Operación con fracciones ordinarias.

pepinos calculadora de fracciones

Diseñado para calcular rápidamente operaciones con fracciones, te ayudará a sumar, multiplicar, dividir o restar fracciones fácilmente.

Los escolares modernos comienzan a estudiar fracciones ya en quinto grado y los ejercicios con ellas se vuelven más complicados cada año. Los términos y cantidades matemáticas que aprendemos en la escuela rara vez pueden sernos útiles en la vida adulta. Sin embargo, las fracciones, a diferencia de los logaritmos y las potencias, se encuentran con bastante frecuencia en la vida cotidiana (medir distancias, pesar mercancías, etc.). Nuestra calculadora está diseñada para operaciones rápidas con fracciones.

Primero, definamos qué son las fracciones y qué son. Las fracciones son la razón de un número a otro; es un número que consta de un número entero de fracciones de una unidad.

• Tipos de fracciones:
• Común
• Decimal

Mezclado Ejemplo

fracciones ordinarias:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

El valor superior es el numerador, el inferior es el denominador. El guión nos muestra que el número de arriba es divisible por el número de abajo. En lugar de este formato de escritura, cuando el guión es horizontal, puedes escribir de manera diferente. Puedes poner una línea inclinada, por ejemplo: decimales

son el tipo de fracciones más popular. Constan de una parte entera y una parte fraccionaria, separadas por una coma.

Ejemplo de fracciones decimales:

0,2 o 6,71 o 0,125

Consta de un número entero y una parte fraccionaria. Para saber el valor de esta fracción, debes sumar el número entero y la fracción.

Ejemplo de fracciones mixtas:

• La calculadora de fracciones de nuestro sitio web puede realizar rápidamente cualquier operación matemática con fracciones en línea:
• Suma
• Sustracción
• Multiplicación

División

Para realizar el cálculo, debe ingresar números en los campos y seleccionar una acción. Para fracciones, es necesario completar el numerador y el denominador; no se puede escribir el número entero (si la fracción es ordinaria). No olvides hacer clic en el botón "igual". Es conveniente que la calculadora proporcione inmediatamente el proceso para resolver un ejemplo con fracciones, y no solo una respuesta ya preparada. Es gracias a la solución implementada que puedes utilizar. este material

a la hora de resolver problemas escolares y para un mejor dominio del material tratado.

Debe realizar el cálculo de ejemplo:

Después de ingresar los indicadores en los campos del formulario, obtenemos:

Para realizar tu propio cálculo, introduce los datos en el formulario.

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Las fracciones son comunes y decimales. Cuando un estudiante se entera de la existencia de este último, comienza a convertir todo lo posible a forma decimal en cada oportunidad, incluso si esto no es necesario.

Curiosamente, las preferencias cambian entre los estudiantes de secundaria y los estudiantes, porque es más fácil hacer muchas operaciones aritméticas Con fracciones ordinarias. Y a veces es simplemente imposible convertir los valores con los que tratan los graduados a forma decimal sin pérdidas. Como resultado, ambos tipos de fracciones resultan, de una forma u otra, adaptarse a la tarea y tienen sus propias ventajas y desventajas. Veamos cómo trabajar con ellos.

Definición

Las fracciones son lo mismo que las acciones. Si una naranja tiene diez gajos y te dan uno, entonces tienes 1/10 de la fruta en tu mano. Cuando se escribe como en la frase anterior, la fracción se llamará fracción ordinaria. Si escribes lo mismo que 0,1 - decimal. Ambas opciones son iguales, pero tienen sus ventajas. La primera opción es más conveniente para multiplicar y dividir, la segunda para suma, resta y en muchos otros casos.

Cómo convertir una fracción a otra forma

Digamos que tienes una fracción y quieres convertirla a decimal. ¿Qué hay que hacer para esto?

