Dibujo de un trapezoide rectangular. Trapecio rectangular: todas las fórmulas y problemas de ejemplo.

Los problemas de trapecio no parecen difíciles en varias formas que se han estudiado anteriormente. Cómo caso especial Se considera un trapezoide rectangular. Y a la hora de buscar su área, a veces es más conveniente dividirla en dos ya familiares: un rectángulo y un triángulo. Sólo tienes que pensar un poco y seguro que encontrarás una solución.

Definición de trapezoide rectangular y sus propiedades.

Un trapezoide arbitrario tiene bases paralelas y los lados pueden tener ángulos arbitrarios. Si consideramos un trapezoide rectangular, entonces uno de sus lados siempre es perpendicular a las bases. Es decir, dos ángulos en él serán iguales a 90 grados. Además, siempre pertenecen a vértices adyacentes o, en otras palabras, al mismo lado.

Cada diagonal forma un triángulo rectángulo con su lado menor. Y la altura, que se traza desde un vértice de ángulo obtuso, divide la figura en dos. Uno de ellos es un rectángulo y el otro es un triángulo rectángulo. Por cierto, este lado siempre es igual a la altura del trapezoide.

¿Qué notaciones se utilizan en las fórmulas presentadas?

Es conveniente especificar inmediatamente todas las cantidades utilizadas en las diferentes expresiones que describen un trapezoide y presentarlas en una tabla:

Fórmulas que describen los elementos de un trapezoide rectangular.

El más simple de ellos relaciona la altura y el lado menor:

Algunas fórmulas más para este lado de un trapezoide rectangular:

ñ = d *senα;

c = (a - b) * tan α;

c = √ (d 2 - (a - b) 2).

La primera se desprende de triángulo rectángulo. Y dice que el cateto de la hipotenusa da el seno del ángulo opuesto.

En un mismo triángulo, el segundo cateto es igual a la diferencia de las dos bases. Por tanto, la afirmación que iguala la tangente de un ángulo con la razón de los catetos es verdadera.

Del mismo triángulo se puede derivar una fórmula basada en el conocimiento del teorema de Pitágoras. Esta es la tercera expresión registrada.

d = (a - b) /cosα;

d = c / sen α;

re = √ (c 2 + (a - b) 2).

Los dos primeros se obtienen nuevamente a partir de la razón de los lados del mismo triángulo rectángulo, y el segundo se deriva del teorema de Pitágoras.

¿Qué fórmula puedes usar para calcular el área?

El dado para el trapezoide libre. Solo hay que tener en cuenta que la altura es el lado perpendicular a las bases.

S = (a + b) * h / 2.

Estas cantidades no siempre se dan explícitamente. Por lo tanto, para calcular el área de un trapecio rectangular, necesitarás realizar algunos cálculos matemáticos.

¿Qué pasa si necesitas calcular diagonales?

En este caso, debes ver que forman dos triángulos rectángulos. Esto significa que siempre puedes usar el teorema de Pitágoras. Entonces la primera diagonal quedará expresada de la siguiente manera:

d1 = √ (c 2 + segundo 2)

o de otra forma, reemplazando “c” por “h”:

d1 = √ (h 2 + segundo 2).

Las fórmulas para la segunda diagonal se obtienen de forma similar:

d2 = √ (c 2 + segundo 2) o d 2 = √ (h 2 + a 2).

Tarea número 1

Condición. El área de un trapecio rectangular es conocida y es igual a 120 dm 2. Su altura tiene una longitud de 8 cm. Es necesario calcular todos los lados del trapezoide. Una condición adicional es que una base sea 6 dm más pequeña que la otra.

Solución. Como nos dan un trapecio rectangular del que se conoce la altura, podemos decir inmediatamente que uno de los lados mide 8 dm, es decir, el lado menor.

Ahora puedes contar el otro: d = √ (c 2 + (a - b) 2). Además, aquí tanto el lado c como la diferencia de bases se dan a la vez. Este último es igual a 6 dm, esto se sabe por la condición. Entonces d será igual a la raíz cuadrada de (64 + 36), es decir, de 100. Así se encuentra otro lado, igual a 10 dm.

La suma de las bases se puede encontrar a partir de la fórmula del área. Será igual al doble del área dividida por la altura. Si cuentas, resulta 240/8. Esto significa que la suma de las bases es 30 dm. Por otra parte su diferencia es de 6 dm. Combinando estas ecuaciones, puedes contar ambas bases:

a + b = 30 y a - b = 6.

Puedes expresar a como (b + 6), sustitúyelo en la primera igualdad. Entonces resulta que 2b será igual a 24. Por lo tanto, simplemente b resultará ser 12 dm.

Entonces el último lado a mide 18 dm.

Respuesta. Lados de un trapezoide rectangular: a = 18 dm, b = 12 dm, c = 8 dm, d = 10 dm.

Tarea número 2

Condición. Dado un trapezoide rectangular. Su lado mayor es igual a la suma de las bases. Su altura es de 12 cm de largo. Se construye un rectángulo cuyos lados son iguales a las bases del trapezoide. Es necesario calcular el área de este rectángulo.

Solución. Debes comenzar con lo que estás buscando. El área requerida se determina como el producto de a y b. Ambas cantidades son desconocidas.

Será necesario utilizar igualdades adicionales. Uno de ellos se basa en el enunciado de la condición: d = a + b. Es necesario utilizar la tercera fórmula para este lado, que se proporciona arriba. Resulta: d 2 = c 2 + (a - b) 2 o (a + b) 2 = c 2 + (a - b) 2.

Es necesario hacer transformaciones sustituyendo en lugar de c su valor de la condición - 12. Después de abrir los corchetes y traer términos similares, resulta que 144 = 4 ab.

Al principio de la solución se dijo que a*b da el área requerida. Por lo tanto, en la última expresión puedes reemplazar este producto con S. Un cálculo simple dará el valor del área. S = 36cm2.

Respuesta. El área requerida es 36 cm 2.

Tarea número 3

Condición. El área de un trapezoide rectangular es 150√3 cm². Un ángulo agudo mide 60 grados. El ángulo entre la base pequeña y la diagonal más pequeña tiene el mismo significado. Necesitamos calcular la diagonal más pequeña.

Solución. De las propiedades de los ángulos de un trapezoide se desprende que su ángulo obtuso es de 120º. Luego la diagonal lo divide en partes iguales, porque una parte ya tiene 60 grados. Entonces el ángulo entre esta diagonal y la segunda base también es de 60 grados. Es decir, un triángulo formado por una base grande, un lado inclinado y una diagonal más pequeña es equilátero. Por tanto, la diagonal deseada será igual a a, así como el lado lateral d = a.

Ahora debemos considerar un triángulo rectángulo. El tercer ángulo es de 30 grados. Esto significa que el cateto opuesto es igual a la mitad de la hipotenusa. Es decir, la base más pequeña del trapezoide es igual a la mitad de la diagonal deseada: b = a/2. A partir de ahí necesitas encontrar la altura igual al lado perpendicular a las bases. El lado con la pierna aquí. Del teorema de Pitágoras:

c = (a/2) * √3.

Ahora solo queda sustituir todas las cantidades en la fórmula del área:

150√3 = (a + a/2) * (a/2 * √3) / 2.

Al resolver esta ecuación se obtiene la raíz de 20.

Respuesta. La diagonal más pequeña tiene una longitud de 20 cm.

