Pirámide tetraédrica regular. Pirámide cuadrilátera en el problema C2
Aquí puede encontrar información básica sobre pirámides y fórmulas y conceptos relacionados. Todos ellos se estudian con un tutor de matemáticas en preparación para el Examen Estatal Unificado.
Consideremos un plano, un polígono. 
, que se encuentra en él y un punto S, que no se encuentra en él. Conectemos S a todos los vértices del polígono. El poliedro resultante se llama pirámide. Los segmentos se llaman costillas laterales. El polígono se llama base y el punto S es la cima de la pirámide. Dependiendo del número n, la pirámide se llama triangular (n=3), cuadrangular (n=4), pentagonal (n=5), etc. Título alternativo pirámide triangular – tetraedro. La altura de una pirámide es la perpendicular que desciende desde su cima al plano de la base. 
Una pirámide se llama regular si polígono regular, y la base de la altura de la pirámide (la base de la perpendicular) es su centro.
comentario del tutor:
No confunda los conceptos de “pirámide regular” y “tetraedro regular”. En una pirámide regular, las aristas laterales no son necesariamente iguales a las aristas de la base, pero en un tetraedro regular, las 6 aristas son iguales. Esta es su definición. Es fácil demostrar que la igualdad implica que el centro P del polígono coincide con una base de altura, por lo que un tetraedro regular es una pirámide regular.
¿Qué es una apotema?
La apotema de una pirámide es la altura de su cara lateral. Si la pirámide es regular, entonces todas sus apotemas son iguales. Lo contrario no es cierto. 
Un tutor de matemáticas sobre su terminología: el 80% del trabajo con pirámides se construye a través de dos tipos de triángulos:
1) Que contiene apotema SK y altura SP
2) que contiene costilla lateral SA y su proyección PA 
Para simplificar las referencias a estos triángulos, es más conveniente que un tutor de matemáticas llame al primero de ellos apotémico, y el segundo costal. Desafortunadamente, no encontrará esta terminología en ninguno de los libros de texto y el profesor tiene que introducirla unilateralmente.
Fórmula del volumen de la pirámide:
1) 
, donde es el área de la base de la pirámide y es la altura de la pirámide
2), donde es el radio de la esfera inscrita y es el área superficie completa pirámides.
3) 
, donde MN es la distancia entre dos aristas que se cruzan cualesquiera y es el área del paralelogramo formado por los puntos medios de las cuatro aristas restantes.
Propiedad de la base de la altura de una pirámide:
El punto P (ver figura) coincide con el centro del círculo inscrito en la base de la pirámide si se cumple una de las siguientes condiciones:
1) Todas las apotemas son iguales
2) Todas las caras laterales están igualmente inclinadas con respecto a la base.
3) Todas las apotemas están igualmente inclinadas con respecto a la altura de la pirámide.
4) La altura de la pirámide está igualmente inclinada en todas las caras laterales.
Comentario del tutor de matemáticas.: Tenga en cuenta que todos los puntos tienen una cosa en común propiedad general: de una forma u otra, las caras laterales están involucradas en todas partes (las apotemas son sus elementos). Por tanto, el tutor puede ofrecer una formulación menos precisa, pero más conveniente para el aprendizaje: el punto P coincide con el centro del círculo inscrito, la base de la pirámide, si existe información igual sobre sus caras laterales. Para demostrarlo basta demostrar que todos los triángulos de apotema son iguales.
El punto P coincide con el centro de un círculo circunscrito cerca de la base de la pirámide si se cumple una de tres condiciones:
1) Todos los bordes laterales son iguales
2) Todas las nervaduras laterales están igualmente inclinadas con respecto a la base.
3) Todas las nervaduras laterales están igualmente inclinadas respecto a la altura.
Nivel de entrada
Pirámide. guía visual (2019)
¿Qué es una pirámide?
¿Cómo es ella?
Verás: en la base de la pirámide (dicen “ en la base") algún polígono, y todos los vértices de este polígono están conectados a algún punto en el espacio (este punto se llama " vértice»).
Toda esta estructura todavía tiene caras laterales, costillas laterales Y costillas base. Una vez más, dibujemos una pirámide con todos estos nombres:
Algunas pirámides pueden parecer muy extrañas, pero siguen siendo pirámides.
