Fórmula para la distancia durante un movimiento uniformemente acelerado. Movimiento lineal uniformemente acelerado

En un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado el cuerpo

se mueve a lo largo de una línea recta convencional,
su velocidad aumenta o disminuye gradualmente,
en períodos de tiempo iguales, la velocidad cambia en la misma cantidad.

Por ejemplo, un automóvil comienza a moverse desde el estado de reposo a lo largo de una carretera recta y hasta una velocidad de, digamos, 72 km/h se mueve uniformemente acelerado. Cuando se alcanza la velocidad establecida, el automóvil se mueve sin cambiar de velocidad, es decir, de manera uniforme. Con un movimiento uniformemente acelerado, su velocidad aumentó de 0 a 72 km/h. Y deja que la velocidad aumente 3,6 km/h por cada segundo de movimiento. Entonces el tiempo de movimiento uniformemente acelerado del automóvil será igual a 20 segundos. Dado que la aceleración en el SI se mide en metros por segundo al cuadrado, la aceleración de 3,6 km/h por segundo debe convertirse a las unidades apropiadas. Será igual a (3,6 * 1000 m) / (3600 s * 1 s) = 1 m/s 2.

Digamos que después de un tiempo de conducir a velocidad constante, el automóvil comenzó a reducir la velocidad hasta detenerse. El movimiento durante el frenado también se aceleró uniformemente (en períodos de tiempo iguales, la velocidad disminuyó en la misma cantidad). En este caso, el vector aceleración será opuesto al vector velocidad. Podemos decir que la aceleración es negativa.

Entonces, si la velocidad inicial de un cuerpo es cero, entonces su velocidad después de un tiempo de t segundos será igual al producto de la aceleración y este tiempo:

Cuando un cuerpo cae, la aceleración de la gravedad "funciona" y la velocidad del cuerpo en la superficie misma de la tierra estará determinada por la fórmula:

Si conoce la velocidad actual del cuerpo y el tiempo que tardó en desarrollar dicha velocidad desde un estado de reposo, entonces puede determinar la aceleración (es decir, qué tan rápido cambió la velocidad) dividiendo la velocidad por el tiempo:

Sin embargo, el cuerpo podría comenzar un movimiento uniformemente acelerado no desde un estado de reposo, sino que ya poseía cierta velocidad (o se le había dado una velocidad inicial). Digamos que arrojas una piedra verticalmente desde una torre usando fuerza. Un cuerpo así está sujeto a una aceleración gravitacional igual a 9,8 m/s 2 . Sin embargo, tu fuerza le dio a la piedra aún más velocidad. Así, la velocidad final (en el momento de tocar el suelo) será la suma de la velocidad desarrollada como resultado de la aceleración y la velocidad inicial. Así, la velocidad final la encontraremos según la fórmula:

Sin embargo, si la piedra fue arrojada hacia arriba. Entonces su velocidad inicial se dirige hacia arriba y la aceleración de caída libre se dirige hacia abajo. Es decir, los vectores de velocidad están dirigidos en direcciones opuestas. En este caso (así como durante el frenado), a la velocidad inicial se le debe restar el producto de la aceleración y el tiempo:

De estas fórmulas obtenemos las fórmulas de aceleración. En caso de aceleración:

en = v – v 0
a = (v – v 0)/t

En caso de frenado:

en = v 0 – v
a = (v 0 – v)/t

En el caso de que un cuerpo se detenga con aceleración uniforme, en el momento de detenerse su velocidad es 0. Entonces la fórmula se reduce a esta forma:

Conociendo la velocidad inicial del cuerpo y la aceleración de frenado, se determina el tiempo tras el cual el cuerpo se detendrá:

Ahora imprimamos Fórmulas para la trayectoria que recorre un cuerpo durante un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.. La gráfica de velocidad versus tiempo para un movimiento uniforme rectilíneo es un segmento paralelo al eje del tiempo (generalmente se toma el eje x). La ruta se calcula como el área del rectángulo debajo del segmento. Es decir, multiplicando la velocidad por el tiempo (s = vt). Con un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, la gráfica es una línea recta, pero no paralela al eje del tiempo. Esta recta aumenta en caso de aceleración o disminuye en caso de frenada. Sin embargo, la ruta también se define como el área de la figura debajo del gráfico.

En un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, esta figura es un trapezoide. Sus bases son un segmento en el eje y (velocidad) y un segmento que conecta el punto final del gráfico con su proyección en el eje x. Los lados son la gráfica de la velocidad versus el tiempo mismo y su proyección sobre el eje x (eje del tiempo). La proyección sobre el eje x no es solo el lado, sino también la altura del trapezoide, ya que es perpendicular a sus bases.