En la vida nos encontramos con bastante frecuencia con una forma parecida a un trapezoide. Por ejemplo, cualquier puente que esté hecho de bloques de hormigón es un ejemplo brillante. Se puede considerar una opción más clara. direccion todos vehículo Etcétera. Las propiedades de la figura se conocían en Antigua Grecia , que Aristóteles describió con más detalle en su obra científica “Elementos”. Y el conocimiento desarrollado hace miles de años sigue siendo relevante hoy. Por tanto, echémosle un vistazo más de cerca.

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Conceptos básicos

Foto 1. Forma clásica trapecios.

Un trapezoide es esencialmente un cuadrilátero que consta de dos segmentos paralelos y otros dos segmentos que no son paralelos. Cuando se habla de esta figura, siempre es necesario recordar conceptos como: base, altura y línea media. Dos segmentos de un cuadrilátero que se llaman bases entre sí (segmentos AD y BC). La altura es el segmento perpendicular a cada una de las bases (EH), es decir se cruzan en un ángulo de 90° (como se muestra en la Fig. 1).

Si sumamos todas las medidas internas en grados, entonces la suma de los ángulos del trapezoide será igual a 2π (360°), como la de cualquier cuadrilátero. Un segmento cuyos extremos son los puntos medios de los lados (IF) llamada línea media. La longitud de este segmento es la suma de las bases BC y AD dividida por 2.

Hay tres tipos figura geométrica: recta, regular y equilátera. Si al menos un ángulo en los vértices de la base es recto (por ejemplo, si ABD = 90°), entonces dicho cuadrilátero se llama trapecio recto. Si los segmentos laterales son iguales (AB y CD), entonces se llama isósceles (en consecuencia, los ángulos en las bases son iguales).

Cómo encontrar el área

Para eso, para encontrar el área de un cuadrilátero ABCD utiliza la siguiente fórmula:

Figura 2. Resolviendo el problema de encontrar un área.

Para más ejemplo claro Resolvamos un problema fácil. Por ejemplo, supongamos que las bases superior e inferior midan 16 y 44 cm, respectivamente, y los lados, 17 y 25 cm. Construyamos un segmento perpendicular desde el vértice D de modo que DE II BC (como se muestra en la Figura 2). De aquí entendemos eso

Sea DF. De ΔADE (que será isósceles), obtenemos lo siguiente:

Es decir, por decirlo en lenguaje sencillo, primero encontramos la altura ΔADE, que también es la altura del trapezoide. A partir de aquí calculamos, mediante la fórmula ya conocida, el área del cuadrilátero ABCD, con ya valor conocido altura DF.

Por tanto, el área requerida ABCD es 450 cm³. Es decir, podemos decir con seguridad que para Para calcular el área de un trapezoide solo necesitas la suma de las bases y la longitud de la altura.

¡Importante! Al resolver el problema, no es necesario encontrar el valor de las longitudes por separado; es bastante aceptable si se utilizan otros parámetros de la figura que, con la prueba adecuada, serán iguales a la suma de las bases.

Tipos de trapecios

Dependiendo de los lados que tenga la figura y de los ángulos que se formen en las bases, existen tres tipos de cuadriláteros: rectangulares, impares e isósceles.

Versátil

Hay dos formas: agudo y obtuso. ABCD es agudo sólo si los ángulos de la base (AD) son agudos y las longitudes de los lados son diferentes. Si el valor de un ángulo es mayor que Pi/2 (la medida en grados es mayor que 90°), entonces obtenemos un ángulo obtuso.

Si los lados tienen la misma longitud

Figura 3. Vista de un trapezoide isósceles

Si los lados no paralelos tienen la misma longitud, entonces ABCD se llama isósceles (regular). Además, en tal cuadrilátero la medida en grados de los ángulos en la base es la misma, su ángulo siempre será menor que un ángulo recto. Es por ello que una línea isósceles nunca se divide en aguda y obtusa. Un cuadrilátero de esta forma tiene sus propias diferencias específicas, que incluyen:

1. Los segmentos que conectan vértices opuestos son iguales.
2. Los ángulos agudos con una base más grande son 45° (ejemplo ilustrativo en la Figura 3).
3. Si sumas los grados de los ángulos opuestos, suman 180°.
4. Puedes construir alrededor de cualquier trapecio regular.
5. Si sumas la medida en grados de los ángulos opuestos, es igual a π.

Además, debido a su disposición geométrica de puntos, existen propiedades básicas Trapecio isósceles :

Valor del ángulo en la base 90°

La perpendicularidad del lado de la base es una característica amplia del concepto de "trapezoide rectangular". No puede haber dos lados con esquinas en la base, porque sino ya será un rectángulo. En cuadriláteros de este tipo, el segundo lado siempre formará un ángulo agudo con la base mayor, y un ángulo obtuso con la menor. En este caso, el lado perpendicular también será la altura.

El segmento entre los medios de las paredes laterales.

Si conectamos los puntos medios de los lados y el segmento resultante es paralelo a las bases e igual en longitud a la mitad de su suma, entonces la línea recta resultante será la línea media. El valor de esta distancia se calcula mediante la fórmula:

Para un ejemplo más claro, considere un problema que utiliza una línea central.

Tarea. La línea media del trapecio mide 7 cm; se sabe que uno de los lados es 4 cm más grande que el otro (Fig. 4). Encuentra las longitudes de las bases.

Figura 4. Resolviendo el problema de encontrar las longitudes de las bases.

Solución. Sea la base más pequeña DC igual a x cm, entonces la base más grande será igual a (x+4) cm, respectivamente. De aquí, usando la fórmula para la línea media de un trapezoide, obtenemos:

Resulta que la base DC más pequeña mide 5 cm y la más grande mide 9 cm.

¡Importante! El concepto de línea media es clave para resolver muchos problemas de geometría. A partir de su definición se construyen muchas pruebas de otras figuras. Usando el concepto en la práctica, quizás más decision racional y busque el valor requerido.

Determinación de la altura y formas de encontrarla.

Como se señaló anteriormente, la altura es un segmento que corta las bases en un ángulo de 2Pi/4 y es la distancia más corta entre ellas. Antes de encontrar la altura del trapezoide, es necesario determinar qué valores de entrada se dan. Para una mejor comprensión, veamos el problema. Calcula la altura del trapezoide siempre que las bases miden 8 y 28 cm, los lados miden 12 y 16 cm, respectivamente.

Figura 5. Resolviendo el problema de encontrar la altura de un trapezoide.

Dibujemos los segmentos DF y CH en ángulo recto con la base AD. Según la definición, cada uno de ellos tendrá la altura de un trapecio dado (Fig. 5). En este caso, conociendo la longitud de cada pared lateral, utilizando el teorema de Pitágoras, encontraremos a qué es igual la altura en los triángulos AFD y BHC.

La suma de los segmentos AF y HB es igual a la diferencia de las bases, es decir:

Sea la longitud AF igual a x cm, entonces la longitud del segmento HB= (20 – x) cm. Según quedó establecido, DF=CH, de aquí.

Entonces obtenemos la siguiente ecuación:

Resulta que el segmento AF en el triángulo AFD es igual a 7,2 cm, a partir de aquí calculamos la altura del trapezoide DF usando el mismo teorema de Pitágoras:

Aquellos. la altura del trapezoide ADCB será igual a 9,6 cm. ¿Cómo puedes estar seguro de que calcular la altura es un proceso más mecánico y se basa en calcular los lados y ángulos de los triángulos? Pero, en una serie de problemas de geometría, sólo se pueden conocer los grados de los ángulos, en cuyo caso los cálculos se realizarán a través de la relación de los lados de los triángulos internos.