Aquí, por ejemplo, es completamente “oblicuo”. pirámide.
Y un poco más sobre los nombres: si hay un triángulo en la base de la pirámide, entonces la pirámide se llama triangular, si es cuadrilátero, entonces cuadrangular, y si es centágono, entonces... adivina por ti mismo .
Al mismo tiempo, el punto donde cayó. altura, llamado base de altura. Tenga en cuenta que en las pirámides "torcidas" altura incluso puede terminar fuera de la pirámide. Como esto:
Y eso no tiene nada de malo. Parece un triángulo obtuso.
Pirámide correcta.
Muchos palabras complejas? Descifremos: “En la base - correcto” - esto es comprensible. Ahora recordemos que un polígono regular tiene un centro: un punto que es el centro de y, y.
Bueno, las palabras “la parte superior se proyecta en el centro de la base” significan que la base de la altura cae exactamente en el centro de la base. Mira que suave y lindo se ve. pirámide regular.
Hexagonal: en la base hay un hexágono regular, el vértice se proyecta hacia el centro de la base.
Cuadrangular: la base es un cuadrado, la parte superior se proyecta hasta el punto de intersección de las diagonales de este cuadrado.
Triangular: en la base hay un triángulo regular, el vértice se proyecta al punto de intersección de las alturas (también son medianas y bisectrices) de este triángulo.
Muy Propiedades importantes de una pirámide regular:
En la pirámide derecha
- todos los bordes laterales son iguales.
- todas las caras laterales - triángulos isósceles y todos estos triángulos son iguales.
Volumen de la pirámide
La fórmula principal para el volumen de una pirámide:
¿De dónde vino exactamente? Esto no es tan simple y al principio solo debes recordar que una pirámide y un cono tienen volumen en la fórmula, pero un cilindro no.
Ahora calculemos el volumen de las pirámides más populares.
Deje que el lado de la base sea igual y el borde lateral igual. Necesitamos encontrar y.
Ésta es el área de un triángulo regular.
Recordemos cómo buscar esta zona. Usamos la fórmula del área:
Para nosotros “” es esto, y “” es también esto, eh.
Ahora encontrémoslo.
Según el teorema de Pitágoras para
¿Cuál es la diferencia? Este es el circunradio porque pirámidecorrecto y, por tanto, el centro.
Desde entonces, el punto de intersección de las medianas también.
(Teorema de Pitágoras para)
Sustituyámoslo en la fórmula de.
Y sustituyamos todo en la fórmula del volumen:
Atención: Si tienes un tetraedro regular (es decir), entonces la fórmula resulta así:
Deje que el lado de la base sea igual y el borde lateral igual.
No hay necesidad de mirar aquí; Después de todo, la base es un cuadrado, y por tanto.
Lo encontraremos. Según el teorema de Pitágoras para
¿Lo sabemos? Bueno, casi. Mirar:
(vimos esto mirándolo).
Sustituye en la fórmula por:
Y ahora sustituimos y en la fórmula del volumen.
Deje que el lado de la base sea igual y el borde lateral.
¿Cómo encontrarlo? Mira, un hexágono consta exactamente de seis triángulos regulares idénticos. Ya buscamos el área de un triángulo regular al calcular el volumen de una pirámide triangular regular; aquí usamos la fórmula que encontramos;
Ahora vamos a buscarlo.
Según el teorema de Pitágoras para
¿Pero qué importa? Es simple porque (y todos los demás también) tienen razón.
Sustituyamos:
\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))
PIRÁMIDE. BREVEMENTE SOBRE LAS COSAS PRINCIPALES
Una pirámide es un poliedro que consta de cualquier polígono plano (), un punto que no se encuentra en el plano de la base (parte superior de la pirámide) y todos los segmentos que conectan la parte superior de la pirámide con los puntos de la base (bordes laterales).
Una perpendicular que cae desde la cima de la pirámide hasta el plano de la base.
Pirámide correcta- una pirámide en la que se encuentra un polígono regular en la base y la cima de la pirámide se proyecta hacia el centro de la base.
Propiedad de una pirámide regular:
- En una pirámide regular, todas las aristas laterales son iguales.
