendo todos los pasos del algoritmo del párrafo anterior. Dado que es un cociente incompleto y r es el resto de dividir a por b, entonces la igualdad a = b · q + r debe ser válida.

Por lo tanto, q b + r b = a b entonces q r b = a b. Ésta es la prueba de nuestra afirmación. Resumamos:

Definición 3

Aislar la parte entera de una fracción impropia a b se realiza de esta forma:

1) divide a por b con resto y escribe el cociente incompleto q y el resto r por separado.

2) Escribimos los resultados en la forma q r b. Este es nuestro número mixto, igual a la fracción impropia original.

Ejemplo 5

Piensa en 107 4 como un número mixto.

Solución

Divide 104 entre 7 usando una columna:

Dividiendo el numerador a = 118 por el denominador b = 7 nos da el cociente parcial final q = 16 y el resto r = 6.

Como resultado, obtenemos que la fracción impropia 118 7 es igual al número mixto q r b = 16 6 7.

Respuesta: 118 7 = 16 6 7 .

Sólo tenemos que ver cómo sustituir una fracción impropia por un número natural (siempre que su numerador sea divisible por el denominador sin resto).

Para ello recordemos qué conexión existe entre fracciones ordinarias y división. De esto podemos derivar las siguientes igualdades: a b = a: b = c. Resulta que la fracción impropia a b se puede reemplazar por un número natural c.

Ejemplo 6

Por ejemplo, si la respuesta resulta ser una fracción impropia 27 3, entonces podemos escribir 9 en su lugar, ya que 27 3 = 27: 3 = 9.

Respuesta: 27 3 = 9 .

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Fracción en matemáticas, un número que consta de una o más partes (fracciones) de una unidad. Las fracciones son parte del campo. numeros racionales. Según la forma en que se escriben, las fracciones se dividen en 2 formatos: común tipo y decimal .

Numerador de fracción- un número que muestra el número de acciones tomadas (ubicado en la parte superior de la fracción, encima de la línea). denominador de fracción- un número que muestra en cuántas acciones se divide la unidad (ubicado debajo de la línea - en la parte inferior). , a su vez, se dividen en: correcto Y incorrecto, mezclado Y compuesto están estrechamente relacionados con las unidades de medida. 1 metro contiene 100 cm, lo que significa que 1 m se divide en 100 partes iguales. Así, 1 cm = 1/100 m (un centímetro equivale a una centésima de metro).

o 3/5 (tres quintos), aquí 3 es el numerador, 5 es el denominador. Si el numerador es menor que el denominador, entonces la fracción es menor que uno y se llama correcto:

Si el numerador es igual al denominador, la fracción es igual a uno. Si el numerador es mayor que el denominador, la fracción es mayor que uno. En ambos últimos casos la fracción se llama equivocado:

Para aislar el número entero más grande contenido en una fracción impropia, se divide el numerador por el denominador. Si la división se realiza sin resto, entonces la fracción impropia tomada es igual al cociente:

Si la división se realiza con resto, entonces el cociente (incompleto) da el número entero deseado y el resto se convierte en el numerador de la parte fraccionaria; el denominador de la parte fraccionaria sigue siendo el mismo.

Un número que contiene un número entero y una parte fraccionaria se llama mezclado. parte fraccionaria numero mixto tal vez fracción impropia. Luego puedes seleccionar el número entero más grande de la parte fraccionaria y representar el número mixto de tal manera que la parte fraccionaria se convierta en una fracción propia (o desaparezca por completo).