¡Importante! En esencia, a menudo se piensa en un trapezoide como dos triángulos o como una combinación de un rectángulo y un triángulo. Para resolver el 90% de todos los problemas que se encuentran en los libros de texto escolares, se analizan las propiedades y características de estas figuras. La mayoría de las fórmulas para este GMT se derivan a partir de los “mecanismos” para los dos tipos de cifras indicados.

Cómo calcular rápidamente la longitud de la base.

Antes de encontrar la base del trapecio, es necesario determinar qué parámetros ya están dados y cómo utilizarlos racionalmente. Un enfoque práctico es extraer la longitud de la base desconocida de la fórmula de la línea media. Para una comprensión más clara de la imagen, usemos una tarea de ejemplo para mostrar cómo se puede hacer esto. Sepa que la línea media del trapezoide mide 7 cm y una de las bases mide 10 cm. Calcula la longitud de la segunda base.

Solución: Sabiendo que la recta media es igual a la mitad de la suma de las bases, podemos decir que su suma es 14 cm.

(14 cm = 7 cm × 2). Por las condiciones del problema sabemos que uno de ellos mide 10 cm, por lo tanto el lado menor del trapezoide será igual a 4 cm (4 cm = 14 – 10).

Además, para una solución más cómoda a problemas de este tipo, Le recomendamos que aprenda a fondo fórmulas del área del trapezoide como:

• linea intermedia;
• cuadrado;
• altura;
• diagonales.

Conociendo la esencia (precisamente la esencia) de estos cálculos, podrá encontrar fácilmente el valor deseado.

Video: trapezoide y sus propiedades.

Video: características de un trapezoide.

Conclusión

De los ejemplos de problemas considerados, podemos sacar una conclusión simple de que el trapezoide, en términos de problemas de cálculo, es una de las figuras geométricas más simples. Para resolver problemas con éxito, en primer lugar, no debe decidir qué información se conoce sobre el objeto que se describe, en qué fórmulas se pueden aplicar y decidir qué necesita encontrar. Siguiendo este sencillo algoritmo, ninguna tarea que utilice esta figura geométrica resultará sencilla.

En este artículo intentaremos reflejar las propiedades de un trapezoide de la forma más completa posible. En particular, hablaremos de las características y propiedades generales de un trapezoide, así como de las propiedades de un trapezoide inscrito y de un círculo inscrito en un trapezoide. También tocaremos las propiedades de un trapezoide isósceles y rectangular.

Un ejemplo de cómo resolver un problema utilizando las propiedades discutidas le ayudará a comprenderlo mentalmente y a recordar mejor el material.

Trapecio y todo-todo-todo

Para empezar, recordemos brevemente qué es un trapezoide y qué otros conceptos están asociados con él.

Entonces, un trapezoide es una figura cuadrilátera, dos de cuyos lados son paralelos entre sí (estas son las bases). Y los dos no son paralelos: estos son los lados.

En un trapezoide, la altura se puede reducir, perpendicular a las bases. Se dibujan la línea central y las diagonales. También es posible dibujar una bisectriz desde cualquier ángulo del trapezoide.

Ahora hablaremos de las diversas propiedades asociadas a todos estos elementos y sus combinaciones.

Propiedades de las diagonales trapezoidales.

Para que quede más claro, mientras lees, dibuja el trapezoide ACME en una hoja de papel y dibuja diagonales en él.

1. Si encuentras los puntos medios de cada una de las diagonales (llamémoslos puntos X y T) y los conectas, obtendrás un segmento. Una de las propiedades de las diagonales de un trapezoide es que el segmento HT se encuentra en la línea media. Y su longitud se puede obtener dividiendo la diferencia de las bases por dos: ХТ = (a – b)/2.
2. Ante nosotros está el mismo trapezoide ACME. Las diagonales se cruzan en el punto O. Veamos los triángulos AOE y MOK, formados por segmentos de las diagonales junto con las bases del trapezoide. Estos triángulos son similares. El coeficiente de similitud k de triángulos se expresa mediante la relación de las bases del trapezoide: k = AE/KM.
   La relación de las áreas de los triángulos AOE y MOK se describe mediante el coeficiente k 2 .
3. El mismo trapezoide, las mismas diagonales que se cruzan en el punto O. Solo que esta vez consideraremos los triángulos que formaron los segmentos de las diagonales junto con los lados del trapezoide. Las áreas de los triángulos AKO y EMO son iguales en tamaño: sus áreas son iguales.
4. Otra propiedad de un trapezoide implica la construcción de diagonales. Entonces, si continúas los lados de AK y ME en la dirección de la base más pequeña, tarde o temprano se cruzarán en un punto determinado. Luego, dibuja una línea recta que pase por el centro de las bases del trapezoide. Interseca las bases en los puntos X y T.
   Si ahora extendemos la línea XT, conectará el punto de intersección de las diagonales del trapezoide O, el punto en el que se cruzan las extensiones de los lados y la mitad de las bases X y T.
5. A través del punto de intersección de las diagonales dibujaremos un segmento que conectará las bases del trapezoide (T se encuentra en la base más pequeña KM, X en la base más grande AE). El punto de intersección de las diagonales divide este segmento en la siguiente proporción: A/OX = KM/AE.
6. Ahora, por el punto de intersección de las diagonales, trazaremos un segmento paralelo a las bases del trapezoide (a y b). El punto de intersección lo dividirá en dos partes iguales. Puedes encontrar la longitud del segmento usando la fórmula. 2ab/(a+b).

Propiedades de la línea media de un trapecio

Dibuja la línea media en el trapezoide paralela a sus bases.

1. La longitud de la línea media de un trapezoide se puede calcular sumando las longitudes de las bases y dividiéndolas por la mitad: metro = (a + b)/2.
2. Si dibujas cualquier segmento (altura, por ejemplo) a través de ambas bases del trapezoide, la línea media lo dividirá en dos partes iguales.

Propiedad de la bisectriz de un trapecio

Selecciona cualquier ángulo del trapezoide y dibuja una bisectriz. Tomemos, por ejemplo, el ángulo KAE de nuestro trapezoide ACME. Habiendo completado la construcción usted mismo, puede verificar fácilmente que la bisectriz corta de la base (o su continuación en línea recta fuera de la figura misma) un segmento de la misma longitud que el lado.

Propiedades de los ángulos trapezoidales.

1. Cualquiera de los dos pares de ángulos adyacentes al lado que elijas, la suma de los ángulos del par siempre es 180 0: α + β = 180 0 y γ + δ = 180 0.
2. Conectemos los puntos medios de las bases del trapezoide con un segmento TX. Ahora veamos los ángulos en las bases del trapezoide. Si la suma de los ángulos de cualquiera de ellos es 90 0, la longitud del segmento TX se puede calcular fácilmente a partir de la diferencia en las longitudes de las bases, divididas por la mitad: TX = (AE – KM)/2.
3. Si se dibujan líneas paralelas a través de los lados de un ángulo trapezoide, dividirán los lados del ángulo en segmentos proporcionales.

