Cómo deshacerse del logaritmo. Ecuaciones logarítmicas. Cómo resolver ecuaciones logarítmicas

En esta lección revisaremos los hechos teóricos básicos sobre los logaritmos y consideraremos cómo resolver las ecuaciones logarítmicas más simples.

Recordemos la definición central: la definición de logaritmo. Se trata de resolver una ecuación exponencial. Esta ecuación tiene una sola raíz, se llama logaritmo de b en base a:

Definición:

El logaritmo de b en base a es el exponente al que se debe elevar la base a para obtener b.

Déjanos recordarte identidad logarítmica básica.

La expresión (expresión 1) es la raíz de la ecuación (expresión 2). Sustituya el valor x de la expresión 1 en lugar de x en la expresión 2 y obtenga la identidad logarítmica principal:

Entonces vemos que cada valor está asociado a un valor. Denotamos b por x(), c por y, y así obtenemos una función logarítmica:

Por ejemplo:

Recordemos las propiedades básicas de la función logarítmica.

Prestemos atención una vez más aquí, ya que bajo el logaritmo puede haber una expresión estrictamente positiva, como la base del logaritmo.

Arroz. 1. Gráfica de una función logarítmica con diferentes bases

La gráfica de la función en se muestra en negro. Arroz. 1. Si el argumento aumenta de cero a infinito, la función aumenta de menos a más infinito.

La gráfica de la función en se muestra en rojo. Arroz. 1.

Propiedades de esta función:

Dominio: ;

Rango de valores: ;

La función es monótona en todo su dominio de definición. Cuando aumenta monótonamente (estrictamente), un valor mayor del argumento corresponde a un valor mayor de la función. Cuando disminuye monótonamente (estrictamente), un valor mayor del argumento corresponde a un valor menor de la función.

Las propiedades de la función logarítmica son la clave para resolver una variedad de ecuaciones logarítmicas.

Consideremos la ecuación logarítmica más simple; todas las demás ecuaciones logarítmicas, por regla general, se reducen a esta forma.

Dado que las bases de los logaritmos y los logaritmos mismos son iguales, las funciones bajo el logaritmo también son iguales, pero no debemos perder el dominio de la definición. Debajo del logaritmo sólo puede aparecer un número positivo, tenemos:

Descubrimos que las funciones f y g son iguales, por lo que basta con elegir cualquier desigualdad para cumplir con la ODZ.

Así que tenemos sistema mixto, en el que hay una ecuación y desigualdad:

Como regla general, no es necesario resolver una desigualdad; basta con resolver la ecuación y sustituir las raíces encontradas en la desigualdad, realizando así una verificación.

Formulemos un método para resolver las ecuaciones logarítmicas más simples:

Igualar las bases de logaritmos;

Igualar funciones sublogarítmicas;

Realizar verificación.

Veamos ejemplos específicos.

Ejemplo 1: resuelve la ecuación:

Las bases de los logaritmos son inicialmente iguales, tenemos derecho a igualar expresiones logarítmicas, no te olvides de la ODZ, elijamos el primer logaritmo para compilar la desigualdad:

Ejemplo 2: resuelve la ecuación:

Esta ecuación se diferencia de la anterior en que las bases de los logaritmos son menores que uno, pero esto no afecta de ninguna manera la solución:

Encontremos la raíz y sustituyémosla en la desigualdad:

Recibimos una desigualdad incorrecta, lo que significa que la raíz encontrada no satisface la ODZ.

Ejemplo 3: resuelve la ecuación:

Las bases de los logaritmos son inicialmente iguales, tenemos derecho a igualar expresiones sublogarítmicas, no nos olvidemos de la ODZ, elegimos el segundo logaritmo para componer la desigualdad:

Encontremos la raíz y sustituyémosla en la desigualdad:

Obviamente, sólo la primera raíz satisface la ODZ.

Instrucciones

Escribe la expresión logarítmica dada. Si la expresión usa el logaritmo de 10, entonces su notación se acorta y queda así: lg b es el logaritmo decimal. Si el logaritmo tiene el número e como base, entonces escribe la expresión: ln b – logaritmo natural. Se entiende que el resultado de any es la potencia a la que se debe elevar el número base para obtener el número b.

