Cómo calcular potencias fraccionarias. Exponenciación, reglas, ejemplos.

Instrucciones

Si el original se presenta en el formato de una fracción ordinaria, entonces la operación debe realizarse en dos pasos. Su secuencia no afectará el resultado de ninguna manera; comience, por ejemplo, extrayendo del número la raíz del grado que se indica en el denominador de la fracción. Por ejemplo, para construir en grado Se deben extraer ⅔ del número 64 en este paso: 64^⅔ = (³√64)² = 4².

Eleve el valor obtenido en el primer paso a grado, igual al numero, situándose en el numerador de la fracción. El resultado de esta operación será el resultado de elevar el número a una fracción grado. Para el ejemplo del paso anterior, todo el curso de cálculos se puede escribir de la siguiente manera: 64^⅔ = (³√64)² = 4² = 16.

Basado en la simplicidad de los cálculos al determinar la secuencia de las operaciones anteriores para extraer la raíz y erigirla en grado. Por ejemplo, si fuera requerido en el mismo grado⅔ para elevar el número 8, entonces comenzar con la raíz cúbica de ocho sería , ya que el resultado sería fraccionario. En este caso, es mejor empezar con 8 al cuadrado, para luego sacar la raíz tercera de 64 y así prescindir de los valores fraccionarios intermedios: 8^⅔ = ³√(8²) = ³√64 = 4.

Si el exponente en los datos de origen está en formato decimal, comience convirtiéndolo a fracción común y luego proceda de acuerdo con el algoritmo descrito anteriormente. Por ejemplo, para elevar un número a grado 0,75, transforma esta cifra en una fracción común ¾, luego saca la raíz cuarta y eleva el resultado al cubo.

Utilice cualquiera si el progreso de los cálculos no importa, pero solo el resultado es importante. También podría ser un script integrado en el motor de búsqueda de Google; con su ayuda, encontrar el valor deseado es incluso más fácil que usar la calculadora estándar del sistema operativo Windows. Por ejemplo, para elevar el número 15 a grado⅗ vaya a la página principal del sitio e ingrese en el campo consulta de busqueda 15^(3/5). Google mostrará el resultado de los cálculos con una precisión de 8 caracteres incluso sin presionar el botón de enviar: 15^(3/5) = 5,07755639.

Fuentes:

cómo elevar a una potencia fraccionaria

Grado números discutidos en la escuela durante las lecciones de álgebra. En la vida real, esta operación rara vez se realiza. Por ejemplo, al calcular el área de un cuadrado o el volumen de un cubo, se utilizan grados porque el largo, el ancho y, para un cubo, la altura son cantidades iguales. De lo contrario, la exponenciación suele ser de naturaleza de producción aplicada.

Necesitará

Papel, bolígrafo, calculadora de ingeniería, tablas eléctricas, productos de software (por ejemplo, editor de hojas de cálculo de Excel).

Instrucciones

Al trabajar con numero negativo hay que tener cuidado con las señales. Debe recordarse que una potencia par (n) dará un signo más, una potencia impar dará un signo más.
Por ejemplo
(-7)^2 = (-7)*(-7) = 49
(-7)^3 = (-7)*(-7)*(-7) = 343

Grado cero (n = 0) de cualquier números siempre será igual a uno.
15^0 = 1
(-6)^0 = 1
(1/3)^0 = 1Si n = 1, no es necesario multiplicar el número por sí mismo.
Voluntad
7^1 = 7
329^1 = 329

Si n = 2, entonces el grado es un cuadrado, si n = 3, el grado se llama cubo. Calcular el cuadrado y el cubo a partir de los diez primeros números es bastante sencillo. Pero con el aumento números, elevado a una potencia y, a medida que la potencia misma aumenta, los cálculos se vuelven laboriosos. Para tales cálculos, se han desarrollado tablas especiales. También hay calculadoras y productos de software especiales de ingeniería y en línea. Como software de operaciones más sencillo, puede utilizar el editor de hojas de cálculo de Excel.

