Cómo encontrar la ecuación de una tangente a la gráfica de una función. Calculadora online. Ecuación de una recta tangente a la gráfica de una función en un punto dado

Y = f(x) y si en este punto se puede trazar una tangente a la gráfica de la función que no sea perpendicular al eje de abscisas, entonces el coeficiente angular de la tangente es igual a f"(a). Ya tenemos usó esto varias veces, por ejemplo, en el § 33 se estableció que la gráfica de la función y = sen x (sinusoide) en el origen forma un ángulo de 45° con el eje x (más precisamente, la tangente al eje x). La gráfica en el origen forma un ángulo de 45° con la dirección positiva del eje x), y en el ejemplo 5 § 33 se encontraron puntos en el programa dado. funciones, en el que la tangente es paralela al eje x. En el ejemplo 2 del § 33, se compiló una ecuación para la tangente a la gráfica de la función y = x 2 en el punto x = 1 (más precisamente, en el punto (1; 1), pero más a menudo solo se calcula el valor de la abscisa indicado, creyendo que si se conoce el valor de abscisas, entonces el valor de ordenadas se puede encontrar a partir de la ecuación y = f(x)). En esta sección desarrollaremos un algoritmo para componer una ecuación tangente a la gráfica de cualquier función.

Sea la función y = f(x) y el punto M (a; f(a)), y sepamos también que f"(a) existe. Creemos una ecuación para la tangente a la gráfica. función dada en un punto dado. Esta ecuación, como la ecuación de cualquier recta que no sea paralela al eje de ordenadas, tiene la forma y = kx+m, por lo que la tarea es encontrar los valores de los coeficientes k y m.

No hay problemas con el coeficiente angular k: sabemos que k = f "(a). Para calcular el valor de m, utilizamos el hecho de que la recta deseada pasa por el punto M(a; f (a)) Esto significa que si sustituimos el punto de coordenadas M en la ecuación de la recta, obtenemos la igualdad correcta: f(a) = ka+m, de donde encontramos que m = f(a) - ka.
Queda por sustituir los valores encontrados de los coeficientes del kit en la ecuacion derecho:

Hemos obtenido la ecuación de la tangente a la gráfica de la función y = f(x) en el punto x=a.
Si, digamos,
Sustituyendo los valores encontrados a = 1, f(a) = 1 f"(a) = 2 en la ecuación (1), obtenemos: y = 1+2(x-f), es decir y = 2x-1.
Compárese este resultado con el obtenido en el ejemplo 2 del § 33. Naturalmente, ocurrió lo mismo.
Creemos una ecuación para la tangente a la gráfica de la función y = tan x en el origen. Tenemos: esto significa cos x f"(0) = 1. Sustituyendo los valores encontrados a = 0, f(a) = 0, f"(a) = 1 en la ecuación (1), obtenemos: y = x.
Por eso dibujamos la tangente en el § 15 (ver Fig. 62) a través del origen de coordenadas en un ángulo de 45° con respecto al eje de abscisas.
Resolver estos suficientes ejemplos simples, en realidad utilizamos un determinado algoritmo, que está contenido en la fórmula (1). Hagamos explícito este algoritmo.

ALGORITMO PARA DESARROLLAR UNA ECUACIÓN PARA UNA TANGENTE A LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN y = f(x)

1) Designe la abscisa del punto tangente con la letra a.
2) Calcule 1 (a).
3) Encuentre f"(x) y calcule f"(a).
4) Sustituya los números encontrados a, f(a), (a) en la fórmula (1).

Ejemplo 1. Escribe una ecuación para la tangente a la gráfica de la función en el punto x = 1.
Utilicemos el algoritmo, teniendo en cuenta que en en este ejemplo

En la Fig. 126 se representa una hipérbola, se construye una línea recta y = 2.
El dibujo confirma los cálculos anteriores: efectivamente, la recta y = 2 toca la hipérbola en el punto (1; 1).

