Sistemas con ecuaciones no lineales. ¿Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones? Métodos para resolver sistemas de ecuaciones.

Resolver ecuaciones en números enteros es uno de los problemas matemáticos más antiguos. Ya a principios del segundo milenio antes de Cristo. mi. Los babilonios sabían cómo resolver sistemas de este tipo de ecuaciones con dos variables. Esta área de las matemáticas alcanzó su mayor florecimiento en Grecia antigua. La fuente principal para nosotros es la Aritmética de Diofanto, que contiene varios tipos ecuaciones. En él, Diofanto (después de su nombre el nombre de las ecuaciones es Ecuaciones diofánticas) anticipa una serie de métodos para estudiar ecuaciones de segundo y tercer grado, que se desarrollaron solo en el siglo XIX.

Las ecuaciones diofánticas más simples son ax + y = 1 (ecuación con dos variables, primer grado) x2 + y2 = z2 (ecuación con tres variables, segundo grado)

Más estudiado ecuaciones algebraicas, su solución fue uno de los problemas más importantes del álgebra en los siglos XVI y XVII.

A principios del siglo XIX, los trabajos de P. Fermat, L. Euler, K. Gauss investigaron una ecuación diofántica de la forma: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, donde a, b, c , d, e, f son números; x, y variables desconocidas.

Esta es una ecuación de segundo grado con dos incógnitas.

K. Gauss desarrolló una teoría general de formas cuadráticas, que es la base para resolver ciertos tipos de ecuaciones con dos variables (ecuaciones diofánticas). existe gran número ecuaciones diofánticas específicas resueltas por métodos elementales. /p>

Material teórico.

En esta parte del trabajo se describirán los conceptos matemáticos básicos, se definirán términos y se formulará el teorema de expansión utilizando el método de coeficientes indefinidos, los cuales fueron estudiados y considerados al resolver ecuaciones con dos variables.

Definición 1: Ecuación de la forma ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, donde a, b, c, d, e, f son números; x, y variables desconocidas se denomina ecuación de segundo grado con dos variables.

En un curso escolar de matemáticas se estudia la ecuación cuadrática ax2+inx+c=0, donde números a, b, c x variable, con una variable. Hay muchas formas de resolver esta ecuación:

1. Encontrar raíces usando un discriminante;

2. Encontrar las raíces del coeficiente par en (según D1=);

3. Encontrar raíces usando el teorema de Vieta;

4. Encontrar raíces aislando el cuadrado perfecto de un binomio.

Resolver una ecuación significa encontrar todas sus raíces o demostrar que no existen.

Definición 2: La raíz de una ecuación es un número que, cuando se sustituye en una ecuación, forma una verdadera igualdad.

Definición 3: La solución de una ecuación con dos variables se llama par de números (x, y) cuando se sustituye en la ecuación, se convierte en una verdadera igualdad.

El proceso de encontrar soluciones a una ecuación suele consistir en sustituir la ecuación por una ecuación equivalente, pero que sea más sencilla de resolver. Estas ecuaciones se denominan equivalentes.

Definición 4: Se dice que dos ecuaciones son equivalentes si cada solución de una ecuación es una solución de la otra ecuación, y viceversa, y ambas ecuaciones se consideran en el mismo dominio.

Para resolver ecuaciones con dos variables, utilice el teorema de la descomposición de la ecuación en una suma de cuadrados completos (por el método de coeficientes indefinidos).

Para la ecuación de segundo orden ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1), se produce el desarrollo a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2).

Formulemos las condiciones bajo las cuales tiene lugar la expansión (2) para la ecuación (1) de dos variables.

Teorema: si los coeficientes a,b,c ecuaciones(1) satisface las condiciones a0 y 4ab – c20, entonces la expansión (2) se determina de forma única.

En otras palabras, la ecuación (1) con dos variables se puede reducir a la forma (2) utilizando el método de coeficientes indefinidos si se cumplen las condiciones del teorema.

Veamos un ejemplo de cómo se implementa el método de coeficientes indefinidos.

MÉTODO N°1. Resuelve la ecuación usando el método de coeficientes indeterminados.

2x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

1. Comprobemos el cumplimiento de las condiciones del teorema, a=2, b=1, c=2, lo que significa a=2.4av – c2= 4∙2∙1- 22= 40.

2. Se cumplen las condiciones del teorema; se pueden ampliar según la fórmula (2).

3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1 = 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 +h, según las condiciones del teorema, ambas partes de la identidad son equivalentes. Simplifiquemos el lado derecho de la identidad.

4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 +h =

2(x2+ p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =

2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =

X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).

