Ecuaciones lineales. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Método de suma. Ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales: método de solución.

Método suma algebraica

Puedes resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas. de varias maneras- método gráfico o método de sustitución de variables.

En esta lección nos familiarizaremos con otro método para resolver sistemas que probablemente le gustará: este es el método de suma algebraica.

¿De dónde surgió la idea de poner algo en los sistemas? Al resolver sistemas problema principal es la presencia de dos variables, porque no sabemos resolver ecuaciones con dos variables. Esto significa que uno de ellos debe ser excluido de alguna forma legal. Y esas formas legítimas son las reglas y propiedades matemáticas.

Una de estas propiedades es: la suma de los números opuestos es cero. Esto significa que si una de las variables tiene coeficientes opuestos, entonces su suma será igual a cero y podremos excluir esta variable de la ecuación. Está claro que no tenemos derecho a agregar solo términos con la variable que necesitamos. Necesitas sumar las ecuaciones completas, es decir agregue por separado términos similares en el lado izquierdo y luego en el derecho. Como resultado, obtenemos una nueva ecuación que contiene solo una variable. Veamos lo dicho con ejemplos concretos.

Vemos que en la primera ecuación hay una variable y, y en la segunda hay el número opuesto -y. Esto significa que esta ecuación se puede resolver mediante la suma.

Una de las ecuaciones se deja como está. Cualquiera que te guste más.

Pero la segunda ecuación se obtendrá sumando estas dos ecuaciones término por término. Aquellos. Sumamos 3x con 2x, sumamos y con -y, sumamos 8 con 7.

Obtenemos un sistema de ecuaciones.

La segunda ecuación de este sistema es una ecuación simple con una variable. A partir de ahí encontramos x = 3. Sustituyendo el valor encontrado en la primera ecuación, encontramos y = -1.

Respuesta: (3; - 1).

Diseño de muestra:

Resolver un sistema de ecuaciones usando el método de suma algebraica.

En este sistema no existen variables con coeficientes opuestos. Pero sabemos que ambos lados de la ecuación se pueden multiplicar por el mismo número. Multipliquemos la primera ecuación del sistema por 2.

Entonces la primera ecuación tomará la forma:

Ahora vemos que la variable x tiene coeficientes opuestos. Esto significa que haremos lo mismo que en el primer ejemplo: dejaremos una de las ecuaciones sin cambios. Por ejemplo, 2y + 2x = 10. Y obtenemos el segundo por suma.

Ahora tenemos un sistema de ecuaciones:

Hallamos fácilmente a partir de la segunda ecuación y = 1, y luego a partir de la primera ecuación x = 4.

Diseño de muestra:

Resumamos:

Aprendimos a resolver sistemas de dos. ecuaciones lineales con dos incógnitas usando el método de la suma algebraica. Por lo tanto, ahora conocemos tres métodos principales para resolver tales sistemas: gráfico, método de reemplazo de variables y método de suma. Casi cualquier sistema se puede resolver utilizando estos métodos. en más casos difíciles Se utiliza una combinación de estas técnicas.

Lista de literatura usada:

Mordkovich A.G., Álgebra de séptimo grado en 2 partes, Parte 1, Libro de texto para instituciones de educación general / A.G. Mordkovich. – 10ª ed., revisada – Moscú, “Mnemosyne”, 2007.
Mordkovich A.G., Álgebra de séptimo grado en 2 partes, Parte 2, Libro de problemas para instituciones educativas / [A.G. Mordkovich y otros]; editado por A.G. Mordkovich - 10ª edición, revisada - Moscú, “Mnemosyne”, 2007.
SU. Tulchinskaya, Álgebra de séptimo grado. Encuesta Blitz: manual para estudiantes de instituciones de educación general, cuarta edición, revisada y ampliada, Moscú, Mnemosyne, 2008.
Alexandrova L.A., Álgebra 7mo grado. Temático trabajo de prueba en una nueva forma para estudiantes de instituciones de educación general, editado por A.G. Mordkovich, Moscú, “Mnemosyne”, 2011.
Alexandrova L.A. Álgebra 7mo grado. trabajo independiente para estudiantes de instituciones de educación general, editado por A.G. Mordkovich - 6ª edición, estereotipado, Moscú, “Mnemosyne”, 2010.

Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas son dos o más ecuaciones lineales para las cuales es necesario encontrar todas sus soluciones comunes. Consideraremos sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Vista general En la siguiente figura se presenta un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:

( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2

Aquí xey son variables desconocidas, a1,a2,b1,b2,c1,c2 son algunos números reales. Una solución a un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un par de números (x,y) tales que si sustituimos estos números en las ecuaciones del sistema, entonces cada una de las ecuaciones del sistema se convierte en una verdadera igualdad. Hay varias formas de resolver un sistema de ecuaciones lineales. Consideremos una de las formas de resolver un sistema de ecuaciones lineales, a saber, el método de la suma.

Algoritmo para resolver por el método de la suma.

Un algoritmo para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas utilizando el método de la suma.

1. Si es necesario, mediante transformaciones equivalentes, igualar los coeficientes de una de las variables desconocidas en ambas ecuaciones.

2. Sumando o restando las ecuaciones resultantes, obtenga una ecuación lineal con una incógnita.

3. Resuelve la ecuación resultante con una incógnita y encuentra una de las variables.

4. Sustituye la expresión resultante en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema y resuelve esta ecuación, obteniendo así la segunda variable.

5. Verifique la solución.

Un ejemplo de una solución que utiliza el método de adición.

Para mayor claridad, resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas mediante el método de la suma:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

Como ninguna de las variables tiene coeficientes idénticos, igualamos los coeficientes de la variable y. Para hacer esto, multiplica la primera ecuación por tres y la segunda ecuación por dos.

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

Ahora restamos la primera de la segunda ecuación. Presentamos términos similares y resolvemos la ecuación lineal resultante.

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

Sustituimos el valor resultante en la primera ecuación de nuestro sistema original y resolvemos la ecuación resultante.

(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y =14;

El resultado es un par de números x=6 e y=14. Estamos comprobando. Hagamos una sustitución.

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Como puede ver, obtuvimos dos igualdades correctas, por lo tanto, encontramos la solución correcta.

Con este vídeo comienzo una serie de lecciones dedicadas a sistemas de ecuaciones. Hoy hablaremos de resolver sistemas de ecuaciones lineales. método de suma- este es uno de los más maneras simples, pero al mismo tiempo uno de los más efectivos.

El método de suma consta de tres sencillos pasos:

Mire el sistema y elija una variable que tenga coeficientes idénticos (u opuestos) en cada ecuación;
Realizar restas algebraicas (para números opuestos, suma) de ecuaciones entre sí y luego traer términos similares;
Resuelve la nueva ecuación obtenida después del segundo paso.

Si todo se hace correctamente, en la salida obtendremos una única ecuación. con una variable- No será difícil solucionarlo. Entonces todo lo que queda es sustituir la raíz encontrada en el sistema original y obtener la respuesta final.

Sin embargo, en la práctica no todo es tan sencillo. Hay varias razones para esto:

Resolver ecuaciones usando el método de la suma implica que todas las líneas deben contener variables con coeficientes iguales/opuestos. ¿Qué hacer si no se cumple este requisito?
No siempre, después de sumar/restar ecuaciones de la forma indicada, obtenemos una construcción hermosa que pueda resolverse fácilmente. ¿Es posible simplificar de alguna manera los cálculos y acelerarlos?

Para obtener la respuesta a estas preguntas y, al mismo tiempo, comprender algunas sutilezas adicionales en las que muchos estudiantes fallan, mire mi lección en video:

Con esta lección comenzamos una serie de conferencias dedicadas a sistemas de ecuaciones. Y partiremos de los más simples, es decir, aquellos que contienen dos ecuaciones y dos variables. Cada uno de ellos será lineal.

Sistemas es material de séptimo grado, pero esta lección también será útil para estudiantes de secundaria que quieran repasar sus conocimientos sobre este tema.

En general, existen dos métodos para resolver este tipo de sistemas:

Método de suma;
Un método para expresar una variable en términos de otra.