Respuesta: y = 2-x.
Ejemplo 2. Dibuja una tangente a la gráfica de la función de manera que sea paralela a la recta y = 4x - 5.
Aclaremos la formulación del problema. El requisito de "trazar una tangente" generalmente significa "formar una ecuación para la tangente". Esto es lógico, porque si una persona pudo crear una ecuación para una tangente, es poco probable que tenga dificultades para construir una línea recta en el plano de coordenadas usando su ecuación.
Utilicemos el algoritmo para componer la ecuación tangente, teniendo en cuenta que en este ejemplo, pero, a diferencia del ejemplo anterior, hay ambigüedad: la abscisa del punto tangente no se indica explícitamente.
Empecemos a pensar así. La tangente deseada debe ser paralela a la recta y = 4x-5. Dos rectas son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales. Esto significa que el coeficiente angular de la tangente debe ser igual al coeficiente angular de la recta dada: Por tanto, podemos encontrar el valor de a a partir de la ecuación f"(a) = 4.
Tenemos:
De la ecuación Esto significa que hay dos tangentes que satisfacen las condiciones del problema: una en el punto con abscisa 2, la otra en el punto con abscisa -2.
Ahora puedes seguir el algoritmo.

Ejemplo 3. Desde el punto (0; 1) traza una tangente a la gráfica de la función.
Usemos el algoritmo para componer la ecuación tangente, teniendo en cuenta que en este ejemplo, tenga en cuenta que aquí, como en el ejemplo 2, la abscisa del punto tangente no se indica explícitamente. Sin embargo, seguimos el algoritmo.

Por condición, la tangente pasa por el punto (0; 1). Sustituyendo los valores x = 0, y = 1 en la ecuación (2), obtenemos:
Como puede ver, en este ejemplo, solo en el cuarto paso del algoritmo logramos encontrar la abscisa del punto tangente. Sustituyendo el valor a =4 en la ecuación (2), obtenemos:

En la Fig. 127 presenta una ilustración geométrica del ejemplo considerado: se traza una gráfica de la función

En el § 32 observamos que para una función y = f(x), que tiene una derivada en un punto fijo x, la igualdad aproximada es válida:

Para facilitar el razonamiento, cambiemos la notación: en lugar de x escribiremos a, en lugar de escribiremos x y, en consecuencia, en lugar de escribiremos x-a. Entonces la igualdad aproximada escrita arriba tomará la forma:

Ahora mire la fig. 128. Se traza una tangente a la gráfica de la función y = f(x) en el punto M (a; f (a)). El punto x está marcado en el eje x cerca de a. Está claro que f(x) es la ordenada de la gráfica de la función en el punto x especificado. ¿Cuál es f(a) + f"(a) (x-a)? Esta es la ordenada de la tangente correspondiente al mismo punto x - ver fórmula (1). ¿Cuál es el significado de la igualdad aproximada (3)? El hecho que Para calcular el valor aproximado de la función, tome el valor de ordenadas de la tangente.

Ejemplo 4. Encuentra el valor aproximado de la expresión numérica 1.02 7.
Estamos hablando de encontrar el valor de la función y = x 7 en el punto x = 1,02. Usemos la fórmula (3), teniendo en cuenta que en este ejemplo
Como resultado obtenemos:

Si utilizamos una calculadora obtenemos: 1,02 7 = 1,148685667...
Como puede ver, la precisión de la aproximación es bastante aceptable.
Respuesta: 1,02 7 =1,14.

A.G. Álgebra de Mordkovich décimo grado

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Tangente es una línea recta que pasa por un punto de la curva y coincide con él en este punto hasta el primer orden (Fig. 1).

Otra definición: esta es la posición límite de la secante en Δ X→0.

Explicación: Tome una línea recta que corte la curva en dos puntos: A Y b(ver imagen). Esta es una secante. Lo rotaremos en el sentido de las agujas del reloj hasta encontrar un solo punto común con la curva. Esto nos dará una tangente.

Definición estricta de tangente:

Tangente a la gráfica de una función. F, diferenciable en el punto Xoh, es una línea recta que pasa por el punto ( Xoh; F(Xoh)) y tener una pendiente F′( Xoh).

La pendiente tiene una línea recta de la forma y =kx +b. Coeficiente k y es pendiente esta línea recta.

El coeficiente angular es igual a la tangente del ángulo agudo que forma esta recta con el eje de abscisas:

Aquí el ángulo α es el ángulo entre la línea recta y =kx +b y dirección positiva (es decir, en sentido antihorario) del eje x. Se llama ángulo de inclinación de una línea recta(Figuras 1 y 2).

Si el ángulo de inclinación es recto. y =kx +b aguda, entonces la pendiente es un número positivo. La gráfica va en aumento (Fig. 1).

Si el ángulo de inclinación es recto. y =kx +b es obtusa, entonces la pendiente es numero negativo. La gráfica es decreciente (Fig. 2).