Propiedades de un trapezoide isósceles (equilátero)

1. En un trapezoide isósceles, los ángulos en cualquier base son iguales.
2. Ahora construye un trapezoide nuevamente para que sea más fácil imaginar de qué estamos hablando. Mire cuidadosamente la base AE: el vértice de la base opuesta M se proyecta hacia un cierto punto en la línea que contiene AE. La distancia desde el vértice A hasta el punto de proyección del vértice M y la línea media del trapezoide isósceles son iguales.
3. Algunas palabras sobre la propiedad de las diagonales de un trapecio isósceles: sus longitudes son iguales. Y también los ángulos de inclinación de estas diagonales hacia la base del trapezoide son los mismos.
4. Sólo alrededor de un trapecio isósceles se puede describir un círculo, ya que la suma de los ángulos opuestos de un cuadrilátero es 180 0 - condición requerida para esto.
5. La propiedad de un trapezoide isósceles se desprende del párrafo anterior: si se puede describir un círculo cerca del trapezoide, es isósceles.
6. De las características de un trapezoide isósceles se desprende la propiedad de la altura de un trapezoide: si sus diagonales se cruzan en ángulo recto, entonces la longitud de la altura es igual a la mitad de la suma de las bases: h = (a + b)/2.
7. Nuevamente, dibuja el segmento TX a través de los puntos medios de las bases del trapezoide; en un trapezoide isósceles es perpendicular a las bases. Y al mismo tiempo TX es el eje de simetría de un trapezoide isósceles.
8. Esta vez, baje la altura desde el vértice opuesto del trapezoide hasta la base más grande (llamémosla a). Obtendrás dos segmentos. La longitud de uno se puede encontrar si se suman las longitudes de las bases y se dividen por la mitad: (a+b)/2. El segundo lo obtenemos cuando restamos el más pequeño de la base mayor y dividimos la diferencia resultante entre dos: (a-b)/2.

Propiedades de un trapezoide inscrito en un círculo.

Como ya estamos hablando de un trapezoide inscrito en un círculo, analicemos este tema con más detalle. En particular, dónde está el centro del círculo en relación con el trapezoide. Aquí también es recomendable que te tomes el tiempo de coger un lápiz y dibujar lo que se comenta a continuación. De esta manera entenderás más rápido y recordarás mejor.

1. La ubicación del centro del círculo está determinada por el ángulo de inclinación de la diagonal del trapezoide hacia su lado. Por ejemplo, la diagonal puede extenderse desde la parte superior del trapezoide en ángulo recto hacia el lado. En este caso, la base más grande corta el centro del círculo circunstante exactamente en el centro (R = ½AE).
2. La diagonal y el lado también pueden encontrarse en un ángulo agudo; entonces el centro del círculo está dentro del trapezoide.
3. El centro del círculo circunscrito puede estar fuera del trapezoide, más allá de su base mayor, si existe un ángulo obtuso entre la diagonal del trapezoide y el lado.
4. El ángulo formado por la diagonal y la base grande del trapecio ACME (ángulo inscrito) es la mitad del ángulo central que le corresponde: MAE = ½MOE.
5. Brevemente sobre dos formas de encontrar el radio de un círculo circunscrito. Método uno: mira atentamente tu dibujo, ¿qué ves? Puedes notar fácilmente que la diagonal divide el trapezoide en dos triángulos. El radio se puede encontrar multiplicando por dos la relación entre el lado del triángulo y el seno del ángulo opuesto. Por ejemplo, R = AE/2*senAME. La fórmula se puede escribir de forma similar para cualquiera de los lados de ambos triángulos.
6. Método dos: encuentra el radio del círculo circunscrito a través del área del triángulo formado por la diagonal, el lado y la base del trapezoide: R = SOY*YO*AE/4*S AME.

Propiedades de un trapecio circunscrito a una circunferencia

Puedes encajar un círculo en un trapezoide si se cumple una condición. Lea más sobre esto a continuación. Y en conjunto, esta combinación de figuras tiene una serie de propiedades interesantes.

1. Si un círculo está inscrito en un trapezoide, la longitud de su línea media se puede encontrar fácilmente sumando las longitudes de los lados y dividiendo la suma resultante por la mitad: metro = (c + d)/2.
2. Para el trapezoide ACME, descrito sobre un círculo, la suma de las longitudes de las bases es igual a la suma de las longitudes de los lados: AK + YO = KM + AE.
3. De esta propiedad de las bases de un trapezoide se desprende la afirmación inversa: se puede inscribir una circunferencia en un trapezoide cuya suma de bases sea igual a la suma de sus lados.
4. El punto tangente de una circunferencia de radio r inscrita en un trapezoide divide el lado en dos segmentos, llamémoslos a y b. El radio de un círculo se puede calcular mediante la fórmula: r = √ ab.
5. Y una propiedad más. Para evitar confusiones, dibuja este ejemplo tú mismo también. Tenemos el viejo trapezoide ACME, descrito alrededor de un círculo. Contiene diagonales que se cruzan en el punto O. Los triángulos AOK y EOM formados por los segmentos de las diagonales y los lados laterales son rectangulares.
   Las alturas de estos triángulos, rebajadas hasta las hipotenusas (es decir, los lados laterales del trapezoide), coinciden con los radios del círculo inscrito. Y la altura del trapezoide coincide con el diámetro del círculo inscrito.

Propiedades de un trapecio rectangular

Un trapezoide se dice rectangular si uno de sus ángulos es recto. Y sus propiedades parten de esta circunstancia.

1. Un trapecio rectangular tiene uno de sus lados perpendicular a su base.
2. Altura y lado lateral del trapezoide adyacente a ángulo recto, son iguales. Esto le permite calcular el área de un trapezoide rectangular ( formula general S = (a + b) * h/2) no solo por la altura, sino también por el lado adyacente al ángulo recto.
3. Para un trapezoide rectangular, las propiedades generales de las diagonales del trapezoide ya descritas anteriormente son relevantes.

Evidencia de algunas propiedades del trapezoide.

Igualdad de ángulos en la base de un trapezoide isósceles:

• Probablemente ya hayas adivinado que aquí necesitaremos nuevamente el trapezoide AKME: dibuja un trapezoide isósceles. Traza una línea recta MT desde el vértice M, paralela al lado de AK (MT || AK).

El cuadrilátero AKMT resultante es un paralelogramo (AK || MT, KM || AT). Como ME = KA = MT, ∆ MTE es isósceles y MET = MTE.

Alaska || MT, por lo tanto MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

¿Dónde AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME?

Q.E.D.

Ahora, basándonos en la propiedad de un trapezoide isósceles (igualdad de diagonales), demostramos que trapezoide ACME es isósceles:

• Para empezar, tracemos una línea recta MX – MX || KE. Obtenemos un paralelogramo KMHE (base – MX || KE y KM || EX).

∆AMX es isósceles, ya que AM = KE = MX y MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MXE, por lo tanto MAE = MXE.

Resultó que los triángulos AKE y EMA son iguales entre sí, ya que AM = KE y AE son el lado común de los dos triángulos. Y también MAE = MXE. Podemos concluir que AK = ME, y de esto se deduce que el trapezoide AKME es isósceles.

Revisar tarea

Las bases del trapecio ACME miden 9 cm y 21 cm, el lado lateral KA, igual a 8 cm, forma un ángulo de 150 0 con la base más pequeña. Necesitas encontrar el área del trapezoide.

Solución: Desde el vértice K bajamos la altura hasta la base mayor del trapezoide. Y comencemos a mirar los ángulos del trapezoide.

Los ángulos AEM y KAN son unilaterales. Esto quiere decir que en total dan 180 0. Por lo tanto, KAN = 30 0 (basado en la propiedad de los ángulos trapezoidales).