Hoy nos ocuparemos del primer método: utilizaremos el método de resta y suma. Pero para hacer esto, debes comprender el siguiente hecho: una vez que tengas dos o más ecuaciones, puedes tomar dos de ellas y sumarlas entre sí. Se añaden miembro por miembro, es decir. Se suman “X” a las “X” y se dan similares, “Y” con “Y” se vuelven a similar, y lo que está a la derecha del signo igual también se suma entre sí, y allí también se dan similares .

El resultado de tales maquinaciones será una nueva ecuación que, si tiene raíces, seguramente estará entre las raíces de la ecuación original. Por lo tanto, nuestra tarea es hacer la resta o suma de tal manera que $x$ o $y$ desaparezcan.

Cómo lograrlo y qué herramienta utilizar para ello; hablaremos de esto ahora.

Resolver problemas fáciles usando la suma

Entonces, aprendemos a usar el método de la suma usando el ejemplo de dos expresiones simples.

Tarea número 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

Tenga en cuenta que $y$ tiene un coeficiente de $-4$ en la primera ecuación y $+4$ en la segunda. Son mutuamente opuestos, por lo que es lógico suponer que si los sumamos, en la suma resultante los "juegos" se destruirán mutuamente. Súmalo y obtén:

Resolvamos la construcción más simple:

Genial, encontramos la "x". ¿Qué debemos hacer con él ahora? Tenemos derecho a sustituirlo en cualquiera de las ecuaciones. Sustituyamos en el primero:

\[-4y=12\izquierda| :\izquierda(-4 \derecha) \derecha.\]

Respuesta: $\izquierda(2;-3 \derecha)$.

Problema número 2

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

La situación aquí es completamente similar, sólo que con las "X". Sumémoslos:

Tenemos la ecuación lineal más simple, resolvámosla:

Ahora encontremos $x$:

Respuesta: $\izquierda(-3;3 \derecha)$.

Puntos importantes

Entonces, acabamos de resolver dos sistemas simples de ecuaciones lineales usando el método de la suma. Puntos clave nuevamente:

Si hay coeficientes opuestos para una de las variables, entonces es necesario sumar todas las variables de la ecuación. En este caso, uno de ellos será destruido.
Sustituimos la variable encontrada en cualquiera de las ecuaciones del sistema para encontrar la segunda.
El registro de respuesta final se puede presentar de diferentes formas. Por ejemplo, así - $x=...,y=...$, o en forma de coordenadas de puntos - $\left(...;... \right)$. Es preferible la segunda opción. Lo principal que hay que recordar es que la primera coordenada es $x$ y la segunda es $y$.
La regla de escribir la respuesta en forma de coordenadas de puntos no siempre es aplicable. Por ejemplo, no se puede utilizar cuando las variables no son $x$ e $y$, sino, por ejemplo, $a$ y $b$.

En los siguientes problemas consideraremos la técnica de la resta cuando los coeficientes no son opuestos.

Resolver problemas fáciles usando el método de resta.

Tarea número 1

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

Tenga en cuenta que aquí no hay coeficientes opuestos, pero sí idénticos. Por tanto, restamos la segunda de la primera ecuación:

Ahora sustituimos el valor $x$ en cualquiera de las ecuaciones del sistema. Vamos primero:

Respuesta: $\izquierda(2;5\derecha)$.

Problema número 2

\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

Nuevamente vemos el mismo coeficiente de $5$ para $x$ en la primera y segunda ecuación. Por lo tanto, es lógico suponer que es necesario restar la segunda de la primera ecuación:

Hemos calculado una variable. Ahora encontremos el segundo, por ejemplo, sustituyendo el valor $y$ en la segunda construcción:

Respuesta: $\izquierda(-3;-2 \derecha)$.

Matices de la solución.

Entonces, ¿qué vemos? En esencia, el esquema no difiere de la solución de los sistemas anteriores. La única diferencia es que no sumamos ecuaciones, sino que las restamos. Estamos haciendo resta algebraica.

En otras palabras, tan pronto como veas un sistema que consta de dos ecuaciones con dos incógnitas, lo primero que debes mirar son los coeficientes. Si son iguales en cualquier parte, se restan las ecuaciones, y si son opuestas, se utiliza el método de la suma. Esto siempre se hace para que una de ellas desaparezca, y en la ecuación final, que queda después de la resta, solo queda una variable.

