Encuentra polígonos cuyos lados sean iguales. Estudiar el tema "polígonos" en un curso de geometría escolar.
su polígono. Por ejemplo, si necesita encontrar anglos correcto polígono con 15 lados, sustituye n=15 en la ecuación. Obtendrá S=180⁰(15-2), S=180⁰x13, S=2340⁰.
Luego, divide la suma resultante de los ángulos internos por su número. Por ejemplo, en un polígono, el número de ángulos es el número de lados, es decir, 15. Así, se obtiene que el ángulo es 2340⁰/15=156⁰. Cada rincón interior polígono igual a 156⁰.
Si te resulta más cómodo calcular anglos polígono en radianes, proceda de la siguiente manera. Resta el número 2 del número de lados y multiplica la diferencia resultante por el número P (Pi). Luego divide el producto por el número de ángulos del polígono. Por ejemplo, si necesita calcular anglos regular de 15 gon, proceda de la siguiente manera: P*(15-2)/15=13/15P, o 0,87P, o 2,72 (pero, como , el número P permanece sin cambios). O simplemente divide el tamaño del ángulo en grados por 57,3: eso es lo que contiene un radian.
También puedes intentar calcular anglos correcto polígono en graduados. Para hacer esto, reste el número 2 del número de lados, divida el número resultante por el número de lados y multiplique el resultado por 200. Este ángulo casi nunca se usa, pero si lo decide anglos en el caso del granizo, no olvides que el granizo se divide en segundos y minutos métricos (100 segundos cada uno).
Es posible que necesites calcular el ángulo exterior del correcto. polígono, en este caso, haz esto. Reste el ángulo interno de 180⁰; como resultado, obtendrá el valor del adyacente, es decir esquina exterior. Puede oscilar entre -180⁰ y +180⁰.
Si logras descubrir los ángulos de un polígono regular, podrás construirlo fácilmente. Dibuja un lado de cierta longitud y déjalo a un lado usando un transportador. ángulo deseado. Mida exactamente la misma distancia (todos los lados del polígono regular son iguales) y nuevamente reserve el ángulo deseado. Continúe hasta que los lados se unan.
Fuentes:
- ángulo en un polígono regular
Un polígono consta de varios segmentos conectados entre sí y formando una línea cerrada. Todas las figuras de esta clase se dividen en simples y complejas. Los simples incluyen triángulos y cuadriláteros, mientras que los complejos incluyen polígonos con una gran cantidad de fiestas, así como polígonos de estrellas.
Instrucciones
La mayoría de las veces en los problemas nos encontramos con un triángulo regular con fiestas oh a. Como el polígono es regular, entonces los tres fiestas s son iguales. Por lo tanto, conociendo la mediana y la altitud de un triángulo, puedes encontrar todos sus fiestas s. Para hacer esto, use el método de encontrar fiestas s :a=x/cosα. fiestas s, es decir a=b=c=a, a=b=c=x/cosα, donde x es la altura, la mediana o la bisectriz Encuentra las tres incógnitas de forma similar. fiestas está en triangulo isósceles, pero bajo una condición: una altura determinada. Debe proyectarse sobre la base del triángulo. Conociendo la altura de la base x, encuentre fiestas y a:a=x/cosα Como a=b, dado que el triángulo es isósceles, encuéntrelo. fiestas s de la siguiente manera:a=b=x/cosα.Después de haber encontrado el lado fiestas s de un triángulo, calcula la longitud de la base del triángulo, usando el teorema de Pitágoras para encontrar la mitad de la base: c/2=√(x/cosα)^2-(x^2)=√x^2 (1 -cos^2α)/ cos^2α =xtgα.Desde aquí encuentra la base:c=2xtgα.