Al encontrar la suma de dos funciones, simplemente necesitas diferenciarlas una por una y sumar los resultados: (u+v)" = u"+v";

Para encontrar la derivada del producto de dos funciones, es necesario multiplicar la derivada de la primera función por la segunda y sumar la derivada de la segunda función multiplicada por la primera función: (u*v)" = u"*v +v"*u;

Para encontrar la derivada del cociente de dos funciones, es necesario restar del producto de la derivada del dividendo multiplicada por la función divisora el producto de la derivada del divisor multiplicada por la función del dividendo y dividir todo esto mediante la función divisora al cuadrado. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

si se da función compleja, entonces es necesario multiplicar la derivada de función interna y la derivada del externo. Sea y=u(v(x)), entonces y"(x)=y"(u)*v"(x).

Utilizando los resultados obtenidos anteriormente, puedes diferenciar casi cualquier función. Así que veamos algunos ejemplos:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *X));
También existen problemas relacionados con el cálculo de la derivada en un punto. Deje que se dé la función y=e^(x^2+6x+5), necesita encontrar el valor de la función en el punto x=1.
1) Encuentra la derivada de la función: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Calcular el valor de la función en Punto dado y"(1)=8*e^0=8

Vídeo sobre el tema.

Consejo útil

Aprende la tabla de derivadas elementales. Esto ahorrará mucho tiempo.

Fuentes:

derivada de una constante

Entonces, ¿cuál es la diferencia entre ecuación racional de lo racional? Si la variable desconocida está bajo el signo raíz cuadrada, entonces la ecuación se considera irracional.

Instrucciones

El método principal para resolver tales ecuaciones es el método de construir ambos lados. ecuaciones en un cuadrado. Sin embargo. Esto es natural, lo primero que debes hacer es deshacerte del letrero. Este método no es técnicamente difícil, pero a veces puede ocasionar problemas. Por ejemplo, la ecuación es v(2x-5)=v(4x-7). Al elevar al cuadrado ambos lados se obtiene 2x-5=4x-7. Resolver tal ecuación no es difícil; x=1. Pero el número 1 no se dará. ecuaciones. ¿Por qué? Sustituye uno en la ecuación en lugar del valor de x. Y los lados derecho e izquierdo contendrán expresiones que no tienen sentido. Este valor no es válido para una raíz cuadrada. Por lo tanto, 1 es una raíz extraña y, por lo tanto, esta ecuación no tiene raíces.

Entonces, una ecuación irracional se resuelve usando el método de elevar al cuadrado ambos lados. Y una vez resuelta la ecuación, es necesario cortar las raíces extrañas. Para hacer esto, sustituye las raíces encontradas en la ecuación original.

Considere otro.
2х+vх-3=0
Por supuesto, esta ecuación se puede resolver usando la misma ecuación que la anterior. Mover compuestos ecuaciones, que no tienen raíz cuadrada, hacia el lado derecho y luego usa el método de elevar al cuadrado. resuelva la ecuación racional resultante y las raíces. Pero también otro más elegante. Ingrese una nueva variable; vх=y. En consecuencia, recibirá una ecuación de la forma 2y2+y-3=0. Es decir, lo habitual. ecuación cuadrática. Encuentra sus raíces; y1=1 y y2=-3/2. A continuación, resuelve dos ecuaciones vх=1; vх=-3/2. La segunda ecuación no tiene raíces; de la primera encontramos que x=1. No olvides revisar las raíces.

Resolver identidades es bastante sencillo. Para ello es necesario realizar transformaciones idénticas hasta conseguir el objetivo marcado. Así, con la ayuda de los más simples. operaciones aritmeticas la tarea en cuestión estará resuelta.

Necesitará

- papel;
- bolígrafo.

Instrucciones

Las más simples de estas transformaciones son las multiplicaciones algebraicas abreviadas (como el cuadrado de la suma (diferencia), la diferencia de cuadrados, la suma (diferencia), el cubo de la suma (diferencia)). Además, existen muchas fórmulas trigonométricas, que son esencialmente las mismas identidades.