Consideremos ahora el ∆ANC rectangular (creo que este punto es obvio para los lectores sin evidencia adicional). A partir de ahí encontraremos la altura del trapezoide KH; en un triángulo es un cateto que se encuentra opuesto al ángulo de 30 0. Por tanto, KH = ½AB = 4 cm.

Encontramos el área del trapezoide usando la fórmula: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Epílogo

Si estudió este artículo detenida y cuidadosamente, no fue demasiado vago para dibujar trapecios para todas las propiedades dadas con un lápiz en sus manos y analizarlos en la práctica, debería haber dominado bien el material.

Por supuesto, aquí hay mucha información, variada y a veces incluso confusa: no es tan difícil confundir las propiedades del trapezoide descrito con las propiedades del inscrito. Pero tú mismo has visto que la diferencia es enorme.

Ahora tienes un resumen detallado de todos. propiedades generales trapecios. Así como propiedades y características específicas de los trapecios isósceles y rectangulares. Es muy conveniente utilizarlo para prepararse para pruebas y exámenes. ¡Pruébalo tú mismo y comparte el enlace con tus amigos!

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Digamos que Aquiles corre diez veces más rápido que la tortuga y está mil pasos detrás de ella. Durante el tiempo que le toma a Aquiles correr esta distancia, la tortuga se arrastrará cien pasos en la misma dirección. Cuando Aquiles corre cien pasos, la tortuga gatea otros diez pasos, y así sucesivamente. El proceso continuará hasta el infinito, Aquiles nunca alcanzará a la tortuga.

Este razonamiento se convirtió en un shock lógico para todas las generaciones posteriores. Aristóteles, Diógenes, Kant, Hegel, Hilbert... Todos ellos consideraron de una forma u otra la aporía de Zenón. El shock fue tan fuerte que " ... las discusiones continúan hasta el día de hoy; la comunidad científica aún no ha podido llegar a una opinión común sobre la esencia de las paradojas ... en el estudio del tema intervinieron el análisis matemático, la teoría de conjuntos y nuevos enfoques físicos y filosóficos. ; Ninguno de ellos se convirtió en una solución generalmente aceptada al problema..."[Wikipedia, "La aporía de Zenón". Todos entienden que están siendo engañados, pero nadie entiende en qué consiste el engaño.

Desde un punto de vista matemático, Zenón en su aporía demostró claramente la transición de la cantidad a. Esta transición implica aplicaciones en lugar de permanentes. Según tengo entendido, el aparato matemático para utilizar unidades de medida variables aún no se ha desarrollado o no se ha aplicado a la aporía de Zenón. Aplicar nuestra lógica habitual nos lleva a una trampa. Nosotros, por inercia del pensamiento, aplicamos unidades de tiempo constantes al valor recíproco. Desde un punto de vista físico, esto parece como si el tiempo se desacelerara hasta detenerse por completo en el momento en que Aquiles alcanza a la tortuga. Si el tiempo se detiene, Aquiles ya no podrá escapar de la tortuga.

Si damos la vuelta a nuestra lógica habitual, todo encaja. Aquiles corre a velocidad constante. Cada segmento posterior de su camino es diez veces más corto que el anterior. En consecuencia, el tiempo dedicado a superarlo es diez veces menor que el anterior. Si aplicamos el concepto de "infinito" en esta situación, entonces sería correcto decir "Aquiles alcanzará a la tortuga infinitamente rápido".

¿Cómo evitar esta trampa lógica? Permanezca en unidades de tiempo constantes y no cambie a unidades recíprocas. En el lenguaje de Zenón se ve así:

En el tiempo que le toma a Aquiles correr mil pasos, la tortuga gateará cien pasos en la misma dirección. Durante el siguiente intervalo de tiempo igual al primero, Aquiles correrá otros mil pasos y la tortuga se arrastrará cien pasos. Ahora Aquiles está ochocientos pasos por delante de la tortuga.

Este enfoque describe adecuadamente la realidad sin paradojas lógicas. Pero no lo es solución completa Problemas. La afirmación de Einstein sobre la irresistibilidad de la velocidad de la luz es muy similar a la aporía de Zenón “Aquiles y la tortuga”. Todavía tenemos que estudiar, repensar y resolver este problema. Y la solución no debe buscarse en números infinitamente grandes, sino en unidades de medida.

Otra aporía interesante de Zenón habla de una flecha voladora:

Una flecha voladora está inmóvil, ya que en cada momento está en reposo, y como está en reposo en cada momento, siempre está en reposo.

En esta aporía, la paradoja lógica se supera de manera muy simple: basta con aclarar que en cada momento una flecha voladora está en reposo en diferentes puntos del espacio, lo que, de hecho, es movimiento. Es necesario señalar aquí otro punto. A partir de una fotografía de un automóvil en la carretera es imposible determinar ni el hecho de su movimiento ni la distancia hasta él. Para determinar si un automóvil se está moviendo, necesita dos fotografías tomadas desde el mismo punto en diferentes momentos del tiempo, pero no puede determinar la distancia desde ellas. Para determinar la distancia a un automóvil, necesita dos fotografías tomadas desde diferentes puntos del espacio en un momento dado, pero a partir de ellas no puede determinar el hecho del movimiento (por supuesto, aún necesita datos adicionales para los cálculos, la trigonometría lo ayudará ). Lo que quiero señalar Atención especial, es que dos puntos en el tiempo y dos puntos en el espacio son cosas diferentes que no deben confundirse, porque brindan diferentes oportunidades para la investigación.

miércoles, 4 de julio de 2018

Las diferencias entre conjunto y multiconjunto se describen muy bien en Wikipedia. Vamos a ver.

Como puede ver, "no puede haber dos elementos idénticos en un conjunto", pero si hay elementos idénticos en un conjunto, dicho conjunto se denomina "multiconjunto". Los seres razonables nunca entenderán una lógica tan absurda. Este es el nivel de los loros parlantes y los monos entrenados, que no tienen inteligencia de la palabra "completamente". Los matemáticos actúan como simples entrenadores, predicándonos sus ideas absurdas.

Érase una vez, los ingenieros que construyeron el puente estaban en un bote debajo del puente mientras lo probaban. Si el puente se derrumbaba, el mediocre ingeniero moría bajo los escombros de su creación. Si el puente podía soportar la carga, el talentoso ingeniero construyó otros puentes.

No importa cómo los matemáticos se escudan detrás de la frase “jódeme, estoy en casa”, o más bien “estudios de matemáticas conceptos abstractos", hay un cordón umbilical que los conecta inextricablemente con la realidad. Este cordón umbilical es el dinero. Aplicar teoría matemática conjuntos para los propios matemáticos.

Estudiamos muy bien matemáticas y ahora estamos sentados en la caja registradora repartiendo sueldos. Entonces un matemático viene a nosotros por su dinero. Le contamos el monto total y lo colocamos sobre nuestra mesa en diferentes montones, en los que colocamos billetes de la misma denominación. Luego tomamos un billete de cada montón y le damos al matemático su “salario matemático”. Expliquemos al matemático que recibirá los billetes restantes sólo cuando demuestre que un conjunto sin elementos idénticos no es igual a un conjunto con elementos idénticos. Aquí es donde comienza la diversión.