El cuadrado representa, fiestas s de los cuales se calculan de varias maneras. Cada uno de ellos se analiza a continuación. El primer método sugiere encontrar. fiestas s cuadrado. Como todos los ángulos de un cuadrado son rectos, cortarlos por la mitad de tal manera que dos triangulo rectángulo con ángulos de 45 grados en . Respectivamente, fiestas y el cuadrado es igual a:a=b=c=f=d*cosα=d√2/2, donde d es el cuadrado Si el cuadrado está inscrito en un círculo, entonces conociendo el radio de este círculo, encuéntralo. fiestas y:a4=R√2, donde R es el radio del círculo.
Definición polígono regular puede depender de la definición de un polígono: si se define como una polilínea cerrada plana, entonces aparece la definición polígono estrellado regular Cómo no convexo un polígono en el que todos los lados son iguales y todos los ángulos son iguales.
Propiedades
Coordenadas
Dejar xC (\displaystyle x_(C)) Y y C (\displaystyle y_(C))- coordenadas del centro, y R (\displaystyle R)- radio del círculo, ϕ 0 (\displaystyle (\phi )_(0)) es la coordenada angular del primer vértice, entonces las coordenadas cartesianas de los vértices de un n-gón regular están determinadas por las fórmulas:
x i = x C + R porque (ϕ 0 + 2 π i n) (\displaystyle x_(i)=x_(C)+R\cos \left((\phi )_(0)+(\frac (2\ pi i)(n))\derecha)) y i = y C + R sin (ϕ 0 + 2 π i n) (\displaystyle y_(i)=y_(C)+R\sin \left((\phi )_(0)+(\frac (2\ pi i)(n))\derecha))Dónde i = 0 … n − 1 (\displaystyle i=0\dots n-1)
Dimensiones
Dejar R (\displaystyle R)- el radio del círculo circunscrito alrededor de un polígono regular, entonces el radio del círculo inscrito es igual a
r = R porque π n (\displaystyle r=R\cos (\frac (\pi )(n))),y la longitud del lado del polígono es
a = 2 R sin π n = 2 r t g π n (\displaystyle a=2R\sin (\frac (\pi )(n))=2r\mathop (\mathrm (tg) ) \,(\frac (\ alfiler)))Cuadrado
norte (\displaystyle n) y longitud lateral un (displaystyle a) es:
S = n 4 a 2 ctg π n (\displaystyle S=(\frac (n)(4))\ a^(2)\mathop (\mathrm () ) \,\operatorname (ctg) (\frac ( \alfiler))).Área de un polígono regular con número de lados norte (\ Displaystyle n), inscrita en una circunferencia de radio R (\displaystyle R), es:
S = n 2 R 2 sin 2 π n (\displaystyle S=(\frac (n)(2))R^(2)\sin (\frac (2\pi )(n))).Área de un polígono regular con número de lados norte (\ Displaystyle n), circunscrita a un círculo de radio r (\displaystyle r), es:
S = n r 2 t g π n (\displaystyle S=nr^(2)\mathop (\mathrm (tg) ) \,(\frac (\pi )(n)))(área de la base de la n-gonal prisma correcto)Área de un polígono regular con número de lados norte (\ Displaystyle n) igual a
S = n r a 2 (\displaystyle S=(\frac (nra)(2))),Dónde r (\displaystyle r)- distancia desde el centro del lado hasta el centro, un (displaystyle a)- longitud lateral.
Área de un polígono regular que pasa por el perímetro ( P (\displaystyle P)) y el radio del círculo inscrito ( r (\displaystyle r)) es:
S = 1 2 P r (\displaystyle S=(\frac (1)(2))Pr).Perímetro
Si necesitas calcular la longitud del lado de un n-gón regular inscrito en un círculo, conociendo la circunferencia L (\displaystyle L) Puedes calcular la longitud de un lado de un polígono:
una norte (\displaystyle a_(n))- longitud lateral de un n-gón regular. a n = pecado 180 n ⋅ L π (\displaystyle a_(n)=\sin (\frac (180)(n))\cdot (\frac (L)(\pi )))Perímetro P norte (\ Displaystyle P_ (n)) es igual
P norte = a norte ⋅ n (\displaystyle P_(n)=a_(n)\cdot n)Dónde norte (\ Displaystyle n)- el número de lados del polígono.