Fuentes:

http://www.bymath.net/studyguide/alg/sec/alg17.html

Al resolver algunos problemas técnicos, puede ser necesario calcular raíz tercero grados. A veces este número también se llama raíz cúbica. Raíz tercero grados de numero dado Llaman a un número cuyo cubo (tercera potencia) es igual al dado. Es decir, si y – raíz tercero grados número x, entonces se debe cumplir la siguiente condición: y?=x (x es igual al cubo).

Necesitará

calculadora o computadora

Instrucciones

Para contar raíz grados, usa la calculadora. Es deseable que no se trate de una calculadora ordinaria, sino de una calculadora utilizada para cálculos de ingeniería. Sin embargo, incluso en este no encontrarás un botón especial para extraer la raíz. tercero grados. Entonces usa una función para elevar un número a una potencia. Extracción de raíces tercero grados corresponde a elevar a la potencia de 1/3 (un tercio).

Para elevar un número a la potencia de 1/3, escriba el número en el teclado de la calculadora. Luego presione la tecla “exponenciación”. Un botón de este tipo, según el tipo de calculadora, puede parecerse a xy (y es un superíndice). Dado que la mayoría de las calculadoras no tienen la capacidad de trabajar con números ordinarios (no decimales), en lugar del número 1/3, ingrese su valor aproximado: 0,33. Para obtener una mayor precisión en los cálculos, debe aumentar el número de "tres", por ejemplo, marcar 0,33333333333333. Luego, haga clic en el botón “=".

Para contar raíz tercero grados activado, utilice la calculadora estándar de Windows. El procedimiento es completamente similar al descrito en el párrafo anterior de las instrucciones. Lo único son los botones de exponenciación. En una calculadora “computadora” parece x^y.

Si raíz tercero grados Si tiene que hacerlo de forma sistemática, utilice MS Excel. Para contar raíz tercero grados en Excel, ingrese el signo "=" en cualquier celda y luego seleccione "fx" - inserte una función. En la ventana que aparece, en la lista "Seleccionar una función", seleccione la línea "GRADO". Haga clic en el botón "Aceptar". En la ventana que acaba de aparecer, ingrese en la línea "Número" el valor del número del que desea extraer raíz. En la línea "Grado", ingrese el número "1/3" y haga clic en "Aceptar". El valor deseado de la raíz cúbica del número original aparecerá en la tabla.

En cálculos técnicos y en la resolución de muchos problemas, a veces es necesario raíz, es decir, encontrar un número cuyo cubo sea igual al original. Para calcular el valor de la raíz cúbica es suficiente una calculadora de ingeniería. Sin embargo, incluso en una calculadora de este tipo no existe una clave especial para calcular la raíz cúbica. Pero utilizando algunos trucos simples, puedes prescindir de ese botón.

Necesitará

calculadora de ingeniería o computadora

Instrucciones

Para encontrar raíz cúbica usando una calculadora, tome una de ingeniería y escriba el número original en ella. Luego, haga clic en el botón de exponenciación. Ahora ingrese el valor del indicador. En este caso, (teóricamente) debería ser igual a 1/3. Pero, dado que el uso de fracciones ordinarias incluso calculadora de ingenieria difícil, entonces ingresa el valor redondeado del número 1/3, es decir: 0,33. Luego haga clic en el botón “=". El valor deseado aparecerá en el indicador de la calculadora. Para obtener un valor más preciso, escriba no dos triples, sino, por ejemplo, 0,333333333333.

Para calcular la raíz cúbica en su computadora, ejecute el programa de calculadora. Si el icono correspondiente no está en su escritorio, haga lo siguiente:
- haga clic en el botón "Inicio";
- seleccione el elemento del menú "Ejecutar";
- ingrese la línea “calc” en la ventana que aparece si la calculadora que aparece en el escritorio tiene. aspecto normal(parecido a una “calculadora contable”), luego cámbielo al modo de cálculo. Para hacer esto, seleccione la línea "Tipo" y seleccione el elemento "Ingeniería". Ahora ingrese el número del cual desea extraer la raíz cúbica. Luego presione el botón “x^y” en la calculadora. A continuación, escriba, por ejemplo, 0,33. Para obtener un resultado más preciso, puede ingresar un valor de exponente más alto, por ejemplo, 0,333333333333. Para obtener un resultado preciso, ingrese el exponente "1/3" entre paréntesis. Es decir, presione las teclas “(1/3)” sucesivamente.