En efecto, el cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primero más el doble del producto del primero por el segundo y más el cuadrado del segundo, es decir, (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2.

Simplifica ambos

Principios generales de la solución.

Repita de un libro de texto sobre análisis matemático o matemáticas superiores qué es una integral definida. Como se sabe, la solución integral definida hay una función cuya derivada da un integrando. Esta función se llama antiderivada. Con base en este principio, se construyen las integrales principales.
Determine por el tipo de integrando cuál de las integrales de tabla es adecuada en este caso. No siempre es posible determinar esto de inmediato. A menudo, la forma tabular se vuelve perceptible sólo después de varias transformaciones para simplificar el integrando.

Método de reemplazo variable

Si la función integrando es Funcion trigonometrica, cuyo argumento contiene algún polinomio, intente utilizar el método de reemplazo de variables. Para hacer esto, reemplace el polinomio en el argumento del integrando con alguna variable nueva. Con base en la relación entre las variables nuevas y antiguas, determine los nuevos límites de integración. Al derivar esta expresión, encuentre el nuevo diferencial en . Entonces obtendrás el nuevo tipo de la integral anterior, cercana o incluso correspondiente a cualquier tabular.

Resolver integrales de segundo tipo.

Si la integral es una integral del segundo tipo, una forma vectorial del integrando, entonces necesitarás usar las reglas para la transición de estas integrales a las escalares. Una de esas reglas es la relación Ostrogradsky-Gauss. Esta ley nos permite pasar del flujo del rotor de una determinada función vectorial a la integral triple sobre la divergencia de un campo vectorial determinado.

Sustitución de límites de integración

Después de encontrar la primitiva, es necesario sustituir los límites de integración. Primero, sustituye el valor del límite superior en la expresión de la antiderivada. Obtendrás algún número. Luego, reste del número resultante otro número obtenido del límite inferior en la primitiva. Si uno de los límites de integración es el infinito, entonces al sustituirlo en la función antiderivada, es necesario ir al límite y encontrar a qué tiende la expresión.
Si la integral es bidimensional o tridimensional, entonces tendrás que representar geométricamente los límites de integración para entender cómo evaluar la integral. De hecho, en el caso de, digamos, una integral tridimensional, los límites de integración pueden ser planos enteros que limitan el volumen que se integra.

Como sabes, al multiplicar expresiones con potencias, sus exponentes siempre suman (a b *a c = a b+c). Esta ley matemática fue deducida por Arquímedes y, más tarde, en el siglo VIII, el matemático Virasen creó una tabla de exponentes enteros. Fueron ellos quienes sirvieron para un mayor descubrimiento de los logaritmos. Se pueden encontrar ejemplos del uso de esta función en casi todos los lugares donde es necesario simplificar una multiplicación engorrosa mediante una simple suma. Si dedicas 10 minutos a leer este artículo, te explicaremos qué son los logaritmos y cómo trabajar con ellos. En un lenguaje sencillo y accesible.

Definición en matemáticas

Un logaritmo es una expresión de la siguiente forma: log a b=c, es decir, el logaritmo de cualquier número no negativo (es decir, cualquier positivo) “b” a su base “a” se considera la potencia “c ” a lo cual es necesario elevar la base “a” para finalmente obtener el valor “b”. Analicemos el logaritmo usando ejemplos, digamos que hay una expresión log 2 8. ¿Cómo encontrar la respuesta? Es muy simple, necesitas encontrar una potencia tal que de 2 a la potencia requerida obtengas 8. Después de hacer algunos cálculos mentales, ¡obtenemos el número 3! Y eso es cierto, porque 2 elevado a 3 da la respuesta 8.

Tipos de logaritmos

Para muchos alumnos y estudiantes, este tema parece complicado e incomprensible, pero en realidad los logaritmos no dan tanto miedo, lo principal es comprender su significado general y recordar sus propiedades y algunas reglas. Hay tres especies individuales expresiones logarítmicas:

Logaritmo natural en a, donde la base es el número de Euler (e = 2,7).
Decimal a, donde la base es 10.
Logaritmo de cualquier número b en base a>1.