- Todas las caras laterales son triángulos isósceles y todos estos triángulos son iguales.
Este vídeo tutorial ayudará a los usuarios a tener una idea del tema Pirámide. Pirámide correcta. En esta lección nos familiarizaremos con el concepto de pirámide y le daremos una definición. Consideremos qué es una pirámide regular y qué propiedades tiene. Luego demostramos el teorema sobre la superficie lateral de una pirámide regular.
En esta lección nos familiarizaremos con el concepto de pirámide y le daremos una definición.
Considere un polígono Un 1 Un 2...Un, que se encuentra en el plano α, y el punto PAG, que no se encuentra en el plano α (Fig. 1). Conectemos los puntos PAG con picos Un 1, Un 2, Un 3, … Un. obtenemos norte triángulos: Un 1 Un 2 R, Un 2 Un 3 R etcétera.
Definición. Poliedro RA 1 A 2 ...A n, compuesto por norte-cuadrado Un 1 Un 2...Un Y norte triangulos AR 1 A 2, AR 2 A 3 …ra norte un norte-1 se llama norte-pirámide de carbón. Arroz. 1.
Arroz. 1
Considere una pirámide cuadrangular PABCD(Figura 2).
R- la cima de la pirámide.
ABCD- la base de la pirámide.
REAL ACADEMIA DE BELLAS ARTES- costilla lateral.
AB- nervadura base.
desde el punto R dejemos caer la perpendicular enfermera registrada al plano base ABCD. La perpendicular trazada es la altura de la pirámide.
Arroz. 2
La superficie completa de la pirámide consta de la superficie lateral, es decir, el área de todas las caras laterales y el área de la base:
S completo = S lateral + S principal
Una pirámide se dice correcta si:
- su base es un polígono regular;
- el segmento que conecta la cima de la pirámide con el centro de la base es su altura.
Explicación utilizando el ejemplo de una pirámide cuadrangular regular.
Considere una pirámide cuadrangular regular PABCD(Figura 3).
R- la cima de la pirámide. Base de la pirámide ABCD- un cuadrilátero regular, es decir, un cuadrado. Punto ACERCA DE, el punto de intersección de las diagonales, es el centro del cuadrado. Medio, RO es la altura de la pirámide.
Arroz. 3
Explicación: en lo correcto norte En un triángulo coinciden el centro del círculo inscrito y el centro del círculo circunstante. Este centro se llama centro del polígono. A veces dicen que el vértice se proyecta hacia el centro.
La altura de la cara lateral de una pirámide regular trazada desde su vértice se llama apotema y es designado Ja.
1. todas las aristas laterales de una pirámide regular son iguales;
2. Las caras laterales son triángulos isósceles iguales.
Demostraremos estas propiedades usando el ejemplo de una pirámide cuadrangular regular.
Dado: PABCD- pirámide cuadrangular regular,
ABCD- cuadrado,
RO- altura de la pirámide.
Probar:
1. RA = PB = RS = PD
2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Ver Fig. 4.
Arroz. 4
Prueba.
RO- altura de la pirámide. Es decir, recto RO perpendicular al plano abecedario, y por lo tanto directo JSC, VO, SO Y HACER acostado en él. entonces triangulos ROA, ROV, ROS, VARILLA- rectangular.
Considere un cuadrado ABCD. De las propiedades de un cuadrado se deduce que AO = VO = CO = HACER.
Entonces los triángulos rectángulos ROA, ROV, ROS, VARILLA pierna RO- general y piernas JSC, VO, SO Y HACER son iguales, lo que significa que estos triángulos son iguales en dos lados. De la igualdad de triángulos se sigue la igualdad de segmentos, RA = PB = RS = PD. El punto 1 ha sido probado.
Segmentos AB Y Sol son iguales porque son lados de un mismo cuadrado, RA = PB = RS. entonces triangulos AVR Y VSR - isósceles e iguales en tres lados.
De manera similar encontramos que los triángulos ABP, VCP, CDP, DAP son isósceles e iguales, como se requiere demostrar en el párrafo 2.
El área de la superficie lateral de una pirámide regular es igual a la mitad del producto del perímetro de la base por la apotema:
Para demostrar esto, elijamos una pirámide triangular regular.
Dado: RAVS- pirámide triangular regular.
