Raíz de tercer grado de 1 4. Calculadora de raíz enésima

Si tienes una calculadora a mano, extraer la raíz cúbica de cualquier número no será un problema. Pero si no tienes una calculadora o simplemente quieres impresionar a los demás, encuentra la raíz cúbica a mano. La mayoría de las personas encontrarán el proceso descrito aquí bastante complicado, pero con práctica, extraer raíces cúbicas será mucho más fácil. Antes de empezar a leer este artículo, recuerda las operaciones matemáticas básicas y los cálculos con números al cubo.

Pasos

Parte 1

Escribe la tarea. Sacar raíces cúbicas a mano es similar a la división larga, pero con algunos matices. Primero, escriba la tarea de una forma específica.

• Escribe el número del que quieres sacar la raíz cúbica. Divide el número en grupos de tres dígitos, comenzando con el punto decimal. Por ejemplo, necesitas sacar la raíz cúbica de 10. Escribe este número así: 10.000.000 Los ceros adicionales tienen como objetivo aumentar la precisión del resultado.
• Dibuja un signo de raíz al lado y encima del número. Piense en ello como las líneas horizontales y verticales que dibuja al dividir. La única diferencia es la forma de los dos signos.
• Coloque un punto decimal encima de la línea horizontal. Haga esto directamente encima del punto decimal del número original.

1. Recuerda los resultados de números enteros al cubo. Se utilizarán en los cálculos.

   • 1 3 = 1 ∗ 1 ∗ 1 = 1 (\displaystyle 1^(3)=1*1*1=1)
   • 2 3 = 2 ∗ 2 ∗ 2 = 8 (\displaystyle 2^(3)=2*2*2=8)
   • 3 3 = 3 ∗ 3 ∗ 3 = 27 (\displaystyle 3^(3)=3*3*3=27)
   • 4 3 = 4 ∗ 4 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 4^(3)=4*4*4=64)
   • 5 3 = 5 ∗ 5 ∗ 5 = 125 (\displaystyle 5^(3)=5*5*5=125)
   • 6 3 = 6 ∗ 6 ∗ 6 = 216 (\displaystyle 6^(3)=6*6*6=216)
   • 7 3 = 7 ∗ 7 ∗ 7 = 343 (\displaystyle 7^(3)=7*7*7=343)
   • 8 3 = 8 ∗ 8 ∗ 8 = 512 (\displaystyle 8^(3)=8*8*8=512)
   • 9 3 = 9 ∗ 9 ∗ 9 = 729 (\displaystyle 9^(3)=9*9*9=729)
   • 10 3 = 10 ∗ 10 ∗ 10 = 1000 (\displaystyle 10^(3)=10*10*10=1000)

2. Encuentra el primer dígito de la respuesta. Elija el cubo del número entero que sea más cercano pero más pequeño que el primer grupo de tres dígitos.

   • En nuestro ejemplo, el primer grupo de tres dígitos es el número 10. Encuentra el cubo más grande que sea menor que 10. Este cubo es 8 y la raíz cúbica de 8 es 2.
   • Sobre la línea horizontal sobre el número 10, escribe el número 2. Luego escribe el valor de la operación. 2 3 (\displaystyle 2^(3))= 8 menos de 10. Dibuja una línea y resta 8 de 10 (como en división ordinaria en una columna). El resultado es 2 (este es el primer resto).
   • Por lo tanto, has encontrado el primer dígito de la respuesta. Piensa si este resultado bastante preciso. En la mayoría de los casos, esta será una respuesta muy aproximada. Cubre el resultado para saber qué tan cerca está del número original. En nuestro ejemplo: 2 3 (\displaystyle 2^(3))= 8, que no está muy cerca de 10, por lo que es necesario continuar con los cálculos.

3. Encuentra el siguiente dígito de la respuesta. Agrega un segundo grupo de tres dígitos al primer resto y dibuja una línea vertical a la izquierda del número resultante. Usando el número resultante encontrarás el segundo dígito de la respuesta. En nuestro ejemplo, necesitamos sumar un segundo grupo de tres dígitos (000) al primer resto (2) para obtener el número 2000.