5. Igualamos los coeficientes de variables idénticas con sus potencias.

x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h

6. Consigamos un sistema de ecuaciones, resolvámoslo y encontremos los valores de los coeficientes.

7. Sustituya los coeficientes en (2), entonces la ecuación tomará la forma

2x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 +0

Por tanto, la ecuación original es equivalente a la ecuación

2(x + 0.5y + 0.5)2 + 0.5(y -1)2 = 0 (3), esta ecuación es equivalente a un sistema de dos ecuaciones lineales.

Respuesta: (-1; 1).

Si prestas atención al tipo de expansión (3), notarás que su forma es idéntica a aislar un cuadrado completo de una ecuación cuadrática con una variable: ax2 + inx + c = a(x +)2 +.

Apliquemos esta técnica al resolver una ecuación con dos variables. Resolvamos, mediante la selección de un cuadrado completo, una ecuación cuadrática con dos variables que ya ha sido resuelta mediante el teorema.

MÉTODO No. 2: Resuelve la ecuación 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

Solución: 1. Imaginemos 2x2 como la suma de dos términos x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

2. Agrupemos los términos de tal forma que podamos sumarlos usando la fórmula de un cuadrado completo.

(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x +1) = 0.

3. Seleccione cuadrados completos de las expresiones entre paréntesis.

(x + y)2 + (x + 1)2 = 0.

4. Esta ecuación es equivalente a un sistema de ecuaciones lineales.

Respuesta: (-1;1).

Si comparas los resultados, puedes ver que la ecuación resuelta por el método No. 1 usando el teorema y el método de coeficientes indeterminados y la ecuación resuelta por el método No. 2 usando la extracción de un cuadrado completo tienen las mismas raíces.

Conclusión: Una ecuación cuadrática con dos variables se puede expandir a una suma de cuadrados de dos maneras:

➢ El primer método es el método de coeficientes indefinidos, el cual se basa en el teorema y el desarrollo (2).

➢ La segunda forma es mediante transformaciones de identidad, que permiten seleccionar cuadrados completos secuencialmente.

Por supuesto, a la hora de resolver problemas, es preferible el segundo método, ya que no requiere memorizar la expansión (2) ni las condiciones.

Este método también se puede utilizar para ecuaciones cuadráticas con tres variables. Aislar un cuadrado perfecto en tales ecuaciones requiere más trabajo. Haré este tipo de transformación el próximo año.

Es interesante notar que una función que tiene la forma: f(x,y) = ax2 + vxy + cy2 + dx + ey + f se llama función cuadrática dos variables. Las funciones cuadráticas pertenecen papel importante en diversas ramas de las matemáticas:

En programación matemática (programación cuadrática)

En álgebra lineal y geometría (formas cuadráticas)

En teoría ecuaciones diferenciales(reduciendo una ecuación lineal de segundo orden a forma canónica).

Al resolver estos diversos problemas, esencialmente debes aplicar el procedimiento de aislar un cuadrado completo de una ecuación cuadrática (una, dos o más variables).

Las rectas cuyas ecuaciones se describen mediante una ecuación cuadrática de dos variables se denominan curvas de segundo orden.

Este es un círculo, una elipse, una hipérbola.

Al construir gráficas de estas curvas, también se utiliza el método de aislar secuencialmente un cuadrado completo.

Veamos cómo funciona el método de seleccionar secuencialmente un cuadrado completo usando ejemplos específicos.

Parte práctica.

Resuelve ecuaciones usando el método de aislar secuencialmente un cuadrado completo.

1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;

(x +1)2 + (x + y)2 = 0;

Respuesta:(-1;1).

2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;

(x + y)2 + (2y + 1)2 = 0;

Respuesta:(0,5; - 0,5).

3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;

3x2 + 3y2 + y2 – 6xy – 2y +1 = 0;

3x2 +3y2 – 6xy + y2 –2y +1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;

3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;

Respuesta:(-1;1).

Resolver ecuaciones:

1. 2x2 + 3y2 – 4xy + 6y +9 =0

(reducir a la forma: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)

Respuesta: (-3; -3)

2. – 3x2 – 2y2 – 6xy –2y + 1=0

(reducir a la forma: -3(x+y)2 + (y –1)2= 0)

Respuesta: (-1; 1)

3. x2 + 3y2+2xy + 28y +98 =0

(reducir a la forma: (x+y)2 +2(y+7)2 =0)

Respuesta: (7; -7)

Conclusión.

en esto trabajo científico Se estudiaron ecuaciones con dos variables de segundo grado y se consideraron métodos para resolverlas. Se ha completado la tarea, se ha formulado y descrito un método más corto de solución, basado en aislar un cuadrado completo y reemplazar la ecuación con un sistema de ecuaciones equivalente, como resultado se ha definido el procedimiento para encontrar las raíces de una ecuación con dos variables. sido simplificado.