Por cierto, debes decidir de antemano que no todos los números se pueden escribir en forma decimal sin problemas. A veces hay que redondear el resultado, perdiendo un cierto número de decimales, y en muchas áreas, por ejemplo, en las ciencias exactas, esto es un lujo completamente inasequible. Al mismo tiempo, las operaciones con decimales y fracciones ordinarias en el quinto grado permiten realizar dicha transferencia de un tipo a otro sin interferencias, al menos como entrenamiento.

Si del denominador se puede obtener un valor múltiplo de 10 multiplicando o dividiendo por un número entero, la traducción se realizará sin dificultades: ¾ se convierte en 0,75, 13/20 en 0,65.

El procedimiento inverso es aún más sencillo, ya que siempre se puede obtener una fracción ordinaria a partir de una fracción decimal sin pérdida de precisión. Por ejemplo, 0,2 se convierte en 1/5 y 0,08 se convierte en 4/25.

Transformaciones internas

Antes de realizar operaciones conjuntas con fracciones ordinarias, es necesario preparar números para posibles operaciones matemáticas.

En primer lugar, debes reducir todas las fracciones del ejemplo a una. apariencia general. Deben ser ordinarios o decimales. Inmediatamente hagamos una reserva de que es más conveniente realizar multiplicaciones y divisiones con el primero.

Al preparar números para acciones adicionales Te ayudará una regla que se conoce y se utiliza tanto en los primeros años de estudio de la materia como en las matemáticas superiores, que se estudian en las universidades.

Propiedades de las fracciones

Digamos que tienes algún valor. Digamos 2/3. ¿Qué cambia si multiplicas el numerador y el denominador por 3? Resultará ser 6/9. ¿Y si es un millón? 2000000/3000000. Pero espere, el número no cambia cualitativamente en absoluto: 2/3 sigue siendo igual a 2000000/3000000. Sólo cambia la forma, pero no el contenido. Lo mismo sucede cuando ambos lados se dividen por el mismo valor. Esta es la propiedad principal de las fracciones, que le ayudará repetidamente a realizar operaciones con decimales y fracciones ordinarias en pruebas y exámenes.

Multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número se llama expansión de una fracción y la división se llama reducción. Hay que decir que tachar números idénticos arriba y abajo al multiplicar y dividir fracciones es un procedimiento sorprendentemente agradable (en el marco de una lección de matemáticas, por supuesto). Parece que la respuesta ya está cerca y el ejemplo está prácticamente solucionado.

fracciones impropias

Una fracción impropia es aquella en la que el numerador es mayor o igual que el denominador. En otras palabras, si una parte entera puede aislarse de él, entra dentro de esta definición.

Si dicho número (mayor o igual a uno) se presenta como una fracción ordinaria, se llamará fracción impropia. Y si el numerador es menor que el denominador, correcto. Ambos tipos son igualmente convenientes a la hora de realizar posibles operaciones con fracciones ordinarias. Se pueden multiplicar, dividir, sumar y restar fácilmente.

Si se selecciona simultáneamente la parte entera y queda un resto en forma de fracción, el número resultante se llamará mixto. En el futuro te encontrarás de varias maneras combinaciones de tales estructuras con variables, así como la resolución de ecuaciones donde se requiera este conocimiento.

Operaciones aritméticas

Si todo está claro con la propiedad básica de una fracción, ¿cómo comportarse al multiplicar fracciones? Las operaciones con fracciones ordinarias en el quinto grado implican todo tipo de operaciones aritméticas, que se realizan de dos formas diferentes.

La multiplicación y la división son muy simples. En el primer caso, simplemente se multiplican los numeradores y denominadores de dos fracciones. En el segundo, lo mismo, solo que en forma transversal. Así, el numerador de la primera fracción se multiplica por el denominador de la segunda y viceversa.