AB = BC = CA.
RO- altura.
Probar: 
. Ver Fig. 5.
Arroz. 5
Prueba.
RAVS- pirámide triangular regular. Eso es AB= CA = antes de Cristo. Dejar ACERCA DE- centro del triángulo abecedario, Entonces RO es la altura de la pirámide. En la base de la pirámide se encuentra un triángulo equilátero abecedario. Tenga en cuenta que 
.
Triangulos RAV, RVS, RSA- triángulos isósceles iguales (por propiedad). Una pirámide triangular tiene tres caras laterales: RAV, RVS, RSA. Esto significa que el área de la superficie lateral de la pirámide es:
Lado S = 3S CRUDO
El teorema ha sido demostrado.
El radio de un círculo inscrito en la base de una pirámide cuadrangular regular es de 3 m, la altura de la pirámide es de 4 m. Encuentre el área de la superficie lateral de la pirámide.
Dado: pirámide cuadrangular regular ABCD,
ABCD- cuadrado,
r= 3 metros,
RO- altura de la pirámide,
RO= 4 metros.
Encontrar: lado S. Ver Fig. 6.
Arroz. 6
Solución.
Según el teorema demostrado, .
Primero encontremos el lado de la base. AB. Sabemos que el radio de un círculo inscrito en la base de una pirámide cuadrangular regular es de 3 m.
Entonces, m.
Encuentra el perímetro del cuadrado. ABCD con un lado de 6 m:
Considere un triángulo BCD. Dejar METRO- medio del lado corriente continua. Porque ACERCA DE- medio BD, Eso 
(metro).
Triángulo DPC- isósceles. METRO- medio corriente continua. Eso es, RM- mediana y, por tanto, altura en el triángulo DPC. Entonces RM- apotema de la pirámide.
RO- altura de la pirámide. Entonces, directamente RO perpendicular al plano abecedario, y por lo tanto directo om, acostado en él. Encontremos la apotema RM de triangulo rectángulo memoria de sólo lectura.
Ahora podemos encontrar superficie lateral pirámides:
Respuesta: 60 m2.
El radio del círculo circunscrito alrededor de la base de una pirámide triangular regular es igual a m El área de la superficie lateral es 18 m 2. Encuentra la longitud de la apotema.
Dado: ABCP- pirámide triangular regular,
AB = BC = SA,
R= metro,
Lado S = 18 m2.
Encontrar: . Ver Fig. 7.
Arroz. 7
Solución.
en un triangulo rectángulo abecedario Se da el radio del círculo circunscrito. busquemos un lado AB este triángulo usando la ley de los senos.
Conociendo el lado de un triángulo regular (m), encontramos su perímetro.
Por el teorema del área de la superficie lateral de una pirámide regular, donde Ja- apotema de la pirámide. Entonces:
Respuesta: 4 metros.
Entonces, vimos qué es una pirámide, qué es una pirámide regular y demostramos el teorema sobre la superficie lateral de una pirámide regular. En la próxima lección nos familiarizaremos con la pirámide truncada.
Referencias
- Geometría. Grados 10-11: libro de texto para estudiantes de instituciones de educación general (básica y niveles de perfil) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5ª ed., rev. y adicional - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: enfermo.
- Geometría. 10-11 grado: Libro de texto para educación general. instituciones educativas/ Sharygin I.F. - M.: Avutarda, 1999. - 208 p.: enfermo.
- Geometría. Grado 10: Libro de texto para instituciones de educación general con estudio profundo y especializado de matemáticas /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6ª ed., estereotipo. - M.: Avutarda, 008. - 233 p.: enfermo.
- Portal de Internet "Yaklass" ()
- Portal de Internet “Festival de ideas pedagógicas “Primero de Septiembre” ()
- Portal de Internet “Slideshare.net” ()
Tarea
- ¿Puede un polígono regular ser la base de una pirámide irregular?
- Demuestre que las aristas disjuntas de una pirámide regular son perpendiculares.
- Encuentre el valor del ángulo diédrico en el lado de la base de una pirámide cuadrangular regular si la apotema de la pirámide es igual al lado de su base.
- RAVS- pirámide triangular regular. Construye el ángulo lineal del ángulo diédrico en la base de la pirámide.