Un punto importante del trabajo es que la técnica en cuestión se utiliza para resolver diversos problemas matemáticos relacionados con una función cuadrática, construir curvas de segundo orden y encontrar el valor más grande (más pequeño) de expresiones.

Por tanto, la técnica de descomponer una ecuación de segundo orden con dos variables en una suma de cuadrados tiene las aplicaciones más numerosas en matemáticas.

En el curso de matemáticas de séptimo grado, nos encontramos por primera vez ecuaciones con dos variables, pero se estudian sólo en el contexto de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. Por eso se pierden de vista toda una serie de problemas en los que se introducen determinadas condiciones sobre los coeficientes de la ecuación que los limitan. Además, también se ignoran métodos para resolver problemas como “Resolver una ecuación en números naturales o enteros”, aunque en Materiales del examen estatal unificado y en exámenes de ingreso Los problemas de este tipo son cada vez más comunes.

¿Qué ecuación se llamará ecuación con dos variables?

Entonces, por ejemplo, las ecuaciones 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 o xy = 12 son ecuaciones en dos variables.

Considere la ecuación 2x ​​– y = 1. Se vuelve verdadera cuando x = 2 e y = 3, por lo que este par de valores de variables es una solución a la ecuación en cuestión.

Así, la solución a cualquier ecuación con dos variables es un conjunto de pares ordenados (x; y), valores de las variables que convierten esta ecuación en una verdadera igualdad numérica.

Una ecuación con dos incógnitas puede:

A) tener una solución. Por ejemplo, la ecuación x 2 + 5y 2 = 0 tiene una solución única (0; 0);

b) tener múltiples soluciones. Por ejemplo, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 tiene 4 soluciones: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) no tienen soluciones. Por ejemplo, la ecuación x 2 + y 2 + 1 = 0 no tiene soluciones;

GRAMO) tener infinitas soluciones. Por ejemplo, x + y = 3. Las soluciones de esta ecuación serán números cuya suma sea igual a 3. El conjunto de soluciones de esta ecuación se puede escribir en la forma (k; 3 – k), donde k es cualquier real número.

Los principales métodos para resolver ecuaciones con dos variables son métodos basados ​​​​en factorizar expresiones, aislar un cuadrado completo, utilizar las propiedades de una ecuación cuadrática, expresiones limitadas y métodos de estimación. La ecuación generalmente se convierte a una forma a partir de la cual se puede obtener un sistema para encontrar las incógnitas.

Factorización

Ejemplo 1.

Resuelve la ecuación: xy – 2 = 2x – y.

Solución.

Agrupamos los términos para efectos de factorización:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. De cada paréntesis sacamos un factor común:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Tenemos:

y = 2, x – cualquier número real o x = -1, y – cualquier número real.

De este modo, la respuesta es todos los pares de la forma (x; 2), x€R y (-1;y), y€R.

Igual a cero no es números negativos

Ejemplo 2.

Resuelve la ecuación: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Solución.

Agrupamiento:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Ahora cada paréntesis se puede plegar usando la fórmula de diferencia al cuadrado.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

La suma de dos expresiones no negativas es cero sólo si 3x – 2 = 0 y 2y – 3 = 0.

Esto significa x = 2/3 e y = 3/2.

Respuesta: (2/3; 3/2).

Método de estimación

Ejemplo 3.

Resuelve la ecuación: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Solución.

En cada paréntesis seleccionamos un cuadrado completo:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Estimemos el significado de las expresiones entre paréntesis.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 y (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, entonces el lado izquierdo de la ecuación es siempre al menos 2. La igualdad es posible si:

(x + 1) 2 + 1 = 1 y (y – 2) 2 + 2 = 2, lo que significa x = -1, y = 2.

Respuesta: (-1; 2).

Conozcamos otro método para resolver ecuaciones con dos variables de segundo grado. Este método consiste en tratar la ecuación como cuadrado con respecto a alguna variable.

Ejemplo 4.

Resuelve la ecuación: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Solución.

Resolvamos la ecuación como una ecuación cuadrática para x. Encontremos el discriminante:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . La ecuación tendrá solución solo cuando D = 0, es decir, si y = 4. Sustituimos el valor de y en la ecuación original y encontramos que x = 3.

Respuesta: (3; 4).

A menudo en ecuaciones con dos incógnitas indican restricciones sobre variables.