En primer lugar, funcionará la lógica de los diputados: “¡Esto se puede aplicar a otros, pero a mí no!” Entonces empezarán a asegurarnos que los billetes de la misma denominación tienen diferentes numeros billetes, lo que significa que no pueden considerarse elementos idénticos. Bien, contemos los salarios en monedas; no hay números en las monedas. Aquí el matemático comenzará a recordar frenéticamente la física: diferentes monedas tienen diferentes cantidades de suciedad, la estructura cristalina y la disposición de los átomos es única para cada moneda...

Y ahora tengo más interés preguntar: ¿dónde está la línea más allá de la cual los elementos de un multiconjunto se convierten en elementos de un conjunto y viceversa? Tal línea no existe: todo lo deciden los chamanes, la ciencia ni siquiera está cerca de mentir aquí.

Mira aquí. Seleccionamos estadios de fútbol con la misma superficie de campo. Las áreas de los campos son las mismas, lo que significa que tenemos un conjunto múltiple. Pero si miramos los nombres de estos mismos estadios, encontramos muchos, porque los nombres son diferentes. Como puede ver, el mismo conjunto de elementos es a la vez un conjunto y un multiconjunto. ¿Cual es correcta? Y aquí el matemático-chamán-afilador saca un as de triunfo de su manga y comienza a hablarnos de un conjunto o de un multiconjunto. En cualquier caso, nos convencerá de que tiene razón.

Para comprender cómo operan los chamanes modernos con la teoría de conjuntos, vinculándola a la realidad, basta responder a una pregunta: ¿en qué se diferencian los elementos de un conjunto de los elementos de otro conjunto? Te lo mostraré, sin ningún "concebible como un todo único" o "no concebible como un todo único".

domingo, 18 de marzo de 2018

La suma de las cifras de un número es una danza de chamanes con pandero, que nada tiene que ver con las matemáticas. Sí, en las lecciones de matemáticas nos enseñan a encontrar la suma de los dígitos de un número y usarla, pero es por eso que son chamanes, para enseñar a sus descendientes sus habilidades y sabiduría, de lo contrario los chamanes simplemente desaparecerán.

¿Necesitas pruebas? Abra Wikipedia e intente encontrar la página "Suma de dígitos de un número". Ella no existe. No existe ninguna fórmula en matemáticas que pueda usarse para encontrar la suma de los dígitos de cualquier número. Después de todo, los números son símbolos gráficos con los que escribimos números, y en el lenguaje matemático la tarea suena así: "Encuentra la suma de los símbolos gráficos que representan cualquier número". Los matemáticos no pueden resolver este problema, pero los chamanes pueden hacerlo fácilmente.

Averigüemos qué y cómo hacemos para encontrar la suma de los dígitos de un número determinado. Y entonces, tengamos el número 12345. ¿Qué hay que hacer para encontrar la suma de los dígitos de este número? Consideremos todos los pasos en orden.

1. Escribe el número en una hoja de papel. ¿Qué hemos hecho? Hemos convertido el número en un símbolo numérico gráfico. Esta no es una operación matemática.

2. Corte una imagen resultante en varias imágenes que contengan números individuales. Cortar un cuadro no es una operación matemática.

3. Convierta símbolos gráficos individuales en números. Esta no es una operación matemática.

4. Suma los números resultantes. Eso sí que son matemáticas.

La suma de los dígitos del número 12345 es 15. Estos son los “cursos de corte y costura” de chamanes que utilizan los matemáticos. Pero eso no es todo.

Desde un punto de vista matemático, no importa en qué sistema numérico escribimos un número. Entonces, en diferentes sistemas En cálculo, la suma de los dígitos de un mismo número será diferente. En matemáticas, el sistema numérico se indica como un subíndice a la derecha del número. CON un número grande 12345 No quiero engañarme, veamos el número 26 del artículo sobre . Escribamos este número en sistemas numéricos binario, octal, decimal y hexadecimal. No veremos cada paso bajo un microscopio; eso ya lo hemos hecho. Veamos el resultado.

Como puedes ver, en diferentes sistemas numéricos la suma de los dígitos de un mismo número es diferente. Este resultado no tiene nada que ver con las matemáticas. Es lo mismo que si determinaras el área de un rectángulo en metros y centímetros, obtendrías resultados completamente diferentes.

El cero tiene el mismo aspecto en todos los sistemas numéricos y no tiene suma de dígitos. Este es otro argumento a favor del hecho de que. Pregunta para los matemáticos: ¿cómo se designa en matemáticas algo que no es un número? ¿Para los matemáticos nada existe excepto los números? Puedo permitir esto a los chamanes, pero no a los científicos. La realidad no se trata sólo de números.

El resultado obtenido debe considerarse como prueba de que los sistemas numéricos son unidades de medida de números. Después de todo, no podemos comparar números con diferentes unidades de medida. Si las mismas acciones con diferentes unidades de medida de la misma cantidad conducen a diferentes resultados después de compararlas, entonces esto no tiene nada que ver con las matemáticas.

¿Qué son las matemáticas reales? Esto es cuando el resultado de una operación matemática no depende del tamaño del número, de la unidad de medida utilizada y de quién realiza esta acción.

¡Oh! ¿No es este el baño de mujeres?
- ¡Mujer joven! ¡Este es un laboratorio para el estudio de la santidad indefílica de las almas durante su ascensión al cielo! Halo en la parte superior y flecha hacia arriba. ¿Qué otro baño?

Mujer... El halo de arriba y la flecha hacia abajo son masculinos.

Si una obra de arte de diseño así aparece ante sus ojos varias veces al día,

Entonces no es de extrañar que de repente encuentres un icono extraño en tu coche:

Personalmente, me esfuerzo en ver menos cuatro grados en una persona que hace caca (una imagen) (una composición de varias imágenes: signo menos, número cuatro, designación de grado). Y no creo que esta chica sea estúpida, no conocedor de fisica. Simplemente tiene un fuerte estereotipo de percepción de imágenes gráficas. Y los matemáticos nos enseñan esto todo el tiempo. He aquí un ejemplo.

1A no es “menos cuatro grados” ni “uno a”. Este es el "hombre que hace caca" o el número "veintiséis" en notación hexadecimal. Aquellas personas que trabajan constantemente en este sistema numérico perciben automáticamente un número y una letra como un símbolo gráfico.

Un trapecio es un caso especial de cuadrilátero en el que un par de lados son paralelos. El término "trapezoide" proviene de la palabra griega τράπεζα, que significa "mesa", "mesa". En este artículo veremos los tipos de trapezoide y sus propiedades. Además, descubriremos cómo calcular elementos individuales de este. Por ejemplo, la diagonal de un trapezoide isósceles, la línea central, el área, etc. El material se presenta en el estilo de la geometría popular elemental, es decir, en una forma de fácil acceso. .

información general

Primero, averigüemos qué es un cuadrilátero. Esta figura es un caso especial de un polígono que contiene cuatro lados y cuatro vértices. Dos vértices de un cuadrilátero que no son adyacentes se llaman opuestos. Lo mismo puede decirse de dos lados no adyacentes. Los principales tipos de cuadriláteros son paralelogramo, rectángulo, rombo, cuadrado, trapezoide y deltoides.

Entonces volvamos a los trapecios. Como ya hemos dicho, esta figura tiene dos lados paralelos. Se llaman bases. Los otros dos (no paralelos) son los lados laterales. En materiales de examen y varios. pruebas muy a menudo se pueden encontrar problemas relacionados con los trapecios, cuya solución muchas veces requiere que el alumno tenga conocimientos no previstos en el programa. El curso de geometría escolar presenta a los estudiantes las propiedades de los ángulos y las diagonales, así como la línea media de un trapezoide isósceles. Pero, además de esto, la mencionada figura geométrica tiene otras características. Pero hablaremos de ellos un poco más adelante...