Definición
Pirámide es un poliedro compuesto por un polígono \(A_1A_2...A_n\) y \(n\) triángulos con un vértice común \(P\) (que no se encuentra en el plano del polígono) y lados opuestos a él, coincidiendo con el lados del polígono.
Designación: \(PA_1A_2...A_n\) .
Ejemplo: pirámide pentagonal \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .
Triángulos \(PA_1A_2, \PA_2A_3\), etc. son llamados caras laterales pirámides, segmentos \(PA_1, PA_2\), etc. – costillas laterales, polígono \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – base, punto \(P\) – arriba.
Altura Las pirámides son una perpendicular que desciende desde la cima de la pirámide hasta el plano de la base.
Una pirámide con un triángulo en su base se llama tetraedro.
La pirámide se llama correcto, si su base es un polígono regular y se cumple una de las siguientes condiciones:
\((a)\) los bordes laterales de la pirámide son iguales;
\((b)\) la altura de la pirámide pasa por el centro del círculo circunscrito cerca de la base;
\((c)\) las nervaduras laterales están inclinadas con respecto al plano de la base en el mismo ángulo.
\((d)\) las caras laterales están inclinadas con respecto al plano de la base en el mismo ángulo.
tetraedro regular Es una pirámide triangular, todas cuyas caras son triángulos equiláteros iguales.
Teorema
Las condiciones \((a), (b), (c), (d)\) son equivalentes.
Prueba
Encontremos la altura de la pirámide \(PH\) . Sea \(\alpha\) el plano de la base de la pirámide.
1) Demostremos que \((a)\) implica \((b)\) . Sea \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
Porque \(PH\perp \alpha\), entonces \(PH\) es perpendicular a cualquier línea que se encuentre en este plano, lo que significa que los triángulos son rectángulos. Esto significa que estos triángulos son iguales en el cateto común \(PH\) y la hipotenusa \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Esto significa \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Esto significa que los puntos \(A_1, A_2, ..., A_n\) están a la misma distancia del punto \(H\), por lo tanto, se encuentran en el mismo círculo con el radio \(A_1H\). Este círculo, por definición, está circunscrito al polígono \(A_1A_2...A_n\) .
2) Demostremos que \((b)\) implica \((c)\) .
\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) rectangulares e iguales sobre dos patas. Esto significa que sus ángulos también son iguales, por lo tanto, \(\ángulo PA_1H=\ángulo PA_2H=...=\ángulo PA_nH\).
3) Demostremos que \((c)\) implica \((a)\) .
Similar al primer punto, los triángulos \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) rectangular tanto a lo largo del cateto como en ángulo agudo. Esto significa que sus hipotenusas también son iguales, es decir, \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
4) Demostremos que \((b)\) implica \((d)\) .
Porque en un polígono regular coinciden los centros de los círculos circunscritos e inscritos (en general, este punto se llama centro de un polígono regular), entonces \(H\) es el centro del círculo inscrito. Dibujemos perpendiculares desde el punto \(H\) a los lados de la base: \(HK_1, HK_2\), etc. Estos son los radios del círculo inscrito (por definición). Entonces, según TTP (\(PH\) es una perpendicular al plano, \(HK_1, HK_2\), etc. son proyecciones perpendiculares a los lados) inclinadas \(PK_1, PK_2\), etc. perpendicular a los lados \(A_1A_2, A_2A_3\), etc. respectivamente. Entonces, por definición \(\ángulo PK_1H, \ángulo PK_2H\) iguales a los ángulos entre las caras laterales y la base. Porque triángulos \(PK_1H, PK_2H, ...\) son iguales (como rectangulares en dos lados), entonces los ángulos \(\ángulo PK_1H, \ángulo PK_2H, ...\) son iguales.
5) Demostremos que \((d)\) implica \((b)\) .
Similar al cuarto punto, los triángulos \(PK_1H, PK_2H, ...\) son iguales (como rectangulares a lo largo del cateto y ángulo agudo), lo que significa que los segmentos \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) son igual. Esto significa, por definición, \(H\) es el centro de un círculo inscrito en la base. Pero porque Para polígonos regulares, los centros de los círculos inscritos y circunscritos coinciden, entonces \(H\) es el centro del círculo circunscrito. Chtd.