   • A la izquierda de la línea vertical escribirás tres números, cuya suma es igual a un primer factor determinado. Deje espacios vacíos para estos números y coloque signos más entre ellos.

4. Encuentra el primer término (de tres). En el primer espacio vacío, escribe el resultado de multiplicar el número 300 por el cuadrado del primer dígito de la respuesta (está escrito encima del signo de la raíz). En nuestro ejemplo, el primer dígito de la respuesta es 2, por lo que 300*(2^2) = 300*4 = 1200. Escribe 1200 en el primer espacio en blanco. El primer término es el número 1200 (más dos números más para encontrar).

   Encuentra el segundo dígito de la respuesta. Averigua por qué número necesitas multiplicar 1200 para que el resultado se acerque, pero no supere 2000. Este número sólo puede ser 1, ya que 2 * 1200 = 2400, que es más que 2000. Escribe 1 (el segundo dígito de la respuesta) después de 2 y el punto decimal encima del signo raíz.

   Encuentra el segundo y tercer término (de tres). El multiplicador consta de tres números (términos), el primero de los cuales ya has encontrado (1200). Ahora necesitamos encontrar los dos términos restantes.

   • Multiplica 3 por 10 y por cada dígito de la respuesta (están escritos encima del signo raíz). En nuestro ejemplo: 3*10*2*1 = 60. Suma este resultado a 1200 y obtén 1260.
   • Finalmente, eleva al cuadrado el último dígito de tu respuesta. En nuestro ejemplo, el último dígito de la respuesta es 1, por lo que 1^2 = 1. Por lo tanto, el primer factor es igual a la suma de los siguientes números: 1200 + 60 + 1 = 1261. Escribe este número a la izquierda de la barra vertical.

5. Multiplica y resta. Multiplica el último dígito de la respuesta (en nuestro ejemplo es 1) por el factor encontrado (1261): 1*1261 = 1261. Escribe este número debajo de 2000 y réstalo de 2000. Obtendrás 739 (este es el segundo resto ).

6. Considere si la respuesta que recibe es lo suficientemente precisa. Haz esto cada vez que completes otra resta. Después de la primera resta, la respuesta fue 2, lo cual no es un resultado exacto. Después de la segunda resta, la respuesta es 2,1.

   • Para comprobar la exactitud de tu respuesta, eleva al cubo: 2,1*2,1*2,1 = 9,261.
   • Si cree que la respuesta es lo suficientemente precisa, no es necesario que continúe con los cálculos; de lo contrario, haz otra resta.

7. Encuentra el segundo factor. Para practicar sus cálculos y obtener un resultado más preciso, repita los pasos anteriores.

   • Al segundo resto (739) agregue el tercer grupo de tres dígitos (000). Obtendrá el número 739000.
   • Multiplica 300 por el cuadrado del número escrito encima del signo raíz (21): 300 ∗ 21 2 (\displaystyle 300*21^(2)) = 132300.
   • Encuentra el tercer dígito de la respuesta. Descubra por qué número necesita multiplicar 132300 para que el resultado se acerque a 739000, pero no lo supere. Este número es 5: 5 * 132200 = 661500. Escriba 5 (el tercer dígito de la respuesta) después del 1 encima del signo raíz.
   • Multiplica 3 por 10 por 21 y por el último dígito de la respuesta (están escritos encima del signo raíz). En nuestro ejemplo: 3 ∗ 21 ∗ 5 ∗ 10 = 3150 (\displaystyle 3*21*5*10=3150).
   • Finalmente, eleva al cuadrado el último dígito de tu respuesta. En nuestro ejemplo, el último dígito de la respuesta es 5, por lo que 5 2 = 25. (\displaystyle 5^(2)=25.)
   • Así, el segundo multiplicador es: 132300 + 3150 + 25 = 135475.