Para realizar sumas y restas necesitas hacer acción adicional- llevar todos los componentes de la expresión a un denominador común. Esto significa que las partes inferiores de las fracciones deben cambiarse al mismo valor: un número que sea múltiplo de ambos denominadores existentes. Por ejemplo, para 2 y 5 será 10. Para 3 y 6 - 6. Pero entonces, ¿qué hacer con la parte superior? No podemos dejarla adentro. en la misma forma, si se ha cambiado el inferior. Según la propiedad básica de una fracción, multiplicaremos el numerador por el mismo número que el denominador. Esta operación la debemos realizar con cada uno de los números que sumaremos o restaremos. Sin embargo, tales acciones con fracciones ordinarias en el sexto grado ya se realizan "automáticamente", y las dificultades surgen sólo cuando etapa inicial estudiando el tema.

Comparación

Si dos fracciones tienen el mismo denominador, la que tiene el numerador mayor es mayor. Si las partes superiores son iguales, entonces la que tenga el denominador menor será mayor. Vale la pena tener en cuenta que rara vez surgen situaciones de comparación tan exitosas. Lo más probable es que ni la parte superior ni la inferior de las expresiones coincidan. Luego deberás recordar las posibles acciones con fracciones ordinarias y utilizar la técnica utilizada en la suma y la resta. Además, recuerda que si estamos hablando de números negativos, entonces una fracción con un módulo mayor resultará más pequeña.

Ventajas de las fracciones comunes.

Sucede que los profesores les dicen a los niños una frase, cuyo contenido se puede expresar de la siguiente manera: cuanta más información se dé al formular la tarea, más fácil será la solución. ¿Crees que suena extraño? Pero en realidad: con una gran cantidad de cantidades conocidas, puede usar casi cualquier fórmula, pero si solo se proporcionan un par de números, es posible que se requieran reflexiones adicionales, tendrá que recordar y demostrar teoremas, dar argumentos a favor de su exactitud. ...

¿Por qué hacemos esto? Además, las fracciones ordinarias, a pesar de su complejidad, pueden simplificar enormemente la vida de un estudiante, permitiéndole acortar filas enteras de valores al multiplicar y dividir, y al calcular sumas y diferencias, presentar argumentos generales y, nuevamente, acortarlos.

Cuando es necesario realizar acciones conjuntas con fracciones ordinarias y decimales, se realizan transformaciones a favor de las primeras: ¿cómo se convierte 3/17 a forma decimal? Sólo con pérdida de información, no de otra manera. Pero 0,1 se puede representar como 1/10 y luego como 17/170. Y luego se pueden sumar o restar los dos números resultantes: 30/170 + 17/170 = 47/170.

¿Por qué son útiles los decimales?

Si bien las operaciones con fracciones ordinarias son más convenientes, escribir todo con ellas es extremadamente inconveniente; los decimales tienen aquí una ventaja significativa. Compare: 1748/10000 y 0,1748. Este es el mismo valor representado en dos varias opciones. ¡Por supuesto, el segundo método es más fácil!

Además, los decimales son más fáciles de representar porque todos los datos tienen una base común que difiere sólo en órdenes de magnitud. Digamos que entendemos fácilmente un descuento del 30% e incluso lo evaluamos como significativo. ¿Entenderás inmediatamente qué es más: 30% o 137/379? Por tanto, las fracciones decimales proporcionan estandarización para los cálculos.

En la escuela secundaria, los estudiantes deciden ecuaciones cuadráticas. Realizar operaciones con fracciones ordinarias aquí ya es extremadamente problemático, ya que la fórmula para calcular los valores de una variable contiene raíz cuadrada de la cantidad. Si hay una fracción que no se puede reducir a decimal, la solución se vuelve tan complicada que resulta casi imposible calcular la respuesta exacta sin una calculadora.

Entonces, cada forma de representar fracciones tiene sus propias ventajas en el contexto apropiado.

Formularios de registro

Hay dos formas de escribir acciones con fracciones ordinarias: a través de una línea horizontal, en dos "niveles" y a través de una barra (también conocida como "barra"), en una línea. Cuando un estudiante escribe en un cuaderno, la primera opción suele ser más cómoda y por tanto más común. Distribuir números en celdas seguidas ayuda a desarrollar la atención al realizar cálculos y realizar transformaciones. Al escribir en una cadena, sin darse cuenta puede confundir el orden de las acciones, perder algunos datos, es decir, cometer un error.