Consecuencia
Las caras laterales de una pirámide regular son triángulos isósceles iguales.
Definición
La altura de la cara lateral de una pirámide regular trazada desde su vértice se llama apotema.
Las apotemas de todas las caras laterales de una pirámide regular son iguales entre sí y también son medianas y bisectrices.
Notas importantes
1. La altura de una pirámide triangular regular cae en el punto de intersección de las alturas (o bisectrices o medianas) de la base (la base es un triángulo regular).
2. La altura de una pirámide cuadrangular regular cae en el punto de intersección de las diagonales de la base (la base es un cuadrado).
3. La altura es correcta pirámide hexagonal cae en el punto de intersección de las diagonales de la base (la base es un hexágono regular).
4. La altura de la pirámide es perpendicular a cualquier línea recta que se encuentre en la base.
Definición
La pirámide se llama rectangular, si uno de sus bordes laterales es perpendicular al plano de la base.
Notas importantes
1. En una pirámide rectangular, el borde perpendicular a la base es la altura de la pirámide. Es decir, \(SR\) es la altura.
2. Porque \(SR\) es perpendicular a cualquier línea desde la base, entonces \(\triángulo SRM, \triángulo SRP\)– triángulos rectángulos.
3. Triángulos \(\triángulo SRN, \triángulo SRK\)- también rectangular.
Es decir, cualquier triángulo formado por esta arista y la diagonal que sale del vértice de esta arista situada en la base será rectangular.
\[(\Large(\text(Volumen y superficie de la pirámide)))\]
Teorema
El volumen de la pirámide es igual a un tercio del producto del área de la base por la altura de la pirámide: \
Consecuencias
Sea \(a\) el lado de la base, \(h\) la altura de la pirámide.
1. El volumen de una pirámide triangular regular es \(V_(\text(triángulo rectángulo.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),
2. El volumen de una pirámide cuadrangular regular es \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).
3. El volumen de una pirámide hexagonal regular es \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).
4. El volumen de un tetraedro regular es \(V_(\text(tetr. derecha))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).
Teorema
El área de la superficie lateral de una pirámide regular es igual a la mitad del producto del perímetro de la base por la apotema.
\[(\Grande(\text(Frustum)))\]
Definición
Considere una pirámide arbitraria \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Dibujemos un plano paralelo a la base de la pirámide que pase por un cierto punto que se encuentra en el borde lateral de la pirámide. Este plano dividirá la pirámide en dos poliedros, uno de los cuales es una pirámide (\(PB_1B_2...B_n\)), y el otro se llama pirámide truncada(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\)).
La pirámide truncada tiene dos bases: los polígonos \(A_1A_2...A_n\) y \(B_1B_2...B_n\) que son similares entre sí.
La altura de una pirámide truncada es una perpendicular trazada desde algún punto de la base superior al plano de la base inferior.
Notas importantes
1. Todas las caras laterales de una pirámide truncada son trapecios.
2. El segmento que conecta los centros de las bases de una pirámide truncada regular (es decir, una pirámide obtenida por sección transversal de una pirámide regular) es la altura.
Introducción
Cuando empezamos a estudiar figuras estereométricas, tocamos el tema "Pirámide". Nos gustó este tema porque la pirámide se usa muy a menudo en arquitectura. Y desde el nuestro profesión futura Arquitecta, inspirándonos en esta figura, pensamos que ella puede impulsarnos hacia grandes proyectos.
La fuerza de las estructuras arquitectónicas es su cualidad más importante. Al vincular la resistencia, en primer lugar, con los materiales a partir de los cuales se crean y, en segundo lugar, con las características de las soluciones de diseño, resulta que la resistencia de una estructura está directamente relacionada con la forma geométrica que le es básica.
En otras palabras, estamos hablando de aquella figura geométrica que puede considerarse como modelo de la correspondiente. forma arquitectónica. Resulta que la forma geométrica también determina la fuerza de una estructura arquitectónica.
Desde la antigüedad, las pirámides de Egipto han sido consideradas las estructuras arquitectónicas más duraderas. Como sabes, tienen la forma de pirámides cuadrangulares regulares.