Si la línea recta es paralela al eje x, entonces el ángulo de inclinación de la línea recta es cero. En este caso, la pendiente de la recta también es cero (ya que la tangente del cero es cero). La ecuación de la línea recta se verá así y = b (Fig. 3).

Si el ángulo de inclinación de una recta es de 90º (π/2), es decir, es perpendicular al eje de abscisas, entonces la recta viene dada por la igualdad x=C, Dónde C– algún número real (Fig. 4).

Ecuación de la tangente a la gráfica de una función.y = F(X) en el punto Xoh:

Ejemplo: Encuentra la ecuación de la tangente a la gráfica de la función. F(X) = X 3 – 2X 2 + 1 en el punto con abscisa 2.

Solución .

Seguimos el algoritmo.

1) Punto de contacto Xoh es igual a 2. Calcular F(Xoh):

F(Xoh) = F(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) encontrar F′( X). Para ello, aplicamos las fórmulas de diferenciación descritas en el apartado anterior. Según estas fórmulas, X 2 = 2X, A X 3 = 3X 2. Medio:

F′( X) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.

Ahora, usando el valor resultante F′( X), calcular F′( Xoh):

F′( Xoh) = F′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Entonces, tenemos todos los datos necesarios: Xoh = 2, F(Xoh) = 1, F ′( Xoh) = 4. Sustituye estos números en la ecuación tangente y encuentra la solución final:

y = F(Xoh) + F′( Xoh) (x-xo) = 1 + 4 ∙ (x – 2) = 1 + 4x – 8 = –7 + 4x = 4x – 7.

Respuesta: y = 4x – 7.

Este programa de matematicas encuentra la ecuación de la tangente a la gráfica de la función \(f(x)\) en un punto \(a\) especificado por el usuario.

El programa no sólo muestra la ecuación tangente, sino que también muestra el proceso de resolución del problema.

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Si necesita encontrar la derivada de una función, para ello tenemos la tarea Encuentra la derivada.

Encuentra la ecuación tangente
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Un poco de teoría.

Pendiente directa Recuerda que la gráfica de la función lineal \(y=kx+b\) es una línea recta. El número \(k=tg \alpha \) se llama pendiente de una recta

, y el ángulo \(\alpha \) es el ángulo entre esta línea y el eje Ox

Si \(k>0\), entonces \(0 Si \(kEcuación de la tangente a la gráfica de la función Si el punto M(a; f(a)) pertenece a la gráfica de la función y = f(x) y si en este punto es posible trazar una tangente a la gráfica de la función que no sea perpendicular al eje de abscisas , entonces de significado geométrico

derivada se deduce que el coeficiente angular de la tangente es igual a f "(a). A continuación, desarrollaremos un algoritmo para componer la ecuación de la tangente a la gráfica de cualquier función.

Con el coeficiente angular k todo está claro: se sabe que k = f"(a). Para calcular el valor de b, utilizamos el hecho de que la recta deseada pasa por el punto M(a; f(a)) . Esto significa que si sustituimos las coordenadas del punto M en la ecuación de una recta, obtenemos la igualdad correcta: \(f(a)=ka+b\), es decir \(b = f(a) -. ka\).

Queda por sustituir los valores encontrados de los coeficientes k y b en la ecuación de la recta:

Recibimos ecuación de la tangente a la gráfica de una función\(y = f(x) \) en el punto \(x=a \).

Algoritmo para encontrar la ecuación de la tangente a la gráfica de la función \(y=f(x)\)
1. Designa la abscisa del punto tangente con la letra \(a\)
2. Calcula \(f(a)\)
3. Encuentra \(f"(x)\) y calcula \(f"(a)\)
4. Sustituye los números encontrados \(a, f(a), f"(a) \) en la fórmula \(y=f(a)+ f"(a)(x-a) \)

La lección en video “Ecuación de una tangente a la gráfica de una función” demuestra material educativo para dominar el tema. Durante la videolección presentada material teórico, necesario para formar el concepto de la ecuación de una tangente a la gráfica de una función en un punto dado, se describe un algoritmo para encontrar dicha tangente, ejemplos de resolución de problemas utilizando el material teórico estudiado.

El video tutorial utiliza métodos que mejoran la claridad del material. La presentación contiene dibujos, diagramas, comentarios de voz importantes, animaciones, resaltados y otras herramientas.