Cálculo en Excel. Inicie el programa, haga clic en el botón “=" y seleccione la función "GRADO". Luego ingresa el número del cual deseas extraer la raíz de la potencia. Luego, en la siguiente ventana que aparece, escriba la fracción “1/3” y haga clic en el botón “Aceptar”.

Vídeo sobre el tema.

Fuentes:

cómo calcular raíces cúbicas

Al resolver problemas aritméticos y algebraicos, a veces es necesario construir fracción V cuadrado. La forma más fácil de hacer esto es cuando fracción decimal: una calculadora normal es suficiente. Sin embargo, si fracción ordinario o mixto, entonces al elevar dicho número a cuadrado Pueden surgir algunas dificultades.

Continuando con la conversación sobre la potencia de un número, es lógico descubrir cómo encontrar el valor de la potencia. Este proceso se llama exponenciación. En este artículo estudiaremos cómo se realiza la exponenciación, mientras tocaremos todos los exponentes posibles: natural, entero, racional e irracional. Y según la tradición, consideraremos en detalle soluciones a ejemplos de elevación de números a varias potencias.

Navegación de páginas.

¿Qué significa "exponenciación"?

Empecemos explicando qué se llama exponenciación. Aquí está la definición relevante.

Definición.

exponenciación- esto es encontrar el valor de la potencia de un número.

Por lo tanto, encontrar el valor de la potencia de un número a con exponente r y elevar el número a a la potencia r son lo mismo. Por ejemplo, si la tarea es "calcular el valor de la potencia (0,5) 5", entonces se puede reformular de la siguiente manera: "Eleva el número 0,5 a la potencia 5".

Ahora puedes ir directamente a las reglas mediante las cuales se realiza la exponenciación.

Elevar un número a una potencia natural.

En la práctica, la igualdad basada en se suele aplicar en la forma . Es decir, al elevar un número a a una potencia fraccionaria m/n, primero se toma la raíz enésima del número a, después de lo cual el resultado resultante se eleva a una potencia entera m.

Veamos soluciones a ejemplos de elevación a una potencia fraccionaria.

Ejemplo.

Calcula el valor del grado.

Solución.

Mostraremos dos soluciones.

Primera manera. Por definición de grado con exponente fraccionario. Calculamos el valor del grado bajo el signo de la raíz y luego extraemos la raíz cúbica: .

Segunda vía. Según la definición de grado con exponente fraccionario y basándose en las propiedades de las raíces, se cumplen las siguientes igualdades: . Ahora extraemos la raíz. , finalmente lo elevamos a una potencia entera .

Evidentemente, los resultados obtenidos al elevar a una potencia fraccionaria coinciden.

Respuesta:

Tenga en cuenta que un exponente fraccionario se puede escribir como una fracción decimal o un número mixto, en estos casos se debe reemplazar con la fracción ordinaria correspondiente y luego elevarlo a una potencia.

Ejemplo.

Calcula (44,89) 2,5.

Solución.

Escribamos el exponente en forma de fracción ordinaria (si es necesario, consulte el artículo): . Ahora realizamos la elevación a una potencia fraccionaria:

Respuesta:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

También hay que decir que elevar números a potencias racionales es un proceso bastante laborioso (especialmente cuando el numerador y el denominador del exponente fraccionario contienen bastante números grandes), que suele realizarse mediante tecnología informática.

Para concluir este punto, detengámonos en elevar el número cero a una potencia fraccionaria. Le dimos el siguiente significado a la potencia fraccionaria de cero de la forma: cuando tenemos , y en cero elevado a la potencia m/n no está definido. Entonces, cero elevado a una potencia fraccionaria positiva es cero, por ejemplo, . Y cero en una potencia fraccionaria negativa no tiene sentido, por ejemplo, las expresiones 0 -4,3 no tienen sentido.