Cada uno de ellos se resuelve de forma estándar, incluyendo simplificación, reducción y posterior reducción a un solo logaritmo mediante teoremas logarítmicos. Para obtener los valores correctos de los logaritmos, conviene recordar sus propiedades y la secuencia de acciones a la hora de resolverlos.

Reglas y algunas restricciones.

En matemáticas existen varias reglas-restricciones que se aceptan como axioma, es decir, no están sujetas a discusión y son la verdad. Por ejemplo, es imposible dividir números por cero y también es imposible extraer una raíz par de números negativos. Los logaritmos también tienen sus propias reglas, siguiendo las cuales puedes aprender fácilmente a trabajar incluso con expresiones logarítmicas largas y amplias:

La base “a” siempre debe ser mayor que cero, y no igual a 1, de lo contrario la expresión perderá su significado, porque “1” y “0” en cualquier grado siempre son iguales a sus valores;
si a > 0, entonces a b >0, resulta que “c” también debe ser mayor que cero.

¿Cómo resolver logaritmos?

Por ejemplo, la tarea es encontrar la respuesta a la ecuación 10 x = 100. Esto es muy fácil, debes elegir una potencia elevando el número diez a lo que obtenemos 100. Esto, por supuesto, es 10 2 = 100.

Ahora representemos esta expresión en forma logarítmica. Obtenemos log 10 · 100 = 2. Al resolver logaritmos, todas las acciones prácticamente convergen para encontrar la potencia a la que es necesario ingresar la base del logaritmo para obtener un número determinado.

Para determinar con precisión el valor de un grado desconocido, es necesario aprender a trabajar con una tabla de grados. Se parece a esto:

Como puedes ver, algunos exponentes se pueden adivinar intuitivamente si tienes una mente técnica y conocimientos de la tabla de multiplicar. Sin embargo, para valores mayores necesitarás una tabla de potencia. Puede ser utilizado incluso por aquellos que no saben nada sobre complejos temas matemáticos. La columna de la izquierda contiene números (base a), fila superior números es el valor de la potencia c a la que se eleva el número a. En la intersección, las celdas contienen los valores numéricos que son la respuesta (a c =b). Tomemos, por ejemplo, la primera celda con el número 10 y la elevamos al cuadrado, obtenemos el valor 100, que se indica en la intersección de nuestras dos celdas. ¡Todo es tan simple y fácil que incluso el humanista más verdadero lo entenderá!

Ecuaciones y desigualdades

Resulta que bajo ciertas condiciones el exponente es el logaritmo. Por tanto, cualquier expresión numérica matemática se puede escribir como una igualdad logarítmica. Por ejemplo, 3 4 =81 se puede escribir como el logaritmo en base 3 de 81 igual a cuatro (log 3 81 = 4). Para poderes negativos las reglas son las mismas: 2 -5 = 1/32 lo escribimos como un logaritmo, obtenemos log 2 (1/32) = -5. Una de las secciones más fascinantes de las matemáticas es el tema de los "logaritmos". Veremos ejemplos y soluciones de ecuaciones a continuación, inmediatamente después de estudiar sus propiedades. Ahora veamos cómo son las desigualdades y cómo distinguirlas de las ecuaciones.

Se da la siguiente expresión: log 2 (x-1) > 3 - es una desigualdad logarítmica, ya que el valor desconocido “x” está bajo el signo logarítmico. Y también en la expresión se comparan dos cantidades: el logaritmo del número deseado en base dos es mayor que el número tres.

La diferencia más importante entre ecuaciones logarítmicas y desigualdades es que las ecuaciones con logaritmos (ejemplo: logaritmo 2 x = √9) implican uno o más valores numéricos específicos en la respuesta, mientras que al resolver desigualdades, se definen como una región. valores aceptables y los puntos de interrupción de esta función. Como consecuencia, la respuesta no es un simple conjunto de números individuales, como en la respuesta a una ecuación, sino una serie o conjunto continuo de números.