La lección en video comienza con una presentación del tema de la lección y una imagen de una tangente a la gráfica de alguna función y=f(x) en el punto M(a;f(a)). Se sabe que el coeficiente angular de la tangente trazada a la gráfica en un punto dado es igual a la derivada de la función f΄(a) en este punto. También del curso de álgebra conocemos la ecuación de la recta y=kx+m. Se presenta esquemáticamente la solución al problema de encontrar la ecuación tangente en un punto, lo que se reduce a encontrar los coeficientes k, m. Conociendo las coordenadas de un punto que pertenece a la gráfica de la función, podemos encontrar m sustituyendo el valor de las coordenadas en la ecuación tangente f(a)=ka+m. A partir de ahí encontramos m=f(a)-ka. Así, conociendo el valor de la derivada en un punto dado y las coordenadas del punto, podemos representar la ecuación tangente de esta manera y=f(a)+f΄(a)(x-a).

El siguiente es un ejemplo de cómo componer una ecuación tangente siguiendo el diagrama. Dada la función y=x 2 , x=-2. Tomando a=-2, encontramos el valor de la función en un punto dado f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. Determinamos la derivada de la función f΄(x)=2x. En este punto la derivada es igual a f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4. Para componer la ecuación, se encontraron todos los coeficientes a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4, por lo que la ecuación tangente es y=4+(-4)(x+2). Simplificando la ecuación, obtenemos y = -4-4x.

El siguiente ejemplo sugiere construir una ecuación para la tangente en el origen a la gráfica de la función y=tgx. En un punto dado a=0, f(0)=0, f΄(x)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Entonces la ecuación tangente parece y=x.

Como generalización, el proceso de componer una ecuación tangente a la gráfica de una función en un punto determinado se formaliza en forma de un algoritmo que consta de 4 pasos:

• Introduzca la denominación a para la abscisa del punto tangente;
• se calcula f(a);
• Se determina f΄(x) y se calcula f΄(a). Los valores encontrados de a, f(a), f΄(a) se sustituyen en la fórmula de la ecuación tangente y=f(a)+f΄(a)(x-a).

El ejemplo 1 considera componer la ecuación tangente a la gráfica de la función y=1/x en el punto x=1. Para resolver el problema utilizamos un algoritmo. Para una función dada en el punto a=1, el valor de la función f(a)=-1. Derivada de la función f΄(x)=1/x 2. En el punto a=1 la derivada f΄(a)= f΄(1)=1. Con los datos obtenidos se elabora la ecuación tangente y=-1+(x-1), o y=x-2.

En el ejemplo 2, es necesario encontrar la ecuación de la tangente a la gráfica de la función y=x 3 +3x 2 -2x-2. La condición principal es el paralelismo de la tangente y la recta y=-2x+1. Primero, encontramos el coeficiente angular de la tangente, igual al coeficiente angular de la recta y=-2x+1. Dado que f΄(a)=-2 para una recta dada, entonces k=-2 para la tangente deseada. Encontramos la derivada de la función (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2. Sabiendo que f΄(a)=-2, encontramos las coordenadas del punto 3a 2 +6a-2=-2. Habiendo resuelto la ecuación, obtenemos a 1 =0 y 2 =-2. Usando las coordenadas encontradas, puedes encontrar la ecuación tangente usando un algoritmo bien conocido. Encontramos el valor de la función en los puntos f(a 1)=-2, f(a 2)=-18. El valor de la derivada en el punto f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2. Sustituyendo los valores encontrados en la ecuación tangente, obtenemos para el primer punto a 1 =0 y=-2x-2, y para el segundo punto a 2 =-2 la ecuación tangente y=-2x-22.

El ejemplo 3 describe la composición de la ecuación tangente para trazarla en el punto (0;3) a la gráfica de la función y=√x. La solución se realiza mediante un algoritmo bien conocido. El punto tangente tiene coordenadas x=a, donde a>0. El valor de la función en el punto f(a)=√x. La derivada de la función f΄(х)=1/2√х, por lo tanto en un punto dado f΄(а)=1/2√а. Sustituyendo todos los valores obtenidos en la ecuación tangente, obtenemos y = √a + (x-a)/2√a. Transformando la ecuación, obtenemos y=x/2√а+√а/2. Sabiendo que la tangente pasa por el punto (0;3), encontramos el valor de a. Encontramos a desde 3=√a/2. Por lo tanto √a=6, a=36. Encontramos la ecuación tangente y=x/12+3. La figura muestra la gráfica de la función considerada y la tangente deseada construida.