Elevando a un poder irracional

A veces se hace necesario averiguar el valor de la potencia de un número con exponente irracional. En este caso, a efectos prácticos suele ser suficiente obtener el valor del grado con precisión hasta un determinado signo. Observemos de inmediato que este valor en la práctica se calcula utilizando computadoras electrónicas, ya que elevar a ir grado racional manualmente requiere muchos cálculos engorrosos. Pero aún así lo describiremos en bosquejo general la esencia de la acción.

Para obtener un valor aproximado de la potencia de un número a con exponente irracional, se toma alguna aproximación decimal del exponente y se calcula el valor de la potencia. Este valor es un valor aproximado de la potencia del número a con un exponente irracional. Cuanto más precisa sea la aproximación decimal de un número inicialmente, más preciso será el valor del grado al final.

Como ejemplo, calculemos el valor aproximado de la potencia de 2 1.174367... . Tomemos la siguiente aproximación decimal del exponente irracional: . Ahora elevamos 2 a la potencia racional 1,17 (describimos la esencia de este proceso en el párrafo anterior), obtenemos 2 1,17 ≈2,250116. De este modo, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Si tomamos una aproximación decimal más precisa del exponente irracional, por ejemplo, obtenemos un valor más preciso del exponente original: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografía.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Libro de texto de matemáticas para 5to grado. Instituciones educacionales.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Álgebra: libro de texto para 7º grado. Instituciones educacionales.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Álgebra: libro de texto para octavo grado. Instituciones educacionales.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Álgebra: libro de texto para noveno grado. Instituciones educacionales.
Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. y otros Álgebra y los inicios del análisis: Libro de texto para los grados 10 - 11 de instituciones de educación general.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemáticas (un manual para quienes ingresan a las escuelas técnicas).

Una fracción es la relación entre el numerador y el denominador, y el denominador no debe ser igual a cero y el numerador puede ser cualquier cosa.

Al elevar cualquier fracción a una potencia arbitraria, debemos elevar por separado el numerador y el denominador de la fracción a esta potencia, luego de lo cual debemos contar estas potencias y así obtener la fracción elevada a la potencia.

Por ejemplo:

(2/7)^2 = 2^2/7^2 = 4/49

(2/3)^3 = (2/3) · (2/3) · (2/3) = 2^3/3^3

grado negativo

Si estamos tratando con grado negativo, entonces primero debemos "Invertir la fracción", y solo luego elevarla a una potencia de acuerdo con la regla escrita anteriormente.

(2/7)^(-2) = (7/2)^2 = 7^2/2^2

grado de letra

Cuando se trabaja con valores literales como “x” e “y”, la exponenciación sigue la misma regla que antes.

También podemos ponernos a prueba elevando la fracción ½ a la tercera potencia, como resultado de lo cual obtenemos ½ * ½ * ½ = 1/8, que es esencialmente lo mismo que

Exponenciación literal x^y

Multiplicar y dividir fracciones con potencias.

Si multiplicamos potencias con las mismas bases, entonces la base en sí sigue siendo la misma y sumamos los exponentes. Si dividimos grados con las mismas bases, entonces la base del grado también permanece igual y se restan los exponentes de los grados.

Esto se puede demostrar muy fácilmente con un ejemplo:

(3^23)*(3^8)=3^(23+8) = 3^31

(2^4)/(2^3) = 2^(4-3) = 2^1 = 2

Podríamos obtener lo mismo si simplemente elevamos el denominador y el numerador a la potencia de 3 y 4 por separado, respectivamente.

Elevar una fracción con una potencia a otra potencia

Al elevar nuevamente a una potencia una fracción que ya está elevada a una potencia, primero debemos hacer la exponenciación interna y luego pasar a la parte exterior de la exponenciación. En otras palabras, podemos simplemente multiplicar estas potencias y elevar la fracción a la potencia resultante.

Por ejemplo:

(2^4)^2 = 2^ 4 2 = 2^8

Elevado a uno, raíz cuadrada

Tampoco debemos olvidar que elevando absolutamente cualquier fracción a la potencia cero nos dará 1, al igual que cualquier otro número, al elevarlo a una potencia igual a cero obtendremos 1.

La raíz cuadrada ordinaria también se puede expresar como una potencia de una fracción.