Teoremas básicos sobre logaritmos

Al resolver problemas primitivos de encontrar los valores de un logaritmo, es posible que no se conozcan sus propiedades. Sin embargo, cuando se trata de ecuaciones o desigualdades logarítmicas, en primer lugar, es necesario comprender claramente y aplicar en la práctica todas las propiedades básicas de los logaritmos. Veremos ejemplos de ecuaciones más adelante; primero veamos cada propiedad con más detalle.

La identidad principal se ve así: a logaB =B. Se aplica sólo cuando a es mayor que 0, distinto de uno y B es mayor que cero.
El logaritmo del producto se puede representar en la siguiente fórmula: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. En este caso requisito previo es: d, s 1 y s 2 > 0; a≠1. Puedes dar una prueba de esta fórmula logarítmica, con ejemplos y solución. Sean log a s 1 = f 1 y log a s 2 = f 2, luego a f1 = s 1, a f2 = s 2. Obtenemos que s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (propiedades de grados), y luego por definición: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, que es lo que había que demostrar.
El logaritmo del cociente se ve así: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
El teorema en forma de fórmula toma la siguiente forma: log a q b n = n/q log a b.

Esta fórmula se llama "propiedad del grado de logaritmo". Se parece a las propiedades de los grados ordinarios, y no es sorprendente, porque todas las matemáticas se basan en postulados naturales. Veamos la prueba.

Sea log a b = t, resulta a t =b. Si elevamos ambas partes a la potencia m: a tn = b n ;

pero como a tn = (a q) nt/q = b n, entonces log a q b n = (n*t)/t, entonces log a q b n = n/q log a b. El teorema ha sido demostrado.

Ejemplos de problemas y desigualdades

Los tipos más comunes de problemas sobre logaritmos son ejemplos de ecuaciones y desigualdades. Se encuentran en casi todos los libros de problemas y también son una parte obligatoria de los exámenes de matemáticas. Para ingresar a una universidad o aprobar exámenes de ingreso en matemáticas, es necesario saber cómo resolver correctamente dichas tareas.

Desafortunadamente, no existe un plan o esquema único para resolver y determinar el valor desconocido del logaritmo, pero se pueden aplicar ciertas reglas a cada desigualdad matemática o ecuación logarítmica. En primer lugar, debe averiguar si la expresión se puede simplificar o conducir a apariencia general. Puedes simplificar expresiones logarítmicas largas si usas sus propiedades correctamente. Conozcámoslos rápidamente.

A la hora de resolver ecuaciones logarítmicas debemos determinar qué tipo de logaritmo tenemos: una expresión de ejemplo puede contener un logaritmo natural o uno decimal.

A continuación se muestran ejemplos ln100, ln1026. Su solución se reduce al hecho de que necesitan determinar la potencia a la que la base 10 será igual a 100 y 1026, respectivamente. Para soluciones logaritmos naturales necesito aplicar identidades logarítmicas o sus propiedades. Veamos ejemplos de resolución de problemas logarítmicos de varios tipos.

Cómo utilizar fórmulas de logaritmos: con ejemplos y soluciones

Entonces, veamos ejemplos del uso de los teoremas básicos sobre logaritmos.

La propiedad del logaritmo de un producto se puede utilizar en tareas donde es necesario expandir gran importancia números b en factores más simples. Por ejemplo, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. La respuesta es 9.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - como puede ver, usando la cuarta propiedad de la potencia del logaritmo, logramos resolver una expresión aparentemente compleja e irresoluble. Sólo necesitas factorizar la base y luego quitar los valores del exponente del signo del logaritmo.

Asignaciones del Examen Estatal Unificado

Los logaritmos se encuentran frecuentemente en exámenes de admisión, especialmente muchos problemas logarítmicos en el Examen Estatal Unificado (examen estatal para todos los graduados de la escuela). Por lo general, estas tareas están presentes no solo en la parte A (la más fácil parte de prueba examen), pero también en la parte C (las tareas más complejas y voluminosas). El examen requiere un conocimiento preciso y perfecto del tema "Logaritmos naturales".

Los ejemplos y soluciones a los problemas están tomados de fuentes oficiales. Opciones del examen estatal unificado. Veamos cómo se resuelven tales tareas.