Se recuerda a los estudiantes las igualdades aproximadas Δy=≈f΄(x)Δxy f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. Tomando x=a, x+Δx=x, Δx=x-a, obtenemos f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), por lo tanto f(x)≈f(a)+ f΄( a)(xa).

En el ejemplo 4, es necesario encontrar el valor aproximado de la expresión 2.003 6. Como es necesario encontrar el valor de la función f(x)=x 6 en el punto x=2.003, podemos usar la conocida fórmula, tomando f(x)=x 6, a=2, f(a )= f(2)=64, f ΄(x)=6x 5. Derivada en el punto f΄(2)=192. Por lo tanto, 2.003 6 ≈65-192·0.003. Habiendo calculado la expresión, obtenemos 2.003 6 ≈64.576.

Se recomienda utilizar la lección en video “Ecuación de una tangente a la gráfica de una función” en una lección de matemáticas tradicional en la escuela. Para un profesor que enseña de forma remota, el material en vídeo le ayudará a explicar el tema con mayor claridad. Se puede recomendar el video para que los estudiantes lo revisen de forma independiente si es necesario para profundizar su comprensión del tema.

DECODIFICACIÓN DE TEXTO:

Sabemos que si un punto M (a; f(a)) (em con coordenadas a y ef de a) pertenece a la gráfica de la función y = f (x) y si en este punto es posible trazar una tangente a la gráfica de la función que no es perpendicular al eje abscisa, entonces el coeficiente angular de la tangente es igual a f"(a) (eff prima de a).

Dejemos que se dé una función y = f(x) y un punto M (a; f(a)), y también se sabe que f´(a) existe. Creemos una ecuación para la tangente a la gráfica de una función dada en un punto dado. Esta ecuación, como la ecuación de cualquier recta que no sea paralela al eje de ordenadas, tiene la forma y = kx+m (la y es igual a ka x más em), por lo que la tarea es encontrar los valores de los coeficientes k y m (ka y em)

Coeficiente del ángulo k= f"(a). Para calcular el valor de m, utilizamos el hecho de que la recta deseada pasa por el punto M(a; f (a)). Esto significa que si sustituimos las coordenadas del punto M en la ecuación de la recta, obtenemos la igualdad correcta: f(a) = ka+m, de donde encontramos que m = f(a) - ka.

Queda por sustituir los valores encontrados de los coeficientes ki y m en la ecuación de la recta:

y = kx+(f(a) -ka);

y = f(a)+k(xa);

y= F(a)+ F"(a) (X- a). ( y es igual a ef de a más ef primo de a, multiplicado por x menos a).

Hemos obtenido la ecuación de la tangente a la gráfica de la función y = f(x) en el punto x=a.

Si, digamos, y = x 2 y x = -2 (es decir, a = -2), entonces f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´(x) = 2x, lo que significa f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4. (entonces la ef de a es igual a cuatro, la ef del primo de x es igual a dos x, lo que significa ef primo de a es igual a menos cuatro)

Sustituyendo los valores encontrados a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4 en la ecuación, obtenemos: y = 4+(-4)(x+2), es decir y = -4x-4.

(E es igual a menos cuatro x menos cuatro)

Creemos una ecuación para la tangente a la gráfica de la función y = tanx (la y es igual a la tangente x) en el origen. Tenemos: a = 0, f(0) = tan0=0;

f"(x)= , lo que significa f"(0) = l. Sustituyendo los valores encontrados a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 en la ecuación, obtenemos: y=x.

Resumamos nuestros pasos para encontrar la ecuación de la tangente a la gráfica de una función en el punto x usando un algoritmo.

ALGORITMO PARA DESARROLLAR UNA ECUACIÓN PARA UNA TANGENTE A LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN y = f(x):

1) Designe la abscisa del punto tangente con la letra a.

2) Calcule f(a).

3) Encuentre f´(x) y calcule f´(a).

4) Sustituye los números encontrados a, f(a), f´(a) en la fórmula y= F(a)+ F"(a) (X- a).

Ejemplo 1. Crea una ecuación para la tangente a la gráfica de la función y = - en

punto x = 1.

Solución. Usemos el algoritmo, teniendo en cuenta que en este ejemplo

2) f(a)=f(1)=- =-1

3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.