Es esta forma geométrica la que proporciona la mayor estabilidad debido a la gran superficie de la base. Por otro lado, la forma piramidal asegura que la masa disminuye a medida que aumenta la altura sobre el suelo. Son estas dos propiedades las que hacen que la pirámide sea estable y, por lo tanto, fuerte en condiciones de gravedad.
Objetivo del proyecto: aprenda algo nuevo sobre las pirámides, profundice sus conocimientos y encuentre aplicaciones prácticas.
Para lograr este objetivo, fue necesario resolver las siguientes tareas:
· Aprender información histórica sobre la pirámide.
· Considere la pirámide como figura geométrica
· Encuentra aplicación en la vida y la arquitectura.
· Encuentra las similitudes y diferencias entre las pirámides ubicadas en diferentes partes sveta
parte teorica
Información histórica
El comienzo de la geometría de la pirámide se estableció en el Antiguo Egipto y Babilonia, pero se desarrolló activamente en Grecia antigua. El primero en establecer el volumen de la pirámide fue Demócrito, y Eudoxo de Cnido lo demostró. El antiguo matemático griego Euclides sistematizó el conocimiento sobre la pirámide en Volumen XII de sus “Principios”, y también derivó la primera definición de pirámide: una figura corporal delimitada por planos que convergen de un plano a un punto.
Tumbas de faraones egipcios. Las más grandes de ellas, las pirámides de Keops, Khafre y Mikerin en El Giza, fueron consideradas en la antigüedad una de las Siete Maravillas del Mundo. La construcción de la pirámide, en la que griegos y romanos ya vieron un monumento al orgullo sin precedentes de los reyes y a la crueldad que condenó a todo el pueblo de Egipto a una construcción sin sentido, fue el acto de culto más importante y se suponía que expresaba, aparentemente, la identidad mística del país y su gobernante. La población del país trabajó en la construcción de la tumba durante la parte del año libre de trabajos agrícolas. Varios textos atestiguan la atención y el cuidado que los propios reyes (aunque de época posterior) prestaron a la construcción de su tumba y a sus constructores. También se sabe sobre los honores de culto especiales que se otorgaban a la propia pirámide.
Conceptos básicos
Pirámide Se llama poliedro cuya base es un polígono, y el resto de caras son triángulos que tienen un vértice común.
Apotema- la altura de la cara lateral de una pirámide regular, extraída de su vértice;
caras laterales- triángulos que se encuentran en un vértice;
costillas laterales- lados comunes de las caras laterales;
Cima de la pirámide- un punto que conecta las nervaduras laterales y que no se encuentra en el plano de la base;
Altura- un segmento perpendicular dibujado a través de la cima de la pirámide hasta el plano de su base (los extremos de este segmento son la cima de la pirámide y la base de la perpendicular);
Sección diagonal de una pirámide.- sección de la pirámide que pasa por la cima y la diagonal de la base;
Base- un polígono que no pertenece al vértice de la pirámide.
Propiedades básicas de una pirámide regular.
Las aristas laterales, las caras laterales y las apotemas son respectivamente iguales.
Los ángulos diédricos en la base son iguales.
Los ángulos diédricos en los bordes laterales son iguales.
Cada punto de altura equidista de todos los vértices de la base.
Cada punto de altura es equidistante de todas las caras laterales.
Fórmulas piramidales básicas
El área de la superficie lateral y total de la pirámide.
El área de la superficie lateral de una pirámide (llena y truncada) es la suma de las áreas de todas sus caras laterales, el área de la superficie total es la suma de las áreas de todas sus caras.
Teorema: El área de la superficie lateral de una pirámide regular es igual a la mitad del producto del perímetro de la base por la apotema de la pirámide.
pag- perímetro de la base;
h- apotema.
El área de las superficies lateral y completa de una pirámide truncada.
página 1, pag 2 - perímetros de la base;
h- apotema.
R- superficie total de una pirámide truncada regular;
lado S- área de la superficie lateral de una pirámide truncada regular;
S 1 + S 2- área base
Volumen de la pirámide
Forma El volumen ula se utiliza para pirámides de cualquier tipo.
h- altura de la pirámide.
Esquinas de la pirámide
Los ángulos formados por la cara lateral y la base de la pirámide se llaman ángulos diédricos en la base de la pirámide.