Solicitud
Los polígonos regulares, por definición, son las caras de los poliedros regulares.
Los matemáticos griegos antiguos (Antífona, Brisón de Heraclea, Arquímedes, etc.) utilizaban polígonos regulares para calcular números. Calcularon las áreas de los polígonos inscritos en un círculo y circunscritos a su alrededor, aumentando gradualmente el número de sus lados y obteniendo así una estimación del área del círculo.
Historia
Construyendo un polígono regular con norte Los lados siguieron siendo un problema para los matemáticos hasta el siglo XIX. Esta construcción es idéntica a dividir un círculo en norte partes iguales, ya que conectando los puntos que dividen el círculo en partes, se puede obtener el polígono deseado.
Desde entonces, el problema se considera completamente resuelto.
Un polígono se llama regular si todos sus lados y todos sus ángulos son iguales. Entre los triángulos, el triángulo equilátero y sólo él será el correcto. Un cuadrado (y sólo un cuadrado) es un cuadrilátero regular. Demostremos que existen polígonos regulares con cualquier número de lados, donde . Para ello, presentamos dos formas de construir dichos polígonos.
Método 1. Tome un círculo arbitrario y divídalo en partes iguales. Esta construcción está lejos de ser posible en todos los casos utilizando un compás y una regla, pero aquí asumiremos que tal construcción se ha realizado. Tomemos los puntos de división en su posición secuencial en el círculo como los vértices de un triángulo inscrito en este círculo. Demostremos que el -gon construido es regular. De hecho, los lados de nuestro polígono (Fig. 312) son cuerdas subtendidas por arcos iguales y, por tanto, son iguales entre sí.
Todos los ángulos están sostenidos por arcos iguales y, por tanto, también son iguales. Entonces el polígono es regular.
Método 2. Nuevamente, divide el círculo en partes iguales y dibuja tangentes al círculo en los puntos de división; Limitemos cada una de las tangentes a los puntos de su intersección con las tangentes trazadas en puntos de división adyacentes. obtenemos polígono regular, descrito alrededor de un círculo (Fig. 313). De hecho, sus ángulos son todos iguales, ya que cada uno de ellos, como el ángulo entre tangentes, se mide por la media diferencia de arcos, de los cuales el menor es siempre igual a parte del círculo, y el mayor siempre es igual a el círculo completo menos la parte. La igualdad de los lados se puede ver al menos en la igualdad de los triángulos formados por pares de medias tangentes y cuerdas (por ejemplo, triángulos, etc.). Todos ellos son isósceles, tienen ángulos iguales en las cimas y bases iguales.
Dos triángulos regulares con el mismo número de lados son semejantes.
De hecho, sus lados están obviamente en una relación constante, igual a la relación de cualquier par de lados. Además, según el teorema sobre la suma de los ángulos de un -gón, todo -gón regular tiene los mismos ángulos, iguales a 1. Las condiciones de la prueba del punto 224 se cumplen y los -gónos son similares.
Entonces, para todos, los -gons regulares son similares. De aquí obtenemos directamente una serie de corolarios:
1. Dos triángulos regulares con lados iguales son iguales.
2. Se puede describir un círculo alrededor de cualquier triángulo regular.
Prueba. Tomemos cualquier polígono regular con el mismo número de lados que el dado, construido según el primer método, es decir, inscrito en un círculo. Transformémoslo de manera similar para que sea igual al dado. Luego el círculo circunscrito a su alrededor se transforma de manera similar en un círculo circunscrito alrededor de un polígono igual al dado.
3. En todo polígono regular se puede inscribir un círculo.
La prueba es similar. Sin embargo, es útil pensar un poco diferente. Ya sabemos que se puede describir un círculo alrededor de un polígono dado. Tomemos su centro. Los lados del polígono sirven como cuerdas; al ser iguales entre sí, deben estar equidistantes del centro. Por lo tanto, un círculo con el mismo centro y un radio igual a la distancia desde el centro a los lados del polígono tocará todos los lados del polígono, es decir, será un círculo inscrito.