Ejemplo 5.

Resuelve la ecuación en números enteros: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Solución.

Reescribamos la ecuación en la forma x 2 = -5y 2 + 20x + 2. El lado derecho de la ecuación resultante cuando se divide por 5 da un resto de 2. Por lo tanto, x 2 no es divisible por 5. Pero el cuadrado de un un número no divisible por 5 da un resto de 1 o 4. Por tanto, la igualdad es imposible y no hay soluciones.

Respuesta: sin raíces.

Ejemplo 6.

Resuelve la ecuación: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Solución.

Resaltemos los cuadrados completos en cada paréntesis:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. El lado izquierdo de la ecuación siempre es mayor o igual a 3. La igualdad es posible siempre que |x| – 2 = 0 e y + 3 = 0. Por tanto, x = ± 2, y = -3.

Respuesta: (2; -3) y (-2; -3).

Ejemplo 7.

Para cada par de enteros negativos (x;y) que satisfagan la ecuación
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, calcula la suma (x + y). Indique la cantidad más pequeña en su respuesta.

Solución.

Seleccionemos cuadrados completos:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Como x e y son números enteros, sus cuadrados también son números enteros. Obtenemos la suma de los cuadrados de dos números enteros igual a 37 si sumamos 1 + 36. Por lo tanto:

(x – y) 2 = 36 y (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 y (y + 2) 2 = 36.

Resolviendo estos sistemas y teniendo en cuenta que x e y son negativos, encontramos soluciones: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Respuesta: -17.

No te desesperes si tienes dificultades para resolver ecuaciones con dos incógnitas. Con un poco de práctica, podrás manejar cualquier ecuación.

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CUADRADO TRIPLE III

§ 63. Solución de algunos sistemas de ecuaciones.

En esta sección veremos algunos sistemas de ecuaciones típicos, cuya solución se reduce a resolver ecuaciones cuadráticas.

Ejemplo 1. Resolver sistema de ecuaciones.

Dado que la segunda ecuación de este sistema es lineal con respecto a cada una de las variables incógnita Y en , entonces una de estas variables; Por ejemplo en , se expresa fácilmente a través de otro:

en =incógnita - 1.

Sustituyendo esta expresión por en en la primera ecuación del sistema, obtenemos:

incógnita 2 + 3 (incógnita - 1) 2 - incógnita (incógnita - 1) - 2incógnita + 1 = 0,

3incógnita 2 - 7incógnita +4 = 0; incógnita 1 = 4 / 3 ; incógnita 2 = 1

Estos valores incógnita según la segunda ecuación del sistema corresponden los siguientes valores en : y 1 = 1 / 3 ; y 2 = 0.

Por tanto, este sistema de ecuaciones tiene dos soluciones:

incógnita 1 = 4 / 3 ; y 1 = 1/3; Y incógnita 2 = 1; y 2 = 0.

Ejemplo 2. Resolver sistema de ecuaciones.

(1)

Característica de este sistema de ecuaciones es que contiene sólo las expresiones incógnita 2 , y 2 y xy , grado total incógnita Y en en el cual es constante e igual a 2.

Para resolver este sistema, realizamos las siguientes transformaciones. De la primera ecuación del sistema (1) restamos la segunda, multiplicada por 2. Como resultado, obtenemos la ecuación

2incógnita 2 - 3xy + y 2 = 0, (2)

cuyo lado derecho es 0.

Tenga en cuenta que incógnita =/= 0. De lo contrario, se seguiría de (2) que en = 0, y esto contradice claramente las ecuaciones del sistema (1). pero si incógnita =/= 0, entonces la ecuación (2) se puede dividir término por término en incógnita 2, que da

2- 3 y / incógnita + ( y / incógnita ) 2 = 0.

Hemos obtenido una ecuación cuadrática para y / incógnita . De esto se deduce que o y / incógnita = 1, o y / incógnita = 2.

Consideremos estos dos casos por separado.

1) si y / incógnita = 1, entonces y = x . Reemplazo en en la primera ecuación de este sistema en incógnita conduce al siguiente resultado:

4incógnita 2 + 5incógnita 2 + 3incógnita 2 = 16,

12incógnita 2 = 16.

Por eso,

De esto obtenemos las siguientes dos soluciones para este sistema:

incógnita 1 = 2 / √ 3 , y 1 = 2 / √ 3 ; incógnita 2 = - 2 / √ 3 , y 2 = - 2 / √ 3

2) si y / incógnita = 2, entonces en = 2incógnita . Reemplazo en en la primera ecuación de este sistema por 2 incógnita , obtenemos:

14incógnita 2 - 10incógnita 2 + 12incógnita 2 = 16,

16incógnita 2 = 16.