Muy a menudo hoy en día es necesario imprimir números en una computadora. Puedes separar fracciones usando una línea horizontal tradicional usando la función en Microsoft Word 2010 y versiones posteriores. El caso es que en estas versiones del software existe una opción llamada “fórmula”. Muestra un campo rectangular transformable en la pantalla, dentro del cual puede combinar cualquier símbolo matemático y crear fracciones de dos y "cuatro pisos". Puedes utilizar paréntesis y signos de operación en el denominador y el numerador. Como resultado, podrás anotar cualquier acción conjunta con fracciones ordinarias y decimales en la forma tradicional, es decir, como te enseñan a hacerlo en el colegio.

Si usas estándar editor de texto"Bloc de notas", todas las expresiones fraccionarias deberán escribirse con una barra. Desafortunadamente, aquí no hay otra manera.

Conclusión

Así que analizamos todas las acciones básicas con fracciones ordinarias, de las cuales resulta que no hay tantas.

Si al principio puede parecer que esta es una sección difícil de las matemáticas, entonces esto es solo una impresión temporal; recuerde, una vez pensó de esta manera sobre la tabla de multiplicar, e incluso antes, sobre los cuadernos comunes y la cuenta del uno al diez.

Es importante entender que las fracciones se utilizan en la vida cotidiana en todos lados. Te ocuparás de dinero y cálculos de ingeniería, tecnología de la información y alfabetización musical, y en todas partes, ¡en todas partes! - Aparecerán números fraccionarios. Por lo tanto, no seas perezoso y estudia detenidamente este tema, sobre todo porque no es tan complicado.

Acordemos que "acciones con fracciones" en nuestra lección significarán acciones con fracciones ordinarias. Una fracción común es una fracción que tiene atributos como un numerador, una línea de fracción y un denominador. Esto distingue una fracción ordinaria de un decimal, que se obtiene a partir de una fracción ordinaria reduciendo el denominador a un múltiplo de 10. El decimal se escribe con una coma que separa la parte entera de la fracción. Hablaremos de operaciones con fracciones ordinarias, ya que son las que mayores dificultades causan a los alumnos que han olvidado los conceptos básicos de este tema, tratado en la primera mitad del curso de matemáticas escolar. Al mismo tiempo, al transformar expresiones en matemáticas superiores, se utilizan principalmente operaciones con fracciones ordinarias. ¡Las abreviaturas de fracciones por sí solas valen la pena! Las fracciones decimales no causan ninguna dificultad especial. Así que ¡adelante!

Se dice que dos fracciones son iguales si.

Por ejemplo, desde

Las fracciones y (desde) y (desde) también son iguales.

Evidentemente ambas fracciones y son iguales. Esto significa que si multiplicas o divides el numerador y el denominador de una fracción determinada por el mismo número natural, obtendrás una fracción igual a la dada: .

Esta propiedad se llama propiedad básica de una fracción.

La propiedad básica de una fracción se puede utilizar para cambiar los signos del numerador y denominador de una fracción. Si el numerador y el denominador de una fracción se multiplican por -1, obtenemos. Esto significa que el valor de una fracción no cambiará si se cambian los signos del numerador y del denominador al mismo tiempo. Si cambias el signo solo del numerador o solo del denominador, entonces la fracción cambiará de signo:

Reducir fracciones

Usando la propiedad básica de una fracción, puedes reemplazar una fracción dada con otra fracción que sea igual a la dada, pero con un numerador y denominador más pequeños. Esta sustitución se llama reducción de fracciones.

Por ejemplo, démosle una fracción. Los números 36 y 48 tienen un máximo común divisor de 12. Entonces

.

En general, siempre es posible reducir una fracción si el numerador y el denominador no son números primos entre sí. Si el numerador y el denominador son mutuos numeros primos, entonces la fracción se llama irreducible.

Entonces, reducir una fracción significa dividir el numerador y el denominador de la fracción por un factor común. Todo lo anterior también se aplica a expresiones fraccionarias que contienen variables.