Raíz cuadrada 3 = 3^(1/2)

Si estamos tratando con raíz cuadrada debajo del cual se ubica la fracción, entonces podemos imaginar esta fracción en cuyo numerador habrá una raíz cuadrada de segundo grado (ya que es una raíz cuadrada)

Y el denominador también contendrá la raíz cuadrada, es decir es decir veremos la relación de dos raíces, esto puede ser útil para resolver algunos problemas y ejemplos.

Si elevamos a la segunda potencia la fracción que está bajo la raíz cuadrada, obtenemos la misma fracción.

El producto de dos fracciones bajo la misma potencia será igual al producto de estas dos fracciones, cada una de las cuales por separado estará bajo su propia potencia.

Recuerda: ¡no puedes dividir por cero!

Además, no te olvides de una nota muy importante para una fracción como que el denominador no debe ser igual a cero. En el futuro, en muchas ecuaciones usaremos esta restricción, llamada ODZ, el rango de valores permitidos.

Al comparar dos fracciones con la misma base, pero diferentes grados, mayor será la fracción cuyo grado es mayor, y menor será la de menor grado si no sólo las bases, sino también los grados son iguales, la fracción se considera igual;

La lección analizará una versión más generalizada de la multiplicación de fracciones: elevar a una potencia. En primer lugar, hablaremos sobre potencias naturales de fracciones y ejemplos que demuestran operaciones similares con fracciones. Al comienzo de la lección, también revisaremos cómo elevar expresiones completas a potencias naturales y veremos cómo esto será útil para resolver más ejemplos.

Tema: Fracciones algebraicas. Operaciones aritméticas con fracciones algebraicas

Lección: Elevar una fracción algebraica a una potencia

1. Reglas para elevar fracciones y expresiones enteras a potencias naturales con ejemplos elementales

La regla para la construcción de ordinarias y fracciones algebraicas en especie:

Puedes hacer una analogía con el grado de una expresión completa y recordar lo que significa elevarla a una potencia:

Ejemplo 1. .

Como puede verse en el ejemplo, elevar una fracción a una potencia es caso especial multiplicar fracciones, que se estudió en la lección anterior.

Ejemplo 2. a), b) - el menos desaparece porque elevamos la expresión a una potencia uniforme.

Para facilitar el trabajo con grados, recordemos las reglas básicas para elevar a un grado natural:

- producto de potencias;

- división de grados;

Elevar un grado a un grado;

Grado de producto.

Ejemplo 3. - Esto lo sabemos por el tema "Exponenciación de expresiones completas", excepto en un caso: no existe.

2. Los ejemplos más simples de elevación de fracciones algebraicas a potencias naturales.

Ejemplo 4. Eleva una fracción a una potencia.

Solución. Cuando se eleva a una potencia uniforme, el menos desaparece:

Ejemplo 5. Eleva una fracción a una potencia.

Solución. Ahora usamos las reglas para elevar un grado a una potencia inmediatamente sin un cronograma separado:

Ahora veamos problemas combinados en los que necesitaremos elevar fracciones a potencias, multiplicarlas y dividirlas.

Ejemplo 6. Realizar acciones.

Solución. . A continuación necesitas hacer una reducción. Describamos una vez en detalle cómo haremos esto, y luego indicaremos el resultado inmediatamente por analogía: . De manera similar (o según la regla de división de poderes). Tenemos: .

Ejemplo 7. Realizar acciones.

Solución. . La reducción se llevó a cabo por analogía con el ejemplo discutido anteriormente.

Ejemplo 8. Realizar acciones.

Solución. . EN en este ejemplo Una vez más describimos con más detalle el proceso de reducción de potencias en fracciones para consolidar este método.

3. Ejemplos más complejos de elevación de fracciones algebraicas a potencias naturales (teniendo en cuenta signos y con términos entre paréntesis)

Ejemplo 9: realizar acciones .

Solución. En este ejemplo, nos saltaremos la multiplicación separada de fracciones e inmediatamente usaremos la regla para multiplicarlas y escribirlas bajo un denominador. Al mismo tiempo, seguimos los signos; en este caso, las fracciones se elevan a potencias pares, por lo que los inconvenientes desaparecen. Al final realizaremos la reducción.