Por eso, incógnita = ±1. Por lo tanto, considerando que en = 2incógnita , obtenemos dos soluciones más a este sistema:

incógnita 1 = 1, y 1 = 2; incógnita 2 = - 1 , y 2 = - 2

La verificación muestra que ninguna de las cuatro soluciones obtenidas para el sistema (1) es "extraña".

Respuesta. este sistema las ecuaciones tienen 4 soluciones:

1) incógnita 1 = 2 / √ 3 , y 1 = 2 / √ 3 ; 2) incógnita 2 = - 2 / √ 3 , y 2 = - 2 / √ 3

3) incógnita 1 = 1, y 1 = 2; 4) incógnita 2 = - 1 , y 2 = - 2

Ejemplo 3. Resolver sistema de ecuaciones.

Si sólo un sistema de ecuaciones dado tiene solución, entonces, según el teorema, recíproco del teorema Vieta, esta solución debe consistir en las raíces de la ecuación cuadrática (ver § 52):

incógnita 2 - 6incógnita - 7 = 0.

Esta ecuación tiene raíces. incógnita 1 = -1, incógnita 2 = +7. En consecuencia, sólo los siguientes dos pares de números pueden actuar como soluciones de este sistema de ecuaciones:

incógnita 1 = - 1, y 1 = 7 y incógnita 2 = 7, y 2 = - 1.

Una comprobación básica muestra que cada uno de estos pares de números es una solución para nuestro sistema.

Respuesta. Este sistema de ecuaciones tiene dos soluciones:

incógnita 1 = - 1, y 1 = 7 y incógnita 2 = 7, y 2 = - 1.

Ejemplo 4. Resolver un sistema de ecuaciones

De la segunda ecuación se deduce que incógnita (-en )= 7. Por lo tanto

Hemos obtenido un sistema de ecuaciones bastante similar al sistema considerado en el ejemplo 3. Sólo que el papel de las incógnitas no lo desempeñan incógnita Y en , como en el ejemplo. 3, un incógnita Y - en . Por tanto, el curso posterior para resolver este sistema es el mismo que en el ejemplo 3. Se pide a los estudiantes que lo realicen de forma independiente.

Ejemplo 5. Resolver sistema de ecuaciones.

De la segunda ecuación obtenemos incógnita 2 y 2 = 4. Pero en este caso, según el teorema inverso al teorema de Vieta, incógnita 2 y y 2 se puede considerar como las raíces de una ecuación cuadrática.

z 2 - 5z + 4 = 0,

dónde z 1 = 4, z 2 = 1. Por tanto, son posibles dos casos: 1) incógnita 2 = 4 y luego y 2 = 1; 2) incógnita 2 = 1, y luego y 2 = 4.

Caso 1. Si incógnita = + 2, entonces en = -1 (según la segunda ecuación del sistema original xy =-2). Si incógnita =- 2, entonces en = 1.

Caso 2. Si incógnita = 1, entonces en = - 2, si incógnita = - 1, entonces en = 2.

Recibimos 4 soluciones a este sistema de ecuaciones:

incógnita 1 = 2, y 1 = - 1 ; incógnita 2 = - 2, y 2 = 1;

incógnita 3 = 1, y 3 = - 2 ; incógnita 4 = - 1, y 4 = 2.

Ceremonias

Resuelve estos sistemas de ecuaciones:

En el curso de matemáticas de séptimo grado, nos encontramos por primera vez ecuaciones con dos variables, pero se estudian sólo en el contexto de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. Por eso se pierden de vista toda una serie de problemas en los que se introducen determinadas condiciones sobre los coeficientes de la ecuación que los limitan. Además, también se ignoran los métodos para resolver problemas como “Resolver una ecuación en números naturales o enteros”, aunque problemas de este tipo se encuentran cada vez con más frecuencia en los materiales del Examen Estatal Unificado y en los exámenes de ingreso.

¿Qué ecuación se llamará ecuación con dos variables?

Entonces, por ejemplo, las ecuaciones 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 o xy = 12 son ecuaciones en dos variables.

Considere la ecuación 2x ​​– y = 1. Se vuelve verdadera cuando x = 2 e y = 3, por lo que este par de valores de variables es una solución a la ecuación en cuestión.

Así, la solución a cualquier ecuación con dos variables es un conjunto de pares ordenados (x; y), valores de las variables que convierten esta ecuación en una verdadera igualdad numérica.