4) Sustituye los tres números encontrados: a = 1, f(a) = -1, f"(a) = 1 en la fórmula. Obtenemos: y = -1+(x-1), y = x-2 .

Respuesta: y = x-2.

Ejemplo 2. Dada la función y = x3 +3x2 -2x-2. Escribe la ecuación de la tangente a la gráfica de la función y = f(x), paralela a la recta y = -2x +1.

Utilizando el algoritmo para componer la ecuación tangente, tenemos en cuenta que en este ejemplo f(x) = x3 +3x2 -2x-2, pero aquí no se indica la abscisa del punto tangente.

Empecemos a pensar así. La tangente deseada debe ser paralela a la recta y = -2x+1. Y las líneas paralelas tienen coeficientes angulares iguales. Esto significa que el coeficiente angular de la tangente es igual al coeficiente angular de la recta dada: k tangente. = -2. Hok cas. = f"(a). Por tanto, podemos encontrar el valor de a a partir de la ecuación f ´(a) = -2.

Encontremos la derivada de la función. y=F(X):

F"(X)= (x 3 +3x 2 -2x-2)´ =3x 2 +6x-2;F"(a)= 3a 2 +6a-2.

De la ecuación f"(a) = -2, es decir 3a 2 +6a-2=-2 encontramos a 1 =0, a 2 =-2. Esto significa que hay dos tangentes que satisfacen las condiciones del problema: una en el punto con abscisa 0, la otra en el punto con abscisa -2.

Ahora puedes seguir el algoritmo.

1) a 1 =0 y 2 =-2.

2) f(a 1)= 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2; f(a 2)= (-2) 3 +3·(-2) 2 -2·(-2)-2=6;

3) f"(a 1) = f"(a 2) = -2.

4) Sustituyendo los valores a 1 = 0, f(a 1) = -2, f"(a 1) = -2 en la fórmula, obtenemos:

y=-2-2(x-0), y=-2x-2.

Sustituyendo los valores a 2 = -2, f(a 2) =6, f"(a 2) = -2 en la fórmula, obtenemos:

y=6-2(x+2), y=-2x+2.

Respuesta: y=-2x-2, y=-2x+2.

Ejemplo 3. Desde el punto (0; 3) traza una tangente a la gráfica de la función y = . Solución. Utilicemos el algoritmo para componer la ecuación tangente, teniendo en cuenta que en este ejemplo f(x) = . Tenga en cuenta que aquí, como en el ejemplo 2, la abscisa del punto tangente no se indica explícitamente. Sin embargo, seguimos el algoritmo.

1) Sea x = a la abscisa del punto de tangencia; está claro que a >0.

3) f´(x)=()´=; f'(a) =.

4) Sustituyendo los valores de a, f(a) = , f"(a) = en la fórmula

y=f (a) +f "(a) (xa), obtenemos:

Por condición, la tangente pasa por el punto (0; 3). Sustituyendo los valores x = 0, y = 3 en la ecuación, obtenemos: 3 = , y luego =6, a =36.

Como puede ver, en este ejemplo, solo en el cuarto paso del algoritmo logramos encontrar la abscisa del punto tangente. Sustituyendo el valor a =36 en la ecuación, obtenemos: y=+3

En la Fig. La figura 1 muestra una ilustración geométrica del ejemplo considerado: se construye una gráfica de la función y =, se traza una línea recta y = +3.

Respuesta: y = +3.

Sabemos que para una función y = f(x), que tiene derivada en el punto x, es válida la igualdad aproximada: Δyf´(x)Δx (delta y es aproximadamente igual a ef prima de x multiplicada por delta x)

o, con más detalle, f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (eff de x más delta x menos ef de x es aproximadamente igual a eff primo de x por delta x).

Para facilitar la discusión, cambiemos la notación:

en lugar de x escribiremos A,

en lugar de x+Δx escribiremos x

En lugar de Δx escribiremos x-a.

Entonces la igualdad aproximada escrita arriba tomará la forma:

f(x)-f(a)f´(a)(x-a)

f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (eff de x es aproximadamente igual a ef de a más ef primo de a, multiplicado por la diferencia entre x y a).

Ejemplo 4. Encuentra el valor aproximado de la expresión numérica 2.003 6.

Solución. Estamos hablando de encontrar el valor de la función y = x 6 en el punto x = 2,003. Usemos la fórmula f(x)f(a)+f´(a)(x-a), teniendo en cuenta que en este ejemplo f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 =64; x = 2.003, f"(x) = 6x 5 y, por lo tanto, f"(a) = f"(2) = 6 2 5 =192.