8. Multiplica el último dígito de la respuesta por el segundo factor. Una vez que hayas encontrado el segundo factor y el tercer dígito de la respuesta, procede de la siguiente manera:

   • Multiplica el último dígito de la respuesta por el factor encontrado: 135475*5 = 677375.
   • Restar: 739000-677375 = 61625.
   • Considere si la respuesta que recibe es lo suficientemente precisa. Para hacer esto, cúbralo en cubos: 2, 15 ∗ 2, 15 ∗ 2, 15 = 9, 94 (\displaystyle 2,15*2,15*2,15=9,94).

9. Escribe tu respuesta. El resultado, escrito encima del signo raíz, es la respuesta con una precisión de dos decimales. En nuestro ejemplo, la raíz cúbica de 10 es 2,15. Comprueba tu respuesta al elevarla al cubo: 2,15^3 = 9,94, que es aproximadamente 10. Si necesitas más precisión, continúa con el cálculo (como se describe arriba).

   parte 2

   Extracción de la raíz cúbica mediante el método de estimación.

   1. Utilice cubos numéricos para determinar los límites superior e inferior. Si necesitas sacar la raíz cúbica de casi cualquier número, encuentra los cubos (de algunos números) que estén cerca del número dado.

      • Por ejemplo, necesitas sacar la raíz cúbica de 600. Dado que 8 3 = 512 (\displaystyle 8^(3)=512) Y 9 3 = 729 (\displaystyle 9^(3)=729), entonces el valor de la raíz cúbica de 600 está entre 8 y 9. Por lo tanto, utiliza los números 512 y 729 como límites superior e inferior de la respuesta.

   2. Estima el segundo número. Encontraste el primer número gracias a tus conocimientos de cubos de números enteros. Ahora convierta el número entero en una fracción decimal sumándole (después del punto decimal) un cierto número del 0 al 9. Necesita encontrar una fracción decimal cuyo cubo esté cerca, pero menor, del número original.

      • En nuestro ejemplo, el número 600 se encuentra entre los números 512 y 729. Por ejemplo, suma el número 5 al primer número encontrado (8). El número que obtienes es 8,5.
   3. • En nuestro ejemplo: 8, 5 ∗ 8, 5 ∗ 8, 5 = 614, 1. (\displaystyle 8.5*8.5*8.5=614.1.)

   4. Compara el cubo del número resultante con el número original. Si el cubo del número resultante es mayor que el número original, intenta estimar el número menor. Si el cubo del número resultante es mucho menor que el número original, estima números grandes hasta que el cubo de uno de ellos supere el número original.

      • En nuestro ejemplo: 8, 5 3 (\displaystyle 8.5^(3))> 600. Así que evalúe el número menor como 8,4. Cubre este número y compáralo con el número original: 8, 4 ∗ 8, 4 ∗ 8, 4 = 592, 7 (\displaystyle 8.4*8.4*8.4=592.7). Este resultado es menor que el número original. Entonces la raíz cúbica de 600 está entre 8,4 y 8,5.

   5. Tasa siguiente numero para mejorar la precisión de las respuestas. Para cada número que estimaste por última vez, suma un número del 0 al 9 hasta obtener la respuesta exacta. En cada ronda de evaluación, debes encontrar los límites superior e inferior entre los que se encuentra el número original.

      • En nuestro ejemplo: 8, 4 3 = 592, 7 (\displaystyle 8,4^(3)=592,7) Y 8, 5 3 = 614, 1 (\displaystyle 8,5^(3)=614,1). El número original 600 está más cerca de 592 que de 614. Por lo tanto, al último número que estimaste, asigna una cifra que esté más cerca de 0 que de 9. Por ejemplo, ese número es 4. Por lo tanto, eleva al cubo el número 8,44.

   6. Si es necesario, calcule un número diferente. Compara el cubo del número resultante con el número original. Si el cubo del número resultante es mayor que el número original, intenta estimar el número menor. En resumen, necesitas encontrar dos números cuyos cubos sean un poco más grandes y un poco más pequeños que el número original.