Como sabes, el área de un trapezoide es igual a la mitad de la suma de las bases y la altura. La longitud de la primera base es igual a la velocidad inicial (v 0), la longitud de la segunda base es igual a la velocidad final (v), la altura es igual al tiempo. Así obtenemos:

s = ½ * (v 0 + v) * t

Arriba se dio la fórmula para la dependencia de la velocidad final de la inicial y la aceleración (v = v 0 + at). Por lo tanto, en la fórmula de la ruta podemos reemplazar v:

s = ½ * (v 0 + v 0 + at) * t = ½ * (2v 0 + at) * t = ½ * t * 2v 0 + ½ * t * at = v 0 t + 1/2at 2

Entonces, la distancia recorrida está determinada por la fórmula:

s = v 0 t + en 2 /2

(Se puede llegar a esta fórmula considerando no el área del trapezoide, sino sumando las áreas del rectángulo y triangulo rectángulo, en el que se divide el trapezoide.)

Si el cuerpo comienza a moverse uniformemente acelerado desde un estado de reposo (v 0 = 0), entonces la fórmula de la trayectoria se simplifica a s = en 2/2.

Si el vector aceleración era opuesto a la velocidad, entonces se debe restar el producto en 2/2. Está claro que en este caso la diferencia entre v 0 t y at 2 /2 no debería volverse negativa. Cuando llegue a cero, el cuerpo se detendrá. Se encontrará una vía de frenado. Arriba estaba la fórmula para el tiempo hasta una parada completa (t = v 0 /a). Si sustituimos el valor t en la fórmula de la trayectoria, entonces la trayectoria de frenado se reduce a la siguiente fórmula.

Derivemos una fórmula con la que se puede calcular la proyección del vector de desplazamiento de un cuerpo que se mueve de forma rectilínea y uniformemente acelerado durante cualquier período de tiempo. Para hacer esto, pasemos a la Figura 14. Tanto en la Figura 14, a, como en la Figura 14, b, el segmento AC es una gráfica de la proyección del vector velocidad de un cuerpo que se mueve con aceleración constante a (a una velocidad inicial v0).

Arroz. 14. La proyección del vector de desplazamiento de un cuerpo que se mueve de forma rectilínea y uniformemente acelerado es numéricamente igual al área S bajo la gráfica.

Recordemos que en el caso del movimiento uniforme rectilíneo de un cuerpo, la proyección del vector de desplazamiento realizada por este cuerpo está determinada por la misma fórmula que el área del rectángulo encerrado debajo de la gráfica de la proyección del vector de velocidad. (ver figura 6). Por tanto, la proyección del vector de desplazamiento es numéricamente igual al área de este rectángulo.

Demostremos que en el caso de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, la proyección del vector de desplazamiento s x se puede determinar mediante la misma fórmula que el área de la figura encerrada entre el gráfico AC, el eje Ot y los segmentos OA y BC. , es decir, como en este caso, la proyección del vector de desplazamiento es numéricamente igual al área de la figura debajo del gráfico de velocidad. Para hacer esto, en el eje Ot (ver Fig. 14, a) seleccionamos un pequeño período de tiempo db. Desde los puntos d y b trazamos perpendiculares al eje Ot hasta que se cruzan con la gráfica de la proyección del vector velocidad en los puntos a y c.

Así, durante un período de tiempo correspondiente al segmento db, la rapidez del cuerpo cambia de v ax a v cx.

Durante un período de tiempo bastante corto, la proyección del vector velocidad cambia muy ligeramente. Por tanto, el movimiento del cuerpo durante este período de tiempo difiere poco del movimiento uniforme, es decir, del movimiento a velocidad constante.

Toda el área de la figura OASV, que es un trapezoide, se puede dividir en dichas franjas. En consecuencia, la proyección del vector de desplazamiento sx para el período de tiempo correspondiente al segmento OB es numéricamente igual al área S del trapezoide OASV y está determinada por la misma fórmula que esta área.

Según la regla dada en cursos escolares En geometría, el área de un trapezoide es igual al producto de la mitad de la suma de sus bases y su altura. De la Figura 14, b queda claro que las bases del trapezoide OASV son los segmentos OA = v 0x y BC = v x, y la altura es el segmento OB = t. Por eso,

Como v x = v 0x + a x t, a S = s x, podemos escribir:

Por tanto, hemos obtenido una fórmula para calcular la proyección del vector de desplazamiento durante un movimiento uniformemente acelerado.