Tipos de trapezoide

Hay muchos tipos de esta figura. Sin embargo, la mayoría de las veces se acostumbra considerar dos de ellos: isósceles y rectangular.

1. trapezoide rectangular- esta es una figura en la que uno de los lados es perpendicular a las bases. Sus dos ángulos siempre son iguales a noventa grados.

2. Un trapecio isósceles es una figura geométrica cuyos lados son iguales entre sí. Esto significa que los ángulos en las bases también son iguales en pares.

Los principios fundamentales de la metodología para estudiar las propiedades de un trapezoide.

El principio fundamental incluye el uso del llamado enfoque de tareas. Básicamente, no es necesario ingresar curso teorico geometría de nuevas propiedades de esta figura. Pueden descubrirse y formularse en el proceso de resolución de diversos problemas (preferiblemente sistémicos). Al mismo tiempo, es muy importante que el docente sepa qué tareas deben asignarse a los estudiantes en un momento u otro del proceso educativo. Además, cada propiedad de un trapecio se puede representar como una tarea clave en el sistema de tareas.

El segundo principio es la llamada organización en espiral del estudio de las propiedades "notables" del trapezoide. Esto implica un retorno en el proceso de aprendizaje a las características individuales de una figura geométrica determinada. Esto hace que sea más fácil para los estudiantes recordarlos. Por ejemplo, la propiedad de cuatro puntos. Se puede demostrar tanto al estudiar la similitud como posteriormente al utilizar vectores. Y la equivalencia de los triángulos adyacentes a los lados laterales de una figura se puede probar aplicando no solo las propiedades de los triángulos con alturas iguales dibujados a los lados que se encuentran en la misma línea recta, sino también usando la fórmula S = 1/2( ab*sinα). Además, puedes trabajar en un trapezoide inscrito o en un triángulo rectángulo sobre un trapezoide inscrito, etc.

El uso de características "extraprogramáticas" de una figura geométrica en el contenido. curso escolar- esta es una tecnología basada en tareas para enseñarles. Hacer referencia constante a las propiedades que se estudian mientras se analizan otros temas permite a los estudiantes obtener un conocimiento más profundo del trapezoide y garantiza el éxito en la resolución de los problemas asignados. Entonces, comencemos a estudiar esta maravillosa figura.

Elementos y propiedades de un trapecio isósceles.

Como ya hemos señalado, esta figura geométrica tiene lados iguales. También se le conoce como trapezoide correcto. ¿Por qué es tan notable y por qué recibió ese nombre? La peculiaridad de esta figura es que no solo los lados y ángulos en las bases son iguales, sino también las diagonales. Además, la suma de los ángulos de un trapezoide isósceles es 360 grados. ¡Pero eso no es todo! De todo trapecios famosos Sólo alrededor de un isósceles se puede describir un círculo. Esto se debe al hecho de que la suma de los ángulos opuestos de esta figura es igual a 180 grados, y sólo bajo esta condición se puede describir un círculo alrededor del cuadrilátero. La siguiente propiedad de la figura geométrica considerada es que la distancia desde el vértice de la base hasta la proyección del vértice opuesto sobre la recta que contiene esta base será igual a la línea media.

Ahora descubramos cómo encontrar los ángulos de un trapezoide isósceles. Consideremos una solución a este problema, siempre que se conozcan las dimensiones de los lados de la figura.

Solución

Por lo general, un cuadrilátero suele denotarse con las letras A, B, C, D, donde BS y AD son las bases. En un trapecio isósceles los lados son iguales. Supondremos que su tamaño es igual a X, y que los tamaños de las bases son iguales a Y y Z (menor y mayor, respectivamente). Para realizar el cálculo es necesario trazar la altura H desde el ángulo B. El resultado es un triángulo rectángulo ABN, donde AB es la hipotenusa y BN y AN son los catetos. Calculamos el tamaño del cateto AN: restamos el más pequeño a la base más grande, y dividimos el resultado entre 2. Lo escribimos en forma de fórmula: (Z-Y)/2 = F. Ahora, para calcular el cateto AN ángulo del triángulo, usamos la función cos. Obtenemos la siguiente entrada: cos(β) = X/F. Ahora calculamos el ángulo: β=arcos (X/F). Además, conociendo un ángulo, podemos determinar el segundo, para ello realizamos una elemental operación aritmética: 180 - β. Todos los ángulos están definidos.

Hay una segunda solución a este problema. Primero lo bajamos desde la esquina hasta la altura H. Calculamos el valor del cateto BN. Sabemos que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Obtenemos: BN = √(X2-F2). A continuación usamos Funcion trigonometrica tg. Como resultado, tenemos: β = arctan (BN/F). Se ha encontrado un ángulo agudo. A continuación, lo definimos de manera similar al primer método.

Propiedad de las diagonales de un trapezoide isósceles

Primero, escribamos cuatro reglas. Si las diagonales de un trapezoide isósceles son perpendiculares, entonces:

La altura de la figura será igual a la suma de las bases dividida por dos;

Su altura y línea media son iguales;

El centro del círculo es el punto en el que ;

Si el lado lateral se divide por el punto de tangencia en los segmentos H y M, entonces es igual a raíz cuadrada productos de estos segmentos;

El cuadrilátero que está formado por los puntos de tangencia, el vértice del trapezoide y el centro del círculo inscrito es un cuadrado cuyo lado es igual al radio;

El área de una figura es igual al producto de las bases por el producto de la mitad de la suma de las bases y su altura.

Trapecios similares

Este tema es muy conveniente para estudiar las propiedades de este. Por ejemplo, las diagonales dividen un trapezoide en cuatro triángulos, y las adyacentes a las bases son similares y las adyacentes a los lados son iguales en tamaño. Esta afirmación puede denominarse propiedad de los triángulos en que se divide el trapezoide por sus diagonales. La primera parte de esta afirmación se prueba mediante el signo de semejanza en dos ángulos. Para probar la segunda parte, es mejor utilizar el método que se indica a continuación.

Prueba del teorema

Aceptamos que la figura ABSD (AD y BS son las bases del trapezoide) se divide por las diagonales VD y AC. El punto de su intersección es O. Obtenemos cuatro triángulos: AOS - en la base inferior, BOS - en la base superior, ABO y SOD en los lados. Los triángulos SOD y BOS tienen una altura común si los segmentos BO y OD son sus bases. Encontramos que la diferencia entre sus áreas (P) es igual a la diferencia entre estos segmentos: PBOS/PSOD = BO/OD = K. Por lo tanto, PSOD = PBOS/K. De manera similar, los triángulos BOS y AOB tienen una altura común. Tomamos como base los segmentos CO y OA. Obtenemos PBOS/PAOB = CO/OA = K y PAOB = PBOS/K. De esto se deduce que PSOD = PAOB.