Una ecuación con dos incógnitas puede:

A) tener una solución. Por ejemplo, la ecuación x 2 + 5y 2 = 0 tiene una solución única (0; 0);

b) tener múltiples soluciones. Por ejemplo, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 tiene 4 soluciones: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) no tienen soluciones. Por ejemplo, la ecuación x 2 + y 2 + 1 = 0 no tiene soluciones;

GRAMO) tener infinitas soluciones. Por ejemplo, x + y = 3. Las soluciones de esta ecuación serán números cuya suma sea igual a 3. El conjunto de soluciones de esta ecuación se puede escribir en la forma (k; 3 – k), donde k es cualquier real número.

Los principales métodos para resolver ecuaciones con dos variables son métodos basados ​​​​en factorizar expresiones, aislar un cuadrado completo, utilizar las propiedades de una ecuación cuadrática, expresiones limitadas y métodos de estimación. La ecuación generalmente se convierte a una forma a partir de la cual se puede obtener un sistema para encontrar las incógnitas.

Factorización

Ejemplo 1.

Resuelve la ecuación: xy – 2 = 2x – y.

Solución.

Agrupamos los términos para efectos de factorización:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. De cada paréntesis sacamos un factor común:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Tenemos:

y = 2, x – cualquier número real o x = -1, y – cualquier número real.

De este modo, la respuesta es todos los pares de la forma (x; 2), x€R y (-1;y), y€R.

Igualdad de números no negativos a cero.

Ejemplo 2.

Resuelve la ecuación: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Solución.

Agrupamiento:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Ahora cada paréntesis se puede plegar usando la fórmula de diferencia al cuadrado.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

La suma de dos expresiones no negativas es cero sólo si 3x – 2 = 0 y 2y – 3 = 0.

Esto significa x = 2/3 e y = 3/2.

Respuesta: (2/3; 3/2).

Método de estimación

Ejemplo 3.

Resuelve la ecuación: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Solución.

En cada paréntesis seleccionamos un cuadrado completo:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Estimemos el significado de las expresiones entre paréntesis.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 y (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, entonces el lado izquierdo de la ecuación es siempre al menos 2. La igualdad es posible si:

(x + 1) 2 + 1 = 1 y (y – 2) 2 + 2 = 2, lo que significa x = -1, y = 2.

Respuesta: (-1; 2).

Conozcamos otro método para resolver ecuaciones con dos variables de segundo grado. Este método consiste en tratar la ecuación como cuadrado con respecto a alguna variable.

Ejemplo 4.

Resuelve la ecuación: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Solución.

Resolvamos la ecuación como una ecuación cuadrática para x. Encontremos el discriminante:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . La ecuación tendrá solución solo cuando D = 0, es decir, si y = 4. Sustituimos el valor de y en la ecuación original y encontramos que x = 3.

Respuesta: (3; 4).

A menudo en ecuaciones con dos incógnitas indican restricciones sobre variables.

Ejemplo 5.

Resuelve la ecuación en números enteros: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Solución.

Reescribamos la ecuación en la forma x 2 = -5y 2 + 20x + 2. El lado derecho de la ecuación resultante cuando se divide por 5 da un resto de 2. Por lo tanto, x 2 no es divisible por 5. Pero el cuadrado de un un número no divisible por 5 da un resto de 1 o 4. Por tanto, la igualdad es imposible y no hay soluciones.

Respuesta: sin raíces.

Ejemplo 6.

Resuelve la ecuación: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Solución.

Resaltemos los cuadrados completos en cada paréntesis:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. El lado izquierdo de la ecuación siempre es mayor o igual a 3. La igualdad es posible siempre que |x| – 2 = 0 e y + 3 = 0. Por tanto, x = ± 2, y = -3.

Respuesta: (2; -3) y (-2; -3).

Ejemplo 7.

Para cada par de enteros negativos (x;y) que satisfagan la ecuación
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, calcula la suma (x + y). Indique la cantidad más pequeña en su respuesta.

Solución.

Seleccionemos cuadrados completos:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Como x e y son números enteros, sus cuadrados también son números enteros. Obtenemos la suma de los cuadrados de dos números enteros igual a 37 si sumamos 1 + 36. Por lo tanto:

(x – y) 2 = 36 y (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 y (y + 2) 2 = 36.

Resolviendo estos sistemas y teniendo en cuenta que x e y son negativos, encontramos soluciones: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Respuesta: -17.

No te desesperes si tienes dificultades para resolver ecuaciones con dos incógnitas. Con un poco de práctica, podrás manejar cualquier ecuación.