Usando la misma fórmula, la proyección del vector de desplazamiento también se calcula cuando el cuerpo se mueve con una velocidad decreciente, solo que en este caso los vectores de velocidad y aceleración se dirigirán en direcciones opuestas, por lo que sus proyecciones tendrán signos diferentes.

Preguntas

Usando la Figura 14, a, demuestre que la proyección del vector de desplazamiento durante el movimiento uniformemente acelerado es numéricamente igual al área de la figura OASV.
Escriba una ecuación para determinar la proyección del vector de desplazamiento de un cuerpo durante su movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

Ejercicio 7

Intentemos derivar una fórmula para encontrar la proyección del vector de desplazamiento de un cuerpo que se mueve de forma rectilínea y uniformemente acelerado durante cualquier período de tiempo.

Para hacer esto, pasemos a la gráfica de la proyección de la velocidad del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado versus el tiempo.

Gráfica de la proyección de la velocidad del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado versus el tiempo.

La siguiente figura muestra una gráfica para la proyección de la velocidad de un cuerpo que se mueve con una rapidez inicial V0 y una aceleración constante a.

si tuviéramos uniforme movimiento rectilíneo, entonces para calcular la proyección del vector desplazamiento, sería necesario calcular el área de la figura debajo de la gráfica de la proyección del vector velocidad.

Ahora demostraremos que en el caso de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, la proyección del vector de desplazamiento Sx se determinará de la misma forma. Es decir, la proyección del vector de desplazamiento será igual al área de la figura debajo de la gráfica de la proyección del vector de velocidad.

Encontremos el área de la figura limitada por el eje ot, los segmentos AO y BC, así como el segmento AC.

Seleccionemos un pequeño intervalo de tiempo db en el eje ot. Dibujemos perpendiculares al eje del tiempo a través de estos puntos hasta que se crucen con la gráfica de la proyección de velocidad. Marquemos los puntos de intersección a y c. Durante este período de tiempo, la velocidad del cuerpo cambiará de Vax a Vbx.

Si tomamos este intervalo lo suficientemente pequeño, entonces podemos suponer que la velocidad permanece prácticamente sin cambios y, por lo tanto, estaremos tratando con un movimiento rectilíneo uniforme en este intervalo.

Entonces podemos considerar que el segmento ac es horizontal y abcd es un rectángulo. El área abcd será numéricamente igual a la proyección del vector de desplazamiento sobre el intervalo de tiempo db. Podemos dividir el área completa de la figura OACB en períodos de tiempo tan pequeños.

Es decir, encontramos que la proyección del vector de desplazamiento Sx para el período de tiempo correspondiente al segmento OB será numéricamente igual al área S del trapezoide OACB, y estará determinada por la misma fórmula que esta área.

Por eso,

S=((V0x+Vx)/2)*t.

Dado que Vx=V0x+ax*t y S=Sx, la fórmula resultante tomará la siguiente forma:

Sx=V0x*t+(ax*t^2)/2.

Hemos obtenido una fórmula con la que podemos calcular la proyección del vector de desplazamiento durante un movimiento uniformemente acelerado.

En el caso de un movimiento uniformemente lento, la fórmula adoptará la siguiente forma.

La característica más importante a la hora de mover un cuerpo es su velocidad. Conociéndolo, además de algunos otros parámetros, siempre podremos determinar el tiempo de movimiento, la distancia recorrida, la velocidad y aceleración inicial y final. El movimiento uniformemente acelerado es sólo un tipo de movimiento. Suele encontrarse en problemas de física de la sección de cinemática. En tales problemas, el cuerpo se toma como un punto material, lo que simplifica significativamente todos los cálculos.

Velocidad. Aceleración

En primer lugar, me gustaría llamar la atención del lector sobre el hecho de que estos dos cantidades fisicas no son escalares, sino vectoriales. Esto significa que al resolver cierto tipo de problemas, es necesario prestar atención a qué aceleración tiene el cuerpo en términos de signo, así como cuál es el vector de la velocidad del cuerpo en sí. En general, en problemas de naturaleza puramente matemática, tales momentos se omiten, pero en problemas de física esto es bastante importante, ya que en cinemática, debido a un signo incorrecto, la respuesta puede resultar errónea.