Ejemplo 10: realizar acciones .

Solución. En este ejemplo hay división de fracciones; recuerda que en este caso la primera fracción se multiplica por la segunda, pero al revés.

Descubrimos qué es realmente una potencia de un número. Ahora necesitamos entender cómo calcularlo correctamente, es decir. elevar los números a potencias. En este material analizaremos las reglas básicas para calcular grados en el caso de exponentes enteros, naturales, fraccionarios, racionales e irracionales. Todas las definiciones se ilustrarán con ejemplos.

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El concepto de exponenciación.

Comencemos formulando definiciones básicas.

Definición 1

exponenciación- este es el cálculo del valor de la potencia de un determinado número.

Es decir, las palabras "calcular el valor de una potencia" y "elevar a una potencia" significan lo mismo. Entonces, si el problema dice "Eleva el número 0, 5 a la quinta potencia", esto debe entenderse como "calcula el valor de la potencia (0, 5) 5".

Ahora presentamos las reglas básicas que se deben seguir al realizar dichos cálculos.

Recordemos qué es una potencia de un número con exponente natural. Para una potencia de base a y exponente n, este será el producto del enésimo número de factores, cada uno de los cuales es igual a a. Esto se puede escribir así:

Para calcular el valor de un grado, es necesario realizar una acción de multiplicación, es decir, multiplicar las bases del grado el número de veces especificado. El concepto mismo de un grado con exponente natural se basa en la capacidad de multiplicar rápidamente. Pongamos ejemplos.

Ejemplo 1

Condición: elevar - 2 a la potencia 4.

Solución

Usando la definición anterior, escribimos: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2). A continuación, sólo tenemos que seguir estos pasos y obtener 16.

Tomemos un ejemplo más complicado.

Ejemplo 2

Calcula el valor 3 2 7 2

Solución

Esta entrada se puede reescribir como 3 2 7 · 3 2 7 . Anteriormente, vimos cómo multiplicar correctamente los números mixtos mencionados en la condición.

Realicemos estos pasos y obtengamos la respuesta: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Si el problema indica la necesidad de elevar números irracionales a una potencia natural, primero necesitaremos redondear sus bases al dígito que nos permita obtener una respuesta con la precisión requerida. Veamos un ejemplo.

Ejemplo 3

Realiza el cuadrado de π.

Solución

Primero, redondeémoslo a centésimas. Entonces π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Si π ≈ 3. 14159, entonces obtenemos un resultado más preciso: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Tenga en cuenta que la necesidad de calcular potencias de números irracionales surge relativamente raramente en la práctica. Luego podemos escribir la respuesta como la potencia (ln 6) 3 misma, o convertirla si es posible: 5 7 = 125 5.

Por separado conviene indicar cuál es la primera potencia de un número. Aquí simplemente puedes recordar que cualquier número elevado a la primera potencia seguirá siendo él mismo:

Esto se desprende claramente de la grabación. .

No depende de la titulación.

Ejemplo 4

Entonces, (− 9) 1 = − 9, y 7 3 elevado a la primera potencia seguirá siendo igual a 7 3.

Por comodidad, examinaremos tres casos por separado: si el exponente es un número entero positivo, si es cero y si es un número entero negativo.

En el primer caso, esto es lo mismo que elevar a una potencia natural: después de todo, los números enteros positivos pertenecen al conjunto de los números naturales. Ya hemos hablado sobre cómo trabajar con estos títulos.

Ahora veamos cómo elevar correctamente a la potencia cero. Para una base distinta de cero, este cálculo siempre genera 1. Anteriormente explicamos que la potencia 0 de a se puede definir para cualquier número real distinto de 0, y a 0 = 1.

Ejemplo 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - no definido.

Nos queda sólo el caso de un grado con exponente entero negativo. Ya hemos comentado que dichos grados se pueden escribir como una fracción 1 a z, donde a es cualquier número y z es un número entero negativo. Vemos que el denominador de esta fracción no es más que una potencia ordinaria con un número entero indicador positivo, y ya hemos aprendido a calcularlo. Demos ejemplos de tareas.

Ejemplo 6

Eleve 3 a la potencia - 2.