Un ángulo diédrico está formado por dos perpendiculares.
Para determinar este ángulo, a menudo es necesario utilizar el teorema de las tres perpendiculares..
Los ángulos formados por el borde lateral y su proyección sobre el plano de la base se llaman Ángulos entre el borde lateral y el plano de la base..
El ángulo formado por dos aristas laterales se llama ángulo diédrico en el borde lateral de la pirámide.
El ángulo formado por dos aristas laterales de una cara de la pirámide se llama ángulo en la cima de la pirámide.
Secciones piramidales
La superficie de una pirámide es la superficie de un poliedro. Cada una de sus caras es un plano, por lo que la sección de una pirámide definida por un plano cortante es línea quebrada, que consta de líneas rectas individuales.
sección diagonal
La sección de una pirámide por un plano que pasa por dos aristas laterales que no se encuentran en la misma cara se llama sección diagonal pirámides.
Secciones paralelas
Teorema:
Si la pirámide es intersecada por un plano paralelo a la base, entonces los bordes laterales y las alturas de la pirámide se dividen por este plano en partes proporcionales;
La sección de este plano es un polígono similar a la base;
Las áreas de la sección y la base están relacionadas entre sí como los cuadrados de sus distancias al vértice.
Tipos de pirámide
Pirámide correcta– una pirámide cuya base es un polígono regular y la cima de la pirámide se proyecta hacia el centro de la base.
Para una pirámide regular:
1. las costillas laterales son iguales
2. las caras laterales son iguales
3. las apotemas son iguales
4. los ángulos diédricos en la base son iguales
5. Los ángulos diédricos en los bordes laterales son iguales.
6. cada punto de altura es equidistante de todos los vértices de la base
7. cada punto de altura es equidistante de todos los bordes laterales
Pirámide truncada- parte de la pirámide encerrada entre su base y un plano cortante paralelo a la base.
La base y la sección correspondiente de una pirámide truncada se llaman bases de una pirámide truncada.
La perpendicular trazada desde cualquier punto de una base al plano de otra se llama la altura de una pirámide truncada.
Tareas
N° 1. En una pirámide cuadrangular regular, el punto O es el centro de la base, SO=8 cm, BD=30 cm Encuentra el borde lateral SA.
resolución de problemas
N° 1. En una pirámide regular, todas las caras y aristas son iguales.
Considere OSB: OSB es un rectángulo rectangular, porque.
SB 2 = ASI 2 + OB 2
SB 2 =64+225=289
Pirámide en arquitectura
Una pirámide es una estructura monumental en forma de pirámide geométrica regular ordinaria, en la que los lados convergen en un punto. Según su finalidad funcional, las pirámides en la antigüedad eran lugares de entierro o culto. La base de una pirámide puede ser triangular, cuadrangular o tener forma de polígono con un número arbitrario de vértices, pero la versión más común es la base cuadrangular.
Conocido una cantidad considerable pirámides construidas por diferentes culturas mundo antiguo principalmente como templos o monumentos. Las pirámides grandes incluyen las pirámides egipcias.
En toda la Tierra se pueden ver estructuras arquitectónicas en forma de pirámides. Los edificios piramidales recuerdan a la antigüedad y tienen un aspecto muy bonito.
pirámides egipcias mayores monumentos arquitectónicos Antiguo Egipto, entre las cuales una de las “Siete Maravillas del Mundo” es la Pirámide de Keops. Desde el pie hasta la cima alcanza los 137,3 m, y antes de perder la cima su altura era de 146,7 m.
El edificio de la estación de radio en la capital de Eslovaquia, que se asemeja a una pirámide invertida, fue construido en 1983. Además de las oficinas y locales de servicio, dentro del volumen hay un espacio bastante espacioso. sala de conciertos, que tiene uno de los órganos más grandes de Eslovaquia.
El Louvre, que es “silencioso, inmutable y majestuoso, como una pirámide”, ha sufrido muchos cambios a lo largo de los siglos antes de convertirse en el museo más grande del mundo. Nació como una fortaleza, erigida por Felipe Augusto en 1190, que pronto se convirtió en residencia real. En 1793 el palacio se convirtió en museo. Las colecciones se enriquecen mediante legados o compras.