Por supuesto, eso no es todo. Ahora consideraremos sistemas en los que las ecuaciones son generalmente inconsistentes. Aquellos. No hay en ellos variables iguales ni opuestas. En este caso, para resolver dichos sistemas se utiliza una técnica adicional, a saber, multiplicar cada una de las ecuaciones por un coeficiente especial. Cómo encontrarlo y cómo resolver dichos sistemas en general, hablaremos de esto ahora.

Resolver problemas multiplicando por un coeficiente.

Ejemplo #1

\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

Vemos que ni para $x$ ni para $y$ los coeficientes no sólo son mutuamente opuestos, sino que tampoco están correlacionados de ninguna manera con la otra ecuación. Estos coeficientes no desaparecerán de ninguna manera, incluso si sumamos o restamos las ecuaciones entre sí. Por tanto, es necesario aplicar la multiplicación. Intentemos deshacernos de la variable $y$. Para ello multiplicamos la primera ecuación por el coeficiente $y$ de la segunda ecuación, y la segunda ecuación por el coeficiente $y$ de la primera ecuación, sin tocar el signo. Multiplicamos y obtenemos un nuevo sistema:

\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

Veámoslo: en $y$ los coeficientes son opuestos. En tal situación, es necesario utilizar el método de la suma. Agreguemos:

Ahora necesitamos encontrar $y$. Para hacer esto, sustituya $x$ en la primera expresión:

\[-9y=18\izquierda| :\izquierda(-9 \derecha) \derecha.\]

Respuesta: $\izquierda(4;-2 \derecha)$.

Ejemplo No. 2

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

Nuevamente, los coeficientes de ninguna de las variables son consistentes. Multipliquemos por los coeficientes de $y$:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]

\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

Nuestro nuevo sistema es equivalente al anterior, sin embargo, los coeficientes de $y$ son mutuamente opuestos, por lo que es fácil aplicar aquí el método de la suma:

Ahora encontremos $y$ sustituyendo $x$ en la primera ecuación:

Respuesta: $\izquierda(-2;1 \derecha)$.

Matices de la solución.

La regla clave aquí es la siguiente: siempre multiplicamos solo por números positivos; esto le evitará errores estúpidos y ofensivos asociados con el cambio de signos. En general, el esquema de solución es bastante sencillo:

Observamos el sistema y analizamos cada ecuación.
Si vemos que ni $y$ ni $x$ los coeficientes son consistentes, es decir no son iguales ni opuestos, luego hacemos lo siguiente: seleccionamos la variable de la que necesitamos deshacernos y luego miramos los coeficientes de estas ecuaciones. Si multiplicamos la primera ecuación por el coeficiente de la segunda, y la segunda, respectivamente, la multiplicamos por el coeficiente de la primera, al final obtendremos un sistema que es completamente equivalente al anterior, y los coeficientes de $ y$ será consistente. Todas nuestras acciones o transformaciones tienen como objetivo únicamente conseguir una variable en una ecuación.
Encontramos una variable.
Sustituimos la variable encontrada en una de las dos ecuaciones del sistema y encontramos la segunda.
Escribimos la respuesta en forma de coordenadas de puntos si tenemos las variables $x$ e $y$.

Pero incluso un algoritmo tan simple tiene sus propias sutilezas, por ejemplo, los coeficientes $x$ o $y$ pueden ser fracciones y otros números "feos". Ahora consideraremos estos casos por separado, porque en ellos puede actuar de manera algo diferente que según el algoritmo estándar.

Resolver problemas con fracciones

Ejemplo #1

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\\end(align) \right.\]

Primero, observa que la segunda ecuación contiene fracciones. Pero tenga en cuenta que puede dividir $4$ entre $0,8$. Recibiremos $5$. Multipliquemos la segunda ecuación por $5$:

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12.5m=-30 \\\end(align) \right.\]

Restamos las ecuaciones entre sí:

Encontramos $n$, ahora contemos $m$:

Respuesta: $n=-4;m=5$

Ejemplo No. 2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ bien.\]

Aquí, como en el sistema anterior, hay coeficientes fraccionarios, pero para ninguna de las variables los coeficientes encajan entre sí un número entero de veces. Por tanto, utilizamos el algoritmo estándar. Deshazte de $p$:

\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(align) \right.\]

Usamos el método de resta:

Encontremos $p$ sustituyendo $k$ en la segunda construcción:

Respuesta: $p=-4;k=-2$.