Ejemplos

Un ejemplo es el movimiento uniformemente acelerado y uniformemente desacelerado. El movimiento uniformemente acelerado se caracteriza, como es sabido, por la aceleración del cuerpo. La aceleración permanece constante, pero la velocidad aumenta continuamente en cada momento individual. Y con un movimiento uniformemente lento, la aceleración tiene un valor negativo, la velocidad del cuerpo disminuye continuamente. Estos dos tipos de aceleración forman la base de muchos problemas físicos y se encuentran con bastante frecuencia en problemas de la primera parte de los exámenes de física.

Ejemplo de movimiento uniformemente acelerado

Todos los días nos encontramos con movimientos uniformemente acelerados en todas partes. No entra ningún coche vida real igualmente. Incluso si la aguja del velocímetro marca exactamente 6 kilómetros por hora, debes entender que esto no es del todo cierto. En primer lugar, si analizamos este tema desde un punto de vista técnico, entonces el primer parámetro que dará inexactitud será el dispositivo. O mejor dicho, su error.

Los encontramos en todos los instrumentos de control y medida. Las mismas líneas. Coge unas diez reglas, al menos idénticas (de 15 centímetros, por ejemplo), o diferentes (15, 30, 45, 50 centímetros). Colóquelos uno al lado del otro y notará que hay ligeras imprecisiones y que sus escalas no se alinean del todo. Esto es un error. En este caso, será igual a la mitad del valor de la división, como ocurre con otros dispositivos que producen determinados valores.

El segundo factor que provocará inexactitud es el tamaño del dispositivo. El velocímetro no tiene en cuenta valores como medio kilómetro, medio kilómetro, etc. Es bastante difícil notar esto en el dispositivo a simple vista. Casi imposible. Pero hay un cambio de velocidad. Aunque sea por una cantidad tan pequeña, pero aún así. Por tanto, será un movimiento uniformemente acelerado, no uniforme. Lo mismo puede decirse de un paso regular. Digamos que estamos caminando y alguien dice: nuestra velocidad es de 5 kilómetros por hora. Pero esto no es del todo cierto, y por qué se explica un poco más arriba.

aceleración del cuerpo

La aceleración puede ser positiva o negativa. Esto se discutió anteriormente. Agreguemos que la aceleración es una cantidad vectorial, que es numéricamente igual al cambio de velocidad durante un cierto período de tiempo. Es decir, mediante la fórmula se puede denotar de la siguiente manera: a = dV/dt, donde dV es el cambio de velocidad, dt es el intervalo de tiempo (cambio de tiempo).

Matices

Inmediatamente puede surgir la pregunta de cómo la aceleración en esta situación puede ser negativa. Quienes hacen una pregunta similar lo motivan por el hecho de que ni siquiera la velocidad puede ser negativa, y mucho menos el tiempo. De hecho, el tiempo realmente no puede ser negativo. Pero muy a menudo olvidan que la velocidad puede fácilmente tomar valores negativos. Esta es una cantidad vectorial, ¡no debemos olvidarla! Probablemente se trate de estereotipos y pensamientos incorrectos.

Entonces, para resolver problemas, basta con entender una cosa: la aceleración será positiva si el cuerpo acelera. Y será negativo si el cuerpo se ralentiza. Eso es todo, bastante simple. lo mas simple pensamiento lógico o la capacidad de ver entre líneas será, de hecho, parte de la solución a un problema físico relacionado con la velocidad y la aceleración. Caso especial- esta es la aceleración de la gravedad y no puede ser negativa.

Fórmulas. resolución de problemas

Debe entenderse que los problemas relacionados con la velocidad y la aceleración no son sólo prácticos, sino también teóricos. Por eso, las analizaremos y, si es posible, intentaremos explicar por qué tal o cual respuesta es correcta o, por el contrario, incorrecta.

problema teórico

Muy a menudo, en los exámenes de física en los grados 9 y 11, puedes encontrarte con preguntas similares: "¿Cómo se comportará un cuerpo si la suma de todas las fuerzas que actúan sobre él es cero?" De hecho, la formulación de la pregunta puede ser muy diferente, pero la respuesta sigue siendo la misma. Aquí, lo primero que hay que hacer es utilizar construcciones superficiales y pensamiento lógico ordinario.

El estudiante recibe 4 respuestas para elegir. Primero: “la velocidad será cero”. Segundo: “la velocidad del cuerpo disminuye durante un cierto período de tiempo”. Tercero: “la velocidad del cuerpo es constante, pero definitivamente no es cero”. Cuarto: “la velocidad puede tener cualquier valor, pero en cada momento será constante”.