Como resultado obtenemos:

2.003 6 64+192· 0.003, es decir 2,003·6 =64,576.

Si utilizamos una calculadora obtenemos:

2,003 6 = 64,5781643...

Como puede ver, la precisión de la aproximación es bastante aceptable.

En escenario moderno Desarrollo de la educación, una de sus principales tareas es la formación de una personalidad con pensamiento creativo. La capacidad de creatividad de los estudiantes sólo puede desarrollarse si se les atrae sistemáticamente lo básico. Actividades de investigación. La base para que los estudiantes utilicen sus poderes, habilidades y talentos creativos es la formación de conocimientos y habilidades completos. En este sentido, el problema de formar un sistema. conocimiento básico y habilidades para cada tema curso escolar Las matemáticas son de no poca importancia. Al mismo tiempo, las habilidades completas deberían ser el objetivo didáctico no de tareas individuales, sino de un sistema cuidadosamente pensado de ellas. En el sentido más amplio, un sistema se entiende como un conjunto de elementos interactivos interconectados que tienen integridad y una estructura estable.

Consideremos una técnica para enseñar a los estudiantes cómo escribir una ecuación para una tangente a la gráfica de una función. Esencialmente, todos los problemas de encontrar la ecuación tangente se reducen a la necesidad de seleccionar de un conjunto (paquete, familia) de rectas aquellas que satisfacen un determinado requisito: son tangentes a la gráfica de una determinada función. En este caso, el conjunto de líneas a partir de las cuales se realiza la selección se puede especificar de dos formas:

a) un punto que se encuentra en el plano xOy (lápiz central de líneas);
b) coeficiente angular (haz paralelo de líneas rectas).

En este sentido, al estudiar el tema “Tangente a la gráfica de una función” para aislar los elementos del sistema, identificamos dos tipos de problemas:

1) problemas sobre una tangente dada por el punto por el que pasa;
2) problemas sobre una tangente dada por su pendiente.

La formación en la resolución de problemas tangentes se realizó utilizando el algoritmo propuesto por A.G. Mordkovich. Su diferencia fundamental De las ya conocidas es que la abscisa del punto de tangencia se denota con la letra a (en lugar de x0), y por tanto la ecuación de la tangente toma la forma

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(compárese con y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Esta técnica metodológica, en nuestra opinión, permite a los estudiantes comprender rápida y fácilmente dónde están escritas las coordenadas del punto actual la ecuación tangente general y dónde están los puntos de contacto.

Algoritmo para componer la ecuación tangente a la gráfica de la función y = f(x)

1. Designe la abscisa del punto tangente con la letra a.
2. Encuentre f(a).
3. Encuentre f "(x) y f "(a).
4. Sustituya los números encontrados a, f(a), f "(a) en la ecuación tangente general y = f(a) = f "(a)(x – a).

Este algoritmo se puede compilar sobre la base de la identificación independiente de las operaciones por parte de los estudiantes y la secuencia de su implementación.

La práctica ha demostrado que la solución secuencial de cada uno de los problemas clave utilizando un algoritmo le permite desarrollar las habilidades para escribir la ecuación de una tangente a la gráfica de una función en etapas, y los pasos del algoritmo sirven como puntos de referencia para las acciones. . Este enfoque corresponde a la teoría de la formación gradual de acciones mentales desarrollada por P.Ya. Galperin y N.F. Talizina.

En el primer tipo de tareas se identificaron dos tareas clave:

• la tangente pasa por un punto que se encuentra en la curva (problema 1);
• la tangente pasa por un punto que no se encuentra en la curva (problema 2).

Tarea 1. Escribe una ecuación para la tangente a la gráfica de la función. en el punto M(3; – 2).

Solución. El punto M(3; – 2) es un punto tangente, ya que

1. a = 3 – abscisa del punto tangente.
2.f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – ecuación tangente.

Problema 2. Escribe las ecuaciones de todas las tangentes a la gráfica de la función y = – x 2 – 4x + 2 que pasa por el punto M(– 3; 6).

Solución. El punto M(– 3; 6) no es un punto de tangencia, ya que f(– 3) 6 (Fig. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – ecuación tangente.

La tangente pasa por el punto M(– 3; 6), por lo tanto, sus coordenadas satisfacen la ecuación de la tangente.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
un 2 + 6a + 8 = 0 ^ un 1 = – 4, un 2 = – 2.