Matices de la solución.

Eso es todo optimización. En la primera ecuación, no multiplicamos por nada en absoluto, sino que multiplicamos la segunda ecuación por $5$. Como resultado, obtuvimos una ecuación consistente e incluso idéntica para la primera variable. En el segundo sistema, seguimos un algoritmo estándar.

Pero, ¿cómo encuentras los números por los cuales multiplicar las ecuaciones? Después de todo, si multiplicas por números fraccionarios, obtendremos nuevas fracciones. Por lo tanto, las fracciones deben multiplicarse por un número que daría un nuevo número entero, y luego las variables deben multiplicarse por coeficientes, siguiendo el algoritmo estándar.

Para concluir, me gustaría llamar su atención sobre el formato de registro de la respuesta. Como ya dije, como aquí no tenemos $x$ e $y$, sino otros valores, usamos una notación no estándar de la forma:

Resolver sistemas complejos de ecuaciones.

Como nota final al vídeo tutorial de hoy, veamos un par de realmente sistemas complejos. Su complejidad consistirá en que tendrán variables tanto a izquierda como a derecha. Por tanto, para solucionarlos tendremos que aplicar preprocesamiento.

Sistema nº 1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y \right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]

Cada ecuación conlleva una cierta complejidad. Por lo tanto, tratemos cada expresión como si fuera una construcción lineal regular.

En total obtenemos el sistema final, que es equivalente al original:

\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Veamos los coeficientes de $y$: $3$ cabe en $6$ dos veces, así que multipliquemos la primera ecuación por $2$:

\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Los coeficientes de $y$ ahora son iguales, por lo que restamos el segundo de la primera ecuación: $$

Ahora encontremos $y$:

Respuesta: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

Sistema nº 2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right) )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]

Transformemos la primera expresión:

Ocupémonos del segundo:

\[-3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

En total, nuestro sistema inicial tomará la siguiente forma:

\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Al observar los coeficientes de $a$, vemos que la primera ecuación debe multiplicarse por $2$:

\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Resta la segunda de la primera construcción:

Ahora busquemos $a$:

Respuesta: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

Eso es todo. Espero que este video tutorial te ayude a comprender este difícil tema, es decir, la resolución de sistemas de ecuaciones lineales simples. Habrá muchas más lecciones sobre este tema: veremos más ejemplos complejos, donde habrá más variables y las ecuaciones mismas ya serán no lineales. ¡Nos vemos de nuevo!

Muy a menudo, a los estudiantes les resulta difícil elegir una forma de resolver sistemas de ecuaciones.

En este artículo veremos una de las formas de resolver sistemas: el método de sustitución.

si se encuentra solución general dos ecuaciones, entonces se dice que estas ecuaciones forman un sistema. En un sistema de ecuaciones, cada incógnita representa el mismo número en todas las ecuaciones. Para demostrar que las ecuaciones dadas forman un sistema, generalmente se escriben una debajo de la otra y se unen mediante una llave, por ejemplo

Observamos que para x = 15 e y = 5, ambas ecuaciones del sistema son correctas. Este par de números es la solución del sistema de ecuaciones. Cada par de valores desconocidos que satisface simultáneamente ambas ecuaciones del sistema se llama solución del sistema.

Un sistema puede tener una solución (como en nuestro ejemplo), infinitas soluciones o ninguna solución.

¿Cómo resolver sistemas usando el método de sustitución? Si los coeficientes de alguna incógnita en ambas ecuaciones son iguales en valor absoluto (si no son iguales, entonces igualamos), entonces sumando ambas ecuaciones (o restando una de la otra), puede obtener una ecuación con una incógnita. Luego resolvemos esta ecuación. Determinamos una incógnita. Sustituimos el valor resultante de la incógnita en una de las ecuaciones del sistema (la primera o la segunda). Nos encontramos con otra incógnita. Veamos ejemplos de la aplicación de este método.

Ejemplo 1. Resuelve el sistema de ecuaciones.