Entonces, la circunferencia circundante y la circunferencia circunstante de un polígono regular tienen un centro común. Se llama centro de este polígono regular. El radio de la circunferencia circunscrita se llama radio del polígono y el radio de la circunferencia inscrita es su apotema. Está claro que la apotema siempre es menor que el radio.
Polígonos regulares
En el libro de texto "Geometría 7-11" de A.V. Pogorelov (18), el tema "Polígonos regulares" se estudia en el §13 "Polígonos", párrafo 115.
La definición de “polígono regular” se analiza al principio del párrafo: “Un polígono convexo se llama regular si todos sus lados son iguales y todos sus ángulos son iguales”. Luego se dan las definiciones de polígono “inscrito” y “circunscrito” y se considera el teorema: “Un polígono regular convexo está inscrito en un círculo y circunscrito alrededor de un círculo”.
En el libro de texto "Geometría 7-9" de L.S. Atanasyan (4), el tema "Polígonos regulares" se analiza en el párrafo 105 §1 "Polígonos regulares" del capítulo 12.
La definición de "polígono regular" se da al principio del párrafo:
"Un polígono regular es un polígono convexo en el que todos los ángulos son iguales y todos los lados son iguales". Luego deriva la fórmula para calcular el ángulo b n de un n-gon regular:
En el libro de texto "Geometría 7-9" de I.M. Smirnova, V.A. Smirnova, el "polígono regular" se estudia en el párrafo 6 "Líneas discontinuas y polígonos".
Al inicio del párrafo se introduce la definición de “línea quebrada”: “Figura formada por segmentos dispuestos de manera que el final del primero es el comienzo del segundo, el final del segundo es el comienzo del tercero, etc., se llama línea quebrada o simplemente línea quebrada”.
Luego se dan las definiciones de simple, cerrado y polígono: “Una recta poligonal se llama simple si no tiene puntos de autointersección”. "Si el comienzo del primer segmento de una línea discontinua coincide con el final del último, entonces la línea discontinua se llama cerrada". “Se llama polígono a una figura formada por una simple línea discontinua cerrada y un plano delimitado por ella”.
Después de lo cual se considera la definición de "polígono regular": "Un polígono se llama regular si todos sus lados y todos sus ángulos son iguales".
Consideremos la metodología para estudiar el tema "Polígonos regulares" usando el ejemplo del libro de texto de geometría de A.V.
Al comienzo del párrafo se introduce la definición de “polígono regular”: “Un polígono convexo se llama regular si todos sus lados son iguales y todos sus ángulos son iguales”, luego se introducen las definiciones de polígonos “inscritos” y “circunscritos”. se introducen: “Un polígono se llama inscrito en un círculo si todos sus vértices se encuentran en un círculo determinado"; "Se dice que un polígono está circunscrito a un círculo si todos sus lados tocan un círculo determinado".
Antes de estudiar el Teorema 13.3, a fin de preparar la clase para la demostración, puede hacerles a los estudiantes preguntas de repaso:
¿Qué recta se llama tangente a una circunferencia?
¿Cómo podría ser? posición relativa¿línea recta y círculo? En clase se mantiene una conversación, que consta de dos partes: primera
Estamos hablando de un círculo circunscrito a un polígono, y luego de un círculo inscrito en un polígono.
Las respuestas de los estudiantes van acompañadas de una exhibición secuencial de una serie de dibujos.
¿Qué triángulo se llama inscrito en un círculo o qué círculo se llama circunscrito alrededor del triángulo (Fig. 1)?
¿Es posible describir un círculo alrededor de un triángulo arbitrario?