Para consolidar el material, se recomienda a los estudiantes encontrar la conexión entre las áreas de los triángulos resultantes en los que se divide el trapezoide por sus diagonales resolviendo el siguiente problema. Se sabe que los triángulos BOS y AOD tienen áreas iguales; es necesario encontrar el área del trapezoide. Dado que PSOD = PAOB, significa PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD. De la similitud de los triángulos BOS y AOD se deduce que BO/OD = √(PBOS/PAOD). Por lo tanto, PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Obtenemos PSOD = √(PBOS*PAOD). Entonces PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

Propiedades de similitud

Continuando desarrollando este tema, se pueden probar otros. características interesantes trapezoide. Así, mediante la semejanza se puede demostrar la propiedad de un segmento que pasa por el punto formado por la intersección de las diagonales de esta figura geométrica, paralelo a las bases. Para ello, resolvamos el siguiente problema: necesitamos encontrar la longitud del segmento RK que pasa por el punto O. De la similitud de los triángulos AOD y BOS se deduce que AO/OS = AD/BS. De la semejanza de los triángulos AOP y ASB se deduce que AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). De aquí obtenemos que RO=BS*BP/(BS+BP). De manera similar, de la similitud de los triángulos DOC y DBS, se deduce que OK = BS*AD/(BS+AD). De aquí obtenemos que RO=OK y RK=2*BS*AD/(BS+AD). Un segmento que pasa por el punto de intersección de las diagonales, paralelo a las bases y que conecta dos lados laterales, se divide por la mitad por el punto de intersección. Su longitud es la media armónica de las bases de la figura.

Consideremos siguiente calidad trapezoide, que se llama propiedad de los cuatro puntos. Los puntos de intersección de las diagonales (O), la intersección de la continuación de los lados (E), así como los puntos medios de las bases (T y F) siempre se encuentran en la misma línea. Esto se puede demostrar fácilmente mediante el método de semejanza. Los triángulos resultantes BES y AED son semejantes, y en cada uno de ellos las medianas ET y EJ dividen el ángulo del vértice E en partes iguales. Por tanto, los puntos E, T y F se encuentran en la misma recta. De la misma manera, los puntos T, O y Zh se ubican en la misma línea recta. Todo esto se desprende de la similitud de los triángulos BOS y AOD. De aquí concluimos que los cuatro puntos (E, T, O y F) estarán en la misma línea recta.

Usando trapecios similares, puedes pedir a los estudiantes que encuentren la longitud del segmento (LS) que divide la figura en dos similares. Este segmento debe ser paralelo a las bases. Dado que los trapecios resultantes ALFD y LBSF son similares, entonces BS/LF = LF/AD. De ello se deduce que LF=√(BS*AD). Encontramos que el segmento que divide el trapecio en dos similares tiene una longitud igual a la media geométrica de las longitudes de las bases de la figura.

Considere la siguiente propiedad de similitud. Se basa en un segmento que divide el trapezoide en dos figuras iguales. Suponemos que el trapezoide ABSD está dividido por el segmento EH en dos similares. Desde el vértice B se omite una altura, que se divide por el segmento EN en dos partes: B1 y B2. Obtenemos: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 y PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. A continuación, componemos un sistema cuya primera ecuación es (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2 y la segunda (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2. De ello se deduce que B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) y BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Encontramos que la longitud del segmento que divide el trapezoide en dos iguales es igual a la raíz cuadrática media de las longitudes de las bases: √((BS2+AD2)/2).

Hallazgos de similitud

Así, hemos demostrado que:

1. El segmento que conecta los puntos medios de los lados laterales de un trapezoide es paralelo a AD y BS y es igual a la media aritmética de BS y AD (la longitud de la base del trapezoide).

2. La recta que pasa por el punto O de la intersección de las diagonales paralelas a AD y BS será igual a la media armónica de los números AD y BS (2*BS*AD/(BS+AD)).

3. El segmento que divide el trapezoide en otros semejantes tiene la longitud de la media geométrica de las bases BS y AD.

4. Un elemento que divide una figura en dos iguales tiene la longitud de la raíz cuadrática media de los números AD y BS.

Para consolidar el material y comprender la conexión entre los segmentos considerados, el estudiante necesita construirlos para un trapezoide específico. Puede representar fácilmente la línea media y el segmento que pasa por el punto O, la intersección de las diagonales de la figura, paralelo a las bases. ¿Pero dónde estarán ubicados el tercero y el cuarto? Esta respuesta llevará al estudiante al descubrimiento de la relación deseada entre valores medios.

Un segmento que conecta los puntos medios de las diagonales de un trapezoide.

Considere la siguiente propiedad de esta figura. Suponemos que el segmento MH es paralelo a las bases y biseca las diagonales. Llamemos a los puntos de intersección Ш y Ш. Este segmento será igual a la mitad de la diferencia de las bases. Veamos esto con más detalle. MS es la línea media del triángulo ABS, es igual a BS/2. MSH es la línea media del triángulo ABD, es igual a AD/2. Entonces obtenemos que ShShch = MSh-MSh, por lo tanto, ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.

Centro de gravedad

Veamos cómo se determina este elemento para una figura geométrica determinada. Para ello, es necesario extender las bases en direcciones opuestas. ¿Qué significa? Debe agregar la base inferior a la base superior, en cualquier dirección, por ejemplo, hacia la derecha. Y extendemos el inferior a lo largo del superior hacia la izquierda. A continuación, los conectamos en diagonal. El punto de intersección de este segmento con la línea media de la figura es el centro de gravedad del trapezoide.

Trapecios inscritos y circunscritos

Enumeremos las características de tales figuras:

1. Un trapecio puede inscribirse en una circunferencia sólo si es isósceles.

2. Se puede describir un trapezoide alrededor de un círculo, siempre que la suma de las longitudes de sus bases sea igual a la suma de las longitudes de los lados.

Corolarios del círculo:

1. La altura del trapezoide descrito es siempre igual a dos radios.

2. El lado del trapezoide descrito se observa desde el centro del círculo en ángulo recto.

El primer corolario es obvio, pero para demostrar el segundo es necesario establecer que el ángulo SOD es recto, lo cual, de hecho, tampoco es difícil. Pero el conocimiento de esta propiedad le permitirá utilizar un triángulo rectángulo al resolver problemas.

Ahora especifiquemos estas consecuencias para un trapezoide isósceles inscrito en un círculo. Encontramos que la altura es la media geométrica de las bases de la figura: H=2R=√(BS*AD). Mientras practica la técnica básica para resolver problemas de trapecios (el principio de dibujar dos alturas), el alumno debe resolver la siguiente tarea. Suponemos que BT es la altura de la figura isósceles ABSD. Es necesario encontrar los segmentos AT y TD. Usando la fórmula descrita anteriormente, esto no será difícil de hacer.

Ahora descubramos cómo determinar el radio de un círculo usando el área del trapezoide circunscrito. Bajamos la altura desde el vértice B hasta la base AD. Como el círculo está inscrito en un trapezoide, entonces BS+AD = 2AB o AB = (BS+AD)/2. Del triángulo ABN encontramos senα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD). PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. Obtenemos PABSD = (BS+BP)*R, se deduce que R = PABSD/(BS+BP).

Todas las fórmulas para la línea media de un trapezoide.

Ahora toca pasar al último elemento de esta figura geométrica. Averigüemos a qué es igual la línea media del trapezoide (M):

1. Por las bases: M = (A+B)/2.

2. Por altura, base y esquinas:

M = A-H*(ctgα+ctgβ)/2;

M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.

3. A través de la altura, las diagonales y el ángulo entre ellas. Por ejemplo, D1 y D2 son las diagonales de un trapezoide; α, β - ángulos entre ellos:

M = D1*D2*senα/2Н = D1*D2*senβ/2Н.

4. Área pasante y altura: M = P/N.