      • En nuestro ejemplo 8, 44 ∗ 8, 44 ∗ 8, 44 = 601, 2 (\displaystyle 8.44*8.44*8.44=601.2). Este es ligeramente mayor que el número original, así que estime otro número (más pequeño), como 8,43: 8, 43 ∗ 8, 43 ∗ 8, 43 = 599, 07 (\displaystyle 8.43*8.43*8.43=599.07). Por tanto, la raíz cúbica de 600 se encuentra entre 8,43 y 8,44.

   7. Siga el proceso descrito hasta que obtenga una respuesta con la que esté satisfecho. Estima el siguiente número, compáralo con el original, luego, si es necesario, estima otro número, y así sucesivamente. Tenga en cuenta que cada dígito adicional después del punto decimal aumenta la precisión de la respuesta.

      • En nuestro ejemplo, el cubo de 8,43 es menos de 1 menos que el número original. Si necesita más precisión, cubo 8,434 y obtenga: 8, 434 3 = 599, 93 (\displaystyle 8,434^(3)=599,93), es decir, el resultado es menos de 0,1 menos que el número original.

La raíz enésima de un número x es un número z no negativo que, elevado a la enésima potencia, se convierte en x. La determinación de la raíz está incluida en la lista de operaciones aritméticas básicas con las que nos familiarizamos en la infancia.

Notación matemática

"Raíz" proviene del vocablo latino radix y hoy en día se utiliza la palabra "radical" como sinónimo de este término matemático. Desde el siglo XIII, los matemáticos han denotado la operación raíz con la letra r con una barra horizontal sobre la expresión radical. En el siglo XVI se introdujo la designación V, que gradualmente reemplazó al signo r, pero se mantuvo la línea horizontal. Es fácil mecanografiar en una imprenta o escribir a mano, pero se ha extendido en la edición y la programación electrónica. designación de letra raíz - sqrt. Así es como denotaremos las raíces cuadradas en este artículo.

Raíz cuadrada

El radical cuadrado de un número x es un número z que multiplicado por sí mismo da como resultado x. Por ejemplo, si multiplicamos 2 por 2, obtenemos 4. En este caso, dos es raíz cuadrada de cuatro. Multiplicamos 5 por 5, obtenemos 25 y ahora ya sabemos el valor de la expresión sqrt(25). Podemos multiplicar y – 12 por −12 para obtener 144, y el radical de 144 es 12 y −12. Obviamente, las raíces cuadradas pueden ser números tanto positivos como negativos.

El peculiar dualismo de tales raíces es importante para resolver ecuaciones cuadráticas Por lo tanto, al buscar respuestas a este tipo de problemas, es necesario indicar ambas raíces. Al resolver expresiones algebraicas se utilizan raíces cuadradas aritméticas, es decir, solo sus valores positivos.

Los números cuyas raíces cuadradas son números enteros se llaman cuadrados perfectos. Existe una secuencia completa de tales números, cuyo comienzo se parece a:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256…

Las raíces cuadradas de otros números son números irracionales. Por ejemplo, sqrt(3) = 1,73205080757... y así sucesivamente. Este número es infinito y no periódico, lo que provoca algunas dificultades a la hora de calcular dichos radicales.

El curso de matemáticas de la escuela establece que no se pueden sacar raíces cuadradas de números negativos. Como aprendemos en un curso universitario sobre análisis matemático, esto puede y debe hacerse; por eso se necesitan los números complejos. Sin embargo, nuestro programa está diseñado para extraer valores de raíces reales, por lo que no calcula ni siquiera radicales a partir de números negativos.

raíz cúbica

El radical cúbico de un número x es un número z que multiplicado por sí mismo tres veces da el número x. Por ejemplo, si multiplicamos 2 × 2 × 2, obtenemos 8. Por lo tanto, dos es la raíz cúbica de ocho. Multiplica el cuatro por sí mismo tres veces y obtienes 4 × 4 × 4 = 64. Obviamente, el cuatro es la raíz cúbica del número 64. Existe una secuencia infinita de números cuyos radicales cúbicos son números enteros. Su comienzo se parece a:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744…

Para otros números, las raíces cúbicas son números irracionales. A diferencia de los radicales cuadrados, las raíces cúbicas, como cualquier raíz impar, se pueden derivar de números negativos. Se trata del producto de números menores que cero. Menos por menos da un más, una regla conocida en la escuela. Y un menos por un más da un menos. Si multiplicas números negativos un número impar de veces, el resultado también será negativo, por lo tanto, extrae el radical impar de número negativo nada nos molesta.