Si a = – 4, entonces la ecuación tangente es y = 4x + 18.

Si a = – 2, entonces la ecuación tangente tiene la forma y = 6.

En el segundo tipo, las tareas clave serán las siguientes:

• la tangente es paralela a alguna recta (problema 3);
• la tangente pasa en cierto ángulo a la recta dada (problema 4).

Problema 3. Escribe las ecuaciones de todas las tangentes a la gráfica de la función y = x 3 – 3x 2 + 3, paralela a la recta y = 9x + 1.

1. a – abscisa del punto tangente.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Pero, por otro lado, f "(a) = 9 (condición de paralelismo). Esto significa que necesitamos resolver la ecuación 3a 2 – 6a = 9. Sus raíces son a = – 1, a = 3 (Fig. 3 ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – ecuación tangente;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – ecuación tangente.

Problema 4. Escribe la ecuación de la tangente a la gráfica de la función y = 0,5x 2 – 3x + 1, pasando en un ángulo de 45° con la recta y = 0 (Fig. 4).

Solución. De la condición f "(a) = tan 45° encontramos a: a – 3 = 1 ^ a = 4.

1. a = 4 – abscisa del punto tangente.
2.f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – ecuación tangente.

Es fácil demostrar que la solución a cualquier otro problema se reduce a resolver uno o más problemas clave. Considere los siguientes dos problemas como ejemplo.

1. Escribe las ecuaciones de las tangentes a la parábola y = 2x 2 – 5x – 2, si las tangentes se cruzan en ángulo recto y una de ellas toca la parábola en el punto con abscisa 3 (Fig. 5).

Solución. Dado que se da la abscisa del punto tangente, la primera parte de la solución se reduce al problema clave 1.

1. a = 3 – abscisa del punto de tangencia de uno de los lados ángulo recto.
2.f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – ecuación de la primera tangente.

Sea a el ángulo de inclinación de la primera tangente. Como las tangentes son perpendiculares, entonces es el ángulo de inclinación de la segunda tangente. De la ecuación y = 7x – 20 de la primera tangente tenemos tg a = 7. Encontremos

Esto significa que la pendiente de la segunda tangente es igual a .

La solución adicional se reduce a la tarea clave 3.

Sea B(c; f(c)) el punto de tangencia de la segunda recta, entonces

1.- abscisa del segundo punto de tangencia.
2.
3.
4.
– ecuación de la segunda tangente.

Nota. El coeficiente angular de la tangente se puede encontrar más fácilmente si los estudiantes conocen la razón de los coeficientes de las rectas perpendiculares k 1 k 2 = – 1.

2. Escribe las ecuaciones de todas las tangentes comunes a las gráficas de funciones.

Solución. El problema se reduce a encontrar la abscisa de los puntos de tangencia de tangentes comunes, es decir, a resolver el problema clave 1 en vista general, elaborando un sistema de ecuaciones y su posterior solución (Fig. 6).

1. Sea a la abscisa del punto tangente que se encuentra en la gráfica de la función y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Sea c la abscisa del punto tangente que se encuentra en la gráfica de la función.
2.
3. f "(c) = c.
4.

Como las tangentes son generales, entonces

Entonces y = x + 1 e y = – 3x – 3 son tangentes comunes.

El objetivo principal de las tareas consideradas es preparar a los estudiantes para que reconozcan de forma independiente el tipo de problema clave al resolver más tareas complejas, requiriendo ciertas habilidades de investigación (capacidad de analizar, comparar, generalizar, plantear una hipótesis, etc.). Estas tareas incluyen cualquier tarea en la que la tarea clave esté incluida como componente. Consideremos como ejemplo el problema (inverso al problema 1) de encontrar una función a partir de la familia de sus tangentes.

3. ¿Para qué b y c son las rectas y = x e y = – 2x tangentes a la gráfica de la función y = x 2 + bx + c?

Sea t la abscisa del punto de tangencia de la recta y = x con la parábola y = x 2 + bx + c; p es la abscisa del punto de tangencia de la recta y = – 2x con la parábola y = x 2 + bx + c. Entonces la ecuación tangente y = x tomará la forma y = (2t + b)x + c – t 2, y la ecuación tangente y = – 2x tomará la forma y = (2p + b)x + c – p 2 .

Compongamos y resolvamos un sistema de ecuaciones.

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