Ejemplo 1. Reducir una fracción

Solución. Para factorizar el numerador, presentando primero el monomio - 5 xy como suma - 2 xy - 3xy, obtenemos

Para factorizar el denominador utilizamos la fórmula de diferencia de cuadrados:

Como resultado

.

Reducir fracciones a un denominador común

Sean dos fracciones y . Tienen denominadores diferentes: 5 y 7. Usando la propiedad básica de las fracciones, puedes reemplazar estas fracciones por otras que sean iguales a ellas, y de manera que las fracciones resultantes tengan los mismos denominadores. Multiplicando el numerador y denominador de la fracción por 7, obtenemos

Multiplicando el numerador y denominador de la fracción por 5 obtenemos

Entonces, las fracciones se reducen a un denominador común:

.

Pero esta no es la única solución al problema: por ejemplo, estas fracciones también se pueden reducir a un denominador común de 70:

,

y en general a cualquier denominador divisible tanto por 5 como por 7.

Consideremos otro ejemplo: llevemos las fracciones y a un denominador común. Argumentando como en el ejemplo anterior, obtenemos

,

.

Pero en este caso, es posible reducir las fracciones a un denominador común menor que el producto de los denominadores de estas fracciones. Encontremos el mínimo común múltiplo de los números 24 y 30: MCM(24, 30) = 120.

Como 120:4 = 5, para escribir una fracción con denominador 120, necesitas multiplicar tanto el numerador como el denominador por 5, este número se llama factor adicional. Medio .

A continuación, obtenemos 120:30=4. Multiplicando el numerador y denominador de la fracción por un factor adicional de 4, obtenemos .

Entonces, estas fracciones se reducen a un denominador común.

El mínimo común múltiplo de los denominadores de estas fracciones es el mínimo común denominador posible.

Para expresiones fraccionarias que involucran variables, el denominador común es un polinomio que se divide por el denominador de cada fracción.

Ejemplo 2. Encontrar denominador común fracciones y .

Solución. El denominador común de estas fracciones es un polinomio, ya que es divisible por ambos y. Sin embargo, este polinomio no es el único que puede ser denominador común de estas fracciones. También puede ser un polinomio. y polinomio y polinomio etc. Suelen tomar un denominador común tal que cualquier otro denominador común se divide por el elegido sin resto. Este denominador se llama mínimo común denominador.

En nuestro ejemplo, el mínimo común denominador es. Recibió:

;

.

Pudimos reducir fracciones a su mínimo común denominador. Esto sucedió multiplicando el numerador y denominador de la primera fracción por y el numerador y denominador de la segunda fracción por . Los polinomios se denominan factores adicionales, respectivamente, para la primera y segunda fracción.

Sumar y restar fracciones

La suma de fracciones se define de la siguiente manera:

.

Por ejemplo,

.

Si b = d, Eso

.

Esto quiere decir que para sumar fracciones con el mismo denominador basta con sumar los numeradores y dejar el denominador igual. Por ejemplo,

.

Si se suman fracciones con diferentes denominadores, luego generalmente reducen las fracciones al mínimo común denominador y luego suman los numeradores. Por ejemplo,

.

Ahora veamos un ejemplo de cómo sumar expresiones fraccionarias con variables.

Ejemplo 3. Convertir expresión a una fracción

.

Solución. Encontremos el mínimo común denominador. Para hacer esto, primero factorizamos los denominadores.

Multiplicar y dividir fracciones.

¡Atención!
Hay adicionales
materiales en la Sección Especial 555.
Para los que son muy "no muy..."
Y para los que “mucho…”)

¡Esta operación es mucho mejor que la suma-resta! Porque es más fácil. Como recordatorio, para multiplicar una fracción por una fracción, debes multiplicar los numeradores (este será el numerador del resultado) y los denominadores (este será el denominador). Eso es:

Por ejemplo:

Todo es extremadamente simple. ¡Y por favor no busques un denominador común! No hay necesidad de él aquí...