Sin embargo, el programa de calculadora funciona de manera diferente. Básicamente, extraer una raíz es elevarla a la potencia inversa. Se considera que la raíz cuadrada está elevada a la potencia de 1/2 y la raíz cúbica se considera elevada a la potencia de 1/3. La fórmula para elevar a la potencia de 1/3 se puede reorganizar y expresar como 2/6. El resultado es el mismo, pero no se puede extraer dicha raíz de un número negativo. Por tanto, nuestra calculadora calcula raíces aritméticas sólo a partir de números positivos.

raíz enésima

Un método tan sofisticado para calcular radicales le permite determinar raíces de cualquier grado a partir de cualquier expresión. Puedes sacar la raíz quinta de un cubo de un número o el radical 19 de un número a la 12ª potencia. Todo esto se implementa elegantemente en forma de elevación a la potencia de 3/5 o 12/19, respectivamente.

Veamos un ejemplo

diagonal de un cuadrado

Los antiguos griegos conocían la irracionalidad de la diagonal de un cuadrado. Se enfrentaron al problema de calcular la diagonal de un cuadrado plano, ya que su longitud es siempre proporcional a la raíz de dos. La fórmula para determinar la longitud de la diagonal se deriva y finalmente toma la forma:

d = a × raíz cuadrada (2).

Determinemos el radical cuadrado de dos usando nuestra calculadora. Ingresemos el valor 2 en la celda "Número (x)", y también 2 en la celda "Grado (n)". Como resultado, obtenemos la expresión sqrt(2) = 1,4142. Así, para estimar aproximadamente la diagonal de un cuadrado, basta con multiplicar su lado por 1,4142.

Conclusión

Encontrar un radical es una operación aritmética estándar, sin la cual los cálculos científicos o de diseño son indispensables. Por supuesto, no necesitamos determinar raíces para resolver problemas cotidianos, pero nuestra calculadora en línea definitivamente será útil para que los escolares o estudiantes revisen sus tareas de álgebra o cálculo.

Instrucciones

Para elevar un número a la potencia de 1/3, ingrese el número, luego haga clic en el botón de exponenciación e ingrese el valor aproximado de 1/3 - 0,333. Esta precisión es suficiente para la mayoría de los cálculos. Sin embargo, es muy fácil aumentar la precisión de los cálculos: simplemente agregue tantos tripletes como quepan en el indicador de la calculadora (por ejemplo, 0,3333333333333333). Luego haga clic en el botón "=".

Para calcular la tercera raíz usando una computadora, ejecute el programa de calculadora de Windows. El procedimiento para calcular la raíz tercera es completamente similar al descrito anteriormente. La única diferencia está en el diseño del botón de exponenciación. En el teclado virtual de la calculadora se indica como “x^y”.

La tercera raíz también se puede calcular en MS Excel. Para hacer esto, ingrese “=" en cualquier celda y seleccione el ícono "insertar" (fx). Seleccione la función "GRADO" en la ventana que aparece y haga clic en el botón "Aceptar". En la ventana que aparece, ingresa el valor del número para el cual deseas calcular la raíz tercera. En "Grado" ingrese el número "1/3". Escriba el número 1/3 exactamente en este formulario, como uno normal. Después de eso, haga clic en el botón "Aceptar". En la celda de la tabla donde se creó, aparecerá una raíz cúbica debido a numero dado.