Dado log 2 (2x-1) = 4. Solución:
reescribamos la expresión, simplificándola un poco log 2 (2x-1) = 2 2, por definición del logaritmo obtenemos que 2x-1 = 2 4, por lo tanto 2x = 17; x = 8,5.

Es mejor reducir todos los logaritmos a la misma base para que la solución no sea engorrosa ni confusa.
Todas las expresiones bajo el signo del logaritmo se indican como positivas, por lo tanto, cuando se saca como multiplicador el exponente de una expresión que está bajo el signo del logaritmo y como base, la expresión que queda bajo el logaritmo debe ser positiva.

Introducción

El aumento de la carga mental en las clases de matemáticas nos hace pensar en cómo mantener el interés de los estudiantes por el material que estudian y su actividad a lo largo de la lección. En este sentido, se está buscando nuevos métodos de enseñanza y técnicas metodológicas eficaces que activen el pensamiento de los estudiantes y los estimulen a adquirir conocimientos de forma independiente.

El surgimiento del interés por las matemáticas entre un número importante de estudiantes depende en gran medida de la metodología de su enseñanza, de la habilidad con la que se estructurará el trabajo educativo. Llamando rápidamente la atención de los estudiantes sobre lo que estudian las matemáticas. propiedades generales objetos y fenómenos del mundo circundante, no se ocupa de objetos, sino de conceptos abstractos abstractos, se puede llegar a comprender que las matemáticas no violan la conexión con la realidad, sino que, por el contrario, permiten estudiarla más profundamente, para sacar conclusiones teóricas generalizadas que se utilizan ampliamente en la práctica.

Al participar en el festival de ideas pedagógicas "Lección Abierta" en el año académico 2004-2005, presenté una lección-conferencia sobre el tema "Función logarítmica" (diploma No. 204044). Considero que este método es el más exitoso en este caso particular. Como resultado del estudio, los estudiantes obtienen un esquema detallado y un breve esquema del tema, lo que les facilitará la preparación para las próximas lecciones. En particular, sobre el tema "Resolución de ecuaciones logarítmicas", que se basa íntegramente en el estudio de la función logarítmica y sus propiedades.

A la hora de formar conceptos matemáticos fundamentales, es importante crear en los estudiantes una idea de la conveniencia de introducir cada uno de ellos y la posibilidad de su aplicación. Para ello, es necesario que al formular la definición de un determinado concepto, trabajando en su estructura lógica, se consideren cuestiones sobre la historia del surgimiento de este concepto. Este enfoque ayudará a los estudiantes a darse cuenta de que el nuevo concepto sirve como una generalización de los hechos de la realidad.

La historia de la aparición de los logaritmos se presenta en detalle en el trabajo del año pasado.

Considerando la importancia de la continuidad en la enseñanza de matemáticas en una institución de educación secundaria especializada y en una universidad y la necesidad de cumplir con requisitos uniformes para los estudiantes, considero apropiado utilizar el siguiente método para familiarizar a los estudiantes con la resolución de ecuaciones logarítmicas.

Las ecuaciones que contienen una variable bajo el signo del logaritmo (en particular, en la base del logaritmo) se llaman logarítmico. Considere ecuaciones logarítmicas de la forma:

La solución de estas ecuaciones se basa en el siguiente teorema.

Teorema 1. La ecuación es equivalente al sistema.

(2)

Para resolver la ecuación (1), basta con resolver la ecuación

y sustituir sus soluciones en el sistema de desigualdades.

definiendo el dominio de definición de la ecuación (1).

Las raíces de la ecuación (1) serán sólo aquellas soluciones de la ecuación (3) que satisfagan el sistema (4), es decir pertenecen al dominio de definición de la ecuación (1).

Al resolver ecuaciones logarítmicas, puede ocurrir una expansión del dominio de definición (adquisición de raíces extrañas) o un estrechamiento (pérdida de raíces). Por lo tanto, sustituyendo las raíces de la ecuación (3) en el sistema (4), es decir Se requiere verificación de la solución.

Ejemplo 1: Resuelve la ecuación