Para dividir una fracción por una fracción, debes invertir segundo(¡Esto es importante!) fraccionarlos y multiplicarlos, es decir:

Por ejemplo:

Si te encuentras con multiplicaciones o divisiones con números enteros y fracciones, está bien. Al igual que con la suma, hacemos una fracción a partir de un número entero con uno en el denominador, ¡y adelante! Por ejemplo:

En la escuela secundaria, a menudo tienes que lidiar con fracciones de tres pisos (¡o incluso de cuatro pisos!). Por ejemplo:

¿Cómo puedo hacer que esta fracción parezca decente? ¡Sí, muy sencillo! Utilice división de dos puntos:

¡Pero no te olvides del orden de división! A diferencia de la multiplicación, ¡esto aquí es muy importante! Por supuesto, no confundiremos 4:2 o 2:4. Pero es fácil cometer un error en una fracción de tres pisos. Tenga en cuenta, por ejemplo:

En el primer caso (expresión de la izquierda):

En el segundo (expresión de la derecha):

¿Sientes la diferencia? 4 y 1/9!

¿Qué determina el orden de división? Ya sea con corchetes o (como aquí) con la longitud de las líneas horizontales. Desarrolla tu ojo. Y si no hay corchetes ni guiones, como:

luego divide y multiplica en orden, de izquierda a derecha!

Y otra técnica muy sencilla e importante. En acciones con títulos, ¡te será de gran utilidad! Dividamos uno por cualquier fracción, por ejemplo, por 13/15:

¡El tiro se ha volcado! Y esto siempre sucede. Al dividir 1 por cualquier fracción, el resultado es la misma fracción, sólo que al revés.

Eso es todo para operaciones con fracciones. La cosa es bastante sencilla, pero da errores de sobra. tenga en cuenta consejos prácticos¡Y habrá menos (errores)!

Consejos prácticos:

1. ¡Lo más importante cuando se trabaja con expresiones fraccionarias es la precisión y la atención! esto no es palabras comunes¡No buenos deseos! ¡Esta es una necesidad extrema! Realice todos los cálculos del Examen Estatal Unificado como una tarea completa, enfocada y clara. Es mejor escribir dos líneas extra en un borrador que equivocarse al hacer cálculos mentales.

2. En ejemplos con diferentes tipos fracciones: vaya a fracciones ordinarias.

3. Reducimos todas las fracciones hasta que pare.

4. Reducimos expresiones fraccionarias de varios niveles a ordinarias usando división por dos puntos (¡seguimos el orden de división!).

5. Divide mentalmente una unidad por una fracción, simplemente dándole la vuelta a la fracción.

Estas son las tareas que definitivamente debes resolver. Las respuestas se dan después de todas las tareas. Utilice los materiales sobre este tema y consejos prácticos. Calcula cuántos ejemplos pudiste resolver correctamente. ¡Bien a la primera! ¡Sin calculadora! Y sacar las conclusiones correctas...

Recuerde: la respuesta correcta es ¡Recibido por segunda (especialmente la tercera) vez no cuenta! Así de dura es la vida.

Entonces, resolver en modo examen ! Por cierto, esto ya es preparación para el Examen Estatal Unificado. Resolvemos el ejemplo, lo comprobamos, resolvemos el siguiente. Decidimos todo y revisamos nuevamente desde el principio hasta el último. y solo Entonces mira las respuestas.

Calcular:

¿Has decidido?

Estamos buscando respuestas que coincidan con las suyas. Las escribí deliberadamente en desorden, lejos de la tentación, por así decirlo... Aquí están, las respuestas, escritas con punto y coma.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Ahora sacamos conclusiones. Si todo salió bien, ¡me alegro por ti! ¡Los cálculos básicos con fracciones no son tu problema! Puedes hacer cosas más serias. Si no...

Entonces tienes uno de dos problemas. O ambas cosas a la vez.) Falta de conocimiento y (o) falta de atención. Pero... esto soluble problemas.

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