Solución

Usando la definición anterior, escribimos: 2 - 3 = 1 2 3

Calculemos el denominador de esta fracción y obtengamos 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8.

Entonces la respuesta es: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Ejemplo 7

Eleva 1,43 a la potencia -2.

Solución

Reformulemos: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2

Calculamos el cuadrado en el denominador: 1,43·1,43. Los decimales se pueden multiplicar de esta forma:

Como resultado, obtuvimos (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449. Todo lo que tenemos que hacer es escribir este resultado en forma de una fracción ordinaria, para lo cual debemos multiplicarlo por 10 mil (consulte el material sobre cómo convertir fracciones).

Respuesta: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Un caso especial es elevar un número a la primera potencia menos. El valor de este grado es igual al recíproco del valor original de la base: a - 1 = 1 a 1 = 1 a.

Ejemplo 8

Ejemplo: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Cómo elevar un número a una potencia fraccionaria

Para realizar tal operación, debemos recordar la definición básica de un grado con exponente fraccionario: a m n = a m n para cualquier a positivo, entero m y n natural.

Definición 2

Por tanto, el cálculo de una potencia fraccionaria debe realizarse en dos pasos: elevar a una potencia entera y encontrar la raíz de la enésima potencia.

Tenemos la igualdad a m n = a m n , que, teniendo en cuenta las propiedades de las raíces, se suele utilizar para resolver problemas de la forma a m n = a n m . Esto significa que si elevamos un número a a una potencia fraccionaria m/n, primero sacamos la raíz enésima de a, luego elevamos el resultado a una potencia con un exponente entero m.

Ilustremos con un ejemplo.

Ejemplo 9

Calcula 8 - 2 3 .

Solución

Método 1: Según la definición básica, podemos representar esto como: 8 - 2 3 = 8 - 2 3

Ahora calculemos el grado bajo la raíz y extraigamos la tercera raíz del resultado: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Método 2. Transformar la igualdad básica: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2

Después de esto, extraemos la raíz 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 y elevamos al cuadrado el resultado: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Vemos que las soluciones son idénticas. Puedes usarlo como quieras.

Hay casos en que el título tiene un indicador expresado. numero mixto o decimal. Para facilitar los cálculos, es mejor reemplazarlo. fracción ordinaria y contar como arriba.

Ejemplo 10

Eleve 44, 89 a la potencia de 2, 5.

Solución

Convirtamos el valor del indicador en una fracción ordinaria: 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

Ahora realizamos en orden todas las acciones indicadas anteriormente: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501, 25107

Respuesta: 13 501, 25107.

Si el numerador y el denominador de un exponente fraccionario contienen números grandes, entonces calcular dichos exponentes con indicadores racionales- suficiente trabajo duro. Generalmente requiere tecnología informática.

Detengámonos por separado en potencias con base cero y exponente fraccionario. A una expresión de la forma 0 m n se le puede dar el siguiente significado: si m n > 0, entonces 0 m n = 0 m n = 0; si mn< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Cómo elevar un número a una potencia irracional

La necesidad de calcular el valor de una potencia cuyo exponente es un número irracional no surge tan a menudo. En la práctica, la tarea suele limitarse a calcular un valor aproximado (hasta un determinado número de decimales). Esto generalmente se calcula en una computadora debido a la complejidad de dichos cálculos, por lo que no nos detendremos en esto en detalle, solo indicaremos las disposiciones principales.

Si necesitamos calcular el valor de una potencia a con un exponente irracional a, entonces tomamos la aproximación decimal del exponente y contamos a partir de ella. El resultado será una respuesta aproximada. Cuanto más precisa sea la aproximación decimal, más precisa será la respuesta. Demostrémoslo con un ejemplo:

Ejemplo 11

Calcula el valor aproximado de 21, 174367....

Solución

Limitémonos a la aproximación decimal an = 1, 17. Realicemos cálculos usando este número: 2 1, 17 ≈ 2, 250116. Si tomamos, por ejemplo, la aproximación an = 1, 1743, entonces la respuesta será un poco más precisa: 2 1, 174367. . . ≈ 2 1, 1743 ≈ 2, 256833.

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