¿Aún tienes preguntas? ¿No sabes cómo resolver ecuaciones en dos variables?
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En esta lección veremos métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales. En un curso de matemáticas superiores, los sistemas de ecuaciones lineales deben resolverse tanto en forma de tareas separadas, por ejemplo, "Resolver el sistema usando las fórmulas de Cramer", como durante la resolución de otros problemas. Los sistemas de ecuaciones lineales deben abordarse en casi todas las ramas de las matemáticas superiores.

Primero, un poco de teoría. ¿Qué significa en este caso la palabra matemática “lineal”? Esto significa que las ecuaciones del sistema Todo variables incluidas en primer grado: sin cosas sofisticadas como etc., que sólo entusiasman a los participantes en las Olimpíadas de Matemáticas.

En matemáticas superiores, no sólo se utilizan letras familiares desde la infancia para designar variables.
Una opción bastante popular son las variables con índices: .
O letras iniciales Alfabeto latino, pequeño y grande:
No es tan raro encontrar letras griegas: – conocidas por muchos como “alfa, beta, gamma”. Y también un conjunto con índices, digamos, con la letra “mu”:

El uso de uno u otro conjunto de letras depende del apartado de la matemática superior en el que nos encontremos ante un sistema de ecuaciones lineales. Entonces, por ejemplo, en sistemas de ecuaciones lineales que se encuentran al resolver integrales y ecuaciones diferenciales, es tradicional usar la notación

Pero no importa cómo se designen las variables, los principios, métodos y métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales no cambian. Por lo tanto, si te encuentras con algo aterrador como , no te apresures a cerrar el libro de problemas con miedo; después de todo, puedes dibujar el sol, un pájaro y una cara (la maestra). Y, por curioso que parezca, un sistema de ecuaciones lineales con estas notaciones también se puede resolver.

Tengo la sensación de que el artículo resultará bastante largo, por lo que un pequeño índice. Entonces, el “debriefing” secuencial será así:

– Resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de sustitución (“método escolar”);
– Resolver el sistema mediante la suma (resta) término por término de las ecuaciones del sistema.;
– Solución del sistema mediante fórmulas de Cramer.;
– Resolver el sistema usando una matriz inversa.;
– Resolver el sistema mediante el método gaussiano..

Todo el mundo está familiarizado con los sistemas de ecuaciones lineales de curso escolar matemáticas. Básicamente, comenzamos con la repetición.

Resolver un sistema de ecuaciones lineales usando el método de sustitución.

este método También se le puede llamar "método escolar" o método de eliminación de incógnitas. En sentido figurado, también se le puede llamar “un método gaussiano inacabado”.

Ejemplo 1

Aquí se nos da un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Tenga en cuenta que los términos libres (números 5 y 7) se encuentran en el lado izquierdo de la ecuación. En general, no importa dónde estén, a la izquierda o a la derecha, lo que pasa es que en los problemas de matemáticas superiores a menudo se ubican de esa manera. Y tal grabación no debería dar lugar a confusión; si es necesario, el sistema siempre se puede escribir “como siempre”: . No olvides que al pasar un término de una parte a otra, es necesario cambiar de signo.

¿Qué significa resolver un sistema de ecuaciones lineales? Resolver un sistema de ecuaciones significa encontrar muchas de sus soluciones. La solución de un sistema es un conjunto de valores de todas las variables incluidas en él, lo que convierte CADA ecuación del sistema en una igualdad correcta. Además, el sistema puede ser no conjunto (no tengo soluciones).No seas tímido, esta es una definición general =) Tendremos solo un valor de “x” y un valor de “y”, que satisfacen cada ecuación c-we.

Existe un método gráfico para resolver el sistema, con el que podrás familiarizarte en clase. Los problemas más simples con una línea.. Ahí hablé de sentido geométrico Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Pero ahora es la era del álgebra y de los números-números, de las acciones-acciones.

vamos a decidir: de la primera ecuación expresamos:
Sustituimos la expresión resultante en la segunda ecuación:

Abrimos los corchetes, sumamos términos similares y encontramos el valor:

A continuación, recordamos para qué bailamos:
Ya sabemos el valor, solo queda encontrar:

Respuesta:

Después de que CUALQUIER sistema de ecuaciones se haya resuelto de CUALQUIER forma, recomiendo encarecidamente verificar (oralmente, en un borrador o en una calculadora). Afortunadamente, esto se hace fácil y rápidamente.

1) Sustituye la respuesta encontrada en la primera ecuación:

– se obtiene la igualdad correcta.

2) Sustituye la respuesta encontrada en la segunda ecuación:

– se obtiene la igualdad correcta.

O, para decirlo más simplemente, “todo salió bien”.