Si es necesario calcular la tercera raíz constantemente, mejore ligeramente el método descrito anteriormente. Para el número del que desea extraer la raíz, indique no el número en sí, sino una celda de la tabla. Después de eso, simplemente ingrese el número original en esta celda cada vez; su raíz cúbica aparecerá en la celda con la fórmula.

Vídeo sobre el tema.

tenga en cuenta

Conclusión. En este trabajo consideramos varios metodos calcular valores de raíz cúbica. Resultó que los valores de la raíz cúbica se pueden encontrar usando el método de iteración, también puedes aproximar la raíz cúbica, elevar el número a la potencia de 1/3, buscar los valores de la tercera raíz usando Microsoft Office Ecxel, estableciendo fórmulas en celdas.

Consejos útiles

Las raíces de segundo y tercer grado se utilizan con especial frecuencia y, por lo tanto, tienen nombres especiales. Raíz cuadrada: en este caso, el exponente generalmente se omite y el término "raíz" sin especificar el exponente suele implicar la raíz cuadrada. Cálculo práctico de raíces Algoritmo para encontrar la raíz de enésimo grado. Todas las calculadoras suelen incluir raíces cuadradas y cúbicas.

Fuentes:

• tercera raíz
• Cómo llevar la raíz cuadrada a la enésima potencia en Excel

La operación de encontrar la raíz. tercero grados Se suele llamar extracción de la raíz “cúbica”, y consiste en encontrar un número real, cuyo cubo dará un valor igual al número radical. La operación de extraer cualquier raíz aritmética. grados n es equivalente a la operación de elevar a la potencia 1/n. Existen varios métodos que puedes utilizar para calcular prácticamente la raíz cúbica.

Al resolver algunos problemas técnicos, puede ser necesario calcular la raíz. tercero grados. A veces este número también se llama raíz cúbica. Raíz tercero grados De un número dado se llama un número cuyo cubo (tercera potencia) es igual al dado. Es decir, si y es una raíz tercero grados número x, entonces se debe cumplir la siguiente condición: y?=x (x es igual al cubo).

necesitarás

• calculadora o computadora

Instrucciones

• Para calcular la raíz tercero grados, usa la calculadora. Es aconsejable que no se trate de una calculadora ordinaria, sino de una calculadora que se utiliza para cálculos de ingeniería. Sin embargo, incluso en una calculadora de este tipo no encontrará un botón especial para extraer la raíz. tercero grados. Entonces usa una función para elevar un número a una potencia. Extracción de raíces tercero grados corresponde a elevar a la potencia de 1/3 (un tercio).
• Para elevar un número a la potencia de 1/3, escriba el número en el teclado de la calculadora. Luego presione la tecla “exponenciación”. Un botón de este tipo, según el tipo de calculadora, puede parecerse a xy (y es un superíndice). Dado que la mayoría de las calculadoras no tienen la capacidad de trabajar con fracciones ordinarias (no decimales), en lugar del número 1/3, ingrese su valor aproximado: 0,33. Para obtener una mayor precisión en los cálculos, debe aumentar el número de "tres", por ejemplo, marcar 0,33333333333333. Luego, haga clic en el botón “=".
• Para calcular la raíz tercero grados en su computadora, use una calculadora estándar de Windows. El procedimiento es completamente similar al descrito en el párrafo anterior de las instrucciones. La única diferencia es la designación del botón de exponenciación. En una calculadora “computadora” parece x^y.
• si la raíz tercero grados Si tiene que contar sistemáticamente, utilice MS Excel. Para calcular la raíz tercero grados en Excel, ingrese el signo "=" en cualquier celda y luego seleccione el ícono "fx" - inserte una función. En la ventana que aparece, en la lista "Seleccionar una función", seleccione la línea "GRADO". Haga clic en el botón "Aceptar". En la nueva ventana que aparece, ingresa en la línea “Número” el valor del número del cual deseas extraer la raíz. En la línea "Grado", ingrese el número "1/3" y haga clic en "Aceptar". El valor deseado de la raíz cúbica del número original aparecerá en la celda de la tabla.