Aquí los coeficientes para y valor absoluto son iguales entre sí, pero de signo opuesto. Intentemos sumar las ecuaciones del sistema término por término.

Sustituimos el valor resultante x = 4 en alguna ecuación del sistema (por ejemplo, en la primera) y encontramos el valor y:

2 *4 +y = 11, y = 11 – 8, y = 3.

Nuestro sistema tiene una solución x = 4, y = 3. O la respuesta se puede escribir entre paréntesis como las coordenadas de un punto, x en primer lugar, y en segundo.

Respuesta: (4; 3)

Ejemplo 2. Resolver sistema de ecuaciones.

Igualemos los coeficientes de la variable x, para ello multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por (-2), obtenemos

Tenga cuidado al sumar ecuaciones

Entonces y = - 2. Sustituimos el número (-2) en lugar de y en la primera ecuación y obtenemos

4x + 3(-2) = - 4. Resuelve esta ecuación 4x = - 4 + 6, 4x = 2, x = ½.

Respuesta: (1/2; - 2)

Ejemplo 3. Resuelve el sistema de ecuaciones.

Multiplica la primera ecuación por (-2)

resolviendo el sistema

obtenemos 0 = - 13.

El sistema no tiene soluciones, ya que 0 no es igual a (-13).

Respuesta: no hay soluciones.

Ejemplo 4. Resuelve el sistema de ecuaciones.

Notamos que todos los coeficientes de la segunda ecuación son divisibles por 3,

dividimos la segunda ecuación por tres y obtenemos un sistema que consta de dos ecuaciones idénticas.

Este sistema tiene infinitas soluciones, ya que la primera y la segunda ecuaciones son iguales (obtuvimos solo una ecuación con dos variables). ¿Cómo podemos imaginar la solución a este sistema? Expresemos la variable y a partir de la ecuación x + y = 5. Obtenemos y = 5 – x.

Entonces respuesta se escribirá así: (x; 5-x), x – cualquier número.

Analizamos la resolución de sistemas de ecuaciones utilizando el método de la suma. Si tienes alguna duda o algo no te queda claro, apúntate a una lección y resolveremos todos los problemas contigo.

sitio web, al copiar material total o parcialmente, se requiere un enlace a la fuente.

Usando el método de la suma, las ecuaciones de un sistema se suman término por término, y una o ambas (varias) ecuaciones se pueden multiplicar por cualquier número. Como resultado, llegan a un SLE equivalente, donde en una de las ecuaciones solo hay una variable.

para resolver el sistema método de suma (resta) término por término sigue estos pasos:

1. Seleccione una variable para la cual se harán los mismos coeficientes.

2. Ahora necesitas sumar o restar las ecuaciones y obtener una ecuación con una variable.

Solución del sistema- estos son los puntos de intersección de las gráficas de funciones.

Veamos ejemplos.

Ejemplo 1.

Sistema dado:

Habiendo analizado este sistema, se puede notar que los coeficientes de la variable son iguales en magnitud y diferentes en signo (-1 y 1). En este caso, las ecuaciones se pueden sumar fácilmente término por término:

Realizamos las acciones marcadas en rojo en nuestra mente.

El resultado de la suma término por término fue la desaparición de la variable y. Este es precisamente el significado del método: deshacerse de una de las variables.

-4 - y + 5 = 0 → y = 1,

En forma de sistema, la solución se parece a esto:

Respuesta: incógnita = -4 , y = 1.

Ejemplo 2.

Sistema dado:

En este ejemplo, puedes utilizar el método "escolar", pero tiene un inconveniente bastante grande: cuando expresas cualquier variable de cualquier ecuación, obtienes una solución en fracciones ordinarias. Pero resolver fracciones lleva mucho tiempo y aumenta la probabilidad de cometer errores.

Por lo tanto, es mejor utilizar la suma (resta) de ecuaciones término por término. Analicemos los coeficientes de las variables correspondientes:

Necesitas encontrar un número que se pueda dividir por 3 y en 4 , y es necesario que este número sea el mínimo posible. Este mínimo común múltiplo. Si te cuesta elegir numero adecuado, entonces puedes multiplicar los coeficientes: .

Siguiente paso:

Multiplicamos la primera ecuación por ,

Multiplicamos la tercera ecuación por ,