La respuesta correcta aquí es, por supuesto, la cuarta. Ahora averigüemos por qué es así. Intentemos considerar todas las opciones por turno. Como se sabe, la suma de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es el producto de la masa por la aceleración. Pero nuestra masa sigue siendo un valor constante, la descartaremos. Es decir, si la suma de todas las fuerzas es cero, la aceleración también será cero.

Entonces, supongamos que la velocidad será cero. Pero esto no puede ser, ya que nuestra aceleración es igual a cero. Físicamente esto está permitido, pero en este caso no, ya que ahora estamos hablando de otra cosa. Deje que la velocidad del cuerpo disminuya durante un período de tiempo. Pero ¿cómo puede disminuir si la aceleración es constante e igual a cero? No existen motivos ni requisitos previos para reducir o aumentar la velocidad. Por tanto, rechazamos la segunda opción.

Supongamos que la velocidad del cuerpo es constante, pero definitivamente no es cero. De hecho, será constante debido al hecho de que simplemente no hay aceleración. Pero no se puede decir inequívocamente que la velocidad será distinta de cero. Pero la cuarta opción da en el blanco. La velocidad puede ser cualquiera, pero como no hay aceleración, será constante en el tiempo.

problema practico

Determine qué camino recorrió el cuerpo en un cierto período de tiempo t1-t2 (t1 = 0 segundos, t2 = 2 segundos) si los siguientes datos están disponibles. La velocidad inicial del cuerpo en el intervalo de 0 a 1 segundo es de 0 metros por segundo, la velocidad final es de 2 metros por segundo. La velocidad del cuerpo en el tiempo de 2 segundos también es de 2 metros por segundo.

Resolver este problema es bastante simple, solo hay que captar su esencia. Entonces, necesitamos encontrar una manera. Bueno, comencemos a buscarlo, habiendo identificado previamente dos áreas. Como es fácil ver, el cuerpo recorre el primer tramo del recorrido (de 0 a 1 segundo) con aceleración uniforme, como lo demuestra el aumento de su velocidad. Entonces encontraremos esta aceleración. Se puede expresar como la diferencia de velocidad dividida por el tiempo de movimiento. La aceleración será (2-0)/1 = 2 metros por segundo al cuadrado.

En consecuencia, la distancia recorrida en el primer tramo del camino S será igual a: S = V0t + at^2/2 = 0*1 + 2*1^2/2 = 0 + 1 = 1 metro. En el segundo tramo del camino, en el período de 1 segundo a 2 segundos, el cuerpo se mueve uniformemente. Esto significa que la distancia será igual a V*t = 2*1 = 2 metros. Ahora sumamos las distancias, obtenemos 3 metros. Ésta es la respuesta.

Directo movimiento uniforme- este es un movimiento en el que, en períodos de tiempo iguales, el cuerpo recorre la misma distancia.

Movimiento uniforme- este es el movimiento de un cuerpo en el que su velocidad permanece constante (), es decir, se mueve a la misma velocidad todo el tiempo y no se produce aceleración o desaceleración ().

Movimiento en línea recta- este es el movimiento de un cuerpo en línea recta, es decir, la trayectoria que obtenemos es recta.

La velocidad del movimiento rectilíneo uniforme no depende del tiempo y en cada punto de la trayectoria se dirige de la misma manera que el movimiento del cuerpo. Es decir, el vector velocidad coincide con el vector desplazamiento. Con todo ello, la velocidad media en cualquier periodo de tiempo es igual a la velocidad inicial e instantánea:

Velocidad del movimiento rectilíneo uniforme es una cantidad vectorial física igual a la relación entre el movimiento de un cuerpo durante cualquier período de tiempo y el valor de este intervalo t:

De esta fórmula. podemos expresar fácilmente movimiento del cuerpo con movimiento uniforme:

Consideremos la dependencia de la velocidad y el desplazamiento con el tiempo.

Dado que nuestro cuerpo se mueve de forma rectilínea y uniformemente acelerado (), la gráfica con la dependencia de la velocidad del tiempo se verá como una línea recta paralela al eje del tiempo.

Dependiente proyecciones de la velocidad del cuerpo versus el tiempo no hay nada complicado. La proyección del movimiento del cuerpo es numéricamente igual al área del rectángulo AOBC, ya que la magnitud del vector de movimiento es igual al producto del vector de velocidad por el tiempo durante el cual se realizó el movimiento.

En el gráfico vemos dependencia del movimiento en el tiempo.

La gráfica muestra que la proyección de la velocidad es igual a:

Habiendo considerado esta fórmula. podemos decir que cuanto mayor es el ángulo, más rápido se mueve nuestro cuerpo y recorre mayor distancia en menos tiempo