El método de solución considerado no es el único; a partir de la primera ecuación se pudo expresar , y no .
Puedes hacer lo contrario: expresar algo de la segunda ecuación y sustituirlo en la primera ecuación. Por cierto, tenga en cuenta que el más desventajoso de los cuatro métodos es expresar a partir de la segunda ecuación:

El resultado son fracciones, pero ¿por qué? Hay una solución más racional.

Sin embargo, en algunos casos todavía no puedes prescindir de las fracciones. En este sentido, me gustaría llamar su atención sobre CÓMO escribí la expresión. No así: y en ningún caso así: .

Si en matemáticas superiores estás tratando con números fraccionarios, luego intenta realizar todos los cálculos en fracciones impropias ordinarias.

¡Exactamente, y no o!

La coma sólo se puede utilizar algunas veces, en particular si es la respuesta final a algún problema y no es necesario realizar más acciones con este número.

Muchos lectores probablemente pensaron “por qué con una explicación tan detallada como para una clase de corrección, todo está claro”. Nada de eso, parece tan simple. ejemplo de escuela¡Y cuántas conclusiones MUY importantes! Aquí hay otro:

Debes esforzarte por completar cualquier tarea de la manera más racional.. Aunque sólo sea porque ahorra tiempo y nervios, y también reduce la probabilidad de cometer un error.

Si en un problema de matemáticas superiores te encuentras con un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, siempre puedes utilizar el método de sustitución (a menos que se indique que el sistema debe resolverse mediante otro método, ningún profesor pensará que lo estás haciendo). un tonto y reducirá tu nota por usar el “método escolar” "
Además, en algunos casos es aconsejable utilizar el método de sustitución para un mayor número de variables.

Ejemplo 2

Resolver un sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas.

Un sistema similar de ecuaciones surge a menudo cuando se utiliza el llamado método de coeficientes indefinidos, cuando encontramos la integral de una función racional fraccionaria. El sistema en cuestión lo tomé yo desde allí.

Al encontrar la integral, el objetivo es rápido encuentre los valores de los coeficientes, en lugar de utilizar las fórmulas de Cramer, el método de la matriz inversa, etc. Por tanto, en este caso, el método de sustitución es apropiado.

Cuando se da cualquier sistema de ecuaciones, en primer lugar es deseable saber si es posible simplificarlo de alguna manera INMEDIATAMENTE. Analizando las ecuaciones del sistema, notamos que la segunda ecuación del sistema se puede dividir por 2, que es lo que hacemos:

Referencia: el signo matemático significa "de esto se sigue aquello" y se utiliza a menudo en la resolución de problemas.

Ahora analicemos las ecuaciones; necesitamos expresar alguna variable en términos de las demás. ¿Qué ecuación debo elegir? Probablemente ya hayas adivinado que la forma más sencilla de lograr este propósito es tomar la primera ecuación del sistema:

Aquí, no importa qué variable expresar, uno podría expresar con la misma facilidad o .

A continuación, sustituimos la expresión for en la segunda y tercera ecuaciones del sistema:

Abrimos los corchetes y presentamos términos similares:

Divide la tercera ecuación por 2:

De la segunda ecuación expresamos y sustituimos en la tercera ecuación:

Casi todo está listo, de la tercera ecuación encontramos:
De la segunda ecuación:
De la primera ecuación:

Verificar: Sustituir los valores encontrados de las variables en el lado izquierdo de cada ecuación del sistema:

1)
2)
3)

Se obtienen los lados derechos correspondientes de las ecuaciones, por lo que la solución se encuentra correctamente.

Ejemplo 3

Resolver un sistema de ecuaciones lineales con 4 incógnitas.

Este es un ejemplo para decisión independiente(respuesta al final de la lección).

Resolver el sistema mediante la suma (resta) término por término de las ecuaciones del sistema

Al resolver sistemas de ecuaciones lineales, debe intentar utilizar no el "método escolar", sino el método de suma (resta) término por término de las ecuaciones del sistema. ¿Por qué? Esto ahorra tiempo y simplifica los cálculos, sin embargo, ahora todo quedará más claro.

Ejemplo 4

Resolver un sistema de ecuaciones lineales:

Tomé el mismo sistema que en el primer ejemplo.
Al analizar el sistema de ecuaciones, notamos que los coeficientes de la variable son idénticos en magnitud y de signo opuesto (–1 y 1). En tal situación, las ecuaciones se pueden sumar término por término:

Las acciones marcadas en rojo se realizan MENTALMENTE.
Como puede ver, como resultado de la suma término por término, perdimos la variable. Esto, de hecho, es lo que la esencia del método es deshacerse de una de las variables.