¿Cómo encontrar el centro de un círculo circunscrito a un triángulo? (Fig.2) ¿Cuál es el radio? (Figura 3)
¿Siempre es posible describir un círculo alrededor de un polígono? (No. Ejemplo: rombo, si no es un cuadrado. Fig. 4)
¿Es posible describir un círculo alrededor de un polígono regular? (Figura 5)
Se formula la primera parte del Teorema 13.3. Se supone que se puede describir un círculo alrededor de un polígono regular. Vale la pena señalar que este hecho se demostrará más adelante.
Se realiza un trabajo similar sobre la posibilidad de inscribir un círculo en un polígono. La clase tiene las mismas 5 preguntas sobre un círculo inscrito en un polígono. En este caso, por analogía con la primera parte de la conversación, se utiliza una serie de dibujos similares a los anteriores.
El profesor llama la atención de los alumnos sobre la posibilidad de inscribir un círculo en un polígono regular. Se formula y demuestra el teorema 13.3: "Un polígono convexo regular está inscrito en un círculo y circunscrito alrededor del círculo".
La demostración del teorema se realiza según el libro de texto. Es útil resaltar que los centros de los círculos inscritos y circunscritos en un polígono regular coinciden y este punto se llama centro del polígono.
Después de demostrar el teorema, se proponen los siguientes problemas:
1. El lado de un triángulo regular inscrito en una circunferencia es igual a a. Encuentra el lado del cuadrado inscrito en este círculo.
Dado: Círculo (0;R),
DAVS - correcto, inscrito,
KMRE - cuadrado inscrito.
DAVS - regular, inscrito: R = KMPE - cuadrado inscrito en un círculo (0;R).
Sea x = KM el lado del cuadrado, entonces
Respuesta: KM = .
2. Un triángulo regular está inscrito en un círculo de 4 dm de radio, en cuyo lado se construye un cuadrado. Encuentra el radio del círculo circunscrito por el cuadrado.
Dado: círculo (0;R),
DAVS - correcto, inscrito,
Okr. 1 (O;R 1),
ABDE - cuadrado inscrito en Okr. 1
Encontrar: R 1.
1. DAVS - correcto, ingresado:
ABDE - cuadrado inscrito en Okr. 1:
Respuesta: dm.
3. El lado de un polígono regular es a y el radio del círculo circunscrito es R. Calcula el radio del círculo inscrito. Dado: Env.(0;R),
A 1 A 2 ...A n - correcto, inscrito,
A 1 A 2 =a , radio = R,
OS es el radio del círculo inscrito.
SO 2 = OB 2 - BC 2
Respuesta: SO=.
4. El lado de un polígono regular es a y el radio del círculo inscrito es r. Calcula el radio del círculo circunscrito.
Dado: circunferencia(0;g),
A 1 A 2 ...A n - correcto., descrito,
A 1 A 2 = a, radio = r,
Círculo (0;R).
Solución. OB es el radio del círculo circunscrito.
DOSV - rectangular (ZC = 90°)
OB 2 = OS 2 + SV 2
Respuesta: R = .
Luego, a los estudiantes se les puede ofrecer un sistema de tareas:
1. En un hexágono regular A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6, el lado es igual a 8. El segmento BC conecta los puntos medios de los lados A 3 A 4 y A 5 A b. Encuentra la longitud del segmento que conecta el punto medio del lado A 1 A 2 con el punto medio del segmento BC.
2. El lado de un hexágono regular ABCDEF es igual a 32. Calcula el radio del círculo inscrito en el triángulo MRK si M, P y K son los puntos medios de los lados AB, CD. EF en consecuencia.
Expresar el lado b de un polígono regular circunscrito en términos del radio R del círculo y el lado a de un polígono regular inscrito con el mismo número de lados.
Los perímetros de dos n-gonos regulares están en la proporción a:b. ¿Cuál es la relación entre los radios de sus círculos inscritos y circunscritos?
¿Cuántos lados tiene un polígono regular, cada uno de cuyos ángulos internos es igual a: 1) 135; 2) 150?
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